Teorema de Gauss-Bonnet generalizado
# Teorema de Gauss-Bonnet generalizado

En matemáticas, el teorema de Gauss-Bonnet generalizado presenta la característica de Euler de una variedad de Riemann cerrada como integral de cierto polinomio derivado de su curvatura. Es una generalización directa del teorema de Gauss-Bonnet a la dimensión par en general.

## Definición

Sea M una variedad de Riemann compacta de la dimensión 2n y sea Ω la forma de curvatura de la conexión de Levi-Civita. Esto significa que Ω es ${\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)$-valorada en M. Tal Ω puede ser mirado como matriz anti-simétrica 2n×2n cuyas entradas sean 2-formas, así que es una matriz sobre el anillo conmutativo $\bigwedge ^{\hbox{par}}T^{*}M$. Uno puede por lo tanto tomar el Pfaffiano de Ω Pf(Ω) que resulta ser una 2n-forma.

El teorema de Gauss-Bonnet generalizado establece que

    $\int _{M}{\mbox{Pf}}(\Omega )\ =2^{n}\pi ^{n}\chi (M)$

donde χ denota la característica de Euler de M.

### Otras generalizaciones

Como con el teorema de Gauss-Bonnet, hay generalizaciones cuando M es una variedad con borde.

