Tekil Değer Ayrıştırma (SVD) ve Ana Bileşen Analizi (PCA) arasındaki ilişki, her ikisinin de verileri açıklamak ve azaltmak için kullanılan güçlü araçlar olmasıdır. Her ikisi de yüksek boyutlu verileri daha düşük boyutlu bir alana projekte ederek çalışır, ancak farklı yollarla yaklaşırlar.

PCA, verileri açıklayan varyansı yakalamak için bir veri kümesindeki korelasyonlardan yararlanır. Bu, yüksek boyutlu bir veri kümesini, korelasyonları yakalayan ve korelasyonları yakalayan bir dönüşüm uygulayarak daha düşük boyutlu bir alana dönüştürmekle ilgilidir. Dönüşüm, orijinal verilerin yönlerini korurken varyansı yakalamaya çalışır.

Öte yandan, SVD matrislerin ayrıştırılması ve yaklaşık olarak yeniden oluşturulmasıyla ilgilidir. Bir matrisin SVD'si, orijinal matrisi yaklaşık olarak yeniden oluşturmak için kullanılan üç matrisin ürünüdür: bir dik matris, bir diyagonal matris ve bir transpoze dik matris. SVD, matrislerin sıralanması ve yaklaşık olarak yeniden oluşturulması için güçlü bir araç sağlar.

PCA'yı gerçekleştirmek için SVD'yi kullanmak, her ikisinin arasındaki ilişkiyi tanımanın bir sonucudur. PCA'yı gerçekleştirmek için SVD'yi kullanmanın temel adımları şunlardır:

1. Veri Ön İşleme: Veri kümesini, ortalamayı merkezleme ve ölçeklendirme gibi PCA için tipik ön işleme adımlarından geçirin.

2. Kovaryans matrisi veya korelasyon matrisi hesaplayın: Veri kümesinden kovaryans matrisini veya korelasyon matrisini hesaplayın. Bu matris, verilerdeki değişkenlikler ve korelasyonlar hakkında bilgi içerir.

3. SVD'yi Uygula: Kovaryans matrisine veya korelasyon matrisine SVD'yi uygulayın. Bu, matrisin tekil değerlerini ve karşılık gelen vektörlerini verir. Tekil değerler, her bir boyutta yakalanan varyansın miktarını temsil eder, vektörler ise yönleri temsil eder.

4. Seçilen Bileşenlerin Sayısını Seçin: Yakalanacak varyansın miktarına veya korunacak veri yapılarının doğasına bağlı olarak tutulacak ana bileşenlerin sayısını seçin. Bu, tekil değerlerin sıralanmasına ve varyansın açıklanmasına dayanmalıdır.

5. Dönüşüm Matrisini Oluşturun: Seçilen bileşenlere karşılık gelen sağ tekil vektörleri alarak bir dönüşüm matrisi oluşturun. Bu matris, orijinal veri kümesini daha düşük boyutlu alana projekte etmek için kullanılır.

6. Verileri Dönüştürün: Orijinal veri kümesini dönüşüm matrisiyle çarpın, böylece daha düşük boyutlu alana projekte edilir. Bu, PCA dönüşümünü uygular ve verileri yeni koordinat sistemine dönüştürür.

SVD kullanarak PCA gerçekleştirerek, yüksek boyutlu verileri daha düşük boyutlu bir alana azaltabilir ve verileri görselleştirebilir, analiz edebilir veya makine öğrenimi görevleri için giriş olarak kullanabilirsiniz. SVD'nin sağlam hesaplama özellikleri, özellikle büyük veri kümeleriyle çalışırken PCA'yı etkili bir şekilde uygulamaya olanak tanır.