Divergencia de Kullback-Leibler
# Divergencia de Kullback-Leibler

En teoría de la probabilidad y teoría de la información, la divergencia de Kullback-Leibler (KL) (también conocida como divergencia de la información, ganancia de la información, entropía relativa o KLIC por sus siglas en inglés) es una medida no simétrica de la similitud o diferencia entre dos funciones de distribución de probabilidad P y Q. KL mide el número esperado de extra bits requeridos en muestras de código de P cuando se usa un código basado en Q, en lugar de un código basado en P. Generalmente P representa la "verdadera" distribución de los datos, observaciones, o cualquier distribución teórica. La medida Q generalmente representa una teoría, modelo, descripción o aproximación de P.

Aunque a menudo se considera como una métrica o distancia, la divergencia KL no lo es en realidad — por ejemplo, no es simétrica: la divergencia KL de P a Q no necesariamente es la misma KL de Q a P.

La divergencia KL es un caso especial de una clase más amplia de divergencias llamadas divergencias f. Fue originalmente introducida por Solomon Kullback y Richard Leibler en 1951 como la divergencia direccionada entre dos distribuciones. KL se puede derivar de la divergencia de Bregman.

## Definición

Para distribuciones de probabilidad P y Q de una variable aleatoria discreta su divergencia KL se define como

    $D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\sum _{i}P(i)\ln {\frac {P(i)}{Q(i)}}.\!$

En palabras, es el promedio ponderado de la diferencia logarítmica entre las probabilidades P y Q, donde el promedio se toma usando las probabilidades P. La divergencia KL solamente se define si P y Q suman 1 y si $Q(i)>0$ para cualquier i tal que $P(i)>0$. Si la cantidad $0\ln 0$ aparece en la fórmula, se interpreta como cero.

Para distribuciones P y Q de una variable aleatoria continua, la divergencia KL se define como la integral:

    $D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\ln {\frac {p(x)}{q(x)}}\,{\rm {d}}x,\!$

donde p y q representan las densidades de P y Q.

Más generalmente, si P y Q son medidas de probabilidad sobre un conjunto X, y Q es absolutamente continua con respecto a P, entonces la divergencia Kullback–Leibler de P a Q se define como

    $D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=-\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}\,{\rm {d}}P,\!$

donde ${\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}P}}$ es la derivada de Radon-Nikodym de Q con respecto a P, y dado que la expresión al lado derecho existe.

De la misma manera, si P es absolutamente continua con respecto a Q, entonces

    $D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}P=\int _{X}{\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\ln {\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}Q}}\,{\rm {d}}Q,$

lo cual se conoce como la entropía de P relativa a Q.

Continuando en este caso, si $\mu$ es cualquier medida en X para la cual $p={\frac {{\rm {d}}P}{{\rm {d}}\mu }}$ y $q={\frac {{\rm {d}}Q}{{\rm {d}}\mu }}$ existe, entonces la divergencia Kullback–Leibler de P a Q está dada por

    $D_{\mathrm {KL} }(P\|Q)=\int _{X}p\ln {\frac {p}{q}}\,{\rm {d}}\mu .\!$

Los logaritmos en estas fórmulas se toman como en base 2 si la información se mide en unidades de bits, o en base e si la información se mide en nats. La mayoría de fórmulas relacionadas con la divergencia KL se mantienen independiente de la base logarítmica.

Nos referiremos a la divergencia de P a Q, aunque algunos autores la llaman la divergencia "de Q a P" y otros la divergencia "entre P y Q" (aunque note que no es simétrica). Se debe tener cuidado debido a la falta de estandarización en la terminología.

## Propiedades

* Es siempre positiva (puede probarse usando la desigualdad de Jensen).
* Es nula si y sólo si P = Q.
* No es simétrica (por lo que no se trata de una distancia).

## Aplicaciones

### Estadística

En estadística, la divergencia de Kullback-Leibler está íntimamente relacionada con el método de ajuste de distribuciones por máxima verosimilitud. En efecto, si se tienen observaciones $x_{1},...,x_{n}$ independientes de una variable aleatoria con función de densidad desconocida f y se tratan de ajustar dentro de una familia de funciones de densidad $f_{\lambda }$, de acuerdo con la teoría de la máxima verosimilitud, se busca el parámetro $\lambda$ que maximiza la función

    $L_{\lambda }=\sum _{i}\log f_{\lambda }(x_{i}),$

que puede aproximarse (cuando n es grande) por

    $\int f(x)\log f_{\lambda }(x).$

Restando dicha expresión del término constante

    $\int f(x)\log f(x)$

se obtiene

    $\int f(x)\log f(x)-\int f(x)\log f_{\lambda }(x)=\int f(x)\log {\frac {f(x)}{f_{\lambda }(x)}},$

que es la divergencia de Kullback-Leibler entre $f_{\lambda }$ y la distribución verdadera determinada por f. Es decir, maximizar la función de verosimilitud es (aproximadamente) equivalente a encontrar el parámetro $\lambda$ que minimiza la divergencia de Kullback-Leibler entre la distribución real y la familia de distribuciones parametrizadas por dicho parámetro.

