Inégalité de Young pour la convolution
# Inégalité de Young pour la convolution

En mathématiques, l'inégalité de Young pour la convolution est le théorème d'analyse fonctionnelle suivant, démontré pour la première fois par William Henry Young en 1912 :

   Soient $f$ dans l'espace $L^p$ de Lebesgue et $g$ dans $L^q$ et
       ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1+{\frac {1}{r}}\quad {\text{avec}}\quad 1\leq p,q,r\leq \infty .$
   Alors le produit de convolution $f\ast g$ appartient à $L^r$ et
       $\|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Notons $q':={\frac {q}{q-1}}$ l'exposant conjugué de $q$ (c.-à-d. que 1/q + 1/q' = 1) et $h(x,y):=|f(x-y)|^{p/r}|g(y)|$. Ainsi,

    $|f(x-y)g(y)|=h(x,y)|f(x-y)|^{p/q'}$

donc, d'après l'inégalité de Hölder,

    $|f\ast g\left(x\right)|\leq \|h(x,\cdot )\|_{q}\|f(x-\cdot )^{p/q'}\|_{q'}=\|h(x,\cdot )\|_{q}\|f\|_{p}^{p/q'},$

si bien que (en excluant le cas immédiat $r=\infty$)

    $\|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \|h(x,\cdot )\|_{q}^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}=\|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}.$

Or d'après l'inégalité intégrale de Minkowski,

    $\left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\leq \int \left(\int h(x,y)^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\,\mathrm {d} y=\int \|f(\cdot -y)\|_{p}^{pq/r}|g(y)|^{q}\,\mathrm {d} y=\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}.$

On peut ainsi conclure :

    $\|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}\right)^{1/q}=\|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Plus $précisément^,,$ pour des fonctions sur $\mathbb {R} ^{n}$,

    $\|f\ast g\|_{r}\leq c_{p,q}^{n}\|f\|_{p}\|g\|_{q}$,

avec $c_{p,q}:=A_{p}A_{q}/A_{r}$ et $A_{p}:={\sqrt {p^{1/p}/p'^{1/p'}}}$ pour $p,p'$ conjugués (donc $A_1$ = 1 mais si p, q > 1 alors $c_{p,q}$ < 1).

