Lema de Ehrling
# Lema de Ehrling

En matemáticas, el lema de Ehrling es un resultado relativo a los espacios de Banach . A menudo se utiliza en el análisis funcional para demostrar la equivalencia de ciertas normas en los espacios de Sobolev. Fue propuesto por Gunnar Ehrling.

## Declaración del lema

Sea ( X , || · || $_X$ ), ( Y , || · || $_Y$ ) y ( Z , || · || $_Z$ ) tres espacios de Banach, asumir que:

* X está integrado de forma compacta en Y : es decir X ⊆ Y y cada || · || $_X$ : la secuencia acotada en X tiene una subsecuencia que es || · || $_Y$ - convergente ; y
* Y está continuamente incrustado en Z : es decir Y ⊆ Z y hay una constante k de modo que || y || $_Z$ ≤ k || y || $_Y$ para cada y ∈ Y.

Entonces, para cada ε > 0, existe una constante C ( ε ) tal que, para todo x ∈ X

    $\|x\|_{Y}\leq \varepsilon \|x\|_{X}+C(\varepsilon )\|x\|_{Z}$

## Corolario (normas equivalentes para espacios de Sobolev)

Sea Ω ⊂ R $^n$ abierto y acotado, y k ∈ N, suponga que el espacio de Sobolev H $^k$ ( Ω ) está integrado de forma compacta en H $^{k−1}$ ( Ω ). Entonces las siguientes dos normas sobre H $^k$ ( Ω ) son equivalentes:

    $\|\cdot \|:H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|:={\sqrt {\sum _{|\alpha |\leq k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}$

y

    $\|\cdot \|':H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|':={\sqrt {\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}.$

Para el subespacio de H $^k$ ( Ω ) que consta de aquellas funciones de Sobolev con traza cero (aquellas que son "cero en el límite" de Ω ), la norma L $^2$ de u puede omitirse para producir otra norma equivalente.

