Límite (sucesión de conjuntos)
# Límite (sucesión de conjuntos)

En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos $(A_{n})_{n}$ al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos $A_{n}$ componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.

## Definición para sucesiones monótonas

Sea $(A_{n})_{n}$ una sucesión de conjuntos, se dice que dicha sucesión es monótona creciente, y se indica como $A_{n}\uparrow$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que $A_{n}\subseteq A_{n+1}$.

De la misma manera, la sucesión de conjuntos es monónota decreciente y se indica como $A_{n}\downarrow$, si para todo n, perteneciente al conjunto de los números naturales, se tiene que $A_{n}\supseteq A_{n+1}$.

Haciendo uso de operadores de conjuntos (unión, intersección), en una sucesión monótona creciente con un número fijado n se tiene que:

   $\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$

El límite de esta sucesión creciente se define de manera natural como:

   $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

es decir, como la unión de los infinitos conjuntos $A_n$ de la sucesión. Una definición similar se sigue para una sucesión monótona decreciente. Fijado un n se tiene que:

   $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}$

Y por tanto, el límite de esta sucesión decreciente se define como:

   $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$

esto es, como la intersección de los conjuntos $A_n$ de la sucesión.

Cuando se cumplen estas condiciones, se dice que la sucesión de conjuntos tiene límite o que es convergente.

## Definición general

De manera más general y dada cualquier sucesión de conjuntos, pueden definirse los límites inferior y superior construyendo dos sucesiones monótonas creciente y decreciente respectivamente:

* Sea una sucesión de conjuntos $(A_n)_n.$
* El límite inferior es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la sucesión salvo quizá un número finito de ellos:
* $\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$
* El límite superior es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a infinitos conjuntos en la sucesión:
* $\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$

De las definiciones anteriores se puede obtener la relación:

   $\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$

En el caso de que ambos límites coincidan, se toma este conjunto común como el límite de la sucesión $A_n:$

   $\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}$
