Función eta de Dedekind
# Función eta de Dedekind

La función eta de Dedekind o simplemente función η de Dedekind, nombrada así en honor al matemático alemán Richard Dedekind es una función holomorfa definida en el semiplano superior complejo $\mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}$ Esta función juega un papel fundamental en la teoría de funciones elípticas y funciones theta.

## Definición

La función η suele definirse mediante el siguiente producto:

    $\eta (\tau ):=e^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})$.

donde $q=e^{2\pi i\tau }$. De la definición se deduce inmediatamente que $\eta$ sobre $\mathbb {H}$ no tiene ceros.

La función η está estrechamente relacionada con su discriminante $\Delta$, de la siguiente manera

    $\Delta (\tau )\,=\,(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )$.

Para el cálculo de la función, se suele emplear el teorema del número pentagonal de Euler.

## Transformación y comportamiento

Las propiedades que se atribuyen a la función η se originan de su comportamiento de transformación en las sustituciones de los generadores del grupo modular

    $\Gamma :=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\{{\bigl{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}$,

es decir:

    $\eta (\tau +1)\,=\,e^{\pi i/12}\eta (\tau )$

y

    $\eta \left({\frac {-1}{\tau }}\right)={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\,\eta (\tau )$.
