Inégalité de Schur
# Inégalité de Schur

L'inégalité de Schur, nommée d'après Issai Schur, est une inégalité utilisée en théorie des nombres.

## Énoncé

Soit $a,b,c$ des nombres réels positifs et $k$ un réel strictement positif, alors :

$a^{k}(a-b)(a-c)+b^{k}(b-c)(b-a)+c^{k}(c-a)(c-b)\geq 0.$

avec égalité si et seulement si $a,b,c$ sont égaux ou si deux d'entre eux sont égaux et le troisième est nul.

## Preuve

Quitte à permuter les variables, on peut supposer $c\leq b\leq a$. En arrangeant les termes, l'inégalité à démontrer est équivalente à :

$(a-b)\left(a^{k}(a-c)-b^{k}(b-c)\right)+c^{k}(a-c)(b-c)\geq 0.$

Cette dernière inégalité est immédiate car tous les termes à gauche sont positifs.

