Distribución del mínimo de una muestra
# Distribución del mínimo de una muestra

Sean las variables aleatorias $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución $F_{X}(x)$ y función de densidad $f_{X}(x)$. Sea también la variable $Y$ definida por: $Y=min(X_{1},X_{2},...,X_{n})$. Entonces, la función de distribución del mínimo de la muestra está dada por: $F_{Y}(y)=1-[1-F_{X}(y)]^{n}$, y su función de densidad: $f_{Y}(y)=n[1-F_{X}(y)]^{n-1}f_{X}(y)$.

## Demostración

Se parte de la demostración de la distribución del máximo de una muestra. Supongamos que $G(y)$ es la función de distribución de Y, entonces:

$G(y)=P(Y\leq y)=P(min(X_{1},...,X_{n})\leq y)$

A diferencia del máximo, el mínimo de $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ puede ser menor que $y$, mientras que muchos de los $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ pueden ser mayores. Por esta razón se trabaja con el complemento del evento $min(X_{1},X_{2},...,X_{n})\leq y$, es decir, con $min(X_{1},X_{2},...,X_{n})>y$.

Como $X_{i}\geq min(X_{1},...,X_{n})$ para $i=1,2,...,n$, el evento $min(X_{1},...,X_{n})>y$ es equivalente al evento $(X_{1}>y,X_{2}>y,...,X_{n}>y)$. Es decir sea mayor que un número $y$, cada una de las $X_{i}$ tiene que ser mayor que ese número $y$. Por lo tanto:

$G(y)=P(Y\leq y)$

$=P(min(X_{1},...,X_{n})\leq y)$

$=1-P(min(X_{1},...,X_{n})>y)$ (Complemento)

$=1-P(X_{1}>y,X_{2}>y,...,X_{n}>y)$

$=1-P(X_{1}>y)P(X_{2}>y)...P(X_{n}>y)$ (Independencia)

$=1-[P(X_{1}>y)]^{n}$ (Distribución idéntica)

$=1-[1-F(y)]^{n}$ (Definición)

Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:

$g(y)=G(y)'=(1-[1-F(y)]^{n})'=n[1-F(y)]^{n-1}f(y)$

