Fórmulas de la mitad del lado
# Fórmulas de la mitad del lado

En trigonometría esférica, las fórmulas de la mitad del lado relacionan los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo esférico, que son los triángulos formados por tres circunferencias máximas en la superficie de una esfera, y por lo tanto, tienen lados curvos y no obedecen a las fórmulas de los triángulos planos.

## Fórmulas

En una esfera unitaria, las fórmulas del centro del lado son

    ${\begin{aligned}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-A)\\[8pt]\tan \left({\frac {b}{2}}\right)&=R\cos(S-B)\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S-C)\end{aligned}}$

donde

* a, b, c son las longitudes de los lados respectivamente opuestos a los ángulos A, B, C,
* $S={\frac {1}{2}}(A+B+C)$ es la semisuma de los ángulos, y
* $R={\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-A)\cos(S-B)\cos(S-C)}}}.$

Las tres fórmulas son realmente la misma fórmula, con los nombres de las variables permutados.

Para generalizar a una esfera de radio arbitrario r, las longitudes a, b, c deben reemplazarse por

* $a\rightarrow a/r$
* $b\rightarrow b/r$
* $c\rightarrow c/r$

de modo que a, b, c tienen escalas de longitud, en lugar de escalas angulares.

