Lema de Jordan
# Lema de Jordan

En análisis complejo, el lema de Jordan es un resultado frecuentemente utilizado conjuntamente con el teorema de los residuos para evaluar integrales de contorno e integrales impropias. Debe su nombre al matemático francés Camille Jordan.

## Enunciado

Sea f una función continua evaluada en el cuerpo de los complejos, definida en un contorno semicircular

    $C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}$

De radio positivo R sobre el semiplano superior, centrado en el origen. Si la función f es de la forma

    $f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C_{R},$

con un parámetro positivo a, entonces el lema de Jordan establece la siguiente cota superior para la integral de contorno:

    $\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{donde}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.$

El mismo resultado es aplicable al semiplano inferior (y no al semiplano superior) cuando a < 0

### Observaciones

* Si f es continuo en el contorno semicircular $C_R$ para todo R grande

| $\lim _{R\to \infty }M_{R}=0$ | (*) |
| - | - |

entonces por el lema de Jordan

       $\lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.$
* Para el caso a = 0 = 0, véase el lema de valoración.
* Comparado al lema de valoración, el límite superior en el lema de Jordan no depende explícitamente de la longitud del contorno de $C_R.$

## Aplicación del lema de Jordan

El lema de Jordan nos ofrece una forma sencilla de calcular la integral a lo largo del eje real de funciones del tipo f(z) = $e^{iaz}$ g(z) que sean holomorfas en el semiplano superior y continuas en el cierre del semiplano superior excepto en un número fínito de singularidades fuera del eje real $z_1,$ $z_2,$ …, $z_n.$ Consideramos el contorno cerrado C el cual es la concatenación de los caminos $C_1$ y $C_2,$ como se muestra en la imagen. Por definición:

    $\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.$

Dado que en $C_2$ la variable z es real, la segunda integral es real:

    $\int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.$

El lado izquierdo puede ser calculado usando el teorema de los residuos para obtener, para todo R mayor que el máximo de $|z_1|,$ $|z_2|,$ …, $|z_n|,$

    $\oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,$

Dónde Res(f, $z_k)$ denota el residuo de f en la singularidad $z_k.$ De ahí, si f satisface la condición $\lim _{R\to \infty }M_{R}=0$, entonces tomando el límite donde R tiende a infinito, la integral de contorno sobre $C_1$ se anula por el lema de Jordan, y obtenemos el valor de la integral impropia

    $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.$

## Ejemplo

La función

    $f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},$

Satisface la condición del lema de Jordan con a = 1 = 1 para todo R > 0 con R ≠ 1. Véase que, para R > 1,

    $M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,$

Por ello la condición $\lim _{R\to \infty }M_{R}=0$ se cumple. Dado que la única singularidad de f en el semiplano superior está en z = i, obtenemos que la integral impropia sobre todo el eje real cumple que:

    $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.$

Dado que z = i es un polo simple de f y 1 + $z^2$ = (z + i)(z − i) obtenemos que

    $\operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}$

y por lo tanto:

    $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.$

Este resultado ejemplifica la forma en la que algunas integrales complicadas de computar por otros métodos son fácilmente evaluadas con la ayuda del análisis complejo.

## Prueba del lema de Jordan

Por la definición de la integral de línea compleja,

    $\int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.$

Véase que la desigualdad

    ${\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx$

nos lleva a que

    $I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

Usando $M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|$ y la simetría sin θ = sin(π – θ) obtenemos que

    $I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

Dado que la gráfica de sin θ es cóncava en el intervalo θ ∈ [0, π ⁄ 2], la gráfica de sin θ se encuentra por encima de la línea que conecta sus puntos inicial y final, por lo tanto:

    $\sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad$

para todo θ ∈ [0, π ⁄ 2], lo que implica que

    $I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.$
