Teorema de Fubini
# Teorema de Fubini

En matemáticas el teorema de Fubini, llamado así en honor del matemático italiano Guido Fubini, afirma que si:

    $\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,$

la integral respecto al producto cartesiano de dos intervalos en el espacio

    $A\times B$

puede ser escrita como:

    $\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y),$

Las primeras dos integrales son simples, mientras que la tercera es una integral en el producto de dos intervalos.

Por otra parte si:

    $f(x,y)=f(x)g(y)$

entonces:

    $\int _{A}f(x)\,dx\int _{B}g(y)\,dy=\int _{A\times B}f(x)g(y)\,d(x,y)$

Por lo tanto la integral doble es reducible al producto de dos integrales simples.

## Aplicaciones

### Integral de Gauss

Una aplicación del teorema de Fubini es la evaluación de la "integral de Gauss" (también llamada "integral gaussiana" o "integral de probabilidad"), la cual es base de una gran parte de la teoría de probabilidad:

   $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,{\text{d}}x={\sqrt {\pi }}.$

Para ver cómo es usado el "teorema de Fubini" para probar este importante resultado, véase la integral de Gauss.

