Extensión de Kan
# Extensión de Kan

Las extensiones de Kan son construcciones universales en teoría de categorías, una rama de las matemáticas. Están estrechamente relacionadas con las adjunciones, pero también con los límites y los fines. Reciben su nombre de Daniel M. Kan, que construyó algunas de estas extensiones usando límites en 1960.

## Definición

Una extensión de Kan se define fijadas tres categorías $\mathbb {A} ,\mathbb {B} ,\mathbb {C}$ y dos funtores $X\colon \mathbb {A} \to \mathbb {C}$ y $F\colon \mathbb {A} \to \mathbb {B}$. Pueden considerarse extensiones de Kan "izquierdas" y extensiones de Kan "derechas".

Formalmente, la extensión de Kan derecha de $X$sobre $F$consiste en un funtor $R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C}$ una transformación natural $\eta \colon RF\to X$ que es couniversal con respecto a su especificación. Es decir, para cualquier funtor $M\colon \mathbb {B} \to \mathbb {C}$ $M\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C}$ transformación natural $\mu \colon MF\to X$, existe una única transformación natural $\delta \colon M\to R$ cumpliendo que $\eta \circ \delta _{F}=\mu$.

El funtor $R$ suele notarse como $\operatorname {Ran} _{F}X$.

