Número primo de Ramanujan
# Número primo de Ramanujan

En matemáticas, un primo de Ramanujan es un número primo que satisface el resultado demostrado por Srinivasa Ramanujan relativo a la función contador de números primos.

## Orígenes y definición

En 1919, Ramanujan publicó una nueva prueba del postulado de Bertrand, demostrado por primera vez por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894). Al final de las dos páginas del documento publicado, Ramanujan deduce el siguiente resultado generalizado:

    $\pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ para todo }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ respectivamente}}$ (véase: A104272)

donde $\pi (x)$ es la función contador de números primos, igual a la cantidad de números primos menores o iguales a x.

El inverso de este resultado es la definición de los números primos de Ramanujan:

    El enésimo primo de Ramanujan es el menor entero $R_n$ para el que $\pi (x)-\pi (x/2)\geq n,$ para todo x ≥ $R_n$ En otras palabras: los números primos de Ramanujan son los menores enteros $R_n$ para los que hay al menos n primos entre x y x/2 para todo x ≥ $R_n.$

Los cinco primeros números primos de Ramanujan son entonces: 2, 11, 17, 29, y 41.

Téngase en cuenta que el número entero $R_n$ es necesariamente un número primo, dado que: $\pi (x)-\pi (x/2)$ y, por lo tanto, $\pi (x)$ debe aumentar mediante la obtención de otro primo en x = $R_n.$ Desde $\pi (x)-\pi (x/2)$ puede aumentar como máximo en 1,

    $\pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n.$

## Límites y fórmula asintótica

Para todo $n\geq 1$, se fijan los límites

    $2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n$

Si $n>1$, entonces también

    $p_{2n}<R_{n}<p_{3n}$

donde $p_n$ es el enésimo número primo.

Cuando n tiende a infinito, $R_n$ es asintótico respecto al primo 2enésimo, por ejemplo,

    $R_n$ ~ $p_{2n}$ (n → ∞).

Todos estos resultados fueron probados por Sondow (2009), excepto para el límite superior $R_n$ < $p_{3n}$ que fue conjeturado por él y probado por Laishram (2010). El valor de contorno fue mejorada por Sondow, Nicholson, y Noe (2011) hasta convertirse en la expresión:

    $R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}$

forma óptima para $R_n$ ≤ $c·p_{3n}$ que se convierte en una igualdad para n = 5.

En una dirección diferente, Axler demostró que

    $R_{n}<p_{\lceil t\cdot n\rceil }$

es óptima para t > 48/19, donde $\lceil \cdot \rceil$ es la función techo.

Una mejora adicional de los valores de contorno superiores fue llevada a cabo a finales de 2015 por Anitha Srinivasan y John W. Nicholson. Demostró que si

    $\alpha =1+{\frac {3}{\ln n+\ln \ln n-4}}$

a continuación, $R_{n}<p_{\lfloor 2n\alpha \rfloor }$ para todo $n>241$, donde $\lfloor \cdot \rfloor$ es la función suelo. Para valores grandes de n, el valor de contorno es más pequeño y por lo tanto mejor que $p_{\lfloor 2nc\rfloor }$ para cualquier constante fijada $c>1$.

## Generalización de los primos de Ramanujan

Dada una constante c entre 0 y 1, el enésimo c-primo de Ramanujan es definido como el menor entero $R_{c,n}$ con la propiedad de que para cualquier entero x ≥ $R_{c,n}$ haya al menos n primos entre cx y x, esto es, $\pi (x)-\pi (cx)\geq n$. En particular, cuando c = 1/2, el enésimo 1/2-primo de Ramanujan es igual al enésimo primo de Ramanujan: $R_{0.5,n}$ = $R_n.$

Para c = 1/4 y 3/4, la secuencia de c-primo de Ramanujan comienza como

    $R_{0.25,n}$ = 2, 3, 5, 13, 17, ... A193761,
    $R_{0.75,n}$ = 11, 29, 59, 67, 101, ... A193880.

Es sabido que, para todo n y c, el enésimo c-primo de Ramanujan $R_{c,n}$ existe y es en efecto primo. También, cuando n tiende a infinito, $R_{c,n}$ es asintótico en relación con $p_{n/(1−c)}$

    $R_{c,n}$ ~ $p_{n/(1−c)}$ (n → ∞)

donde $p_{n/(1−c)}$ es el $\lfloor$n/(1 − c)$\rfloor$ésimo primo y $\lfloor .\rfloor$ es la función suelo.

## Corolario de los primos de Ramanujan

    $2p_{i-n}>p_{i}{\text{ para }}i>k{\text{, donde }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,$

es decir, $p_k$ es el késimo primo y el nésimo primo de Ramanujan.

Esto es muy útil para demostrar que el número de números primos en el rango $[p_k,$ $2p_{i−n}]$ es mayor que o igual a 1. Teniendo en cuenta el tamaño de los huecos entre los números primos en $[p_{i−n},p_k],$ puede verse que el hueco promedio entre primos es de $ln(p_k)$ usando la aproximación siguiente: $R_n/(2n)$ ~ $ln(R_n).$

Prueba del Corolario:

Si $p_i$ > $R_n,$ entonces $p_i$ es impar y $p_i$ − 1 ≥ $R_n,$ y por lo tanto $π(p_i$ − 1) − $π(p_i/2)$ = $π(p_i$ − 1) − $π((p_i$ − 1)/2) ≥ n. Así $p_i$ − 1 ≥ $p_{i−1}$ > $p_{i−2}$ > $p_{i−3}$ > ... > $p_{i−n}$ > $p_i/2,$ y por lo tanto $2p_{i−n}$ > $p_i.$

Un ejemplo de este corolario:

Con n = 1000, $R_n$ = $p_k$ = 19403, y k = 2197, entonces i ≥ 2198 y i−n ≥ 1198. El menor i − n primo es $p_{i−n}$ = 9719, y por lo tanto $2p_{i−n}$ = 2 × 9719 = 19438. El 2198ésimo primo, $p_i,$ está comprendido entre $p_k$ = 19403 y $2p_{i−n}$ = 19438 y es 19417.

El lado izquierdo del Primer Corolario de Ramanujan es la secuencia de números A168421; el menor primo en el lado derecho figura en A168425. La secuencia A165959 es el rango del menor primo mayor que $p_k.$ Los valores de $\pi (R_{n})\,$ aparecen en la secuencia A179196.

El Primer Corolario Ramanujan es debido a John Nicholson.

El lema de Srinivasa establece que $p_{k−n}$ < $p_k/2$ si $R_n$ = $p_k$ y n > 1. Prueba: Por la minimalidad de $R_n,$ el intervalo $(p_k/2,p_k]$ contiene exactamente n primos y por lo tanto $p_{k−n}$ < $p_k/2.$

