Relación reflexiva
# Relación reflexiva

En matemáticas, una relación reflexiva o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,

    $\forall x\in A,\;xRx$.

En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.

Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces se dice que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:

    $\forall x\in A,\;\neg (xRx)$

En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.

## Representación

Sea $R$ una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

| Notación | Relación reflexiva | Relación antirreflexiva |
| - | - | - |
| Como pares ordenados | $\forall x\in A,\;(x,x)\in R$ | $\forall x\in A,\;(x,x)\notin R$ |
| Como matriz de adyacencia | La diagonal principal de la matriz contendrá solo 1's, es decir, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=1.$ | La diagonal principal de la matriz contendrá solo 0's, es decir, $\forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0.$ |
| Como grafo | El grafo contendrá bucles en todos sus nodos. | El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos. |

## Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

* Sea $(A,\geq )$, $\geq$ ("mayor o igual que") es reflexiva, pero $>\,$ ("mayor estricto que") no lo es.
* Sea $(A,\leq )$, $\leq$ ("menor o igual que") es reflexiva, pero $<\,$ ("menor estricto que") no lo es.
* Sea $(A,=)\,$, $=\,$ (la igualdad matemática), es reflexiva.
* Sea $(A,\subseteq )$, $\subseteq$ (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
* Sea $(\mathbb {N} \backslash \{0\},/)$, $/$ (la divisibilidad) es reflexiva.
* Sea $X$ el conjunto de todas las rectos en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
* Sea $X$ el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad $\bot$ entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
* Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.
