Théorème de prolongement de M. Riesz
# Théorème de prolongement de M. Riesz

Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.

## Formulation

Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe.

Une forme linéaire

    $\varphi :F\to \mathbb {R}$

est dite K-positive si

    $\forall x\in K\cap F,\quad \varphi (x)\geq 0.$

Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire

    $\psi :E\to \mathbb {R} \quad {\text{telle que}}\quad \psi |_{F}=\varphi \quad {\text{et}}\quad \forall x\in K,~\psi (x)\geq 0.$

Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour

$E=\mathbb {C} ,\quad F=\mathbb {R} ,\quad K=\mathbb {R} ^{+}{\rm {e}}^{{\rm {i}}[0,\pi\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \mathbb {R} ,~\varphi (x)=x,$

φ n'a pas de prolongement K-positif.

Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :

$K+F=E.$

## Démonstration

Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.

Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel a et à poser

$\forall f\in F,~\forall \lambda \in \mathbb {R} ,~\qquad \psi (f+\lambda y)=\varphi (f)+\lambda a.$

En considérant les f +λ y qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur a pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors :

$\sup \varphi ((y-K)\cap F)\leq a\leq \inf \varphi ((y+K)\cap F).$

(Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à ]–∞, +∞] et la borne inférieure du second à [–∞, +∞[.)

Le choix d'un tel réel a est donc possible dès que

$\forall f,f'\in F,\qquad {\text{si}}\quad y-f\in K\quad {\text{et}}\quad f'-y\in K\qquad {\text{alors}}\quad \varphi (f)\leq \varphi (f')$

et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur f ' – f appartient à F∩K.

## Corollaire : théorème de prolongement de Krein

Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et x un vecteur tel que

$K+\mathbb {R} x=E\qquad {\text{et}}\qquad x\notin -K.$

Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ(x) = 1.

