Tour d'extensions quadratiques
# Tour d'extensions quadratiques

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps, une tour d'extensions quadratiques est une suite finie $K_0,$ … , $K_n$ de corps commutatifs dont chacun est une extension quadratique du précédent. Le corps $K_n$ est alors une extension finie de degré $2^n$ de $K_0.$ Si de plus la caractéristique de ces corps n'est pas 2, alors ces extensions sont séparables.

La notion est naturellement liée à celle de construction à la règle et au compas : la construction du polygone régulier à 17 côtés (découverte par Gauss en 1796) peut s'analyser en termes d'une suite d'extensions quadratiques ; le théorème de Wantzel (Wantzel 1837) permet de caractériser les nombres constructibles à la règle et au compas en termes de tour d'extensions quadratiques. Ce théorème a permis de clore certaines grandes questions ouvertes des mathématiques de la Grèce antique, comme la duplication du cube et la trisection de l'angle. L'étude de ces extensions permet, grâce à la théorie de Galois, une démonstration du théorème de Gauss-Wantzel, qui donne la liste des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.

Beaucoup d'auteurs utilisent la notion directement, sans lui attribuer un nom particulier, et parlent, à l'occasion, simplement de suite d'extensions quadratiques.

## Exemples

* Toute extension quadratique est une tour (à un seul élément) d'extensions quadratiques, mais la notion de tour n'est pas vraiment pertinente dans ce cas : le concept d'extension quadratique est suffisant.
* Soient a un entier, n un entier naturel, p = $2^n$ et r une racine p-ième de a. Alors, ℚ(r) est le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques sur ℚ de longueur inférieure ou égale à n. En effet, si l'on note $r_n$ = r et, pour k de n à 1, $r_{k–1}$ = $r_k^2,$ alors $ℚ(r_k)$ est une extension de degré 1 ou 2 de $ℚ(r_{k–1})$ et $ℚ(r_0)$ = ℚ(a) = ℚ. En revanche, l'extension ℚ(r) de ℚ n'est pas normale en général : par exemple pour n = 2 et a = 2, deux des quatre conjugués sur ℚ de la racine quatrième de 2 sont non réelles, or l'extension $ℚ(^4√2)$ est réelle.
* Soit n un entier dont l'indicatrice d'Euler est une puissance de 2 ; alors l'extension cyclotomique d'une racine primitive de l'unité d'ordre n se décompose en tour d'extensions quadratiques. Ce résultat est établi dans l'article « Théorème de Gauss-Wantzel » pour les cas n = 5 et n = 17. Il est établi de manière générale dans le paragraphe « Propriétés galoisiennes » ci-dessous.

## Propriétés galoisiennes

Lorsqu'une extension L/K est constituée des deux extrémités d'une tour d'extensions quadratiques, son degré est, par construction, une puissance de 2. La réciproque est vraie si l'extension est galoisienne :

   Toute extension de Galois dont le degré est une puissance de 2 est une tour d'extensions quadratiques.

Le groupe de Galois est d'ordre le degré $2^n$ de l'extension. C'est donc un 2-groupe fini. Par conséquent, il possède une suite de Jordan-Hölder dont les quotients sont d'ordre 2. Le théorème fondamental de la théorie de Galois associe à cette suite une tour d'extensions quadratiques.

Or une extension algébrique L/K est galoisienne si et seulement si elle est à la fois normale (contrairement, par exemple, à $ℚ(^4√2)/ℚ$ : cf. ci-dessus) et séparable (c'est-à-dire que les polynômes minimaux sur L des éléments de K n'ont pas de racines multiples) et cette seconde condition est facile à satisfaire :

   Sur un corps de caractéristique différente de 2, toute extension de degré égal à une puissance de 2 est séparable.

Dans un tel corps K, pour tout entier naturel k, $2^k$ n'est pas nul. Soit alors P le polynôme minimal sur K d'un élément de L. Le degré de P est une puissance de 2 donc la dérivée de son monôme dominant n'est pas nulle. Le polynôme P est donc un polynôme irréductible de dérivée non nulle, si bien qu'il est séparable.

## Clôture quadratique

   Dans une clôture algébrique fixée de K, la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur K est un sous-corps.

Soient x et y deux éléments de cette réunion L, F le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques contenant x et $K_1$ = $K(y_1),$ $K_2$ = $K_1(y_2),$ … , $K_m$ = $K_{m–1}(y_m)$ une tour d'extensions quadratiques telle que $K_m$ contienne y. Alors la tour finissant par F, prolongée par $F_1$ = $F(y_1),$ $F_2$ = $F_1(y_2),$ … , $F_m$ = $F_{m–1}(y_m),$ est une suite croissante d'extensions de degrés 1 ou 2 et $F_m$ contient K(x, y), qui est donc inclus dans L.

(Une démonstration graphique dans le cas particulier ou K est un sous-corps de ℝ est présentée dans l'article « Nombre constructible ».)

C'est donc une extension algébrique de K, et c'est sa plus petite extension quadratiquement close. On l'appelle la clôture quadratique de K.

La clôture quadratique de ℚ est le corps des nombres complexes constructibles (une définition géométrique équivalente est donnée dans l'article « Nombre constructible », le plan complexe étant alors identifié au plan euclidien). C'est une extension de degré infini. En effet, pour toute puissance p de 2, elle contient par exemple $ℚ(^p√2),$ qui est de degré p sur ℚ.

## Résultats géométriques

Les propriétés précédentes montrent que :

* tout nombre constructible est algébrique de degré une puissance de 2, ce qui résout par la négative trois des problèmes de l'Antiquité :
   * la duplication du cube n'a pas de solution constructible (à la règle et au compas) ;
   * la trisection d'un angle quelconque non plus car
   * le n-gone régulier n'est pas constructible si n n'est pas le produit de nombres de Fermat premiers distincts par une puissance de 2 ;
* tout élément d'une extension normale de ℚ de degré une puissance de 2 est constructible, ce qui montre que réciproquement :
   * la condition nécessaire ci-dessus pour que le n-gone régulier soit constructible est également suffisante (en raisonnant sur la n-ième extension cyclotomique).

La condition nécessaire pour qu'un complexe z soit constructible (qui est que son degré soit une puissance de 2) n'est, elle, pas suffisante en général, puisque pour tout entier n ≥ 2, il existe une infinité de polynômes (irréductibles et de degré n) à coefficients entiers dont le groupe de Galois sur ℚ est le groupe symétrique $S_n.$

