Inégalité de Boole
# Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que au moins l'un des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements $A_1,$ $A_2,$ $A_3,$ …, on a :

    $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)\leq \sum _{n}\mathbb {P} \left(A_{n}\right).$

On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie $(A_{1},\dots ,A_{m})$ d'évènements.

Il s'agit de prouver que $\mathbb {P} \left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}\right)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$.

L'inégalité est vraie au rang $m=1$. On la suppose vraie à un rang $m$ et l'on considère une famille $(A_{1},\dots ,A_{m+1})$ de $m+1$ évènements.

Soit $E=A_{1}\cup \cdots \cup A_{m}$ : $\mathbb {P} (E)\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})$ (hypothèse de récurrence).

Alors : $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E\cup A_{m+1})=\mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})-\mathbb {P} (E\cap A_{m+1})$,

d'où : $\mathbb {P} (A_{1}\cup \cdots \cup A_{m+1})\leq \mathbb {P} (E)+\mathbb {P} (A_{m+1})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\cdots +\mathbb {P} (A_{m})+\mathbb {P} (A_{m+1})$.

On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable $(A_{n})_{n\geq 1}$ d'évènements.

Pour tout entier strictement positif $n$, soit $E_{n}=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}$ ; alors $\mathbb {P} (E_{n})\leq \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})$.

L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur $n$ ; en effet, $\bigcup _{n\geq 1}E_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}$ et pour tout $n$, $E_{n}\subset E_{n+1}$, donc $\lim \mathbb {P} (E_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)$.

On pose $\ A'_{1}=A_{1}$ et pour tout $n\geq 2$, $A'_{n}=A_{n}\setminus (A_{1}\cup \cdots \cup A_{n-1})$.

Alors $\bigcup _{n}A_{n}=\bigcup _{n}A'_{n}$, et les évènements $A'_{1},A'_{2},\dots$ sont deux à deux incompatibles ; en outre, pour tout $n,A'_{n}\subset A_{n}$, donc $\mathbb {P} (A'_{n})\leq \mathbb {P} (A_{n})$ (croissance de $\mathbb {P}$).

De tout ceci, il résulte : $\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n}A'_{n}\right)=\sum _{n}\mathbb {P} (A'_{n})\leq \sum _{n}\mathbb {P} (A_{n})$.

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, $B_1,$ $B_2,$ $B_3,$ …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des $B_n).$

## Inégalités de Bonferroni

Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Inégalités de Bonferroni — Posons :

       $S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i}),$
       $S_{2}:=\sum _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}),$

et pour 2 < k ≤ n,

       $S_{k}:=\sum \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}),$

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ k ≤ n

       $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j},$

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ k ≤ n

       $\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j+1}S_{j}.$

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

