Théorème des trois séries de Kolmogorov
# Théorème des trois séries de Kolmogorov

Le théorème des trois séries de Kolmogorov concerne la convergence d'une série dont les termes sont des variables aléatoires indépendantes.

Théorème des trois séries de Kolmogorov — Soit $\ \left(X_{n}\right)_{n\geq 0}\$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. La série $\ \sum _{n\geq 0}\ X_{n}\$ est presque sûrement convergente si et seulement si il existe un réel $\ c>0\$ tel que les trois conditions suivantes soient remplies simultanément :

* $\ \sum _{n\geq 0}\ \mathbb {P} \left(|X_{n}|\geq c\right)<+\infty \,;$
* $\ \sum _{n\geq 0}\ {\text{Var}}\left(X_{n}\ 1_{|X_{n}|\leq c}\right)<+\infty \,;$
* $\ \sum _{n\geq 0}\ \mathbb {E} \left[X_{n}\ 1_{|X_{n}|\leq c}\right]\quad {\text{converge.}}$

## Remarque

En un certain sens, ce résultat possède un analogue en théorie probabiliste des nombres, qui est le théorème d'Erdős-Wintner.

## Référence

Sidney I. Resnick, A Probability Path [détail des éditions] Section 7.6, page 226.

