Théorème de Sokhotski–Plemelj
# Théorème de Sokhotski–Plemelj

Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873 et redécouvert par Joseph Plemelj en 1908 dans sa résolution du problème de Riemann-Hilbert (en).

## Le théorème

Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy

    ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi$

définit deux fonctions $analytiques^,$ :

| - à l'intérieur du domaine défini par C | $\Phi _{+}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi +{\frac {1}{2}}f(z)$ |
| - | - |
| - hors de ce domaine | $\Phi _{-}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{C}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\mathrm {d} \xi -{\frac {1}{2}}f(z)$ |

On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C :

| - un saut | $f_{+}-f_{-}=\phi$ |
| - | - |
| - une valeur | $f=\phi$ |
| - une relation du type | $f_{+}=gf_{-}$ |

Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.

## Cas particulier

Soit f une fonction à valeur complexe définie et continue sur l'axe réel et soient a et b deux valeurs réelles telles que a < 0 < b. Alors

    $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\,\mathrm {v.p.} \int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}f(0)$

On développe :

    $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx\mp {\frac {1}{2}}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx$
* Dans le premier terme  ${\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$  est symétrique par rapport à 0, tend vers 1 lorsque  $|x|>>\varepsilon$, vers 0 lorsque  $|x|<<\varepsilon$. La limite est donc la valeur principale de Cauchy.
* Dans le second terme  ${\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}$  tend vers une distribution de Dirac.

## Un exemple en physique

En mécanique quantique et théorie quantique des champs on doit évaluer des intégrales du type :

    $I=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\,e^{-iEt}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} E$

où E est une énergie et t le temps. Cette intégrale en temps ne converge pas et on la remplace par :

    $I=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(E)\,e^{-iEt-\varepsilon t}\mathrm {d} t\,\mathrm {d} E$

Par application du cas particulier ci-dessus du théorème

    $I=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i\,\mathrm {v.p.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,$
