Función de Möbius
# Función de Möbius

La función de Möbius μ(n), nombrada así en honor a August Ferdinand Möbius, es una función multiplicativa estudiada en teoría de números y en combinatoria.

## Definición

μ(n) está definida para todos los enteros positivos n y tiene valores en {-1, 0, 1} dependiendo en la factorización de n en sus factores primos. Se define como sigue:

* μ(n) = 1 si n es libre de cuadrados y tiene un número par de factores primos.
* μ(n) = -1 si n es libre de cuadrados y tiene un número impar de factores primos.
* μ(n) = 0 si n es divisible por algún cuadrado.

Una definición equivalente se define haciendo uso de las funciones ω(n) y Ω(n), donde:

* ω(n) obtiene el número de primos distintos que dividen el número.
* Ω(n) obtiene el número de factores primos de n, incluyendo sus multiplicidades. Claramente, ω(n) ≤ Ω(n).

Así, se define la función de Möbius como

   $\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{si }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{si }}\;\omega (n)<\Omega (n).\end{cases}}$

La definición implica que μ(1) = 1, ya que 1 tiene 0 factores primos distintos, por lo tanto, un número par.

## Representación

La tabla de valores de μ(n) para los veinte primeros números enteros positivos (sucesión A008683 en OEIS) es:

| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| μ(n) | 1 | −1 | −1 | 0 | −1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | −1 | 1 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |

Los 50 primeros valores de la función μ(n), representados en la gráfica siguiente:

## Propiedades y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa, y tiene gran relevancia en la teoría de las funciones multiplicativas y aritméticas puesto que aparece en la fórmula de inversión de Möbius. La suma sobre todos los divisores positivos de n de la función de Möbius es cero excepto cuando n = 1.

   $\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}n=1\\0&{\mbox{ si }}n>1.\end{cases}}$

Otras aplicaciones de μ(n) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de Pólya en grupos combinatorios.

### Teoría de números

En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius, y se define como:

   $M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)$

para todo número natural n. Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann.

