Élie Cartan
# Élie Cartan

Élie Joseph Cartan (Dolomieu (Isère), 9 de abril de 1869-París, 6 de mayo de 1951) fue un matemático francés, que llevó a cabo trabajos fundamentales en la teoría de grupos de Lie y sus usos geométricos.

## Biografía

Estudió en el Lycée Janson de Sailly de París y en la Escuela Normal Superior de París en 1888. Después de su doctorado en 1894, trabajó en Montpellier y Lyon, haciéndose profesor en Nancy en 1903. Obtuvo un puesto en París en 1909, y pasó a ser profesor en 1912. Se retiró en 1942. Fue padre del matemático Henri Cartan y del físico Louis Cartan.

## Trayectoria académica

Élie Cartan ganó el concurso de matemáticas de la agrégation en 1891, pero nunca dio clases en el instituto. Hizo el servicio militar de 1891 a 1892, y luego fue becario del Collège de France (fundación Pécot) de 1892 a 1894. Durante este periodo mantuvo una fructífera correspondencia con Sophus Lie y se doctoró en matemáticas en la Facultad de Ciencias de París en 1894. A continuación, fue nombrado profesor de matemáticas y luego de astronomía en la Facultad de Ciencias de Montpellier, que abandonó dos años después, en 1896, para ir a la Facultad de Lyon. En 1901 se convirtió en examinador de ingreso en la Escuela Naval.

Se casó en 1903 y el 1 de agosto de ese año fue encargado del curso de cálculo diferencial e integral en la Facultad de Ciencias de Nancy, en sustitución de su antiguo profesor Émile Lacour. Élie Cartan se convirtió en titular de la cátedra el 1 de noviembre de 1904, cuando tenía 35 años. También se encargó de enseñar los elementos de análisis a los estudiantes del instituto de electrotecnia y mecánica aplicada. En 1909, Élie Cartan fue nombrado profesor de la Facultad de Ciencias de la Universidad de París, en sustitución de Jacques Hadamard, que fue destinado al Collège de France.

De 1910 a 1912 se encargó del curso de matemáticas generales por intercambio de enseñanza con Claude Guichard. Durante este periodo puso en marcha los trabajos prácticos de matemáticas generales que consistían en la realización de cálculos prácticos como la resolución aproximada de ecuaciones, el cálculo aproximado de integrales definidas, el uso de tablas que daban los valores numéricos de las funciones enteras y de las integrales elípticas o el uso de aparatos de cálculo. Un centenar de estudiantes siguen estos ejercicios. También se encargó del servicio de exámenes de Paul Painlevé, que fue elegido adjunto a la cátedra de matemáticas generales.

A partir de 1909 también enseñó en la Escuela de Física y Química Industrial de la ciudad de París. En 1912, tras la muerte de Jules Tannery5, fue nombrado titular de la segunda cátedra de cálculo diferencial e integral, creada tras la integración de la École normale supérieure en la Universidad de París en 1904. Durante más de 20 años, fue delegado parcial o totalmente (14 años) en la École normale supérieure para impartir clases de matemáticas.

En 1920 fue trasladado a la cátedra de mecánica racional (en sustitución de Paul Painlevé). En 1922 se le encargó el curso de mecánica analítica y mecánica celeste (en sustitución de Paul Painlevé6 ) y Paul Montel, titular de la cátedra de matemáticas generales, se encargó del curso de mecánica racional. En 1924, sucedió a Claude Guichard en la cátedra de geometría superior. Cuando se creó la biblioteca del Instituto Henri-Poincaré en 1928, la biblioteca y la sala de modelos del laboratorio de geometría superior se trasladaron allí.

Fue elegido miembro de la Academia de Ciencias en 1931. Se retiró de la universidad en 1940 y se convirtió en miembro del Bureau des Longitudes en 1945. Fue miembro extranjero de la Academia Rumana.

La escuela de su ciudad natal, Dolomieu, lleva su nombre, al igual que el instituto7 de La Tour-du-Pin, subprefectura de Isère, y el Instituto Élie Cartan de Nancy de la Universidad de Lorena.

## Labor matemática

En su propia opinión, el tema principal de sus trabajos (186 publicados durante el período 1893-1947) fue la teoría de grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre el material fundacional de las álgebras de Lie simples complejas, ordenando el trabajo previo de Friedrich Engel y Wilhelm Killing. Esto dio como resultado la clasificación definitiva, con la identificación de las cuatro familias principales y de los cinco casos excepcionales. También introdujo el concepto de grupo algebraico, que no sería desarrollado seriamente antes de 1950.

Definió la noción general de forma diferencial antisimétrica, del modo en el que se utiliza actualmente; su enfoque a los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan requería 2-formas para su determinación. En aquella época, lo que se dio en llamar sistemas de Pfaff (es decir, ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) eran de uso general; por medio de la introducción de las variables nuevas para las derivadas, y formas adicionales, se pudo llegar a una formulación muy general de los sistemas de EDP. Cartan agregó la derivada exterior, como operación enteramente geométrica e independiente de las coordenadas, lo que conduce naturalmente a la necesidad de discutir p-formas, de grado general p. Cartan reconoció la influencia en él de la teoría general de Riquier de EDP.

Con estos fundamentos (Grupos de Lie y formas diferenciales) produjo un gran corpus de trabajo, y también algunas técnicas generales, como el marco móvil, que quedaron incorporadas gradualmente en la corriente principal de las matemáticas.

## Obras

Sus primeras investigaciones matemáticas versaron sobre grupos y álgebras de Lie. En 1894 escribió una clasificación de estos últimos en el campo de los números complejos. A continuación, se dedicó a la teoría de las álgebras asociativas. Hacia 1910, introdujo la noción de espín, un vector complejo que permite expresar las rotaciones del espacio mediante una representación bidimensional, antes del descubrimiento del espín de las partículas elementales en la física cuántica.

Ya en 1922 contribuyó a perfeccionar ciertas herramientas matemáticas de la relatividad general (en particular los tensores de Ricci), ampliando la geometría de Riemann a lo que sería la geometría de Riemann-Cartan. Élie Cartan introdujo y clasificó los espacios simétricos. También introdujo la noción de grupo algebraico, que sólo se desarrolló seriamente en la segunda mitad del siglo XX.

Teórico de talento, Élie Cartan también tenía una gran capacidad para hacer que sus alumnos comprendieran los conceptos más difíciles. Desempeñó un importante papel en la formación de matemáticos en el periodo de entreguerras9.

Sus trabajos comprendieron 15 áreas. Usando terminología moderna, son estas:

* Los grupos de Lie
* Las representaciones de grupos de Lie
* Los números hipercomplejos, las álgebras de división
* Los sistemas de EDPs, teorema de Cartan-Kähler
* Teoría de equivalencia
* Los conjuntos integrables, teoría de prolongación y de los sistemas en involución
* Los grupos y pseudogrupos infinito-dimensionales
* Geometría diferencial y los marcos móviles
* Espacios generalizados con grupos de estructura y conexión, conexión de Cartan, holonomía, tensor de Weyl
* Geometría y topología de los grupos de Lie
* Geometría de Riemann
* Los espacios simétricos
* La topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos
* Invariantes integrales y mecánica clásica
* Relatividad, los espinores

## Reconocimientos

* El cráter lunar Cartan lleva este nombre en su honor.
