Théorème de la feuille compacte de Novikov
# Théorème de la feuille compacte de Novikov

En mathématiques, le théorème de la feuille compacte de Novikov affirme que tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Novikov.

## Le théorème de la feuille compacte de Novikov pour $S^3$

C'est un cas particulier du théorème précédent. Tout feuilletage différentiable de codimension 1 de la sphère $S^3$ possède une feuille compacte. Cette feuille est un des tores $T^2$ du feuilletage de Reeb.

Il a été démontré par Sergueï Novikov en 1964 et avait été conjecturé antérieurement par Charles Ehresmann, en particulier à partir de l'exemple du feuilletage de Reeb.

## Le théorème de la feuille compacte de Novikov pour toute variété tridimensionnelle $M^3$

En 1965, Novikov a généralisé ce théorème pour toute variété tridimensionnelle $M^3.$

Soit $M^3$ une variété fermée tridimensionnelle munie d'un feuilletage F de codimension 1. Sous l'une quelconque des conditions suivantes :

* Son groupe fondamental $\pi _{1}(M^{3})$ est fini,
* Son deuxième groupe d'homotopie $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$,
* Il existe une feuille $L\in F$ telle que l'application $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$ induite par l'inclusion possède un noyau non trivial.

alors F possède une feuille compacte de genre g ≤ 1. Excepté dans le cas(2), où la feuille fermée peut être $S^2$ or $RP^{2}$, le feuilletage contient un composant de Reeb.

Ceci peut s'exprimer en termes de revêtement : tout feuilletage de codimension 1 d'une variété tridimensionnelle compacte dont le revêtement universel n'est pas contractile possède une feuille compacte.

