Inégalité de Maclaurin
# Inégalité de Maclaurin

En mathématiques, l'inégalité de Maclaurin est une généralisation de l'inégalité arithmético-géométrique.

## Énoncé

Soient $a_1,$ $a_2,$ … , $a_n$ des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes $S_k$ définies par

$S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot$

Le numérateur de cette fraction est le polynôme symétrique élémentaire de degré k en les n variables $a_1,$ $a_2,$ … , $a_n,$ c'est-à-dire la somme de tous les produits de k d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.

Alors,

$S_{1}\geqslant {\sqrt {S_{2}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geqslant \cdots \geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}},$

et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les $a_i$ sont égaux.

## Exemples

L'inégalité $S_{1}\geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}}$ est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des n nombres.

Pour n = 4, les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels a, b, c, d > 0)

${\frac {a+b+c+d}{4}}\geqslant {\sqrt {\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\geqslant {\sqrt[{4}]{abcd}}.$

## Démonstration

Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant $S_0$ = 1)

$\forall k=1,\ldots ,n-1\quad S_{k}^{2}\geqslant S_{k-1}S_{k+1}.$

En effet, $S_{1}^{2}S_{2}^{4}S_{3}^{6}\ldots S_{k}^{2k}\geqslant (S_{0}S_{2})(S_{1}S_{3})^{2}(S_{2}S_{4})^{3}\ldots (S_{k-1}S_{k+1})^{k}$ se simplifie en $S_{k}^{k+1}\geqslant S_{k+1}^{k},$ qui équivaut à $S_{k}^{1/k}\geqslant S_{k+1}^{1/(k+1)}.$ Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.

