Théorème de prolongement de Dugundji
# Théorème de prolongement de Dugundji

Le théorème de prolongement de Dugundji est un théorème de topologie générale dû au mathématicien américain James $Dugundji^,^,.$ Il est directement lié au théorème de Tietze-Urysohn — sur le prolongement des applications continues dans les espaces normaux — dont il est, en un certain sens, une généralisation.

## Énoncé

Soient X un espace métrisable, A un fermé de X et L un espace localement convexe. Alors :

* toute application continue f de A dans L admet un prolongement continu F de X dans L dont l'image F(X) est incluse dans l'enveloppe convexe de $f(A)^,^,$

ou, ce qui est équivalent :

* toute application continue de A dans un convexe K de L admet un prolongement continu de X dans K.

## Comparaison avec le théorème de Tietze-Urysohn

La première version du théorème de prolongement de Tietze correspondait au cas particulier du théorème ci-dessus où l'espace L est la droite réelle. Elle a été généralisée par Urysohn en remplaçant l'espace métrisable X de départ par n'importe quel espace normal. Le théorème de prolongement de Dugundji est une généralisation transverse, qui remplace l'espace ℝ d'arrivée par n'importe quel espace localement convexe. Il existe une autre généralisation du théorème de Tietze, en supposant que l'espace X de départ est paracompact et que l'espace L d'arrivée est de Banach.

## Démonstration

Pour une distance d fixée sur X, considérons, dans l'ouvert X\A, le recouvrement constitué des boules ouvertes B(x, d(x, A)/2) de X\A, quand x parcourt cet espace.

Puisque tout espace métrique est paracompact, il existe un recouvrement ouvert localement fini $(U_i)_{i∈I}$ de X\A dont chaque ouvert est inclus dans l'une de ces boules : $U_i$ ⊂ $B(x_i,$ $d(x_i,$ A)/2).

On choisit alors une partition de l'unité $(ϕ_i)_{i∈I}$ subordonnée à ce recouvrement et pour tout i, un point $a_i$ de A tel que $d(x_i,$ $a_i)$ ≤ $2d(x_i,$ A), et l'on prolonge f en posant :

$F(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}x\in A,\\\sum _{i\in I}\phi _{i}(x)f(a_{i})&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

L'application F est clairement continue sur X\A. Montrons qu'elle l'est aussi en tout point a de A. Pour tout voisinage convexe C de f(a), il existe un réel δ > 0 tel que f(B(a, δ)∩A) ⊂ C. Pour affirmer que pour tout x ∈ B(a, δ/6)\A, f(x) ∈ C (ce qui conclura), il suffit d'utiliser que pour tout $U_i$ contenant x, $a_i$ ∈ B(a, δ), d'après les inégalités suivantes :

d(x, $a_i)$ ≤ d(x, $x_i)$ + $d(x_i,$ $a_i)$ ≤ d(x, $x_i)$ + $2d(x_i,$ A) ≤ $5d(x_i,$ A) – 5d(x, $x_i)$ ≤ 5d(x, A), d'où

d(a, $a_i)$ ≤ d(a, x) + d(x, $a_i)$ ≤ 6d(a, x).

