Demostración de la irracionalidad de e
# Demostración de la irracionalidad de e

En matemáticas, la identidad como serie del número e

    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial $e^y$ evaluada en y=1.

## Demostración

Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b. $e={\frac {a}{b}}$

Se define el número

    $\ x=b!\,{\biggle-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.$

Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener

    $x=b!\,{\biggl{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.$

El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.

Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$, en la definición de x para obtener

    $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,.$

Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior

    ${\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}\leq {\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,,$

el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos

    $x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.$

Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.

