Algoritmo de Borwein
# Algoritmo de Borwein

El algoritmo de Borwein es un algoritmo desarrollado por Jonathan y Peter Borwein que permite el cálculo de 1/π.

## Algoritmo

Se procede de la siguiente forma:

* Se comienza con los valores

    $a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$
    $y_{0}={\sqrt {2}}-1$
* Después se itera con las siguientes fórmulas

    $y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}$
    $a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})$

Se tiene que $a_k$ posee una convergencia cuártica 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto.

El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:

    $\left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})$
