Función gamma de Hadamard
# Función gamma de Hadamard

En matemática, la función gamma de Hadamard, llamada en honor a Jacques Hadamard, es una extensión de la función factorial, diferente de la función Gamma. Esta función, con su argumento desplazado una unidad menos, interpola el factorial y lo extiende a los reales y números complejos de una manera diferente a la función Gamma de Euler. Se define como:

    $H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\}$

donde Γ(x) denota la función Gamma clásica. Si n es un entero positivo, entonces:

    $H(n)=(n-1)!.\,$

## Propiedades

A diferencia de la función Gamma clásica, la función gamma de Hadamard H(x) es una función entera, i.e., esta no tiene polos en todo su dominio. Satisface la siguiente ecuación funcional

    $H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}$

## Representaciones

La función gamma de Hadamard puede expresarse en términos de funciones digamma como

    $H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\,\Gamma (1-x)}}$

y como

    $H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],$

donde ψ(x) denota la función digamma.

