Extensión simple
# Extensión simple

En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos $L:K$ de manera que L está generado por un solo elemento, al cual se lo denomina elemento primitivo. Dicho de otro modo, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que

    L = K(ζ),

o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito como cociente de dos polinomios en ζ con coeficientes en K.

Si la extensión L/K es simple (es decir, si admite un elemento primitivo), entonces L puede ser una extensión finita de K (caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K), o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada (en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K).

## Construcción

Sean $L$ y $K$ dos cuerpos de manera que $L$ es extensión de $K$. Se define la extensión generada por $\alpha$ sobre $K$ como el conjunto

    $K(\alpha ):=\{{\tfrac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x],g(\alpha )\neq 0\}$.

Así $K(\alpha )$ es exactamente el conjunto de los valores que se obtienen al evaluar en $\alpha$ todas las funciones racionales definidas en $K$.

### Propiedades

* $K(\alpha )$ es un subconjunto de $L$:

    Todo elemento de $K[x]$ está también en $L[x]$, y como $\alpha \in L$, si $f\in K[x]$ entonces $f(\alpha )\in L$. Si $g\in K[x]$ entonces es $g(\alpha )\in L$, y si $g(\alpha )\neq 0$, existe $g(\alpha )^{-1}\in L$. Así pues, ${\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:=f(\alpha )\cdot g(\alpha )^{-1}\in L$ y es $K(\alpha )\subset L$.
* De hecho, $K(\alpha )$ es subcuerpo de $L$.

    Definimos las operaciones suma y producto en $K(\alpha )$ como las restricciones a $K(\alpha )$ de las operaciones del cuerpo de cocientes de $L$, i.e., si ${\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}},{\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}\in K(\alpha )$ , entonces:
       $\mathrm {i} )\quad {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}+{\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}:={\frac {f(\alpha )q(\alpha )+p(\alpha )g(\alpha )}{g(\alpha )q(\alpha )}}$
       $\mathrm {ii} )\quad {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}\cdot {\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}:={\frac {f(\alpha )\cdot p(\alpha )}{g(\alpha )q(\alpha )}}$.
    Por ser $K[x]$ un anillo y $L$ un cuerpo, es sencillo demostrar que la suma y el producto así definidos en $K(\alpha )$ son operaciones internas en $K(\alpha )$.
    Como $L$ es cuerpo, en particular es dominio de integridad, y por la Propiedad Universal del Cuerpo de Cocientes de un Dominio Íntegro, el cuerpo de cocientes de $L$ es $Q(L)=L$ (el menor cuerpo que contiene a $L$ es el propio $L$). Así se demuestra que $K(\alpha )$, con las operaciones así definidas, es subcuerpo de $L$.
* $K$ es un subconjunto de $K(\alpha )$

    Para comprobar que $K\subset K(\alpha )$, basta con tomar el cociente ${\frac {a(\alpha )}{1(\alpha )}}={\frac {a}{1}}=a$ para cada $a\in K$ (donde identificamos $a\in K$ con el polinomio constante $a(x)=a\in K[x]$). Además, como las operaciones en $L$ son las extensiones de las operaciones en $K$, es inmediato que $K$ es subcuerpo de $K(\alpha )$.
    Tomando el polinomio $x\in K[x]$, entonces es $\alpha ={\frac {\alpha }{1}}={\frac {x(\alpha )}{1(\alpha )}}$, luego $\alpha \in K(\alpha )$.
    Todo esto demuestra que $K(\alpha )$ es una extensión de $K$ y subcuerpo de $L$.
* Finalmente, $K(\alpha )$ es la menor extensión de $K$ que contiene a $\alpha$:

    Sea ahora una extensión $E$ de $K$ de forma que $\alpha \in E$. Como $K(\alpha ):=\{{\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}:f,g\in K[x],g(\alpha )\neq 0\}$ y $K\subset E$, si $f,g\in K[x]$, entonces $f,g\in E[x]$, y como $\alpha \in E$, entonces $f(\alpha ),g(\alpha )\in E$. Por último, como $E$ es cuerpo, si $g(\alpha )\neq 0$, entonces existe $g(\alpha )^{-1}\in E$ y ${\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}\in E$, luego $K(\alpha )\subset E$.
    Queda entonces demostrado que $K(\alpha )$ es la menor extensión de $K$ que contiene a $\alpha$. A este proceso se le denomina a veces adjunción de un elemento $\alpha$ a un cuerpo $K$.

### Observaciones

Una extensión simple $K(\alpha ):K$ puede ser algebraica o trascendente, dependiendo de si $\alpha$ es un elemento algebraico o trascendente sobre $K$. Si $\alpha$ es trascendente, entonces el grado $[K(\alpha ):K]$ de la extensión es infinito. Si $\alpha$ es algebraico, entonces el grado $[K(\alpha ):K]$ de la extensión es finito. En concreto, $[K(\alpha ):K]=\deg(m_{\alpha }^{k})$, siendo $m_{\alpha }^{K}$ el polinomio mónico irreducible de $\alpha$ sobre $K$. Se deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.

Recíprocamente, si la extensión L/K admite un elemento primitivo, entonces L puede ser una extensión finita de K, caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K, o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada, en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K.

## Teorema del elemento primitivo

El teorema del elemento primitivo responde a la pregunta de qué extensiones finitas de cuerpos tienen elementos primitivos, es decir, son simples. Por ejemplo, no es obvio que si se junta al cuerpo Q de números racionales las raíces de los siguientes polinomios

    $X^2$ − 2

y

    $X^2$ − 3,

llamadas α y β respectivamente, para obtener un cuerpo K = Q(α, β) de grado 4 sobre Q, donde K es Q(γ) para un elemento primitivo γ. De hecho, se puede ver que

    γ = α + β

Las potencias de $γ^i$ para 0 ≤ i ≤ 3 pueden ser expresadas como combinación lineal de 1, α, β y αβ a coeficientes enteros. Tomando dichas igualdades como un sistema lineal de ecuaciones, se puede resolver para α y β sobre Q(γ), la cual cosa implica que dicha elección de γ es en realidad un elemento primitivo en este ejemplo.

### Enunciado

En general, el teorema del elemento primitivo se enuncia de la siguiente forma:

* La extensión de cuerpo L/K es finita y tiene un elemento primitivo si y solo si hay un número finito de subextensiones de cuerpos F con K ⊆ F ⊆ L.

### Consecuencias

Un importante corolario de dicho teorema afirma:

* Toda extensión separable finita L/K tiene un elemento primitivo.

Dicho corolario es aplicable al ejemplo expuesto más arriba (y a muchos similares), ya que Q tiene característica 0 por lo que toda extensión finita sobre Q es separable.

Para extensiones inseparables (o no separables), se puede afirmar lo siguiente:

* Si el grado de la extensión [L:K] es un número primo, entonces L/K tiene un elemento primitivo.

Si el grado de la extensión no es un número primo y la extensión no es separable, se pueden encontrar contraejemplos. Por ejemplo, si K es $F_p(T,U),$ el cuerpo de las funciones racionales con dos indeterminadas T y U sobre el cuerpo finito con p elementos, y L se obtiene a partir de K adjuntando una raíz pesima de T, y de U, entonces no existe ningún elemento primitivo de L sobre K. De hecho se puede ver que para cualquier α en L, el elemento $α^p$ pertenece a K. Además tenemos que [L:K] = $p^2$ pero no existen elementos de L con grado $p^2$ sobre K, como un elemento primitivo debería tener.

