Unicursal
# Unicursal

En matemáticas, más precisamente en geometría, un curva plana se llama unicursal, o racional si admite un parametrización de modo que sus coordenadas $x$ e $y$ sean ambas fracciones racionales del parámetro.

## Ejemplos

### Recta

Una recta es unicursal, ya que admite una representación paramétrica de la forma

    $\left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+a\;t\\y=y_{0}+b\;t\end{array}}\right.$

donde $\left(x_{0},y_{0}\right)$ son las coordenadas de un punto de la línea, y ${\vec {n}}{\binom {a}{b}}$ es un vector director de la recta.

### Circunferencia

Una circunferencia es unicursal. Cuando tiene su centro en el origen de coordenadas y radio 1, tiene la siguiente representación paramétrica:

    $\left\{{\begin{array}{l}x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\\\y={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{array}}\right.$

De hecho, la imagen $\mathbb {R}$ de esta función no es la circunferencia completa, ya que carece del punto de coordenadas $\left(-1;0\right)$. Pero se admite que este punto es la imagen del $\infty$ por representación paramétrica. Este es un ejemplo de compacidad de Alexandrov de $\mathbb {R}$.

### Hipérbola

Las secciones cónicas no degeneradas también son unicursales. Por ejemplo, la parametrización racional de una hipérbola:

    $\left\{{\begin{array}{l}x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\\\y={\frac {2t}{1-t^{2}}}\end{array}}\right.$

### Curvas cúbicas

**Caracterización**

* Una curva cúbica es unicursal si y solamente si admite un punto doble, es decir, solamente si es nodal o cuspidal.

En particular, una curva elíptica no es unicursal.

**Ejemplos**

**Curva cúbica nodal**

El folium de Descartes tiene representación paramétrica

    $\left\{{\begin{array}{l}x={\frac {3t}{1+t^{3}}}\\\\y={\frac {3t^{2}}{1+t^{3}}}\end{array}}\right.$

El punto doble es el origen $(0,0)$ de coordenadas, obtenido para $t=0$ y para $t=\pm \infty$.

En general, los estrofoides son unicursales.

**Ejemplos**

**Curvas cúbicas cuspidales**

La cisoide de Diocles admite la representación paramétrica

    $\left\{{\begin{array}{l}x=t^{2}\\\\y=t^{3}\end{array}}\right.$

Es incluso más que racional, ya que $x$ e $y$ son incluso polinomios de $t$

### Cuárticas

Un ejemplo de una curva cuártica unicursal es la lemniscata de Bernoulli, cuya ecuación paramétrica es

    $\left\{{\begin{array}{l}x={\frac {2t}{1+t^{4}}}\\\\y={\frac {2t^{3}}{1+t^{4}}}\end{array}}\right.$

## Algebraicidad

### Proposición

Al eliminar $t$ entre $x$ e $y$, cualquier curva unicursal es algebraica.

### Recíproco

Una curva algebraica no es necesariamente unicursal. Es así solo si su género es 0.

**Ejemplo**

Se puede demostrar que la curva afín del plano de ecuación $(x^{2}-1)^{2}-2y^{3}-3y^{2}$ es de género 0. Por lo tanto, es unicursal y admite una parametrización racional, por ejemplo:

    ${\begin{cases}x&=t(2t^{2}-3)\\y&=2t^{4}-4t^{2}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

con $t={\frac {xy}{x^{2}-y-1}}$

**Contraejemplos**

Cónicas: una cónica degenerada no es unicursal. Por ejemplo, la 'curva' de la ecuación $x^{2}=1$ no tiene una representación paramétrica racional (una función de $t$ que toma solo los valores 1 y -1 no puede ser racional). Sin embargo, esta cónica degenerada consta de dos componentes, las dos líneas de ecuación $x=1$ y $x=-1$, que son unicursales por separado.

Cúbicas: las curvas cúbicas sin puntos dobles no son unicursales. De hecho, su género es 1. Por el contrario, una cúbica que tiene un punto doble es de género 0.

## Aplicaciones

### Puntos de coordenadas racionales

Si $t\in \mathbb {Q}$ (por ejemplo, si $t$ es un número entero), las coordenadas $x(t)$ y $y(t)$ son en sí mismas racionales. Por lo tanto, se puede usar la representación paramétrica de una curva unicursal para obtener puntos con coordenadas racionales de esta.

Ejemplo: la búsqueda de puntos con coordenadas racionales en el círculo de radio unidad (véase arriba) está vinculada a la de la terna pitagórica. Con $t=5$, se tiene

    $\left\{{\begin{array}{l}x={\frac {1-5^{2}}{1+5^{2}}}={\frac {1-25}{1+25}}=-{\frac {24}{26}}=-{\frac {12}{13}}\\\\y={\frac {2\times 5}{1+5^{2}}}={\frac {10}{1+25}}={\frac {5}{13}}\end{array}}\right.$

donde se localiza el triplete $(5,12,13)$.

### Nomogramas

John Clark Brixey usó representaciones paramétricas racionales del círculo y del folium de Descartes para crear nomogramas de la multiplicación (círculo graduado de doble entrada, con una recta graduada, y el folium triplemente graduado).

