Inmanente (matemáticas)
# Inmanente (matemáticas)

En matemáticas, el inmanente de una matriz fue definido por Dudley E. Littlewood y Archibald Read Richardson como una generalización de los conceptos de determinante y permanente.

Sea $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )$ una partición de un entero $n$ y sea $\chi _{\lambda }$ el correspondiente carácter de la representación teorética irreducible del grupo simétrico $S_{n}$. El inmanente de una matriz $A=(a_{ij})$ de orden $n\times n$ asociado con el carácter $\chi _{\lambda }$ se define como la expresión

    $\operatorname {Imm} _{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$

## Ejemplos

El determinante es un caso especial del inmanente, donde $\chi _{\lambda }$ es el carácter alternante $\operatorname {sgn}$, de $S_n,$ definido por la paridad de una permutación.

El permanente es el caso donde $\chi _{\lambda }$ es el carácter trivial, que es idénticamente igual a 1.

Por ejemplo, para las matrices $3\times 3$, hay tres representaciones irreducibles de $S_{3}$, como se muestra en la tabla de caracteres:

| $S_{3}$ | $e$ | $(1\ 2)$ | $(1\ 2\ 3)$ |
| - | - | - | - |
| $\chi _{1}$ | 1 | 1 | 1 |
| $\chi _{2}$ | 1 | −1 | 1 |
| $\chi _{3}$ | 2 | 0 | −1 |

Como se indicó anteriormente, $\chi _{1}$ produce el permanente y $\chi _{2}$ produce el determinante, pero $\chi _{3}$ produce la operación que aplica los valores de la siguiente manera:

    ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}$

## Propiedades

El inmanente comparte varias propiedades con el determinante y el permanente. En particular, el inmanente es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanente es invariante ante permutaciones simultáneas de las filas o columnas por el mismo elemento del grupo simétrico.

Littlewood y Richardson estudiaron la relación del inmanente con las funciones de Schur en la teoría de la representación del grupo simétrico.

Las condiciones necesarias y suficientes para que el inmanente de una matriz de Gram sea $0$ vienen dadas por el teorema de Gamas.

