Constante prima
# Constante prima

La constante prima es un número real $\rho$ cuyo $n$-ésimo dígito binario es 1 si $n$ es un número primo y 0 si $n$ es un número compuesto o 1.

En otras palabras, $\rho$ es el número cuya expansión binaria corresponde a la función indicatriz del conjunto de los números primos. Esto es,

    $\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}$

donde $p$ indica un primo y $\chi _{\mathbb {P} }$ es la función característica del conjunto $\mathbb {P}$ de números primos.

El comienzo de la expansión decimal de ρ es: $\rho =0.414682509851111660248109622\ldots$ (sucesión A051006 en OEIS)

El comienzo de la expansión binaria es: $\rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (sucesión A010051 en OEIS)

## Irracionalidad de ρ

Se puede demostrar que el número $\rho$ es irracional. Para ver por qué, supóngase que fuera racional.

Entonces, denótese el dígito $k$-ésimo de la expansión binaria de $\rho$ como $r_{k}$. Entonces, dado que se supone que $\rho$ es racional, su expansión binaria finalmente es periódica, por lo que existen $N$ y $k$ números enteros positivos tales que $r_{n}=r_{n+ik}$ para todos los $n>N$ y todo $i\in \mathbb {N}$.

Pero como según el teorema de Euclides hay un infinito número de primos, se puede elegir un primo $p>N$. Por definición, se sabe que $r_{p}=1$. Como se señaló, se tiene que $r_{p}=r_{p+ik}$ para todos los $i\in \mathbb {N}$. Ahora, considérese el caso de que $i=p$. Entonces, $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$, ya que $p(k+1)$ es compuesto porque $k+1\geq 2$. Dado que $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$, se concluye que $\rho$ es irracional.

