Permutación con repetición
# Permutación con repetición

Una permutación con repetición consiste en una permutación de m elementos, de los cuales hay varios que son iguales entre sí. Y por tanto, a la hora de calcular las distintas formas de ordenar los m elementos hay diferencias con respecto a si no hubiese elementos iguales.

## Definición

Dado un conjunto finito A de m elementos distintos, se entiende como permutaciones de ellos a las distintas formas en las que pueden ordenarse. El número de permutaciones (órdenes) distintos de los m elementos es m!, es decir, el factorial del número de elementos.

$Pm=m!=m(m-1)(m-2)\cdots 1\,\!$.

Por ejemplo, dado un conjunto A = {1, 2, 3} (n.º de elementos = m = 3), las permutaciones de los elementos de dicho conjunto son: 123, 132, 213, 231, 312 y 321. Se obtiene 6 ordenaciones distintas de los elementos y se verifica que n.º de permutaciones = 3! = 6.

## Permutaciones con repetición

Supongamos que en el conjunto de los m elementos no son todos distintos entre sí, sino que hay un elemento $x_1$ que se repite $m_1$ veces, un elemento $x_2$ que se repite $m_2$ veces, ..., un elemento $x_n$ que se repite $m_n$ veces.

Entonces, el número de permutaciones de los elementos que se repiten son:

Permutaciones de $x_1$ → $m_1!$

Permutaciones de $x_2$ → $m_2!$

Permutaciones de $x_n$ → $m_n!$

Estas permutaciones de elementos idénticos son iguales entre sí. Y por lo tanto, las diferentes formas que ordenar los m elementos serían:

    ${P}_{m}^{m_{1},m_{2},...,m_{n}}={\frac {m!}{{m}_{1}!{m}_{2}!...{m}_{n}!}}$

## Ejemplos

* ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con {1, 1, 1, 2, 2}?

    ${P}_{5}^{3,2}={\frac {5!}{3!2!}}={\frac {120}{12}}=10$
* Si se sabe que se lanza una moneda 10 veces y se obtiene el mismo número de caras que de cruces, ¿cuántas formas posibles y diferentes hay de que haya ocurrido esto?

    ${P}_{10}^{5,5}={\frac {10!}{5!5!}}={\frac {3628800}{14400}}=252$
* En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

    ${P}_{9}^{3,2,4}={\frac {9!}{3!2!4!}}={\frac {362880}{288}}=1260$
