Tétraèdre trirectangle
# Tétraèdre trirectangle

En géométrie, un tétraèdre trirectangle est un tétraèdre dont trois faces sont des triangles rectangles dont les angles droit aboutissent au même sommet. Ce sommet H est l'orthocentre du tétraèdre, lequel est donc orthocentrique. La face opposée à ce sommet s'appelle la base. La perpendiculaire à la base issue de H est appelée la hauteur du tétraèdre (les autres hauteurs étant les arêtes issues de H).

## Coordonnées des points remarquables

Soient A,B,C les sommets de la base, $a=HA,b=HB,c=HC$ ; dans le repère orthonormé $(H,{\overrightarrow {HA}}/a,{\overrightarrow {HB}}/b,{\overrightarrow {HC}}/c)$ , on les expressions suivantes :

* $A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$
* le centre de gravité $G(a/4,b/4,c/4)$
* le centre de gravité de la base $I(a/3,b/3,c/3)$
* le centre de la sphère circonscrite $O(a/2,b/2,c/2)$, laquelle est de rayon ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
* L'équation du plan de la base : $x/a+y/b+z/c=1$

## Formules métriques

Le tétraèdre trirectangle a pour volume

    $V={\frac {abc}{6}}.$

La longueur h de la hauteur $satisfait^,$

    ${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}.$

L'aire $S_{0}$ de la base est donnée par

    $S_{0}={\frac {abc}{2h}}.$

## Construction

Un patron du tétraèdre trirectangle est formé d'un triangle ABC (qui sera la base du tétraèdre) et de trois triangles rectangles $BCD_{1},CAD_{2},ABD_{3}$ aux hypoténuses égales aux côtés du triangle de base.

Posant $a=AD_{2}=AD_{3},b=BD_{3}=BD_{1},c=CD_{1}=CD_{2}$, on doit avoir les relations permettant de construire la base à partir des triangles rectangles :

* $x^{2}=b^{2}+c^{2}$
* $y^{2}=a^{2}+c^{2}$
* $z^{2}=a^{2}+b^{2}$

ou bien, permettant de construire les triangles rectangles à partir de la base, qui doit être un triangle acutangle :

* $2a^{2}=-x^{2}+y^{2}+z^{2}$
* $2b^{2}=x^{2}-y^{2}+z^{2}$
* $2c^{2}=x^{2}+y^{2}-z^{2}$

## Théorème de de Gua

Si l'aire de la base est $S_{0}$ et les aires des trois autres faces (à angle droit) sont $S_{1}$, $S_{2}$ et $S_{3}$, alors

    $S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}$

C'est une généralisation au tétraèdre du théorème de Pythagore.

## Cas particulier

Si la base est équilatérale, ce qui équivaut à $a=b=c$, on parle de tétraèdre trirectangle régulier, bien que ce ne soit pas un polyèdre régulier.

## Parallélépipède circonscrit

Le parallélépipède circonscrit a pour sommets $H,A,B,C,H'(a/2,b/2,c/2)=O,A'(-a/2,b/2,c/2),B'(a/2,-b/2,c/2),C'(a/2,b/2,-c/2)$.

C'est un rhomboèdre de longueur d'arête ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$, et dont les quatre diagonales ont aussi pour longueur ${\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

