Coordenadas de Jacobi
# Coordenadas de Jacobi

En la teoría de sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se usan con frecuencia para simplificar las fórmulas matemáticas. Estas coordenadas son especialmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas, y en mecánica celeste.

## Algoritmo para N cuerpos

Un algoritmo para generar coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios. Literalmente el algoritmo se describe como sigue:

Sean $m_j$ y $m_k$ las masas de dos cuerpos que son reemplazados por un nuevo cuerpo de masa virtual M = $m_j$ + $m_k.$

Las coordenadas x $_j$ y x $_k$ se reemplazan por sus posiciones relativas $r_{jk}$ $=x_j$ − $x_k$ y por el vector al centro de sus masas $R_{jk}$ = $(m_j$ $q_j$ + $m_kq_k)/(m_j$ + $m_k).$

El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene $m_j$ como rama derecha y $m_k$ como rama izquierda. El orden de las ramas indica el punto de coordenadas relativas desde $x'_k$ a $x_j.$

Repita esta secuencia para N − 1 cuerpos, o sea los N − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.

## Problema de los cuatro cuerpos

Para el problema de cuatro cuerpos el resultado es:

    ${\boldsymbol {r_{1}=x_{1}-x_{2}}}\ ,$
    ${\boldsymbol {r_{j}}}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ -\ {\boldsymbol {x_{j+1}}}\ ,$

con

    $m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .$

El vector R es el centro de gravedad de todos los cuerpos:

    ${\boldsymbol {R}}={\frac {1}{m_{0}}}\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ ;$   $m_{0}=\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}\ .$
