Epicicloide
# Epicicloide

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz). Es un tipo de ruleta cicloidal.

## Ecuación

Considerando la figura podemos escribir:

   (1)$x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma$
   (2)$y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma$

con $\gamma =\alpha +\beta -\pi /2$ y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales, i.e: $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$. De aquí se tiene que $\beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$

Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide: $x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

$y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]$

### Casos particulares

Cuando ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ es un número racional, i.e., $k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$, siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.

Cuando $r_1=r_2,$ i.e, $k=1$ obtenemos una cardioide.

Cuando $r_1=2r_2,$ i.e, $k=2$ obtenemos una nefroide.

## Ejemplos

* ejemplos de epicicloides
* k=1
* k=2
* k=3
* k=4
* k=2,1=21/10
* k=3,8=19/5
* k=5,5=11/2
* k=7,2=36/5
