第四部分八年级下
一祖守边相等
(2)定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形, 平行四边形 对面互相重直
(3)定理2,对角线互相垂直平分的四边形是菱形, 平行用边形
(4)定理3:四条边相等的四边形是菱形.
<国方互相重平分(开 要判定一个四边形是菱形,主要有两种方法:一是先判定四边形是平行四边形,或者四边 四过开y目条过相等 这个四边形本身就是平行四边形,再加上一个必要条件。如邻边相等或对角线互相 垂直或对角线平分一组对角等,它就是要形:二是直接证明它的四条边都相等、或是 推广:对角碱互相垂 对角线互相垂直平分,即可证明它是菱形。 直的任意四边形的
4.菱形的面积
面积,都等于对属碱
干憨被它的 条对角线分成四个全等的直角三角彤.它 的底和高都分别是两条对角 乘积的一半. 线的一半.利用三角形的面积公式可推得,菱形的面积等于它的对角线之积的一半.
知识3正方形
1.正方形的定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形,所以,正方形既 边 四条边相等 是矩形,又是菱形, 角 四个国都是90°
2.正方形的性质:正方形既有矩影的性质,又有菱形的性质, (1)正方形的四个角都是直角.四条边都相等。
对用3 互相重豆半分且相等
(2)正方形的对角线相等,并且互相前直平分,每条对角线平分一组对角 是轴对称图形也是
对称性
3>正方形是中心对称图形.对角线的交点是它的对称中心。
中心对称图形
(4)正方形是 对 图账.两条对角线所在的直线以及过每一组对边中点的 线都
是它的对称轴。
3.正方形的判定方法及应用
(1)正方形的判定
正方形的判定可以概括为以下五条:①平行四边形+一组邻边相等一一个角为直角 正方形.矩形十一组等边相等=正方形:0形+对角线互相垂直一正方形 :4菱
形十一个角为直角=正方形:菱形十对角线相等一正方形。
(2)应用:在判定正方形时,要弄清是在"四边形"还是在"平行四边形"的基础上来求 证的,要然悉各判定定理的联系和区别,解答此类问题时要认真审题,通过对已知条 件的分析、综合,最 确定用 -种判定方法是 决达类间题的关键
知识4矩形、菱形、正方形之间的关系
矩形、形,正方形都是特殊的平行四边形,它们之间的关系如下表
[矩形、形,正方形都是特殊的平行四边形,它们之间的关系如下表
平行四边形 短开(正方开麦刊]

"":"平行四 边形"
"边":"对边平行 且相等"
"角":"对角相等"
"对角线":"两条对角线互相平分"
"对称性":"中心对称图形"

"":"矩形"
"边":"对边平行 且相等"
"角":"四个角都 是直角"
"对角线":"两条对角线互相平分且相等"
"对称性":"轴对称图形,中 心对称图形"

"":"菱形"
"边":"对边平行、四 条边都相等"
"角":"对角相等"
"对角线":"两条对角线互相垂直平分,且每 一条对角线平分一组对角"
"对称性":"轴对称图形,中 心对称图形"

"":"正方形"
"边":"对边平行、四 条边都相等"
"角":"四个角都 是直角"
"对角线":"两条对角线互相垂直平分且相 等,每一条对角线平分一组对角"
"对称性":"轴对称图形,中 心对称图形"
平行四边形 短开(正方开麦刊
训练点1矩形的性质
[1.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是边AB.CD 的中点,连接AF.CE.
(1)求证:△BECADFA.]A D E F B C


(2)求证:四边形AECF 是平行四边形.
[关注过程]证明:(1)"四迪形ACD是矩形, 二AB=(D.AD=BC.短形的性质
艾 点E,F分别是边AB.CD的中点。
.BE-DF.
在△BEC和 DFA
BC=DA, B=D.一组对边平行且相等的
BE=DF.
四边形是平行四边开 :△BEC △DFA(SAS), (2) AB=(D,E.F分别是边AB.CD的中点。 AE=CF.AE/CF. .四边形AECF是平行四边形。
[学会总结]矩形性质的应用
1.证明线段 、相等或分关系。
2.证明角 或求兔的度数,
3.解决与全等有关的问题。 1,平行2.相等
训练点2直角三角形斜边上中线的性质
2.在等腰△ABC中,AB=AC=8. BAC=100°, AD是ZBAC的平分线,交BC手点D.点E是 AB的中点,连接DE.BAD=<BAC
(1)求 BAD的度数。
(2)求 B的度数.
(3)求线段DE的长。
AB=AC三线合 AD是角平分我ADLBC =DE= 2AB
[E是AB中点
训练点3矩形的判定][学会总结] 直角三角形斜边上中线的性质及其 拓展 1.性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ,在Rt BAC中, BAC=90°,D为 BC的中点,则AD= A 3 2 1 4 B D C 2.拓展: 1 1= 2, 3= 4;2 ADB= 2 4, ADC= =2/2. 1.一半-BC 2.2 3 2 1 2


[3.[2021·邹平期中]如图,在四边形ABCD中,AD// BC.ZB=90.AB=8cm.AD-24cm,BC= 26cm,点P从A点出发.以1cm/s的速度向点D 运动:点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点 B运动。
(1)从运动开始,经过多长时间点P.Q.C.D构成 的四边形是平行四边形?]P A 当PD=CQ时, PQCD是平行四 边形 B


(2)从运动开始,经过多长时间点A,B.Q.P构成 的四边形是矩形?当AP=BQ时ABQP是短开
[关注过程]解:(1)当PD=CQ时,四边形 PQCD为平行四边号
24一1=3。
解得:6.
即当(=6s时,四边形PQCD为平行四边形, (2)根据题意,得 "AD//BC. B=90°.
当AP-BQ时,四边形ABQP是矩形, . 26-3t.
解得!=6.5。
即当1=6.58时,四造形ABQP是矩形,
训练点4矩形的性质与判定的综合应用 [关注过程]
4.如图.在四边形ABCD中.A= HD=90'.BC= 解析:"四边ABCD)走形。 (D.CE AD.垂足为点E.求证:AE=(E. :0A=0C=6.0B=OD.ACBD.
LBCE=4D AAC=12.
"DHLAB. /BHD=902.
:OH一RD.
[关注过程]证明:如图,过点B作BFLCE "美ABCTD的音机一·BD-x12 于点F.
作辅助碱, BD一48. 构运全等三 BD-8. 角开是关我 OH=-BD=.答案为4。
"CELAD../D+/DCE=90
[学会总结]菱形的"边"与"对角线" ZBCD=902.
过:姜形的一个突出特点是"四条相等",由此 : BCF+ DCE=90°, 可知形与一般平行四道形的不同之处: :. BCF=2D.--周国的余角相等
;周长是进长4.,在解决与菱形有关 ZBCF=ZD. 的线段长问题中。常常用到这两个结论。
在△BCF 和△CDE 中, BFCCED=90 对角线:形的每条对角线把支形分成两个全等
BC=CD.
:菱形的两条对集线把形分成四个 的 ABCFACDE.BF=CE.
全等的 ,因此由网喜对角线的长可求 形的面积,结合勾股定理可求边长或对角线的长。 又 ZA=90°.CELAD,BFLCE, 爷动相等等三角形直角三角形 二四边形AEFB是矩形, 训练点6菱形性质的实际应用边长均为10.2m AE=BF. 转化思想 AE=CE.
6.如图,四边形ABCD是一个菱形绿 草地,其周长为40v2m.ZABC=
[学会总结]矩形性质与判定的综合应用 120°,在其内部有一个矩形花坛
1.相用矩形的性质可证明线段相等或互相平分,角 EFGH.其四个顶点恰好在菱形 相等,直线率行等。
AIXD各边中点,现准备在花坛中科
2.证明是矩形可以直接证明三个角等于90或者先证 植茉莉花,其单价为30元/m.则需投 明是平行四造形再过明一个角是90或对南线相等。 资资金多少元:(取1.732)
三角开中位线EH=5.2m
先表短形的面积 AC=3AB=10.6(m) EF=AC=5.6(m)
5.[202]·张家界模拟]如图、菱形ABCD的对角线 AC.BD相交于点O.过点D作DHLAB于点H。
[学会总结]利用菱形的性质解决问题的方法 连接OH,若(A=6.Semn=48,则OH的 利用菱形的性质。可解决实际问题中有关曼形边
对用线乘积的一 长为
角的计算(或证明线段、角的相等)问题,一般是 ¥Sg=AC.BD 根据美形的性质,将有关的边,角的求解问题,转 2
化到三角形中(或证明三角形的全等).再利用学
[过的知识进行求解(或迁出线段、角的相等)、从 解决问题。
训练点5菱形的性质]B D E A


训练点7菱形的判定
7.[2021·郴州月考]如图,在□ABCD中,作对角线 BD的垂直平分线EF,垂足为0.分别交AD、BC
手E.F,连接BE.DF,求证:四边形BFDE是菱形。 OE=OF→BFDE
[OB=OD
8.[2021·南宁月考]如图,在△ABC中.D.E分别是 AB.AC的中点,BE=2DE+过点C作CF/BE交 DE的延长线于F、连接CD,][关注过程] 证明: 在 ABCD中,O为对角 线BD的中点,  BO=DO,  EDO= /FBO, 在L DOE和 △BOF中, EDO= FBO, OD=OB, EOD=  FOB, DOE BOF,  OE=OF, 通常先证平行四边形. 又 OB=OD,  四边形BFDE是平行四边形, +对角线垂直 菱形  EF BD,  四边形BFDE为菱形.


先证BCFE是平
(1)求证:四边形BCFE是菱形.行四边.
(2)在不添加任何辅助线与字母的情况下,请直接
写出图中与△BEC面积相等的所有三角形(不包括 ABEC.全等的等底同高或等底等高 的三角开
[学会总结] 董形的常用判定方法
[[学会总结] 董形的常用判定方法
互相券直 一层时角相等参直年分 平分]

"已有条件":"平行四边形"
"需要条件":"邻边"

对角线

每条对角线平分

"已有条件":"一般四边形"
"需要条件":"四条边都"

对角线互相

对角线互相 ,且每条对角 线平分一组对角
互相券直 一层时角相等参直年分 平分
训练点8菱形性质与判定的综合应用
9.[2021·平山模报]如图,在平行四边形ABCD 中,用直尺和圆现作 BAD平分线交BC于点E (尺规作图的痕迹保留在图中了),连接EF.
先证ABEF为平
行四边形,再利 用AE是 BAP c的平分孩,证出
(1)求证:四边形ABEF为菱形, AB=BE.
(2)AE.BF相交于点0.若BF=6.AB=5.求AE 的长.
ZAOK
[关注过程]解:(1)证明:由尺规作 BAF的 角平分线的过程可得AB=AF. BAE W/FAE.
四造形ABCD是平行四边形.AD/BC /FAE=/AEB.. BAE=/AEB. AB=BE..BE=FA.四造形ABEF为平 行四形, AB=AF..四边形ABEF为 菱形。
(2):四边形ABEF为菱形.AEIBF.BO= FB=3.AE=2AO.在Ri△AOB中,A0=4.
二AE-2A0=8.
[学会总结]菱形判定方法的选择
要判定一个四造形是形时,可以先说明它是 ,再说明它的 也可说明它的四条都 或它的对角线 互相 ,在具体问题中,要注意根搓题目 选择合适的方法, 平行四边形一邻边想等或对角线面直 相等
垂直平分
训练点9正方形的性质
10.[2021·安徽月考]如图.在正方形ABCD中.点
E.F将对角线AC三等分,其AC=12.点在正 方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是
2
使E+pf=9. 阿子
DE+OF=41029. 在DG段也存在一个点
D局和EP=415<9, D CF+EC=1229. E 在CG段存在点P.
A.0
B.4 P.同理可得等杀迎上
C.6
D.8 都存在两个总p一共8个 11.202]·海东期末]正方形ABCD的边长为6.E.
F分别是AB.BC边上的点。且 EDF-45.将 △DAE绕点D逆时针旋转90",得到△DCM
(1)求证:EF=CF+AE.证△DEF丝△DMF
(2)当AE=2时,求EF的长.
EF= BE2+BF2
CM=2.BE=4
[学会总结]正方形的"边、角、对角线"
1.边:四条都 且每维对边平行, 2.角:四个角都
3.对角线:两条对角线
概正方形分成四个全等的等展直角三角形:每条对 角或平分一组对角,把正方形分成两个全等的等族 直南三角形。 1.相等2.直角3.相等且相委直平分
训练点10正方形的判定
[12.2021·渠县期未]如图-在△ABC中.AB=AC. D是BC中点.F是AC中点.AN是△ABC的外 角 MAC的平分线,延长DF交AN于点E.连 接CE.
《1)求证:四边形ADXCE是矩形羌ADC三是平]M E N A F B D C


(2)看AB=BC=4.四边形ADCE的面积为 多少?与等边△ABC面积相等
(3)直接回答:当△ABC满足 时,四边形 ADCE是正方形.
[关注过程]解:(1)证明:AN是△ABC外 角/CAM的手分线。
MAE=MAC.
"AB=AC.
ZB=ZACB.
*2MAC-ZB+ZACB.
ZMAE=ZB.
AN/BC.
F为AC的中点D为BC的中点。
.FD/AB.
两祖对边分别 :四边郁ABDE为举行四边想,平行的四边刑
AE=BD.
是平行四边开
BD=CD. AE=(D. 一组对边平行且
六四边形ADCE为平行边, 相等的四边开!
禁ABmAC.点D为BC中点。
是平行四边开)
ADLBC. ZADC-90. 一个角是90°
.边形ADCE为矩形。 的平行四边
(2)由(1)如四边形ADCE是矩形, 形是短利
"BC-AB=4.AB=AC.
ABD-2.
AD=2v3.
.四边形ADCE的面积为(DXAD=2×23 =4V3. (3)答发不唯一,如当 BAC=90°时,四边形 AIXE是正方形, /BACw90.AB=AC. 二△ABC为等腰直角三角形。
"D为BC的中点: AD-DC. 邻边相等的短
"四边形ADCE为抵形 形是正方开以
四边形ADCE为正方形,
调乐趣
第十九章 次函数
函数不是数它是指某一变化过 数
19.1 函 程中的两个变量之间的关系
同学教材 学习重点 知识1
函数的有关概念 是可以变化的 1.常量与变量
(1)在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量,已知数 (2)个常量和变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是常量还是变量.需要
看两个方面:一是看它是否在同一个变化过程中:二是看它在这个变化过程中的取
值情况是否发生了变化。
2露量和变量只是相对于某个变化过程 言的.它 具有相对性,在不同的研完过
程中,作为常量和变量的身份是可以相互转化的。
③常量是在整个变化过程中保持不变的量,千万不要认为式子中出现的字母就是变
每一个x对应唯一的一个值,而每一个值不必对应唯一 量.如圆周率x,它是常量,而不是变量, 的x值体现在函数围象上就是在自变量取值范围
2.函数与函数值
内垂直于x轴的直线与函数围家有且只有一个交
(1)函数与函数值的有关概念
一地。在一个变化过程中,如果有两个 量买与y、井且对于1的每一个确她的饼 值.y都有唯一确定的值与其对应.那么就说是自变量.y是x的丽数, (2)判断一个关系是不是函数关系的方法
不是函数关系
①看这个关系是否在一个变化过程中: 看在这个变化过程中是否有两个变量,是醒就关系 ③看一个变量每取一个确定的值,另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应。
自变量的取值范围可以是有限的或无限的也
(3)自变量取值范围的确定 可以是几个数或单独的一个数。
使函数解析式有意义 ①在一个两数关系中
确定自变量的取值范围 使实际问题有意义
②自变量取值范围的求法
当函数关系式只含有关于自变量的整式时,自变量的取值范围是全体实数。
当丽数关系式含有分式时,自 量的收值范 是使分母不为零的实数.
当函数关系式含有开平方时.自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的实数 当自变量出现在零次幂的底数中时-自变量的取值范围是使底数不为零的实数。 若涵数关系式包含上述两种或两种以上情况,则分别求出使各 有意义的自变量的 取值范围,再取这些"范围"的公共部分,对于四函数值确定自变量的相应取值的问题一般转 化为方程来解决一个函数值对应的自变量的值可能不
(4)函数值
代人函数解新式y=b ①定义:z=4
*6叫做当自变量的值为u时的函数值. 把自变量的取信代人解析式求代数式的值。
2方法:求函数值
3.函数的解析式
像y-50-0.1这样,用关于自变量的数学式子表示数与自变量之间的关系,是 在确定实际问题的函数解析式时 描述函数的常用方法,这种式子叫微函数的解析式、 不要忍略自变量的取值范围
知识2函数的图象
自变量的值一不坐标 函数
组成的图刊一函数的图象
1.定义
对应函数值一从坐标
(1)一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横,纵 坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象
(2判断点P(xr,y 于否在函数图一上的方法:将点P的坐 (r.y)代人荫数关系 式若满足嵌数关系式,则这个点就在函数的因象上否则不在函数的图像上。
2.函数图象上的点与其解析式之间的关系
函数图象上的任一点的楼坐标与纵坐标一定是这个函数的自变量上和函数v的一 对对 值:反之,以这一 对应值为横、纵坐标的点必在函数的图象上.
3.描点法画函数图象的一般步骤 自变量的取值要有代表性尽量反函数的全貌
第一步:列表--表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
第二步: 点-在直角坐标系中.以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵堂 标.描出表格中数值对应的各点.


第三步:连线-按照横坐标由小到大的顾序,把所搞出的各点用平滑曲线连接 起来。
点取的越多图象越难确一般画图象时耳5~7个
知识3函数的表示方法
1.列表法
ci)定义,通过到出自变量的值与对应的涵数值的表格来表示丽关系的方法叫鼓 一般取20时近的5~7个整数值 列表法。
(2)优点:能明显地呈现出自变量的值与对应的前数值。
(3)不足:只能列出部分自变量的值与对应的函数值,难以看出函数值随自变量的变 化而变化的规律。
2.解析式法
(1)定义:用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法叫做解析 式法
(2>优点:简明扼要.规范准确.便于分析推导函数性质。
(3)不足:有些函数关系不能用解析式表示。
3.图象法
(1)定义:用图象表示数关系的方法叫做图象法.
(2)优点:形象直观.能清晰地呈现通数的一些性质。
(3不足:所 的图像是 似的,局部的,从 像上现察的结果也是近似的. 一本课有初中数学
训练点1变量与常量
[学会总结]正确理解函数与函数值
L.[2021·确山湖水]在一次实验中,小强把一根弹 1.列函数天系式就是要找到 之间的关系。
簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下面是他测得 一般所说的函数关系式;含有自变量与因交量的 的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对 等式。 应值:
2.根据自变量的值求函数值,或根据函数值求自变
[2.根据自变量的值求函数值,或根据函数值求自变
量约值实质就是解]
所挂物体的质量x/kg	0	1	2	3	4	5
弹簧的长度y/cm	20	22	24	26	28	30
量约值实质就是解
1.自交量与函数2.一元一次方样
追上时二人之间 训练点4从函数图象中获取信息的距离为0
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自 4.[2021·重庆模拟]一天早晨,小玲从家出发匀速步 变量?哪个是因变量?
质量x与弹貿长度y 行到学校,小玲出发一段时间后,她的妈妈发现小玲
(2)填空:
忘带了一件必需的学习用品,于是立即下楼骑自行 ①当所挂的物体为3kg时,弹簧长是 ,不 车,沿小玲行进的路线,匀速去追小玲,妈妈追上小 挂重物时,弹簧长是 当x=0时
玲将学习用品交给小玲后,立即沿原路线匀速返回 ②当所挂物体的质量为8kg(在弹簧的弹性限度范 家里.但由于路上行人渐多.妈妈返回时骑车的速度 围内)时,弹簧长度是
只是原来速度的一半,小玲继续以原速度步行前往
学校,妈妈与小玲之间的距离y(米)与小玲从家出 发后步行的时间(分)之间的关系如图所示(小玲 和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的 [学会总结]确定常量、变量的"一个标准" 时间忽略不计).当妈妈刚回到家时,小玲离学校的 在同一个问题中这个量的取值 ,是判断
距离为 常量、变量的唯一标准,如果发生变化。该量为交 量,不发生变化的量为量, 是否发生变化
妈妈回到家 200...
5-×30 小玲走了10分
训练点2自变量的取值范围
钟,妈妈开始追 5-z
妈妈走35分
2.[202]·市中区校月考]函数y= 一自变量 1-3 0510IS 30x分
钟追上小玲 的取值范围是 x-3≠0 [关注过程]200
A.≠0
Br≤5
解析:由图象,得小玲步行速度:1200÷30= C≤5且x≠3 D.r<5且x≠3 40(米/分)。
训练点3函数及函数值
由函数图象得出,妈妈在小玲走了10分后出 3.如图,甲、乙两地相距100km.现有一列火车从乙地 发.15分时追上小玲, 妈妈5分钟行 出发,以80km/h的速度向丙地行驶,设x(h)表示 说妈妈去时的进度为U来/分·驶史的陨程与小
火车行驶时间.y(km)表示火车与甲地的距离 (15-10)-15×40. 论15分钟走的 vab0kmh 注意是与甲 v=120. 1 V
路程一样 地的距离 15X40
则妈妈回家所用时间: 120÷2=10(分), (1)写出y与x之间的关系式.
(2)当x一0.5时.求y的值.
(30-15-10)×40=200(米).
(3)当y-200时,求上的值。
[学会总结]读函数图象的几点注意
1.弄清函数图象的横、纵坐标分到表示什么,图象 上最高点,最低点的意义。
2.上升线表示函数值随自变量的增大而
[2.上升线表示函数值随自变量的增大而
下降线表示数值随自安量的增大而]
[学会总结]

用
下降线表示数值随自安量的增大而
水平找表示西数值不随自变量的变化而变化。
3.直线倾料程度大表示函数值自安量变化迅速, 直线倾斜程度小表示函数值随良变量变化统慢。
2.增大减小
训练点7用函数解决实际问题
训练点5函数图象的画法与识别
7.2021·天桥区期末]"珍爱生命,注意安全!"同学们
5.通过列表、描点、连线的方法画函数y=一的 在上下学途中一定要注意骑车安全-小明骑单车上 图象.正、负数和0均又才有代表性 学。当他从家出发骑了一段时间,想起要买某本书。


[于是又折回到刚经过的某书店,买到书后继续去学 校.如图是他本次上学所用的时间与离家的距离之 间的关系图,据图中提供的信息回答下列问题:
[学会总结]画函数图象的几点注意]路程/米 学校 1500 1200 900 到书店 买到书 600 300 家 0 2 4 6 10 12 14时间/分


1.自责量的取值不宜过大成过小。尽可能取
(1>小明家到学校的距离是多少米?
2.列表中的自变量,函数值分别对应着该点的情、 (2)在整个上季的途中哪个时间段小明骑车速度最
炽坐标-防正出现 能倒的错误。 快,最快的速度是多少!线段越随速度越快
3.连线时,必须照坐标从小到大(或从大小) (3)小明在书店停留了多少分钟? 有停留时间 进行。
1整数2.横,纵坐标 (4)本次上学途中,小明一共行驶了多少分钟?
训练点6函数的表示法
行驶了多少米?折回的也算
6.[202]·澧县模拟]父亲告诉小明:"距离地面越远。 [关注过程]解:(1):y轴表示路程,起点是 温度越低,"并给小明出示了下面的表格:
家,终点是学校。
二小明家到学校的距离是1500米。
[二小明家到学校的距离是1500米。
(2)由图象可知,0-6分时,平均速度 1200-600 根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,请你 200(米/分).6~8分时,平均速度= 和小明一起回答。]
距离地面高度/千米	0	1	2	3	4	5
温度/℃	20	14	8	2	4	10
(2)由图象可知,0-6分时,平均速度 1200-600 根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,请你 200(米/分).6~8分时,平均速度= 和小明一起回答。
1500-600 3000米/分),12一14分时,牛均速度
(1)如果用 表示距离地面的高度.用T表示温度、 14-12
450(米/分).所以12~14分时速度最快,最快 那么随看的变化,T是怎么变化的"T是的函敬。 的速度是450米/分。
(2)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗? (3)由图桌可知,小明在书店停留了12-8=
(3)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗? 4(分)。
h=5
(4)1500+600×2=2700(米)
本次上学途中,小明一共行驶了10分钟,一共 等差数列,每上
行驶了2700米。
升1千米温度下
[学会总结]从函数图象中获取信息的"三步骤" 36℃
1.理解意,注意间题中交量之间的数量关系。
2.观察图象,特别是图象中的常量、安量以及两尘 标轴表来的意义等。
3.对这些信息进行处理,解决问题,
19.2一次函数
同学教材 学习重点
知识1正比例函数
1.正比例函数
般地,形如y=kr(k是常数,≠()的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例 投正比例函数解析式时易漏掉≠0这一条件 系数。
2.判定一个函数是正比例函数的方法
同时满足两个条件。
(1)所给解析式是形如y=kx的形式.
(2)比例系数是常数,且上不为0.
3.正比例函数的图象及性质
(1)正比例函数的图象
点在国家上,则坐标 般地,正比例函数y=kz(k是常数,≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称 它为直线y=kr.
适合解析式反之坐
(2)正比例函数图象的画法
标适合解析式,则点 画正 例械数图象的方法与画函数图象的方法一样,都经过列表、横点、连线三步来在 客上
完成.
(3)正比例函数的性质
[(3)正比例函数的性质
阅越大图象越偏 离x轴刘越小越]

"y=k.x":"图象"
"k>0":"y (1.k) k Zy=kx :增大 x增大"
"k<0":"y=kx x增大 y减小 1.k"

"y=k.x":"图象的形状"
"k>0":"过原点,从左向右是上升的直线"
"k<0":"过原点,从左向右是下降的直线"

"y=k.x":"经过的象限"
"k>0":"第一、三象限"
"k<0":"第二、四象限"

"y=k.x":"增减性"
"k>0":"y的值随 值的增大而增大"
"k<0":"y的值随x值的增大而减小"
阅越大图象越偏 离x轴刘越小越
靠近x车由 一撇一捺
当k=0时,y=b(常函数),
知识2一次函数
自变量指数为!承数不为,常由的命题 表示与轴平行或重合
1.一次函数
(b=0)的一条直线 般地,形如y=bx+b(、b是常数,0)的函数,叫做一次函数,当6=0时,
2.一次函数的图象及性质
kx+6即y=ar.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数一次函数不一定是正地例函数。
(1)直线y=6z+6(k≠0)与y轴交于点(0.6),与轴交于点(一-0),其中6叫做
直线y=kx+b在y轴上的截距 不是距离b可以是正数,负数他可以是a.
(2)-次函数y-br+b(k≠0)的图象与性质,可叫=kx向上或向下平移101个单位长度得到


[(2)-次函数y-br+b(k≠0)的图象与性质,可叫=kx向上或向下平移101个单位长度得到
知0国象像笔画"撒" k0象像笔画"探 b20.交于车由正半羊由; b=0.过原焦;]

k>0 6>0  图象经过第一、二、三象限

"k,b的符号":"6=0"
"函数图象":"石"
"图象的位置":"图象经过第一、三象限"
"性质":"y的值随x值的 增大而增大"

"k,b的符号":"6<0"
"函数图象":""
"图象的位置":"图象经过第一、三、四象限"
"性质":""

k<0 6>0  图象经过第一、二、四象限 y的值随 值的 增大而减小

b=0  图象经过第二、四象限

  图象经过第二、三、四象限
知0国象像笔画"撒" k0象像笔画"探 b20.交于车由正半羊由; b=0.过原焦;
bk0.交于车由负半轴 记住这些可以快速 判新图象过哪些象限, 或根据图象判断比b 的符号
(3)一次函数图象的画法
常遇一次函数围象与
由数解析式y=kr+h(k≠0)选取满足条件的两点(x.y,).(xy;),过这两点 坐标轴的两个交点 画直线.即得一次函数y=kr+b(≠0)的图象。
(4)待定系数法
(o.b)和(一号0)来画周
①定义,先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从面得出函数解 象两确定一条直钱 析式的方法,叫做待定系数法。
两个点的标 代人--关于卡.的 ②步骤:设解析式v一kx+h(、是常数,0)
方程组方程求出,的值代国解析式确定解析式。
(5)一次函数解析式与一次函数图象的关系
函数解析式选取 满足条件的两定点画出 一次函数的 图象直线/ yukr+b (工.))与(x.5)
解出
选取
3.一次函数的图象与性质的应用
(1)从函数图象的形状可以判断函数的类型,对于实际问题中的正比例函数和一次 请数的图象.大多为线段或射线.因为在实际问题中.自变量的取值范围是有一定展 制的,即自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
(2)一次 数y=kr+b(k≠03的性质主要是 函数的 减性.即y随 的变化情 况,它只与k的符号有关,与6的符号无关,k决定一次函数的智减性 考0时x的通 数
知识3一次函数与一元一次方程(组)
kx+b=0的解 y=kx+b
1.一次函数与一元一次方程
图象与的交的本坐行
(1)因为任何一个以x为未知数的一-元一次方程都可以变形为ar+b=0(a≠0)的形 式,所以解一元一次方程相当于在某个一次函数 v=ar十b的莱数值为 时.求白变量 +的值, 151
(2)从图象上看,这相当于已知直线y=ar+b.确定它与x轴交点横坐标的值
2.用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
axr+b=o
一元一次方程--次函数--次函数的图象
直线与x轴由交的不 一次函数的图象与x轴交点的 横坐标写出一元一次方程的解.
坐标即为方程的解
知识4一次函数与一元一次不等式
1.因为任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ar十b0成x+b< 0(a≠0的形式.所以 一元一次不等式相当于在某个一*次函数y=ax+6的函数 值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围。 2.从图象上看: (1)Ax+6>0的解集是直线y=kx+b位于r轴上方部分相应x的取值范围。 y=k.x+b.
(2)kx+b<0的解集是直线y=kx十6位于x下方部分相应x的取值范围.
y=k.x+b
(3)kz+6,>k2x+6:的解集是直线y=k)x+6,在直线y=k;x+b:上方部分相
需知道交坐标 应x的取值范围,一
(4 k(r+b,<点,r+b,)的 集是 直线y一Ar十b,在直  y k:x+6:下方 分相 应x的取值范围。
男>y=X>X
知识5一次函数与二元一次方程(组)
y<yX<Xo 1,一  ,由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组.都 对应两个一次函数,于是也对应两条直线 (1)从"数"的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值
相等,以及这个函数值是多少.
(2)从"形"的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标,因此.
我们可以用画一次前数图象的方法得到方程组的解。
交坐标即为方程组的
2.用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤, 解,方程组的解即为交
(1)将方程组中的每个方程分别转化为一次函数的解析式. 的不纵坐标
(2)在同一平面直角坐标系中分别画出转化后的两个一次函数的图象.
(3)根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解。
知识6利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤
1.观察图象,获取有效信息, 2.对获取的信息进行加工、处理、理清各数量之间的关系。
3.选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建决问题.
>y=kx(k≠0)分层练透 提分要旨 m-1=0
训练点1正比例函数的概念


训练点2正比例函数的解析式
1.[2021·孝感模拟若函数y=(m+1x+m-2是 2.[2021+蛇口模拟]已知y与r成正比例,且x=-2 关于x的正比例函数,则 m+1≠0() 时,y=6.
A.m=-1 B.m=1 C.m一±1 D.m=2 (1)求y与r之间的函数表达式.先设y=kx
(2)若点(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值。
[学会总结]正比例函数解析式的结构特点
代入(1)中的解析式 正比例函数的解析式是常数与自变量的积, 其中:
(1)系数
(2)自变量的指数 [1]不为(2)为
[学会总结]列正比例函数解析式的步
1.分析匙意,找出安之间的等业关系。
2.用含有量的解析式表示另一个变量。
3.确定自变量的取值范围。
训练点3正比例函数的围象
3.[202]·四平月考]已知一次函数yi=2x与y:
mar
(1)在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象, [学会总结]判断一次函数的"三注意" 比较它们有什么不同。
1.必须为
(2>预洲哪一个函数的函数值先达到100 2.安量的最高次数是1次。系数
两点确定一条直 3.正比例图数也是 函数。 线,正比例函数
1.整式2.不等于3.一次
国家过原点 训练点6一次函数的实际应用
6.2021·山西一候"双十…"期间.某网店为了促销, [学会总结]画正比例函数图象的一般步骤 推出了普通会员与VIP会员两种销售方式,普通会
1.列表:列表给出自安量r=1和x=0时对施的 员的收费方式是:所购商品的金额不超过300元,客
户还需支付快递费30元:如果所购商品的金额超过
2.描点:以表中对应值为坐标在直角坐标系中我出 300元.则所购商品给予9折优惠,并免除30元的 相应的点, 快递费.VIP会员的收费方式是:缴纳VIP会员费 3连线:过所描点作直线。
1.函数值 30元,所购商品给予8折优惠,并免除30元的快
训练点4正比例函数的性质
递费, 不受消费金额的限制
4.[2021·走口模]已知正比例函数y=(2m+4)r.求: (1)请分别写出按普通会员、VIP会员购关商品应付的 (1)er为何值时,数图象经过一,三象限,2m+4>0 金额(元)与所购商品x(元)之间的函数关系式.
(2)为何值时.v随,的增大面减小
(2)某网民是该网店的会员计划"双十一"期间在该
(3)m为何值时,点(1,3)在该函数图象上2m+4<0 网店鸭买z(a>300)元的品,则他应该选择哪种
代入x=1.y=3
购买方式比较合算?
[学会总结]重要的比例系数k
正比例函数中的比例系数是一个非常重要的 需数:
(1)从解析式上看它决定自交量a每菌数值 的 对应值。
(2)从国象上看,它就决定了直线的位置,也决定 了直线的 (21倾科程度
训练点5一次函数的概念
5.[202]·南冲一次模]已知函数y(m-1)+ m一4.当w为何值时
(1)它是一次函数.m-1≠0
(2)它是常值函数.m-/=0
(3)函数图象不经过第四象限,k>0,b>0
[关注过程]解:(1)普通会员购买商品应付的 金额v(元)与所购商品(元)之间的函数关系 成为
0<r<300时,v=r+301 当上>300时.y0.9x分段表示
VIP会员购买商品应付的全额y(元)与所的商
品(元)之间的函数关系式为y-0.8x+50。
(2)当0.9r<0.8r+50时,解得<500;
当0.9x=0.8x+50时,解得x=500:
当0.9x>0.8+50时,解得>500不要漏障吗
故当购买的商品金额300<<500时,接普通 会员购买合算:当购买的商品金额1>500时。 按VIP会员购买合其:当购买商品全额r=500 时,两种方式购买一样合算,
[学会总结]利用一次函数解决实际问题的一般 步骤
1.根据题意,找出等量关系。
2.列出函数解析式,并明确自变量的取值范围。
3.利用一次面数解决问题。 训练点7一次函数的图象 K<O 7.[2021·无锡月考]已知一次函数y=kx+b的图象 如图所示,则关于x的不等式3kx-b>0的解集为
3k
将(-6,0)代入 y=Rx+b中,b=6k 训练点8一次函数的性质
8.[202]·或都模叔]下列关于一次函数y=-2x+2 的图象的说法中,错误的是
A.函数图象经过第一,二.四象限
B.函数图象与x轴的交点坐标为(2.0)
C.当x>0时,y<2
D.y的值随看x值的增大而减小
9.[2021·凉山月考]已知点A(xy).B(rv:)在
直线y=kx+b上,且直线经过第一、二、四象限,当 x<z时,y:与y:的大小关系为 训练点9用待定系数法求一次函数解析式 10.[2021·福清模拟]已知一次丽数的图象经过
先设解析式为
A(一2,一3).B(1.3)两点。
(1)求这个一次函数的解析式.y=kx+b(k≠0)
(2)试判断点P(-1.1)是否在这个一次函数的图
象上.代入x=-1.y=1左=在,则在围家上


(3)求此函数与x轴、轴围成的三角形的面积。
别轴由交点为(0.b) 交由于C-只0点
k
[学会总结]求一次函数解析式的"四步骤"
1.设:设函数解析式为
2.代:将已知点的全标或x.y的对应值代入所设解 析式中,得到关于系数k.5的方程组。
3.解:解方程组求得系数的值, 4.写:将反b的值代入所设解析式中,写出解析式。
1=kz+b(k=0)
训练点10利用一次函数解决实际应用问题
11.[2021·南通月考]小明从家出发,沿一条直道跑
步.经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到 家中.设小明出发min时的速度为m/min,离 家的距离为>m+v与/之间的函数关系如图所示
[(图中的空心圈表示不包含这
(1)小明出发2min时离家的距离为 m。 (2)当2<1<3时,求,与:之间的数解析式. (3)画出:与之间的函数图象.]2~5min速度为160m/m v(m/min) 160 5~16min速度为80m/m 100 80 2 5 16 t/min


[学会总结]待定系数法在实际问题中的"两情况"
1.当同题已明确所求解的函数是一次函数时,便可 用
2.着函散的图象是线段(或直线),所求的函数就是 一次函数.而且用待定系数法解答时,只需在线 投(或直线)上找出 已知点。
1.待定系数法2.两个
[训练点11一次函数与一元一次方程 12.[2021·亭湖区校级月考]已知一次函数y=-2x +4,完成下列问题:
(1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象. [学会总结]用一次函数与方程的关系解决实际]4 -2 2 3 4 01 5 -5-4-3-2-1 x -2 子 4


(2)根据图象回答,当 时,一2x+4 问题的"四步骤"
[一.轴由上方图象对应的不坐标的范围
(3)根据图象回答:当2 时.y>0.]分析题目中的数量关系及等量关系 分析 列 列出 解 利用函数与方程的关系求解 验 验证所求的解是否符合题意,并作出回答 函数解析式


[学会总结]一元一次方程与一次函数的"两联系"
1.从"数"的角度看:当一次函数y=ar+h(u≠0) 的函数为0时,相应的自安量的值是
即为方程ar+b=0(a为常数.a≠0)的解。
2.从"形"的角度看:一次函数y=az+b(a≠0)的 图象与工轴约交点坐标为( -.0),从而可知交
训练点13一次函数与一元一次不等式
14.[2021·唐山一模]若函数y=kz+ 的图象如图 即为方程ax+b=0a.b为常数. 所示,那么当>0时,的取值范围是 ≠0)的解。
2.横坐标
心围家在x轴由上方都分对应 的自变量x的取值范安 训练点12实际问题中的一次函数与一元一次方程
13.[2021·海门模拟]甲、乙两人沿相同的路线由A 地向B地匀速前进.A.B两地之间的路程为20km
A.>1
B.x>2
他们距A地的距离y(单位:km)与乙出发后的时
C.r<1 D.r<2 间r(单位:h)的函数图象如图所示,根据图象信
15.[2021·珲春一模]如图.直线y一kx十办经过点A
息,回答下列问题:
(-1.-2)和点B(一2.0).直线v=2:过点A.则
[不等式2r<k+6<0的解集为 kx+b>2x,常思是 y=kx+b的围象位
于y=2x圈象上方 的都方:kx+bx0是 y=kx+b在x的下方 的都衣 A..<-2 B.-2<-1 D.-1 C.-2<r<0 [学会总结]用图象法解不等式的"三步骤"]y/km 20 甲 乙 20 5 20-5 1 3 x/h km/h,乙的速度是 (1)甲的速度是 km/h. 5÷5=1 (2)是甲先出发还是乙先出发?先出发几小时? (3)若乙到达B地休息30分钟之后,立即以原来 的速度返回A地,则在乙出发几小时以后两人再 次相遇? 求出乙回来的直线解析式,与 甲的解析式联立即可。


第一步:把不等式化为kr+6>0或kx+b<0 的形式。
第二步,画出一次函数y一kx+b的图象, ,不等 第三步:找出西象与横轴交点的 式的解集就是死交点横空标大或小的x值.横坐标
训练点14一次函数与二元一次方程组
16.一次函数y=kx+b,的图象与y=k,ar+b,的图
y一k:z+b.
象相交于点P(-2.3),则方程组 的 yk.r+b.
解是交坐标对应方程组的解!
B--2
[星指荐一本津书初中数学
(1)求点C的标. CAO=90°得C坐标]增乐趣 17.[2021·汉中模拟]已知二元一次方程组 的解为 则在同一平面直角坐标系中,直 线L1:y=x+5与直线 x-1的交点坐 标为 训练点15 一次函数与几何问题 18.[2021·江西四校联考]如图,在平面直角坐标系 中,点A,B的坐标分别为 接AB,以AB为边向上作等边三角形ABC. 构造直角三角开心, 且 BAO=30°,可 B 求AB. 1


(2)求线段BC所在直线的解析式.
19.3 课题学习 选择方案
同学教材 学习重点
知识选择方案
1."方案决策型"问题
指一个问题有多种不同方案的情形下,如何选择其中最科学、最合理、最能符合题目 要求的方案。
2.在实际问题中,运用一次函数选择最佳方案的一般步骤
建立函数模型列出不等式(组)或方程(组)自安望在取不判信对
求出对应函数值的大小 结合实际调爱
往往不止一个. 选择最佳方案.
3.基本类型
(D)消费购物问题。 先立函数模型,确定自变量的取值范围再
(2)租车租赁问题. 适食函数性质及实际问题选择最佳方案
(3)物资调拨问题.
第二十章 数据的分析 20.1数据的集中趋势 同学教材 学习重点
知识1平均数
1.算术平均数
(1)定义
①文字表述,一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商,叫做这组数据的算术 平均数.简称平均数
读作"x" 5+x,+…*+ ②数学表达;若存在个数x:则这个数的平均数为r
(2)优点与缺点
优点:充分利用各数据提供的信息。
缺点:易受极端值的影响,从而有时不能代表数据的平均水平. 当数据权重相同时加权平均数就是算本平均数
2.加权平均数
(1)定义
①若n个数x**z的权分别是w*.-则一 w十w,…十w。 在计算加权平均数时 叫做这 个数的加权平均数。
分子是各数据与其权的 ②在求个数的平均数时,如果z,出现、次.:出现/:次。….出现、次(这 积的和,而分母是权 里方++…+f.一#),那么这#个数的平均数x也的和,不能简单地看 叫做x,这女个数的加权平均数,其中ff…,分别叫做+v….,成数据的个数也和 的权.
(2)应用:在实际问题中如果一组数据的"重要程度"不相同,求其平均数需采用加权
平均数的计算方法,计算时要根据所给数据的特征,正 识别数据的"重要程度",进
一般来说用秤本估计总1时,梓本容量 而利用加权平均数作出进一步的分析与决策. 越大样本对总体的位计越精确
3.用样本平均数估计总体平均数
当所要考察的对像很多.或者对考察对像带有 坏性时,统计中常常 通过用样木估
计总体的方法来获得对总体的认识、即用样本的平均数来估计总体的平均数.
知识2中位数和众数 一甜御利小到大数据数 奇数一中间位置的数 →中位数
1.中位数
数据 由大到小小 偶数一中间两个数据的平均数
(1)定义:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的序排列,如果数据的个数是奇
数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数:如果数据的个数是偶数,则称中间
两个数据的平均数为这组数据的中位数.
(2)注意
中一组数据的中位数是唯一的。
-组数据的中位数未必出现在这组数据中
护中数学
③中位数仅与数据排列的位置有关, 极端值
①当一组数据中只有个别数据较大时,可用中位数来描述这组数据的集中趋势。
2.众数 (1)-组数据的众数可以不唯一,可以有多个甚至没有0如果一组数据
(1)定义:一组数据中出现次数最多的数据称为远组数据的众数:中有若于个数据的教数一样都是最
(2)注意
大那么这若子个数据 ①一组数据中众数不一定只有一个,众数是数据,而不是出现的次数。 都是这租数据的众 ②当一维组数据中出现异常值时,其平均数往往不能正确反映这组数据的集中趋势, 数,如数据2.2.4.4.1 就应考虑用中位数或众数来反映.
中众数为2和4.因当一
3.平均数、中位数和众数的区别与联系
祖数据中,各个数据出
(1联系,平均数,中位数和众数 可以反胰-组数据的集中范势,实际间区中求得 现的次数都相同时, 的平均数,中位数和众数都应带上单位。 则这组数据没有众 AA (2)区别:①平均数的计算要用到所有的数据,它能充分利用所有数据提供的信
数,如数据1.2.3.4中 息.但受极值的影响较大.
没有众数, ②中位数仅与数据的播列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可
(2)一组数据的众数 能出现在所给数据中也可 不在所给的数据中.当一 细数据中的个别数据变动较需
一定在这祖数据中 时,可用中位数描述其集中趋势。
③众数是当一组数据中某些数据重复出现较多时,人 们往往关心的一个量.众数不 受极端值的影响.
4.平均数、中位数、众数的计算方法
对一组数据的平均数,中位数、众数,要严格按照其定义进行计算.特别是中位数的 计算,要注意数据的个数是奇数还是偶数,数据个数为偶数时,其中位数是某两个数 的平均数,一组数据的平均数只有一个,而众数可能不止一个。
分层练透 提分要旨


[训练点1平均数与加权平均数
1.[2021·成华区模拟]某学习小组成员数学综合练 习得分如下表:53.2是人数,共有10人]均年龄.(结果保留整数) 34~36岁共 人数 12 11 有4人,可取中 10 10 9 间值35岁,其 8 7 6 6 余类推. 4 4 3 2 0 34 36 38 40 42 44 46 48年龄/岁 [学会总结] 借助频数分布表(直方图)求平均数 的"三步骤" 1.算:计算每个小组的 2.求:求出每一组的 3.答:利用 公式计算得到答案. 1.组中值 2.频数 3.加权平均数


得分130 140 145 人数 5 3 2 则该小组成员的平均得分是 分。
[学会总结]计算加权平均数的"三步骤"
1.求出每一个数据与本身"权"的 2.求出上一步所得乘积的 3.用上一步的总和除以所有的 即可得出 答案。
1.乘积2.总和3."权"之和
训练点2加权平均数的应用
2.如图,是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布直 方图,根据图形所提供的信息,求该单位职工的平 158
训练点3用样本平均数估计总体平均数 训练点6选用合适的量描述数据的集中趋势
3.[2021·安徽模叔]某市初中毕业生进行了一项技 6.202]·金牛区期末]2020年为"扶贫攻坚"决胜之 能测试,有4万名考生的得分都是不小于70的两位 年,某校八年级(1)班的同学积极响应校团委号召。 数,从中随机抽取3000个数据,统计如下去:本数据每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图
书,全班捐书情况如图
[书,全班捐书情况如图
10册 请根据表格中的信息.估计这4万个数据的平均数 4]

"数据":"个数"
"70 79 r":"800"
"80 89 r":"1300"
"90 99 2":"900"

"数据":"平均数"
"70 79 r":"78"
"80 89 r":"85"
"90 99 2":"92"
10册 请根据表格中的信息.估计这4万个数据的平均数 4
总体数据
约为 7
D.加杯平均数
C.83
[A.92 B.85
请你根据图中提供的信息解答以下问题; [学会总结]样本平均数估计总体平均数的"应用"]人数 16 14 12 12 10 8 8 6 4 2 2 4 6 7 8 10册数


名学生投全班人则12=30
(1)该班共有 适用条件:用样本估计总体是统计的一个重要方法。 (2)本次捐赠图书册数的中位数为 册.众数 在总体信总不明确或总体的平均数较难求时,可考 为 册.8册比最大出现次数最多 虚用总体的一个样本平均数去计总体平均数, (3)该校八年级共有320名学生·估计该校八年级学 注意问题:用加权平均数时要分清数据和数据的 生本次捐赠图书为7册的学生人数.320x30%. 权数,
训练点4中位数
4.[2021·金山区校级月考]已知某校学生"科技创新 社团"成员的年龄与人数情况如下表所示:
[4.[2021·金山区校级月考]已知某校学生"科技创新 社团"成员的年龄与人数情况如下表所示:
数据已经从小到大排列好 总人数之和为53,是奇数 那么"科技创新社团"成员年龄的中位数是]
年龄(岁	11	12	13	14	15
人数	5	5	16	15	12
数据已经从小到大排列好 总人数之和为53,是奇数 那么"科技创新社团"成员年龄的中位数是
岁,
训练点5众数
[学会总结]平均数、中位数与众数的比较
5.[2021·郭阳模叔]垫球是排球队常规训练的重要 项目之一,如图所示的数据是运动员张华十次球
[5.[2021·郭阳模叔]垫球是排球队常规训练的重要 项目之一,如图所示的数据是运动员张华十次球
测试的成绩,测试规则为每次连续接球10个,每垫 球珂位1个记1分.则运动员张华测试成绩的众数 是]

"特征数":"平均数"
"缺点":"不能反映个体性 质,易受 的影响"
"适用范围":"一般情况下用平均 数描述数据的集中 趋势,应用比较广泛"

"特征数":"中位数"
"缺点":"不能利用所有数据 的信息"
"适用范围":"当有极端值出现时 描 可以用 述数据的集中趋势"

"特征数":"众数"
"缺点":"不能利用所有数据 的信息"
"适用范围":"一组数据中当有不 少数据多次重复出 现时可以用众数描 述集中趋势"
[测试的成绩,测试规则为每次连续接球10个,每垫 球珂位1个记1分.则运动员张华测试成绩的众数 是
[学会总结]确定众数]成绩/分 7'分出现 8 7 6 5 0 2345678910测试序号


1.求法:只要找出 的数据可。
2.注意:一组数据的众数不一定只有一个。
想渊信 中位数
1.出现次数多
20.2数据的波动程度 同学教材 学习重点 计算一组数据的方差时不能遗确或重复任何一个数据
知识1方差
1.定义:设有n个数据x+***.各数据与它们的平均数x的差的平方分别是 (r,一z),(r,一)..(x,一x)',我们用这些值的平均数,即用
1=[,-)+(a:一++(,
来衡量这组数据波动的大小.并把它叫做这组数据的方差.记作」
2.拓展:若x的方差是,则有:
所有数据同时加,减某个数据新数据的方差不变
(1)x:+b.r,+6,..,.+6的方差为
(2ar.a,的方差为所有数据都变原的a倍,新数据的方变为原来的a倍 (3)ar;+b,ar:+6...ar,+6的方差为as. 先变为原来的a倍,再加减某一常数新数据
3.方差的计算步骤
的方差变为原来的几倍
(1)平均;求各数据的平均数:(2)求差:求各数据与平均数的差:(3)平方:求所得各 个差的平方:(4)平均,求所得各平方的平均数。
知识2判断一组数据波动大小的方法
[先计算它们的方差.然后比较方差的大小.方差大的数据波动大.方差小的数据波动小. 在两祖数据平均数相同的情况
下.利用样本数据的方差大小做出 决算时一般选用方差较小的因为 方差小的皮动小数据较稳定 6+7+x+9+5=5×2x]心跳 心跳 平均值 平均值 波动较小 波动较大


分层练透 提分要旨
x=3
2.[2021·梧州月考]如果一组数据6.7.x.9.5的平
训练点1方差的计算
均数是2r.那么这组数据的方差为
1.[2021·候仁月考]小米的爸爸为了了解她的数学
A.4 B.3 C.2 D.1 成绩情况,现从中随机抽取她的三次数学考试成 绩。分别为87.93.90,则三次数学成绩的方差 [学会总结]
我方差先要求出平均数, 是
[先平均 计算一组数据的
计算每个数据与平均数的 求上面所得差的 用求得的平方和除以原数据的个数 平均数 平方和]6 [关注过程] 解析: ×(87+93+90)=90, 这组数 据的平均数是 [(87-90)2+(93-90)2+(90- 方差计算公式要记牢! 这组数据的方差是6.


训练点2方差的应用
[训练点2方差的应用
3.[2021·孝鸟一模]下表记录了甲、乙.丙、丁四名同 学参加孝感市"我们身边的感动"演讲比赛学校选 拔赛,最近儿次成绩的平均数与方差如表:]

"":"A校"
"平均数/分":"85"
"中位数/分":"85"
"众数/分":"85"

"":"B校"
"平均数/分":"85"
"中位数/分":"a"
"众数/分":"6"
3.[2021·孝鸟一模]下表记录了甲、乙.丙、丁四名同 学参加孝感市"我们身边的感动"演讲比赛学校选 拔赛,最近儿次成绩的平均数与方差如表:
S=[(x,-x+(x2-x)
(1)a 甲 乙丙
(2)填空,(填"入校"成"B校)(X,x]
平均数/分 90 8085 80 ①从两校比赛成绩的平均数和中位数的角度来比 方差 2.4 3.65.4 方差小
2.4 较,成绩较好的是
根据表中数据.要从中选择一名成绩好且发挥稳定 击从两校比赛成绩的平均数和众数的角度来比较, 的同学参加市级比赛、应该选择平均分高 或绩较好的最
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ③从两校比赛成绩的方差的角度来比较, 代表选手成绩的方差较大。
[学会总结]
[7.[2021-南京月考下图是某市连续5天的天气情况。 1.找数据:根据实际问题,出问题中相关截拦。
2.求方差:利用方差公式,求得每一组数据的方差。]日期 5月25日 5月26日 5月27日 5月28日 5月29日 天气现象 大雨 晴 中雨 晴 多云 23°C 23°C 25°C 25°C 最高气温 24°C 22°C 21°C 最低气温 17°C 15°C 15°C 良 优 优 优 良 空气质量 (1)利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大 还是日最低气温波动大. (2)根据上图提供的信息,请再写出两个不同类型的 结论. 先求又高又低,再求方


3.得结论:根据方差的特征,得出数据的稳定性。
训练点3方差在实际中的应用
4.[2021·安徽模拟]某科普小组有5名成员,身高分 别为(单位:cm);160.165.170.163.167.增加1名 身高为165cm的成员后,现科普小组成员的身高与 原来相比,下列说法正确的是
A.平均数和中位数不变,方差变小平均数与中位数
都是165cm,方 我,平均数和中位数不变,方差变大
C.平均数不变,中位数和方差变小差分子不变,分母
D.平均数变小.中位数和方差不变恋大,方差变小 5如图是甲、乙两种商品1~3月的价格变化情况统计
[方大的皮动大 图,记甲种商品价格数据的方差为 .乙种商品价 格数据的方差为 那么 x(填">" "<"或"=")
[学会总结]方差的"两应用"]价格/元 甲 18 乙 16 16 16:3 16.2 15.8 14 12 10 8: 8 6:5 6 5 6 4 20 1 2 3 4 5 月份


6.某市举行知识大赛,A校,B校各派出5名选手组成 1.衡量一组数据的动情况:两组数据的平均数 代表队参加比赛.两校派出选手的比赛成绩如图所 相等成接近时,用方善来考察数据的有关特征。 示,根据以上信息,整理分析数据:
方差小的较
[2.用样本方差估计总体方差:考察总体方差时,如
果所要考察的总体有许多个体,或考察本身有硫 环性,实际中常用样本方差近似地估计总体方差。]分数 100 A校 90 B校 80 70 0 1 2 3 4 5 选手编号


第二十一章一元二次方程
21.1一元二次方程 同学教材 学习重点
判断一元二次方程的相关问题,首先将方程化为一般
知识1一元二次方程
形式然后再根握爱我解决问题否则容易出错.
1.一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知 (一元),井且未知数的最高次数是2二次)的 方程,叫做一元二次方程.
前提条件
2.判定一个方程是一元二次方程的方法
首先将方程化简.然后同时满足:①整式方程: 只含有一个未知数:@3未知数的最 元二次方程的一般式中,要特别注意二次项示数a≠0这是 高次数是2.
最容易被思视的条件 知识2一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ar"+bx+c=0(u≠0),其中ar是二次项,a是二次项 系数:lr是一次现:1是一次项系数v是靠数项当a=0时b≠0.b×+0=0春示一元一次方
2.对于方程ar+6r+(=0,只有当a学0时才是一元二次方程,反过来,如果说ax+ bx+c=0是一元二次方程,则必然蕴含着a≠0这个条件,
知识3一元二次方程的根
1. 方程左右再边相等的未知数的值就是这个一元二次 程的 ,元二次方 的解 也叫一元二次方程的根,用方程的 求待定系数时,只需将方程的 代入原方程
再解关于待定系数的方程。
2.判断方法
判断一个数值是不是一元二次方 的解的方法:将此数值代入一一元二次方 ,若能 使等式成立,则这个数值是一元二次方程的解;反之,它就不是一元二次方程的解。
分层练透 提分要旨
训练点1一元二次方程的概念
[学会总结]判断一元二次方程的"两方法"
1.[2021·阜阳月考]下列各方程中,是一元二次方程 1.核据定义, 不是整式方程( 的是
(1)只含有一个
A.r'-1
B.-3r
(2)所全未知数的最高次数是 两个未知数 (3)
C.x+y=1 D.+T=1薛根号 2.整式方程中能化成 的形式。
2.[2021·贺州昭平期末]若关于x的方程(m+1)x 1.11未知数(2)2(3)整式方程2+6x+=0a≠0) -3x+2=0是一元二次方程,则m的取值范围是
训练点2一元二次方程的一般形式
3.[2021·玄昌期末]将一元二次方程2r-1=3x化 为一般形式后.其中二次项系数、一次项系数分别是 ax+bx+c=0(a≠0)
A.2.一3
B.-2.-3
D.-2.-1
C.2.一1
4.[2021·抚州临川区月考]一元二次方程a(a+1) +b(x+2)+c=0化为一般式后为6x"+10z-1= 0.求以ah为两条对角线长的菱形的面积。 训练点4由实际问题抽象出一元二次方程
7.[2021·龙岩上杭月考]有一人患了流感.经过两轮 传染后共有81人患了流感,设每轮传染中平均一个 /人传染x个人,则所列方程正确的是
A.r(r-1)=81 B.z(r+1)=81
D.(1÷x)=81
C.(r-1)'=81
8.[2021·蜀山区一模]某手机厂商一月份生产手机 20万台,计划二、三月份共生产手机45万台.设二 三月平均每月增长率为,根据题意列出方程为
地律:平均增长率.降
A.20(1+x)=45 /+x /+x)x 我20(1+1+20(1+x)=4低率问题一般符合
(1+x)+(1+x)x=(1+x)
C.20(1+2)=45 a(1Ixy=b的开式
D.20+20(1+x)+20(1+x)=
9,如图,某小区有一块长为30m.宽为24m的矩形室 [学会总结]将一元二次方程化为一般形式的 地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面
积之和为480m2.两块绿地之间及周边有宽度相等
1.去分母、去括等。 的人行通道人行通道的度为rm.则可列方程
2.移项,合并同类项等
等量关系 为
3.各项系数化成除1外无其他公约数的形式。
训练点3一元二次方程的根
5.[2021·城关区校考]若m是方程x+x-1=
0的一个根,求代数式2m2+2m+2019的值。
m+m-1=0.将原式化为2(m +m-1) +2+2019整体代入思想
6.[202]·宜州区期末]已知x=0是关于x的一元二
次方程(m-1)s2+mx+4m-4=0的一个根.求
[直线y=mx一2经过的象限.m-1≠0代入x=0求 出m值
10.[2021·遵义桐梓月考]一个微信群里共有x个好 友,每个好友都分别给其他好友发了一条消息,这 1人→X人 样一共产生756条消息。 (1)列出关于x的方程.(x-1)杀、 [x(x-1)3条 (2)将方程化为ar"+br+r=0的形式、并指出a、 b.的值。]30 X 24 24-2x


[学会总结]一元二次方程的根及应用
1.判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的信 代入原方程,看左右两是否相等,相等则是,否 割不是, 2.已如方程的根求字母的值:根据方程根的定义, 将方程的根代入方程求解,从而确定某些字母 的取或求出给定代数式的值,
由实际问题抽象出一元二次方程。关键是找 .与圆形有关的实际问题,一般是根强 图形的周长公式,面积公式或体积公式去确定相 等量关系 等关系.
[学会总结]
21.2解一元二次方程
同学教材 学习重点
知识1直接开平方法
1.降次
解一元二次方程的基本思路是通过"降次"把一元二次方程转化为一元一次方程求 解,即一元二次方程
体现了转化与化归的数学思想 一元一次方程,
2.直接开平方法
1定有:我们知道如果了  .厕x生呀.即x三士3.候这种利用平方的定义通 过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法
(2)适合用直接开平方法解的一元二次方程有三种类型 ①r=p(p≥0):(r+n)=p(p≥0):a(a+m)=p(ap≥0≠0).
(3)方法规律,般地,对于方题:=,注意一个数的平方是非负数.否则无解 ①当p>0时,方程有两个不等的实数根x,-p-x:√p: ②当p=0时,方程有两个相等的实数根z=r;=0: ③当p<0时,因为对任意实数x.都有x≥0.所以方程无实数根。
知识2配方法 当二次项系数为1,一次项系数为偶数时很好用哦!
1.定义:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,用配方法解方 是以配方为手段,以直接开平方法为基 的一种 一元二次方程的方法
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
知识3公式法 确能法一元二次方程的我解都可以搞定 1.定义
[知识3公式法 确能法一元二次方程的我解都可以搞定 1.定义
配方法的依据是 a2ab+b=(arb)]

一移 移项 将常数项移至右边,含未知数的 项移至左边 2.x2-7x=-3

二化 二次项系 数化为1 左右两边同时除以二次项系数 3

三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数 一半的平方

四开  开平方求根利用平方根的定义直接开平方
配方法的依据是 a2ab+b=(arb)
方程有解的前提条件 解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ar+bx+r=0(u≠0),当6-4ac ≥0时,方程u+br+c=0(a≠0)的实数根可写为x=b土√b-ac
-的形式.这 2u
个式子叫做一元二次方程ax2+bx+r=0的求根公式.利用求根公式解一元二次方 程的方法叫做公式法
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根,
2.步骤
用公式法解一元二次方程ur+br+(=0(a≠0)的一般步骤:
(1)将一元二次方程整理成一般形式.
包括前面的特号
(2)确定公式中a.b.c的值。
(3)求出一4ac的值。
(4)当6"-4ar≥0时,将b的值及b一4ar的值代人求公式即可:当6一la<
此判别式只通用于一元二次方程当无法判实方是不是一元 0时,方程无实数根.
3.一元二次方程根的判别式 二次方程时应对方程进行类订说
(1)定义:一般地,式子6一4ar叫做方程ar 0(a字0)根的判别式、通常 用希腊字""表示即△=6一4ar.
[(1)定义:一般地,式子6一4ar叫做方程ar 0(a字0)根的判别式、通常 用希腊字""表示即△=6一4ar.
(2)一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:]

△=62-4ac>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根, -b士√b2-4ac 即x= 2a

△=62-4ac=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根, 即x=x2=二。 2a

△=b2-4ac<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根
(2)一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:
①不 方程,由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况.
②根据方程根的情况.确定方程中字母系数的取值范围。
③应用判别式证明方程的情况(有实数根,无实数根,有两个不等的实数根,有两 利用因式分解法解方程时刀忌方程两边同时除以含有未知数的整 个相等的实数根)。
式如(3x-1X(x-1)=(4x+1)(x1)避免因方两边除以(X-1)造成 知识4因式分解法 失根 1.定义
将一元二次方程先固式分解,使方程化为两个一次式的乘租等于0的形式,再使这两个 十字相乘法: 次式分别等于0.从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
2.步骤
14x+3x-27=0 因式分解法的 (1)移项:把方程右边化为0。
2xxTx3X(-9)
(2)化积,把方程左边分解成两个一次式的乘积的形式, 依据:若ab=0, (3)转化:令两个一次式分别等于0.得到两个一元一次方程。
2X 3 则a=0或b=0.


(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
7x -9
知识5一元二次方程解法的选择
21x+(-18x)=3x<
根据方程的特点,选择适当的求根方法:
(1)若方程具有(x+)=p(p≥0)的形式,可用直接开平方法求解。 即14x+3x-27 =(2x+3×(7x-9)=0
(2)当一元二次方程一边为0.另一边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分 解法求解.
较显杂的一元二次方程不
(3)公式法是一种量常用的方法.用时一定要把一元二次方程化为一般影式,确定
心总于化为一般形式要 u+b,的值,在b'-4ac≥0的条件下代入公式求解, 观察特惠灵活求解涌
解一元二次方程时方法选用的顺序是:直接开平方法 --因式分解法--公式
方程3(X-7y=2(7-x)两用提
法-配方法.对于形如x(x-1)=x的方程,切不可两边同时约去工。 公园式法解
知识6一元二次方程的根与系数的关系
1.当的4a0时,元二次方程ar2+r+=0(a≠0)有两个实数根x1且满足求根
-b+√b-ac 公式.= ,则有+x= 2a
前面的负号不要漏掉! +--即满足:十 x:
2.一元二次方程x2+px+q的两实数为则x= 要善于特含有根的代
3.利用根与系数的关系可以不 方程 求出与两根有美的-些  式的值 数式用含x,+x积x,x: 比如xi+x=(rl+2x,x:+x)-2xa;=(r,+x:)-2r 的式子来表示,求出方
程乐数中所含字母的 (x:十aX(x:+日)"xx:+a(r(+x三)十日3,(x;x:)1=(z:+x:)-4x13: 值时,要验证△≥0这一 +(+
条件 山
分层练透 提分要旨
训练点1形如x=p的一元二次方程的解法 (2)4(r-2)-360. L,[2021·宁河区期木]若一元二次方程x=m有解。
则m的取值为
A.正数不包含0 B非负数≥0
[C.一切实数包含顶数 D.零不可多全面
[学会总结]用直接开平方法解一元二次方程的 "三点注意][学会总结] 直接开平方法解一元二次方程的"三 步骤" 将方程化为:"含未知数的完全平方式 变形 "的形式 利用平方根的定义,将方程转化为两个 开方 求解 →解一元一次方程,得出方程的根 非负常数一元一次方程


1.只有经过变形后转化为 的一元二次方 程才可以用此法求解。
2.在xa(a≥0)中的工可以是一个字母,也可以 是一个
3.在用直接开平方法求解一元二次方程r=a(a ≥0)时,开方后等号右边要加" "号。
训练点3配方
1x=a(≥0)2.含有未知数的整式.
4.[2021·丹水期末]将3r-2x-2=0配方成(r+
训练点2形如(mx+n)=p的一元二次方程的 解法
m)"=n的形式.则N= 要先将二次项
5.(1)填空:r+2x+2=(
1+1.系数化为1.
2.[2021·或都新津期末]若方程m(a-1)=2有解, (2)当x= 时.x'+2x+2有最小值,最小 则m的取值范围是
值是
少年2为1+1 2
A.m≤0
B.m≥0
(3)已知r+y2-2x+6y+10=0.求(x+y) (x-1)=
Cm<0 D.m>0 的值. 9+1=10,构追两个完全平
3.[2021·通东新区月考]用直接开平方法解下列
方式这种方法叫项法 开平方时有两个平方根 方程.
(1)x-9-0.
[学会总结]
完全平方式a士2ub+中。第三维护的底数; 62ub÷2÷,即"除2除底便是底":若和完 全平方式a+2ab+b或a-2ab+6的首两 项。可能据此口诀补上第三项。
训练点4用配方法解一元二次方程
6.[2021·宜被是术]把方程2x-3x-2=0配方成 (a+m)"=n的形式,则man的值分别是 25 25 3
A.m 我 16 16 25 27
C.一
D.w=
3. 16 x3x1=0 7.2021·武汉月考门用配方法解方程。
(1)9y2-18y-(=0. x3
(2)r+3=23..
(x-3y=25 16
训练点6一元二次方程根的判别式
10.[2021·山西中考]一元二次方程x-3+3=0
根的情况是
A.有两个相等的实数根4=3-4×3=-3<0
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
11.2021·成都模拟]关于x的一元二次方程x+
(26-1)x+(-1)=0无实数根,则的取值范 △=b2-4aC<0
因为
12.[2021·能明月考]已知关于x的一元二次方程 ri-(n+3)x+3w=0.△=(n+3)-4x3n=(n-3)20
(1)求证:此方程总有两个实数根,△>0
(2)若此方程有两个不相等的整数根,请选择一个
合适的n值,写出这个方程并求出此时方程的根。
n不能为当n=3时△=0.
特别要注意能否构成三角形
训练点5公式法解一元二次方程
8.等腰三角形的长(腰与底边不相等)是方程2x+1=0的两根,则它的周长为
9.用公式法解方程 两根不确定是腰长还 (D)5r=tr-1.
(24(一号)一,是底长,需分情光灯论 先化为一般形式
[学会总结]根的判别式的"三作用"
1.判新方程根的情况:不解方程,根据
将号直接判断方程根的情况。
2求东数中字母的取:已知方程织的情况,求方 程中字母系数的取值围。
3.证明关于 的结论:根据6-4ac恒大千0或 小于0或恒等于0.证明方程根的情况。1-4
训练点7用因式分解法解一元二次方程
13.[2021·德州月考]方程3s(a-1)=2(x一1)的根 为
叨忘两边同除以 (x-1),否则诵根 [关注过程]x1+x: 3 解析:3r(x-1)=2(r-1),移项,得3r(x-1) -2(r-D)=0,即(r-D)(3x-2)=0.-1 -0.3x-2=0.解方程,得-1. 号
14.一个三角形的两边长为4和6.第三边的边长是方程 (x-2)(r-7)=0的根,则这个三角形的周长是
x=2或x=7
A.12
B.12或17
C.17
D.19
[学会总结]适用于因式分解法求解的一元二次 [学会总结]根与系数的关系常见的"五种变形" 方程的"三类型"
1.ri+a! -2x
1.当右边为0时,左可 211r+x
2.
2.垂右边为0时,左进可 x: 工 II:
3.当右边为0时,左边为
3.(x-x)(r:+r)
1.操公园式2.运用平方差公式1.完全平方式 +a"。
4.(x:ta)(r,+a)=ax+ 训练点8一元二次方程解法的恰当应用 5.zi+rz:+r=
15.下列一元二次方程最适合用因式分解法解的是 1+z3-4:4a(z+)(z+z 有公因式(x-3),提取公因式
A.(r-1)(x-2)=3 B.3(x-3)=x-9 训练点10利用根与系数的关系求未知系数或方
C.+2r-1=0 D.r+4x=2 程的根
16.用适当方法解方程.
19[2021·湘西模根]若关于x的一元二次方程式一 (1)-r=1. →符合平方差公式 2r+m=0有一个解为x=-1,则另一个解为
(2)(x+2)-250.
X,+x2=2 A.1 B.-3 -/+X,=2 C3 D.4
(3)2(2-3)-3(2x-3)=0有公式
(4)3x-2.6x+2=0.


C.3x)-2.6x+(.2)=0, 20.[2021·自贡一模]已知关于x的一元二次方程 (.3x-2)=0.
mx-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根 x者+!
[学会总结]选择一元二次方程解法的技巧
=4m,期的值是 (>
1.选择顺序;直接开方法
A.2
B.-1
公式法配方法。
C.2或一1 D.不存在
2.着方程为(mr+n)=p(p≥0)型时,用
21.[2021·南山模拟]已知关于x的一元二次方程
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因 式的想时,可用
i-(2h-1)x+起-3=0有两个实数根。
4.若方程二次项系数为1.一次项系数为偶数,可 (1)求人的取值范围。
(2)设方程两实数根分别为,且满足对十x=
.若用直接开平方法和固式分解法不能求解时,可 23.求k的值. △=(2k-1)-4(k-3) 分 1,因式分解法2.直接开平方法3.因武分解法4.配方法8.公 =-4k+1320
我出的知值, 式法 训练点9利用根与系数的关系求代数式的值 一定要代入4
17.[2019·眉山中考]若 是一元二次方程3r 检验 2x-9=0的两根,则十的值是
遍分后用a+B △30 B一 和aB表示
[学会总结]根据一元二次方程两根的关系,求系 数中待定字母值的步骤
X,+x,=k-1, 58 58 C.
27x,x=-k+2.5 D-27
1.根据判别式和二次项系数不等于0.确定出所求
18.[2021·广州质检]关于x的一元二次方程x字母的取值范围, (k-1)x-k+2=0有两个实数根x若 2.利用根与系数的关系整体代入得到方程,求出侍 (z:一r:+2)(r:一#:一2)+2r;=一3,则的 求字母的所有值。
值为 9(x,+x,)-2x,x,-4=-3( 3.用判别式和二次项系数不等于0进行检验,确定
A.0或2
B-2或2
出所求字母的最终值, C.-2
D.2
21.3 实际问题与一元二次方程
同学教材 学习重点
在实际问题中由一元二次方程解得的根要符合实际
知识列一元二次方程解应用题
情光如:人数必须为自然数几何围开的边长为正数
1.一般步骤:审一设一列→解一脸·答.
商品成本的下降率应小于1银行存款利率不能领等
2.常见题型
(1)数字问题,注意数字在哪一位上,该数位上的数字就乘哪个进率
(2)平均变化率问题:
u是变化前的数量。 如三位数=百位数字x100+十位
[a(1+x)*=。 平均变化率公式为 6是变化后的数量。 数字x10+个位数字 #(1-r)"=6 w是变化的年数或次数。
(3)几何图形面积问题:各儿何图形的面积公式.
总利润一总售价一总成本一单件利润×销售数量 利润利润一售价一进价=进价X利润率 (4) 问题 打折后的价格一售价×打折数 10
(5)比赛问题:#支球队参加单循环比赛(每两队比赛1场).则共进行"一-场 比赛
分层练透 提分要旨
训练点1传播(变化率)问题
(2)
1.2021·沂水一模]某种衬衫的价格经过连续次 答:预测4月份议公司的生产成本为32.95万元。 的降价后,由每件150元降到96元,则平均每次降
…...写出答案
价的百分率是
(11400(1z=36上一105=5%-1.951,95>100% (2191×(1-4)=342.95[万元)
A.10% B.15% C.20% D.30%
2.2021·锦州月考]某公司今年1月份的生产成本是
[学会总结]增长率(或降低率)问题的规律
400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月 1.增长率同题:设基数寿a.平均增长率为=,則一
重点词
份的生产成本是361万元
次增长后的债为u(1+z)、两次增长后的值为 假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都 a(1+x)依次类次长后的值为
1月:400万元 2.降低率问题:汉基数为a.平均降低率为r.则一 相同.
2月:400(1-x)万元 次降低后的值为w(1一r),两次降低后的值为
(1)求每个月生产成本的下降率 3月:400(1-x万元 a(1-x),依次类推次降纸后的值为
(2)请你预测4月份该公司的生产成本。 3.传播类间题与变化丰间题类似:开始数量为u.每 [关注过程]解:(1)设每个月生产成本的下降 能感史的数量为x.经n能传束后的数量为办。
……....未知数 所共方程为 一 根据题意,得 …….列方性 1a1+211-La(1+)
此类问题一般到一 解得
元二次方程和解罕
训练点2球赛(握手)问题
…….接开平方法解一元二次方 3.[2021·东莞常末]某中学组织初三学生篮球比赛。
不符令题意,含去,.………验 以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15 答:每个月生产成本的下降率为5%6.
场比赛,则共有多少个班级参赛?
A.4 B.5 C.6 D.7 下降章最后要转化为百分数,也可直接设成x/
解得x=6或x=14. [关注过程]C


当工m6时,BC=60-18=42>25,舍去: 解析:说具有:个班组参赛,根据题意,得 人数不能为负数略! 当上=14时,BC=60-42=18<25.满足题意。
r(-1=15. 2 所汉菜园面积可能是252m,此时造AB长为 解得x:=6,z;=一5(不合题意,舍去)。
14m
则共有6个级参赛,故选C.
(2)由题意,得r(60-3r)=330。
整理,得(r-10)=-10.此方程没有实数根。
[学会总错]如常见的主功赛功各赛一物
所以菜圈的面积不可能是330m, 1.球赛分单循环和双循环,单循环每两队之间赛一 场,双循环每两队之间赛两场,总比赛场数双循 [学会总结]求解面积问题的技巧 环是单落环的 1.热记各种图形的面积公式。
2.握手间题每两人之间只摇一次,因此握手总次数 2.不规则图形运用 变为规到图形的面积
类似于单循环比赛,可用公式表运为 的和或差。 与之类似的还有直线交点、线段个数、角的个数 3.原方程的解的取會要考虑实际图形能否形成。
1.2倍2.*l=-1)
每降价1元多10
等问题。
训练点4销售过程中的利润问题
调练点3几何图形中的面积问题
5.[2021·重庆治中区月考]某种文化衫,平均每天销
4.如图,现打算用60m的篱笆围成一个"日"字形菜 售40件,每件盈利20元,由于换季现准备降价销 园ABCD(含隔离栏EF),菜园的一面靠墙MN.墙 售,若每件降价0.5元,则每天可多售5件,为了尽
MN可利用的长度为25m.(篱笆的宽度忽略不计)
快减少库存且每天要盈利1080元.每件应降价 11
求出的BC长爱 陪价幅度要大此条件易思视 c小于等于25m [学会总结] "每每型"销售问题的解答技巧 -60-3x一
1.我数量:我出"每次增加(降低)多少单价,每次就
(1)菜园面积可能是252m吗?若可能.求边AB
减少(增加)多少销量"中、两个"每次"所代表的 的长,若不可能,说明理由。
数量。
(2)菜园面积可能是330m吗?若可能,求边AB
判断方程是否有解 2.设未知:前一个"每次"设为 、后一个"每次"用 的长,若不可能,说明理由. 表示出来。
[关注过程]解:AB的长为xm,BC的 .列出方程, 3.列方程:一般根据利润找
注意限舍条件 长为(60-3r)m.
2.含=的代数式1.等量关系
(1)由题意,得x(60-3r)=252, 60-3x≤25
设为x元 X (20-x)(40+ X5)=1080 05 每件利润 销造量
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质 同学教材 学习重点
当二次项数中含有
知识1二次函数
不要骗哟! 字母时,若字母的取
1.定义:一般地,形如y=ar'+br+e(a.b,r是常数a≠0)的函数,叫做二次函数,其 值不明确,不一定是
中,是自变量...分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数, 2.特别注 :自变量的最高次数必须楚2.也就是说在y=ar'+bx+:中a0.而6. 西地物线y=ax向在 r可以为0含自变量的代数式是整式,而不是分式或根式. "(h>0)或向左(hc0)平 知识2二次函数y=ax2和y=a(x-h)2+k的图象与性质


[中,是自变量...分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数, 2.特别注 :自变量的最高次数必须楚2.也就是说在y=ar'+bx+:中a0.而6. 西地物线y=ax向在 r可以为0含自变量的代数式是整式,而不是分式或根式. "(h>0)或向左(hc0)平 知识2二次函数y=ax2和y=a(x-h)2+k的图象与性质
移的l1个单位长度,再向 上(k>0)或向下(R0)平 移树个单位长度得到]

图象

"函数 类别":"开口方向 及其大小"
"y=axr2(a≠0)":"a>0,开口向上,并向上无限延伸; a<0,开口向下,并向下无限延伸. la|越大,开口越小 la|越小,开口越大"
"y=a(x-h)2+k(a≠0)":"a>0.开口向上,并向上无限延伸: a<0,开口向下,并向下无限延伸. a|越大,开口越小; a|越小,开口越大"

对称轴  直线x=0(y轴) 直线x=h

增减性  x>0时,即在对称轴的右侧、 的值随x值的增大而增大  x>h时,即在对称轴的右侧, y的值随x值的增大而增大

"函数 类别":"x<0时,即在对称轴的左侧, y的值随x值的增大而减小"
"y=axr2(a≠0)":""
"y=a(x-h)2+k(a≠0)":"x<h时,即在对称轴的左侧, y的值随x值的增大而减小"

 x>0时,即在对称轴的右侧, y的值随x值的增大而减小  x>h时,即在对称轴的右侧, y的值随 值的增大而减小

x<0时,即在对称轴的左侧, y的值随 值的增大而增大 x<h时,即在对称轴的左侧, y的值随x值的增大而增大

"函数 类别":"最值"
"y=axr2(a≠0)":"x=0时y最小值=0.此时最低点为顶点x=h时,y小值=k,此时最低点为顶 (0,0); x=0时,最大值=0,此时最高点为顶点 (0,0)"
"y=a(x-h)2+k(a≠0)":"当a>0时,二次函数有最小值,即当当a>0时,二次函数有最小值,即当 点(h.k); 当a<0时,二次函数有最大值,即当当a<o时,二次函数有最大值,即当 x=h时,y最大值=k,此时最高点为顶 点(h.k)"
移的l1个单位长度,再向 上(k>0)或向下(R0)平 移树个单位长度得到
不要误认为a越大, 开口越大呐!若1a 相等二次函数的 闺家形状就一样
3.可能朝间、顶点 不一样 二次函数的增减性要 以对标轴为养限来说
要重视基础知识基 本技能和基本方法 的学习与训练.不要觉 得知道怎么做就可 以了而不去以真演 算好高整远眼高手 低正是学习中的大忌.
知识3二次函数yax+bx+c的图象与性质
1.二次函数y=gx+bx+c的图象和性质 常利用数形适合的思想求解
函数 类别
y=ar+r+c(a..是常数.≠0) a>0 a0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
顶点坐标在 对称轴上 直线r=6 2u
向下
与一元二次方程根 的判别式类似
增减性
最值
当r<-"时的随值的增大当x<一"时,的值随值的 以对称轴为界,开口 而减小:当x> 一时,的值随x增大而增大:当x> 一时.y的 2g
向上,左减在增开 值的增大而增大
值随x值的增大而减小 向下左增在减
时,y有最小值-ye音当 一时,y有最大值。
Aac一b 4G lac一b 4a
2.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:y=ax"+bz+c(a,b,是常数,a≠Q),解析式的右边是二次三项式的
一般形式.
根据题目中位出的亲 适用条件,当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设诉数的解析式为一般式,然后列 件灵活选择函数解析
出关于a.b.c的三元一次方程组求解.
(2)点式:y=a(x一h)+(a,h,是常数≠0),由解析式的右边可知,抛物线式来解、 的顶点坐标为(,)。
适用条件:当已知拗物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值时,通常设丽数解析式
为顶点式,然后代人另一点的坐标,解关于a的一元一次方程, (3)交点式:y=a(x-x,X(xz:)(a.:是常数,a≠0),其中x+2:是抛物线
与x轴两交点的横坐标。
适用条件:当已知抛物线与x轴的两交点标时,通意设函数的解析式为交点式
3.抛物线的平移
1a相等
(1)抛物线y=ar'的图象与y=ar+bx+c的图象形状相同,位置不同.
(2)把指物线yur的图象向左(>0)度向在(()平移
4 个单位:再向上
(0)间()平移"单位可得到ar+bz+ 的图象。
(3)抛物线yu(x一)+表(a≠0)可以由抛物线y=ar(a≠0)经过适当的平移


[得到,具体的平移方法如图所示.
4.求抛物线的顶点、对称轴的方法]向上(k>0)、下(k<0) y=ax2 y=ax2+k 平移|k1个单位长度 向上(k>0)、下(k<0)平移1k1个单位长度 平移|h|个单位长度 向右(h>0)、左(h<0) 平移|h1个单位长度 向右(h>0)、左(h<0) 向右(h>0)、左(h<0)平移1h1个单位长度 左加右减, 上加下减 向上(k>0)、下(k<0) y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k 平移1k1个单位长度


(1)公式法
y=ar+bz+(=a(2+)+.顶点坐标是(一 .对称轴是直 线r=-一 办
(2)配方法
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y=a(x-h+ 的形式,得到顶点坐标 若(x,39)(x,9)是抛物线上两(纵坐标 为(A,)。对称轴是直线x=h.
X+X,
(3)送用微物线的对称性
相同),则对称轴为直碱x= 2 由于他物线是以财 轴为油的轴对称 形,所以关于对称仙对称的两点的连线的垂 直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
5.二次函数图象与a,b,的关系
二次函数y=ar+br+r(a≠0)的图象特征与 b.及6一tac的符号之间的关 系如下表:
[二次函数y=ar+br+r(a≠0)的图象特征与 b.及6一tac的符号之间的关 系如下表:
分层练透 提分要旨]

a  开口向上

a<0 开口向下

 6=0 对称轴为y轴

ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧

ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧

 c=0 图象过原点

 与y轴的正半轴相交

 与y轴的负半轴相交

62-4ac 62-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点)

62-4ac>0 与x轴有两个不同的交点

62-4ac<0 与x轴无交点
分层练透 提分要旨
训练点1二次函数的概念
By=(3r+2)(4r-3)-12r
C.v=ur+bx+e(a≠0)
1.[2021·湛江建溪县期末]下列函数关系式中,不属 于二次函数的是
D.y-(r-2)*+2
A.y=1-r2
2.当函数(二次函数时, 的取值为 a=1/
a-1≠0
A.a-1
B.a一土】
C.a≠1
D.a=一
训练点2根据实际问题列二次函数解析式
3.养鸭专业户要建造长方形的养鸭场,鸭场的一边靠 墙,墙长28m.墙对面有个2m宽的门,另三边(门 除外)用竹篱笆围成,篱笆总长53m, X-2>0
(1)写出这个鸭场的面积y(m2)与平行于墙的边长 z(m)之间的函数解析式,并指出它是什么函数。
(2)求出x的取值范围.
x≤28
要销合实际意义
[要销合实际意义
训练点3二次函数y=ax2的图象与性质]

"":""
"[学会总结] 在实际问题中建立二次函数解析式 的一般步骤":"的取值要符合实际意义."
训练点3二次函数y=ax2的图象与性质
4.二次函数y=-,当x;>x:>0时,试比较y: 和y:的大小:y y:填">""<"或"=").
5.已知函数y=(m+2)*是关于x的二次函 数.求:
(1)满足条件的m的值。 小开向上m+2>0.
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低
点,当x为何值时,随x的增大而增大.
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?
当:为何值时,y随x的增大而减小? 开向下
[当:为何值时,y随x的增大而减小? 开向下
训练点4求二次函数y=ax2的解析式]

"[学会总结] 二次函数y=ax2":"1.a>0 开口 一有"
"的"两关系四对等"":"值"

"[学会总结] 二次函数y=ax2":"x>0时,y随 的增大而"
"的"两关系四对等"":""

"[学会总结] 二次函数y=ax2":"2.a<0 开口 一有"
"的"两关系四对等"":"值"

"[学会总结] 二次函数y=ax2":"x>0时,y随 的增大而"
"的"两关系四对等"":""

"[学会总结] 二次函数y=ax2":"x<0时,y随x的增大而"
"的"两关系四对等"":""

"[学会总结] 二次函数y=ax2":""
"的"两关系四对等"":"1.向上最小增大减小2.向下最大减小增大"
训练点4求二次函数y=ax2的解析式
6.已知函数y=(k-2)是二次函数,且当x> 0时.随x的增大面增大+k-10=2且k-2≠0.
(1)求k的值,开口向上
(2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴, [关注过程]解:(1)由二次函数的定义,得
4"+4-10=2,解得:一3:(R+4)(k-3)=0
当=3时,原函数为y=r,r>0时,vM 的增大而增大,故=3符合题意:
当奏一-4时,原西载为y--6.身r>0时。 y随r的增大而减小,不合题意,舍去
故 =3.
(2)由(1)加抛物线为y=x,到的顶点坐标为
(0.0),对称轴为y轴, 1.已知直线y=-2x+3与抛物线y=ax2相交于A, B两点,且A的坐标为(二3、m),求;
(1)a,的值, 先把x=3代入y=-2x+3得m.
(2)抛物线的解析式及其对称轴和顶点坐标.
(3)x取何值时-二次函数y=ar中的y随x的增
大面减小。
(4)求A.B两点与二次函数y=ar2的顶点构成的 三角形面积。


[先求AB两坐标、再用分割法书面积
训练点5二次函数y=ax+k的图象与性质 8.抛物线y=4r-3的图象是将抛物线y=4r向 平移 个单位得到的,上加下][学会总结] 函数问题数量之间的"对应关系" 对应 图象 解析式 对应 对应 点 坐标 (横,纵)


训练点7二次函数y=a(x一b)+ 的图象和 性质
9.[2021·金城术已知函数-(w+) 是关于x的二次函数,开何下 m+i=2.
且m≠一z 11.[2021·博山月考]对于抛物线y(x+1)*+
(1)求m的值。
(2)当m为何值时-抛物线有最高点?写出这个最 3.下列结论:①抛物线的开口向下: 对称轴为直 高点坐标.当x为何值时.y随x的增大面增大. 线x=1:③原点坐标为(-1.3):0r>1时.随 的增大而减小+①函数的最大值为3,其中正确结论 的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5 12.2021-枣庄模拟设A(一2.v).B(1.y:).C(2. y)是抛物线y-一(r+1)+3上的三点.则y 为+y:的大小关系为
A.vi>y>y B.v,>v>y: Cv.>y>Y D.vs>x>y:
[学会总结]抛物线y=ax+k,与y=ax+人; 1 对称轴 的关系
[学会总结]利用y=a[x一h)2+k解决问题
1.开日方向,开口大小相凭。 越近的1,二次面数y=u(x-A)+中,确定开口方向。
1上, 21
2.对称轴那是轴。
函文便高大 4确定对体轴r一h请h确定頂点坐标(A),性
3.增减性相同。
近根据图象判断, 4.据物线ymar干h:可通过向上(成下)平移得到 2.苦二次函数解析式是一般形式。可用配方法(或 提物线ya+
公式)得到顶点式。 训练点6二次函数y=a(x一h)"的图象和性质 3.若已如果特线的点查标,可设数解析式为顶
10.[2021·南通如果期水已知抛物线y=a(r一) 点式,再得一个已知点代入便可得到二次函数解 向左平移两个单位后,所得抛物线的解析式为y= 析式。
-2(x+5)=向左平移
(1)求a.h的值,那个单位y=a(x-h+2) 训练点8利用顶点式s=a(x-h)2+确定二次
(2)说出抛物线y=-2(a+5)的图象的开口方 函数解析式 化为顶点式便于平移 向,对称轴和顶点坐标
13.[2021·北部湾模]将抛物线y=-6x+21
[关注过程]解:(1)因为平移不改变图象的形
向左平移2个单位长度后,得到新抛物线的解析式为 状,所以a= …....物线的性质 抛物线y=-2(r一h)向左牛移两个单位得到 _1=-20+5),左加在减 y=-20x-h
B.y--(z-4)+5 ÷(z-8)+5
A.y=
..........线的平移规律 学上一h =x+5.
Cy--(z-8)+3 D.y=(z-4)+3
所以看 ·.一次方程的解法
14.已知抛物线顶点P(1.4),与y轴交于点C(0.3), (2)抛物线y=-2(r+5)的图象的开口向 ,对称是直线= ,顶点坐 求抛物线的解析式已知通坐标政投顶点式 标是 ……·.二次函数的性质 [关注过程]解:设抛物线的解析式为
(1)-2+2+2-3[2]下-5(-5,0)
…设出批物线的解析式 [学会总结]二次函数左右平移"四字诀"
"抛物线过点(0.3)。
1.左负右正:由y=ar平移到y=a(r一h时井合h ……….定系数法 左负右正(h>0.向右平移:<0.向左平移)。
解一元一次方程 .
2.左正有负:y=ar平剩ya(a+万时符 .y +2r+3.…….·代入 yma(-1y+40)+4=3--1+4
合h左正右(A>0.向左平移:h<0.向右平移)
[学会总结]抛物线y=ax到y=a(x一h}+k 平移"八字诀"
平移规律是:"上加下减,左加右减"。
(1)"上加下城"是指抛物线y=ar"向上平移,则 E>0.向下半移,则去<0
(2)"左加右减"是指抵物线ymar"向左平移,则 -h>0.向右平,则一h<0, 训练点11利用待定系数法求二次函数解析式
19.[2021·岩永定区月考]已知抛物线yax br+3(a≠0)经过点A(1.2),B(2.3).
(1)求此抛物线的函数解析式。
(2)判断点B(一1,一4)是否在此抛物线上。
训练点9二次函数y=ar2+bx+c的图象与 性质
[学会总结]确定二次函数解析式的"四步骤"
1.设:设二次函数解析式为y=aa+hr+c(a≠0)。 15.2021·公梦县期米]一次函数yax+c与二次 2.列:根据题意列方程组。 函数x=ar2+bx+c在同一个平面直角坐标系中 3.解:解方程组。 的图象可能是C相同交于轴上同一点( 4.定:确定二次函数解析式。
[训练点12二次函数的综合应用
20.[202]·安庆模扣]如图,已知二次函数y=ax+ br+c(a≠0)的图象与2轴交于点A(一1.0).与 =轴交于另一点B,与y轴交于点C(0,3),对称轴 是直线x=1,顶点是点M.由对称车由及点A坐 标可得B(3.0)]列轴没交 A B 于同一点。 x C D


16.[2021·福建月考]若二次函数y=lalx+br+e 的图象过不同的五点A(m,n).B(0.).C(3-对称轴为直碱
2
).D(V.E(2),则yi:3的大小x=三
近对称轴时,y值 关系是 202一卧 越小 12 一<A A.yi<y:<y (1)求二次函数的解析式, C.y.<y:<y: D.y:<y<y: (2)求△MBC的面积。 训练点10二次函数y=ax+bx+c的图象变换
(3)过原点的直线/平分 MBC面积,求/的解
17.[2021·江夏区模拟]二次函数y=ux2+bx+c的 析式 部分图象如图所示,对称轴为x=1.图象过点A, 且9a+36+c=0.以下结论:①abc<0:24a-26.
+c<0;③关于x不等式-ax'+2ax-c>0的解
X=-2时该点在第二象限
集:一1<x<3④>-3u:若点B(m.).C(2 一m+y:)在此函数图象上,则yi=yi.其中正确的 结论是
a看开,b看
[学会总结]确定二次函数解析式的"两方法" 对称轴,C看
1.一般式:若已知三个点的坐标,可设一般式y=
别轴由交
ax2+bx+e(a≠0)求解析式, 2.顶点式:若已知抛物线的膜点坐标、对称轴或最
18.[2019·乌鲁木齐中考]把抛物线y=2x-4r+3 向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 值时可设顶点式y=a(r-A)*+A(a≠0)求解
析式。
方法一化为项点式后早移 方法二直接变,让变量部加1,脚平移后解 行式y=2(x+1-4(x+1)+3=2x+1. 星推荐一本涂有初中数学
22.2 二次函数与一元二次方程
如果物碱y=ax+bx+cla≠ 同学教材 学习重点0)与x轴交于M(X,O),NCX,0)则
知识二次函数与一元二次方程的关系
b-4aC IMN= 1
1.一般地,从二次函数y=ar+br+e(a≠0)的图象可知;如果抛物线y=ar+bx
+c (u≠()与 轴有公共点,公共点的横坐标是x,那么当 =x,时,两数值是0 解一元二次方ax*+bx+c=0(a≠0)的实 因此r=x,是方程ar+br+r=0(a≠0)的一个根。 质就是我二次函数y=ax+bx+c(a≠0)当
2.抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程的根的情况 y=0时的值,反快在围象上就是表二次函
[2.抛物线与x轴的交点个数与一元二次方程的根的情况 y=0时的值,反快在围象上就是表二次函
数围象与x轴交点的 横坐标]

"判别式 结果 内容":"一元二次方程ax2 +bx+c=0(a>0)"
"62-4ac>0":"有两个不等实数根 6±√b2-4ac 2a"
"b2-4ac=0":"有两个相等实数根 x=x2 2a"
"62-4ac<0":"没有实数根"

"判别式 结果 内容":"二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的 图象"
"62-4ac>0":"xO x"
"b2-4ac=0":""
"62-4ac<0":""

"判别式 结果 内容":"抛物线与x轴的公 共点个数"
"62-4ac>0":"抛物线与x轴有两 个公共点(x0)和 (xcg.0)"
"b2-4ac=0":"抛物线与x轴只有一 个公共点"
"62-4ac<0":"抛物线与x轴 没有公共点"
数围象与x轴交点的 横坐标
根据抛物线开口方向
3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤
和顶点位置可以判
(1)画出函数y=ar+f+c(a0)的图象。
断驰物线与x轴交点
(2>确定抛物线与x轴交点的个数,并看交点在哪两个数之间. 的个数
(3)列表,根据题目实际情况在两个数之间合理等分,并用计算器估算每个等分点所
对应的函数值y.近似根在对应v值正负交换的地方,当由取到x对应的y
值出现y:>0.y,<0(或yi<0.v>0)且符合题目近似值要求时,、或,可以看 作方程的近似根。
分层练透 提分要旨
训练点1二次函数与一元二次方程
训练点2二次函数与方程或不等式
1.[2021·潜江模拟]若y=bx-(2k-3)x+4-1 4.抛物线ymar+bx+e的部分围象如图所示,则当 是y关于x的二次函数,且函数值恒大于0.则 的 y>0时,x的取值范围是
取值范围是
设为(Xo0),则 X+(-1)
B.A>8
A.k>0
=1,得
9 2 9 CA> x=3.
D.0<K< 5.如图,二次函数y=ar+bx+c(a≠0)的图象与
2.[2019·兰州中考]下表是一组二次函数x=r+
#轴交于点(1.5.0)和(一3.5.0).顶点为(一1.4)。 3r-5的自变量x与函数值y的对应值: 根据图象解答下列问题, 与x羊两个交点


[#轴交于点(1.5.0)和(一3.5.0).顶点为(一1.4)。 3r-5的自变量x与函数值y的对应值: 根据图象解答下列问题, 与x羊两个交点
(1)求方程ar+bx+r=0的两个根. 的模坐标]
J	1	1.1	1.2	1.3	1.4
y	-1	-0.49	0.04	0.59	1.16
(1)求方程ar+bx+r=0的两个根. 的模坐标
(2)求不等式aa+hx+(<0的解集。
(3)若方程ar+br+(=k有两个不等实数根,则 那么方程x+3x-5m0的一个近似想是
B.1.1看值最接近于0的人的取值范围是什么?
A.1
D.1.数所对应的X的通 两围家有两个
C.1.2 (k4)
3.[2021·泰安期水]已知二次函数y一2+mr+m 不同的交点
-2、 4>0恒成立
(1)求证:无论m为任何实数,此函数图象与x轴总 有两个交点. 代入解析式后我m.
(2)若此函数图象与r轴的一个交点为(一3.0),求 此函数图象与x轴的另一个交点坐标.
把ma代表y=0时x的值
[学会总结]二次函数与一元二次方程关系的"两 方面"
1."数"的方面:当二次函数y=ar+br+e(a≠0) 的涵数值 时,相应的自变量的值为一元 二次方程ar+bx+c=0(a≠0)的解, 2."形"的方面:二次函数y=ax'+bx+e(a≠0)与 工轴交点的 为一元二次方程ar+bz+
[(=0(a≠0)的解, 1,等于02.模坐标
22.3 实际问题与二次函数][学会总结] 1.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)是 图形. 2.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的公 共点为A(m,0),B(n,0),那么 A B m n x (1)ax2+bx+c=0(a≠0)的解为 (2)ax2+bx+c>0(a≠0)的解为 (3)ax2+bx+c<0(a≠0)的解为 1.轴对称 2.(1)x1=m,x2=n(2)x<m或x>n(3)m<x<n


同学教材 学习重点
知识利用二次函数解决实际问题
遵倔10能使所没的二次函数解行式简单
1.用二次函数解决实际问题的基本步骤 原则根据已知照所在位置求解析式解题过程简单
(1)建立适当的平面直角坐标系。
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来. 自变量的取值范围往往受实际条件的 (3)利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(4)利用二次函数的图象及性质去分析,解决问题 限制,要注意取值范围会影响最值
2.常见的问题类型
求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最优方案,最小周长等)问题:(投)物体, 携桥等抛物线形问题。
分层练透 提分要旨
训练点1图形面积与二次函数
式为
1.已知一个直角三角形两直角边的和为30.则这个直 A.y-(x-40)(500-10r)
By=(x-40)(10x-500)
角三角形的面积最大为
单价利润
C.y=(r-40)[500-10(r-50) 2.[202]·清 扣]如图,一个矩形菜园ABCD.销建量
D.y=(x-40)[500-10(50-x) 边AD靠墙(墙MN长为u米,MN≥AD),另外三
4.2020·淮安中考]某景区商店销售一种纪念品,每 边用总长100米的不锈钢栅栏围成。
件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件 的销售价为50元时,每天可销售200件:当每件的 销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件。
(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销
(1)当a=20米时,矩形ABCD的面积为450平方
售数量为 件。 增加2元减7(10×2)牛
来,求AD长. AD≤20
(2)当每件的销售价工为多少时,销售该纪念品每
(2)求矩形ABCD面积的最大值
天获得的利润 最大!并求出最大利啊,顶只坐 建立关于面积的二次函数模型
标的值 [关注过程]解:(1)由题意,得 200-10×(52-50)=200-20=180(件), 故答案为180.利润=单件利润x销建量
(2)山题意,得 y=(r-40)200-10(-50)
[学会总结]应用二次函数解决面积最大问题的 --10.+1100r-28000 步骤 --100=55)+2250
1.分析题中的受量与害量。
当每件的销售价为55元时,销传纪念品每
2.找出 .根据几何图形的面积公式建立函 天获得的利润最大,最大利润为2250元. 数模型。
3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的 [学会总结]利用二次函数求最值的"四注意" ,求出面积的最大值,2等量关系主值期围 1.要把实际问正确地转化为二次备数问题。
2.函数解析式时要注意自变量的取值范围。 训练点2商品利润与二次函数
3.若图素不含顶点,应根据函数的增减性未确定
3.[2021·马鞍山一模]某农产品市场经销一种销售
最值。
[成本为40元的水产品,据市场分析,若按每千克 4.有时根据顶点求出的最佳不一定是函数在实际 50元销售,一个月能售出500千克:销售单价每涨 问题中的最值,实际问题中的最值应在自变量的 一元,月销售量就减少10千克.设销售单价为每千 取值范围内求取 克x元,月销售利润为y元,则y与x的函数解析 在500千克基础上减少CX50)个10千克
训练点3抛物线形建筑问题]M N D B


地时(图中点C)距球网的水平距离为2.5米,则排 球运动路线的函数关系式为
5.[202]·越秀区校级期末]如图,有一座拱桥洞抛 物线形状,这个桥洞的最大高度为16m.跨度为
y高度/米+
2.24+B
40m,现把它的示意图放在如图所示的平而直角坐 标系中,则抛物线对应的函数关系式为
山(40,16)
图1
图2 可设顶点
中题意可得A(5÷) 式后再代入A.y-B号C号0代
(0.0)去解 B.y=
6.[2021]·龙岩上杭集末]一座 ++ 一般式即可 隧道的截而由抛物线和长方 c+ 形构成,长方形的长为8m。
宽为2m,隧道最高点P位于
Dy-14+5 AB的中央且距地面6m,建 立如图所示的坐标系, 8.[2019·滨州中考]如图,一小球沿与地面成一定
(1)求抛物线的解析式。
度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果
(2)该隧道内设双行道,中间隔离带1m,一辆货车 不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞
行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5z+ 高4m.宽2.5m.能否安全通过,为什么? 20r.请根据要求解答下列问题: 越靠近中间隔离带越安全,让货车在在车道行动史便 于计算不坐标
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时。 飞行时间是多少? =15时求×
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是 多少?当=0时,两个x通差的绝对值
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高 度是多少?
[函数值最大时x的值
[学会总结]解决抛物线形建筑问题的"三步骤"]P B C x


[函数值最大时x的值
[学会总结]解决抛物线形建筑问题的"三步骤"]


1.根据题意,建立恰当的坐标果,出我物线解析式。
2.准确转化线役的长与点的坐标之间的关系。得到 抛物线上点的坐标,代入解析式,求出二次函数 解析式。
3.应用所求解析式反其性质解决问题。
训练点4抛物线形运动问题
7.[2021·玉田县一模]如图1,是某次比赛中垫球时 的动作,若将垫球后排球的运动路线近似地看作抛 物线,在同一竖直平面内建立如图2所示的平面直 角坐标系,已知运动员垫球时(图中点A)离球网的 水平距高为5米,排球与地面的垂直距离为0.5米。 排球在球网上端0.26米处(图中点B)越过球网(女 子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米),落
[7.[2021·玉田县一模]如图1,是某次比赛中垫球时 的动作,若将垫球后排球的运动路线近似地看作抛 物线,在同一竖直平面内建立如图2所示的平面直 角坐标系,已知运动员垫球时(图中点A)离球网的 水平距高为5米,排球与地面的垂直距离为0.5米。 排球在球网上端0.26米处(图中点B)越过球网(女 子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米),落
第二十三章 旋 转]

高度(以水平面为x轴)

1.抛物线顶点的 是最大高度.

2.抛物线与x轴交点的 是最远距离.

 1.纵坐标2.横坐标
第二十三章 旋 转
23.1图形的旋转
同学教材 学习重点
知识1旋转 可以在图形的外部,也可以在圈开的内都还可以在圈刊上
1.定义:把一个平面图形绕着平面内某一点0)转动一个角度,叫做图形的旋转·点C
一不是多个 叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角。
2.对应点:如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对
应点。
3.三要素
在旋转过程中保持不动的定点
旋转中心:旋转过程中的不动点。 旋转方向:分顺时针和道时针两种
4.旋转的性质
旋转角:转动的角 任意一对对应点与旋转中心的连钱构成的用都是旋转用
[旋转角:转动的角 任意一对对应点与旋转中心的连钱构成的用都是旋转用
知识2图形的旋转 1.图形的旋转]

示意图 旋转是全等变换 B

性质 旋转前后,两图形全等 △ABC≌AA'B'C'

"图形的旋转":"每一点都绕旋转中心沿相同的方向 转动了相同的角度"
"△ABC绕定点0按逆时针方向转动一定角度后得到△A'B'C":"ZAOA'=ZBOB'=/C0C' = POP"

"图形的旋转":"对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于旋转角"
"△ABC绕定点0按逆时针方向转动一定角度后得到△A'B'C":"POP'为旋转角"

"图形的旋转":"对应点到旋转中心的距离相等"
"△ABC绕定点0按逆时针方向转动一定角度后得到△A'B'C":"OA=OA'.OB=OB'.OC= OC'.OP=OP"
知识2图形的旋转 1.图形的旋转
[把一个图案进行旋转,选择不同的旋转中心,不同的转角旋转同一个图案·会 出现不同的效果, (1)旋转中心不变,改变旋转角。
(2)旋转角不变,改变旋转中心。]


星推荐 一本涂有初中数学
旋转作围的基础是找到关键点依据是旋转的基本性质
2.图形旋转的作图步骤
(1确定能转中心.旋转角,旋转方:(2)找出图形的关键点:(3)作出关键点经旋转 后的对应点:(4)按图形的序连接对应点,得到旋转后的图形.
知识3图形旋转的概念与性质的应用
由于旋转前后的两个图形大小、形状未发生改变,所以在利用旋转解决问题时要注意 抓住以下几点:(1)找准旋转中的"变"与"不变":(2)找准旋转前后的"对应关系":
(3)充分挖掘旋转过程中线段之间的关系。
知识4旋转中心的确定方法
确定旋转中心时,要看旋转中心是在图形上还是在图形外,若在图形上,哪一点在旋转 过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心,若在圈形外,对应点连线的重直平分线的 交点就是能转中心旋转的角度就是对应线段的夹角成对应夏点与称中心连线的夹角
分层练透 提分要旨
[训练点1旋转的概念和性质
1.[2021·推塔区校级期末]如图.△ABC中.CAB72'.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△ABC 的位置-使得CC/AB.则 BAB'的度数为][学会总结] 旋转性质的"两作用" 1.判断线段或角是否相等 (1)根据 相等,对应点与旋转中心的连 线相等可得线段或角相等. (2)根据旋转后的图形与原来图形的形状、大小 相等. 都相同可得图形的 2.计算图形的面积、线段的长度或角的大小. 对应角 1.(1)旋转角(2)对应线段


[训练点2旋转作图
4.将△AO点旋转180得到△DE,则下列作]B' B A A.34° B.36° C.72° D.46° 2.[2021·锦州模拟]如图,将Rt △ABC绕直角顶点 C顺时针旋转90°,得到 A'B'C,连接BB',若  A'B'B=20°,则/A的度数是 BC=B'C △ABC三△A'B'C B  BB'C=45°  A= B'A'C  A'B'C=25° B A C  B'A'C=65° 3.如图,在长方形ABCD中,AB=√3,AD=1,该长 方形绕点A顺时针旋转a得到长方形AB'C'D', 点C'落在AB的延长线上,则线段BC'的长是 C AC=AC=2D BC=AC'-AB D a B B'


[4.将△AO点旋转180得到△DE,则下列作
图正确的是关于0成中心对称()]


[5.[2021·驾域模拟]如图、A点的坐标为(一1.5).B点 的坐标为(3.3).C点的坐标为(5.3),D点的坐标为(3. 一D.小明发现:线段AB与线段(D)存在一种特殊关 系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到 另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是
中心对称 23.2 两个全等刑的特殊位置关系]A 旋转中心在对 B 应点连线的垂 直平分线上 D


同学教材 学习重点 中心对称是两个国开间的位置关系中心对称是 特殊的旋转,但旋转不一定是中心对称
知识1中心对称
1.定义 不是任意的度。 把一个图形绕某一点旋转180/如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个 图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形在旋转后能重 合的对应点叫做关于对 中心的对 点,成中心对 的两个出形,只有一个对称中 心,这个对称中心可能在每个图形的外部,也可能在每个图形的内部或图上。
"心对称的生质可得到对应线段相等对应用相等、对应的围刊全等
2.中心对称的性质
(1)中心对称的两个图形.对称点所连线 都经过对 中心·而且被对称中心所平分。
(2)中心对称的两个图形是全等图形。
(3)成中心对称的两个图形、对称中心在对称点的连线上.对称点到对称中心的重离 相等、对应角相等、对应线段平行(或在同一条直线上)且相等。
3.利用中心对称作图
作一个圈形关于某一点成中心对你的图形.关键是做出已知图形中 关键点的哥你 点.其一般步骤如下:
(1)确定对称中心.
(2)确定原图形的各个关键点(如三角形的各顶点)。
(3)作出各个关键点关于对称中心的对称点, (4)次连接对称点-即可得到要求作的图形。
一个绕某点旋转180后不变的特殊围形 知识2中心对称图形 中心对称图形只有一个对标中心 1.中心对称图形的概念
(1把一个 形绕着某一个点   180*,如果旋转后的 删 够与原米的湘形重合, 等边三角形不是中心 那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 对称图开因为它是奇 (2)线段和平行四边形是最常见的中心对称图形,线段的对称中心是它的中点,平行数个顶
四边形的对称中心是它两条对角线的交点。 作图的关是作出原图形上特总关 2.简单图形的中心对称图形的画法 于对杯中心的对称点
CD)在 彬中找到各线段的端点,如点A.B.C. 后作出点A.B.C关于对称中心( 的对称点A'.B'.C.
(2)按原图形中各点的连接顺序将对称点应地连接起来.
3.对称中心的确定方法
(1>方法一:连接任意一对对称点.取这条线段的中点,则 点即是对称中心
(2)方法二:连接任意两对对称点,这两条线段的交点即是对称中心.
4.中心对称与中心对称图形的区别与联系
[4.中心对称与中心对称图形的区别与联系
P.C-a.b) PCa.by]

"":"区别"
"中心对称":"(1)是针对两个图形而言的. (2)是指两个图形的(位置)关系. (3)对称点分别在两个图形上. (4)对称中心在两个图形之间或在两 个图形的重合处"
"中心对称图形":"(1)是针对一个图形而言的. (2)是指具有某种性质的一个图形. (3)对称点在一个图形上. (4)对称中心在图形本身上"

联系 (1)都是通过把图形旋转180°来定义的. (2)两者可相互转化,若把中心对称的两个图形看成一个整体,那么这"一个 图形"就是中心对称图形;反之,若把一个中心对称图形相互对称的两部分 看成两个图形,那么这"两个图形"成中心对称
P.C-a.b) PCa.by
知识3关于原点对称的点的坐标
1.关于原点对称的点的坐标的变化
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点 为P'(一x,一y), iP.Cab)
[两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点 为P'(一x,一y), iP.Cab)
P.(-a,-b)]

关于坐标 轴对称 关于x 轴对称 横坐标不变,纵坐标互为相反数 P(a,b)关于x轴对称的点 为P,(a,-b)

"名称":"关于y 轴对称"
"区别":"横坐标互为相反数,纵坐标不变"
"表达式":"P(a,b)关于y轴对称的点 为P(-a,6)"

"名称":"关于原点对称"
"区别":"横、纵坐标都互为相反数"
"表达式":"P(a,6)关于原点对称的点 为P3(-a,-6)"
P.(-a,-b)
关于谁对标谁不变
2.在平面直角坐标系中画关于原点对称图形的步骤
(1)找出已知图形的关键点,确定关键点的坐标,不是分意
(2)写出关键点关于原点对称的点的坐标,并挂出各对称点:
横、纵坐标都变为原来的相反数。
(3)依次连接各对称点, 不是随意 分层练透 提分要旨 训练点1中心对称的概念及性质
[关注过程]解:如图,连接CD,交AB于O.
1.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点
成中心对称,则这个点是
连两对对应恶A 鄂CSH.所通强 按交点加0 。
D.O
A.O B.O CO
2.[2021·宿州集末]如图.AC=BD、 A= B、点
E.F在AB上,且DE/CF,试说明此图形是中心 对称图形。
证明对应点
连线经过周一 个点
在△ACO和△BDO中, COA= DOB, A= B.AC-BD


AACO ABDO(AAS). 故OA-OB.OC-OD. DE/CF.. DEO=/CFO, 在△ODE和△OCF中. DEO=ZCFO. /DOE=/COF.OD=0C, :AODEAOCF(AAS).
:OE=OF.此图形是中心对称图彩。
训练点2画一个图形关于某点对称的图形
3.如图.已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对 称中心,与△ABC成中心对称的三角形.
再画出点A的 D的对标点是D, B的对标点是C 对标点即可
直线经过 0ABC 的对线交点
4.[2021·天桥区联考]如图,网格中每个小方格都是 边长为1个单位长度的正方形.△ABC的顶点均在 格点上,在网格中建立平面直角坐标系
训练点4中心对称图形的性质
[7.如图,在平面直角坐标系中,DOABC的顶点A的
8.[202]·宁波江东区期末]如图,矩形ABCD的顶点]C B


(1)分别写出点A.B.C的坐标, (2)以原点Q为对称中心,画出△ABC关于原点0 对称的△A,B.C,并写出点A,B、C,的坐标
训练点3中心对称图形的识别
5.[2021·济宁月考]下列图形中,不是中心对称图形 的最6个角奇数个顶点正六边形 8个角
9.有一块钢板(各角均为直角)如图所示、 如何用一条直线将其分为面积相等的两
6.[202]·江质检]在一次游戏当中,小明将图中的 部分? 四张扑克牌中的三张旋转了180'.得到的四张牌的 将图开"分成两个长方形),找出
图案和原来的一模一样,小芳看了后,很快就知道
各自的对称中心连接对称
没有旋转的那张扑克牌是
上面4个梅花 中心的直线即是所我直线 朝上,旋转后期 上就是2个了
A.黑桃Q B.梅花2 C.梅花6 D.方块9 [学会总结]判断中心对称图形的方法
1.着一个图步上,存在这样的一个点,使整个围形 经着这个点监转 后能蚌与原来的图形 重合,则这个图形就是中心对称图形, 2.若图形中的对应点的连线都经过同一个点、并且 被这个点 ·到这个图形就是中心对称 图形对残交坐标是(6+2,0+2),即(41)
3.只有美有 个顶点的图形才 心称图形。
1_180°2.平分3.偶
[坐标为(6.0).C点坐标为(2.2),若直线y=m.x+2 平分 0ABC的周长,则m的值为
B.C在坐标轴上,顶点D的坐标是(3.3),若直线 y=mxr恰好将矩形分成面积相等的两部分.求m 的值。]y C(2,2) 1=4m+2 B A(6,0)


[B.C在坐标轴上,顶点D的坐标是(3.3),若直线 y=mxr恰好将矩形分成面积相等的两部分.求m 的值。
[学会总结]中心对称与中心对称图形的区别与 联系]y -4 A D 2 2 4 B 0 C x


[[学会总结]中心对称与中心对称图形的区别与 联系
两个图 中心对称图形中心对称]

"":"区别"
"中心对称":"1.两个图形的关系 2.对称点在 上"
"中心对称图形":"1.具有某种性质的 一个图形. 2.对称点在 上"

联系 1.把中心对称的两个图形看作一个整 体,则成为 2.把中心对称图形的两部分看作两个图 形,则它们成

共同点 对称点连线都经过对称中心,且被对称 中心平分
两个图 中心对称图形中心对称
训练点5关于原点对称的点的坐标
10.[2021·聊城月考]已知a<0.则点P(a2.-a+1) 关于原点的对称点P'在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.[2021·佛州月考]已知点A(2a+34,-2)和点B (8.2a+1)关于原点对称,那么+6的值为
2
A.6
C.一9 D.-16
B.10
[学会总结]
YA
1.关于原点对称的两点在坐标系中的位置特征
点P:与P,关于原点对称: P 点P在第一桌限一点P:在第 象限
点P,在第二象限=点P:在第 象限.
2.对称与坐标的变化规律
(1)两点关于工输对称,横坐标 .纵坐标
(2)两点关于y轴对称,纵坐标 ·横坐标
(3)两点关于点对称,横、纵皇标均
口诀:x轴对称,纵相反:y轴对称,惯相反:原点 对称,都相反。
1.三四2.(1)相等互为相反数(2)相等互为相反数
(3)互为相反数
训练点6关于原点对称的点的坐标的应用
12.[2021·菏泽月考]若点P(一a+a-3)关于原点对 称的点在第二象限,则。满足
A.>3
B.0Ka≤3 则P位于
Cu<o D.a<0或u> 第四象限
13.[2019·随州中考]在直角坐标系中,将点(一2.3)
关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的 点的坐标是
A.(4.-3) B.(一4.3)
C.(o.-3) D.(o.3)
14.如图所示,每个小正方形的边长为1个单位长度, 作出△ABC关于原点对称的△A,B,C,.并写出
[A.B,.C,的坐标.
15.如果B(m+1.3m-3)到轴的距离与它到y轴]A B 0 C


讨论如下:有可 的距离相等,求, 能在一、三象限
(1)m的值。
(2)求它关于原点的对称点坐标。
角平分线上,此时 x=也可能在二、 四家限角平分碱
0 9
上,此C时x=-y
[上,此C时x=-y
第二十四章圆]

"[学会总结]":"1.坐标系内作关于原点成中心对称的图形的"三步"

(2)描:在坐标系内描出对称点的位置.

(3)连:按照顺序连接各个对称点.

2.坐标系内求不规则图形面积的常用方法

过顶点作 轴、y轴的垂线,运用

1.(1)互为相反数2.割补法
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质 同学教材 学习重点
知识1圆的有关概念
1.圆的定义
(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个 端点A所形成的图形叫做圆,确定位置 确定圈的大小
(2)固定的端点(叫做圆心,线段OA叫做半径一
(3)以点0为圆心的,记作"O".读作"圆("。 国上备到定(心)的距离都等于定长(半径):
特征
2.圆的有关概念
到完的距离等于定长的都在同一个圈上
[到完的距离等于定长的都在同一个圈上
优孤不一定大于当弧, 只有在同围或等圆中能]

"名称":"等圆"
"概念":"能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出:半径相等的两个圆是等圆; 反过来,同圆或等圆的半径相等"
"注意":"等圆只和半径的大 小有关,和圆心的 位置无关"
"图示":""

弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦,如右 图中的"弦AC" 直径是圆中最长的 弦,但弦不一定是 直径

直径 经过圆心的弦叫做直径,如右图中的 "直径AB"

"名称":"弧、 半圆、 劣弧、 优弧"
"概念":"圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称 弧.以B.C为端点的弧记作BC,读作 "圆弧BC"或"弧BC".圆的任意一条 直径的两个端点把圆分成两条弧,每一 条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优"
"注意":"半圆是弧,但弧不 一定是半圆"
"图示":""

弧,用三个字母表示,如右图中的 ABC;小于半圆的弧叫做劣弧,用两个 字母表示,如右图中的AC

等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫 >等孤的前提条件 做等弧 长度相等的弧不一 定是等弧
优孤不一定大于当弧, 只有在同围或等圆中能
地较大小
度数相等的孤也不 一定是等弧,只有度 数与长度间时相等才 可以
知识2垂直于弦的直径
1.圆的对称性
对标轴不是直径,是直径所在的直线
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.圆有无数条对称轴.圆 也是中心对称图形,圆心是它的对称中心,还具有旋转不变性.
垂径定理
(1)垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图所示,在00中,CD是直径,AB是弦,CDLAB 于点E.则
女购圈 AE-BE、AD=BD.AC-BC
(2)垂径定理的推论
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
如图所示,若AE=EB.CD是直径,CDLAB.AD-BD.AC=BC. 平分直径CD的直径
②平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. AB不重直于CD. 如图所示,若AD=BD.CD是直径.则CDAB,AE=EB.AC=BC. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
如图所示若CDAB.AE=BE,CD是直径,AD=BD,AC=EC.
知识3圆心角 只限的顶点位置
1.圆心角的定义,顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.弧、弦、圆心角之间的关系
[2.弧、弦、圆心角之间的关系
在同圈中一条孤对着唯一的国心角但能对着]

"名称":"定理"
"文字语言":"在同圆或等圆中,相等的圆 心角所对的弧相等,所对的 弦也相等"
"符号语言":"如右图所示, AOB= COD→ AB =CD, AB=CD"
"图示":""
"":"要求同是优孤或间是 当弧一般指骂弧 "知一推二""

重要 推论 在同圆或等圆中,如果两条 弧相等,那么它们所对的圆 心角相等,所对的弦相等 如右图所示,AB=CD→ /AOB= COD, AB=CD

在同圆或等圆中,如果两条 弦相等,那么它们所对的圆 心角相等,所对的优弧和劣 弧分别相等 如右图所示,AB=CD→ /AOB=/COD, AB=CD, ADB=CBD

注意 不能忽略"在同圆或等圆中"这个前提条件,如果漏掉了这个 前提条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等. 如右图所示,两个圆的圆心相同,AB与A'B对应同一个圆心 角,但AB≠A'B',AB≠A'B'

规律 总结 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等 在同圆或等圆中,两条弧(同为优弧或劣弧)、两条弦、两个圆心角中,只要有
在同圈中一条孤对着唯一的国心角但能对着
知识4圆周角
1.圆周角的定义
无数个圆同 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2.圆周角定理


(1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半, 如图, BAC= /BOC
(2)推论 若汉为"同孩或等孩",则猛记不成立 ①同弧或等弧所对的圆周角相等,如图,弦AB所对的圆周角
辅助线我的基本作法: /ADB=/ACB.
见直径找直角 ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是
见直用连直径 直径,如图.AB为半圆. ACB为直角,圆周角 ACB所对的强 AB为直径,
3.圆内接多边形
(1)定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做内接多边 形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的一个外角等于它的内对
(2)内接四边形的性质,圆内接四边形的对角互补
分层练透 提分要旨
[训练点1圆的定义及其应用
1.[2021·滨州月考]下列说法正确的是][学会总结] 圆中易混淆的概念 1.弦与直径. (1) 是圆中最长的弦,但弦不一定 是 (2)弦是连接圆上任意两点的 ,直径是 过 的弦. 2.弧与半圆. (1)半圆是 ,但弧不一定是 (2)圆上任意两点分圆成两段弧.圆上任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫 做 3.等弧只在 中出现,长度相等的弧 是等弧. 1.(1)直径直径 (2)线段圆心 2.(1)弧 半圆(2)半圆 不一定 3.同圆或等圆


A.相等的 心角所对的弧相等 只有B选项
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等 限利了环境
C.弦相等.圆心到弦的距离相等
D.圆心到弦的距离相等,则弦相等
[学会总结]圆的定义的两类应用
1.应用图的半径都相等这一性质进行证明或计算:
(1)应用半径相等构造等服三角形,根据等理三 角形的两底角 进行有关角度的计算
(2)利用半径相等注明三角形全等。
2.证明几点共圈问题:
(1)证明思路:首先确定 .再证这几点 到固心的距离
(2)常见的图形结构:0马矩形或正方形有关,利
训练点3垂径定理及其推论 3.[2021·衢州期末]如图,将半径为4cm的圆折叠 后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为
[用矩形成正方形的对角线 四儿个共科 边的直角三角形:利用直角三角形斜边上的中线 等于斜造的
1.(11相等2.(11面心相等(21①等且互相平分 一半]AB是某条半径的中 垂线,作OH AB,交 AB于H,利用垂径定 B理与勾股定理求解。


训练点2辨析与圆相关的概念
2.如图所示,点M是OO上的任意一点,下列结论 ①以M为端点的弦只有一条:②以M为端点的半 A.4V3cm B.2/3cm C.s cm D2cm 径只有一条:③以M为端点的直径只有一条;④以 4.[2021·荫区月考]已知等腰△ABC的三个顶点
M为端点的弧只有一条.其中,正确的有 都在半径为5的00上,如果底边BC的长为8.求
[BC边上的高, (填写正确的序号》 无数杀
[学会总结]垂径定理及推论与"知二推三" 对于一个国和一条直线,若其备:]M


《1)过圆心。
(2)垂直于 (3)
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其 他三个结论。 (2)弦{3)平分弦(非真径)
训练点4垂径定理的实际应用
5.[2021·婺源模拟]如图.一条公路的转弯处是一段
[圆弧(图中的AB),点 是这段弧的圆心,C是AB 上一点.OCIAB.垂足为D.AB=300 m.CD= 50m,则这段弯路的半径是 t.
6.某地有一座弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,]A B


拱顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为 长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船 能顺利通过这座拱桥吗?
[根据题章画出示意图私出半径和OH,进南私出FN再 52米比较大小即可
[学会总结]]C E A


[[学会总结]
训练点5圆心角的概念及计算]1.垂径定理基本图形涉及的"四变量、两关系" (1)四变量:如图,弦长a,圆心到 弦的距离d,半径r,弧的中点到 h 弦的距离(弓形高)h,这四个变量 知任意两个可求其他两个. (2)两关系:1 叫"拱高"也可以 2.垂径定理应用中常作辅助线 作 ,构造直角三角形. 3.垂径定理应用中常用技巧 设未知数,根据勾股定理列方程. 2h+d 2.垂线 半径


7.已知弦AB把圆周分成115的两部分,则弦AB
X360 对的圆心角的度数为 1+5
8.如图.00经过五边形(MABCD的四个顶点。若 AOD=150' A=65. D=60.则 BOC的 43=60 度数为 L1=50° LAOD-L1-43 =150°-50°-60°
[学会总结]求解圆心角的度数用到的"两关系" ,可利用等
1.由两条牟径构成的三角形为
腰三角形的性质计算。
2.在阿面或等图中,相等的弧和弦所对的 相等,利用这一性质可得相等的图心角。
1.等腰三角形2.圆心角
训练点6弧、弦、圆心角之间的关系
9.[2019·费港中考]如图,AB是 0的直径、BC
CD=DE.ZCOD=34",则AE)的度数是
等孤对等用
LBOE= AEO+ LA=2 AEO
A.51° B.56" C.68 D.78
10.[2021·南通海安县月考]如图,过 0的直径AB 上的两点M.N.分别作弦CD.EF.若CD/EF, AC-BF.求证:
等角对等孤
(1)BC=AF.
[(2)AM-BN.
[学会总结]]E C N B A M F D


1.圆心角、弧、弦之间的关系是"知一推二"
在同圆或等盖中,两个围心角,两务弧、两条弦这 三组量中有一组量相等。其余的各组量包分别相 等。简称"如一推二"
训练点8圆内接四边形及性质 14.[202]·莱芜月考]如图所示,已知圆心角AOB =100°.求 ACD的度数。
2.圆心角、弧、弦之间关系的"两限定"
(1)当知两小圆心角相等,必须限定在同围或等 圆中才能指得对应
分别
榴等, (2)当知两条张相等,必须限定在同圆或等圆中 才能推得对点
分期相等。
2.11张 [2)圆心兔
训练点7圆周角定理及其推论
11.2020·黔西南中考]如图,在00中,AB=AC.
BAC 50"则 AEC的度数为
15.[2021·苏州月考]如图.AB是圆O的直径.D.E 为圆(上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至 点C.使得CD=BD.连接AC交0)于点F.连接
AD是BC的中重碱 AE.DE.DF.
A.65 B.75 C.50t D.55'
12.[2021·梧州月考]如图,已知在 0中,半径(A =2.弦AB-2.BAD-18.OD与AB交于点
BOD=36
C.则 ACO= 度.
=<B+-BOD=81 AB:=OA+OB (1)求证:E=2C.E=4B.周弧所对圆同角 LAOB=90
(2)若ZE=55,求BDF的度数.
LB=45°
[学会总结]应用圆周角定理及其推论的解题
技巧
1.荒是圆周角、圆心角的中介,通过错可实规国周 詹、国心角彼此之间的转化:在同圆或等图中,同 弧或等孤所对 相等,所对圆周角是圆心
.所对 相等。 兔的 [学会总结]圆内接四边形的角的"三关系"
2.在同围或等图中,90°圆周角和直径之间可以相互
1.对角互补,巷四造形ABCD为 0的内接四边 联系:由直径可得所对图周角是 ·年90. ,期 A+2C= ./B+/D
图周兔可得所对的弦是
提醒:①连半径,构地圆心角:②见直径,构造直径 2.四个角的和是 , A+ B+2C+ 所对图周角,是圆中常用辅助线。
D=360°
1.惠心角 西周角2.90°直符
3.任意外角同与其相邻的内旁的对角
13.[2021·宜实质检]如图,00有两条相交弦AC. 圆内接四过形的外角等于其 BD. ACB=/CDB=60.AC=2v3、则00的面 0 1,181802.380°3.相等肉对角 积是
[连接AO作OELAC于E:AE= ZOAE=302=r=2 191
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系]F B A G E


[连接AO作OELAC于E:AE= ZOAE=302=r=2 191
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系]B D


[连接AO作OELAC于E:AE= ZOAE=302=r=2 191
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系]B


[连接AO作OELAC于E:AE= ZOAE=302=r=2 191
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系]B E


同学教材 学习重点
知识1点和圆的位置关系
(1)个点确定以后它相对把知圆的位置关系是唯一的
1.点和圆的位置关系
(2)当一个点的位置不确定时要对它的位置进行类订论. 设O0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有
[(2)当一个点的位置不确定时要对它的位置进行类订论. 设O0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有
读作"等价于"表示 从左端可推出在 端,从在端也可推 出左端]

文字语言 符号语言

点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于 半径,到圆心的距离小于半径的 点都在圆内 点P在圆内d<r

点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于 半径,到圆心的距离等于半径的 点都在圆上 点P在圆上 d=r

点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于 半径,到圆心的距离大于半径的 点都在圆外 点P在圆外d>r
读作"等价于"表示 从左端可推出在 端,从在端也可推 出左端
[2.三角形的外接圆一直角三角形外接国的半径就是其斜边长的一半国心为斜边的中
(1)三角形的外接圆的有关概念》理里解为"有且只有"的意思、4 ①不在同一条直线上的三个点确定一个圆, ②经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接 圈.外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个 三角形的外心。 三角形的外心到三个顶点的距离相等外心位置根据三角刊形状]B


待定说角三角刊的外心在其内部,钝用三角开的外心在其外都直角三
(2)三角形的外接圆的作法
角形的外心在其斜边中外 ①确定圆心:三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心。
②确定半径:交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。
(3)反证法→假设命题的猛记不成立难理
矛盾 >假设不正确 原命题成立
①定义:证明一个命题时,不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不
成立.由此经过推理得出矛盾.由矛盾 定 作 设不正确,从而得到原命题成立.
这种方法叫做反证法, 应用:反证法主要解决不号直接证明波不 直接证明的命题,常用于证明:结论是
否定型的命愿:结论是无限型的命题:结论是"至多"o至少"型的命医 192
知识2直线和圆的位置关系
1.直线和圆的位置关系
[1.直线和圆的位置关系
圆心到直钱的距离 d等于半径r,一定不能 是直线上一点到圆 心距离等于半径,如]

"直线和圆的 位置关系":"定义"
"相交":"直线和圆有两个公共 点,这时我们说这条直 线和圆相交"
"相切":"直线和圆只有一个公 共点,这时我们说这条 直线和圆相切"
"相离":"直线和圆没有公共 点,这时我们说这 条直线和圆相离"

"直线和圆的 位置关系":"图示"
"相交":""
"相切":""
"相离":""

"直线和圆的 位置关系":"公共点个数"
"相交":""
"相切":"1 1"
"相离":""

"直线和圆的 位置关系":"圆心到直线的 距离d与半径 r的关系"
"相交":"d<r"
"相切":"d=r"
"相离":""

"直线和圆的 位置关系":"公共点名称"
"相交":"交点"
"相切":"切点"
"相离":""

"直线和圆的 位置关系":"直线名称"
"相交":"割线"
"相切":"切线"
"相离":""

"直线和圆的 位置关系":"符号表示"
"相交":"直线/与00 相交d<r"
"相切":"直线/与00 相切d=r"
"相离":"直线/与00 相离 d>r"
圆心到直钱的距离 d等于半径r,一定不能 是直线上一点到圆 心距离等于半径,如
2.圆的切线 "经过半径的一端并且重直于这条半径的直是国的加钱"是错误的 (1)切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图.直线 就是 0的切线,此外,经过心且垂直于切线的直线一定过切点:垂 世圈 直于切线且过切点的直线必过心.
(2)切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径,如图,若直线/是O0的切线,A为切点.则/10A. APEF的周长=2PA=2PB
3.切线长
(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到
[圆的切线长:四长  是脚杀相等雨相等狐相以及垂直欠音的种要依孩
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圈的两条切线,它们的切线长相 等,这一点和心的连线平分两条切线的夹角]A P B


如图,PA.PB是0的两条切线,切点分别为A.B.则PA-PB。 ZOPA-ZOPB.
圆心叨点及叨碱
4.切线的判定和性质的应用
上一点组成一个直
(1 辅助线的作法:运用切线的性质米进行计算或论证的常见 助线是连接 心和 角三角形,是解题 切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
(2)证明直线与圆相切的三种途径
时常用的条件 "有点连半径证重直;
①证直线和圆有唯一公共点(即运用定义), ②证直线过半径外且垂直于这条半径(即运用判定定理)。 无切患作重直证半径" 证圆心到直线的距离等于的半径(即证d=r)
当题目已知直线与圆的公共点时,一般用方法 ,当题目不知直线与圆的公共点时。
心三角形三杀角平分我的交一三角形的内心 般用方法 .方法①运用较少 三角形的内物刀圆 半径:内心到三边的距离
5.三角形的内切圆
(三角形的内切 的有关概念,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圈,内 切圆的心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
(2)三角形内切圆的作法
①确定心:三角形两条角平分线的交点即为圆心。
②确定半径,交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径
(3)三角形的面积:如果三角形三边长分别为a,b.内切圆半经为 ,则三角形的面
代表三角形的面积 三角形的内力图羊径公式也可是为=25 积S=一(a+b+c)r, "代表三角刊的同长
(4)直角三角形的内切圆半径:如果直角三角形的直角边为a,,斜边为,则内切圆 ab
半径a+6a+b+C
(5)三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较
[(5)三角形的内切圆和三角形的外接圆的比较
知识3圆和圆的位置关系]

"":"圆心的确定"
"三角形的内切圆":"三角形三条角平分线的交点,叫 做三角形的内心内切圆圆心"
"三角形的外接圆":"三角形三边垂直平分线的交点,叫 做三角形的外心外接圆圆心"

"":"圆心的性质"
"三角形的内切圆":"三角形的内心到三角形三边的 距离相等,等于内切圆的半径"
"三角形的外接圆":"三角形的外心到三角形三个顶点的 距离相等,等于外接圆的半径"

"":"圆心的位置"
"三角形的内切圆":"一定在三角形内部"
"三角形的外接圆":"锐角三角形:在三角形的内部; 直角三角形:为三角形的斜边的中点; 钝角三角形:在三角形的外部"

"":"三角形名称"
"三角形的内切圆":"圆外切三角形"
"三角形的外接圆":"圆内接三角形"

相同点 三角形的内切圆和三角形的外接圆都只能画一个,而圆外切三角形 和圆内接三角形有无数个
知识3圆和圆的位置关系
设两圆的半径分别为r,和r(r<r,).圆心距为d。
(1)外离
1.相离 包含外离纳内含
①定义,两个圆没有公共点,并且每一个 上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两 个圆外离。
②图形:d>r,+r, 外离
(2)内含(含同心圆)
H定义:两个圆没有公共点,并且一个 上的点 在另一个 的内部时,叫做 两个 圆内含:两个圆的圆心重合时,我们称这两个圆是同心圆, d<r一内含 ②图形 d=0 同心圆
2.相切 包含外切和内物
(1)外切
①定义:两个圆有唯一公共点,并且除这个公共点以外。每一个圆上的点都在另一个 圆的外部时,叫做这两个圆外切,这个唯一的公共点叫做切点。
②图形d=r+r,一外切
(2)内切
①定义:两个圆有唯一公共点,并且除这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆 的内部时,叫 这两个圆内切,这个唯一的公共点叫 做切点.
②图形d=r:r,一内切
3.相交-常连接公共弦作为辅助线
①定义:两个圆有两个公共点时。叫做两圆相交。
(<BAC+BOC=180° ②图形<d<+r相交 <BOC=2 BAC CM=AB=5分层练透 提分要旨 与ZBOXC互补,则线段BC的长为 训练点1点与圆的位置关系 1.2021·月考如图,在△ABC中, ACB= A.33 90°.AC-2cm.BC=4cm.CM为中线,以C为圆 B.3 <B=55 C.6、3 D.6 心.5cm为半径作圆,则A,B,C.M四点在 外 3.如图,在△ABC中、 BAC=70",AB=AC,0为 的有 在 上的有 .在圆内 △ABC的外心,△OCP为等边三角形,OP与AC 的有 相交于点D,连接OA. >POC=60°
<AOC=24B=110°袋 X2AOp=110-60=50
(1)求Z0AC的度数. 20AC=-BAC
(2)求 AOP的度数.
[学会总结]关于三角形外心的"三必知" 训练点2三角形的外接圆及外心
1.三角形的外心是 的交点。
2.[2019·遂宁中考]如图.00的 的距离相等。
2.三角形的心到 半径为6.△ABC是O0的内接
3.锐角三角形的外心在其 :直角三角形的外 三角形,连接OB,0C,若ZBAC
2纯角三角形的外心在其 心是笑


[1.三边香直平分线三个顶点3内部料边中点外部
[学会总结]确定点和圆的位置关系的"两技巧" 1.利用等价关系:点和圆的位置关系可转化为点到 圆心的距离(d)和半径(r)的关系,即由位置关系 ·反过来由数量关系可以判 可以推出 2.利用数形结合:解决点与圆的位置关系的捷径是 利用数形结合的方法,助图形进行判断。 位置关系]A B


[[学会总结]确定点和圆的位置关系的"两技巧" 1.利用等价关系:点和圆的位置关系可转化为点到 圆心的距离(d)和半径(r)的关系,即由位置关系 ·反过来由数量关系可以判 可以推出 2.利用数形结合:解决点与圆的位置关系的捷径是 利用数形结合的方法,助图形进行判断。 位置关系
训练点3反证法]B


4.[2021·昆明月考]用反证法证明命题"三角形中必 有一个内角小于或等于60时,首先应该假设这个 三角形中
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大手60°
D.每一个内角都大于60
5.用反证法证明:对角互补的四边形共圆.
先喝出已知,书证, 再画图证明D点在 圆内或同外不成立
[学会总结]反证法的步骤
1.假设原命题的结论
2.从假设出发推出
3.假设 则票命题成立。
1.不成立2.矛后3.不成立
训练点4直线和圆的位置关系
6.已知在直角坐标系内,半径为2的圆的圆心坐标 为(3.一4),当该圆向上平移w(m>0)个单位长度 时,若要此圆与x轴没有交点,则m的取值范围是
7.[2020·内江中考]如图所示,直线y=r-2与x
轴、轴分别交于M,N两点.00的半径为1.将 00以每秒1个单位的速度向右作平移运动,当移
s时,直线MN恰好与圆(相切。 速度、方向是 分类讨论,在 动问题. MN左、在两
0M 侧各一次 的心要元素
[学会总结]
1.判断直线和圆的位置关系的"三步骤"
求值 根据出到直的距离和的半径 →比4与的大小关系
根大小美系判新直线和的位置关系
2.直线和圆的位置关系与
是互相对应约,知道数 量关系可以确定位置关系,知道位置关系可以确 定数量关系.
3.用直线和圆约位置关系未判断r的取信情况时。 最好先出图形,防止 解。
2.雪心到直线的距离 半径之间的数量关系 训练点5切线的判定
8.[2020·贵阳中考]如图,在△ABC中, C=90°, ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作直线 BE的垂线交AB于点F,O0是△BEF的外接圈,
连接OE证垂直
(1)求证:AC是00的切线。
(2)过点E作EHLAB于点H、求证:EF平 分 AEH.分别与 CBE和ABE相等
(3)求证:CD=HF.连授ED,△CDE兰△HFE [关注过程]证明:(1)如图,连接OE.
BELEF... BEF=90°.
二BF是圆O的直径。
二OB-OE.
/OBE=/OEB.
BE平分 ABC :/CBE=/OBE.
ZOEB= CBE, 二OE//BC.
:/AEO=/C=90°
二.AC是 0的初线。
(2): C=/BHE=90'. EBC=/EBA.
BEC= BEH.
" BEF=90°.
AEF+BEC=90.
:AEFEBF...ZAEF+BFE-90, 文: FEH+ BFE-90°.
:ZFEH=/FEA.
二EF平分ZAEH
(3)如图,连接DE.
BE是ZABC的平分线,EC1BC于C.EH LAB千H.角平分线上的点到用两边距离 二EC=EH.相等 :ZCDE ZBDE=180、HFE+ BDE -180°圆内接四边形/对互补:
:/CDE=/HFE.
1/C=/EHF=90° 二△CDE≌AHFE(AAS). CD-HF.
[1/C=/EHF=90° 二△CDE≌AHFE(AAS). CD-HF.
训练点6切线的性质]

"点和圆心,得到一条 明半径 于已知直线). (2)不知直线与圆的公共点:作":"作直线的垂线段),证 1.(1)一(2)半径2.(1)半径 半径 半径半径"
"),证 (证 (过圆心":"(证明垂线段等于 垂直 垂直(2)垂直"
训练点6切线的性质
9.[2021·成都月考]如图.在△ABC中, A=30°。 点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB为半 径作, 0恰好与AC相切于点D.连接BD.若
[BD平分 ABC.AD=23,则线段CD的长是
10.[2020+南昌中考]如图,网格中的每个小正方形 的边长是1.点M.N.O均为格点,点N在00 上.若过点M作O0的一条切线MK,切点为K. 则MK=]ODIIBC=>ACB=90°是关键 C D B A B 4 3 3√3 B.√3 D. 2 2


A.32 B.25 C.5 D.v34
[11.[2021·沈阳月考如图、已知三角形ABC的边 AB是O0的切线,切点为B.AC经过圆心0并 与圆相交于点D.C.过C作直线CELAB.交AB 的延长线于点E
(1)隶证,CB平分 ACE.连授OB.证OBIICE]D A B E


[11.[2021·沈阳月考如图、已知三角形ABC的边 AB是O0的切线,切点为B.AC经过圆心0并 与圆相交于点D.C.过C作直线CELAB.交AB 的延长线于点E
(1)隶证,CB平分 ACE.连授OB.证OBIICE]N M


[(2)若BE=3. A-30°,求00的半径。
训练点7切线长定理][学会总结] 切线的三条性质及辅助线的作法 1.三条性质: (1)切线和圆只有一个公共点. (2)圆心到切线的距离等于 (3)圆的切线垂直于过 2.辅助线的作法:连切点、圆心,得垂直关系. 1.(2)圆的半径(3)切点的半径


12.[2020·遵州中考]如图所示.P是00外一点。 PA.PB分别和O0切手A.B两点.C是AB上任 意一点,过C作0的切线分别交PA.PB于D.
[E.若△PDE的周长为12.则PA的长为
13.如图.AB是00的直径,AM和BN是00的两 条切线,E为00上一点,过点E作直线D分别 交AM,BN于点D.C.且CB-CE.]A D PD+DC=PA, C PE+EC=PB. E B A.12 B.6 C.8 D.4


[13.如图.AB是00的直径,AM和BN是00的两 条切线,E为00上一点,过点E作直线D分别 交AM,BN于点D.C.且CB-CE.
15.C2021·和平区期末]已知:如图,在△ABC中。]ADM E B CN AD+BC=DE+EC=CD=4 3 (1)求证:DA=DE.. (2)若AB=6.CD=43.求梯形ABCD的面积.


[关注过程]解:(1)证明:连接OE.CC.(图 ACB-90'.AC-3,BC-4.1,为△ABC内切
连半径 圆的圆心,OI:与BA.BC的延长线及AC边都相 BN是00的切线, 证重 切(旁切圆),切点分别为P.S.Q :ZOBN=90° :OE=OB.OC=OC.CE=CB. △OECSAOBC.
:.ZOEC-ZOBC=90"。
CD是00的切线。 解题突破口 "AD初00于点A.
(1)求01:的半径,一连接IQ、I、5得正方开, DA=DE.
(2)求线段1.1:的长,边长为尺.5+(3-R)=4+R
(2):△OEC △OBC...S=Sw.网理. SAS
构道I,I,存在的RtA, SeM
这用闪股资理 =2(S+S) -2SmD.
CD4.0E=AB=3. Se=2XX4x3
[CD4.0E=AB=3. Se=2XX4x3
=12/3.]

1.三角形内切圆的圆心是三角形  的交点.

2.三角形内切圆的圆心到三边的

 1.角平分线 2.距离相等
=12/3.
[学会总结]切线长定理中的基本图形
如图,PA.PB为 0的切线。此图形中含有:
训练点9圆和圆的位置关系
16.[2019·已中中考]已知 0,和O0:的心距为
4.两圆半径分别为r且:是方程组 r+2r;=6. 的解,求r+7:的值,并判断两圈的 3r.-Sr,=
位置关系.
(1)两个等腰三角形(△PAB.A(AB)
(2)一条持殊的角平分线(OP平分/APB和
ZAOBY
(3)三个垂直关系(OALPA.OB|PB.OP LAB)。
训练点8三角形内切圆及内心的性质
14.[2021·和平区期寒]如图,点0为△ABC的外一外接国圆心,则 心.点1为△ABC的内心,若 HOC=140,则 0=2 A.
[ZBIC的度数为 屏平分法我的交
24.3 正多边形和圆]P A I2 Q B C S


同学教材 学习重点
知识正多边形的外接圆
正多边形的我解问题常利用半径、边
1.正多边形的有关概念
C1个正多造形的外接 的 心厕做这个正多边形的中心心语及边长的一半位组i的直角二角
(2)外接调的车径叫做正多边形的半径。
开我解
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边
正多边形把圆同等分成n份分
圆的内接 的距离叫做正多边形的边心距。
"的画法把360°的圆心角等分成n份
2.正多边形的画法
正n边形 (D等分 周法作 :①等分 周:正边 的画法怨想是 圆观 等分:  接点: 次连接等分点即得到所要作的正多边形。
(2)尺规法作图
如作正六边形,可以先画一个半径与已知边长相等的圆,然后在上面截取得到等分 点-违接即得到所要作的正六边恶,注意,并非所有的正多边形都可以只用尺规作出.
3.正多边形的计算
设正多边形的边数为n,半径为R,边心距为r、边长为a,则有:
[设正多边形的边数为n,半径为R,边心距为r、边长为a,则有:
R]

"名称":"半径"
"公式":""

"名称":"内角"
"公式":"360 (n-2)·180 180° 正n边形的每个内角为 n n2"

"名称":"中心角"
"公式":"360° 正n边形的每个中心角为 n"

"名称":"外角"
"公式":"360° 正n边形的每个外角为 n"

"名称":"周长"
"公式":"正n边形的周长为na"

"名称":"面积"
"公式":"正n边形的面积为 nar 2"
R
正多边形的外 角等于中心角
持殊圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:
[持殊圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:
利用半径、边心距及过长 的一半组成直角三角形, 加强理解和记忆]

"正多边形":"正三角形"
"图形":"口 B D"
"边长、半径、边心距之比":"23:2:1"

"正多边形":"正四边形"
"图形":""
"边长、半径、边心距之比":"2:2:1"

"正多边形":"正六边形"
"图形":"B E D"
"边长、半径、边心距之比":"2:2:3"
利用半径、边心距及过长 的一半组成直角三角形, 加强理解和记忆
提分要旨
训练点1正多边形的有关计算
5.[2021·肥城区质检]如图,正六边形ABCDEF 内 接于 0.若 0的内接正三角形ACE的面积为
1.[2021·静海区月考]如图所示,正六边形ABCDEF
先求出正三角 内接于 0,则 ADB的度数是
48v3.试求正六边形的周长。 刑的边长,逆用
正二角开的面 LABD=90° 积公式 -DAB=60°
C.30
A.60" B.45
D,22.5
2.正六边形的边心距与边长之比为
B2+2
A.1+2
C.3:1
D.3:2
3.[202]·枣庄月考]将一个边长为1的正八边形补全 6.如图,A,P.B.C是00上的四点, APC 如图所示的正方形,这个正方形的边长等
LABC=60° /CPB=60°. 360° 于 .(结果保留根号) =45° 8 LBAC=60°
(1)求证:△ABC是等边三角形.
[学会总结]正n边形的计算常用到的结论
(2)已知△ABC的边长为4cm.求O0的半径,
1.与正n形有关的角。
(1)中心角:每一个中心角度数为:
(2)内角:每个内角度数为:
(3)外角:每个外角的度数为:
2.正多边形的半径R、边心距r,边长a的关系:
一R"
3.正n边形周长/与边长a、面积S与边长a、边心
距r的关系:湖长1=
:面积S=
22)=2(÷)+
[学会总结]判定正多边形的"两方法"
1.根据定义判定:证明多过形的
训练点2正多边形的判定、性质及画法
相等, 2.根据正多边形与圆的关系判定:多边形为图内接
4.[2021·肇庆月考]已知正六边形的边心距为3.则
多过形时,判断该多边形的顶点将图 即可
它的周长是
1.各边各角2.等分
C.63
A.6
B.12
[D.12/3
24.4 弧长和扇形面积]


同学教材 学习重点
知识1有关公式
1.弧长公式
在半径为R的圆中,因为360°的国心角所对的弧长就是圆周长(=2=R.所以1"的 15nR两个因素相关 2mR Mazk 片元R 圆心角所对的弧长是 即手是的圆心所对的弧长为1 360 -180 不是180°
注意事项
(1)在弧长公式中。表示"1"的国心角的倍数,在应用公式计算时。""和"180"可不 用写单位。
(2)在弧长的计算公式中,已知1、.R中的任意两个量都可以求出第三个量
(3)要正确区分弧,弧的度数、弧长三个概念,度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长 相等的弧也不一定是等弧.
2.扇形面积公式
(1)扇形:由组成心角的两条半轻和国心角所对的弧围成的图形
叫做扇形,如图,扁形OAB
(2)扇形的面积:在半径为R的 中,因为360*的 心角所对的扇形的面积就是阅面 积Sm=R,所以心角是1"的形面积是于是圆心角为"的形面积是Sa
wRR 360不是360°
比较扇形面积公式与弧长公式,可以用弧长表示形面积:Sam-R.其中/为 形的弧长,R为半径。
(3)弓形的面积:如图,S.=S
一个底面-圆 圆锥的构成 知识2圆锥的侧面积和全面积
一个侧面开扇刊
1.母线的定义
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体,把连接圆锥顶点和底面圆周上任意展开图扇形的半径对应着困锥的母线 点的线段叫做圆锥的母线.
2.圆锥的侧面展开图及有关计算
(1)沿一条母线将锥侧面劳开并展平,容易得到.圆锥的侧面 展开图是一个扇形.
(2)圆锥常见量之间的关系(如图)
国锥侧面展开图扇开
R=+rR=X2R=Sa 的同心度数推导公式:
nTR
Sa-R+arar(R+r) =n=360
2 r 180
星推方 一本礼,初丰数草
提分要旨2r=nX3 分层练透 180 训练点1弧长公式及应用
训练点3圆锥与其侧面展开图
1.[2021·参安月考]如图,AB是半圆的直径,AB= 4.若一个圆锥的母线长是它底面圆率径的3信,则它
2.B=30°,则BC的长为 的侧面展开图的圆心角是
LA=60,连接0C
A.180
B.90" 后 BOC=120. C.120
D.135
5.[2021·天水月考]如图,圆锥的母线长 D.
A.三
C..
OA为8底面圆的半径为4.若一只蚂 蚊在底面上点A处,在相对母线00 [学会总结]利用弧长公式进行计算的"三步骤" 第一步:从问题中找出公式所涉及三个量(弧长 的中点B处有一只小虫,蚂蚁要捉到小虫,需要爬
即AB的长
1、孤所对的固心角,半径)中的两个, 行的最短距离为 第二步:把已知的两个量代入弧长公式。
[1、孤所对的固心角,半径)中的两个, 行的最短距离为 第二步:把已知的两个量代入弧长公式。
第三步,求出公式中的未知量]

1.圆锥的母线与侧面展开后扇形的 对应.

2.侧面展开后扇形的弧长与圆锥 对应.

根据这两个对应关系列方程求解是解决这两者

转换问题的主要方法. 1.半径2.底面圆周长
第三步,求出公式中的未知量
训练点2扇形面积公式及其应用
[2.[2019·潍坊中考]将一个盛有 不足半杯水的圆柱形玻璃水杯 盖好盖子后放倒,水平放置在桌
面上,水杯的底面如图,已知水 杯内径(图中小圆的直径)是8cm.水的最大深度是 训练点4圆锥的侧面积与全面积 2cm,则杯底有水部分的面积是]12 cm


6.[2021·遵义月考]一个圆锥的侧面展开图形是半径
A.(1=-4v)cm B.(16=-8.1)cm2 为8cm.圆心角为120"的最形,则此圆锥的底而半
径为 c(-(/3)cm D.(-2、3)cm 16
A.cm B.cm C.3cm
3.[2021·薛月考]如图.AB是 O的直径,弦CD LAB,CDB=30.CD=2,则阴影部分图形的 7.[2021·青岛月考]一个几何体由圆锥和圆柱组成, 面积为重径定理模型
其尺寸如图。则该几何体的全面积(即表而积) 等于SaOCE .(结果保留=)不要算底面圆的面积哦! 为
等面积转移法 D.
A.4m
C.Tt
B.2元
[学会总结]求圆锥侧面积公式的选择
[[学会总结]求圆锥侧面积公式的选择
1.已知侧面展开启形的围心角n和母线R,一般用 Sx]

"":"1."
"[学会总结] 求阴影部分面积的常用方法":":所求图形是规则图形,如扇形、特殊四"

"":""
"[学会总结] 求阴影部分面积的常用方法":"边形等,可直接利用公式计算."

"":"3."
"[学会总结] 求阴影部分面积的常用方法":":无法直接求解或较麻烦时,可通过对"

"":""
"[学会总结] 求阴影部分面积的常用方法":"图形的平移、旋转、割补等手段,化不规则图形为"

"":""
"[学会总结] 求阴影部分面积的常用方法":"规则图形,再应用公式法或和差法求解."

"":""
"[学会总结] 求阴影部分面积的常用方法":"1.公式法2.和差法3.等积变换法"
1.已知侧面展开启形的围心角n和母线R,一般用 Sx
2.已知侧面展开扇形的弧长/和母线R.一般S。
[3.巴知圆锥底图图半径和母线1,一般用S。
第二十五章概率初步]8


25.1 随机事件与概率
同学教材 学习重点
知识1必然事件、不可能事件、随机事件注意:所有的事件都是在一定件下进行分类
1.事件的类型 的当条件改变时事件的类型也可能发生改变
[1.事件的类型 的当条件改变时事件的类型也可能发生改变
2.事件类型的判断 随机事件的发生与否事先是不能确定的]

确定 事件 必然事件 在一定条件下,必然会发生的事 件,称为必然事件 在一个只装有红球的布袋中 摸球,摸出红球

"事件类别":"不可能事件"
"定义":"在一定条件下,必然不会发生的 事件,称为不可能事件"
"举例":"在一个只装有红球的布袋中 摸球,摸出白球"

"事件类别":"随机事件"
"定义":"在一定条件下,可能发生也可能 不发生的事件,称为随机事件"
"举例":"在一个装有红球和白球的布 袋中摸球,摸出红球"
2.事件类型的判断 随机事件的发生与否事先是不能确定的
(1)描述已被确认的真理或客观存在的事实的事件是必然事件;
(2)述违背已被确定的直理或客观存在的事实的事件是不可能事件;
(3)随机事件的一个明显特征是试验的结果不确定.
3.事件发生的可能性的大小
首先要确定这个事件是什么事件,必然事件一定发生:不可能事件一定不会发生:随 机 件发生的可能性有大有小.不同的 随机事件发生的可能性的大小有可能相同.
知识2概率
1.概率的定义
(1)定义:一般地,对于一个随 事件A,我们把匆画其发生可能性大小的数值. 为 随机事件A发生的概率。
应用概率公式计算的前提:每次
(2)记法:记为P(A),事件一般用大写英文字母A,B.C,表示. 试验中,各种猛果出现的可能性
(3)意义:概率是随机事件发生的可能性大小的数值反映. 相等且可能出现的结果是有限个.
2.概率的求法
[一般地,如果在一次试验中,有,种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事 件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)= "不要把mn代表的意义理解反了
3.事件与概率的关系]率的关系 事件发生的可能性越来越小 概率的值 1 0 必然事件 不可能事件 事件发生的可能性越来越大 0≤P(A)


概率大,并不能说明事件一定发 生,只能说明发生的可能性大; 反之,杭率小并不能说明月事件 定不发生,只能说明发生的可能 性小
特别地,当A为必然事件时,P(A)=1:当A为不可能事件时,P(A)=0.
训练点1事件的类型
[学会总结]随机事件的概率的"三个不一定"
1.[2020·鹰潭中考]下列说法正确的是
1.概率大的事件,在一次试验中不一定
A.任意椰一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正 2.概率小的事件,在一次试验中不一定 面向上
3.有限次的试验,某个事件出现的次数与试验总次
B.天气预报说"明天的降水概率为40%",表示明天 数的比并不一定等于该事件的 有40%的时间都在降雨
1.发生2.不发生3.概率
C."篮球队员在罚球线上投篮一次,投中"为随机 事件
训练点4应用公式P(A) 求简单事件的概率
D."a是实数.lai≥>0"是不可能事件心然事件 5.[2020·湘西州中考]农历五月初五为端午节,端午 [学会总结]判断事件类型的"两步骤"
节吃粽子是中华民族的传统习俗.小明妈妈买了3
1.判断该事件发生与否是否确定:若不确定、期该 个红豆粽,2个碱水棕、5个腊肉棕,粽子除了内部馅 事件是
料不同外其他均相同.小明随意吃了一个,则吃到
2.若该事件发生与否已经确定,再看该事件是 5
肉粽的概率为 ,还是 3+2+5 4
2.必然发生 奶然不发生 54
[学会总结]应用P(A)= 求简单事件概率的 训练点27随机事件发生的可能性 54
"三步骤"
2.[2021-(徐州期]从一副扑克牌中任意抽取1张, 1.判断:事件所有可能出现的结果必须是 下列事件:①抽到"K" 抽到"黑桃" 抽到"大 54 的,各种结果出现的可能性必须 王"④抽到"黑色"其中.发生可能性最大的事件是
2.确定:事件发生的 的结果数 和事件A 54
A.① B. C.③ 的结果数m。
D.④
训练点3概率的意义
3.计算:入公式P(A) 计算.
3.[2021·衡阳月考]已知抛一枚质地均匀的硬币正
1.有限相等2.所有包含
面朝上的概率为一,下列说法错误的是 训练点5与面积有关的概率计算
A.连续抛一枚质地均匀的硬币2次,必有1次正面 6.[2021·盘锦月考]小明把如图所示的矩形纸板挂在 朝上→不一定
墙上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上),则飞
B.连续抛一枚质地均匀的硬币10次,都可能正面 落在阴影区域的概率是 朝上2有可能
等面积转移
C.大量反复抢一枚质地均匀的硬币,平均每100次
法,阴影面积 多次试验 出现正面朝上50次 B=SAAOB
D.通过抛一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比 赛规则是公平的一 识有两种结果且可能性相等 [学会总结]与面积有关的两种概率的解法
4.如图,任意转动正六边形转盘一次,当转盘停止转 1.转盘问题:指针指向各个区域的概率等于该区域 动时,指针指向大于3的数的概率是
而积与整个转盘面积的 2.投点问题:其特点是出现的情况有无限多个,每 4.5.6三种 种情况出现的可能性相同,可以将概率转换为面 情况 积的比。即求出事件包含区域与整个区域的 1.比2.直积之比 1 D.÷
用列举法求概率 25.2 同学教材 学习重点
知识用列举法求概率
1.用列举法求概率的条件
(1)在一次试验中,可能出现的结果只有有限个, (2)在一次试验中,各种结果出现的可能性大小相等
多数是涉及两步发生的概率问题
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所 有可能的结果,通常采用列表法求事件发生的概率。
爱清楚所关注的后果是多滥清楚机会均等的结果是多少
3.树状图法
当一次试验要 及3个或更多的固素时,列表就不方使了,为不重不面地列出所有 可能的结果,通常采用树状图法求事件发生的概率。
4.常用方法的选择
(1)列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式,以及某 事件包含的各种情况出现的次数和方式,并求出该事件概率的方法。
(2>利用树状 可将试验结果像树枝分又一样一层一层表示出来.每个分支对应一 种可能结果.这样由"根"到"树梢"能帮助我们有序地思考,不重复,不遗漏地得出 所有结果,
分层练透 提分要旨
训练点2用列表法求事件的概率 训练点1用直接列举法求事件的概率
3.[2021·广汉月考]学校新开设了航模、彩绘、配塑三
1.[2019·株洲中考]从一5.,6,-1,0.2#这
个社团,如果征征,舟舟两名同学每人随机选择参加 其中一个社团,那么征征和舟舟选到同一社团的概 七个数中随机抽取一个数,恰好为负整数的概率为 率是
A.号
A号
B.2
2.从一2,1.3这三个数中任取两个不同的数,作为点 [学会总结]列表求概率的"三步骤"
注意点的坐标是有顺序的 因素· 的坐标.
1.列表:分清一次试验中断涉及的 (1)写出该点所有可能的坐标。
一个为行标,另一个为列标。
(2)求该点在第一象限的概率


总数
2.计数:通过表格的数据,分别求出 横从坐标间为正。 时,和
.计算求出结果。
3.计算:代入公式P(A)=
1.两个,2,等可能的结果事件包含的结果
[学会总结]用列举法求事件概率的"三步骤"
1.求出该试验所包舍的所有结果数n, 2.求出该事件所包含的结果数m。
3.利用公式P(A)= .求得答案。
训练点3用画树状图法求事件的概率
4.[202]·连云港月考]汤姆斯杯世界男子羽毛球团体 赛小组寨比赛规则:两队之间进行五局比赛,其中三
局单打.两局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三 局及以上的队获胜.假如甲、乙两队每局获胜的机会 相同.
(1)若前四局双方战成212.那么甲队最终获胜的 概率是
(2)现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先,那 么甲队最终获胜的概率是多少?
余下眉至少胜一局
第三局获胜
第四局获胜
第王局获肚甲乙甲乙甲乙甲乙 [学会总结]用画树状图法求概率的"四步骤"
1.定;确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产 生的结果.
2.画:列举每一环节可能产生的结果,得到
3.数:数出全部均等的结果数 和该事件出
现的结果数
4.算:代入公式P(A)=
2.树状图3.n
5.[2021·推坊模叔]如图所示,有一个可以自由转动
训练点4概率的应用
的转盘,其盘面分为4等份,每一等份分别标有对应 6.[2021·凉山月考]6月14日是"世界献血日",某市 的数字2.3.4.5.小明打算自由转动转盘10次,现已 采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要 经转动了8次。
[对献血者的血型进行检测.检测结果有"A型""B 型""AB型"O型"4种类型.在献血者人群中,随机 抽取了部分献血者的血型结果进行统计,并根据这
个统计结果制作了两幅不完整的图表:AB型5人10% 血型 A B AB 0 每一次停止后,小明将指针所指数字记录如下 人数 10 5]2 3 前8次数字的和 5 4 8


(2)小明继续自由转动转盘2次,判断是否可能发生 (1)这次随机抽取的献血者人数为 人. "这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3.且不
不带百分号 大于3.5"的结果?若有可能,计算发生此结果的概 (2)补全上表中的数据 率,并写出计算过程:若不可能,说明理由.(指针指 (3)若这次活动中该市有3000人义务献血,请你根 向盘面等分线时为无效转次)
据抽样结果回答:从献血者人群中任抽取一人,其血
由10次指针所指数字之和不小 于33且不大于35得后两次的所 指数字之和不小于5且不大于7.
型是A型的概率是多少?并估计这3000人中大约 有多少人是A型血?样本的概率
[型是A型的概率是多少?并估计这3000人中大约 有多少人是A型血?样本的概率
25.3 用频率估计概率]

 10 数为5÷10%=50(人),所以m X100=20. 50

 故答案为50.20.

 这3000人中大约有720人是A型血
25.3 用频率估计概率
同学教材 学习重点
知识1用频率估计概率
1.频率的稳定性
对一般的随机事件.在做大量重复试验时,随着试验次数的增加。一个事件出现的 率,总在一个固定数的附近摆动,显示出一定的稳定性.
2.用频率估计概率
前提条件
一般地,在大量重复试验中,随着试验次数的增加,事件A发生的率 会稳定于某 个常数p、我们称事件A发生的概率为p.
3.频率和概率的区别和联系
[3.频率和概率的区别和联系
利用频率估计概率 时,不能以某一次试 验的结果作为概率 试验的次数越多, 用频幸估计概率就 越难确,因比要用大 量重夏试验后的频 率的稳定值来估计 概率]

"内容 关系":"区别"
"不确定值 频率":"试验值或使用时的统计值"
"概率 确定值":"理论值"

与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关

与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点 无关

联系 试验次数越多,频率越趋向于概率
利用频率估计概率 时,不能以某一次试 验的结果作为概率 试验的次数越多, 用频幸估计概率就 越难确,因比要用大 量重夏试验后的频 率的稳定值来估计 概率
知识2评判游戏的公平性
教率不一定等于机率
1.评判原则
游或双方获胜的概率如果相等.则说明  公平的、杏 说明游戏不公平。
2.游戏规则修改
对于任何一个游戏.修改它的规则方法不一定是唯一的,但最基本的是应通过计算。 使概率的值朝着相等的方向修改。
知识3概率的应用
1.用概率分析事件发生的可能性
概率在日常生活和科技方面有着广泛的应用.如福利彩票、体育彩票、有奖促销等, 事件发生的可能性越大,概率就越大.
2.用概率设计游戏方案
在设计游戏规厕时应注意设计的方案要使双方获胜的 *相等,同时设计的方案要 有科学性、实用性和可操作性等,
天气预报也是 用到了概率知 识的
训练点1用频率估计概率
1.一个不透明的盒子里有w个除颜色不同外其他完 全相同的小球,其中有9个黄球.每次摸球前先将盘 子里的球摇匀,任意模出1个球记下颜色后再放回 盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的 频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数为
9个点30%
A.20 B.24 C.28 D.30
[2.[2019·五林中考]某小组做"用率估计概率"的 试验时,绘出的某一结果出现的率折线图.则符合 这一结果的试验可能是
A.抛一枚硬币,出现正面朝上 概率为05 B挪一个正六面体的假子,出现3点朝上率为]频率 0.4 0.3 0.2 0.1 100 200 300 次数


C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽 张 牌的花色是红桃花率为0.25
D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取
球,取到的是黑球标率为
3.[2021·武汉月考]某校篮球队进行篮球投篮训练。 下表是某队员投篮的统计结果:
[3.[2021·武汉月考]某校篮球队进行篮球投篮训练。 下表是某队员投篮的统计结果:
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是]
投篮次 数/次	10	50	100	150	200	500
命中次 数/次	9	40	70	108	144	360
命中率	0.9	0.8	0.7	0.72	0.72	0.72
根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是
0.72在次数较多情况下较稳密
A.0.9 B.0.8 Co.7 D.0.72
[学会总结]用频率估计概率的"三步骤"
1.判断:先判断某个试验的结果不是 的, 2.试验:大量重复试验直至某事件发生的频率在
附近摆动。
3.估计:用上述稳定数值估计该试验的 1.确定2.某一数值2.概事
训练点2用频率估计概率的应用
4.[2021·廊坊月考]为了估计暗箱里白球的数量(箱
提分要旨女不保持总数不变
内只有白球),将5个红球放进去.随机摸出1个球. 记下颜色后放回,搅匀后再摸出1个球·记下颜色后 放回,多次重复后发现红球出现的频率约为0.2.那 么可以估计暗箱里白球的数量为 个
5.一个池塘放养了800尾草鱼和若于鲤鱼、随鱼,王军 过多次捕捞试验发现,鲤鱼、能鱼出现的额率分别 是36%,14%,则这个池塘中三种鱼总共约有
尾.800÷(1-36%-14%.)
[尾.800÷(1-36%-14%.)
训练点3概率的应用]

1.准确计算出部分事件出现的

2.确定合理的估计方法,得到事件的概率.

3.由概率的意义求解. 1.频率
训练点3概率的应用
6.在"植树节"期间,小王、小李两人想通过摸球的方式 来决定谁去参加学校植树活动,规则如下,在两个盒 子内分别装人标有数字1.2.3.4的四个完全相同的 小球和标有数字1.2.3的三个完全相同的小球,分 别从两个盒子中各摸出一个球,如果所摸出的球上 的数字之和小于6.那么小王去,否则就是小李去.
(1)用树状图或列表法求出小王去的概率。
(2)小李说:"这种规则不公平。"你认同他的说法吗?
和1234
请说明理由,判群城来是否甜等即可 2345
[关注过程]解:(1)树状图. 23456 34567
由上图可知,一共有12种等可能的结果,其中 摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种, 二P(小王)
(2)我认同小李的说法,理由如下:
P(小王) .P(小李)一,31
二这种规则不公牛
[学会总结]使不公平的游戏变公平的方法
1.修改规则,使二者获胜的概率
2.继续使用原规则。但赋予每次获胜的分数。使二 者最终得分
2.相贤
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
同学教材 学习重点
知识1反比例函数的有关概念
自变量的指数为-1, 要满足
1.反比例函数的定义
比例乐数≠0.
般地,形如= (正为需数≠0)的函数,叫做反比例函数。其中,是自变量y 是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2.反比例函数y= 需注意以下几点 ty= 的比例承数不能说成3.应该变形为=。
所以比例乐数为了
(1)为需数读≠0.
(2)自变量的取值范围:ERHx≠0.
(3)函数x的取值范围:vER且y≠0
3.常见解析式的形式
(1)A (为需数,≠0),
这种形式常考查
(2)v=kr(五为常数=0)
(3)ry=k(k为需数,上≠0), 比例添数k决定围家所在的象限和增减性。
知识2反比例函数的图象和性质
1.反比例函数y= 一(上为常数,≠0)的图象是双曲线,其图象和性质如下表:
[1.反比例函数y= 一(上为常数,≠0)的图象是双曲线,其图象和性质如下表:
在描述反比例函数 的性质时,"在每一个 象限内"不可丢掉因为 当k>0(或k<0)时,整个 函数井非y随x的增 大而减小(或增大)只 是在图家所在的每一 个象限内,才是明有x的 增大而减小(或增大)]

"k的符号":"图象"
"k>0":""
"k<0":""

"k的符号":"图象位置"
"k>0":"图象分别位于第一、第三象限"
"k<0":"图象分别位于在第二、第四象限"

"k的符号":"增减性"
"k>0":"在每一个象限内,y随 的增大 而减小"
"k<0":"在每一个象限内,y随x的增大 而增大"

图象特征 (1)图象是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线. (2)图象是关于原点对称的双曲线. (3)图象无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交
在描述反比例函数 的性质时,"在每一个 象限内"不可丢掉因为 当k>0(或k<0)时,整个 函数井非y随x的增 大而减小(或增大)只 是在图家所在的每一 个象限内,才是明有x的 增大而减小(或增大)


2.比例系数人的几何意义
[(1)过双曲线上任意一点P(r.y)分别作轴、y轴的垂线
PM.PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=1y|· x=zyi=kl.]P N M x


(2)如图,连接PO.MN,则△PMO.△MON.△PMN和
△PNO的面积都相等,均为 可以是正数也可以是页数所以表示面积时要绝色对通
知识3反比例函数解析式的确定
1.用待定系数法求反比例函数的解析式
(k≠0)中,只有一个待定系数b.因此只需给出一组=y的对应 反比例函数y=
值或图象上一点的坐标,代入解析式中求出k的值,即可确定反比例函数的解析式.
2.步骤
(表≠0), (1)设:设所求的反比例函数的解析式为y"
(2)代:将已知条件中对应x.y的值代人y= 一中,从而得到关于 的方程.
(3)解,解关于的方程.求出的值.
(4)定:将k的值代人y= -中,得到函数解析式
分层练透 提分要旨
调练点1反比例函数的概念
[关注过程]解:(1)y,与√成正比例+y:
1.下列解析式中,y是x的反比例函数的有 与r成反比例。 (填序号) 正比倒幽数
设y一v y
注意比例系数 一次函数 "y=y二y ay-102
不能都没成肥 y.在 看作是不等于0的常数 y:y=
"备x=】时,ym-14.当x=4时,y=3. 应限刺≠0
法,一k=-14, [学会总结]理解反比例函数的"三关键
24一-3
1.形式;y=一成 成y=kx
二与之间的面数关系式为y-2/-16
2.条件:
3.实质:自变量x的指数为
(2)自变量工的取值范国是x>0.
1.zv=424≠03.-1
训练点2待定系数法反比例函数解析式二、 (3)= -163=-255
在同一象限内
2.[2021·伊草月考]已知y3-y2与成正 训练点3反比例函数的图象和性质 比例,与x成反比例,且当x=1时.=-14, 3.[2019·连云港中考]已知A(-4,y).B(-1,y) y=R2
当x=4时.y=3.求:
是反比例函数y=一图象上的两个点,则y与 x2
(1)y与x之间的函数关系式。
k<O (2)自变量x的取值范围
y:的大小关系为 代入y=y,号,构造关于,4.[2021·热河模权]如图所示,正比例函数y:一
(3)当x=时,的值。
[良的二元一次方程组
训练点5反比例函数的系数 的几何意义 7.如图,过反比例函数y一-(s>0)图象上任意两点](k1≠0)的图象与反比例函数y2=-(k2≠0)的图 象相交于A,B两点,其中A的横坐标为2,当y1> y2时,x的取值范围是 A、B关于O对 称,B的横 坐标是-2. 02 B A.x<-2或x>2 B.x<-2或0<x<2 C.-2<x<0或0<x<2 D.-2<x<0或x>2 过二、四象限 训练点4函数图象和性质的综合 5.[2021·秦皇岛模拟]已知k1<0<k2,则函数y= k1 一和y=k2x-1的图象大致是 x 过一、三、四 象限 x -1 B A 1 x 0 -1 D 6.一次函数y=ax+b和反比例函数y=一在同一个 平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数 y=ax2+bx+c的图象可能是 a<O,C<O,排 除C2D; a<0,b>0,对 称轴在y轴 右侧,排除B. x B A 0 D C


[A.B分别作x轴的垂线,垂足分别为C.D.连接 OA.OB.设AC与OB的交点为E.△AOE与梯形 ECDB的面积分别为S,.S,.比较它们的大小,可得
[学会总结]系数k的几何意义]A B E B.S=S2 A.S1>S2 D.大小关系不能确定 C.S1<S2 8.如图,已知反比例函数y=一的图象经过点A(4, m),AB x轴,且△AOB的面积为2. k=4. B (1)求k和m的值. (2)若点C(x,y)也在反比例函数y=一的图象上, 当-3≤x≤-1时,求函数值y的取值范围. [关注过程]解:(1) 反比例函数y=一的图 象经过点A(4,m),AB x轴于点B, AOB 横、纵坐 的面积为2, 标乘积等 2  AB=m=1, A(4,1),..k 即k=4,m=1. (2)由(1)知,反比例函数为y=一, 判断函数的增减性是关键  k=4>0,  当-3≤x≤-1时,y随x的增加而减少. 点C(x,y)也在反比例函数y=一的图象上,  当x=-3时,y取最大值,y=一 当x=-1时,y取最小值,y=-4. y的取值范围为-4≤y


过反比例面数图象上的任意一点P作 轴、轴 的书线,则可得:
《1)两条垂线与=轴、轴国成的矩形的面积等
(2)所作垂线,(或y精)与线役OP图成的 三角形的面积等于
反之亦成立,常应用该几何意义来确定反比例 数的析式或进行相应面积的计算、比较等。
()
训练点6反比例函数的综合应用 R>0
9.如图.直线y=x+2与反比例函数y=一 的图象在第
一象限交手点P.若OP=10.则的值为
设P(mm+2)
T+2
则Op= m+(m+2) =J10.求出p坐标
10.[2021·六合月考]如图,在平而直角坐标系中, 次函数y-Lz+6的图象分别交:轴、轴于A,B
两点·与反比例函数y= 一的图象交于C.D两点, DELr轴于点E.已知C点的坐标是(6.一1)。 DE-3.
DE·EO=6.
-1X6=m E(-2.0)
(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)求△CDE的面积。
SecE=S+S要出A点的不坐标
11.如图,一次函数y=kr+b的图 象与反比例函数y="的图象交
于点A(一3.+8),B(w.一6)
两点。
(1)求一次两数与反比例函数的解析式。 m+8=m
(2)求△AOB的面积。
如图:S=Sac+Sa 或Sao=SM+Sa
[学会总结]根据点的坐标求反比例函数解析式 的"四步骤"
1.确定坐标:根据题意求出反比例函数图象上某一 点的皇标。
2设解析式:设出反比测函数的解析式
集代入求表:把点的尘代入到 中.求出 的侠。
4.确定解析式写出答案,z=一()3.函数解析式
26.2 实际问题与反比例函数 实际问题中画函数图桌
时要注意自变量的取
同学教材 学习重点
值图客可能是双曲线
知识用反比例函数解决实际问题 陨程一定时间到速度成反比 的一支、段或一刻点
路程
工作量
(1)行程类问题:速度 .(2)工程类问题:工作效率
时间
工作时间 压力
(3)面积类问题,几何图形的面积问题,(4)压强类问题,压强 受力面积"
电压
跨学科裸合题
(5)电学类问题:电阻
跨学科综合题 分层练透 提分要旨
电流
训练点1反比例函数在实际生活中的应用 [学会总结]用函数观点解实际问题的"三注意"
1.[2021·可水检]家用电灭蚊器的发热部分使用 1.要理清题目中的量与变及其基本数量关系。 了PTC发热材料.它的电阻R(k)随温度T(℃) 将实问题抽象庆数学问题,建立 (在一定范围内)变化的大致图象如图所示,通电后。 2.要分清自交量和菌数值。以便写出正确的函数解析
发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程 式,结合问题的实际意义,确定自变量的 中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到30℃ 3.要熟练掌提反比例函数的意义,图象和性质,特 时,电阻下降到最小值.随后电阻随温度的升高面 别是图象,要做到数形结合。这样有利干分析和 增加,温度每上升1℃.电阻增加一k
解决问题。
[1.数学模型2,值范围
训练点2反比例函数在其他学科中的应用]R(k ) 6 直线,一次函数 10 30


3.[202]·天桥区月考]一块蓄电的电压为定值,使 用此蓄电池为电源时,电流1(A)与电阻R(Q)之 间的函数关系如图所示,若以此蓄电池为电源的 用电器限制电流不得超过10A,则此用电器的可
(1)求当10≤T≤30时.R和T之间的函数解析式 变电限应
[(2)求当温度为30℃时,电阻R的值、井求出当
T≥30时,R和T之间的函数解析式,反比例]U=6x8=48 I≤10 6 R≥4.8 8 A.不小于4.8 B.不大于4.8 C.不小于14 D.不大于14


(3)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围 内时,发热材料的电阻不超过6kQ?
代入直碱解析式
即可求出上限
[学会总结]用反比例函数解决实际问题的步骤
2.[2021·杭州月考]已知一艘轮船上装有100吨货 1.审清题意,出间题中的常量,量(有时量, 物,轮船到达目的地后开始卸货,设平均卸货速度为 量以图象的形式给出),并且理清常量与交量 v(单位:吨/小时).卸完这批货物所需的时间为! 之间的关系.
(单位:小时)。
2.性据常量与变量之间的关系,设由
(1)求 关于/的前数解析式.
3.利用 确定菌数解析式,并注意自变量的 (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么 取值荒围, 平均每小时至少要卸货多少吨?
4.利用反比例函数的图象与性质解决实际问题。
2反比供函数解析式3.特定系数法
第二十七章相 似
27.1 图形的相似
同学教材 学习重点
知识1相似图形
1.相似图形
(1)可认为其中一个图形是由另一个图形放大或缩小得到的.
(2)相似图形与两个图形的大小、位置无关
对应执点
2.相似多边形及其有关性质
(1)定义:两个边数相同的多边形、如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多 对应前 边形叫做相似多边形。
(2)相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比.
对应边
(3)相似多边形的性质,相似多边形的对应角相等,对应边成比例
知识2线段成比例
1.比例线段
对于四条线段a.b..d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的 国杀设abd减比例那号品 比相等。如" =-(即ad=bx),我们就说这四条线段成比例。
或a:b=cd.不能写成=就是
2.比例中项
说四条碱段成比例时,要得四条线 即6=ar,那么就把6叫做a的比例中项。
段强顺序列出
知识3比例的性质
ac 若ad=bc(bd≠0)则 bd
1.基本性质:如果=-、那么ad-b.
2.合比性质:如果一
所有比的前项之和地上所有
3.等比性质:若(b+d-…* ≠0),则" 记的后项之和等于其中任何一
分层练透 提分要旨
训练点1相似图形
2.如图的各组图形中,相似的是
1.[2021·衡水质检]在下面的图形中.形状相似的一
组是
[边数不一样
圈形不]2.如图的谷组图形中·相可以的走 正六边形和一般六边形 正方形 图2 图1 2 4 2 60° 60° 3 1.5 菱形 梯形 图3 图4 A.图1、图2、图3 B.图2、图3、图4 C.图1、图3、图4 D.图1、图2、图4


图形不一样
6.[202]·或都模拟3重形的两边长分别为x和6(x< 【学会总结】判断相似图形的"三注意"
6).把它按如图的方式分割成三个全等的小矩形, 1.相似图形一定要 网,与它的位置、脏
每一个小矩形与原矩形相似,则x= 色,大小无关(其大小可能一样,也可能不一样。 只分析边对应成 当形状与大小都一样时,两个图形就是全等形。 比例即可都是 所以全等形是一种特殊的 90°角可省略 2.相似图形不仅仅些平面图形,也包括立体图形的 7.[2021·河北月考]在研究相似问题时,甲、乙同学 情况,如飞机和飞机模型也是相位图形。 的观点如下:
3.两个图形相型,其中一个图形可以看成由另一个 图形 得到的,而把一个图形的部分拉长 甲:将边长为3.4.5的三角 或加宽得到的图形和原图那不是相似围形。 形按图1的方式向外扩张。
1形状相似围形3.放大或缩小 得到新三角形,它们的对应 图1 训练点2成比例线段设x=2ky=3起z=5k代入 边间距均为1.则新三角形与
原三角形相似。
3.则
乙:将邻边为3和5的矩形按
4.[2021+赤水模拟]在一张比例尺为1=20000的地 图2的方式向外扩张,得到 图上.量得A与B两地的距离是5cm.则A.B两 新矩形,它们的对应边间距
m.注意单位统一 地实际距离为
图艺 均为1.则新距形与原矩形不 [学会总结]判断成比例线段的"三步骤"
相似, 将四条线段的 对于两人的观点,下列说法正确的是
大小排序 持西条线段按照由长到短或由短到长排序 A.两人都对 B.两人都不对
方法一:黑两个的比是否等于_ C.甲对.乙不对 D.甲不对.乙对 的比; 计算判断 方法二:前后两个的积是否等于. 的积
[学会总结]相似图形的判定及性质 单位统一后离个中间两个
1.判断两个图形亚否相似,应从两方面进行考虑:
训练点3相似多边形的性质及判定
一是看对应角是否相等,二是看对应边的比是否 5.小明家有一个矩形相框,其宽为10cm.长为20cm。
相等,二者缺一不可. 小明想做一个与该相柜形状完全相同的相框,但他
2.相似比是对应线现的比值。与之有关的计算常应 手中只有一根可作为一边的30cm长的框料,那么
用方性的思想。
小明还要准备的框料的长度为
没有明确30cm是长还是宽须分类订记
27.2 相似三角形
类比全等三角刊的定 义、性质理解忆
学习重点[ 判定:三个角分别相等三条边成 同学教材 比例到的两个三角开相似 知识1相似三角形判定 相似三角开 性质:相似三角秒的对应用
1.相似三角形
相等对应边成地例
(1)定义:在△ABC和△A'B'C'中,如果 A=ZA'、 B= B'.C= C 'A'B'
用来求角的关系碱段的关系 BCAC 一上,即三个角分别相等,三条边成比例,我们就说△ABC B'C"AC
△A'B'C'相似.
(2)记法:相似用符号" "表示,读作"相似于"△ABC与△A"'B'C'相似记作 "△ABC△A'BC 对应点要马在对应的位置上呦!
(3)相似比:AABC与△A"BC"的相似比为、△A"BC"与△ABC的相似比为一
2.确定相似三角形的对应角、对应边的方法
一股地.在两个相似三角形中,最大(小)角与最大(小)角对京, 长(每)边与最长 (短)边对应。
知识2平行线分线段成比例的基本事实
大小 对来现,
1.平行线分线段成比例的基本事实
"大小"
如图./1、/1.直线/被所截
对边来说,长超
长短
三杀直碱一定要平行
(1)对应线段是指三条平行线所截得的线段,如AB与DE是对应线段,BC与EF
是对应线段.AC与DF是对应线段。
(2)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线股成比例,对应线段要马在对应的位置上
AB DE AB DE BC EF 如图./、#,则有 BCEF'AC DF'AC DF
[2.平行线分线段成比例基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 对应线成比例ADAE AD AE BDCE]"A"字型 A E "X"型(18"字型) D B B 图1 图2


如图1.图2.DE/BC "BD CE'AB AC'AB AC
塑推荐 一本涂料机中数学
知识3利用平行线判定两个三角形相似的定理及思路
1.判定两个三角形相似的定理
[1.判定两个三角形相似的定理
2.判定三角形相似的思路]

"定理":"判定定 理1"
"定义":"平行于三角形一 边的直线和其他 两边相交,所构成 的三角形与原三 角形相似"
"举例":"如图1,若DE// BC,则△ADE △ABC,我们称图1为 "A型",如图2.若直线ED交在AB.AC的反向延长线 上,且ED//BC,则△ADES△ABC,我们称图2为 "X"型 图1 图2"
"":"可简记为 0预备定理:平行截碱 日三边型:三边对应成 地例 ③两边及夹角型:两边又 应成地例且夹角相等 @两角型:两祖角相等 切记为夹角!"

判定定 理2 三边成比例的两 个三角形相似 如图,在△ABC和△A'B'C'中, AB BC AC 若 ,则△ABCS "A'B BC AC' △A'B'C'

判定定 理3 两边成比例且夹 角相等的两个三 角形相似 如图,在△ABC和△A'B'C'中, AB AC 若 AB AC且ZA=ZA'. 则△ABC  A'B'C'

判定定 理4 两角分别相等的 两个三角形相似 如图,在△ABC和△A'B'C'中,若 A=ZA',ZB ZB',则△ABC △A'B'C'
2.判定三角形相似的思路
(1)有平行截线 用判定定理1
另一对等角
(2)有一对等角 找 夹边成比例
夹角相等
(3)有两边对应成比例 找 第三边也成比例
一对锐角相等
我两组直角边的比相等
(4)直角三角形
斜边与直角边成比例 顶角相等
(5)等腰三角形-找一对底角相等
底和一想的比相等
知识4相似三角形的性质
1,相似三角形对应痛的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
2.相似三角形对应线段的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
知识5相似三角形应用举例
利用相似三角开的
利用三角形相似,可以解决一些测量问题,具体方法如下:
[利用三角形相似,可以解决一些测量问题,具体方法如下:
性质来解决问题的]

"方法":"利用阳光下 的影子测量同一时刻物 高度(如测量 旗杆AB的 高度)"
"原理":"高与影长成 比例"
"操作图":""
"操作说明":"(1)测量参照物(人) 的高度及参照物 (人)的影长; (2)测量被测物体即AB (旗杆)的影长"
"列相关计算式":"AB DF 如图 BC FE DF BC FE"
"核心是构运木":"三角形 "A字型 型式"8字型"

利用标杆测 构造相似三 量高度(如测角形,把被 量古塔PO测物体分成 的高度) 两部分求解  (1)人眼、标杆顶端 和被测物体(古塔) 的顶端三点要共线 即人眼恰好看不见 被测物体(古塔) (2)测量人眼距地面 的高度、标杆高、人 与古塔之间的距离 及人与标杆之间的 距离 PB BD 如图 FGGD BD 即PB FG, PO=PB+AD

利用镜子的 反射测量高 度(如测量旗 杆AB的高 度) 根据反射角 等于人射角 构造相似 角形  (1)人来回移动,直 至能在镜子(点C) 中看到旗杆的顶端; (2)测量人眼到地面 的高度、人到镜子的 距离和旗杆底端到 镜子的距离 AB DE 如图 BC EC DE 即AB: BC EC

求不易直接 测量的宽度 (如测河宽) 构造相似 角形将未知 长度用已知 长度表示  保证A,B,C三点 与A,E,D三点分 别共线,要测量 BC,BE,CD的 长度 BE AB 如图, CD AB+BC BE·BC 即AB CD-BE

 保证A,O,C三点 与B,O,D三点分 别共线,要测量 BO,DC,DO的 长度 AB_BO 如图 'CD DO BO 即AB: CD DO
性质来解决问题的
训练点!平行线分线段成比例的基本事实及其 推论
[1.[2021·六安月考]如图.已知AB/CD/EF.它们 依次交直线,,于点A.D.F和点B.C.E,如果 AD-6.DF=3.BC-5.求BE的长。
[学会总结]]BC AD B A CE DF C D 上 下 E F BE=BC+CE


平行线分线段成比例的基本事实,重点培养"对 应"思想:
(1)两条被载线上,夹在相同两条平行线间的线
段是
(2)对应线段成比例的应用方式: 一一
【等号的左、右商边各
在一条直线上)
一禁一盒一等
【等号的左、右两边各 在两条直线上)。
[(1)对应线段 调练点2相似三角形的判定及性质
提分要旨]D C 2.如图,平行四边形ABCD中,F 是边AB上的点,DF交AC于 E 2 AE B F A ,那 点E,如果CD=10, 5 EC 么BF的长是 AF 2 B.5 A.4 AF=4 DC D.8 C.6 BF=AB-AF=10-4=6


[提分要旨
训练点3运用三边成比例证明两三角形相似]

的方法

2.利用相似三角形的性质,得出 解决有

关问题. 2.比例式
训练点3运用三边成比例证明两三角形相似
[3.[2021·珲春月考]如图所示,已知网格中每个小正 方形的边长均为1、△ABC和△DEF的顶点都在 方格纸的格点上,判断△ABC和ADEF是否相似 井说明理山.
训练点4运用两边成比例且夹角相等证明两三角 形相似 4.[202]·诸城模扣]在△ABC中,AB=9.AC=6.点 M在边AB上,且AM=3.点N在AC边上.当AN 时.△AMN与原三角形相似。]E D B


[3.[2021·珲春月考]如图所示,已知网格中每个小正 方形的边长均为1、△ABC和△DEF的顶点都在 方格纸的格点上,判断△ABC和ADEF是否相似 井说明理山.
训练点4运用两边成比例且夹角相等证明两三角 形相似 4.[202]·诸城模扣]在△ABC中,AB=9.AC=6.点 M在边AB上,且AM=3.点N在AC边上.当AN 时.△AMN与原三角形相似。]利用三边对应成比例判断三角形相 [学会总结] 似的"三步骤" 排序 将三角形的边按大小顺序排列 计算 分别计算它们 通过比值判断两个三角形是否相似 判断 对应边的比值


[分两种情况; OLAMN=4B AMN=4C 219
8.如图,Ri△ABC中. C=90°,AB=14.AC=7。 D是BC上一点、BD=8.DE1AB.垂足为E.求线 段DE:的长,Rt△DEBRt△ACB]5.[2021·泰安月考]如图所示,已知BD,CE为 [学会总结] ABC的高.求证:△ADE △ABC. 1.平行线型  DE//BC. ADE ABC. E  A= A, 公共角 B D C E [关注过程] B 证明: BD,CE是 ABC的两 B 条高, 2.相交线型(四种图形)   AEC= ADB=90°. 如图1和图2,已知 1= B,则由公共角 A 得,△ADE △ABC.  △ACE △ABD, 如图3,已知 1= B,则由公共角 A得, AE AC 两三角形相似, AD AB △ACD △ABC. 对应边成比例 AE AD 如图4,已知 B= D,则由对顶角 1= 2 AC AB 得,△ABC △ADE. AE AD 在△ADE与△ABC中 A AC AB E  △ADE △ABC. C 二次相似法,利用上一步结论 E B [学会总结]利用两边及夹角判定两个三角形相 图1 图2 似的"三注意" 1.当两个三角形有公共角或对顶角时常采用这种 E D D 方法. B B 2.角:相等的角必是两组对应边的夹角. 图3 图4 3.边:夹角的两边要注意对应,即长边与长边对应、 3.旋转型 短边与短边对应. 如图,已知 BAD= CAE, B= D, 训练点5运用两角分别相等判定两个三角形相似 则△ADE △ABC. 6.[2021·滇池月考]如图所示,在直角梯形ABCD 中,AD//BC, C=90°,AB=AD,连接BD,AE  D BD,求证:△ABE DBC.  AEB=90°= C B  ADE= DBC 训练点6 直角三角形相似的判定 E 7.[2021·襄阳月考]如图,两个大小不同的三角板放 B 在同一平面内,直角顶点重合于点C,点D在AB 上, BAC= DEC=30°,AC与DE交于点F,连 CF 接AE,若BD=1.AD=5.则 EF EC _AC CD BC E  ACE= BCD→  在△BDC中,过 点D作DG BC,救  ACE BCD DC AE=3. 出CD长,再求 B AE 的值 20


[8.如图,Ri△ABC中. C=90°,AB=14.AC=7。 D是BC上一点、BD=8.DE1AB.垂足为E.求线 段DE:的长,Rt△DEBRt△ACB
[学会总结] 判定两个直角三角形相似的"三方法"
1.		的两个直角三角形相似.
2.		的两个直角三角形相似.
	1.有一个锐角相等	2.两组直角边成比例 3.斜边和一条直角边成
比例]D A E B


[8.如图,Ri△ABC中. C=90°,AB=14.AC=7。 D是BC上一点、BD=8.DE1AB.垂足为E.求线 段DE:的长,Rt△DEBRt△ACB
9.[2021·绥化月考]两个相似三角形的最短边分别 为5cm和3cm,它们的周长之差为12cm.那么大 三角形的周长为5份-3份=/2]

1.  的两个直角三角形相似.

2.  的两个直角三角形相似.

 1.有一个锐角相等 2.两组直角边成比例 3.斜边和一条直角边成

比例
9.[2021·绥化月考]两个相似三角形的最短边分别 为5cm和3cm,它们的周长之差为12cm.那么大 三角形的周长为5份-3份=/2
A.11cm
B.16cm
C.18cm
D.30cm
10.如图,在锐角三角形ABC中.点
D.E分别在边AC.AB上,AG1
BC于点G、AFIDE于点F、 ZEAF-ZGAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=3,AB=5求的值
训练点7相似三角形对应线段及周长的比
[学会总结]
1.判定两个三角形性似时,应注意利用图形中已有 的公共角,公共、对顶角等隐含条件。以充分发 基木围形的作用
2.求解线段的比或者线段长度问题,或拓宽解题恩 路。可考虑利用相聚三角形的性质。所以掌握相似三 角形对应线段的比等于相仪比是解题的关键。
训练点8相似三角形面积的比
[11.[2021-泸州其考]如图,在平行四边形ABCD中。 E是CD上的一点,DE:EC=2:3.连接AE. BE.BD.且AE.BD交于点F,则S1Sm 我
(2)若四边形BDFE的面积为6.求 ABD的 面积,我二者的面积记]E S S4 A B B.4:9:25 A.2:2:25 ANIDE C.2:3:5 D.4:10:25 12.如图,在△ABC中,DE//BC,过点A作AM BC ,则 于M,交DE于N,若S AN:NM的值是 N D E C B M B.3:2 A.4:9 D.2:1 C.9:4 13.[2021·西安模拟]如图,在△ABC中,BC>AC, 点D在BC上,且DC=AC, ACB的平分线CF 交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF. 等腰三角形 A 三线合一. E F B C D (1)求证:EF//BC.EF是中位线


[(2)若四边形BDFE的面积为6.求 ABD的 面积,我二者的面积记
训练点9借助标杆、反光镜等测量物体的高度]

(1)两个三角形相似 一运用"相似三角形面积

的比等于相似比的

(2)两个三角形不相似 运用"同(等)底时,面

积的比等于 2.(1)平方(2)对应高的比
训练点9借助标杆、反光镜等测量物体的高度
14.2019·临沂中考]如图,利用标杆BE测量建筑物 的高度.已知标杆BE高1.2m. 得AB=1.6m。
BC=12.4m.则建筑物CD的高是 AC
EB AB
A.9.3 m
B.10.5m
C.12.4m
D.14m
[D.14m
训练点10构造平行截线型的相似三角形测量物 体的长度]

方法

1.在同一时刻,同一地点,物体的实际高度和影长

成比例,据此列方程即可解答.即

物高 物高 角形相似提供条件. 影长 影长 3.反射角 入射角
训练点10构造平行截线型的相似三角形测量物 体的长度
[15.[2021·湛江模拟]如图.花丛中有一路灯杆AB. 在灯光下,小明在点D处的影长DE=3m.沿BD 方向行走到点G.DG=5m.这时小明的影长GH =5m,如果小明的身高为1.7m,求路灯杆AB的 高度.(精确到0.1m)
"双直角三角开模型,两个"A咤型叠加]F H B D EG


["双直角三角开模型,两个"A咤型叠加
O][学会总结] 1.平行截线型的相似三角形如图所示: A E  DE//BC, A D E ADE. ABC  B B C 2.常见图形的解题方法 (1)图1类的题目较简单,可直接应用图中的两个 相似三角形,根据相似三角形的性质列方程求解. (2)图2类的题目较常见,可作出辅助线构造两个 相似三角形,将问题转化为图1类的问题来解决. C G H E E B A C B F D 图1 图2


["双直角三角开模型,两个"A咤型叠加
O]A E :DE//BC, A E D  △ABC △ADE. B C B


27.3 似
同学教材 学习重点
知识1位似
1.位似图形
1)炮义:两个多边恨不仅相似,而且对应顶点的连找出交于一点,像这样的两个
形叫做位 图影,这个点叫做信似中心这时我们说这两个用影关于这点位 位做位似从中心可以在围形 内部,也可以在图刊外 是一种特殊的相似.但相似不一定都是位似, 部,还可以在图形的一
(2)判定两个 形是位似 形的方法:①1这两个 形轻相似 形;四这两个 币的对 茶边上 应顶点的违线交于一点。 位似图刊是相似图形但相似图形不一定是位似围开
2.位似的坐标变换
在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原围形位似的图形.使它 与原 形的相似比为k,那么与原图形上的点C5, 对应的位似圈 形上的点的坐情 为(kx.ky)或(一kx+一ky)
[在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原围形位似的图形.使它 与原 形的相似比为k,那么与原图形上的点C5, 对应的位似圈 形上的点的坐情 为(kx.ky)或(一kx+一ky)
3.位似图形的性质 一位似具有相似的所有性质]

"名称":"平移 变换"
"规律":"横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度"

"名称":"轴对称 变换"
"规律":"以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数;以y轴为对 称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数"

"名称":"旋转 变换"
"规律":"一个图形绕原点旋转180°则旋前后两个图形的对应点横坐标与纵坐标 都互为相反数"

"名称":"位似 变换"
"规律":"当以原点为位似中心时,变换前后两个图形对应点的坐标之比的绝对值等 于相似比"
3.位似图形的性质 一位似具有相似的所有性质
位似比
(1)对应角相等-对应边成比例
(2)对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比相等
(3)对应边互相平行或者在同一条直线上。
知识2位似图形的画法
步骤
两个位似图形的位似中心只有一个
(1)确定位似中心.
(2)分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长, (3)根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点。
(4)次连接上述各点,得到放大或遍小的图形、
分层练透 提分要旨
训练点1位似图形的概念和性质
4.[2021·宁夏月考]已知:△ABC三个点的坐标分 别为A(-2.-2).B(一5.一4).C(-1,-5), 1.[2021·滨城区月考]下列关于位似图形的表述: ①相似图形一定是位似图形.位似图形一定是相似 相似不一
图形: 位图形一定有位似中心: 如果两个图 定位似 形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都 经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形:④位 似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位
先作A,B, 似比。 心须是对应两点
C关于x轴 其中说法正确的是 的对称
A. X
B.①②
C.od
魚ABC!
D.6③④
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A.B,C.
2.如图·点D.E.F分别是OA.OB.OC的中点,下面
(2)以点(为位似中心,将△ABC放大为原来的2 的说法中正确的是
倍,得到△A,B,C,请在网格中画出△A.B.C,并
写出点B,的坐标,
[有两个,本题受网控所限, 只能在第一象限内画
[学会总结]位似作图的"三确定"]A D B E F C ABC DEF是位似图形; ABC与 △DEF的相似比为1:2; ABC与 △DEF的周长之比为2:1; ABC与△DEF的面积之比为4:1. A.123 B.134 C.124 D.234 [学会总结] 理解位似概念的"四注意" 1.位似是一种具有 的相似. 2.两个位似图形的位似中心只有 3.两个位似图形可能位于位似中心的 ,也 可能位于位似中心的 4.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似. 1.特殊位置关系 2.一个 3.两侧 一侧


1.确定 :位似中心的位置可随意选择,且 同一个位 中心(在图形外时)的两侧各有一个 符合要求的图形.
2.确定 1知四珑形有四个关键点,即它的 四个顶点。
[3.确定
:根据相似比的取值,判断是将一 个图形放大还是缩小。1.位值中心2.关键点 3.相似比]A(-3,0),B(0,1) 3.如图,直线y= x+1与x轴、y轴分别交于A,B 两点,△BOC与 △BOC是以点A为位似中心的位似中心的位似 图形,且相似比为1:2,则点B'的坐标为 y B x


有两个,恶A的模,孤间 训练点3位似图形与坐标 或一,可得
5.△AB三个顶点的坐标分别为A(.),B(6,0), 0(0.0).以原点0为位似中心,把这个三角形缩小
[天键建词 为原来的一、可以得到△A'B'O.则点A"的坐标是
训练点2位似变换作图]A D B E F C


点马"的坐标有两个.
6.如图,线段CD两个滴点的坐标分 别为C(1.2).D(2.0).以原点为位 似中心,将线段(D放大得到线段
AB.若点B坐标为(5.0).则点A 的里际为点马D是 与C是对应
A.(2.古)
对应照可得
B.(2,位似比为25 点没A(xy),
C.(3.5)
D.(3.6)
[学会总结]图形变换与坐标
(1)在网格图中,将△ABC挠着点((0.0)时针旋
1.围形沿水平方向左右平移,点的纵标不变。情 转90°得到△A.B.C.画出△A,B.C,并写出B 童标 或 平移的长度:图形港我 的坐标,注意方向
直方向上下平移,点的横金标不安。既垒标 (2)在网络图中,以()为位似中心在另一侧将
平格的长度。
△A,BC大2信得到AAB'C.画出△A'BC
2.若绕原点旋转180,别对应点的模纵坐标都与票 并写出B"的坐标.第二象限
坐标
3.两个图形关于,轴对称,别对应点的垒标相 同-纵坐标 :若两个围形关于v对称。 对应点的娱坐标担同,模标
4.以原点为位中心的两个图形,其中一个图形上 的点的坐标是另一个图形上对应点的坐标的 倍。
1.减击加上加上减云2.互为相反数主军为相数 互为相反数441或一0)
训练点4图形变换
7.[202]·防城港月考]如图,原点(是△ABC和 △AB'C的位似中心·点A(1.0)与点A(-2.0)
是对应点、△ABC的面积是则△AB'C"的面 AQ=1,则 SDACB=1
[积是 A'O2 SDA CB
[学会总结]图形变换的分类]3 C 2 B A 01 3 2 4 x -1 -2 -3


1.全等变换:全等支换不改图形的大小与形状。 会等坚换复括
2.相似变换:相似变换毁变图形的大小,不改变围 形的形状-相似支换气括
1.零转普对称2.相位信
8.2021·昆明模拟]在平面直角标系中,△ABC的 位置如图所示,其中点B(一3.1)、解答下列问题:
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
同学教材 学习重点
2A的锐角三角函数正弦,余弦、正刀表示的是两条残段的地,没有单位,但解 知识1
[2A的锐角三角函数正弦,余弦、正刀表示的是两条残段的地,没有单位,但解 知识1
题时要注意备边单位 玩一]

"名称":"正弦"
"定义":"在Rt△ABC中, C=90°, 锐角A的对边与斜边的比叫 做 A的正弦,记作sin A"
"数学语言":"A的对边 斜边"
"图形":"B 斜边 对边 b dC 邻边"

余弦 在Rt ABC中, C=90°, 锐角A的邻边与斜边的比叫 做/A的余弦,记作cos A A的邻边 b cos A= 斜边

正切 在Rt△ABC中, C=90°, 锐角A的对边与邻边的比叫 做 A的正切,记作tan A A的对边 tan A A的邻边 b
题时要注意备边单位 玩一
视角三角函数的取值
范围
O<SinA<1; 0<C OSA<1; tanA>0
特殊用30',45',60"的三角函数值要熟记 知识230°,45",60°的三角函数值
[特殊用30',45',60"的三角函数值要熟记 知识230°,45",60°的三角函数值
知识3锐角三角函数的性质]

"锐角A 锐角三角函数":"sin A"
"30°":"1 2"
"45°":"向"
"60°":"哈"

"锐角A 锐角三角函数":"cos A"
"30°":"3 2"
"45°":""
"60°":""

"锐角A 锐角三角函数":"tan A"
"30°":"3 3"
"45°":""
"60°":"3"
知识3锐角三角函数的性质
1.锐角三角函数值的增减性
(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大.
(2)说角的余弦值随角度的增大面减小.
(3)锐角的正切值随角度的增大而增大
2.三角函数值之间的关系
(1)互为余角的三角通数值:若 A+ B=90,那么sinA=con B或sin B=cosA.
sinA的值越大,梯子 sin A
(2)同角的三角前数值:①sin'A+cos"A=1:②tanA
越陵:COSA的值越 cos A
小,梯子越陵anA
知识4用计算器求锐角三角函数值或已知三角函数值求对应的锐角 1.利用计算器求锐角三角函数值
的值越大,梯子越陡。
(1)以度为单位:sin(或(cos或an)、度数(可以是整数,也可以是小数),=
(2)以度、分、秒为单位:sin(或cos或tan).度数.分数"秒数.=
2.已知锐角三角函数值求锐角的度数
2nd F.sin(或]o或(tan),三角函数值,
[分层练透 提分要旨
	[学会总结]用正弦值求直角三角形边的"两题型"
	1.已知锐角的正弦及角的对边或斜边时,直接根据
	2.若已知锐角的正弦及邻边时,可根据正弦的定义 确定另外两边的比值,结合勾股定理列方程求解.]训练点1 已知直角三角形的边长,求锐角的正 弦值 1.[2021·随州月考]如图,AB是圆锥的母线,BC为 底面直径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为 15 cm2,则sin/ABC的值为 OB=3cm 15 = OB·AB AB=5Cm B OA=4Cm 3 3 4 5 A. B. C. D. 4 5 5 3


[分层练透 提分要旨
训练点3锐角的余弦、正切的概念]

"":""
"[学会总结]用正弦值求直角三角形边的"两题型"":"1.已知锐角的正弦及角的对边或斜边时,直接根据"

"":""
"[学会总结]用正弦值求直角三角形边的"两题型"":"2.若已知锐角的正弦及邻边时,可根据正弦的定义 确定另外两边的比值,结合勾股定理列方程求解."

"":""
"[学会总结]用正弦值求直角三角形边的"两题型"":""
训练点3锐角的余弦、正切的概念
4.[2021·丽水月考]如图所示,在△ABC中.AB
2.B=45,tanC= ,求△ABC的周长。
2.在Rt△ABC中,ZC=90,AC=7.BC=24
7.24.25是一勾股数,常
(1)求AB的长.
(2) RimA,,an维见的妇股数要注意积累
如:4.5和512.13等
[如:4.5和512.13等
训练点2已知锐角的正弦值,求边长]

"[学会总结]求锐角正弦值的"三技巧"":""
"":"1.没有直接给出对边或斜边的题目,一般先根据 ,求出所需的边长再求解."

"[学会总结]求锐角正弦值的"三技巧"":"再求解."
"":"2.没有给出图形的题目,一般应根据题目,画出符 3.若题目中给出的角不是在直角三角形中,应先 1.勾股定理3.构造直角三角形"
训练点2已知锐角的正弦值,求边长
3.[2021·遂宁十三中模拟]如图,菱形ABCD的边长 为15.sinZBAC= 求对角线AC的长.
OB 15 0B=9 5
[变式探究] OA=115-9=12
[上题中,求出sinZABD的值。
训练点4锐角三角函数的有关计算 5.[2021·热河模拟]如图.△ABC的三个顶点分别在 正方形网格的格点上,tanA的值是][学会总结] 利用定义求锐角三角函数值的"三步骤" 1.观察:观察所给的锐角是否在直角三角形中. 2.转化:如果所给的锐角不在直角三角形中,可通 过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代 换将锐角"转移"到直角三角形中. 3.求解:在直角三角形中,求出这个角的邻边与斜 边的比值就是余弦值,对边与邻边的比值就是正 切值,对边与斜边的比值就是正弦值.


过B点作AC垂 线构适直闻三
角开
D.3V10 5 B10
[D.3V10 5 B10
训练点7已知锐角利用计算器求三角函数值 训练点5求特殊角的三角函数值]

"":""
"[学会总结] 求锐角三角函数值的"三方法"":"3.利用互余的两个角间的特殊关系求解."
训练点7已知锐角利用计算器求三角函数值 训练点5求特殊角的三角函数值
8.用计算器求下列三角函数值(精确到万分位), 6.2021·无锡供叔](1)计算:"ain 43"+co30° (1)sin 67.(2)cos1859'27(3)tan63'27'. 25+260平方间不能写成Ca530°
(2)已知-sin45'+tan 60,先将代数式一
[+(1+)化简,再求值。
训练点6由锐角的函数值求锐角的度数]记忆特殊角的三角函数值的"四技巧" [学会总结] 1.三角板记忆法:借助如图所示的三角板记忆. 2 2 √3 1 45° 60° 30° 1 1 √2 2.特点记忆法:30°,45°,60°的正弦值记为 2 √3 ,余弦相反,正切值记为一 2 3.关系记忆法: (1)sin30°= sin45°= (2)tan30° 4.口诀记忆法:1,2.3;3,2,1;3,9,27,弦比2,切比 3,分子根号别忘添. 3.(1)cos60°sin60°cos45°(2)tan60°


7.[202]·学枝花月考]在△ABC中. A. B均是 锐角,若2cosA-I+(1-tan B)-0.判断 AABC的形状.
两个或两个以上肺负数的 和是0.那么它们都是0
[学会总结]由特殊角的三角函数值确定角的度 数的一般步骤
1.通过遭之间的关系或者其他关系得到三角函 数值, 2.根据特殊角三角函数值,确定锐角的度数。
9.用计算器求xin63.45(精确到万分位)。
[学会总结]注意区分两种单位
1.爷单位是度()时,避求菌数值的按键斯序是:面 数名称--度数一
2.若单位是度、分、秒时,则求函数值的按键顺序
分的数
是:函数名称--度的数值
值---秒的数值
训练点8已知三角函数值用计算器求相应锐角
10.利用计算器求下列各式的说角(精确到百分位)。
(1)sine=0.1111+冬
(2)an0-7.17.8%
(3)cos3=0.2987, [学会总结]注意区分两种结果
先按 ·然后再按xin或cox或an,再输 入数值,得到的结果为度数的形式,若计算结果 要求为搜、分、秒的形式,期再继续按
28.2 解直角三角形及其应用 学习重点 同学教材
知识1解直角三角形
前提条件
1.解直角三角形
(1直角三角形五要素:一般 ·直角三角形中,除直角外共有五个元素,即三条边 和两个锐角。 (2) 直角三角形,山直角 角形中的已知元 .求出其余未知元素的过 .叫做 直角三角形,
2.解直角三角形的依据
→不要理解为求三角函数值明
在Rt△ABC中,C为直角, A./B.C所对的边分别为, 01
(1)三边之间的关系+b=(勾股定理)。
(2)两说角之间的关系: A+ B=90"。
(3)边角之间的关系:
Nin.A= A的对边 ZB的对边
一.sin B= 斜边
斜边
LB的邻边 ZA的邻边b cOsA= -+cosB
斜边
斜边 际 C=90°以外,其余王个元素 ZA的对边 ZB的对边 之间的关系要熟练掌瑶 Tan A= 一-tnB
ZA的邻边 ZB的邻边
(4)利用这些关系,知道其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未 知元素求解的条件有 类:①已知一边及-锐角:已知两边,只知道角的关雨无法解直商三角形火。
3.解直角三角形的常见类型
[3.解直角三角形的常见类型
解直用三角开选用三 角地的原则:宁乘母 除,取原避中]

 两边 两直角边(如a、b) 90°- A.c=√a+b2

"图形":"Rt ABC dC b"
"已知条件":"斜边,一直角边(如c,a)"
"解法步骤":"由sin A=-得/A、ZB= 90°- A,b=2-a"

一边、 一角 一直角 锐角、邻边 (如 A、b) ZB=90°- A,a=b·tan A, 6 cos A

"图形":"边和 一锐角"
"已知条件":"锐角、对边 (如/A.a)"
"解法步骤":"/B=90°- A.6 tan A sin A"

斜边、锐角(如c. A) ZB=90°- A,a=c·sin A, b=c·cos A
解直用三角开选用三 角地的原则:宁乘母 除,取原避中
解直角三角形的常用 变开 0<A=90-4B. <B=90°-A ea=c-b, b=C-ac=a+b. oa=cSinA, b=CCoSAa=btanA. b=cSinBa=CCoSB, b=atanB
知识2解直角三角形的实际应用
1.利用解直角三角形解决实际问题的思路
实际问题 将实际问题抽 根据问题中的条件.适当选用说角 数学问题 象为数学问题 三角函数等解直角三角形 的答案 的答案
2.解直角三角形应用题中常见视角
视线与水平线所成的角 视线
北偏东60" 中,现线在水平线上方 的叫做的 仰角 600 先说南北后说东西
水平线 垂 俯角 线 视线与水平线所成的角
东南方向( 中,视线在水平线下方 视线 D 南偏西20P 的叫做俯 偏东45° 方向角 上仰下俯 仰角、俯角 较面的乘直高度(k)和水
距离(D的比叫做测的城 不要把此角误认为俯用 度(城比),记敏/,即
坡度是个地值,并非一个度数,常马成1m的形式 坡面与水平面的夹角叫做被角。
记作a,tna 坡度与坡角
3.解直角三角形应用题中的常见题型
(1)利用水平距离测量物体的高度
①数学模型: 1u ②测量数据:·水平距离a ⑤数量关系:tana tan9=(2)测量底部可以到达的物体的高度
tan a *tan3 tan -tana
此数学模型经常考查,涉及高度问题、 距离问题等要熟练掌班!
①数学模型:
②测量数据:仰角俯角3、水平距离a. ③数量关系:tana 、h=h;+h:=a(tan a+ran ).
(3)测量底部不可到达的物体的高度
①数学模型ta
②测量数据:俯角a.俯角3.高度. n=a一4,一(n ③数量关系,tang tan3.
分层练透 提分要旨
训练点1已知两边解直角三角形


Casin z+bcosi D.aconr+bninr
1.[2021·杭州月考]如图,一块矩形木板ABCD斜靠 2.[2021·桃模拟]已知,在Rt△ABC中. C= 在墙边(OC1OB.点A,B.C,D.O在同一平面 906=103.=20.解这个直角三角形, 内)、已知AB=u.AD=b.ZBCO=r.则点A到 OC的距离等于
作AELOBJE BE BO的长度
A.anin r+bsin 用余弦用正孩
[Ba costbeon
训练点2已知一边和一锐角解直角三角形]已知两边解直角三角形的"两类型" [学会总结] 1.已知两直角边a,b,如图1,则c=√a2+b2,由 可求 A,则 B= tan A= B B a C a A C A b 图2 图1 2.已知斜边和一直角边,如c,a,如图2,则b= 可求 A,则 B= /c2-a2,由sinA= 90°- A2. 90°- A.


[3.「2020·新疆中考]如图。在Rt ABC中. C 90". B-37",BC-32.则AC= 考数 据:sin370.60.co37≈0.80-tan 37°≈0,75)
4.在RI△ABC中.2C=90°.-4v3. A=30°,解 这个直角三角形。]A AC =tan B BC B


[4.在RI△ABC中.2C=90°.-4v3. A=30°,解 这个直角三角形。
训练点3解直角三角形的简单应用]已知一边一锐角解直角三角形的"两 [学会总结] 类型" 1.已知斜边和一锐角,如c, A,如图1, B=90° (或b= B B a C A C 图2 图1 2.已知一直角边和一锐角,如a,/A,如图2,/B (或b= ,b= 注意:尽量运用题目中原始已知条件. a a 1.c·sin A c·cos A sin A tan


5.[2021·阳信模如图.A为某旅游景区的最佳观 景点,游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台 DE观景,然后再由E处继续乘坐缆车到达A处。 返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处.已知 AC1BC于C.DE//BC,BC=110米.DE=9米。 BD=60米32=68.求AC的高度,(参考数 DE
[学会总结]解直角三角形应用题的"四步骤"
1.根据实际问题建立数学模型,构造出直角三角形。
2.根摇已知条件,选用适当的三角函数解直角三
角形。
3.得到数学同题的答案, 4.写出实际阿题的答案。
训练点4应用解直角三角形解决仰角、俯角问题
6.如图。为了测得一棵树的高度AB,小明在D处用 高为1m的测角仪CD.测得树顶A的仰角为45°。 再向树方向前进10m,又测得树顶A的仰角为
[60°.求这棵树的高度AB.
据:sin 320,53,co32≈0.85.tan32≈0.62。 sin 68"≈0.93.cos 680.37.tan 68≈2.48.精确到 0.1)首先考虑把a.p构造到道用三角开中去]60° 45° B 10m 解:如图,设AE=xm, [关注过程] A 45° F 60° 在两个直角三角形 B D 中找边的关系。 10m 在Rt ACE中,CE 在Rt AFE中,FE 又因为CF=CE-FE,CF= 得到关于x的方程 =10,解得x= 所以 所以AB=AE+EB=15+53+1=(16+53)m. 漏写答语 答:这棵树的高度AB为(16+5√3)m. 扣1分哦!


7.[2021·黄冈月考]如图,在大楼AB正前方有一斜 坡CD.坡角 DCE=30°,楼高AB=50米,在斜坡
下的点C处测得楼顶B的仰角为60.在斜坡上的D 处测得楼顶B的帅角为45,且点A.C.E在同一直
[线上,
(1)求坡底C点到大楼距离AC的值。]B 45° D F 60° A C E


(2)求斜坡CD的长度.
题目无特殊要求, 则需保留根号
斜坡AB的坡度为与
12
[学会总结]解答仰角、俯角问题的"三注意"
1.弥角和密角是指视线相对于 而言的,不
网位置的仰角和俯角是不同的:可巧记为"上仰 下的"。在测量物体的高度时,要善于将实际问题
指象为数学问题。
2.视线、水平线、物体的高构成直角三角形,已知 ,利用直角三角形的知识 就可以求出物体的高度。
3.者根据已知条件不能直接解三角形,可设未知数 列方程求解。 1.水平线2, 角(俯角)和另一边 训练点5应用解直角三角形解决方向角问题
8.[2021·齐齐尔模扣]如图,轮船在A处观测灯塔 C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20 海里的速度沿南偏西50方向匀速航行.1小时后到 达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25"方向
AB的方向
[上,则灯塔C与码头B的距离是 海里.(结 果精确到个位,参考数据:2≈1.4.V3≈1.7.6≈
训练点6应用解直角三角形解决坡度、坡角问题]北 东 70°  BAC=60° 50° 25° B [学会总结] 解答方向角问题的"两关键" 1.根据题意画对图形:把实际问题转化为数学图 形,无直角三角形要构造直角三角形. 2.正确标注方向角:目标移动时,基准点在移动,方 向角也要进行相应变化.


[9.[2021·包头模拟门如图,小明从点A处出发,沿着 坡角为。的斜坡向上走了0.65千来到达点B.sino AB=0.65千米 然后又沿着坡度i=1:4的斜坡向上走了1 米到达点C.问:小明从点A到点C上升的高度CD 是多少千米,(结果保留根号) BC=1千米
[学会总结]解答坡度问题的"三注意"]i=1:4 B a A D


1.坡度问题需明确坡度的概念,即坡度i= ,然后根据其体情况代入计算,当给出 的条件是坡面长度和接度时,根据定义,构建方 程米求解,应用时要注意与三角函数的结合。
2.坡度是玻角的 ,坡度越大,坡免也越大, 3.与被度有关的问题常与水有关,即梯形问题。
常用的方法一般是过上底的顶点作下的垂线。 构造直角三角形和矩形来求解。1.tan。2.正奶
AB=20海里
2.4)
第二十九章 投影与视图
29.1 投
同学教材 学习重点
知识1投影的有关概念
1.投影的定义
一般地.用光线照射物体。在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投 影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。 投影英要直于没和面
平行光马
正投影 没景 平行没影
2.投影的分类 ((阳光)
(D平行投影:由平行光线形成的投歉 例如:物体在太阳光的照射下形成的轰 (简 如图物体AB的影子 称日影)就是平行投影
一部分在地面上,部
判定平行投影的方法:同一时刻同一地点,不同物体的影子同向。且形成影子的光线分在墙上。A
四周一点(点光原 E 平行, 中心投 投影 发出的光法是 (2)中心投影:由同一点!点光源>发出的光线形成的投影,例如:物在灯泡发出的 光照射下形成的影子就是中心投影。
墙上影子CD的长居
知识2平行投影与中心投影的区别与联系
然AE的长相等
[然AE的长相等
物体在太阳光下,不 同的时刻,不仅影 子的大小在改变且 影子的方向也在改 变在古代人们通 过观察影子的变化, 发明了以日影测时 的计时仪器因答]

光线 物体与投影面 平行时的投影

平行投影 平行的投影线 全等 都是物体在光 线的照射下, 在某个平面内 形成的影子 (即都是投影) 根据两种物体的影子 判断是在灯光下还是 在阳光下的投影,关 键是看这两种物体的 顶端和其影子的顶端 的连线是平行还是相 交,若平行则是在阳 光下的投影,若相交 则是在灯光下的投影

中心投影 从一点发出 的投影线 放大(位似变换)
物体在太阳光下,不 同的时刻,不仅影 子的大小在改变且 影子的方向也在改 变在古代人们通 过观察影子的变化, 发明了以日影测时 的计时仪器因答
知识3正投影
投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投款.在实际制图中,经常应用正投影、
1.线段的正投影
(1)如图-把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:①铁丝平行于投影 面: 统注倾斜于投彭面:微铁丝乘直于投影面<铁丝不一炮要与投 面有交点 .三
种情形下铁丝的正投影各是什么形状?
AB AIR
(2)结论:①当线段AB平行于投影面时,它的正投影是线段A,B,线段与它的投影 的大小关系为AB=A,B, 2当线段AB锁斜于投影面时,它的正投影是线段A,B,线段与它的投影的大小关 系为AB>A,B, ③当线段AB垂直于投影面时,它的正投影是一个点A,(B,).
2.正方形的正投影
(1如图 .把一块正方形  板P(记为正方形ABCD)放在三个不同位置:(D纸板平 行于投影面:纸板倾斜干投影面:③纸板垂直于投影面.三种情形下纸板P的正投 影各是什么形状?
在太阳光下正方形的设影
[可能是正方开长方开、平行
四边形或一条碱段]D C D D C A C B A A B B D D' D' C C A B' B'


(2)结论:①当纸板P平行于投影面时,P的正投影与P的形状、大小完全一样, ②当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与P的形状、大小不完全一样, ③当纸板P乘直于投影面时,P的正投影成为一条线段。
[3.正方体的正投影
(1)把一个正方体放在两个不同的位置:]F' A' D' A' D' G E C F B' A B' D D A H G B C C B 图1 图2