Número de Liouville
# Número de Liouville

En teoría de números, un número de Liouville es un número real x tal que, para cualquier entero positivo n, existen otros dos enteros p y q, q > 1, que satisfacen:

       $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.$

Gracias a las fracciones continuas sabemos que todo número real puede aproximarse por infinitos racionales p/q que verifican 0 < |x − p/q| < $1/q^2.$ Los números de Liouville son aquellos para los cuales el 2 en el exponente de q puede ser cambiado por cualquier natural n, o sea que de alguna manera son los "mejor aproximados" por racionales.

## Algunas propiedades

* Todo número de Liouville es irracional.
* Los números de Liouville son trascendentes.
* El conjunto de números de Liouville tiene medida de Lebesgue cero.
* El conjunto de números de Liouville puede obtenerse como una intersección numerable de abiertos densos en ℝ. Como consecuencia de esto (utilizando el teorema de Baire y que los reales forman un espacio métrico completo) se deduce que este conjunto es no numerable y denso en los reales.

## Constante de Liouville

El ejemplo más conocido de número de Liouville es el que se denomina "constante de Liouville", definido como:

    ${\sum _{k=1}^{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots$

Este fue el primer número que pudo demostrarse que es trascendente, prueba debida a Joseph Liouville (1850).

