Constantes de Stieltjes
# Constantes de Stieltjes

En matemáticas, las constantes de Stieltjes $\gamma _{k}$ son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

    $\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}$

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

    $\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {\ln ^{n}k}{k}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}m}{n+1}}\right]}$

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de $0^0,$ que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

    $\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.$

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni $\gamma _{0}=\gamma =0.577...$.

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:

          nValores aproximados de $γ_n$ 00.5772156649015328606065120900824024310421 1-0.072815845483676724860586 2-0.0096903631928723184845303 30.002053834420303345866160 40.0023253700654673000574 50.0007933238173010627017 6-0.00023876934543019960986 7-0.0005272895670577510 8-0.00035212335380 9-0.0000343947744 100.000205332814909

## Constantes de Stieltjes generalizadas

Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes $\gamma _{k}(q)$ asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:

    $\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}$

Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:

    $\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}$
