Fórmula de Abel-Plana
# Fórmula de Abel-Plana

En matemáticas, la Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto:

   $\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}}\,dy.$

Esta fórmula es válida para funciones $f(z)$ que sean holomorfas en la región ${\text{Re}}(z)\geq 0$ del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que $|f(z)|$ está acotada por $C/|z|^{1+\epsilon }$ en esta región para alguna constante $C>0$, aunque la fórmula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas.(Olver, 1997, p.290).

Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como

   $\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right)}{(y^{2}+\alpha ^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

fórmula válida $\forall s\in \mathbb {C}$. En el caso particular $\alpha =1$ tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como:

   $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

fórmula también válida $\forall s\in \mathbb {C}$. Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes:

   $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dy.$
