Forma normal de Hesse
# Forma normal de Hesse

La forma normal de Hesse normal, nombrada así por Otto Hesse, es una ecuación usada en geometría analítica y describe una recta en $\mathbb {R} ^{2}$, un plano en el Espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$ o un hiperplano en dimensiones mayores. Es usada principalmente para calcular distancias (ver distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta).

Se escribe como

    ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

El punto $\cdot$ indica el producto escalar o producto punto.

El vector ${\vec {n}}_{0}$ representa el vector normal unidad de E o g, que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia $d\geq 0$ es la distancia desde el origen hasta el plano (o recta).

Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P, ubicados precisamente en el plano E (o en 2D, en la recta g ), descrito por el vector de ubicación ${\vec {r}}$ que apunta desde el origen del sistema de coordenadas a P.

## Derivación/Cálculo de la forma normal

Nota: Por simplicidad, la siguiente derivación discute el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

    $({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,$

un plano está dado por el vector normal ${\vec {n}}$ así como un vector de posición arbitrario ${\vec {a}}$ de un punto $A\in E$. La dirección de ${\vec {n}}$ se elige para satisfacer la siguiente desigualdad

    ${\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,$

Al dividir el vector normal ${\vec {n}}$ por su magnitud $|{\vec {n}}|$, obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)

    ${\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,$

y la ecuación anterior se puede reescribir como

    $({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,$

Substituyendo

    $d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,$

obtenemos la forma normal de Hesse

    ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d$ se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con ${\vec {r}}={\vec {r}}_{s}$, según la definición de producto escalar

    $d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,$

La magnitud $|{\vec {r}}_{s}|$ de ${{\vec {r}}_{s}}$ es la menor distancia del origen al plano.

