Funciones de Lommel
# Funciones de Lommel

Las funciones de Lommel son funciones especiales las soluciones de la ecuación diferencial de Lommel que es una forma inhomogenea de la ecuación diferencial de Bessel:

   (1)
       $z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.$

Las soluciones de esta ecuación pueden representarse como combinanciones lineales de las llamadas funciones de Lommel, de las que hay dos tipos las funciones $s_{μ,ν}(z)$ y las funciones $S_{μ,ν}(z),$ introducidas originalmente por Eugen von Lommel (1880):

       $s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {1}{2}}\pi \left[Y_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }J_{\nu }(z)\,dz-J_{\nu }(z)\int _{0}^{z}z^{\mu }Y_{\nu }(z)\,dz\right]$
       $\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)-{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ({\frac {1+\mu +\nu }{2}})}{\pi \Gamma ({\frac {\nu -\mu }{2}})}}\left(J_{\nu }(z)-\cos(\pi (\mu -\nu )/2)Y_{\nu }(z)\right)$

donde $J_ν(z)$ es una función de Bessel de primera especie, y $Y_ν(z)$ una función de Bessel de segunda especie.

