Generalización universal
# Generalización universal

En lógica de predicados, generalización (también generalización universal o introducción universal, GEN) es una regla de inferencia válida. Ella establece que si se ha derivado $\vdash P(x)$ , entonces puede derivarse $\vdash \forall x\,P(x)$

## Generalización con hipótesis

La regla de generalización completa permite la hipótesis a la izquierda del trinquete, pero con restricciones. Supongamos que Γ es un conjunto de fórmulas, φ una fórmula, y $\Gamma \vdash \varphi (y)$. La regla de generalización dice que $\Gamma \vdash \forall x\varphi (x)$ puede derivarse si y no se menciona en Γ y x no ocurre en φ.

Estas restricciones son necesarias para la solidez. Sin la primera restricción, se podría concluir $\forall xP(x)$ de la hipótesis $P(y)$. Sin la segunda restricción, se podría hacer la siguiente deducción:

* $\exists z\exists w(z\not =w)$ (Hipótesis)
* $\exists w(y\not =w)$ (Instanciación existencial)
* $y\not =x$ (Instanciación existencial)
* $\forall x(x\not =x)$ (Generalización universal defectuosa)

Esto pretende demostrar que $\exists z\exists w(z\not =w)\vdash \forall x(x\not =x),$ que es una deducción errónea.

## Ejemplo de una demostración

Demostrar: $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$.

Demostración:

| Número | Fórmula | Justificación |
| - | - | - |
| 1 | $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))$ | Hipótesis |
| 2 | $\forall x\,P(x)$ | Hipótesis |
| 3 | $(\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)))\rightarrow (P(y)\rightarrow Q(y)))$ | Instanciación universal |
| 4 | $P(y)\rightarrow Q(y)$ | Desde (1) y (3) por Modus ponens |
| 5 | $(\forall x\,P(x))\rightarrow P(y)$ | Instanciación universal |
| 6 | $P(y)\$ | Desde (2) y (5) por Modus ponens |
| 7 | $Q(y)\$ | Desde (6) y (4) por Modus ponens |
| 8 | $\forall x\,Q(x)$ | Desde (7) por Generalización |
| 9 | $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x)),\forall x\,P(x)\forall x\,Q(x)$ | Resumen de (1) a (8) |
| 10 | $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x)$ | Desde (9) por Teorema de la deducción |
| 11 | $\forall x\,(P(x)\rightarrow Q(x))\rightarrow (\forall x\,P(x)\rightarrow \forall x\,Q(x))$ | Desde (10) por Teorema de la deducción |

En esta prueba, se utilizó la generalización universal en el paso 8. El teorema de la deducción es aplicable en los pasos 10 y 11 porque las fórmulas que son trasladadas no tiene variables libres.

