Juego de Banach-Mazur
# Juego de Banach-Mazur

En topología general, la teoría de conjuntos y la teoría de juegos, un juego de Banach–Mazur es un juego topológico jugado por dos jugadores, tratando de precisar los elementos de un conjunto (espacio). El concepto de un juego Banach–Mazur está estrechamente relacionado con el concepto de espacio de Baire. Este juego fue el primer juego posicional infinito de información perfecta que se estudió. Fue introducido por Stanisław Mazur como el problema 43 del libro escocés, y Banach respondió a las preguntas de Mazur al respecto.

## Definición

Sea $Y$ ser un espacio topológico no vacío, $X$ un subconjunto fijo de $Y$ y ${\mathcal {W}}$ una familia de subconjuntos de $Y$ que tienen las siguientes propiedades:

* Cada miembro de ${\mathcal {W}}$ tiene interior no vacío.
* Cada subconjunto abierto no vacío de $Y$ contiene un miembro de ${\mathcal {W}}$.

Los jugadores, $P_{1}$ y $P_{2}$ elegir alternativamente elementos de ${\mathcal {W}}$ para formar una secuencia $W_{0}\supseteq W_{1}\supseteq \cdots .$

$P_{1}$ gana si y solo si

    $X\cap \left(\bigcap _{n<\omega }W_{n}\right)\neq \emptyset .$

De otra manera, $P_{2}$ gana. A esto se le llama un juego general de Banach-Mazur y se denota por $MB(X,Y,{\mathcal {W}}).$

## Propiedades

* $P_{2}$ tiene una estrategia ganadora si y solo si $X$ es de la primera categoría en $Y$ (un conjunto es de la primera categoría o escaso si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte).
* Si $Y$ es un espacio métrico completo, $P_{1}$ tiene una estrategia ganadora si y solo si $X$ es comeager en algún subconjunto abierto no vacío de $Y.$
* Si $X$ tiene la propiedad de Baire en $Y$, entonces $MB(X,Y,{\mathcal {W}})$ está determinado.
* Los espacios tamizables y fuertemente tamizables introducidos por Choquet se pueden definir en términos de estrategias estacionarias en modificaciones adecuadas del juego. Dejar $BM(X)$ denota una modificación de $MB(X,Y,{\mathcal {W}})$ donde $X=Y,{\mathcal {W}}$ es la familia de todos los conjuntos abiertos no vacíos en $X$ y $P_{2}$ gana un juego $(W_{0},W_{1},\cdots )$ si y solo si $\cap _{n<\omega }W_{n}\neq \emptyset .$

    Entonces $X$ es tamizable si y solo si $P_{2}$ tiene una estrategia ganadora estacionaria en $BM(X).$
* Una estrategia ganadora de Markov para $P_{2}$ en $BM(X)$ puede reducirse a una estrategia ganadora estacionaria. Además, si $P_{2}$ tiene una estrategia ganadora en $BM(X)$, entonces $P_{2}$ tiene una estrategia ganadora que depende solo de dos movimientos anteriores. Todavía es una cuestión sin resolver si una estrategia ganadora para $P_{2}$ puede reducirse a una estrategia ganadora que depende sólo de los dos últimos movimientos de $P_{1}$.
* $X$ se llama débilmente $\alpha$-favorable si $P_{2}$ tiene una estrategia ganadora en $BM(X)$. Entonces, $X$ es un espacio de Baire si y solo si $P_{1}$ no tiene una estrategia ganadora en $BM(X)$. De ello se deduce que cada débil $\alpha$-favorable es un espacio de Baire.

El caso especial más común surge cuando $Y=J=[0,1]$ y ${\mathcal {W}}$ constan de todos los intervalos cerrados en el intervalo unitario. Entonces $P_{1}$ gana si y solo si $X\cap (\cap _{n<\omega }J_{n})\neq \emptyset$ y $P_{2}$ gana si y solo si$X\cap (\cap _{n<\omega }J_{n})=\emptyset$. Este juego se denota por $MB(X,J).$

