Sustitución de Euler
# Sustitución de Euler

La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma

    $\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,$

donde $R$ es una función racional de $x$ y de ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$. En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.

## Primera sustitución

La primera sustitución de Euler se utiliza cuando $a>0$. Se sustituye

    ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t$

y se resuelve la expresión resultante para $x$. Se tiene que

    $x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}$

y el término $dx$ se puede expresar racionalmente en $t$.

En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.

## Segunda sustitución

Si $c>0$, se toma

    ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.$

Se resuelve para $x$ de manera similar al caso anterior y entonces

    $x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.$

Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.

## Tercera sustitución

Si el polinomio $ax^{2}+bx+c$ tiene raíces reales $\alpha$ y $\beta$, se puede elegir

    ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t$.

Esto produce

    $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$

y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en $t$.

## Ejemplos

### Primera sustitución de Euler

**Ejemplo 1**

En la integral

    $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$

se puede usar la primera sustitución y establecer ${\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t$, así

    $x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt$
    ${\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}$

En consecuencia, se obtiene:

    $\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C$

Con $c=\pm 1$ se obtienen las fórmulas

    ${\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}$

**Ejemplo 2**

Para encontrar el valor de

    $\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,$

se determina $t$ usando la primera sustitución de Euler, ${\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t$. Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene $x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}$, a partir de lo que los términos en $x^{2}$ se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene $x$

    $x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.$

A partir de ahí, resulta que los diferenciales $dx$ y $dt$ están relacionados por

    $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$

Por lo tanto,

    ${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}$

### Segunda sustitución de Euler

En la integral

    $\int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},$

se puede usar la segunda sustitución y configurar ${\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}$. Así

    $x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,$

y

    ${\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}$

En consecuencia, se obtiene:

    ${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}\;dt\\&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}$

### Tercera sustitución de Euler

Para evaluar

    $\int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,$

se puede usar la tercera sustitución y configurar ${\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t$. Así

    $x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,$

y

    ${\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}$

A continuación,

    $\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.$

Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.

## Generalizaciones

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral $\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}$, se puede usar la sustitución ${\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t$. Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.

Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma

    $\int R_{1}{\Bigx,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\BigR_{2}{\Bigx,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,$

donde $R_{1}$ y $R_{2}$ son funciones racionales de $x$ y ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$. Esta integral se puede transformar mediante la sustitución ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt$ en otra integral

    $\int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,$

donde ${\tilde {R}}_{1}(t)$ y ${\tilde {R}}_{2}(t)$ ahora son simplemente funciones racionales de $t$. En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.

