Partición de plano
# Partición de plano

En matemáticas y especialmente en combinatoria, una partición de plano es un conjunto bidimensional de enteros no negativos $\pi _{i,j}$ (con i,j enteros y positivos) que es no creciente para ambos índices. Esto significa que

    $\pi _{i,j}\geq \pi _{i,j+1}\quad$ y $\quad \pi _{i,j}\geq \pi _{i+1,j}\,$ para todo i y j.

Además solo finitamente muchos de los $\pi _{i,j}$ son distintos de cero. Una partición de plano puede representarse gráficamente mediante una pila de $\pi _{i,j}$ cubos unitarios sobre el punto (i, j) en el plano, resultando un sólido tridimensional como el mostrado en la imagen.

La suma de una partición de plano es:

    $n=\sum _{i,j}\pi _{i,j}.$

La suma describe el número de cubos que forman la partición de plano. El número de particiones de plano de suma n se denota como PL(n).

Por ejemplo, hay 6 particiones de plano con suma 3:

    ${\begin{matrix}1&1&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&1\\1&\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1\\1\\1&\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}2&1&\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}2\\1&\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}3\end{matrix}}$

Por lo que PL(3) = 6. (En este caso, las particiones de plano se obtienen usando indexado de matrices para las coordenadas y las entradas iguales a cero son eliminadas en pos de la legibilidad). Sea $N_{i}(r,s,t)$ el número total de particiones de plano en las que r es el número de filas distintas de cero, s es el número de columnas distintas de cero y t es el mayor entero de la matriz. Las particiones de plano son a menudo descritas por las posiciones de los cubos unidad. Por ello una partición de plano se define como un subconjunto finito ${\mathcal {P}}$ de puntos de latitud enteros positivos (i, j, k) en $\mathbb {N} ^{3}$, tal que (r, s, t) están contenidos en ${\mathcal {P}}$ y si (i, j, k) satisface $1\leq i\leq r$, $1\leq j\leq s$ y $1\leq k\leq t$, entonces (i, j, k) también están contenidos en ${\mathcal {P}}$.

${\mathcal {B}}(r,s,t)=\{(i,j,k)|1\leq i\leq r,1\leq j\leq s,1\leq k\leq t\}$

## Funciones generadoras de particiones de plano

De acuerdo con Percy A. MacMahon, la función generadora de PL(n) es dada por :$\sum _{n=0}^{\infty }{\mbox{PL}}(n)\,x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-x^{k})^{k}}}=1+x+3x^{2}+6x^{3}+13x^{4}+24x^{5}+\cdots .$ Esto es a veces denominado Función MacMahon.

Esta fórmula puede ser vista como la análoga bidimensional del producto de Euler para el número de particiones de enteros de n. No hay fórmula análoga conocida para dimensiones superiores (i.e., para particiones sólidas). El problema del carácter asintótico de las particiones planas fue resuelto por E. M. Wright. Para mayores $n$, se obtiene:

    $\mathrm {PL} (n)\sim {\frac {\zeta (3)^{7/36}}{\sqrt {12\pi }}}\ \left({\frac {n}{2}}\right)^{-25/36}\ \exp \left(3\ \zeta (3)^{1/3}\left({\frac {n}{2}}\right)^{2/3}+\zeta '(-1)\right)\ ,$

Aquí, el error tipográfico en los artículos de Wright ha sido corregido, tras ser señalado por Mutafchiev y Kamenov. La evaluación numérica da el resultado:

    $\ln \mathrm {PL} (n)\sim 2.00945n^{2/3}-0.69444\ln n-1.4631.$

Alrededor de 1896 Percy Alexander MacMahon conformó la función generadora de particiones de plano que son subconjuntos de ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ en su primer tratado sobre particiones de plano. La fórmula se obtiene de

$\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,s,t)}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {1-q^{i+j+t-1}}{1-q^{i+j-1}}}$

Una demostración de esta fórmula puede encontrarse en el libro Análisis Combinatorio, por Percy A. MacMahon. Percy A. MacMahon también menciona en su libro Análisis Combinatorio las funciones generadoreas de planos en el artículo 429. La fórmula para funciones generadoras puede ser escrita de modo alternativo, dado por

$\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,s,t)}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}\prod _{k=1}^{t}{\frac {1-q^{i+j+k-1}}{1-q^{i+j+k-2}}}$

Considerando q = 1 en las fórmulas de arriba, resulta

$N_{1}(r,s,t)=\prod _{(i,j,k)\in {\mathcal {B}}(r,s,t)}{\frac {i+j+k-1}{i+j+k-2}}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {i+j+t-1}{i+j-1}}$

Percy A. MacMahon obtuvo que el número total de particiones de plano en ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ viene dado por $N_{1}(r,s,t)$. En el caso planario (cuando t = 1), resultan los Coeficiente binomial:

    ${\mathcal {B}}(r,s,1)={\binom {r+s}{r}}$

## Diagramas de Ferrers para particiones de planos

Otra representación de las particiones de planos viene dada por el diagrama de Normal Macleods Ferrers. El Diagrama de Ferrers de una partición de plano de $n$ es una colección de $n$ puntos o nodos, $\lambda =(\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\ldots ,\mathbf {y} _{n})$, with $\mathbf {y} _{i}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{3}$ satisfaciendo la condición:

    Condición DF: Si el nodo $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\in \lambda$, entonces también lo son los nodos $\mathbf {y} =(y_{1},y_{2},y_{3})$ con $0\leq y_{i}\leq a_{i}$ para todo $i=1,2,3$.

Sustituyendo cada nodo de una partición de plano por un cubo con bordes alineados con los ejes se obtiene una representación pila de cubos de la partición de plano.

### Equivalencia de las dos representaciones

Dado un diagrama de Ferrers, la partición de plano (tal y como se entiende en la definición principial) se construye de esta forma

    Sea $\pi _{i,j}$ el número de nodos en el diagrama de Ferrers con coordenadas de la forma $(i-1,j-1,*)$ donde $*$ denota un valor arbitrario. Se verifica que la satisfacción de las condiciones para la partición de plano es condición necesaria para el diagrama de Ferrers.

Dado un conjunto de $\pi _{i,j}$ que forman una partición de plano, se obtiene el diagrama de Ferrers de esta forma.

    Comenzamos con un diagrama sin nodos. Para cada $\pi _{i,j}$ distinto de cero, se añade $\pi _{i,j}$ nodos de la forma $(i-1,j-1,y_{3})$ para $0\leq y_{3}<\pi _{i,j}-1$ al diagrama. Por construcción, es sencillo ver que se satisface la condición del diagrama de Ferrers.

Por ejemplo, debajo se muestran las representaciones de una partición de plano de 5.

    $\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}}{\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}}\right)\qquad \Longleftrightarrow \qquad {\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}}$

Encima, todos los nodos del diagrama están escritos como una columna, y solo hemos escrito el $\pi _{i,j}$ no nulo, como es convencional.

## Acción de $S_2,$ $S_3$ y $C_3$ en particiones de plano

${\mathcal {S}}_{2}$ es el grupo de permutaciones actuando sobre las dos primeras coordenadas de (i,j,k). Este grupo contiene la identidad (i,j,k) y la trasposición (i,j,k,)→(j,i,k). El número de elementos en una órbita $\eta$ se denota como |$\eta$|. ${\mathcal {B}}/{\mathcal {S}}_{2}$ denota el conjunto de órbitas de elementos de ${\mathcal {B}}$ bajo la acción de ${\mathcal {S}}_{2}$. La altura de un elemento (i,j,k) se define por

La altura se incrementa en uno a cada paso que se aleja de la esquina trasera inferior. Por ejemplo, la posición de esquina (1,1,1) tiene altura 1 y ht(2,1,1)=2. ht($\eta$) es la altura de una órbita, que es la altura de cualquier elemento de la órbita. Esta notación de altura difiere de la de Ian G. MacDonald.

Hay una acción natural del grupo de permutación ${\mathcal {S}}_{3}$ en un diagrama de Ferrers (esto corresponde a permutar simultáneamente las tres coordenadas de todos los nodos). Esto generaliza la operación de conjugación para particiones. La acción de ${\mathcal {S}}_{3}$ puede generar nuevas particiones de plano a partir de una partición de plano dada. Abajo se muestranseis particiones de plano de 4 que son generadas por acción de ${\mathcal {S}}_{3}$. Solo el intercambio de las primeras dos coordenadas se manifiesta en la representación mostrada a continuación.

    ${\begin{smallmatrix}3&1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}2&1&1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}1&1&1\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}1&1\\1\\1\end{smallmatrix}}$

${\mathcal {C}}_{3}$ se denomina grupo de permutaciones cíclicas y consiste en

$(i,j,k)\rightarrow (i,j,k),\quad (i,j,k)\rightarrow (j,k,i),\quad {\textrm {and}}\quad (i,j,k)\rightarrow (k,i,j).$

## Particiones de plano simétricas

Una partición de plano $\pi$ se denomina simétrica si $\pi$$_i_{,j}$ = $\pi$$_j_{,i}$ para todo i,j . En otras palabras, una partición de plano es simétrica si (i,j,k)$\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ si y solo si (j,i,k)$\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$. Las particiones de plano de este tipo son simétricas respecto al plano x = y. Se muestra a continuación un ejemplo de partición de plano simétrica. Se adjunta la matriz visualizada.

${\begin{matrix}4&3&3&2&1\\3&3&2&1&\\3&2&2&1&\\2&1&1&&\\1&&&&\end{matrix}}$

En 1898, Percy Alexander MacMahon formuló su conjetura sobre la función generatriz de particiones de plano simétricas que son subconjuntos de ${\mathcal {B}}(r,r,t)$. Esta conjetura se denomina La conjetura de MacMahon. La función generatriz viene dada por

$\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {1-q^{t+2i-1}}{1-q^{2i-1}}}\prod _{j=i+1}^{r}{\frac {1-q^{2(i+j+t-1)}}{1-q^{2(i+j-1)}}}\right]$

Ian G. MacDonald señaló que la conjetura de MacMahon se reduce a

$\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}q^{|\pi |}=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}{\frac {1-q^{|\eta |(1+ht(\eta ))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta )}}}$

En 1972, Edward A. Bender y Donald Knuth conjeturaron una forma cerrada simple para la función generatriz para particiones con como mucho r filas y orden estrictamente decreciente en filas. George Andrews demostró que la conjuntura de Bender y Knuth y la conjetura de MacMahon eran equivalentes. La conjetura de MacMahon fue probada casi simultáneamente por George Andrews en 1977 y después Ian G. MacDonald presentó una prueba alternativa. Poner q=1 da como resultado la función continua $N_{2}(r,r,t)$ que viene dada por

$N_{2}(r,r,t)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {2i+t-1}{2i-1}}\prod _{1\leq i<j\leq r}{\frac {i+j+t-1}{i+j-1}}$

Para una prueba del caso q = 1, pueden consultar escrito de George Andrews MacMahon's conjecture on symmetric plane partitions.

## Particiones de plano cíclicamente simétricas

$\pi$ se denomina cíclicamente simétrica si la fila i de $\pi$ es conjugada de la columna i para todo i- La columna i es una partición ordinaria. El conjugado de una partición $\pi$ es la partición cuyo diagrama es el traspuesto de la partición $\pi$. En otras palabras, la partición de plano es cíclicamente simétrica si siempre que (i,j,k)$\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ entonces (k,i,j) y (j,k,i) están también en ${\mathcal {B}}(r,s,t)$. A continuación, un ejemplo de partición de plano cíclicamente simétrica y su visualización.

${\begin{matrix}6&5&5&4&3&3\\6&4&3&3&1&\\6&4&3&1&1&\\4&2&2&1&&\\3&1&1&&&\\1&1&1&&&\end{matrix}}$

la conjetura de Ian G. Macdonald aporta una fórmula para calcular el número de particiones de plano cíclicamente simétricas para un entero r dado. Esta conjetura se denomina Conjetura MacDonald. La función generatriz para planos cíclicamente simétricos subconjuntos de ${\mathcal {B}}(r,r,r)$ viene dada por

$\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {C}}_{3}}q^{|\pi |}=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {C}}_{3}}{\frac {1-q^{|\eta |(1+ht(\eta ))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta )}}}$

Esta ecuación puede también ser escrita como

$\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {C}}_{3}}{\frac {1-q^{|\eta |(1+ht(\eta ))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta )}}}=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {1-q^{3i-1}}{1-q^{3i-2}}}\prod _{j=i}^{r}{\frac {1-q^{3(r+i+j-1)}}{1-q^{3(2i+j-1)}}}\right]$

En 1979 George Andrews ha demostrado la conjetura de MacDonald para q = 1 como conjetura "débil" de MacMahon. Tres años después William H. Mills, David Robbins y Howard Rumsey demostraron el caso general de la conjetura de MacDonald en su tratado Prueba de la conjetura de MacDonald. La fórmula para $N_{3}(r,r,r)$ viene dada por la conjetura "débil" de MacMahon.

$N_{3}(r,r,r)=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {3i-1}{3i-2}}\prod _{j=i}^{r}{\frac {i+j+r-1}{2i+j-1}}\right]$

## Particiones de plano totalmente simétricas

Una partición de plano totalmente simétrica $\pi$ es una partición simétrica y cíclicamente simétrica. Esto significa que el diagrama es simétrico en los tres planos de la diagonal. Por lo que si (i,j,k)$\in {\mathcal {B}}(r,s,t)$ todas las permutaciones de (i,j,k) están también en ${\mathcal {B}}(r,s,t)$. A continuación, un ejemplo de una partición de plano totalmente simétrica. La imagen muestra la visualización de la matriz.

${\begin{matrix}5&4&4&3&1\\4&3&3&1&\\4&3&2&1&\\3&1&1&&\\1&&&&\end{matrix}}$

Ian G. Macdonald encontró el número total de particiones de plano totalmente simétricas que son subconjuntos de ${\mathcal {B}}(r,r,r)$. La fórmula viene dada por

$N_{4}(r,r,r)=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}{\frac {1+ht(\eta )}{ht(\eta )}}$

En 1995, John R. Stembridge probó por primera vez la fórmula para $N_{4}(r,r,r)$, y posteriormente, en 2005, George Andrews, Peter Paule y Carsten Schneider también dieron una prueba. Alrededor de 1983, George Andrews y David Robbins establecieron de forma independiente una fórmula explícita del producto para la función de generación de conteo de órbitas para particiones planas totalmente simétricas. Esta fórmula ya había sido mencionada en el documento de George E. Andrews Particiones de plano totalmente simétricas, que se publicó en 1980.

La conjetura se llama q-TSPP y viene dada por:

Sea ${\mathcal {S}}_{3}$ el grupo simétrico. La función de conteo orbital para particiones planas totalmente simétricas que se ajustan dentro de ${\mathcal {B}}(r,r,r)$ viene dada por la fórmula

$\sum _{\pi \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}q^{|\pi |}=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}{\frac {1-q^{1+ht(\eta )}}{1-q^{ht(\eta )}}}=\prod _{1\leq i\leq j\leq k\leq r}{\frac {1-q^{i+j+k-1}}{1-q^{i+j+k-2}}}$

Esta conjetura se convirtió en un teorema en 2011. Para obtener una prueba de la q-TSPP, consúltese el documento "Una prueba de George Andrews" y la q-TSPP de David Robbins por Christoph Koutschan, Manuel Kauers y Doron Zeilberger.

## Particiones de plano autocomplementarias

Si $\pi _{i,j}+\pi _{r-i+1,s-j+1}=t$ para todo $1\leq i\leq r$, $1\leq j\leq s$, la partición de plano se denomina autocomplementaria. Es necesario que el producto $r\cdot s\cdot t$ sea par. A continuación, un ejemplo de partición de plano simétrica autocomplementaria y su visualización.

${\begin{matrix}4&4&3&2&1\\4&2&2&2&\\3&2&1&&\end{matrix}}$

Richard P. Stanley conjeturó fórmulas para el total de particiones autocomplementarias. $N_{5}(r,s,t)$. Según Richard Stanley, David Robbins también formuló para este propósito en una forma distinta pero equivalente. El número total de particiones de plano autocomplementarias subconjuntos de ${\mathcal {B}}(r,s,t)$ viene dado por

$N_{5}(2r,2s,2t)=N_{1}(r,s,t)^{2}$

$N_{5}(2r+1,2s,2t)=N_{1}(r,s,t)N_{1}(r+1,s,t)$

$N_{5}(2r+1,2s+1,2t)=N_{1}(r+1,s,t)N_{1}(r,s+1,t)$

Es necesario que el producto de r,s y t sea par. Una prueba puede encontrarse en el tratado Simetrías de particiones de plano, por Stanley. Las pruebas funcionan con funciones de Schur $s_{s^{r}}(x)$. La prueba de Stanley de la enumeración ordinaria de particiones de plano autocomplementarias da el análogo q sustituyendo $x_{i}=q^{i}$ por $i=1,\ldots ,n$.

Esto es un caso especial de la fórmula de Stanley. La función generatriz para particiones autocomplementarias es dada por

$s_{\gamma ^{\alpha }}(q,q^{2},\ldots ,q^{n})=q^{\gamma \alpha (\alpha +1)/2}\prod _{i=1}^{\alpha }\prod _{j=0}^{\gamma -1}{\frac {1-q^{i+n-\alpha +j}}{1-q^{i+j}}}$

Sustituyendo esta fórmula en

$s_{s^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{t+r})^{2}\ {\textrm {for}}\ {\mathcal {B}}(2r,2s,2t)$

$s_{s^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{t+r})s_{(s+1)^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{t+r})\ {\textrm {for}}\ {\mathcal {B}}(2r,2s+1,2t)$

$s_{s^{r+1}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{t+r+1})s_{s^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{t+r+1})\ {\textrm {for}}\ {\mathcal {B}}(2r+1,2s,2t+1)$

nos sirve para obtener el caso análogo q deseado.

## Particiones de plano autocomplementarias cíclicamente simétricas

Una partición de plano $\pi$ se denomina autocomplementaria cíclicamente simétrica si es cíclicamente simétrica y autocomplementaria. Esta figura representa el modelo expuesto, y la matriz asociada al mismo.

${\begin{matrix}4&4&4&1\\3&3&2&1\\3&2&1&1\\3&&&\end{matrix}}$

En una comunicación privada con Stanley, David P. Robins conjeturó que el número total de particiones de plano autocomplementarias cíclicamente simétricas dada por $N_{6}(2r,2r,2r)$ El número total de particiones autocomplementarias cíclicamente simétricas viene dada por

$N_{6}(2r,2r,2r)=D_{r}^{2}$

$D_{r}$ es el número de of $r\times r$ matrices de signo alterno. Una fórmula para $D_{r}$ viene dada por

$D_{r}=\prod _{j=0}^{r-1}{\frac {(3j+1)!}{(r+j)!}}$

Greg Kuperberg demostró que la fórmula para $N_{6}(r,r,r)$ en 1994.

## Particiones de plano autocomplementarias totalmente simétricas

Una partición de plano totalmente simétrica es una partición de plano que es a la vez totalmente simétrica y autocomplementaria. Por ejemplo, la matriz aquí mostrada es de este tipo, acompañada por su correspondiente representación.

${\begin{matrix}6&6&6&5&5&3\\6&5&5&3&3&1\\6&5&5&3&3&1\\5&3&3&1&1&\\5&3&3&1&1&\\3&1&1&&&\end{matrix}}$

La fórmula $N_{7}(r,r,r)$ fue conjeturada por William H. Mills, David Robbins y Howard Rumsey en su tratado Particiones de plano autocomplementarias completamente simétricas. El número total de particiones de plano autocomplementarias totalmente simétricas viene dado por

$N_{7}(2r,2r,2r)=D_{r}$

George Andrews demostró esta fórmula en 1994, en su tratado Particiones de plano V: La conjetura TSSCPP.

