Grafo distancia-transitivo
# Grafo distancia-transitivo

En el campo matemático de la teoría de grafos, un grafo distancia-transitivo es un grafo tal que, dados dos vértices cualesquiera v y w a cualquier distancia i, y otros dos vértices cualesquiera x y y a la misma distancia, existe un automorfismo del grafo que transforma v en x y w en y.

Un grafo distancia-transitivo es vértice-transitivo y simétrico así como distancia-regular.

El interés en los grafos distancia-transitivos radica en parte en que tienen un grupo de automorfismos grande. Algunos grupos finitos interesantes son los grupos de automorfismos de grafos distancia-transitivos, especialmente de aquellos cuyo diámetro es 2.

## Los 12 grafos distancia-transitivos

Los grafos distancia-transitivos fueron definidos por primera vez en 1971 por Norman L. Biggs y D. H. Smith, quienes demostraron que sólo hay 12 grafos distancia-transitivos cúbicos finitos. Estos son:

| Nombre | Vértices | Diámetro | Cintura | Matriz de intersección |
| - | - | - | - | - |
| Grafo completo $K_4$ | 4 | 1 | 3 | {3;1} |
| Grafo bipartito completo $K_{3,3}$ | 6 | 2 | 4 | {3,2;1,3} |
| Grafo de Petersen | 10 | 2 | 5 | {3,2;1,1} |
| Grafo del cubo | 8 | 3 | 4 | {3,2,1;1,2,3} |
| Grafo de Heawood | 14 | 3 | 6 | {3,2,2;1,1,3} |
| Grafo de Papo | 18 | 4 | 6 | {3,2,2,1;1,1,2,3} |
| Grafo de Coxeter | 28 | 4 | 7 | {3,2,2,1;1,1,1,2} |
| Grafo de Tutte-Coxeter | 30 | 4 | 8 | {3,2,2,2;1,1,1,3} |
| Grafo del dodecaedro | 20 | 5 | 5 | {3,2,1,1,1;1,1,1,2,3} |
| Grafo de Desargues | 20 | 5 | 6 | {3,2,2,1,1;1,1,2,2,3} |
| Grafo de Biggs-Smith | 102 | 7 | 9 | {3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3} |
| Grafo de Foster | 90 | 8 | 10 | {3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3} |

Independientemente, un grupo ruso liderado por Georgy Adelson-Velsky demostró en 1969 que existían grafos que son distancia-regulares pero no distancia-transitivos. El único grafo de este tipo de grado tres es la 12-jaula de Tutte de 126 vértices. El menor grafo distancia-regular que no es distancia-transitivo es el grafo de Shrikhande. Se conocen listas completas de grafos distancia-transitivos para algunos grados mayores que tres, pero la clasificación de grafos distancia-transitivos de grados arbitrariamente grandes continúa abierta.

La familia asintótica más simple de ejemplos de grafos transitivos de distancia son los grafos hipercúbicos. Otras familias son los grafos cúbicos plegados y los grafos de torre cuadrados. Las tres familias tienen un grado arbitrariamente alto.

