Capitalización continua
# Capitalización continua

La capitalización continua es una fórmula que ayuda a calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad, añadiendo los intereses que se van acumulando. Por tanto, los intereses que se ganan en un periodo se suman a la cantidad inicial y se vuelven a invertir en el siguiente periodo, capitalizando nuevos intereses y así sucesivamente.

La capitalización continua se considera un tipo de capitalización compuesta. Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + intereses) aumenta. Esto quiere decir que cuanto más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando «m» tiende a infinito. Si «m» tiende a infinito, también «v».

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: $M\ =\,C\left({1+{\frac {i}{m}}}\right)^{mt}$

$v\ =\ {\frac {m}{i}}$

$M\,=\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}$

$\lim _{v\to \,\infty }\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}\ =\,Ce^{it}$

Donde:

* M = Valor Futuro
* C = Valor Presente
* $i$ = Tasa Efectiva
* $m$ = Periodicidad
* $t$ = Tiempo

Por lo tanto, simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:

$M\ =\,Ce^{it}$

$C\,={\frac {M}{e^{it}}}=M\ e^{-it}$

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

## Ejemplos

Calcular el valor futuro de una inversión por 100 000 USD que se capitaliza instantáneamente a una tasa del 25 % anual por 3 años.

$M={100,000}\,e^{0.25(3)}$

$M={211,700}$

Un pagaré de 1000 dólares vence dentro de un mes. Calcula el valor presente al 9 % compuesto continuamente:

$C\,={\frac {1,000}{e\,^{0.09(1/12)}}}$

$C={992.52}$

## Convertibilidad de tasas de la capitalización continua

Para poder convertir una tasa nominal de capitalización continua a una tasa efectiva, se emplean las siguientes fórmulas:

$M\ =\,Ce^{j}$

$M\ =\,C(1+i)$

$\Rightarrow Ce^{j}=C(1+i)$

$\Rightarrow e^{j}=(1+i)$

Donde:

* M = Valor Futuro
* C = Valor Presente
* $j$ = Tasa Nominal Capitalizable Continuamente
* $i$ = Tasa Efectiva

### Ejemplo

Calcular la tasa de capitalización continua equivalente a una tasa efectiva del 19,72 %.

$e^{j}=(1+0.1972)$

$\ln e^{j}=\ln(1+0.1972)$

$j=\ln(1.1972)$

$j=18\%$

