Lema de Gauss
# Lema de Gauss

En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si $D\,$ es un dominio de factorización única (DFU) y $\mathbb {K}$ es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en $D$ es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo $p\in D[x]$ es irreducible en $~D[x]$ si y sólo si lo es en $\mathbb {K} [x]$.

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en $D[x]$ y la irreducibilidad del mismo polinomio en $\mathbb {K} [x]$, puede demostrarse que al ser $\mathbb {K} [x]$ un DFU también lo es $D[x]$.

Así, se tiene como corolario que si $D$ es un DFU entonces también lo es $D[x]$, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, $\mathbb {Z} [x]$ no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.

## Ejemplo de uso

Hallemos las raíces racionales del polinomio racional

    $f=x^{8}+8/3x^{7}+1/3x^{6}-14/3x^{5}-14/3x^{4}-4/3x^{3}$

Limpiando los denominadores de $f$ se obtiene el polinomio entero $g$ con las mismas raíces:

    $g=3x^{8}+8x^{7}+x^{6}-14x^{5}-14x^{4}-4x^{3}=x^{3}(3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4)$

Claramente, 0 es raíz de multiplicidad 3 de $g$ (y de $f$), y las restantes raíces racionales son las de

    $h=3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4$

Aquí, $a_{0}=-4$ y $a_{n}=3$.

Los divisores de $a_{0}$ son $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ y los divisores de $a_{n}$ son $\pm 1,\pm 3$, luego las raíces racionales se buscan en el conjunto:

    $\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 1/3,\pm 2/3,\pm 4/3\}$

Chequeando uno obtiene que $h(-1)=0$ y $h(-2/3)=0$. Así, las raíces racionales distintas de $h$ son $-1$ y $-2/3$, para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir $h$ por $(x+1)(x+2/3)$ y volver a evaluar el cociente en $-1$ y $-2/3$. O bien también se puede derivar $h$:

    $h'=15x^{4}+32x^{3}+3x^{2}-28x-14$

y se tiene que $h'(-1)=0$ mientras que $h'(-2/3)\neq 0$. O sea $-1$ es raíz de multiplicidad ≥ 2 y $-2/3$ es raíz simple.

Volviendo a derivar $h$: $h''=60x^{3}+96x+6x-28$ y $h''(-1)\neq 0$.

Se concluye que -1 es raíz doble de $h$.

Finalmente la factorización de $h$ en $\mathbb {Q} [X]$ es:

    $h=3(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)$

Y dado que $f=1/3x^{3}h$, resulta la siguiente factorización de $f$ en $\mathbb {Q} [X]$:

    $f=x^{3}(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)$
