Inégalité de Levinson
# Inégalité de Levinson

En mathématiques, l'inégalité de Levinson est l'inégalité suivante, due à Norman Levinson, faisant intervenir des nombres strictement positifs. Soit $a>0$ et $f$ une fonction admettant une dérivée troisième sur l'intervalle $\left]0,2a\right[$ telle que $f'''(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in \left]0,2a\right[$.

Supposons que $0<x_{i}\leqslant a$ pour $i=1,\dots ,n$ et $0<p$. Alors :

    ${\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leqslant {\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).$

L'inégalité de Ky Fan (en) est le cas particulier de l'inégalité de Levinson où

    $p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},$

et

    $f(x)=\log(x).$
