Anillo booleano
# Anillo booleano

En álgebra abstracta, en particular en teoría de anillos, un anillo booleano es aquel anillo R en donde $a^{2}=a$ para todo elemento de R.

Expresado de otra forma, es un anillo en el que todos los términos son idempotentes.

## Conmmutatividad de los anillos booleanos

Los anillos booleanos necesariamente son anillos conmutativos. A continuación se presenta una prueba correcta de la conmutatividad.

* Los anillos booleanos son conmutativos
* Sean a y b dos elementos arbitrarios del anillo booleano R.
* Primero observamos que necesariamente todo elemento es su propio inverso aditivo:
* $(a+a)=(a+a)^{2}=(a+a)(a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a$
* de donde una cancelación muestra que $0=a+a$ y por tanto $a=-a$.
* Dado que $(a+b)=(a+b)^{2}$, desarrollando el producto del lado derecho obtenemos:
* $a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b$
* de donde se obtiene que $0=ab+ba$ y por tanto $ab=-ba$,
* de donde ya es inmediato que $ab=ba$, estableciéndose así la conmutatividad del anillo.

## Equivalencia entre anillos booleanos y álgebras booleanas

Todo anillo booleano $(R,+,\cdot )$ con elemento unitario 1 satisface los axiomas de un álgebra booleana $(R,\wedge ,\vee ,\neg )$ si se define la disyunción como:

   $a\vee b:=a+b+ab$,

la conjunción como:

   $a\wedge b:=ab$

y la negación como:

   $\neg a:=a+1$.

De manera inversa, toda álgebra booleana se puede convertir en un anillo conmutativo definiendo las operaciones de suma y producto como:

   $p+q:=(p\wedge \neg q)\vee (\neg p\vee q)$
   $pq:=p\wedge q$
