Función de Dawson
# Función de Dawson

En matemáticas, la función de Dawson o integral de Dawson (llamada así por H. G. Dawson) es la transformada del seno de un lado de Fourier-Laplace, de la función gaussiana.

## Definición

La función de Dawson puede definirse como

    $D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt$,

también denotada por F(x) o D(x), o alternativamente como

    $D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$.

La función de Dawson es la transformada del seno de Fourier-Laplace de un solo lado, de la función gaussiana,

    $D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.$

Está estrechamente relacionada con la función error erf, mediante

    $D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)$

donde erfi es la función error imaginaria, erfi(x) = −i erf(ix). Similarmente,

    $D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)$

en términos de la función error real, erf.

En términos tanto de erfi como de la función de Faddeeva w(z), la función de Dawson se puede extender al plano complejo completo:

    $F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],$

lo que se simplifica a:

    $D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]$
    $D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]$

para x real.

Para |x| cercano a cero, 1 = F(x) ≈ x. Para |x| grande, 1 = F(x) ≈ 1/(2x). Más específicamente, cerca del origen tiene la expansión por series

    $F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,$

mientras que para x grandes tiene la expansión asintótica

    $F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots ,$

donde n!! es el doble factorial de n.

F(x) satisface la ecuación diferencial

    ${\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!$

de condición inicial F(0) = 0. Consecuentemente, tiene extremos para

    $F(x)={\frac {1}{2x}},$

lo que resulta en x = ±0.92413887… (A133841), F(x) = ±0.54104422… (A133842).

Los puntos de inflexión siguen para

    $F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},$

lo que resulta en x = ±1.50197526… (A133843), F(x) = ±0.42768661… (A245262). (Aparte del punto de inflexión trivial en x = 0, F(x) = 0).

## Relación con la transformada de Hilbert del gaussiano

La transformada de Hilbert del gaussiano se define como:

    $H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx$

P.V. denota el valor principal de Cauchy, y nos restringimos a $y$ real. $H(y)$ se puede relacionar a la función de Dawson de la siguiente forma: Dentro de una integral de valor principal, podemos tratar a $1/u$ como una función generalizada o distribución, y usamos la representación de Fourier

    ${1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}$.

Con $1/u=1/(y-x)$, usamos la representación exponencial de $\sin(ku)$ y completamos cuadrado con respecto a $x$ para hallar

    $\pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}]$.

Podemos cambiar la integral de $x$ al eje real, y nos da $\pi ^{1/2}$. Luego

    $\pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]$.

Completando cuadrado respecto a $k$ se obtiene

    $\pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}]$.

Cambiamos de variable $u=ik/2+y$:

    $\pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}$.

La integral se puede hacer como una integral de contorno alrededor de un rectángulo en el plano complejo. Tomando la parte imaginaria del resultado, resulta

    $H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)$

donde $F(y)$ es la función de Dawson definida arriba.

La transformada de Hilbert de $x^{2n}e^{-x^{2}}$ también está relacionada con la función de Dawson. Puede verse con la técnica de diferenciar dentro del signo de integración. Sea

    $H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx$

se introduce

    $H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx$.

La derivada número n es

    ${\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx$

Por tanto, se halla que

    $\left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}$

Primero se realizan las derivadas, luego el resultado evaluado en $a=1$. Un cambio de variable también da que $H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}})$. Como $F'(y)=1-2yF(y)$, se puede escribir $H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)$ donde $P_{1}$ y $P_{2}$ son polinomios. Por ejemplo, $H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y)$. En forma alternativa, $H_{n}$ se puede calcular usando la relación de recurrencia (para $n\geq 0$)

    $H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y$.
