Función elíptica lambda
# Función elíptica lambda

En matemáticas, la función lambda modular λ(t) es una función holomorfa altamente simétrica en el semiplano superior complejo. Es invariante bajo la acción lineal fraccionaria del grupo de congruencia Γ(2) y genera el campo funcional del cociente correspondiente, es decir, es un módulo principal (Hauptmodul) para la curva modular X(2). Sobre cualquier punto t, su valor puede describirse como la razón anarmónica de los puntos de ramificación de una doble cobertura ramificada de la recta proyectiva por la curva elíptica $\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$, donde la aplicación se define como el cociente por la involución [−1].

Su expansión q, donde $q=e^{\pi i\tau }$ es la función nombre, viene dada por:

    $\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots$. Plantilla:Oeis

Al simetrizar la función lambda bajo la acción canónica del grupo simétrico $S_3$ sobre X(2), y luego normalizar adecuadamente, se obtiene una función en el semiplano superior que es invariante bajo el grupo modular completo $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$, y de hecho, es el j-invariante modular de Klein.

## Propiedades modulares

La función $\lambda (\tau )$ es invariante bajo el grupo generado por

    $\tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .$

Los generadores del grupo modular actúan por

    $\tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;$
    $\tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .$

En consecuencia, la acción del grupo modular sobre $\lambda (\tau )$ es la del razón anarmónica, dando los seis valores de razón anarmónica:

    $\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .$

## Relaciones con otras funciones

Es el square del módulo elíptico, es decir, $\lambda (\tau )=k^{2}(\tau )$. En términos de Función eta de Dedekind $\eta (\tau )$ y función theta,

    $\lambda (\tau )={\Bigg{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}$

y,

    ${\frac {1}{{\big\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}$

donde

    $\theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}$
    $\theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}$
    $\theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}$

En términos de los semiperíodos de Funciones elípticas de Weierstraß, sea $[\omega _{1},\omega _{2}]$ un par fundamental de períodos con $\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$.

    $e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)$

tenemos

    $\lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.$

Dado que los tres valores de medio período son distintos, esto muestra que $\lambda$ no toma el valor 0 o 1.

La relación con el j-invariante es

    $j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .$

que es el invariante j de la curva elíptica de Legendre form $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$

Dado $m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$, sea

    $\tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}$

donde $K$ es el complete elliptic integral of the first kind con parámetro $m=k^{2}$. Entonces

    $\lambda (\tau )=m.$

## Ecuaciones modulares

La ecuación modular de grado $p$ (donde $p$ es un número primo) es una ecuación algebraica en $\lambda (p\tau )$ y $\lambda (\tau )$. Si $\lambda (p\tau )=u^{8}$ y $\lambda (\tau )=v^{8}$, las ecuaciones modulares de grados $p=2,3,5,7$ son, respectivamente,

    $(1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,$
    $u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,$
    $u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,$
    $(1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.$

La cantidad $v$ (y por tanto $u$) se puede considerar como función holomorfa en el semiplano superior $\operatorname {Im} \tau >0$:

    ${\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$

Desde $\lambda (i)=1/2$, las ecuaciones modulares se pueden usar para dar algebraic values de $\lambda (pi)$ para cualquier primo $p$. Los valores algebraicos de $\lambda (ni)$ también están dados por

    $\lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})$
    $\lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})$

donde $\operatorname {sl}$ es lemniscate sine y $\varpi$ es constante de Gauss.

## Estrella lambda

### Definición y cálculo de la estrella lambda

La función $\lambda ^{*}(x)$ (donde $x\in \mathbb {R} ^{+}$) da el valor del módulo elíptico $k$, para el cual complete elliptic integral of the first kind $K(k)$ y su contraparte complementaria $K({\sqrt {1-k^{2}}})$ están relacionados mediante la siguiente expresión:

    ${\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}$

Los valores de $\lambda ^{*}(x)$ se pueden calcular de la siguiente manera:

    $\lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}$
    $\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}$
    $\lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}$

Las funciones $\lambda ^{*}$ y $\lambda$ están relacionadas entre sí de esta manera:

    $\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}$

### Propiedades de la estrella lambda

Cada valor $\lambda ^{*}$ de un número racional positivo es un número algebraico positivo:

    $\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}.$

$K(\lambda ^{*}(x))$ y $E(\lambda ^{*}(x))$ (el complete elliptic integral of the second kind) se pueden expresar en forma cerrada en términos de función gamma para cualquier $x\in \mathbb {Q} ^{+}$, como demostraron Selberg y Chowla en 1949.

La siguiente expresión es válida para todos los $n\in \mathbb {N}$:

    ${\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]$

donde $\operatorname {dn}$ es la amplitud delta de Función elíptica de Jacobi con módulo $k$.

Al conocer un valor $\lambda ^{*}$, esta fórmula se puede utilizar para calcular valores $\lambda ^{*}$ relacionados:

    $\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}$

donde $n\in \mathbb {N}$ y $\operatorname {sn}$ es la función elíptica de Jacobi sinus amplitudinis con módulo $k$.

Otras relaciones:

    $\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1$
    $[\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2$
    $\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}$
    $\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}$

${\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}$

top|title=Valores especiales}}

Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n-3:

    $\lambda ^{*}(1)={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
    $\lambda ^{*}(5)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin \left({\sqrt {5}}-2\right)\right]$
    $\lambda ^{*}(9)={\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})$
    $\lambda ^{*}(13)=\sin \left[{\frac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)\right]$
    $\lambda ^{*}(17)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\right]\right\}$
    $\lambda ^{*}(21)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\right\}$
    $\lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})$
    $\lambda ^{*}(33)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(37)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[({\sqrt {37}}-6)^{3}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(45)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(4-{\sqrt {15}})^{2}({\sqrt {5}}-2)^{3}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(49)={\frac {1}{4}}(8+3{\sqrt {7}})(5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}})\left({\sqrt {14}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5-{\sqrt {7}}}}\right)$
    $\lambda ^{*}(57)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(170-39{\sqrt {19}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(73)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}$

Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n-2:

    $\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1$
    $\lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$
    $\lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}$
    $\lambda ^{*}(14)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3}\right]\right\}$
    $\lambda ^{*}(18)=({\sqrt {2}}-1)^{3}(2-{\sqrt {3}})^{2}$
    $\lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})$
    $\lambda ^{*}(30)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(34)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{9}}({\sqrt {17}}-4)^{2}\right]\right\}$
    $\lambda ^{*}(42)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(46)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan \left[{\frac {1}{64}}\left(3+{\sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}$
    $\lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}$
    $\lambda ^{*}(70)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {5}}-2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(78)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[(5{\sqrt {13}}-18)^{2}({\sqrt {26}}-5)^{2}]\right\}$
    $\lambda ^{*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}(8{\sqrt {41}}-51)^{2}\right]\right\}$

Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n-1:

    $\lambda ^{*}(3)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)$
    $\lambda ^{*}(7)={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}(3-{\sqrt {7}})$
    $\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}$
    $\lambda ^{*}(15)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})$
    $\lambda ^{*}(19)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})\right]^{4}$
    $\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})\left[{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}$
    $\lambda ^{*}(27)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}-1)^{3}\left[{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1)-{\sqrt[{3}]{2}}+1\right]^{4}$
    $\lambda ^{*}(39)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{16}}\left(6-{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}$
    $\lambda ^{*}(55)=\sin \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[{\frac {1}{512}}\left(3{\sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}$

Valores de estrella lambda de números enteros de tipo 4n:

    $\lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}$
    $\lambda ^{*}(8)=\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}$
    $\lambda ^{*}(12)=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}$
    $\lambda ^{*}(16)=({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}$
    $\lambda ^{*}(20)=\tan \left[{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}$
    $\lambda ^{*}(24)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]\right\}^{2}$
    $\lambda ^{*}(28)=(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{4}$
    $\lambda ^{*}(32)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin \left[\left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}$

Valores de estrella lambda de fracciones racionales:

    $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}+1)$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {2}{3}}\right)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{4}}\right)=2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1){\sqrt {({\sqrt {3}}-1)^{3}}}$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {1}{5}}\right)={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {2}{5}}\right)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {3}{5}}\right)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}(3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {3}})$
    $\lambda ^{*}\left({\frac {4}{5}}\right)=\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}$

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### Invariantes de clase de Ramanujan

Los invariantes de clase Ramanujan's $G_{n}$ y $g_{n}$ se definen como

    $G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),$
    $g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),$

donde $n\in \mathbb {Q} ^{+}$. Para tal $n$, las invariantes de clase son números algebraicos. Por ejemplo

    $g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.$

Las identidades con las invariantes de clase incluyen

    $G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.$

Las invariantes de clase están muy relacionadas con Weber modular functions ${\mathfrak {f}}$ y ${\mathfrak {f}}_{1}$. Estas son las relaciones entre lambda-star y las invariantes de clase:

    $G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]$
    $g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}$
    $\lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}$

## Otras apariciones

### Teorema de Little Picard

La función lambda se utiliza en la prueba original de Teorema de Picard, de que una función entire no constante en el plano complejo no puede omitir más de un valor. Este teorema fue demostrado por Picard en 1879. Supongamos, si es posible, que f es entera y no toma los valores 0 y 1. Como λ es holomórfico, tiene un inverso holomórfico local ω definido lejos de 0,1, ∞. Considere la función z → ω(f(z)). Según Monodromy theorem, esto es holomórfico y asigna el plano complejo C al medio plano superior. A partir de esto es fácil construir una función holomorfa desde C hasta el disco unitario, que según Liouville's theorem debe ser constante.

### Luz de luna

La función $\tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8$ es el Curva modular normalizado para el grupo $\Gamma _{0}(4)$, y su expansión q $q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots$, Plantilla:Oeis donde $q=e^{2\pi i\tau }$, es el carácter graduado de cualquier elemento en la clase de conjugación 4C del grupo monstruo que actúa sobre el monster vertex algebra.

