Théorème de Slutsky
# Théorème de Slutsky

En probabilités, le théorème de Slutsky étend certaines propriétés algébriques de la convergence des suites numériques à la convergence des suites de variables aléatoires. Le théorème porte le nom d'Eugen Slutsky. Le théorème de Slutsky est aussi attribué à Harald Cramér.

## Énoncé

Soient $(X_n)$ et $(Y_n)$ des suites de variables aléatoires à valeur respectivement dans $R^p$ et $R^q.$

Théorème de Slutsky — Si $X_n$ converge en loi vers X, et si $Y_n$ converge en probabilité vers une constante c, alors le couple $(X_n,Y_n)$ converge en loi vers le couple (X,c).

Par exemple, si les $X_n,$ $Y_n$ sont des vecteurs ou des matrices pouvant être ajoutés ou multipliés, on a la convergence en loi de $X_n$ + $Y_n$ vers X + c, et de $Y_nX_n$ vers cX.

Remarque —  Dans l'énoncé du théorème, l'hypothèse « $Y_n$ converge en probabilité vers une constante c » est en fait équivalente à l'hypothèse « $Y_n$ converge en loi vers une constante c ».

L'implication directe est bien connue (preuve). Pour la réciproque il suffit de remarquer que $O:=\{x:d(x,c)<\epsilon \}$ est un ouvert et que par conséquent (voir le point 4 du Théorème porte-manteau)

$\liminf _{n}\mathbb {P} \left(Y_{n}\in O\right)\ \geq \ \mathbb {P} \left(c\in O\right)=1$

Notes :

* L'hypothèse selon laquelle $Y_n$ converge vers une constante est importante — si la limite était une variable non dégénérée, le théorème ne serait plus valide.
* Le théorème reste valide lorsqu'on remplace toutes les convergences en loi par des convergences en probabilité.
