Cuádrica
# Cuádrica

Una superficie cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: $P(x_{1},x_{2}...x_{n})=0\$

donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas $x_{1},x_{2}...x_{n}\$.

Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.

## Historia

Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.

## Definición algebraica

Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son $\{x_{1},x_{2},...x_{D}\}\,$, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:

    $\sum _{i,j=1}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{D}P_{i}x_{i}+R=0$

donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.

### Ecuación cartesiana

La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

    $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\,$
* La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.

Por ejemplo, la ecuación:

    $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz=0\$

es de segundo grado pero, también se puede escribir como:

    $(x+y+z)^{2}=0\$

que equivale a:

    $x+y+z=0\$,

una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.

* A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:

    $D=0,E=0,F=0$

entonces los términos lineales para cada variable:

    $Gx,Hy,Iz$

pueden asimilarse a los cuadráticos:

    $Ax^{2},By^{2},Cz^{2}$

mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, $(0,0,0)$, sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).

### Ecuación normalizada

La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:

    $\pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\pm 1=0$

## Tipos de cuádricas

Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:

| a≠b≠c → elipsoide | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,$ |
| - | - |
| a≠b → esferoide (caso particular de elipsoide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}-1=0\,$ |
| esfera (caso particular de esferoide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}-1=0\,$ |
| paraboloide |
| → paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$ |
| → paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide) | Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, |
| → paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$ |
| hiperboloide |
| → hiperboloide elíptico de una hoja (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,$ |
| → hiperboloide circular de una hoja (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,$ |
| → hiperboloide elíptico de dos hojas (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}+1=0\,$ |
| → hiperboloide circular de dos hojas (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}+1=0\,$ |
| cilindro |
| → cilindro elíptico (caso particular de cilindro) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0\,$ |
| → cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-1=0\,$ |
| → cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro) | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-1=0\,$ |
| → cilindro parabólico (caso particular de cilindro) | $x^{2}+2ay=0\,$ |
| cono elíptico | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$ |
| → cono circular (caso particular de cono elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$ |

En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.

