Anillo de fracciones
# Anillo de fracciones

En álgebra conmutativa se denominan anillos de fracciones a unos objetos matemáticos que generalizan el concepto de cuerpo de fracciones. Dados un anillo conmutativo $A$ y un subconjunto suyo no vacío que satisface ciertas condiciones -cuyos elementos llamaremos denominadores- se puede formar un anillo en el cual todos los denominadores tengan inverso multiplicativo. Este anillo, llamado anillo de fracciones de $A$ es también conmutativo y además es unitario, aunque el propio $A$ no lo sea.

## Construcción del anillo de fracciones de un anillo

Sea $A$ un anillo conmutativo. Sea ${\mathcal {D}}\subset A$ un subconjunto cualquiera que satisface las dos condiciones siguientes:

* no contiene al cero del anillo: $0\notin {\mathcal {D}}$.
* es multiplicativamente cerrado: $a,b\in {\mathcal {D}}\implies ab\in {\mathcal {D}}$.

Consideremos en $A\times {\mathcal {D}}$ la relación binaria

    $(a,s)\!\sim \!(b,t)\ \Leftrightarrow \ \exists u\!\in {\mathcal {D}}\ :\ u(at-sb)=0$.

Es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia y, por tanto, puede considerarse el conjunto cociente $(A\times {\mathcal {D}})/\sim$ que denotaremos por ${\mathcal {D}}^{-1}A\;$. Indicaremos por $a/s$ o ${\tfrac {a}{s}}$ a la clase del elemento $(a,s)$.

Las operaciones adición y producto dadas por

    ${a \over s}+{b \over t}={at+bs \over st}$
    ${a \over s}\cdot {b \over t}={ab \over st}$

están bien definidas y dotan a ${\mathcal {D}}^{-1}A$ de una estructura de anillo conmutativo y unitario, que se denomina anillo de fracciones del anillo $A$ respecto de ${\mathcal {D}}$: $(\ {\mathcal {D}}^{-1}A,+,\cdot )$.

## La inclusión natural $A\to {\mathcal {D}}^{-1}A$

Dado un elemento fijo $d\in {\mathcal {D}}$ cualquiera, podemos definir un homomorfismo de anillos dado por

       $A\to {\mathcal {D}}^{-1}A\ :\ a\mapsto {\tfrac {ad}{d}}$.

La imagen ${\frac {d'd}{d}}$ de cada denominador $d'\in {\mathcal {D}}$ tiene un inverso multiplicativo ${\tfrac {d}{d'd}}$ en ${\mathcal {D}}^{-1}A$.

No obstante, si el conjunto ${\mathcal {D}}$ contiene divisores de cero, p.e. el elemento $d\in {\mathcal {D}}$ siendo $bd=0$, tendríamos

       $b\mapsto {\frac {bd}{d}}={\frac {0}{d}}=0$,

con lo que el homomorfismo anterior no sería inyectivo.

En caso contrario, si el conjunto ${\mathcal {D}}$ no contiene divisores de cero, podemos embeber el anillo $A$ de manera natural en el anillo de fracciones ${\mathcal {D}}^{-1}A$, que es de hecho el menor anillo que contiene a $A$, salvo isomorfismo, en el que cada denominador $d\in {\mathcal {D}}$ tiene inverso.

Cuando el conjunto ${\mathcal {D}}$ contiene a todos los elementos que no son divisores de cero (y nada más) el anillo resultante se denomina anillo total de fracciones de $A$. Si $A$ es un dominio de integridad, el anillo total de fracciones es el cuerpo de fracciones de $A$.

