Prerradical
# Prerradical

En matemática, un prerradical es una generalización categórica del submódulo de torsión, el submódulo divisible, el radical de Jacobson de un módulo y el soclo de un módulo.

## Definición

Para $R$ un anillo asociativo con $1$ un prerradical $\sigma$ en $R-Mod$ la clase de módulos izquierdos unitarios es un endofuntor en $R-Mod$, $\sigma :R-Mod\rightarrow R-Mod$ tal que para todo $R-$módulo $M$, $\sigma (M)\leq M$ y para todo homomorfismo $f:M\rightarrow N,f(\sigma (M))\leq \sigma (N)$.

A la clase de prerradicales sobre $R-Mod$ se le denota por $R-pr$.

## Estructura de retícula

$R-pr$ tiene estructura de clase parcialmente ordenada con $\sigma \leq \tau$, si $\sigma (M)\leq \tau (M)$ para todo $M$ $R-$módulo. De manera natural para una familia de prerradicales $\{\sigma _{i}\}_{i\in I}$ que el supremo está dado por $(\vee _{i\in I}\sigma _{i})(M)=\sum _{i\in I}\sigma _{i}(M)$ y el ínfimo por $(\wedge _{i\in I}\sigma _{i})(M)=\cap _{i\in I}\sigma _{i}(M)$ para todo $M$ $R-$módulo. Por lo que $R-pr$ forma una gran retícula. Por lo mencionado anteriormente $R-pr$ es una retícula completa, es una retícula modular y también es una retícula continua superiormente.

## Operaciones

$R-pr$ tiene dos operaciones: el producto $\sigma \tau$ y el coproducto $\sigma :\tau$, definidas en un $R-$módulo $M$ por

    $(\sigma \tau )=\sigma (\tau (M))$
    $(\sigma :\tau )(M)/\sigma (M)=\tau (M/\sigma (M))$

## Bibliografía

* STENSTROM, B.: Rings of Quotients. An Introduction to Methods of Ring Theory (Anillos de cocientes: introducción a los métodos de la teoría de anillos). Springer Verlag, Berlín, 1975.
