Producto libre de grupos
# Producto libre de grupos

En las matemáticas, particularmente en la teoría de grupos, el producto libre de grupos es la construcción de un nuevo grupo a partir de una dada colección de ellos y que permite la inclusión como subgrupos a cada uno de los factores que le construyen.

Para ilustrar la construcción, más precisamente, utilicemos dos grupos G, H. Entonces su producto libre es el grupo $G*H$ que consiste en un nuevo grupo cuyos elementos tienen la forma canónica

       $g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{r}h_{r}$

donde los $g_{i}\in G$ y los $h_{i}\in H$ es decir los elementos de G*H son palabras reducidas de letras alternadas que son elementos de los dos grupos G y H respectivamente.

Entonces uno puede pensar que el grupo G está incluido en G*H pues trivialmente vemos que cada elemento de G es una palabra reducida en G*H, y similarmente para H.

Un ejemplo básico es el grupo libre, $F_{2}$ de rango dos; este, se puede interpretar como

       $F_{2}=\mathbb {Z} *\mathbb {Z}$

Otro un poco más complejo es $PSL(\mathbb {Z} ,2)$ que se interpreta como

       $PSL(\mathbb {Z} ,2)=\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}$

## Generalizaciones

Una manera similar pero más general de construir grupos a partir de antiguos es el producto libre amalgamado, que consiste empezar con dos grupos arbitrarios A, B y un tercer C que se encuentra encajado en ambos A y B, entonces uno toma el cociente ${\frac {A\star B}{N(C)}}\,$ a partir del producto libre de A con B y haciendo módulo N(C) que es la clausura normal de C en ambos A, B.

En símbolos matemáticos se acostumbra a escribir al producto libre de A con B amalgamados por C como:

       $A\star _{C}B$

Ejemplos de esta construcción aparecen en el teorema de Seifert-van Kampen donde se calcula es grupo fundamental de un espacio topológico en términos de los grupos fundamentales de algunos de sus subespacios.

