Subgrupo normal
# Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido $N$ de un grupo $G$ es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento $n\in N$ y cada $g\in G$, el elemento $gng^{-1}$ está en $N$. Se denota $N\triangleleft G$.

## Definición

* Un subgrupo $N$ de un grupo $G$ se llama subgrupo normal del grupo $G$ si las clases laterales por la izquierda y por la derecha definidas por cualquier $g\in G$ coinciden, es decir, $gN=Ng\quad \forall g\in G$.

### Definiciones equivalentes

* Sea $G$ un grupo y $N<G$ un subgrupo. Equivalen:
* $N\triangleleft G$.
* $gng^{-1}\in N\quad \forall n\in N,\forall g\in G$.
* $gNg^{-1}\subset N\quad \forall g\in G$.
* $gNg^{-1}=N\quad \forall g\in G$.
* Demostración
* 1.$\Longrightarrow$2.
* Como $gN=Ng$, entonces $gn\in Ng$. Por tanto, $\exists n'\in N:gn=n'g\Longrightarrow gng^{-1}=n'\in N$.
* 2.$\Longleftrightarrow$3.
* Es claro.
* 3.$\Longrightarrow$4.
* Sea $g\in G$. Entonces, $g^{-1}N(g^{-1})^{-1}=g^{-1}Ng\subset N$. Por tanto, $N=g(g^{-1}Ng)g^{-1}\subset gNg^{-1}$ y se tiene la igualdad.
* 4.$\Longrightarrow$1.
* Sea $n\in N$ y $g\in G$.
* $gng^{-1}\in gNg^{-1}=N\Longrightarrow \exists n'\in N:gng^{-1}=n'\in N\Longrightarrow gn=n'g\Longrightarrow gN\subset Ng$.
* Además, se tiene que $ng=g(g^{-1}n(g^{-1})^{-1})\in gN\Longrightarrow Ng\subset gN$.
* Por tanto, $gN=Ng\Longrightarrow N\triangleleft G$.

## Propiedades

* $\{e\}$ y $G$ son siempre subgrupos normales de $G$. Si éstos son los únicos subgrupos normales de $G$, se dice que $G$ es simple.
* Los subgrupos normales de cualquier grupo $G$ forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son $\{e\}$ y $G$, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
* Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
* Si $N<G$ es de índice 2 ($[G:N]=2$) entonces $N$ es normal en $G$.
* El centro de un grupo es normal en el grupo.

## Grupo cociente

Sea $G$ un grupo y $N\triangleleft G$. Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de $N$ en $G$, y lo denotaremos $G/N$.

Podemos definir en $G/N$ la operación $gN*hN=(gh)N\quad \forall g,h\in G$ (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

* Llamamos grupo cociente de $G$ sobre $N$ al grupo $(G/N,*)$, formado por el conjunto de clases laterales de $N$ en $G$ y operación definida como $gN*hN=(gh)N\quad \forall g,h\in G$.
* La proyección canónica $p:G\longrightarrow G/N,\quad p(g)=gN$ es un homomorfismo de grupos.

## Grupos normales y homomorfismos

* Sean $G$ y $H$ grupos y sea $f:G\longrightarrow H$ un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de $f$ es normal en $G$: $\ker(f)\triangleleft G$. De hecho, un subgrupo $N<G$ es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos $f:G\longrightarrow H$ tal que $\ker(f)=N$.
