Polinomios de Appell generalizados
# Polinomios de Appell generalizados

En matemáticas, una serie polinómica $\{p_{n}(z)\}$ tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma la forma:

    $K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

donde la función de generación o núcleo $K(z,w)$ se compone de la serie

    $A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad$ con $a_{0}\neq 0$

y

    $\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad$ y todos los $\Psi _{n}\neq 0$

y

    $g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad$ con $g_{1}\neq 0.$

Dado lo anterior, no es difícil demostrar que $p_{n}(z)$ es un polinomio de grado $n$.

Los polinomios de Boas-Buck es una clase de polinomios un poco más general.

## Casos especiales

* La elección de $g(w)=w$ da la clase de polinomios de Brenke.
* La elección de $\Psi (t)=e^{t}$ da como resultado la serie de Sheffer de polinomios, que incluye los polinomios por diferencias generales, como la interpolación polinómica de Newton.
* La elección combinada de $g(w)=w$ y $\Psi (t)=e^{t}$ da la serie de Appell de polinomios.

## Representación explícita

Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita

    $p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.$

La constante es

    $h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}$

donde esta suma se extiende sobre todas las particiones de $n$ en partes de $k+1$; es decir, la suma se extiende sobre todo $\{j\}$ de tal manera que

    $j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,$

Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula

    $p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.$

## Relación de recursión

De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo $K(z,w)$ pueda escribirse como $A(w)\Psi (zg(w))$ con $g_{1}=1$ es que

    ${\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}$

donde $b(w)$ y $c(w)$ tienen la serie de potencias

    $b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}$

y

    $c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.$

Sustituyendo

    $K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}$

inmediatamente da la relación de recurrencia.

    $z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).$

Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene que $g(w)=w$ y, por lo tanto, todos los $b_{n}=0$, simplificando significativamente la relación de recursión.

