Análisis de la covarianza
# Análisis de la covarianza

El análisis de la covarianza o ANCOVA, acrónimo del inglés analysis of covariance, es un modelo lineal general con una variable cuantitativa y uno o más factores. El ANCOVA es una fusión del ANOVA y de la regresión lineal múltiple. Es un procedimiento estadístico que permite eliminar la heterogeneidad causada en la variable de interés (variable dependiente) por la influencia de una o más variables cuantitativas (covariables). Básicamente, el fundamento del ANCOVA es un ANOVA al que a la variable dependiente se le ha eliminado el efecto predicho por una o más covariables por regresión lineal múltiple. La inclusión de covariables puede aumentar la potencia estadística porque a menudo reduce la variabilidad.

## Ecuaciones

### ANCOVA de un factor

El análisis de un factor es apropiado cuando se dispone de tres o más grupos. En los diseños equilibrados, cada grupo tiene el mismo número de datos (individuos), los cuales idealmente han sido asignados al azar a cada grupo a partir de una muestra original preferiblemente homogénea.

### Calculando la suma de las desviaciones al cuadrado para la variable independiente X y la variable dependiente Y

Las sumas de las desviaciones al cuadrado o sumas de cuadrados (SS): $SST_{y}$, $SSTr_{y}$, y $SSE_{y}$ deben ser calculadas usando las siguientes ecuaciones para la variable dependiente, Y. La SS para la covariable también debe ser calculada; los dos valores necesarios son $SST_{x}$ y $SSE_{x}$.

La suma de cuadrados total define una la variabilidad del total de individuos $n_{T}$:

    $SST_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}$

La suma de cuadrados para los tratamientos define la variabilidad entre las poblaciones o grupos. $k$ representa el número de grupos.

    $SSTr_{y}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{k}}\right)-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)^{2}}{n_{T}}}$

La suma de cuadrados del error define la variabilidad residual dentro de cada grupo. $n_{n}$ representa el número de individuos en un grupo dado:

    $SSE_{y}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}^{2}}{n_{k}}}\right)$

La suma de cuadrados total es igual a la suma de cuadrados de los tratamientos y la suma de cuadrados del error (propiedad de aditividad de las sumas de cuadrados y de los grados de libertad, característica del ANOVA).

    $SST_{y}=SSTr_{y}+SSE_{y}.\,$

### Cálculo de la covarianza de X e Y

La sumas de las covarianzas ($SCT$ y $SCE$) definen la covarianza de X e Y.

    $SCT=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}X_{ij}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}Y_{ij}\right)}{n_{T}}}$
    $SCE=\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{ij}Y_{ij}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{ij}Y_{ij})}{n_{n}}}\right)$

### Ajuste de $SST_y$

Las correlaciones entre X e Y son $r_{T}$ para el total y $r_{n}$ para el error.

    $r_{T}={\frac {SCT}{\sqrt {SST_{x}SST_{y}}}}$
    $r_{n}={\frac {SCE}{\sqrt {SSE_{x}SSE_{y}}}}$

La proporción de covarianza es sustraída de la dependiente; valores de $SS_{y}$:

    $SST_{y(adj)}=SST_{y}-SST_{y}(r_{T})^{2}\,$
    $SSE_{y(adj)}=SSE_{y}-SSE_{y}(r_{n})^{2}\,$
    $SSTr_{y(adj)}=SST_{y(adj)}-SSE_{y(adj)}\,$

### Ajuste de las medias de cada grupo k

La media de cada grupo es ajustada del siguiente modo:

    $M_{y_{i}(adj)}=M_{y_{i}}-{\frac {SCE_{y}}{SCE_{x}}}(M_{x_{i}}-M_{x_{T}})$

### Análisis usando los valores de la suma de cuadrados

Finalmente obtenemos la varianza de los tratamientos libre de la covarianza, donde $df_{Tr}$ (grados de libertad de los tratamientos) es igual a $k-1$ y $df_{E}$ (grados de libertad del error) es igual a $n_{T}-k-1$. Puede apreciarse que cada covariable elimina un grado de libertad.

    $MSTr={\frac {SSTr}{df_{Tr}}}$
    $MSE={\frac {SSE}{df_{E}}}$

El estadístico F se obtiene de:

    $F_{df_{E},df_{\mathrm {Tr} }}={\frac {MSTr}{MSE}}$
