Teorema de los residuos
# Teorema de los residuos

El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

## Enunciado

Sea $f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ una función analítica en un dominio simplemente conexo $D$, excepto en un número finito de puntos $z_{k}$ que constituyen singularidades aisladas de $f$. Sea $C$ una curva en $D$, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de $f$. Entonces se tiene:

   $\oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}\operatorname {Res} (f,z_{k})$

donde $\operatorname {Res} (f,z_{k})$ es el Residuo de la función $f$ en el punto singular $z_{k}$.

## Demostración

Sea $f$ holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial $f(z)\,dz$ es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral $\int _{C}f(z)\,dz$ es igual a $\int _{C'}f(z)\,dz$ siempre que $C'$ sea una curva homotópica con $C$.

En específico, se puede considerar una curva tipo $C'$ la cual tiene una rotación alrededor de los puntos $a_{j}$ sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva $C'$ sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de $f$ alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea $z=a_{j}+\rho e^{i\theta }$ parametrización de la curva alrededor del punto $a_{j}$, entonces se tiene $dz=\rho ie^{i\theta }\,d\theta$, por lo tanto:

   $\int _{C}f(z)\,dz=\int _{C'}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{\partial B_{\rho }(a_{j})}f(z)\,dz=\sum _{j}\eta (C,a_{j})\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho ie^{i\theta }\,d\theta$

donde $\rho >0$, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas $B_{\rho }(a_{j})$ están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio $U$. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda $j$:

   $i\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =2\pi i\mathrm {Res} (f,a_{j}).$

Sea $j$ fija y aplíquese la serie de Laurent para $f$ en $a_{j}:$

   $f(z)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}(z-a_{j})^{k}$

de tal forma que ${\rm {{Res}(f,a_{j})=c_{-1}}}$, donde $c_{-1},$ es el coeficiente de ${1 \over (z-a_{j})}$ en la serie de Laurent. Entonces tenemos:

   $\int _{0}^{2\pi }f(a_{j}+\rho e^{i\theta })\rho e^{i\theta }\,d\theta =\sum _{k}\int _{0}^{2\pi }c_{k}(\rho e^{i\theta })^{k}\rho e^{i\theta }\,d\theta =\rho ^{k+1}\sum _{k}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta .$

Obsérvese que si $k=-1$, se tiene:

   $\rho ^{k+1}c_{k}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =c_{-1}\int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi c_{-1}=2\pi \,\mathrm {Res} (f,a_{j})$

mientras que para $k\neq -1$ se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:

   $\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\theta }\,d\theta =\left[{\frac {e^{i(k+1)\theta }}{i(k+1)}}\right]_{0}^{2\pi }=0.$

$\square$

