Transformación Box-Cox
# Transformación Box-Cox

Las transformaciones de Box y Cox son una familia de transformaciones potenciales usadas en estadística para corregir sesgos en la distribución de errores, para corregir varianzas desiguales (para diferentes valores de la variable predictora) y principalmente para corregir la no linealidad en la relación (mejorar correlación entre las variables). Esta transformación recibe el nombre de los estadísticos George E. P. Box y David Cox.

## Definición

La transformación potencial está definida como una función continua que varía con respecto a la potencia lambda ($\lambda$). Para los datos $(Y_1,...,$ $Y_n).$ se realiza la transformación $Y_{i}^{'}=Y_{i}^{\lambda }$ de la siguiente manera:

   $Y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}K_{1}(Y_{i}^{\lambda }-1)&\mathrm {si} \ \lambda \neq 0,\\\\K_{2}\ln(Y_{i})&\mathrm {si} \ \lambda =0\end{cases}}$

$K_2$ es la media geométrica de los valores $Y_1,$ ..., $Y_n.$

   $K_{2}={\bigg\prod _{i=1}^{n}Y_{i}{\bigg )}^{1/n}=(Y_{1}\cdot Y_{2}\cdot \dots \cdot Y_{n})^{1/n}$

y $K_1$ es un parámetro que depende de $K_2$ y de $\lambda$, así:

   $K_{1}={\dfrac {1}{\lambda \cdot K_{2}^{\lambda -1}}}$

## Procedimiento para la transformación

Para llevar a cabo una transformación potencial, dado un valor de lambda $\lambda$, se calcula primero la media geométrica de los valores $Y_1$ $(K_2).$ Después se sustituye este valor para calcular el parámetro $K_1.$

## Procedimiento para la selección del mejor valor de $\lambda$

Primero se deben seleccionar el rango de valores de lambda $\lambda$ de los cuales se quiere seleccionar el que logra que la transformación se acerque al máximo a los datos. Para cada valor de $\lambda$ se realiza la transformación del paso anterior. Finalmente se sustituyen los valores de la o las variables explicativas en las diferentes funciones y se calculan los cuadrados de los residuales estadísticos. Aquella que tenga el menor valor de la suma de residuales será la mejor opción. Note que $K_2$ es un valor fijo para todos los casos y que sólo hay que calcular de nuevo el valor $K_1.$

