Structure presque complexe
# Structure presque complexe

En géométrie différentielle, une structure presque complexe sur une variété différentielle réelle est la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur chaque espace tangent.

## Définition formelle

Une structure presque complexe J sur une variété différentielle M est un champ d'endomorphismes J, c'est-à-dire une section globale du fibré vectoriel $\mathrm {End} (TM)$, vérifiant :

    $\forall x\in M,J_{x}^{2}=-\mathrm {Id} _{T_{x}M}$

Une variété différentielle munie d'une structure presque complexe est appelée une variété presque complexe.

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe J sur une variété différentielle M implique que M soit de dimension paire, disons 2n. De plus, il existe une unique orientation sur M telle que ...

Donc, pour qu'il existe une structure presque complexe, il faut que la variété soit de dimension paire et orientée. Mais cette condition à elle seule ne suffit pas :

Théorème : L'existence d'une structure presque complexe sur une variété différentielle de dimension paire orientable équivaut à la réduction du groupe structural du fibré tangent de $\mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )$ à $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$.

## Exemples

Les seules sphères à admettre une structure presque complexe sont :

* La sphère $S^{2}$, vue comme le compactifié de ℂ.
* La sphère $S^{6}$, vue comme la sphère unité des octonions imaginaires.

## Formes différentielles

Algèbre linéaire : un opérateur linéaire $A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ vérifiant l'identité $A^{2}=-\mathrm {I} _{n}$ se réduit sur $\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$. Il admet deux espaces propres, $E^{+}$ et $E^{-}$, de valeurs propres respectives $i$ et $-i$.

Structures presque complexes :

* $TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =T^{+}M\oplus T^{-}M$

Les formes différentielles sont les sections des produits extérieurs du fibré cotangent.

* $\Omega ^{r}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{r+q=p}\Omega ^{r,q}(M)$
