Puente browniano
# Puente browniano

Un puente browniano es un proceso estocástico a tiempo continuo $X_{t}$ (en ocasiones denotado por $B_{t}$) construido a partir del proceso de Wiener (modelo matemático del movimiento browniano).

## Puente Browniano Estándar

### Definición

Un puente browniano estándar es un proceso estocástico a tiempo continuo$\{X_{t}:t\in [0,1]\}$ con espacio de estados $S=\mathbb {R}$ que satisface

* $X_{0}=X_{1}=0$.
* $\{X_{t}:t\in [0,1]\}$ es un proceso Gaussiano.
* $\operatorname {E} [X_{t}]=0$ para $t\in [0,1]$.
* $\operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\min\{s,t\}-st$ para $s,t\in [0,1]$.

## Construcción del puente browniano estándar

El puente browniano estándar se puede construir de distintas maneras a partir del proceso de Wiener considerando los siguientes teoremas:

### Teorema

Sean $\{W_{t}:t\geq 0\}$ un proceso de Wiener estándar y $X_{t}=W_{t}-tW_{1}$ para $t\in [0,1]$ entonces el proceso estocástico $\{X_{t}:t\in [0,1]\}$ es un puente browniano.

Sea $\{W_{t}:t\geq 0\}$ un proceso de Wiener estándar, se definen $X_{1}=0$ y

    $X_{t}=(1-t)W\left({\frac {t}{1-t}}\right)$

para $t\in [0,1]$ entonces $\{X_{t}:t\in [0,1]\}$ es un puente browniano.

Sea $\{W_{t}:t\geq 0\}$ un proceso de Wiener estándar, se definen $X_{1}=1$ y

    $X_{t}=(1-t)\int _{0}^{t}{\frac {1}{1-s}}dX_{t}$

para $t\in [0,1]$ entonces $\{X_{t}:t\in [0,1]\}$ es un puente browniano, en forma diferencial, este proceso puede ser escrito como

    $dX_{t}={\frac {X_{t}}{1-t}}dt+dX_{t}$

con $X_{0}=0$.

