Inégalité de Hölder
# Inégalité de Hölder

En analyse, l’inégalité de Hölder, ainsi nommée en l'honneur de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces de fonctions $L^p,$ comme les espaces de suites $ℓ^p.$ C'est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Il existe une formulation de l'inégalité utilisée en mathématiques discrètes.

## Énoncé

   Soient
   * $S$ un espace mesuré,

   * $p,q>0$ (la valeur $+\infty$ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison »${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,$

   * $f\in L^{p}(S)$ et $g\in L^{q}(S)$.

   Alors, le produit $fg$ appartient à $L^{1}(S)$ et sa norme est majorée naturellement :
   $\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Plus généralement, pour $0<p,q\leq +\infty$ et $r$ défini par

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}$

si $f\in L^{p}(S)$ et $g\in L^{q}(S)$ alors $fg\in L^{r}$ et $\lVert fg\rVert _{r}\leq \lVert f\rVert _{p}\lVert g\rVert _{q}$.

De plus, lorsque $p$ et $q$ sont finis, il y a égalité si et seulement si $|f|^{p}$ et $|g|^{q}$ sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe $\alpha$ et $\beta$ non simultanément nuls tels que $\alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}$ p.p.

## Démonstration

Pour démontrer ce théorème, on peut utiliser un corollaire de l'inégalité de Jensen ou l'inégalité de Young.

## Exemples

### Inégalité de Cauchy-Schwarz

L'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert est le cas particulier où p=q=2 dans l'inégalité de Hölder.

### Dimension finie

Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1 et pour tous vecteurs x et y de $ℝ^n$ (ou de $ℂ^n),$ l'inégalité

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}\ y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.$

Cette inégalité peut aussi être démontrée en exprimant les conditions d'optimalité d'un problème de minimisation d'une fonction linéaire sur la boule unité pour la norme $ℓ^p$ : voir la section Inégalités de Hölder.

### Suites

L’inégalité précédente se généralise (en prenant, cette fois, S = ℕ) aux suites (ou aux séries selon le point de vue) : si $(x_k)$ et $(y_k)$ sont respectivement dans les espaces de suites $ℓ^p$ et $ℓ^q,$ alors la suite « produit terme à terme » $(x_k$ $y_k)$ est dans $ℓ^1.$

## Cas extrémal

   Soient 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec 1/p + 1/q = 1, S un espace mesuré, de tribu Σ et de mesure μ, et f ∈ $L^p(S).$
   * Si p < +∞, alors$\|f\|_{p}=\max \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{q}(S),~\|g\|_{q}\leq 1\right\},$

   * Si p = +∞ et si tout élément A de la tribu Σ tel que μ(A) = +∞ contient un élément B de Σ tel que 0 < μ(B) < +∞ (ce qui est vrai dès que μ est σ-finie), alors$\|f\|_{\infty }=\sup \left\{\left|\int fg~\mathrm {d} \mu \right|~;~g\in \mathrm {L} ^{1}(S),~\|g\|_{1}\leq 1\right\}.$

D'après l'inégalité de Hölder, dans les deux cas, la borne supérieure de l'ensemble de droite est majorée par $║f║_p.$

$\|f\|_{p}=1.$

* Si p < +∞, la borne est même un maximum c'est-à-dire qu'elle est atteinte : la fonction g définie sur S par$g(x)={\begin{cases}|f(x)|^{p}/f(x)&{\text{si }}f(x)\neq 0,\\0&{\text{sinon,}}\end{cases}}$appartient à $L^q$ où sa norme vaut 1 et l'on a$\int fg~\mathrm {d} \mu =1=\|f\|_{p}.$
* Si p = +∞, soient ε ∈]0, 1[et A = [| f| > 1 – ε] ∈ Σ, de mesure non nulle puisque $║f║_∞$ = 1. L'hypothèse additionnelle garantit l'existence d'un B ∈ Σ, contenu dans A et de mesure finie non nulle. La fonction g définie sur S par$g(x)={\begin{cases}{\frac {|f(x)|}{\mu (B)f(x)}}&{\text{si }}x\in B,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$appartient alors à $L^1$ où sa norme vaut 1 et l'on a$\int fg~\mathrm {d} \mu =\int _{B}{\frac {|f|}{\mu (B)}}~\mathrm {d} \mu \geq 1-\varepsilon .$La borne supérieure que l'on cherchait à minorer est donc supérieure ou égale à 1 – ε pour tout ε ∈]0, 1[, ce qui prouve qu'elle est bien supérieure ou égale à $║f║_∞.$

Remarques sur le cas p = +∞

* Même avec l'hypothèse additionnelle de l'énoncé, la borne supérieure n'est pas atteinte en général. Par exemple si x est la suite de $ℓ^∞$ définie par $x_k$ = 1 – $2^{–k}$ alors, pour toute suite non nulle y de norme inférieure ou égale à 1 dans $ℓ^1,$ $\left|\sum x_{k}y_{k}\right|\leq \sum (1-2^{-k})|y_{k}|<\sum |y_{k}|\leq 1=\|x\|_{\infty }.$
* Si A ∈ Σ est de mesure infinie mais ne contient aucun B ∈ Σ de mesure finie non nulle (l'exemple le plus simple étant celui où le seul B ∈ Σ qui soit strictement inclus dans A est ∅) et si f est la fonction indicatrice de A, alors la borne supérieure associée est nulle, tandis que $║f║_∞$ = 1.

## Applications

* L’inégalité de Hölder fournit immédiatement une relation importante entre les espaces $L^p$ associés à une mesure finie de masse totale M :$0<r\leq q\leq +\infty \Rightarrow \mathrm {L} ^{r}\supset \mathrm {L} ^{q}{\text{ et }}\forall g\in \mathrm {L} ^{q},\|g\|_{r}\leq M^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{q}}}\|g\|_{q}.$(Cette propriété peut également se déduire directement de l'inégalité de Jensen.)
* Elle intervient aussi comme argument permettant de montrer l’inégalité de Minkowski, qui est l'inégalité triangulaire pour la norme de $L^p$ si p ≥ 1.
* Le cas extrémal permet d’établir que le dual topologique de $L^p$ est $L^q$ (avec 1/p + 1/q = 1) si 1 < p < +∞, et aussi si p = 1 quand la mesure est σ-finie.

## Généralisation

L’inégalité de Hölder avec 1/p + 1/q = 1/r se généralise immédiatement à n fonctions, par récurrence :

   Soient 0 < r, $p_1,$ …, $p_n$ ≤ +∞ tels que
   $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{r}}$
   et n fonctions $f_k$ ∈ $L^{pk}(S).$ Alors, le produit des $f_k$ appartient à $L^r(S)$ et
   $\left\|\prod _{k=1}^{n}f_{k}\right\|_{r}\leq \prod _{k=1}^{n}\|f_{k}\|_{p_{k}}.$
   De plus, lorsque tous les $p_k$ sont finis, il y a égalité si et seulement si les $|f_k|^{pk}$ sont colinéaires p.p.
