Distribución del máximo de una muestra
# Distribución del máximo de una muestra

Sean las variables aleatorias $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución $F_{X}(x)$ y función de densidad $f_{X}(x)$. Sea también la variable $Y$ definida por: $Y=max(X_{1},X_{2},...,X_{n})$. Entonces, la función de distribución del máximo de la muestra está dada por: $F_{Y}(y)=[F_{X}(y)]^{n}$, y su función de densidad: $f_{Y}(y)=n[F_{X}(y)]^{n-1}f_{X}(y)$.

## Demostración

Supongamos que $G(y)$ es la función de distribución de Y, entonces:

$G(y)=P(Y\leq y)=P(max(X_{1},...,X_{n})\leq y)$

Como $X_{i}\leq max(X_{1},...,X_{n})$ para $i=1,2,...,n$, el evento $max(X_{1},...,X_{n})\leq y$. es equivalente al evento $(X_{1}\leq y,X_{2}\leq y,...,X_{n}\leq y)$. Es decir, para que el máximo de $(X_{1},...,X_{n})$ sea menor que $y$.

$G(y)=P(Y\leq y)$

$=P(max(X_{1},...,X_{n})\leq y)$

$=P(X_{1}\leq y,X_{2}\leq y,...,X_{n}\leq y)$

$=P(X_{1}\leq y)P(X_{2}\leq y)...P(X_{n}\leq y)$ (Independencia)

$=[P(X_{1}\leq y)]^{n}$ (Distribución idéntica)

$=[F(y)]^{n}$ (Definición)

Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:

$g(y)=G(y)'=([F(y)]^{n})'=n[F(y)]^{n-1}f(y)$

