Modelo de ecuaciones simultáneas
# Modelo de ecuaciones simultáneas

El Modelo de ecuaciones simultáneas es un modelo estadístico que viene dado por un conjunto de ecuaciones lineales. A menudo se utilizan en econometría para encontrar valores de los parámetros que se encuentran correlacionados y que suceden paralelamente, por ejemplo, en las estimaciones de la oferta

## Forma estructural y reducida

Supongamos que hay m ecuaciones de regresión de la forma:

    $y_{it}=y_{-i,t}'\gamma _{i}+x_{it}'\;\!\beta _{i}+u_{it},\quad i=1,\ldots ,m,$

donde i es en número de la ecuación, y t = 1, …, T es el índice de la observación. En estas ecuaciones $x_{it}$ es el $k_i×1$ vector de variables exógenas, $y_{it}$ la variable dependiente, $y_{−i,t}$ es el $n_i×1$ vector de todas las demás variables endógenas que entran en la ecuación $i^{th}$ del lado derecho, y $u_{it}$ son los términos de error. La notación “−i” indica que el vector $y_{−i,t}$ puede contener cualquiera de los y’s excepto el $y_{it}$ ((puesto que ya está presente en el lado izquierdo). Los coeficientes de regresión $β_i$ y $γ_i$ son de dimensiones $k_i×1$ y $n_i×1$ respectivamente. Verticalmente apilando las T observaciones correspondientes a la ecuación $i^{th},$ podemos escribir cada ecuación en forma vectorial como:

    $y_{i}=Y_{-i}\gamma _{i}+X_{i}\beta _{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots ,m,$

donde $y_i$ y $u_i$ son T×1 vectores, $X_i$ es una $T×k_i$ matriz de regresores exógenos, y $Y_{−i}$ es una $T×n_i$ matriz de regresores endogeneos del lado derecho de la ecuación $i^{th}.Finalmente,$ se puede mover todas las variables endógenas a la izquierda y escribir las ecuaciones m conjuntamente en forma vectorial como:

    $Y\Gamma =X\mathrm {B} +U.\,$

Esta representación se conoce como la forma estructural. En esta ecuación Y = $[y_1$ $y_2$ … $y_m]$ es la T×m matriz de variables independientes. Cada una de las matrices de $Y_{−i}$ es de hecho una submatriz $n_i$ columnas de esta Y. La matriz m×m Γ, que describe la relación entre las variables dependientes, tiene una estructura complicada. Tiene unos en la diagonal, y todos los otros elementos de cada columna i son o bien los componentes del vector de $−γ_i$ o ceros, dependiendo de que se incluyeron columnas de Y en la matriz $Y_{−i}.$ La T×k matriz X ccontiene todos los regresores exógenos de todas las ecuaciones, pero sin repeticiones (es decir, la matriz X debe ser de rango completo). Así, cada $X_i$ es una $k_isubmatriz$ X. La matriz Β tiene un tamaño k×m, y cada una de sus columnas consta de los componentes de los vectores de $β_i$ y ceros, dependiendo de cuál de los regresores de X fueron incluidos o excluidos de $X_i.$ Finalmente, U = $[u_1$ $u_2$ … $u_m]$ es una T×m matriz de los términos de error.

Postmultiplicando la ecuación estructural por Γ -1, el sistema se puede escribir en la forma reducida como

    $Y=X\mathrm {B} \Gamma ^{-1}+U\Gamma ^{-1}=X\Pi +V.\,$

Este ya es un simple modelo lineal general, y se puede estimar, por ejemplo, por mínimos cuadrados ordinarios. Por desgracia, la tarea de descomponer la matriz estimada $\scriptstyle {\hat {\Pi }}$ en los factores individuales y Β $Γ^{−1}$ es bastante complicado, y por lo tanto la forma reducida es más adecuada para la predicción, pero no para la inferencia.

### Supuestos

En primer lugar, el rango de la matriz X de regresores exógenos debe ser igual a k, tanto en muestras finitas y en el límite como T → ∞ (significa esto más adelante requisito de que en el límite de la expresión $\scriptstyle {\frac {1}{T}}X'\!X$ debe converger a un no degenerada k × k matriz). Matriz Γ también se supone que es no degenerada.

En segundo lugar, los términos de error se asumen como serie independiente e idénticamente distribuidas . Es decir, si la t ª fila de la matriz T se denota por u (t), entonces la secuencia de vectores {u (t)} debe ser iid, con media cero y algunos matriz de covarianza Σ (que es desconocido). En particular, esto implica que E [U] = 0, y E [U'u] = T Σ.

Por último, las condiciones de identificación requiere que el número de incógnitas en este sistema de ecuaciones no debe exceder el número de ecuaciones. Más específicamente, la condición de la orden requiere que para cada ecuación k i n + i ≤ k, que puede expresarse como "el número de variables exógenas excluidas es mayor o igual que el número de variables endógenas incluidos". La condición rango de identificabilidad es que el rango (i Π 0) = n i, donde i Π es 0 a (k - k i) i × n matriz que se obtiene de Π tachando esas columnas que corresponden a las variables endógenas excluidos , y aquellas filas que corresponden a las variables exógenas incluidos.

## Estimación

### Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

El más simple y el más común es el método de estimación para el modelo de ecuaciones simultáneas llamado método de mínimos cuadrados en dos etapas, desarrollado de forma independiente por Theil (1953) y Basmann (1957). Es una técnica de ecuación por ecuación, donde los regresores endógenos en el lado derecho de cada ecuación se están equipados con la regresores X de todas las otras ecuaciones. El método se llama "en dos etapas", ya que lleva a cabo la estimación en dos etapas:

Paso 1: regresión de Y sobre $Y_{−i}$ y obtener los valores previstos $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$ Paso 2: Estimación $γ_i,$ $β_i$ por el de mínimos cuadrados ordinarios de regresión de $y_i$ sobre $\scriptstyle {\hat {Y}}_{\!-i}$ y $X_i.$

Si la ecuación i ª en el modelo se escribe como :

    $y_{i}={\begin{pmatrix}Y_{-i}&X_{i}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma _{i}\\\beta _{i}\end{pmatrix}}+u_{i}\equiv Z_{i}\delta _{i}+u_{i},$

donde $Z_i$ es una matriz de $T×(n_i$ + $k_i)$ de ambos regresores, endógenos y exógenos, en la $i^{th}$ ecuación, y $δ_i$ es un vector $(n_i$ + $k_i)$ unidimensional de coeficientes de regresión, entonces el estimador MC2E de $δ_i$ estará dado por

    ${\hat {\delta }}_{i}={\big{\hat {Z}}'_{i}{\hat {Z}}_{i}{\big )}^{-1}{\hat {Z}}'_{i}y_{i}={\bigZ'_{i}PZ_{i}{\big )}^{-1}Z'_{i}Py_{i},$

donde P = X (X $′X)^{−1}X$ ′ es la matriz de proyección sobre el espacio lineal atravesado por los regresores exógenos X.

## Mínimos cuadrados indirectos

Mínimos cuadrados indirectos es un enfoque en la econometría , donde los coeficientes en un modelo de ecuaciones simultáneas se estiman a partir de la forma reducida del modelo mediante mínimos cuadrados ordinarios. Para ello, el sistema estructural de ecuaciones se transforma en la forma reducida primero. Una vez estimados los coeficientes del modelo se vuelve a poner en la forma estructural.

### Tres etapas de mínimos cuadrados (MC3E)

El estimador de mínimos cuadrados de tres etapas se introdujo por Zellner y Theil (1962). Combina el estimador de dos etapas de mínimos cuadrados (MC2E) con regresiones aparentemente no relacionadas(SUR).

