Coseno
# Coseno

En matemáticas, el coseno es una función par y continua con periodo $2\pi$, además una función trascendente. Su nombre se abrevia cos.

       $\cos \;x=\cos(-x)$
       $\cos \;x=-\cos(x+\pi )$

En trigonometría, el coseno de un ángulo $\alpha$ de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo y la hipotenusa:

    $\cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {AC}{AB}}$

Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo $\alpha .$

Si $B$ pertenece a la circunferencia de radio uno con centro $O=A$ se tiene:

    $\cos \alpha =b=AC$

Ya que $c=AB=1$.

Esta construcción permite representar el valor del coseno para ángulos no agudos y funciona exactamente igual para los vectores, representando un vector ${\vec {AB}}$ mediante su descomposición en los vectores ortonormales ${\vec {AC}}$ y ${\vec {CB}}$.

## Cálculo por serie de potencias

En análisis matemático el coseno es la función que asocia un número real $x$ con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en radianes, $x$. Es una función trascendente y analítica, cuya expresión en serie de potencias es:

    $\cos x=1-{\cfrac {x^{2}}{2!}}+{\cfrac {x^{4}}{4!}}-{\cfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots$

que en sumatorio sería:

    $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

## En el plano complejo

En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:

* ${\cos }\ (z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$
* Dada la fórmula de Euler:
* $e^{iz}={\cos }\ (z)+i{\operatorname {sen} }\ (z)$
* donde $e$ es la base del logaritmo natural, e $i$ es la unidad de los números imaginarios.
* Mediante las identidades del senos y cosenos aplicado a $e^{-iz}$ se tiene también que:
* $e^{-iz}={\cos }\ (-z)+i{\operatorname {sen} }\ (-z)=$ ${\cos }\ (z)-i{\operatorname {sen} }\ (z)$
* Sumando estas dos ecuaciones se tiene:
* $e^{iz}+e^{-iz}=2{\cos }\ (z)$
* donde despejando el coseno se obtiene lo que se quiere.

## Relaciones trigonométricas

El coseno puede relacionarse con otras funciones trigonométricas mediante el uso de identidades trigonométricas.

* $\cos \;\alpha =\;\;\;\cos \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z}$
* Por inducción ya que aplicando un número par de veces $\cos \;\alpha =-\cos(\alpha +\pi )$ se llega a todos los valores de k.

### Relación entre el seno y el coseno

La curva del coseno es la curva del seno desplazada ${\frac {\pi }{2}}$ a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:

    $\cos \alpha =\operatorname {sen} \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)$

### Coseno de la suma de dos ángulos

* $\cos(\alpha +\beta )=$ $\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$
* $\cos(\alpha -\beta )=$ $\cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$
* La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

### Coseno del ángulo doble

* $\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sen} ^{2}\alpha$
* Como:
* $\cos(\alpha +\beta )=$ $\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta$
* Bastará con el cambio $\beta =\alpha \,$

### Coseno del ángulo mitad

* $\cos {\bigg{\frac {\alpha }{2}}{\bigg )}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,\,{\frac {\pi }{2}}\,)+2k\pi \\-{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [\;\;\;{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi \end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z}$
* Usando las fórmulas:
* $\operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$ y
* $\cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta$
* resulta:
* $\cos \left(2\theta \right)=2\cos ^{2}\theta -1$
* Representación de $y\;=\;{\sqrt {\frac {1+\cos(2x)}{2}}}.$
* y aislando $\operatorname {sen} \theta$:
* $\vert \cos \theta \vert ={\sqrt {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$
* El cambio $\theta ={\frac {\alpha }{2}}$ corrige el ángulo y se extrae el valor absoluto con signo del seno:
* $0<\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}})+2k\pi ,$
* $0>\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi$
* donde $k\in \mathbb {Z}$.

### Suma de funciones como producto

* $\cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)$
* $\cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)$
* La demostración está en la sección de identidades trigonométricas.

### Producto de funciones como suma

    $\cos(A)\cos(B)=\cos ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)$
    $\cos(A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\cos(A+B)+\cos(A-B)\right)$

## Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud

| Ángulos en Rad (X) | Ángulos en Grados (X°) | Cos(X) |
| - | - | - |
| ${\frac {\pi }{6}}$ | 30° | ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ |
| ${\frac {\pi }{4}}$ | 45° | ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ |
| ${\frac {\pi }{3}}$ | 60° | ${\frac {1}{2}}$ |
| ${\frac {\pi }{2}}$ | 90° | $0$ |
| $\pi$ | 180° | $-1$ |
| $2\pi$ | 360° | $1$ |

Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una función par.

## Derivada del coseno

    $\cos 'x=-\operatorname {sen} x\,$

## Generalizaciones del coseno

* Coseno hiperbólico cosh(x)
* Función elíptica cn(x)
