Producto interior
# Producto interior

En matemáticas, el producto interior (también conocido como derivada interior, multiplicación interior, operador de inserción o derivación interna) es una (anti)derivación de grado−1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable. El producto interior, nombrado así en oposición al producto exterior, no debe confundirse con un espacio prehilbertiano. El producto interior $ι_Xω$ a veces se escribe como X ⨼ ω.

## Definición

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces

    $\iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)$

es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma $ι_Xω$ definida por la propiedad de que

    $(\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})$

para cualquier campo vectorial $X_1,$ ..., $X_{p−1}.$

El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α

    $\displaystyle \iota _{X}\alpha =\alpha (X)=\langle \alpha ,X\rangle$,

donde ⟨ , ⟩ es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces

    $\iota _{X}(\beta \wedge \gamma )=(\iota _{X}\beta )\wedge \gamma +(-1)^{p}\beta \wedge (\iota _{X}\gamma ).$

La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.

## Propiedades

Por antisimetría de formas,

    $\iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega$

y entonces $\iota _{X}\circ \iota _{X}=0$. Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que d ∘ d = 0.

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan o fórmula mágica de Cartan):

    ${\mathcal {L}}_{X}\omega =d(\iota _{X}\omega )+\iota _{X}d\omega =\left\{d,\iota _{X}\right\}\omega .$

Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento. La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales $X$, $Y$ satisface la identidad

    $\iota _{[X,Y]}=\left[{\mathcal {L}}_{X},\iota _{Y}\right].$
