Distribución multinomial
# Distribución multinomial

En teoría de probabilidad, la distribución multinomial o distribución multinómica es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades $p_{1},\dots ,p_{k}$ (tal que $p_{i}\geq 0$ para i entre 1 y K y $\sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$); y con n sucesos independientes.

Entonces sea la variable aleatoria $X_{i}$, que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n sucesos. El vector $X=(X_{1},...,X_{k})$ sigue una distribución multinomial con parámetros n y p, donde $p=(p_{1},...,p_{k})$.

Nótese que en algunos campos las distribuciones categórica y multinomial se encuentran unidas, y es común hablar de una distribución multinomial cuando el término más preciso sería una distribución categórica.

## Especificación

### Función de probabilidad

La función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:

    ${\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&=\Pr(X_{1}=x_{1}{\mbox{ y }}\dots {\mbox{ y }}X_{k}=x_{k})\\\\&={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\mbox{cuando }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\mbox{En otros casos,}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Para enteros no negativos $x_1,$ ..., $x_k.$

## Propiedades

La esperanza matemática del suceso i observado en n pruebas es:

    $\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.\,$

La varianza es:

    $\operatorname {var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).\,$
* Datos: Q1147928
