Théorème de plongement de Nash
# Théorème de plongement de Nash

En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien.

« De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ». Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien.

Il existe deux théorèmes de plongement de Nash :

* Le premier (1954), portant sur les variétés de classe $C^1.$ Il est peu intuitif mais se démontre facilement.
* Le second (1956), portant sur les variétés de classe $C^k$ où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement.

## Théorème de plongement $C^1$ (Nash-Kuiper)

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et $f$ un plongement lisse et non expansif de M dans un espace euclidien $ℝ^n$ où n ≥ m+1. Alors pour tout ε>0, il existe un plongement $f_{\epsilon }$ de M dans $ℝ^n$ ayant les propriétés suivantes :

* $f_{\epsilon }$ est de classe $C^1,$
* $f_{\epsilon }$ est isométrique, i.e. pour tous vecteurs $v,w$ de l'espace tangent à M en un point $x$ on a $g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle$ où < , > est le produit scalaire canonique de $ℝ^n.$
* $|f(x)-f_{\epsilon }(x)|<\epsilon$ pour tout point $x$ de $M$.

Ce théorème a beaucoup de conséquences contre-intuitives. En particulier, d'après le théorème de plongement de Whitney, toute variété riemannienne compacte de dimension m admet un plongement isométrique de classe $C^1$ dans une boule arbitrairement petite de l'espace euclidien de dimension 2m.

Par exemple : toute surface orientée et fermée peut être $C^1-plongée$ dans une boule arbitrairement petite de $ℝ^3$ (d'après la formule de Gauss-Bonnet, cela n'est plus vrai pour les plongements de classe $C^3$ ; la question est ouverte pour les plongements $C^2).$

## Théorème de plongement $C^k$

Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m (analytique ou de classe $C^k$ avec k ≥ 3). Alors il existe un nombre n (n=m(m+1)(3m+11)/2 suffit, et même n=m(3m+11)/2 si M est compacte) et un plongement injectif $f$ de $M$ dans $ℝ^n,$ également analytique ou de classe $C^k,$ tel que pour tous vecteurs $v,w$ de l'espace tangent à M en un point $x$ on ait :

    $g(v,w)=\langle df_{x}(v),df_{x}(w)\rangle$.
