Théorème de la base de Hilbert
# Théorème de la base de Hilbert

En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A $[X_1,$ … , $X_n]$ l'est aussi.

Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien.

Soit $(D_n)$ la suite d'idéaux de A définie par :

$D_{n}=\{a\in A~|~\exists (a_{0},\ldots ,a_{n-1})\in A^{n}{\text{ tel que }}aX^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in J\}.$

Cette suite $(D_n)$ est croissante (car $P\in J\Rightarrow XP\in J$) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les $D_n$ est donc égale à $D_r.$

Pour chaque entier n, l'idéal $D_n$ est de type fini (car A est noethérien) donc possède une famille génératrice finie $(a_{n,i})$ (le second indice, i, parcourt un ensemble fini $I_n).$ Pour chacun de ces $a_{n,i},$ soit $P_{n,i}$ un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à $a_{n,i}.$

Montrons que la famille finie $(P_{n,i}),$ doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans $I_n,$ engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille $(P_{n,i}).$

Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d (pour d=0 c'est acquis, le seul polynôme de degré < 0 étant le polynôme nul). Soient q le coefficient dominant de Q et s=min(r,d). Alors q appartient à $D_d=D_s.$ Il existe en conséquence une famille $(μ_i)$ d'éléments de A telle que

$q=\sum _{i\in I_{s}}\mu _{i}a_{s,i}\quad {\text{donc}}\quad \deg \;{\BigQ-\sum _{i\in I_{s}}\mu _{i}X^{d-s}P_{s,i}{\Big )}<d.$

L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille $(P_{n,i}),$ ce qui termine la démonstration.

## Référence

* ↑ (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 1965, p. 145.
