Relaciones de Kramers-Kronig
# Relaciones de Kramers-Kronig

En matemáticas y en física, las relaciones de Kramers-Kronig describen la relación que existe entre la parte real y la parte imaginaria de ciertas funciones complejas. La condición para que se apliquen a una función $f(\omega )$ es que esta debe representar la transformada de Fourier de un proceso físico lineal y causal. Si escribimos

    $f(\omega )=f_{1}(\omega )+if_{2}(\omega )$,

con $f_{1}$ y $f_{2}$ dos funciones reales, entonces las relaciones de Kramers-Kronig son

    $f_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\Omega f_{2}(\Omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\Omega$
    $f_{2}(\omega )=-{\frac {2\omega }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {f_{1}(\Omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\Omega$.

Las relaciones de Kramers-Kronig están relacionadas con la transformada de Hilbert, y son frecuentemente aplicadas a la permitividad $\epsilon (\omega )$ de los materiales. Sin embargo, en este caso, hay que tener en cuenta que:

    $f(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1\,$,

con $\chi (\omega )$ la susceptibilidad eléctrica del material. La susceptibilidad puede interpretarse como la transformada de Fourier de la respuesta temporal del material a una excitación infinitamente breve, es decir, su respuesta al impulso.

