Tétraèdre régulier
# Tétraèdre régulier

En géométrie, le tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux. Il possède 6 arêtes et 4 sommets. Il fait partie des cinq solides de Platon. Il possède une sphère circonscrite passant par ses 4 sommets et une sphère inscrite tangente à ses 4 faces.

Comme il a 3 sommets par face, et 3 faces par sommet, son symbole de Schläfli est {3,3}.

## Grandeurs caractéristiques

Si a est la longueur d'une arête :

* sa hauteur est égale à : $H={\sqrt {\frac {2}{3}}}~a$ ;
* son centre est situé, par rapport à la base, à : $h={\frac {H}{4}}={\frac {a}{2{\sqrt {6}}}}$ ;
* le rayon de sa sphère circonscrite est : $R={\frac {3}{4}}H={\sqrt {\frac {3}{8}}}a$ ;
* le rayon de sa sphère inscrite est : $r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}$ ;
* son aire est : $A={\sqrt {3}}a^{2}$ ;
* son volume est : $V={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}$ ;
* son angle dièdre vaut $\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\simeq 70,5288^{\circ }$ ;
* son angle central (c’est-à-dire celui que forment, deux à deux, les quatre segments qui partent du centre vers les quatre sommets) vaut $\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 109^{\circ }28'$ , double de l'angle dit « magique ».
* l'angle solide d'une face vue du sommet opposé vaut $\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\simeq 0,55129$ stéradians ;
* Les 4 points de coordonnées $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$ sont les sommets d'un tétraèdre régulier d'arête a = 2√2 centré à l'origine, issu de quatre sommets d'un cube.

## Propriétés diverses

Les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre régulier forment un groupe isomorphe au groupe symétrique $S_4$ . Le sous-groupe des isométries positives est isomorphe au groupe alterné $A_4.$

Le tétraèdre régulier est son propre dual, c'est-à-dire qu'en joignant les centres de ses faces, on obtient un tétraèdre régulier semblable.

Il possède une coupe carrée, en prenant comme plan de coupe le plan parallèle à deux arêtes orthogonales, passant par le milieu des quatre autres arêtes.

Cette forme est utilisée pour fabriquer des dés à quatre faces et modélise certaines molécules ayant une géométrie moléculaire tétraédrique tel que le méthane.

Platon l'associait à l'élément naturel « feu ».

