Lema de Itô
# Lema de Itô

En matemáticas, el lema de Itô es una identidad utilizada en cálculo de Itô para encontrar la diferencial de una función temporal dependiente de un proceso estocástico. Es una versión estocástica de la regla de la cadena del cálculo diferencial usual.

El lema es ampliamente utilizado en matemáticas financieras y su aplicación más conocida es para obtener la ecuación de Black-Scholes.

## Demostración informal

Una demostración formal del lema consiste en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Esta aproximación no es presentada aquí pues involucra un gran número de detalles técnicos. En cambio, damos un bosquejo de cómo uno puede obtener el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas de cálculo estocástico.

Suponga que $X_{t}$ es un proceso de Itô con drift que satisface la ecuación diferencial estocástica

    $dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t},$

donde $B_{t}$ es un movimiento browniano. Si $f(t,x)$ es una función escalar dos veces diferenciable, su expansión en un serie de Taylor es

    $df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots .$

Sustituyendo $X_{t}$ para $x$ y $\mu _{t}dt+\sigma _{t}dB_{t}$ por $dx$ obtenemos

    $df={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(\mu _{t}^{2}\,dt^{2}+2\mu _{t}\sigma _{t}\,dt\,dB_{t}+\sigma _{t}^{2}\,dB_{t}^{2}\right)+\cdots .$

En el límite $dt\to 0$, los términos $dt^{2}$ y $dtdB_{t}$ tienden a cero más rápido que $dB^{2}$, que es $O(dt)$. Haciendo los términos $dt^{2}$ y $dtdB_{t}$ cero, reemplazando $dt$ por $dB^{2}$ (por la variación cuadrática del Wiener proceso) y juntando los términos $dt$ y $dB$, obtenemos

    $df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}$

## Ejemplos

### Movimiento browniano geométrico

Un proceso $\{S_{t}\}$ se dice que sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constante $\sigma$ y drift constante $\mu$ si satisface la ecuación diferencial estocástica $dS_{t}=\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt$ siendo $\{B_{t}\}$ un movimiento Browniano. Aplicando el lema de Itô con $f(S_{t})=\log(S_{t})$ obtenemos

    ${\begin{aligned}df(S_{t})&=f^{\prime }(S_{t})\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\&={\frac {1}{S_{t}}}\,dS_{t}+{\frac {1}{2}}(-S_{t}^{-2})(S_{t}^{2}\sigma ^{2}\,dt)\\&={\frac {1}{S_{t}}}\left(\sigma S_{t}\,dB_{t}+\mu S_{t}\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\&=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.\end{aligned}}$

esto es

    $d\left(\log(S_{t})\right)=\sigma \,dB_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)dt.$

de lo anterior se sigue que

    $\log(S_{t})=\log(S_{0})+\sigma B_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t,$

que es equivalente a

    $S_{t}=S_{0}\exp \left(\sigma B_{t}+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t\right).$

### Fórmula de Black–Scholes

El lema de Itô puede ser utilizado para obtener la ecuación de Black–Scholes para una opción. Suponga que un precio accionario sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica $dS_{t}=(\sigma dB_{t}+\mu dt)$, si el valor de la opción al tiempo $t$ es $f(t,S_{t})$ entonces por el lema de Itô

    $df(t,S_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left(S_{t}\sigma \right)^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS_{t}.$
