Tensor antisimétrico
# Tensor antisimétrico

En matemáticas, un tensor antisimétrico o antisimétrico con respecto a un subconjunto de índices es un tensor que alterna signo (+/-) cuando se intercambian dos índices cualesquiera del subconjunto. Cuando un tensor es antisimétrico respecto a todos sus índices se llama tensor completamente antisimétrico o simplemente tensor anstisimétrico. Por ejemplo:

    $T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }=T_{jki\dots }=-T_{kji\dots }=T_{kij\dots }=-T_{ikj\dots }$

Son condiciones que satisface un tensor antisimétrico con respecto a sus primeros tres índices.

Es importante destacar que la condición de antisimetría requiere que en el subconjunto de índices respecto a los que existe antisimetría, todos los índices sean covariantes o contravariantes, ya que los tensores subconjuntos mixtos están excluidos de la condición de antisimetría. Un campo tensorial covariante completamente antisimétrico de orden $k$ puede denominarse forma diferencial $k$, y un campo tensorial contravariante completamente antisimétrico puede denominarse $k$-vector.

## Tensores antisimétricos y simétricos

Un tensor $\mathbf {A} =A_{ij}$ que es antisimétrico en los índices $i$ y $j$ tiene la propiedad de que la contracción con un tensor $\mathbf {B} =B^{ij}$ que es simétrico en los índices $i$ y $j$ es idénticamente 0:

    $\operatorname {cont} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=A_{ij}B^{ij}=0$

Para un tensor general U con componentes $U_{ijk\dots }$ y un par de índices $i$ y $j,$ U tiene partes simétricas y antisimétricas definidas como:

    $U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })$ | || (parte simétrica) $U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })$ || ||(parte antisimétrica).

Se pueden dar definiciones similares para otros pares de índices. Como sugiere el término "parte", un tensor es la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica para un par de índices dado, como en

$U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }.$

## Notación

Una notación abreviada para la antisimetrización se denota con un par de corchetes. Por ejemplo, en dimensiones arbitrarias, para un tensor covariante de orden 2 M,

$M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba}),$

y para un tensor covariante de orden 3 T

$T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}-T_{acb}+T_{bca}-T_{bac}+T_{cab}-T_{cba}).$

En 2 y 3 dimensiones cualesquiera, se pueden escribir como

${\begin{aligned}M_{[ab]}&={\frac {1}{2!}}\,\delta _{ab}^{cd}M_{cd},\\[2pt]T_{[abc]}&={\frac {1}{3!}}\,\delta _{abc}^{def}T_{def}.\end{aligned}}$

donde $\delta _{ab\dots }^{cd\dots }$ es el delta de Kronecker generalizado, y utilizamos la notación de Einstein para sumar sobre índices similares. De forma más general, independientemente del número de dimensiones, la antisimetrización sobre índices $p$ puede expresarse como

$T_{[a_{1}\dots a_{p}]}={\frac {1}{p!}}\delta _{a_{1}\dots a_{p}}^{b_{1}\dots b_{p}}T_{b_{1}\dots b_{p}}.$

En general, todo tensor de rango 2 puede descomponerse en un par simétrico y antisimétrico como:

$T_{ij}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})+{\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji}).$

Esta descomposición no es en general cierta para los tensores de rango 3 o más, que tienen simetrías más complejas.

## Ejemplos

Los tensores totalmente antisimétricos incluyen:

* Trivialmente, todos los escalares y vectores (tensores de orden 0 y 1) son totalmente antisimétricos (además de ser totalmente simétricos).
* El tensor campo electromagnético, $F_{\mu \nu }$ en electromagnetismo.
* La forma volumétrica riemanniana en una métrica pseudo-riemanniana.
