Campila de Eudoxo
# Campila de Eudoxo

La campila de Eudoxo (en griego καμπύλη: curva) es una curva determinada por una ecuación cartesiana:

   $x^{4}=x^{2}+y^{2}$

de la cual se ha de excluir la solución x = y = 0, o, en coordenadas polares:

   $r=\sec ^{2}\theta \,.$

El astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido (c. 408 a. C. - c. 347 a. C.) estudió esta curva cuártica en relación con el problema clásico de la duplicación del cubo.

La campila es simétrica con respecto a ambos ejes: $x$ y $y$. Corta el eje $x$ en $(-1,0)$ y en $(1,0)$. Tiene cuatro puntos de inflexión, en:

   $(\pm {\sqrt {3/2}},\pm {\sqrt {3}}/2)$

(uno en cada cuadrante). La primera mitad de la curva es asintótica a $x^{2}-{\frac {1}{2}}$ cuando $x\to \infty$. En efecto se puede escribir así:

   $y=x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}=x^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{n\geq 0}C_{n}(2x)^{-2n}$

donde

   $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$

es el $n$-ésimo número de Catalan.

## Bibliografía

* J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 141–142. ISBN 0-486-60288-5.
