Polinomios secundarios
# Polinomios secundarios

En matemáticas, los polinomios secundarios $\{q_{n}(x)\}$ asociados con una sucesión matemática $\{p_{n}(x)\}$ de polinomios ortogonales con respecto a una densidad $\rho (x)$ se definen por

    $q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.$

Para ver que las funciones $q_{n}(x)$ son polinomios, considérese el ejemplo simple de $p_{0}(x)=x^{3}.$. Entonces,

    ${\begin{aligned}q_{0}(x)&=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {t^{3}-x^{3}}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&=\int _{\mathbb {R} }\!{\frac {(t-x)(t^{2}+tx+x^{2})}{t-x}}\rho (t)\,dt\\&=\int _{\mathbb {R} }\!(t^{2}+tx+x^{2})\rho (t)\,dt\\&=\int _{\mathbb {R} }\!t^{2}\rho (t)\,dt+x\int _{\mathbb {R} }\!t\rho (t)\,dt+x^{2}\int _{\mathbb {R} }\!\rho (t)\,dt\end{aligned}}$

que es un polinomio en $x$ tal que las tres integrales en $t$ (los momentos de la densidad $\rho$) sean convergentes.

