Inégalité d'Hermite-Hadamard
# Inégalité d'Hermite-Hadamard

En mathématiques, l'inégalité d'Hermite–Hadamard, nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard, parfois appelée inégalité de Hadamard, dit que si une fonction f:[a,b]→ℝ est convexe, alors son intégrale est bornée par :

    $f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

## Preuve

Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f $^−$ et f $^+$ ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque $x_0$ ∈ [a,b], on peut construire une ligne

    $t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].$

telle que

    $\forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),{\text{ et }}t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.$

On a, en particulier, pour $x_0=a+b/2$ :

    $\forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].$

D'autre part, toujours par convexité de f, on a :

    $\forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).$

Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :

    $\int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

## Généralisation par les intégrales itérées

On considère f:[a, b] → ℝ une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f, pour a ≤ s ≤ b.:

    ${\begin{aligned}F^{(0)}(s)&:=f(s),\\F^{(1)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)du,\\F^{(2)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)du\right)\,dt,\\&\ \ \vdots \\F^{(n)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)\,du,\\&\ \ \vdots \end{aligned}}$

Alors si f est convexe, pour a < $x_i$ < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux $(x_i$ ≠ $x_j$ et i ≠ j), alors on a:

    $\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})$

avec

    $\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\prod _{i\in \{1;n\},i\neq j}(x_{i}-x_{j})=(x_{i}-x_{1})(x_{i}-x_{2})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n}),\ \ i=1,\dots ,n.$

L'inégalité change de sens si f est concave.

Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.

On a également : avec ${\underline {\alpha }}=(\alpha ,\ldots ,\alpha )$ pour $\ a<\alpha <b,$ alors

    $\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}$
