Théorème des hyperplans de Lefschetz
# Théorème des hyperplans de Lefschetz

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique et en topologie algébrique, le théorème des hyperplans de Lefschetz est un énoncé précis de certaines relations entre la forme d'une variété algébrique et la forme de ses sous-variétés. Plus précisément, le théorème énonce que pour une variété X plongée dans l'espace projectif et une section hyperplane (i.e. une intersection de X à un hyperplan) Y, les groupes d'homologie, de cohomologie et d'homotopie de X déterminent ceux de Y. Un résultat de ce type a été énoncé pour la première fois par Solomon Lefschetz pour les groupes d'homologie de variétés algébriques complexes. Des résultats similaires ont depuis été trouvés pour les groupes d'homotopie, en caractéristique positive et dans d'autres théories d'homologie et de cohomologie.

Une généralisation du théorème de Lefschetz est donnée par le théorème de décomposition (en).

## Le théorème de l'hyperplan de Lefschetz pour les variétés projectives complexes

Soit X une variété algébrique projective complexe de dimension n dans $CP^N,$ et soit Y une section hyperplane de X telle que U = X ∖ Y soit lisse. Le théorème de Lefschetz fait référence à l'une des propriétés $suivantes^,$ :

* L'application naturelle $H_k(Y,$ Z) → $H_k(X,$ Z) en homologie singulière est un isomorphisme pour k < n − 1 et est surjective pour k = n − 1.
* L'application naturelle $H^k(X,$ Z) → $H^k(Y,$ Z) en cohomologie singulière est un isomorphisme pour k < n − 1 et est injective pour k = n − 1.
* L'application naturelle $π_k(Y,$ Z) → $π_k(X,$ Z) est un isomorphisme pour k < n − 1 et est surjectif pour k = n − 1.

En utilisant une suite exacte longue, on peut montrer que chacun de ces énoncés est équivalent à un théorème d'annulation pour certains invariants topologiques relatifs. Respectivement :

* Les groupes d'homologie singuliers relatif $H_k(X,$ Y, Z) sont nuls pour $k\leq n-1$.
* Les groupes de cohomologie singuliers relatifs $H^k(X,$ Y, Z) sont nuls pour $k\leq n-1$.
* Les groupes d'homotopie relatifs $π_k(X,$ Y) sont nuls pour $k\leq n-1$.

### Preuves du théorème

Solomon Lefschetz a utilisé son idée de crayon de Lefschetz (en) pour prouver le théorème. Aldo Andreotti et Theodore Frankel ont remarqué que le théorème de Lefschetz pouvait être déduit dans la théorie de Morse. Ni la preuve de Lefschetz ni la preuve d'Andreotti et Frankel n'impliquent directement le théorème de l'hyperplan de Lefschetz pour les groupes d'homotopie. Une approche qui le fait a été trouvée par René Thom au plus tard en 1957 et a été simplifiée et publiée par Raoul Bott en 1959.

