Subespacios fundamentales de una matriz
# Subespacios fundamentales de una matriz

Sea $A\in \Bbbk ^{m\times n}\,\,(\Bbbk =\Re \,\,o\,\,\mathbb {C} )$ una matriz con coeficientes $a_{ij}\in \Bbbk$. Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de $A\,$, respectivamente, como:

* $Col(A)=gen{\Big \[a_{11}\quad \cdots \quad a_{m1}]^{T},\quad \cdots \quad ,\,\,[a_{1n}\quad \cdots \quad a_{mn}]^{T}{\Big \}},\quad Col(A)\subseteq \Bbbk ^{m}$
* $Fil(A)=gen{\Big \[a_{11}\quad \cdots \quad a_{1n}]^{T},\quad \cdots \quad ,\,\,[a_{m1}\quad \cdots \quad a_{mn}]^{T}{\Big \}},\quad Fil(A)\subseteq \Bbbk ^{n}$
* $Nul(A)={\Big \x\in \Bbbk ^{n}:\quad A\cdot x=0_{\Bbbk ^{m}}{\Big \}}$

En donde $0_{\Bbbk ^{m}}$ es el vector nulo del espacio vectorial $\Bbbk ^{m}$.

## Ejemplos

1) Sea $\mathbb {A} =\;{\begin{bmatrix}-1&1&0\\1&1&-2\\-2&1&1\\\end{bmatrix}}$. Entonces:

$Col(A)=gen{\Big \[-1\quad 1\quad -2]^{T},\,\,[1\quad 1\quad 1]^{T},\,\,[0\quad -2\quad 1]^{T}{\Big \}}$

$Fil(A)=gen{\Big \[-1\quad 1\quad 0]^{T},\,\,[1\quad 1\quad -2]^{T},\,\,[-2\quad 1\quad 1]^{T}{\Big \}}$

$Nul(A)=gen{\Big \[1\quad 1\quad 1]^{T}{\Big \}}$

La matriz no tiene por qué ser cuadrada, veamos otro ejemplo:

2) Sea $\mathbb {A} =\;{\begin{bmatrix}-1&2\\3&-6\\-2&4\\\end{bmatrix}}$. Entonces:

$Col(A)=gen{\Big \[-1\quad 3\quad -2]^{T},\,\,[2\quad -6\quad 4]^{T}{\Big \}}$

$Fil(A)=gen{\Big \[-1\quad 2]^{T},\,\,[3\quad -6]^{T},\,\,[-2\quad 4]^{T}{\Big \}}$

$Nul(A)=gen{\Big \[2\quad 1]^{T}{\Big \}}$

## Propiedades

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto interno canónico de $\Bbbk ^{m}$ o $\Bbbk ^{n}$:

* $Col(A^{T})=Fil(A)\,$
* $Fil(A^{T})=Col(A)\,$
* $Nul(A)\quad \bot \quad Fil(A)$
* $Col(A)\quad \bot \quad Nul(A^{T})$
* $dim\left(Col(A)\right)=dim\left(Col(A^{T})\right)=rango(A)=rango(A^{T})$
* Si $A\in \Bbbk ^{n\times n}\,$ y además $Col(A)\,$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $det(A)\neq 0\,$. O sea, la matriz es invertible.
* Si $A\in \Bbbk ^{n\times n}\,$ y además $dim(Nul(A))\geq 1$, entonces $det(A)=0\,$. O sea, la matriz no es invertible.
* $dim(Col(A))+dim(Nul(A))=n\,$
* Sean $A\in \Bbbk ^{n\times m}\,$ y $B\in \Bbbk ^{p\times n}\,$. Si $x\in Col(BA)\implies \exists y:BAy=x\,$, si tomamos $w=Ay$ entonces, $Bw=x\implies x\in Col(B)\,$. Por lo tanto, $Col(BA)\subseteq Col(B)\,$. Además $Col(B\cdot A)=Col(B)\,$ si y sólo si $rango(A)=n$.
* Sean $A\in \Bbbk ^{n\times m}\,$ y $B\in \Bbbk ^{p\times n}\,$ entonces $\exists \,\,\,B\cdot A\in \Bbbk ^{p\times m}\,$. Entonces se ve que $A\cdot x=0_{\Bbbk ^{n}}\Longleftrightarrow B\cdot A\cdot x=B\cdot 0_{\Bbbk ^{n}}=0_{\Bbbk ^{p}}$. Entonces $Nul(A)\subseteq Nul(B\cdot A)$ y ocurre que $Nul(A)=Nul(B\cdot A)$ si y sólo si $rango(B)=n$.
* Veamos que $Nul(A)=Nul(A^{T}A)\,$. Sea $x\in Nul(A)$, entonces $Ax=0_{\Bbbk ^{m}}\Longrightarrow A^{T}Ax=0_{\Bbbk ^{n}}\longrightarrow x\in Nul(A^{T}A)$. Por otro lado, $x\in Nul(A^{T}A)\Longleftrightarrow A^{T}Ax=0_{\Bbbk ^{n}}\Longrightarrow x^{T}A^{T}Ax=0\Longleftrightarrow (Ax,Ax)=0\Longleftrightarrow ||Ax||^{2}=0\Longleftrightarrow Ax=0_{\Bbbk ^{m}}\Longleftrightarrow x\in Nul(A)$
