Función generadora de probabilidad
# Función generadora de probabilidad

## Definición

Si $X$ es una variable aleatoria entonces la función generatriz de probabilidades de $X$ se define como las siguiente:

    $G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]$

para ciertos valores $t$ tal que la esperanza exista.

En ocasiones se escribe $G(t)$ en lugar de $G_{X}(t)$ y se utilizan las letras f.g.p para referirse a la función generatriz de probabilidades.

## Cálculo de la f.g.p.

### Variables aleatorias discretas

Si $X$ es una variable aleatoria discreta entonces su función generatriz de probabilidades está dada por:

    $G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\sum \limits _{k=0}^{\infty }t^{k}P(X=k)$

donde $P(X=k)$ con $k=0,1,\dots$ denota la función de probabilidad.

A partir de lo anterior, no es difícil ver que

    $G_{X}(1)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }P(X=k)=1$

### Variables aleatorias continuas

Si $X$ es una variable aleatoria continua entonces su función generatriz de probabilidades está dada por

    $G_{X}(t)={\text{E}}\left[t^{X}\right]=\int _{x\in S}t^{x}f(x)dx$

donde $f(x)$ denota la función de densidad y $S$ denota el soporte de la variable aleatoria.

## Propiedades

Para una variable aleatoria discreta $X$ se pueden obtener las distribuciones de probabilidad $P(X=k)$ como

    $\displaystyle P(X=k)={\frac {1}{k!}}\left.{\frac {d^{k}G_{X}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}$

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes con f.g.p. $G_{X}(t)$ y $G_{Y}(t)$ respectivamente entonces

    $G_{X+Y}(t)=G_{X}(t)G_{Y}(t)$.

## f.g.p. para algunas distribuciones discretas

Si $X\sim {\text{Uniforme}}(x_{1},\dots ,x_{n})$ entonces

    $G_{X}(t)={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}t^{x_{i}}$.

Si $X\sim {\text{Bernoulli}}(p)$ entonces

    $G_{X}(t)=1-p+pt$.

Si $X\sim {\text{Binomial}}(n,p)$ entonces

    $G_{X}(t)=(1-p+pt)^{n}$.

Si $X\sim {\text{Geométrica}}(p)$ entonces

    $G_{X}(t)={\frac {p}{1-t(1-p)}}$.

Si $X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )$ entonces

    $G_{X}(t)=e^{-\lambda (1-t)}$.
