Théorème d'Eisenstein
# Théorème d'Eisenstein

Le théorème d'Eisenstein est le résultat suivant de géométrie arithmétique, démontré par Gotthold Eisenstein :

   Si une série formelle $y=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}X^{n}$est algébrique — au sens : solution de P(X, y) = 0 pour un polynôme non nul P(X, Y) à coefficients algébriques — alors il existe un entier non nul A tel que pour tout n > 0, $A^na_n$ soit un entier $algébrique^,.$

En particulier si les coefficients $a_n$ sont rationnels alors les $A^na_n$ sont entiers, donc les facteurs premiers des dénominateurs des $a_n$ appartiennent à l'ensemble fini des facteurs premiers de A. « Une conséquence immédiate de ce résultat, citée d'ailleurs par Eisenstein, est la transcendance des fonctions logarithme ou exponentielle, « mais aussi de beaucoup d'autres ». »

## Exemple

Pour tout entier p > 0,

$(1-x)^{1/p}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}}~x^{n}$

où les nombres positifs $C_{p,n},$ qui généralisent ceux de Catalan $C_n$ (correspondant au cas p = 2) sont entiers, car on déduit de leur série génératrice, $z:=\sum _{n=0}^{\infty }C_{p,n}x^{n}={\frac {1-(1-p^{2}x)^{1/p}}{px}},$ la valeur $C_{p,0}$ = 1 et la relation de récurrence $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad C_{p,n}=\sum _{2\leq k\leq p}{p \choose k}p^{k-2}(-1)^{k}\prod _{i_{1}+\dots +i_{k}=n-k+1}C_{p,i_{j}}.$

## Démonstration

Soit N le degré par rapport à la variable Y du polynôme P(X, Y). Il existe alors des polynômes $P_j(X,$ Y) (à coefficients algébriques) tels que

$P(X,Y+Z)=\sum _{j=0}^{N}P_{j}(X,Y)Z^{j}.$

Par hypothèse, P(X, y) = 0. De plus, sans perte de généralité, $P_1(X,$ y) ≠ 0 — sinon, il suffit de remplacer P(X, Y) par $P_1(X,$ Y), qui est non nul et dont le degré en Y est < N.

Soit m la valuation de $P_1(X,$ y), c'est-à-dire le plus petit indice k pour lequel le coefficient de $X^k$ dans cette série formelle est non nul. On coupe alors y en deux :

$y=u+X^{m+1}v\quad {\rm {pour}}\quad u=\sum _{n=0}^{m+1}a_{n}X^{n}\quad {\rm {et}}\quad v=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\quad (b_{n}=a_{m+1+n}).$

Comme on sait que sous les hypothèses du théorème, tous les $a_n$ sont des nombres algébriques, il suffit, pour prouver la propriété annoncée pour y, de la démontrer pour $v$. Or

$0=P(X,y)=P_{0}(X,u)+P_{1}(X,u)X^{m+1}v+\sum _{j=2}^{N}P_{j}(X,u)(X^{m+1}v)^{j}.$

Par choix de m, le polynôme $P_1(X,$ $u)X^{m+1}$ est divisible par $X^{2m+1}$ mais pas par $X^{2m+2}.$ Comme la somme est nulle, $P_0(X,$ u) est donc lui aussi multiple de $X^{2m+1}$ et en divisant par cette puissance de X, on obtient

$\sum _{j=0}^{N}Q_{j}(X)v^{j}=0,\quad \forall j>1\quad Q_{j}(0)=0\quad {\rm {et}}\quad A:=Q_{1}(0)\neq 0.$

Les coefficients des polynômes $Q_j$ sont algébriques. Quitte à les multiplier par un nombre adéquat, on peut donc supposer que ce sont des entiers algébriques et que A est même un entier. Alors, tous les $A^nb_n$ sont des entiers algébriques, par récurrence sur n ≥ 1. En effet, en isolant le terme de degré n dans

$\sum _{j=0}^{N}Q_{j}(X)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}\right)^{j}=0,$

on trouve que $Ab_n$ est une combinaison linéaire, à coefficients entiers algébriques, de termes de la forme

$\prod _{1\leq i<n}b_{i}^{k_{i}}\quad {\rm {avec}}\quad \sum ik_{i}<n.$

