Hipocicloide
# Hipocicloide

Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.

La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito).

## Ecuación paramétrica

Las ecuaciones paramétricas de una curva hipocicloide generada por un punto de una circunferencia de radio $r_{2}$ que rueda dentro de una circunferencia de radio $r_{1}$, son:

       $x=(r_{1}-r_{2})\cos \alpha \ +r_{2}\ \operatorname {sen} \gamma$       (1)
       $y=(r_{1}-r_{2})\operatorname {sen} \alpha \ -r_{2}\ \cos \gamma$       (2)

Donde $\alpha$ es el ángulo con el que varía $r_{1}$ y el eje $x$, y $\gamma$ es el ángulo que varía entre la línea imaginada de proyección sobre el eje $x$ del centro del círculo de radio $r_{2}$ y dicho radio.

Pero,

       $\displaystyle \beta +\gamma +{\frac {\pi }{2}}-\alpha =\pi$
       $\displaystyle \gamma ={\frac {\pi }{2}}+\alpha -\beta$       (3)

donde $\beta$ es un ángulo que varía entre $r_{2}$ y el segmento de $r_{1}$ donde se genera un vértice con el punto centro del círculo de circunferencia generatriz. Además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos $l_{1}$ y $l_{2}$ son iguales, es decir: $r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta$. De aquí se tiene que $\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha$

Sustituyendo $\beta$ en la ecuación (3), y esta última en (1) y (2) se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas de la hipocicloide:

$x=(r_{1}-r_{2})\cos \alpha \ +r_{2}\ \cos \left[\alpha \left(1-{\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)\right]$

$y=(r_{1}-r_{2})\operatorname {sen} \alpha \ +r_{2}\ \operatorname {sen} \left[\alpha \left(1-{\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)\right]$

### Casos particulares

Cuando ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}=k$ es un número racional, es decir, $\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}$, siendo p y q números enteros, la hipocicloide es una curva algebraica.

Cuando $r_1=4$ $r_2$ se tiene la astroide $(x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3})$

Si $\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}$ es irracional, es una curva trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.

## Ejemplos

* k=3
* k=4
* k=5
* k=6
* k=2.1
* k=3.8
* k=5.5
* k=7.2
* Las curvas hipocicloides son una clase especial de hipotrocoides, las cuales a su vez son una clase particular de ruleta.
* La hipocicloide de tres puntas se denomina curva deltoide.
* La hipocicloide de cuatro puntas se llama astroide.
