①正方体的一个面ABCD及与其相对的另一面与投影面平行(图1), ②正方体的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面,上底面ADEF 垂直于投影面,并 且上底面的对角线AE垂直于投影面(图2).
两种情况下正方体的正投影各是什么形状?
(2)结论:①如图1.正方体的正 影为正方形A'B3D'.它与正方体的一个面是全 等关系.
②如图2.正方体的正投影为矩形FGC'D',这个矩形的长等于正方体的底面对角 线长·旭形的宽等于正方体的榜长.矩形上、下两边中点连线A'B'是正方体的侧核
AB及它所对的另一条侧棱EH的投影, 234
提分要旨
平行投影 训练点1平行投影、 [学会总结]
1.E2021·贺州月考]小明拿一个等边三角形木框在
1.平行投影的"两特征"
太阳下玩要,发现等边三角形木框在地面上的投影不 (1)平行投影中,形成影子的无线是平行的,平行 可能是三角形术租马光平行时( 物体在地面上形成的影子平行或在同一直线上。
(2)同一时刻。太阳光下,物高与影长成正比例。
2.画平行投影的"两步骤"
Z.[2020·长沙模叔]如图,在不相写光成一定函度时
第一步,当出经过一个物体顶端和影子的顶場的 旗杆电线杆 一面与地面垂直的围墙的同 墙面 一条光线, 侧有一根高10米的旗杆AB地雨
第二步:经过另一物体的顶墙画出平行于上述直 和一段高度未知的电线杆
线的光线,从而得到这个物体的影子。 CD.它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度, 训练点2中心投影 个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳
3.[202]·个旧模拟]现有直径为1米的圆桌而,桌脚 光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为
高1.2米(不计桌面度),如图所示,在桌面正上方 2米,落在地面上的影子BF的长度为10米.而电 2.5米处有一盏灯.你能算出晚上开灯后圆桌面在地 线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地
面上的影子的面积吗?为什么?(取开=3,14.精确 面上的影子DH的长度为5米.依据这些数据,该小 到0.1米) 姐的同学计算出了电线杆的高度。
B到地面的垂直 投影的 (1)该小组的同学在这里利用的是 距离,不是BC. 有关知识进行计算的。
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程。 如如图分别过E,G作EMLAB.GNLCD
[则 AME△CNG 1 8 名 24 10 F
[变式探究]上题中,若旗杆AB落在地面上的影子 BF-10m.落在墙上的影子EF=2米,而电线杆 CD落在地面上的影子DH=8米,落在墙上的影 子GH=4米,试比较电线杆CD与旗杆AB的 大小.]N B 'E C M


[4.[202]·揭西县月考]如图,在路灯下,李明的身高如 图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段 AC所示,王亮的身高如图中线段FG所示.路灯灯 泡在线段DE上.
(1>请你确定灯泡所在的位置,并画出王亮在灯光下]E G B D F A C


CB与DE的交处
形成的影子, 235
(2)如果李明的身高AB=1.6m,他的影子长AC =1.4m.且他到路灯的距离AD-2.1m.求灯泡的 高度.
[学会总结]中心投影的"三特点"
1.等高物体垂直地图放置
(1)离点光源越近,影于越短。
(2)离点光源远,影子越长。
2.等长物体平行地面放置
(1)高点光源越近,影子旅长。
(2)离点光源站远,影子越短,但不会小于物体本 身的长度。
3.点光浑、物体边缘的点以及其在物体的影子上的 对应点在同一条直线上。
训练点3正投影的概念及作图
5.[2021·河南质检]画出如图所示的物体满足下列 条件的正投影.
(1)投影线由物体前方射到后方。 实际就是
(2)投影线由物体左方射到右方, 画三视园
[(3)投影线由物体上方射到下方。
[学会总结]作一个图形正投影的"三步骤"]


1.找点:找出图形的关键点。
2.作线:分别过关键点作投影面的垂线,得到垂线 的垂足。
3.连线:连接各垂足,得到图形的正投影。
注意:苏围时一定要将物体的地缘、校、顶点部体现 出来,看得见的轮廓线都菌成 .看不见 的画成 ,不能漏掉。 实线虚线
训练点4正投影的有关计算
6.[2021·衡阳模拟]已知一正方形纸板ABCD边长
为10cm.如图.四边形A,BC,D,是正方形ABCD 在平面3上的正投影.AD.BC与投影而3平行,且 AB.CD与投影面 成30角,求正方形ABCD的 正投影的面积. 冯与水平面夹用为30° 求正设影面
积,先确定正
投影的形状
再根据相应
公式.有针对生 地去我
[变式探究]上题中请画出投影线由物体下方射到 上方的正投影、
[学会总结]正投影计算的"三步骤"
1.对应:找准物体与其正投影之间的对应关系。
2.围:根据实际问题,出几何形
3.计算:根据图形的相关计算公式计算。
29.2 三视图
同学教材 学习重点
知识1三视图的定义及应用
1.视图的定义
当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图.视图 可以看作物体在某一方向光线下的正投影
画三视图时,规定看得见部分的轮廓式画成实线凉区
2.三视图
其他都分遮挡而看不见部分的车廓线画成虚线
(1)正面,水平面、侧面
我们用三个万相乖直的平面(例如墙角处的三面墙壁)作为投能而,其中正对着我们 的平面叫做正面,下方的平面叫做水平面,右边的平面叫做侧面.
(2)三视图
对一个物体在三个投影面内进行正投影:
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图。 也叫正视图 ②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图。
③在侧面内得到的由左向右观察物体的视图.叫做左视图。
[(3)常见儿何体的三视图
(4)三视图的关系]俯视图 左视图 几何体 主视图 别忘了要加点哦!


①位置关系:三视图的位置是有规定的,主视图在左上边,主视图的正下方是俯视 图,左  在主视 的右边.主视 可以反映物体的长 高-俯视图可以反映物体的 长和宽.左视图可以反映物体的高和宽
[②对应关系:主视图与俯视图的长对正·主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图 的宽相等
3.由三视图描述几何体]高平齐 左视图 主视图 高 长 宽 宽 宽 长对正 宽相等 俯视图


(1)鹑记一些简单几何体的三视图。
( )根据三视图想象几 体的前由D上面和左侧面的形状及几何体的长,宽、高。
(3)根据实线和虚线想象儿何体看得见和着不见的轮廓线
4.根据三视图求几何体侧面积或体积的方法
[首先根据三视 乡定几何体的形块,其次根据三视图中所标识的数据确定几何体中 所需元素的数据-最后利用相应的公式来求解即可。
参考答案]分层练透 涂 提分要旨 俯视图不符合 训练点1几何体的三视图 俯视 俯视 1.[2021·泰州月考]下列几何体中,主视图与俯视图与俯视图 主:三角形 不相同的是 俯:平行四边形及四条交于一点的线段 主俯皆正方形 主俯皆圆形/左视 主视 主视 左视 D 正方体 球 四棱锥 圆柱 [学会总结] 由三视图确定小正方体搭成的几何 长方形 A B C D 体的技巧 2.[2021·无锡模拟]如图所示,空心圆柱体在指定方 1.俯视图打地基:根据俯视图得到最底层小正方体 向上的视图正确的是 的个数. 2.主视图疯狂盖:根据主视图结合俯视图,得到各 没有标看不 列、各行小正方体的"满员"个数. 内侧线看不到, 到的内侧线 3.左视图拆违章:根据左视图结合主视图,去除各行多 不用实线 余小正方体的个数,得到所有小正方体的总个数. 训练点4三视图及展开图的有关计算 5.[2021·昆明模拟]如图是一个上下底密封纸盒的三 视图,请你根据图中数据,计算这个密封纸盒的表面 A B C D 积为 cm2.(结果可保留根号) 训练点2画三视图 10cm 3.[2021·射阳月考]如图,由大小相同的 有两个底面的 小立方块搭成的几何体,画出这个几何 体的三视图. 正六边形面 正面 六棱柱 6.[2021·威海月考]如图是一个几何体的三视图(单 位:厘米). [学会总结]画三视图的"三步骤" 1.确定主视图的位置,画出主视图. 2.在主视图正下方画出 D ,注意与主视图 主视图 3.在主视图正右方画出 左视图 俯视图 ,注意与主视图 ",与俯视图" (1)写出这个几何体的名称. 2.俯视图 长对正3.左视图 高平齐 宽相等 (2)根据所示数据计算这个几何体的表面积.S伙)+S底 (3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发, 训练点3由三视图复原几何体 沿表面爬到AC的中点D,请你求出这个线路的最 4.[2021·河北月考]图中三视图对应的几何体是 短路程. 将侧面展开,依据两点之间线段最 短求解,巧妙将立体几何问题转 化为平面几何问题. 主视图 左视图 [学会总结]由三视图求表面积(侧面积)的"三步 俯视图不 骤" 符合 第一步:根据三视图确定立体图形的形状. 俯视图 主视图和左视图不符合 俯视 第二步:根据三视图标注的数据计算出立体图形 俯视 的相关数据. 第三步:根据立体图形的表面积(侧面积)的公式 进行计算. 主视 主视 左视 左视 A B


[首先根据三视 乡定几何体的形块,其次根据三视图中所标识的数据确定几何体中 所需元素的数据-最后利用相应的公式来求解即可。
参考答案]B 主视图 左视图 俯视图


[星推荐 一本涂书初中数学
星推荐]解析: AB//CD, 1.A (3) 长方体纸盒的底面是一个正方形,   BEF= 2=40°, 5.1 相交线  可设最短的棱长高为acm.则底面边长  /AEF=140°. 1.解:(1) EOC的对顶角是 FOD. 为5acm.  EG平分/AEF,  COF的对顶角是/DOE. 长方体纸盒所有棱长的和是880 cm, (2) BOE的邻补角是/AOE和/BOF, - AEF=70°,  4(a+5a+5a)=880,  AOD的邻补角是/AOC和/BOD. 解得a=20,5a=100.  1=180°-70°-40°=70°,故选A. (3)图中共有6对对顶角,它们分别是 2.D 这个长方体纸盒的体积为:20×100×100  AOC与/BOD,/AOF与/BOE 3.110°  AOE与 BOF, AOD与 BOC, =200 000(cm3). 4.解: 1= 2.理由如下: 7.D8.C9.C  DOE与 COF, COE与 DOF.   CDG= B. 图中共有12对邻补角,它们分别是 4.2 直线、射线、线段  DG//BA(同位角相等,两直线平行).  AOC与 BOC, AOC与 AOD. 1.A ZAOF与/AOE,/AOF与/BOF,   1= BAD(两直线平行,内错角相等). 2.解:根据题意画图,如图所示.  COE与 DOE, COE与 COF,  AD BC,EF BC(已知), AD//EF. ABCDE  2= BAD(两直线平行,同位角相等).  BOD与 BOC, BOD与 AOD, 由图可知线段有AB,AC,AD,AE,BC,  BOE与 AOE, BOE与 BOF.   1= 2(等量代换). BD.BE.CD.CE.DE.共10条.  DOF与 DOE, DOF与 COF. 5.解:(1)这是一个命题.如果两个角是对顶 3.解:如图所示. ZAOE 角,那么这两个角相等.这个命题的逆命题 2.解:(1) BOD (2)因为 BOD= AOC=70°, DOB 是"如果两个角相等,那么它们是对顶角",  BOE+ EOD及 BOE: EOD 假命题. 2:3. (2)这是一个命题,如果两条平行线被第三 条直线所截,那么所截得的同位角相等.这 4.解:如图所示. -/BOE, 所以得/EOD 个命题的逆命题是"如果两条直线被第三条 直线所截,所截得的同位角相等,那么两直 P 所以/BOE+ 线平行."真命题. 所以 BOE=28°. 6.解:(1)条件:1AD/BE;2 1= 2; 所以 AOE=180°- BOE=152°. 结论:3 A= E. (2)证明:因为AD//BE, 4.解:如图,线段CD的长度为跳远的成绩. XE 理由:垂线段最短. 所以 A= EBC. 6.解: C,D是AB的三等分点,E是AC的 因为 1= 2.所以DE//BC. 中点, 所以 E= EBC,所以 A= E. 沙坑  .设EC=x.则CD=2x. 5.4 平 移 依题意得x+2x=9. 1.解:(1)AE//CF.AC//DF.BC//EF. 解得x=3. (2)AD=CF=BE.  AB=6x=18. (3)5 跳板 答:线段AB的长度是18.


为19手束,七年级代 表区步行的路狂为2千
1健小长才形的宽为1,长寿y,由题意
8r+3=14.
2y 1 解
每个小长方形的用长为+2x2= 答,每个小长方形的周长是 解:课黑邑文化2件、自色文化衫少件,想
惧题意,得
一元一次不等式
更关 中
(a+y=140. \\2-10z+(20-81y=160.
评100<一
化衫80排
"8.4三元一次方程组的解法 -1.0
I5-1一
①+②得:
③国组方程址
:1个型大个
x十3一① (
周一,作十期一50 1x-2. 解江汪细成的方难机,得 -L 1 =2. ,代人y4 42 六原方柱组的解y4
健备:元、虎,由雅意,伴 +
茶:每个A型丝大镜20元,每个8型状夫 捷12元
()买八型社大城手,题意 2+12X(75一71180 得535
茶:最多可以购买18个A型找大镜
9.3一元一次不等式组
2.A
第九章不等式与不等式组 9.1不等式
评2-1,所以不等式组解集是一
1.解:只有(3)不是不等大,其舍都走不等式
2.解(1)-7>10.
(2m (4 3.0 4.C解析:原不等式的解是r≤2.则负整 数解是0.1.2,就选C 三解:(1)不等式的开选都加上了3.依据不等 式的性质1.填"
(2)不等式的两边都减去了1依不等人的 性质1.">"
(3)不等大的所边都来一由于一20.依据 不等式的性质2.楼
(4)不等天的两边都来一z,由于一2<0.依 据不等式的注质1,填""
()很据不等式的性质2.3>。
两边都减1,不等号的方向仍热术
一1加过
(2得件<一7 ,精汉不平 武组的鲜集是:
第十章 数据的收集、整理与描述
10.1统计调查
解:送合金面调查的是(2).(4).(5).不适合 听是(11.(3)。
解:(150+30%-200(名)
[(6)依据不等式的性质3.一日<一6.不等 式的性质1.楼
11.1与三角形有关的线段]4.解:(1)24÷20%=120(名),  本次调查共抽取了120名学生. (2)120-24-40-16-8=32(名), 最喜爱书法的学生有32名. 补全条形统计图如图所示. 人数 40 40 32 32 24 24 16 16 8 8 0 诗词 国画 对联 书法戏曲传统文化种类 40 (3)960X =320(名), 120 估计该中学最喜爱国画的学生有320名. 10.2 直方图 1.40% 40% 2.50 30


以点A为理点的三角都AD AACE.AABC 12)为选的三角有△NCD.A △CE.AABC
(3)在△HC0中,1所对的造美BC: 2A的三角想有△ABD.ACE.AA 在这三个三角形中,八附对的迫分到是 BD.CR.HC△中,2时的选 HV),在BEC中,2所时的边是BC.以 212ZA公共的对道是BC
1.C419cm
三解:(1)三奇形的周长是18m.其中段 长到力m和1m
:第三边的长度是18-4-4m
1一g -1Cl-r4
1解9
二,取佳范围是r9
(2)①当这长为:加的进为等腊三角形的点 时+4+4=18
解得2-10。
(3..10本符合理愈,舍击 长为的为等角形的应时。 2十1-18.鲜得27=7特合题意 给上 述.的值是7. 7解:(1AD是八A中过上的中线,三 角形中有二条中线,北时ANDAADC 的面积相手 (2AE是AABC中BAC的商平分线,三 中上的
形中有三条高线,
解:(因为AD是AA的中民,所议D -CD 所以△AID与△ACD的周长之差是(AB +AD+D)-[AD+M+CD]=AB+ ADBD-AD-AC-CD=AB-AC
(2)△A和△ACD的面积相等理出如下 因为AD是△AIC的中线。
以=-B.C--B. 文国为8=.x
AE.
S-·A-x·AE
代表队步行的路经为y千来, 根据题意,得工 2110 60
解年一1
[10.D
星尊养 初平数学]又 A'OA= BOB',  △OEC △ODB(AAS). OE=OD.  A'OA BOB'(SAS),   1= 2.  AA'=BB'. 第十三章 轴对称 图1 7.A 图2 图3 13.1 轴对称 12.A 8.证明:在 AOB和 DOC中, 1.D 2.C 3.C 11.2 与三角形有关的角  A= D 4.解:根据折叠的性质,得ED=EB.FC= 1.360° 4.C  OA=OD, FC',CD=BC', 5.解:如图,连接AD并延长AD至点E,因为  AOB= DOC, △ABE的周长等于AB+AE+BE=AB+  △AOB≌△DOC(ASA).  BDE= 1+ B, CDE= 2+ C, AE+ED=AB+AD, 所以 BDC= BDE+ CDE= 1+ 2  OB=OC, △BC'F的周长等于BF+FC'+BC'=   1= 2. + B+ C= BAC+ B+ C, BF+CF+CD=BC+CD, 9.C 因为 A=90°, B=21°, C=32°, 因为四边形ABCD为长方形,AD=BC,AB 10.证明: AB//CD.  A= D, 所以 BDC=90°+21°+32°=143°. =CD,  EC//BF, AHB= DGC. 所以 ABE和 BC'F的周长之和为AB+ 在△ABH和△DCG中, BC+CD+AD=2X(1+2)=6.  A= D, 5.C 6.D 7.B  AHB= DGC, 8.解:1不是轴对称图形,故没有对称轴. AB=DC, 2是轴对称图形,有2条对称轴.  △ABH≌△DCG(AAS), 3是轴对称图形,有2条对称轴. B  AH=DG, 4是轴对称图形,只有1条对称轴. 6.解: CDE+ C= AED, ADE  AH=AG+GH.DG=DH+GH, 是轴对称图形,有1条对称轴. LAED, 如图所示.  AG=DH. 11.A   C+ CDE= ADE. 又 B+ BAD= ADC 12.证明: AD.AF是 ABC和 ABE的   B+40°= C+ CDE+ CDE. 高, D= F=90°,   B= C. 2 CDE=40°, 在Rt ADC与Rt AFE中, 9.解:(1)作出线段AB的垂直平分线.   CDE=20°  AC=AE, (2)作出角的平分线. AD=AF, 它们的交点即为


[10.D
星尊养 初平数学]所求作的点C(2个).  △ADC△AFE(HL), 12  .CD=EF, 在Rt△ADB与Rt△AFB中, (AB=AB, AD=AF, B  △ADB≌△AFB(HL),  BD=BF,  BC=BE. 13.C 12.3 角的平分线的性质 1.A 2.C 3.证明:过D作DE BC.交BC于E.   A=90°, A 13.2 画轴对称图形  DA AB, 1.C 2.C 3.B 4.(1)(0,5)(2)(2,-5)  BD是 ABC 5.解:(1)所作△DEF如图所示. 11.3 多边形及其内角和 的平分线,DA」 D(-4,3),E(-5,1),F(0,-2). 1.C 2.(1)n C (2)n-1 4.B 5.B 6.A AB,DE BC, B E 7.C 8.9  DA=DE, 第十二章全等三角形 在Rt ABD和Rt EBD中, BD=BD, 12.1全等三角形 DA=DE, 1.A 2.B  Rt△ABD Rt△EBD(HL), 3.解:(1)AB=DE,AC=DF,BC=EF,BF  AB=BE. EC.理由如下: 又  A=90°,且AB=AC,  △ABC △DEF, AB=DE,AC  △ABC是等腰直角三角形, DF,BC=EF...BF=EC.   C= ABC=45°, (2)AB//DE.AC//DF.理由如下: 又 DEC=90°,   ABC DEF, B= E, ACB  △DEC是等腰直角三角形, = DFE. AB//DE,AC//DF. (2)AD=6.BE=8, S四边形ABED= (AD)  DE=EC. AD=EC. 4.B 5.5 则BC=BE+EC=AB+AD. BE)·2=AD+BE=14. 6.解:(1)其他对应边为:AB和CD,BF和 4.PD=PE(或OD=OE,答案不唯一) 6.解:(1) DE;其他对应角为: BAF和 DCE, 5.证明:(1)  1= 2,OE AC,OD AB,  AFB和 CED. B:  OE=OD. (2) △ABF △CDE, B=30°, 在△OEC与△ODB中, C   D= B=30° E  CEO= BDO.   DCF=40°, OE=OD,   EFC= D+ DCF=30°+40°=70°  3= 4, (3) △ABF △CDE,BF=DE, 3-2-1 0:123 D   OEC ODB(ASA). B  BF-EF=DE-EF. EF...DF=BE.  OB=OC.  BD=10,EF=2. DF=BE=4, B (2) OE AC,OD AB,  BF=BE+EF=4+2=6.   OEC= ODB=90°. 12.2三角形全等的判定 (AA) +BB 在 OEC和 ODB中, (2)S四边形AA'B'B'B'B'B X3 1.B 2.A 4.C 5.C 2  3= 4, 6.解:数量关系:AA'=BB'.理由如下: 2+6  OEC= ODB, X3  O是AB',A'B的中点, 2 OC=OB,  OA=OB',OA'=OB, =12.


[9.D
星推等 一本涂非初中数学]C B F E 图3


[星推等 一本涂非初中数学
解析:将台斯面展开,连播AB.如图,线 现AH即为壁度所爬的最越戏,因为 =30X3+10X1=120(cm),AC=50cm. RAA中想国勾我理,评AAC +BC16900,所双AH=130cm增以壁 世多少现行130km]3.25 4.解:(1)如图所示,根据面积可得(a+b)2= ab+c2,即a2+b2=c2. b a a b C C b C a b a (2)如图所示. a b C C a b


[解析:将台斯面展开,连播AB.如图,线 现AH即为壁度所爬的最越戏,因为 =30X3+10X1=120(cm),AC=50cm. RAA中想国勾我理,评AAC +BC16900,所双AH=130cm增以壁 世多少现行130km
7.0]B


解:△ABC的而积为4X4 X1X4xx--xzx4=16-2-3-1=7
南勾效定理,得 AB=+=17.B=+ S.C所以△ABC的两长为I+13+2. 解:题意马知AD,一 "△D与△ED关于直线BD对称。 21-/2古-/古-ED EB-2.别ED-I.AE-AD-ED
&RIAABE中ABA-BE 二十(一一,解得一 ADE-1
9m=+AB--X5X4一10
17.2勾股定理的逆定理
1.C
2如果三角形三边长满足+ 那么这个三角形是直角三角
4.8解析:根源三角形的三边关系,知能够招 或的三角有.12,1549,36:39:12,36:39
15.36.39.根据与股定理的逆实理,如能领 那成直角三角形的有9.12.15和15.36.39 此选B
5.C解析:"△ABC三边形.满息 +6-5+6-1+(-)=0,时 十一201一4 -11>0.(-0)
15.3分式方程
1/17, 化局:图此只有DVIG VIBXI.不能开方,符合最简二次很式的
2a+6-5=0-5 a1=15 212+=13。 西A"是直身工角都
[故选C
星推荐 一发查书和中数学]6.解:在Rt△ABC中,B=90°, 同理,AM=MG,AC=GC, 11.解:(1)证明: DAE逆时针旋转90°得  AB=3,BC=4, 即MN为△AGF的中位线, 到△DCM,  AC=√AB2+BC2=32+42=5.   FCM= FCD+ DCM=180°,AE =CM,  CD=12,AD=13, E  F,C,M三点共线, 且AC2+CD2=52+122=169,AD2=169, D M  DE=DM, EDM=90°,  AC2+CD2=AD2,   EDF+ FDM=90°,   ACD=90°, B C   EDF=45°,  △ACD是直角三角形. G F   FDM= EDF=45°,  点E是AD的中点, GF 在△DEF和△DMF中, X13=6.5. 而FB+GC=AB+AC, DE=DM, 即BC+GF=AB+AC,  EDF= MDF, 第十八章平行四边形  BC=7,AB+AC=10, DF=DF, 18.1 平行四边形  GF=3.  △DEF△△DMF(SAS), 1.B  EF=MF, ,故选A. 3.解:相等.证明如下:在平行四边形ABCD  EF=CF+AE. 中,OB=OD, 18.2 特殊的平行四边形 (2)设EF=MF=x,  BE AC,DF AC,  AE=CM=2,且BC=6, 2.解:(1) AD是 BAC的平分线,   BEO= DFO,  /BAD= CAD,  BM=BC+CM=6+2=8, 又  BOE= DOF   BAC=100°,  BF=BM-MF=BM-EF=8-x,  △BOE≌△DOF  EB=AB-AE=6-2=4,   BAD - BAC=50°.  OE=OF. 在Rt EBF中,由勾股定理得EB2+BF2 (2) AB=AC, B= C, =EF2, 4.解:(1)证明: 四边形ABCD是平行四边形, 180°-100°  OD=OB,DC//AB, 即42+(8-x)2=x2,   B= =40°. 2 解得x=5,   FDO= EBO. (3) AB=AC,AD平分 BAC, 则EF=5. FDO= EBO,  AD是等腰 ABC底边BC上的高,即 在△DFO和△BEO中,OD=OB, 第十九章一次函数  ADB=90°,  FOD= EOB, 数 19.1 函 在


[故选C
星推荐 一发查书和中数学]Rt ABD中,点E是AB的中点, △DFO≌△BEO(ASA), 1.解:(1)反映了弹簧长度y与所挂物体质量  DE为斜边AB边上的中线,  OE=OF. x之间的关系,所挂物体的质量是自变量, (2) 四边形ABCD是平行四边形,  DE=2 -AB=4. 弹簧的长度是因变量.  AB=CD,AD=BC,OA=OC, (2)1根据表格可知:当所挂物体质量为 6.解:连接BD,如图所示.  EF AC. AE=CE, 3kg时,弹簧长度为26cm;不挂重物时,弹  △BEC的周长是10. BC+BE+CE 簧长度为20cm.故答案为26cm、20cm. BC+BE+AE=BC+AB=10. E H 2根据表格可知:所挂重物每增加1kg,弹   ABCD的周长是2(BC+AB)=20. 簧增长2cm,根据弹簧的长度=弹簧原来的 B 5.证明: ABD, BEC都是等边三角形, D 长度十弹簧伸长的长度可知,当所挂物体的  .BD=AB,BE=BC, DBA= EBC 质量为xkg时,弹簧长度y=2x+20,将x= F G =60°, 8代入得y=2X8+20=36.故答案为   DBE=60°- EBA, ABC=60° 36 cm. 2.C - EBA,   ABC=120° A=60°   DBE= ABC. 3.解:(1)根据题意,得y=100+80x.  △ABD为等边三角形. 在△DBE和△ABC中, (2)当x=0.5时,y=100+80×0.5=140.  菱形的周长为40 2 m, BD=AB, DBE= ABC,BE=BC, (3)当y=200时,得100+80x=200,  菱形的边长为10 2m, 解得x=1.25.  △DBE △ABC(SAS).  BD=102m. EH=52m, 5.解:列表如下:  DE=AC,  同理求出EF=5 6 m, 又 △ACF是等边三角形, -3 -2 -1 1 2 3  S矩形=50√3m2,  AC=AF, -9 -1 -9 -4 0 -1 -4 y  DE=AF. 则需投资资金50√3×30≈1500×1.732 同理可得, ABC FEC, =2598(元). 描点、连线.  EF=AB=DA. 8.解:(1)证明: D.E分别是AB.AC的 中点,  DE=AF,DA=EF,  DE//BC.BC=2DE.  四边形ADEF为平行四边形.  CF BE, 7.A 解析: BD平分 ABC,AF BD,  四边形BCFE是平行四边形.   ABE= FBE, AEB= FEB  BE=2DE,BC=2DE, BE=BC. =90°,   BCFE是菱形.  BE=BE, (2)1 由(1)知,四边形BCFE是菱形,  △ABE△FBE(ASA),  .BC=FE.BC//EF,  BF=AB=7,AE=EF,   FEC与 BEC是等底等高的两个三角  BC=10, 形, S FEC=S△BEC.  CF=3, 2△AEB与△BEC是等底同高的两个三角 点G是AC的中点, 6.解:(1)由表可知,每上升1千米,温度降低 6°C,可得解析式为T=20-6h.  EG ,故选A. (2)由表可知,距离地面5千米时,高空温度 为一10°C. 8.A 解析: ABC的周长为17.BC=7, (3)将h=6代入T=20-6h可得,T=20  AB+AC=17-BC=10, -6×6=-16,所以距离地面6千米时,高 如图,分别延长AM,AN交BC于点G,F. 空温度为-16°C.   BNA = BNF = 90°,BN = BN = BN, 19.2一次函数  NBA= NBF, 综上所述,与 BEC面积相等的三角形有:  △BNA △BNF(ASA), 1.B解析:y=(m+1)x+m2-1是关于x △FEC,△AEB,△ADC,△BDC. 10.D  AN=FN,AB=FB, 的正比例函数,


[星推荐 一发查书和中数学
星推荐一本念书初中数学]增乐趣  m2-1=0,m+1≠0, 解得m=1.故选B. 2.解:(1) y与x的成正比例,  设y=kx,  x=-2时,y=6,  6=-2k, 解得k=-3,  y与x之间的函数表达式为y=-3x. (2) 点(a,-3)在这个函数的图象上,  -3=-3a, 解得a=1. 3.解:(1)在同一直角坐标系中这两个函数的 图象如图: y2=5x 5 4 y1=2x 3 2 01 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 两条直线的倾斜程度不同. (2)预测函数y2=5x的函数值先达到100. 4.解:(1)函数图象经过一、三象限,  2m+4>0,解得m>-2. (2) y随x的增大而减小,  2m+4<0,解得m<-2. (3) 点(1,3)在该函数图象上,  .2m+4=3,解得m 5.解:(1)当m-1≠0,即m≠1时,函数y= (m-1)x+m-4是一次函数. (2)当m-1=0,即m=1时,函数y=(m- 1)x+m-4是常值函数. (3)当m-1>0且m-4≥0,即m≥4时,函 数图象不经过第四象限. 7.x<2 8.B解析:A. k=-2<0,b=2>0,函数 图象经过第一、二、四象限,说法正确;B.'y =0时,x=1,函数图象与x轴的交点坐 标为(1,0),说法错误;C.当x>0时,y<2, 说法正确;D. k=-2<0, y的值随着x 值的增大而减小,说法正确.故选B. 9.y1>y2 10.解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b, -2k+b=-3, 则 k+b=3, 1k=2, 解得 b=1.  .函数的解析式为y=2x+1. (2)将点P(-1,1)代入函数解析式,1≠ 一2+1, 点P不在这个一次函数的图象上. (3)当x=0时,y=1,当y=0时,x= 此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积 11.解:(1)200 (2)当2<t≤5时,s=100×2+160(t-2) =160t-120. 故s与t之间的函数解析式为s=160t 120(2<t≤5), (3)s与t之间的函数关系式为


[星推荐 一发查书和中数学
星推荐一本念书初中数学]1 B x  △ABC为等边三角形.  AC=AB=2, BAC=6   CAD=90°,


放五C的坐标为
(2)说线拉BC精盘直线的解析式为xx 干万
()(一号)件
一4+4一2。
故线段BC掩在直线的解析式为 y
第二十章数据的分析
20.1数据的集中趋势
1.134解析:根,得 130×5+140×3+145×2 =136(分)。
5+3+3 故该小糕的平均得分是136分。
:银州题意,得(X+7X3+9X3 11×41+10×43+6×4+1×47)+50= 39.9(=40(梦)。
等,请单性职工的平均年龄是4岁
3.F
解析:建被学生"科技创新丝团"的人
1.14
为5+5+16+15+12=53(人),将这53人 的年龄从小到大排列后。版在中阅位里一 个载为14岁,因此中位我是14岁,批答案 为14.
元解:(1)试班学生为人数为12+30%
40(人).
(2)班书4册的人数方40×10%=4(人),
故若重为
20.21个截购为了册
..这组数据的中位教为7册 "截播8出现的法数最多,有1个, 二众款为8册,故茶案为7.8.
(3)倍评这被八年级学生本次捐赠图书为7 他的学生人数320×30%=96(人)
20.2数据的波动程度
2八1A4.A5
6.(1)80100(2)①A校②B③3B校 解析:(1)将1校5名选手的成增重赴肆列 为:70,75,80,100,100,以其中位4用 80,盘数6=100,武答重为80.100, (2)0从两被比赛点境的平均担和中位数的 角度来比较,或绩较好的是A:
②以两校比事或瞳的平局数和立数的商度 未比较,成时较好的是B : 一[2一+(一+2X
(B5一85)+(100-370-70 一85+(75-8)+(80-85)+2X4100 一#]-160, :以两校北成的方差的角度来比较, B校代表队选手成绩的方基轮大,找答案 为:八校,B校、B截
7.解:(1)这5天的日最高气温和日最低气温 的半均鼓分别是
23+25+23+25+24=24(℃)
21++15+15+17 -18(℃).
方星分别是
1-x(23-20)+(25-20+(21243+(25-24)+(24-24=0.8


"17.C18.D19.C20.A 21.解:(1) 方程有两个实数根,..≥0, 即 =(2k-1)2-4(k2-3)≥0,":"由(1)知,k<.=--2. 21.3实际问题与一元二次方程 1.C解析:设平均每次降价的百分率是工 则150(1-x)2=96, (1-x)2=0.64, 解得x1=1.8(舍),x2=0.2. 5.14 第二十二章 二次函数 22.1二次函数的图象和性质 1.B 2.D 3.解:(1)因为长方形平行于墙的边长为xm, 所以垂直于墙的边长为一(55-x)m. 由题意,得y=-(55-x)·工、 即y-5 它是二次函数. x≤28. (2)由题意,得 x-2>0 解得2<x<28. 4.< 5.解:(1)m的值是2或一3. (2)m=2时,抛物线有最低点, 其坐标为(0.0)。 当x>0时,y随工的增大而增大. (3)m=-3时,函数有最大值。 最大值为0. 当x>0时,y随工的增大而减小. 7.解:(1)a=1,m=9. (2)抛物线的解析式为y=x2,对称轴为 y轴,顶点坐标为(0.0)。 (3)r<0 (4)6 8.下3 9.解:(1)m=1或m=-3. (2)当m=-3时,抛物线有最高点,最高点 为(0,一2). 当x<0时,y随r的增大而增大. 11.C解析:①:a= 一<0,.抛物线的开 口向下,正确:②对称轴为直线x=-1,错 误:③顶点坐标为(一1,3),正确;④:x> 一1时,y随x的增大而减小,>1时, 随x的增大而减小,正确;5对于顶点式 y=a(x-h)2+k,a<0,当x=h时,有最 大值,最大值为k,正确.综上所述,正确的 结论是①③45,共4个,故选C. 12.A13.D 15.B解析:"一次函数和二次函数都经过 轴上的(0.c)...两个函数图象交于y轴上 的同一点,故A不符合题意;当a>0时,二 次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上 一次函数y=ax+c中y值随工值的增大 而增大,故D不符合题意;当a<0时,二次 函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,一 次函数y=ax+c中y值随x值的增大而 减小,故C不符合题意,故选B. 16.D 17.①②⑤解析:由图象知,抛物线开口向 下,对称轴x=1 .a<0."
六6-一2≥0. "机粉线定于,轴的正平脑
4>0
abc<0.故①王确 +3+一0 二一a+c0,
S 苗一
解得一2(a--不合题意督开),
三确 身工一时,数y一一6十一+2 二抛物线与轴的一个交点为(一1.0), 芒u+3十=0
与的一个定为(3.0
二直线/的解析式为y一2r
22.2二次函数与一元二次方程
1.C解析:根据题得4=(2一3)
一4(E-1)<0,解得>-.效选C.
二关于不等一a+2一20的解 皇为1<-1点x>3.被(③)错误:
"一期,故①错
十2一1
二点B(m.y.C(一世:y)关于对称 直线x=1对称。
一故四正确维上,正确的结伦是 中②②.社答案为(20. 18.y=2rl+1 19(2)品数解析式为y=z-2r+3
(2)点B(一1.一4)不在比抛物线上 20解:(1)出y+ 的图章与2轴变于A(一1.0),对称抽为 #=1.点日的主标为(3.0)
设二次品数的解析式为y-atr+1)(z 3>
把点C(0.3)代入上式并解得一1. 二二次品我的解析为y-x+1 +2+3
(2)x=1时,7=4, 二点M的坐部为(1.1)
设直线BC的解析式为y一=十6。 直线能过点B3.0.C(0.3, 1 男(:一3。 6,=3. 六直线加C的解种成为y设批物线对称验与查线BC变于AN, 点N的全为(1.2)。 MN-2.
2.0
3.解:(1)证:"=一(-2)(m+#=(m-2)+4>0 二无论m为任何实数,此品数图象局工 总有两个交点
(2)抵线与:轴的另一个交点生料 (一(0) 5.解:(13一35=1.
(2)x<-3.5x>1.5. (3)
22.3 实际问题与二次函数
1.112.5 解:(110米 (2)签a≥50时,那美国ABCD的面积的 最大值是1250平方来
金0<<50时,别买国ABCD的面积的 最大值是(50--)平含米。
3.C
5--(上-20)+16
解析:ymaf-20)+16。
因为抛物线试(0,0) 所以代入,得400g+16=0。
解得-就此把物线函数关系式
"(-20+16
# S MSawn+5a--xMN
(1)抛指我的解种式为y(一A) ()yr0+6
XO8--x2x1-3
[3)如图,说主线!的解析式为y一k① 与直线C、直线BM分别交于AE.F。
"它过点(0.2)。 二uX(0-4)+6=2.
品期的线的解析式为y--(r4)+
(2)不能安全通过,理由如下。
多21时一<
品诚货车术能委全进理随道
7.A解析:0.26+2.24-2.=-(米)


根据题意和所建立的空标表可知
出点B.C的坐标,可得直线的解析或
(一)()().
闪理可得,直线BM解析式为y--2z
说棒球运动路我的数关系武为y一ar+ hr+.将A.C的全标代入
RA(六) 同理可许入().
解得:=04 所以族飞出到落地所用时间是4一0=4()。 (3 -X(一5-2时,小康 的飞行高度最大,最大高度为20m。
第二十三章旋 转
星推荐 一本涂书 初中数学
23.1图形的旋转
1.解析:"CC/AR,
位置。 AC-AC.BAB'= CAC. 占ACr-ACC-7
BAB=CAC=180-72X2-36
统选玩
2.65°1.2-4.C5.(1.1)或(4.4)
23.2中心对称
人A
0.解:(1)起长ADA,AD-DA.C 关于D的时排点是B(C"),8点关于D的 时称为C(B), (2)连接A,AC
则△AB'C"为所求作的三角形,如图所学, InC
解:AB一
(2)图味.A,(-1.4).8(一5.0.C(一4 E) 56C
解:依题意.ABCD的中心点在(1,1.5),过 原点的立线y=mr也经过此点:代入了
1.y-1.5得m*1.5
10.C
J2u+36=-8 IC解析:题意 12g+动一2。
解之#(一
a+6=一9
12.C解析:由题君可得尸位于第四限,时
o>0. A ."<0选
14.解:希图可知:A(一2.2),B(一3.0), C(-1.一1),各点关于原对标的点的 标分别是:A:(2,-2).B(3,0).C(1.1), 然后镇次连接,如图解
:(1)由题意,得m+1=3-5度+1 +3m-5=0.解得--3点m-1
(2) m-)时,点虫标为(4.4)。关手原 点的时称点坐标为(一4,一4);
解(1当y=15时,有一+20 化 得:-4z+3=0. 因大分解得(-1(z-)0 故==1或了,即飞行时间走1s或者了生 2,高都为
第二十四章圆
24.1圆的有关性质
11.A12.11 13.4m
黑,在优器上取一N,选
1.82①1.A
5.解:多0在△AB内部,如图1. OD-D-AD=8 在AC加图 0D-0B-B0=-=3 则AD-2
掉上知,BC造上的高为5或2.
=/N.
0
5.250解析:(D=1m,则(A一(z十 502m (z+50-+150, 解之得上-200 04-250m 5.解:如图,说形婚AB斯在的心力
[0.连(A. 2H
1解:(1)证明:违AD."AB美00立]C N M H E F A B D


8ADB-3,AD加,CD
B.AD直平分C,AR=A A2H=2C,xZH-2E /C
(2选ARDA00的内 考。 六AFD-180E ZCFD=180-ZAVD CFD=F-35ZE-2 ZHDF=2C+2CFD-110 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 1.8点M直A点和C点2.0 3解:(1)A8=AC.AABC为等三 .0为△AC的开4.20AC BAC=35(等三勇形三线合一
作001AB专AD.文②0于AC,MIN 于AH 由备强定理可知,D为AB的中点 设(A米 剧00=(C-DC=(r-24)米。
AD--AR1.5
R△AOD+,0=A+OD
聊=3.6+(r-2.4) 解得3
在RAOHN.OH-ON-NH 3-1.-3.6(来), 所aFN=DH=OH-0D-1.-(3
2.4)=2.1(k) 四寿2.1来>2米
所以此货船能顺利通过这疫抽格 7.60°5.40A
10.证明:(1)连接(C.OF "AC-BF...ZCOABOF 2./00B=/FOA...BC-AF.
(20为ABC的外 云ZOCD-0AC-35..2AOC=110 "ACP是三角市C60 ZAOP=110-6=50 4.D 5.解:巴知,在得进形ABCD中,/B卡 AD-10,素试:ABCD点国 证明:如图,假没A.B.C,D走不共菌、过 A.B.C三点作画.D杰在图内,延长AD 与腾交于AE,连择CE。
剩日+/E一1 "ZAD>ZE :28+ ADC>180°. 建与已加备件/+/AIX10 做设不成立
同理可证D点在属终也不成立 只愿结论直确
5.0Cm<2减>
7.一我1+ 解析:作EF/MN.业 00相切,变狮于点E,交y于点F 用开帝。
(2):200A= BOF.0C-OF-0A -0B、 ZA-ZOCA0-28. "CD/EF.ZAMC-ZANE X"ZHNF-ZANE AMC=/BNF.
A△AMC和△8NF中 12A-/B. CAMC-ZHNF. AC-HF AAMC△RNF(AAS)
LAM-AN.
设直线EF的解析天力y一十5.却上一 +6=0 EP与O0相初.直00的年力1。 x1x16
星推荐
一本涂书初中数学
解评在一或6一
重维EF的解行式为一/+ 一匹, 二区的业标为(厚0)(一,0)。
在y-+~2中,命y=0.到1=2. 2M(2.0) "感括运难的相时性,且00以每秒1单 让的速度向右作平将运动, 移动的时间为(一秒(+) 故答案为2一减2+ 9110.B
11.解:(1)证明如图,连接O8,
AB是00的我,BAB,CE AB./CE.Z1-23.OB-OC 21-21.422-21.4C8 分LACE (2CELAB.ZA-3, ZACE=60 21-ACE
CRE-60°。 BEC "ZA-/2-30", C一MA-6.
在R△0AB中,OB一(A=2r 1-g=36.-12. 1=23.7:--23(含)
国0的手挂为2.
12.B
1.12解析:0为△AC的外心 ZHOXC-140, ZA=7 ABC+ZACH-110。
为AAC的 C+5 .BIC-125.世答重125
1.解:(1)如图,速接/Q15点:作
1MLBC千点M,作INAC点N 克15手点,可得进时QS 形1MCN均为正方,形1MSH 为斯帮,回1:的半往为R 到AQ-AP=3-R.CS-CQ-R VZACB-90' AB-=5
BP=BS,+3一=。 解得R2
(2):AAC内的面 M-N--x3+4=1 占1月=1+2=3.1:1=2-11 六1=3+1=1
G0,的心距一1+1 八两周的社里关系为相见。
0m一)时,8点坐标为(2,一2),关于原 点的时称点坐标为(一2.2)。
增乐趣
24.3正多边形和圆
L.CzD
3.1+解析:如面:△CD元主
三音形,=1.nD .三方形的近 长手个AB+2RD-1+
舟选到问一社团的只有(A,A),(B.B)。 (C.C)三种,所以继版和开舟选到间一社国
-一,选C
1.解:(1)÷
(2)1----甲民终医肤的脱车
[5.解:如图,违接0A.作OH1AC于AH, 20AH-10"
在RIACAH中.使OM一R,时OH-R 南为肢实理可AH=OM-ON (÷R)-]E D F A H B


3x4+5x2+2+4
签:前8次的指针所指数字的平均数为3.5.
(2)可能发
第送10的指针所指数字的平均数不小于
3.3.且不大于35、则持指数字之和点不中 于33,且不大于孤
因力前8次的所指数字之和为28。
赠以最后两次的所指数牢之和不小手5.
里不大于 数字药所有情况 9次和著10指针纤 品树状圈如下。
第9次 第10次2 45675.678 第9次
而AACE的面积是△AN面机的6倍,却
6xx-RxR-4,解得R一
五六边形的通长为8.所以正型的测长 为48 6.解:(1)证明:" APC=ZABC.ZCPB ZHAC.
文"ZAPC= CPB=50 ABC-ZRAC ABC-ZBAC=ACB-60°
其中指针牌指数字之和不小于5.且不大于 了的有行种结果,政所城率为一
25.3用频率估计概率
AABC是等德三角有
(2)AAHC的动长为4om,且△ABC为
等进三角....0的半径民=(xx三 43 Cem)
1.D解析:根据题意得--2%.解得#= 30,所以这个不透明的盒子里大约有30个 除钱色不同外其完全相同的小球。
2.D
3.D解析:试脸之段越大,频作题稳定,越接 让事件发土的批率,故速队目一大投黑命中 的概率大约是0,72
4.20解析:使猎福里白痣的鞋音是一.则根 择随意,-0.2.邮得=20.经检验
愿方程的解,且得合观意
第二十六章反比例函数 26.1反比例函数
5.1 500
24.4弧长和肩形面积
1.8 2.A 3.D LC 5A/5 LA 7.6m
第二十五章概率初步
25.1随机事件与概率
1.03<yD6A 7.89.3
LC2D3ALD÷
25.2用列举法求概率
解:(7)就点所有可能的坐标(一2.1)。
-2.3.(1.-2:(1.3.(3,-2).(1.1)
(2)该点在第一章限共有(1.3).(3.1)两种 情选,由(1)知总的等可能情况有6种,故树
单为一
3.C 解析:根括超意,用列表法列出所有可能 的果,(A,航模:B:彩C昆型
[3.C 解析:根括超意,用列表法列出所有可能 的果,(A,航模:B:彩C昆型
:1)禁AC(6,一1)在及此例y 圈桌上。]

  A B C

征征  (A.A) (A.B) (A.C)

B (B.A) (B.B) (B.C)

C (C,A) (C.B) (C.C)
:1)禁AC(6,一1)在及此例y 圈桌上。
二师26,y=-】代入及比树击数的解析 天得一-一5
二反比例品我的解析为y
点D在及比鲜函教的图象上,且DE
3、即点D的级皇标为3.将一3代入反比 例函数的解析式得3一
六点D的来部为(一13), 设一次品我的解析大为y一起十6,将C与
D的生部代入伴
星推荐 一本涂书初中数学
(迁点C作CH上静于点H C(6.-1)..CH=1.
对于一定品数y"--x+2y一0.东 得r丝AG0
由D点的出标(-8.3).得到E(一2.0)。 二AE-0+0E=6 5e-Scu+Sax6x1+ ÷x6x2=1此△CE的面积为12
11.解:(1)将A-3,m+)代y一二, -+解得--6.比例品仪
AB在--上得
+1 A(-1.2).(1,一6)代入y=h+ #
一次品y2
(2)说AB与扬交于点D,毒辉Dx一2,
0), Sa5+5 xzx2+xx4
26.2实际问题与反比例函数
解:(1)"温度在由温10℃上升到30℃ 的建程中,电阻与温度成现比制关系 二可设只和了之间的函数解析大为R
(10,6)收入上式,评解得来00。
截10TC30时,R一
(21将7-30代入R
二等温度为30时,电限R为2k0 点温度达到30℃时,电阻下泽到最小值
随后电阻随温度的升高局增加,温度每上升 1℃,也组除加kQ。
二T230时R=24(-30)
(3)起R=0代入民--T一6伴4
二家用电民蚊器在使用过程中,温度在10~ ℃时,发热材料的电阻不超建6k 解:(1)根题念:得w-100(>0)
a(0) (2)为(3)
因为100>0开汉120时,随着约 增大而减小,
50<5时020
签:平均每小时五少要却货20吨。
3.A
第二十七章相 似
27.1图形的相似
1.C2.B3.1L1000
5.60(m或15m解析:此题的对麻关系不


[信确,30可以对应10.也可以时应20.设准
增乐趣]得x=60或x=15. 14.B  sin BAC= 6.2√3 解析: 原矩形的长为6.宽为x, 15.解:根据题意,得AB BH.CD BH.FG ↓BH. BO  小矩形的长为x,宽为 在Rt CDE和Rt ABE中, AB 小矩形与原矩形相似,  AB BH,CD BH, 又 AB=15, BO=9.  CD//AB.  AO=√AB2-OB2=12. 则△CDE △ABE.  AC=2AO=2X12=24. .CD DE  x=2 3. [变式探究]解:在Rt AOB中,AO=12. 1  AB DE+BD 7.A AB=15, FG HG 27.2 12 相似三角形 同理  sin ABD AB HG+GD+BD 1.解: AB//CD//EF, 又CD=FG=1.7m. 4.解:如图所示,过点A作AD BC于点D, AD BC DE HG A 由12,可得 DE+BD HG+GD+BD 解得CE=2.5, 3 5  .BE=BC+CE=5+2.5=7.5. 即3+BD ,解得BD=7.5m. 10+BD 2.C D 将BD=7.5m代入1, 3.解:相似.理由如下:   B=45°,△ABD是等腰直角三角形, 得AB=5.95m≈6.0m. 网格中每个小正方形的边长均为1, 故路灯杆AB的高度约为6.0m.  AD=BD=AB·sin B= 2×  AB=25,AC=5,BC=5,EF=210, 27.3 位 似 DE=4 2,DF=2 2. AD 1.A 2.B 3.(一9,-2)或(3,2) 在Rt ADC中, tan C ,AB AC BC √10 2 4.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求. "DE DF EF 4 (2)如图所示, A2B2C2即为所求.  △ABC △DEF. B2(10,8). 4.2或4.5  CD=2,BC=BD+CD=1+2=3. 6.证明: AB=AD,  ABD= ADB. 在Rt△ACD中,AC=√AD2+CD2  AD//BC, ADB= DBC,   ABD= DBC.  △ABC的周长是√2+3+√5.  AE BD, 5.A   AEB= C=90°,  △ABE DBC. √21 3 8.解: DE AB,  BED=90°. 又 C=90°, BED= C. 又 B= B, △BEDBCA,


[信确,30可以对应10.也可以时应20.设准
增乐趣]BD DE BD·AC 8×7 5.(1,2)或(一1,-2) 6.B 7.6 "AB=AC...DE =4. AB 14 8.解:(1)△A1B1C1如图所示,点B1(1,3). 9.D解析:根据题意得,这两个三角形的周长 (2) A'B'C'如图所示,点B'(-2,-6). 的比为5:3,设两个三角形的周长分别为 5a cm,3a cm,则5a-3a=12,解得a=6, 所以5a=30,即大三角形的周长为30cm. 10.解:(1)证明: AG BC,AF DE,   AFE= AGC=90°.   EAF= GAC,   AED= ACB. 又 EAD= CAB, ADE ABC. (2)由(1)可知, ADE ABC, AF AD 3 "AG AB 5   C=180°- 11.D解析:由DE:EC=2:3,得DE:AB= =75°. 2:5,S△DEF:S△BAF=4:25.而S△DEF : B  △ABC是锐角三角形. S△EBF=DF:FB=2:5=4:10,故 8.(1)0.920 5 (2)0.945 6 (3)2.0013 第二十八章 锐角三角函数 S△DEF:S△EBF:S△BAF=4:10:25.故 9.解 sin 6 3 4 5 0.894 5. 选D. 28.1 锐角三角函数 12.D 10.(1)6.38° (2)82.06° (3)72.62° 1.C 13.解:(1)证明: DC=AC,CF平分 ACB, 28.2 解直角三角形及其应用 2.解:(1)由勾股定理得  CF是△ACD的中线. 1.D AB=√AC2+BC2=72+242=25. 点F是AD的中点. 2.解: 在Rt ABC中, C=90°, BC 24 AC 点E是AB的中点, (2)sin A AB 25 AB 25  EF //BD,即EF//BC. BC 24 (2)由(1)知,EF//BD, tan A= AC   AEF ABD. 3.解:连接BD,交AC于点O, S AEF AE B   A=30°, B=90°-30°=60°. AB  a=10, A=30°, B=60°, 3.24 又 AE= AB.S AEF 4.解: 在Rt ABC中, A=30°,   B=90°- A=60°. S△ABD-6  sin A 四边形ABCD为菱形,  S ABD=8.  AC BD. x sin 30°=4√3×  △ABD的面积为8.   AOB=90°.


[增乐趣
星推荐 动中数学]BF E\\O 在Rt△ABF中,sin a AB (43)2-(23)2=6. BF BF 5  B=60°,a=23,b=6. ...AB 0.65 13 B 5.解:如图,作EH BC于H,DF BC于F,  BF=0.65X (千米), 设DE的延长线交AC于G. 13 A D F H AB CA  斜坡BC的坡度i=1:4, (2)由已知可得,DO CD  CE:BE=1:4. 1.6 1.4 设CE=x,则BE=4x, DO 1.4+2.1 在Rt△BCE中,BC=1,  DO=4m. 由勾股定理得,x2+(4x)2=1,  灯泡的高度为4m. 5.解:(1)如图所示. 解得x= (舍去), DE  BF AD,CD AD,BE CD, G  四边形BEDF是矩形,  BF=DE, a C FH BF  .CD=CE+DE=CE+BF 则cos a BD (2)如图所示.  .BF≈60X0.85=51(米),FH=DE= 千米. 9米, 答:小明从点A到点C上升的高度CD是  .EG=HC=BC-BF-FH=110-51-9 =50(米), 千米. AG  tan = EG 第二十九章 投影与视图  AG=50X2.48=124(米), 29.1投 影 (3)如图所示. DF .sin a 1.B BD 2.解:(1)因为太阳光线为平行光线,所以该小  DF≈60X0.53=31.8(米), 组的同学利用平行投影的知识进行计算的.  .CG=31.8米, 答案是平行.  AC=AG+CG=124+31.8=155.8(米). [变式探究] 解:如图所示. (2)过点E作EM AB于点M,过点G作 答:AC的高度约为155.8米. GN CD于点N,(图略) 7.解:(1)在Rt △ABC中, BAC=90°, 所以MB=EF=2,ND=GH=3,  BCA=60°,AB=60米, ME=BF=10,NG=DH=5, AB 60 则AC =203(米). 所以AM=10-2=8, 6.解:如图,过点A作AH BB1于点H.依题 tan60° 由平行投影可知, 意,得 BAH=30°,四边形A1B1C1D1是 答:坡底C点到大楼距离AC的值为203米. 矩形,其中A1D1=AD=B1C1=BC,A1B1 AM CN (2)设CD=2x米,则DE=x米,CE=


[增乐趣
星推荐 动中数学]=C1D1=AH. ME NG √3x米, 8 CD-3 所以10= 在Rt BDF中, BDF=45°,则BF=DF, D B 解得CD=7米.  60-x=203+3x,x=403-60, 即电线杆的高度为7米.  CD=2x=2×(403-60)=(803-120)米. [变式探究]解:如图,过点E作EM AB 答:斜坡CD的长度为(803-120)米. 于点M,过点G作GN CD于点N. 8.24解析:由题意知, CBA=25°+50° A B =75°.  AH BB1, BAH=30°, 如图,作BD AC于点D, 北 NF  AH=AB·cos30=10×=5 3(cm), M E 东  A1B1=AH=53 cm. B F H D AM CN  A1D1=AD=10 cm, D 70°  AE//CG ME NG  S四边形A1B1C1D1=A1B1·A1D1=53× 10-2 CD 10=50√3(cm2). 10 8 50° 则正方形ABCD的正投影的面积 25°  .CD=10.4米, CD>AB, 是50√3 cm2. 即电线杆CD的高度大于旗杆AB的高度. 29.2 三视图 B 3.解:如图,A为灯泡,EB为桌面半径,DC为 1.B 2.C 桌面影子的半径. 则 CAB=(90°-70°)+(90°-50°)=20° 3.解:如图所示. +40°=60°, ABD=30°,   CBD=75°-30°=45° 在Rt ABD中,BD=AB·sin CAB= 20X =10√3(海里). B E 在Rt△BCD中, CBD=45°, 4.C 5.(75√3+360) 则BC=2BD=2×103=10√3=10× D 6.解:(1)圆锥.  AE=2.5米,ED=1.2米,EB=0.5米. 2.4=24(海里). (2)表面积S=S扇形+S圆= rl+ r? AE EB 9.解:如图,过点B作BF AD于点F,过点  EB//DC, 12 +4=16 (平方厘米). DC B作BE CD于点E. (3)如图,将圆锥侧面展 B' EB 0.5  DC= AD= 开,线段BD为所求的最 X(2.5+1.2)=0.74 2.5 i=1:4 AE 短路程.由条件得, B (米).  BAB'=120°,C为弧 D S影子= X(0.74)2≈1.7(平方米). BB'的中点,BD=3 3 a  .晚上开灯后圆桌面在地面上的影子的面 D F 厘米. 积约是1.7平方米. 由题意知,AB=0.65千米,BC=1千米, 答:最短路程为3√3厘米. 4.解:(1)如图,点O为灯泡所在的位置, 5 sin a= B 线段FH为王亮在灯光下形成的影子. 13


国家公务员考试面试
结构化
(2021版)
FIC
第一章 面试概论
0了解面试的内涵、形式和组织流程。
熟悉面试的基本考情,把握考查重点,找准学习方向。
掌握考场举止仪表的基本要求,在后续学习中加强自我要求, 养成良好的行为举止习惯。
学习目标
第一节 初识面试
同学你好,恭喜你顺利通过笔试进入面试环节。在正式开始面试具体题目作答之 前,我们还是有必 先深入理解面试的零质,有了正确的理念支持,后续的题回作答 才能游刃有余。请大家收拾好 要快速学习的心情,与授 老师一起先认识面i,尝 试回答下面的几个思考题目。
【思考题】
学员思考1:笔试与面试的区别是什么?
学员思考2:面试中外在形式和作答内容哪个更重要?
学员思考3:你认为考官更加青睐怎样的考生?
学员思考4:以"政府思维"为例,你认为自己看待问题能够符合要求吗?请 思考并作答下面的这道题目。
【例题】有人认为:农民没有休息日,乡镇公务员也不应该有休息日,你认为呢?
学员思考5:以"说服力"为例,与人沟通最重要的便是懂得"换位思考" 你认为自己具备较好的换位思考能力吗?请思考并作爷下面的这道题目。


【例题】为了更好地指导大学生创业,某高校组织开展大学生与创业模范交流会 活动,但在邀请某位创业模范时,却被当事人以"自己公司规模小、经验太少、贡献 有限,没什么可分率的"为由拒绝了领要要搏你与创业模范沟通,你会如何沟通?
第二节走进考场
面试的组织形式
(一)常见的组织形式
1.结构化面试
结构化面试,也称标准化面试,相对于传统的经验型面试而言,是指针 对要测评的内容事先进行精心设计,系统到面地到好拟提问题的清单,面试 时严格按照事先准备好的问题提问,并根据应试者回答内容的 适当性进行 评价。
[简单说就是测评要素、面 试题、实施程序、评分标准考窖组成等 事先进行规范性设计的一种面试测评方法。
2.无领导小组面试]考官席 监督席 记分员 记时员 考生


[无领导小组讨论,是一种集体面试方法,通过给一组应试者一个可供讨 论的问题,让应试者在规定的肺间内进行讨论,从而观察与评价应试者的基 本能力与基本素质。
3.结构化小组面试]考官 考官 考官 考官 考官 考官 考官 单透玻璃(无玻璃) 监督员 计分 工作人员席 监督席 监督员 考生 考生 考生 考生 考生 考生 监督席 考官 考生 考生 考生 考生 考官 考官 考生 考生 考生 考生 考官 5


[结构化小组面试,是一种标准化小组面试,要求一组考生同时回答一套 想目答题结来后,考生之间互相评论和回应的一种面试 评方法,从而测 查考生从事公务员工作所需的基本能力和基本素质。
(二)三种面试形式的对比]面试考场示意图 考官席 计时一监督 计分一核分 考生席1 考生席2 考生席3


[(二)三种面试形式的对比
第三节高分作答]
"":"人数"
"结构化":"1人"
"无领导":"6-9人"
"结构化小组":"3-5人"
"":"考试阶段"
"结构化":"看题(听题)、答题"
"无领导":"准备提纲、个人陈 述、讨论、总结陈述"
"结构化小组":"准备提纲、答题、点 评、回应"


"":"优缺点"
"结构化":"优点:1.操作方便; 2.便于考察。 缺点:1.考查内容 局限;2.横向比较 困难。"
"无领导":"优点:1.便于横向 比较;2.考察内容 全面;3.破解掩饰 性难题。 缺点:1.操作困难; 2.题目命制困难。"
"结构化小组":"优点:1.操作方便; 2.便于横向比较; 3.考查内容多元。 缺点:1.考生答题 易相互借鉴;2.人 数超三人时,考官 评分压力大。"


"":"考生掌握的难点"
"结构化":"1.考场压力大;2思 考时间短;3.考生 个性化亮点打造 难。"
"无领导":"1.统一标准难;2. 推动讨论难:3.临 场记录难。"
"结构化小组":"1.答题展现亮点 难;2.考生记录难; 3.点评及回应难。"


[结构化	无领导	结构化小组
人数	1人	6-9人	3-5人
考试阶段	看题(听题)、答题	准备提纲、个人陈 述、讨论、总结陈述	准备提纲、答题、点 评、回应
优缺点	优点:1.操作方便; 2.便于考察。 缺点:1.考查内容 局限;2.横向比较 困难。	优点:1.便于横向 比较;2.考察内容 全面;3.破解掩饰 性难题。 缺点:1.操作困难; 2.题目命制困难。	优点:1.操作方便; 2.便于横向比较; 3.考查内容多元。 缺点:1.考生答题 易相互借鉴;2.人 数超三人时,考官 评分压力大。
考生掌握的难点	1.考场压力大;2思 考时间短;3.考生 个性化亮点打造 难。	1.统一标准难;2. 推动讨论难:3.临 场记录难。	1.答题展现亮点 难;2.考生记录难; 3.点评及回应难。

第三节高分作答]面试的组织流程 1.审核证件资料,抽签确定面试顺序。 审查抽签 2.依据考场要求进行面试候考。 面试候考 3.严格按照考场规定和考官要求作答题目。 开始答题 4.考生退场。 考生退场 5.考官根据考生当场表现进行评价打分。 统计分数


牛刀小试
【例题】疫情期间,网上流行一些段子,"在意大利等欧洲国家,民众 不要出来,因为没有需神山,没有火神山,没有钟南山,没有其产做靠山四 感染就只能抬上山"。对此,你怎么看?
(一)举止仪表
1.自信从容
2.大方得体


[3.稳重真诚
考生坐姿参考图]男生 女生 不烫发、不卷发。如果戴有眼镜,应擦干净眼 头发:短发梳好,长头发最好扎起来,最常见的 镜片,剃去胡须。 就是扎马尾,也可以简单地绑起一部分来。会盘 发的话把长发盘起来。额头的头发尽量不要遮 住眼睛。 领带:深色套装,浅色衬衫,通常的搭配是颜色 较深的领带,最好是与套装同色系。 套装:深蓝色,藏青色,米色,驼色,都可以选 择,颜色上不特别刺目即可。款式的选择也很自 衬衫:白色系和蓝色系。白色是不变的时尚,蓝 由。不一定要清一色的职业套装。身上的主色是 色与众不同又不会显得不正规的只有浅蓝色。夏 前面所说的四类中的一种,总体颜色不超过三 季多建议男性穿白色短袖衬衫搭蓝、黑西裤。衬 种。 衫的下摆不可过长,而且下摆要塞到裤子里。 夏季时候推荐套裙配普通黑色皮鞋或者白色短袖 衬衫搭西裤和普通黑皮鞋,而冬季则套裙或者女 袖口:衣袖一定不能太长,平端起来露出1.5厘 士正装配上普通黑皮鞋为最佳选择。 米腕骨最合适,平端时露出外套1-2厘米。 西服:男生的常规装束是西服套装,西服的颜色 只有两种选择:藏青色或深蓝色。 袜子:衣一般为褐色、深蓝色或藏青色。切忌穿 白色袜子。


[3.稳重真诚
考生坐姿参考图]考生


(二)语言表达
1.简洁流畅
2.逻辑清晰
3.有感染力
(三)作答内容
1.价值观正
2.有针对性
3.全面丰富
第四节 中央党政机关面试考情分析
中央党政机关部门面试形式与操作细节
[中央党政机关部门面试形式与操作细节
中央党政机关面试测评要素考查比重]
"面试形式":"题目数量"
"1.结构化为主; 2.无领导、半结构化、结构化小组为辅。":"4-5道题为主,也考过2或3道题。"


"面试形式":"时间"
"1.结构化为主; 2.无领导、半结构化、结构化小组为辅。":"4道题20分钟,5道题25分钟,包干制。"
"面试形式":"获取题目 方式"
"1.结构化为主; 2.无领导、半结构化、结构化小组为辅。":"一般采用听题的形式,偶尔看题,多数考场有题本、有纸笔。"


"面试形式":"考场情况"
"1.结构化为主; 2.无领导、半结构化、结构化小组为辅。":"7-9名考官,有引导员。"
"面试形式":"成绩公布"
"1.结构化为主; 2.无领导、半结构化、结构化小组为辅。":"一般当场无确认分数环节,要求考生后续等待电话通知成 绩。"


"面试形式":"成绩计算"
"1.结构化为主; 2.无领导、半结构化、结构化小组为辅。":"1.未组织专业能力测试的:综合成绩=笔试成绩X50%+面试 成绩X50%; 2.组织专业能力测试的:综合成绩=笔试成绩X50%+面试成 绩X35%+专业能力测试成绩X15%。"
中央党政机关面试测评要素考查比重
[中央党政机关面试测评要素考查比重
中央党政机关面试题目展示]

"测评 要素":"题量 比重"
"综合分 析能力":"43%"
"计划组 织协调 能力":"18%"
"应急应 变能力":"11%"
"人际交 往的意 识与技 巧":"8%"
"解决问 题能力":"3%"
"言语理 解与表 达能力":"4%"
"岗位匹 配性":"13%"
中央党政机关面试题目展示
【面试题目1】疫情发生后,人们的生活方式由线下转向"云端"的趋势愈加明 显出现了如音办公、云课尝、云医疗、云则物等。对此,你怎么看?
【面试题目2】习总书记在纪念五四运动一百周年大会上说:"新时代中国青年耍 担当时代责任。时代呼担当,民族 兴是青年的责任。"对此,请谈谈你的理解。


【面试题目3】某地政府要深化推进"放管服"改革政策。为了解本地政务大厅对 于"筒致放权"相关要求的薄实效果,领导安排你行调研,你准务怎么办?
【面试题目4】进入单位以后,你被分到办公室工作,工作很 碎,压力较大,而 且已经干了一年半的时间。而与你一起进单位的 事们,工作都很有挑 性,你很美 慕他们。面对这种情况,你会怎么做?
【面试题目5】县政府正在召开基本农田保护工作会议。突然,有参会群众代表站 起来反晚情况,称某政府强行#一经作物山药,毁坏了树里的粮田。作为此火会 议的负责人,此时,你怎么办?
【面试题目6】近日,习近平总书记在陕西考察时强调,广大党员干部要自觉讲跤 治,对国之大者要心中有数,关注党中央在关心什么、强调什么,深刻领会什么是党 和国家最重要的利益、什么是最需要坚他维护的立场。请以"元也大者"为题做一篇
演讲。
四 中央党政机关面试特点分析
1.政治素养要求高。
特别看重考生的政治站位和党性修义.以及运用习近平 时代中国特色社会主义 思想指导作答的能力。
2聚焦高频考点。


聚焦于八大高频考点,如党的建设、政府工作实务、疫情防控专题,民生建设,绿 色发展理念、乡村振兴、经济新业态、青年人价值观。
3.注重考查综合分析能力
在中央党政机关的面试中,综合分析能力的题量占比为43%,甚至出现过一套题 中有3道均是考查综合分析能力的情况。
第二章 综合分析能力
了解综合分析能力的考查目的和考查特点。
0掌握综合分析类题目的作答原则和高分技巧。
0能够结合题干及自身理解,在思路和内容上实现灵活作答。
学习目标
题目展示
1.疫情发生后,人们的生活方式由线下转向"云端"的趋势愈加明显, 出现了如云办公、云课堂、云医疗、云购物等。对此,你怎么看?
2.当前,我国很多城市都在积极推进垃圾分类工作,但却出现了部分 居民乱投放垃圾的现象。对此,你怎么看?
3.受疫情影响,各地农产品滞销问题严重。为了打开本地产品销路,市 长、县长们纷纷开启"直播带货"模式。但部分干部将直撸间当成秀场,出 现流量注水、销量造假、大搞摊派等现象。对此,谈谈你的看法。


4.某地发改委制定了政府重大投资项目事前评估制度的改革,其中规 建政府预算安排的重大投资项名决策将加入第三方专业组织的考察热(, 同时充分听取地方人大代表意见, 主动接受地方人大监督审查。对此,你怠 么看? 5.习总书记在纪念五四运动一百周年大会上说:"新时代中国青年要 担当时代任。时代呼晚担当,民族振兴是青年的责任。"对此,请谈谈你 的理解。 6.随着互联同的氏泛应用和普及,越来越多的人选择使用手机、平板 电脑等各类电子终端设备进行数字阅读。但有人却认为传统纸质阅读更为 合理。对此,谈谈你的看法? 7.有人说,防止用户信鸟泄满能从源头保障信息安全,也有人说,要提 高犯罪成本才能确保信息安全。对此,你怎么看?
综合分析,是人们认识客现事物时的大脑思维活动,具有这种思考能力 的人,在认识 物的过程中,更易透过现象看出本质、深入恩考问题。
综合分析是公务员所必需的能力,通过这项测评要素来考查考生能否 对政府的致气有透彻的理解一能否对让会现来有深刻的分析,能否对工作中 遇到的业务或人际上的困难有合理、客观的认识等等。


具体来说,考声要能对事物从家现方面进行总体静虑,从微观方面对其 各个组成部分予以考虑、注意整体和部分之间的相互关系及各部分之间的 有机协调组合。
能力感知
新闻记者:
他理您好也您一直在强调嫑大力为展"丘联网十"太展共事经济,但 是 去牟 生了一连串的负面事件您对此怎么看?下一步 府对规范发展 共享经济有什么新的举措?谢谢。
李克强总理:
"互联网十"、共享经济,也可以说是平台经济"它们作为新事/物和 任何新事物一样,在发展中总会有利有弊。但是总的看,它们带动了就业, 方便了赚众,而且推动了相关产业的发展。像电商、快通移动支付等,大 家都有感受,众人做事,集众智、聚众力,众人共享。
对于这些新业态、都模式,不能简单任性,要么不管,要么r死。所以 我们这几年一直采用的是包容中慎的原则。包容就是对新的事物,我们已知 远远小于未知,要允许它们发展,对发展中出现的问题加以纠正。所谓审慎 监管,就是要划出安全的底线,不允许打着"互联网+"、共  济的招牌 搞招摇撞骗。要给创业者提供一个能够成长的空间,给企业一个发展新动能 的g境。在这个过程中,我们需要的是公平的准入、公正的监管。都事在


市场力量推动过程中,发展要靠市场,也要在市场竞争中 胜出汰,政府也 要进行公平公正监管。给快和烦恼总是在成长当中相 随,我们要做的就是
引导他们健康成长。
其实,互联网经济、共享经济、平台经济还有很大发展空间。电商、快 远对工业品下乡、农产品进城,可以进一步起到搞活流通的作用。在工业领 城推动工业互联网,可以把那些闲置的实源带动起来,而且 进技术创新。 在社会领城,用武也地就更大了,像"互联网+医疗健康"、"+养老助幼"、 "+教育",可以联动许多方面,尤其是让偏远地区、农村的群众、家庭、 孩子通过互联再能够 受优质的学校、医院,优秀的教师、医生资源,帮助 他们后实际问题。这方面的 子就 很多了,我看过不少"互联 +医疗诊 断"、"十教育"的实例,这本身就是在释放着市场的活力和社会的创造力。
想一想:
1.对于发展"互联网+",发展共享经济,李克强总理的整体态度是什 么?
2对于发展"互联网十,,发展共享经济,李克强总理关迷了哪些方面 的意义?
3.对于如何发展"互联网+",发展共享经济,李克强总理提出了哪些 措施?
解读


李克强总理关于"互联网+""共 享经济"发展的回答,对各位同学回 答综合分析类的面试题有很大的借鉴意义。
1.能够抓住事情的本质,观点明确。
"包容审慎"的原则,体现了国家对于新经济、新业态基本规律的把过, 也表明了允许、引导、规范新经济、新业态发展的基本态度。
2.对问题分析有广度、有深度。
一方面,分析了发展"互联 十""共 享经济"的意义,带动了就业, 促进了技术创新及相关产业的发展,解决了工业、农业、医疗、教育等诸多 领域的现实问题:
另一方面由对"互展网十""共 经济"的分析深入到对新业态 新 济发展本质的认知,体现了创新的发展理念,凸显了国家对 济发展、 民生改善的重视。
3.提出的措施具体可行。
从"互联网+""共享经济"的发展方向和现实需求出发,着重强调了 "包容审慎"的原则。一方面,严把安全底线;另一方面,允许发展、正确 引导、及时纠偏,促使其在市场推动和政府监管的共同作用下 康发展。
4.语言表达通俗易懂、接地气。
率克强总理所列举的都是一些实实在在、耳熟能的例子,不仅可以更 清晰地表达自己的观,点,而且便于听众理解,容易引发情感共鸣。
考查特点
1.考查题型


(1)2020年以专业题、社会现象和名言声句为主,观点类火之,致坏 理解考查较少;201报以前.侧重考奋社会现象和欢策理解.观点浆形 较多,哲理类较少。
(2)近几年出现过创新题型和漫画、微材料。创新题型包括串词论述。
标语拟定等。
2.命题特点
(1)社会现象中消极类现象较多,积极类、辩证类现象也有考查;
(2)名言警句主要考查习近平讲话;
(3)观点类题目中以双观点为主,多为社会现象类观点;
(4)政策理解类问法较常规,中央和地方政府部门出台的相关政策均 有涉及;
(5)漫画题涉及现象类和哲理类,前者居多。
3.高频考点
近三年,国考嫁合分析能力的考点从大方向看,经济、欢治、文化、社 会、生态、疫情等均有所涉猎,主 包括党的 设、疫情防控、民生 设、 绿色发展理念等。
四 分析训练
【例题1]疫情发生后,人们的生活方式由线下转向"云端"的趋势愈 加明显,出现了如云办公、云课堂、云医疗、云购物等。对此,你怎么看? 学员思考1:对于人们的生活方式由线下转向"云端",你的评价是 什么?
学员思考2:结合社会实际,人们的生活方式由线下转向"云端"的 原因、积极意义有哪些?


学员思考3:结合社会实际,人们的生活方式由线下转向"云端"还 面临哪些挑战?
学员思考4:促进人们的生活方式由线下更好地转向"云端",办法 有哪些?
【例题2】当前,我国很多城市都在积极推进垃圾分类工作,但却出现 了部分居民乱投放垃圾的现象。对此,你怎么看?
学员思考1:对于部分居民乱投放垃圾的现象,你的评价是什么?
学员思考2:部分居民乱投放垃圾,会导致哪些消极影响?
学员思考3:导致这一问题出现的原因是什么?
学员思考4:如何才能避免部分居民乱投放垃圾的出现?
【倒題3]受疫情影响,各地农产品滞销问题严重。为了打开本地产品 销路,市长、县长们纷纷开启:"直播带货"模式。但制分干部将直播间当成 秀场,出现流量注水、销量造假、大搞摊派等现象。对此,谈谈你的看法。
学员思考1:对于市长、县长们纷纷"直播带货"以及部分干部将直 播间当秀场,你的评价是什么?
学员思考2:市长、县长们纷纷开启"直播带货"的意义有哪些?
学员思考3:结合社会实际,部分干部将直播间当成秀场的危害和原 因有哪些?
学员思考4:如何才能避免部分干部将直播间当成秀场的出现?
学员思考5:各地农产品滞销问题严重,你还能想到哪些解决对策?


【例题4 某地发改委制定了放府重打投资项目事前评话刘度的改革, 其中规定 府算安排的重大投资项目决策将加入第三方专业组织的考察 鉴定,同时充分听取地方人大代表意见,主动接受地方人大监督审查。对此、 你怎么看?
学员思考1:针对某地发改委的这一举措,你的评价是什么?
学员思考2;结合实际,你认为某地发改委出台这一举措的目的意义 是什么?
学员思考3:为了保障某地发改委的这一举措落地,你有哪些建议?
高分总结:
【例題5】习总书记在纪念五四远动-百周年大会上说:*新时代中国 青年要担当瞰代责任旷代呼当民族振兴是青年的贵任。"对业,+ 谈谈你的理解。
学员思考1:习总书记说这句话是想强调什么道理?
学员思考2:请结合实际,分析这句话的重要性。
学员思考3:结合实际,谈谈应当如何践行这句话所传递的道理?
高分总结:
【例題6】随着至联网的广泛应用和1及,越来越多的人选择使用手机、 平板电脑等各类电子终端设备进行数字阅读。但有人却认为传统纸质阅读
更为合理。对此,谈谈你的看法?
学员思考1:对于题中的这个观点,你是否赞同?理由是什么?
学员思考2:请结合实际,谈谈你有哪些建议。


【例题7】有人说,防止用户信息泄漏能从源头保障信息安全,也有人 说,要提高犯罪成本才能确保信息安全。对此,你怎么看?
学员思考1:对于"防止用户信息泄漏能从源头保障信息安全"这一 观点,你是如何认识的?
学员思考2:对于"提高犯罪成本才能确保信息安全"这一观点,你 是如何认识的?
学员思考3:综合以上两种观点,你的态度是什么?
学员思考4:结合实际,谈谈你有哪些建议。
高分总结:
[【例题8】请考生仔细观察漫画,给漫画拟定标题,并展开论述。
学员思考1:你会如何描述这幅漫画?漫画反映的核心话题是什么?]坚决完成好! 必须完成好! 处长 一定完成好! 某 肯定完成好! 些 科长 机 工作人员


学员思考2:结合实际,你会如何进行分析?
五·高分指导
1.审题过程:要精准,发散思考。准确抓住题干中的关键词,围绕关键词进行发散 性思考,有效调动相关储备。
2作答恩路:有条理:层层深入。在"从出观点一多角度分析一启示对策"的通用 思路基础上,灵活变通。观点表志要大胆,自圆其说即可;多角度分析能够根据自己的 理解从背景、原因、影响、利弊、现实可行性等方面进行自行选择;最后收尾够灵活, 既可谈启发感悟,也可提出改进优化建议。
3.作答内容:够充实,分析深刻。能够充分结合国家政策、时代背景、本地实际和
个人经历等进行分析,在分析的深刻性上下功夫。
[4语言表达: 真,交流 强避免机械式答题, 够用通俗易懂的语言,表 达出自己的观点,不是答题,而是像面对面地沟通交流。
第三章]


计划组织协调能力
学 理解计划组织协调能力的考查目的、考查特点。
0掌握并灵活应用计划组织协调类题目的作答原则。
0理解并掌握计划组织协调能力的高分技巧,各类常者题型的 答题重点和注意事项。
0结合题干要求和工作实际,实现灵活作答。
习目标
题目展示
1.某地政府要深化推进"放管服"改革政策。为了解本地政务大厅对于 "简政放权"相关要求的 实效果,领导安排你进行g研,你准备怎么办?
2.某地推行了私家车礼赴行人政策,在斑马线 上礼让行人的标志, 对不礼让行为进行曝光。致策施行一段时间后,市政府打算针对该项致策的 实施效果展开调研。如果由你来负责,你如何确保调研的有效性?
3.为了提升员工的文明素养和安全意识,你们单位打算开展一次禁烟 壹传活动。如果领导把这个活动交给你负责,你会怎么组织?
4.某镇积机倡导推进"厕所革命",但部分民众卫生习惯差,且质疑致 府购买的厕所改造材料不合格,对厕改工作进度和效果都产生了较大影响。 如果你是镇政府的工作人员,领导让你就上迷问题组织一次群众见面会,你 会怎么组织?


5.为了进一步组织和号召全市 大青年始终听竟话、跟党走,共青团 (市台准各举(一场"党建引领、青春功,"主题团日活动假她领导让你去 组织,你会如何开展? 6.为了助推产业扶贫,实现多村振兴,某村准备 助各大电商平台的 "618大促"开展一次"优质果品进万家"电商促销活动。作为驻村干部, 你会如何策划这个活动?
计划组织协调能力考查的核心目的是评 考生的实医工作落实能力, 看考生在组织开展机关日常活动时,能否做到目的明确,计 周全,组织协 调高质、高效。具体而言,主要考查考生是否能够结合岗位职能、具体要求、 工作实际,针对性地制定工作目标及方案;考虑问题是否周全;工作重点是 否把 准 ;落雲形式是否灵活多样,有创意;采取的工作方法是否恰当可 行。
考查特点
(一)考查题型
计划组织协 能力以活动策划类和调研为主。活动策 类涉及范 广 泛,如各类会议、电商促销、关爱帮扶、培训、竞赛、展览、招聘等。
(二)命题特点
1.计划组织协调类题目的题干设置整体比 常规,一般会给定活动的主 体、主题、类型、对象,并给出考生明确的身份。


2.多为常规问法,如"你怎么组织""怎么开展",也有灵活性的问法, 如"工作重点是什么""设计两种活动形式,并就其中一个谈谈具体方案。"
高分标准
1.要结合题干信息,针对性作答。
2目的明确,并围绕目的开展工作。
3.准确把握工作重点,对可能遇到的困难有充分评估。
4.形式灵活多样,活动策划有创意,方法恰当可行。
四·分析训练
……+题!】某菜地致府要深化推进"放管服"改革致策。为了解本地政务 大厅对于"简致放权"相关要求的落实效果,领早要排你 行调研,你准备 怎么办?
学员思考1:结合实际,你认为开展本次调研的目的是什么?
学员思考2:调查工作重点是什么?
(1)分别找哪些调查对象,调查哪些内容?
(2)采取什么调查方式?
学员思考3:信息收集好后,研究工作的重点是什么?
【例题2】某地推行了私家车礼让行人政策,在斑马线画上礼让行人的 标志,对不礼让行为进行曝光。致策施行一段时间后,市致府打算针对让买 政策的实施效果展开调研。如果由你来负责,你如何确保调研的有效性?
学员思考1:结合实际,你认为开展本次调研的目的是什么?
学员思考2:调查工作重点是什么?
(1)分别找哪些调查对象,调查哪些内容?


(2)采取什么调查方式?
学员思考3:信息收集好后,研究工作的重点是什么?
【例题3】为了提升员工的文明素养和安全意识,你们单位打算开展一 次禁烟宣传活动。如果领导把这个活动交给你负责,你会怎么组织?
学员思考1:结合实际,你认为开展本次宣传的目的是什么?
学员思考2:宣传工作重点是什么?
(1)宣传哪些内容?
(2)采取什么宣传方式?
学员思考3:为了保证宣传效果,你还会做些什么?
【例题4】某镇积极倡导推进"厕所革命",但部分民众卫生习惯差, 且质疑玟府哟买的关所攻 材料不合络,对关改工作进度和效果都产生了 较大影响。如果你是镇政府的工作人员,领导让你就上述问题组织一次群众 见面会,你会怎么组织?
学员思考1:你认为组织群众见面会的目的意义是什么?
学员思考2:本次活动有哪些重点环节,各环节该如何安排?
【例题5】为了进一步组织和号召金市广大青年始终听党话、跟党走, 共青团市委准备举办一场"党建引领,青春建功"主题团日活动。假如领导 让你去组织,你会如何开展?
学员思考1:你认为组织此次主题团日的目的意义是什么?
学员思考2:本次活动有哪些重点环节,各环节该如何安排?


【例题6】为了助推产业扶贫,实现乡村振兴,某村准备清助各大电商 平台的".18大促"开展一次" 质呆品进万家"电商促销活动。作为驻射 干部,你会如何策划这个活动?
学员思考1:你认为组织此次电商促销活动的目的意义是什么?
学员思考2:本次活动有哪些重点环节,各环节该如何安排?
高分总结:
五高分指导
1.认知深刻:精准把握意义,明确活动要求。能够从理论意义或者现实意义,全面 深刻认知举办该项活动的当下目的及长远意义。
2精注审题:萌确活动特价,关注题干细节通过题干透靠出的信息,如 对群体、 活动形式、内容指向、特殊背景、上级要求等、能够创 活动形式。
3. 颗有创意:活动流程完整,重点节突出。根据题干信息,能够在多个环节独
具匠心,同时掌握常见活动的基本流程,层层推进,但切记不可事无巨细,一定要突出 重点
4内客细化:针对有效作答,内客充买具体。既要有大流程,更要有小细节,从活 动方式选择、人群针对性、活动内容等方面都体现出个性化。
六知识学习
(一)调研
1.什么是调研


调查研究是指运用各种方法和手段,深入到社会客观实际中,对社会实 际情况进行考察,搜集各种信息,搞清事实真相,并在此基础上进行分析和 研究,从而揭示事物的本质和发展规律。
2.怎么做调研
(1)调研目的
一般分为三种:基本情况的调研,如普查等,主要目的是全面了解信息, 为管理部门提供参考依据;决策前的调研,主 目的是 方决策可行,确 保科学决策;问题出现后的调研,主要目的擒清事实真相,找出问题,提出 解决办法,从而改善问题。
(2)调研内容
[例題题:为了进一步优化窗口服务,我单位要在全市范夫内*开展群,对宝 口工作人员满意度调查。如果你是此次调查工作的负责人,你会重点调查哪 些内容?
(3)调研对象]微笑服务 工作态度 文明用语 积极主动 窗口工作人员满意度 等待时间长短 工作效率 是否在规定时间办结 工作质量 有无错漏


直接利益方、管理方、问题研究者、其他旁观者、事物等。
(4)调研主体
主体可以是自然人,包括专业人员和非专业人员;也可是由党政机关、 单位和团体组织的调研群体。在个别题目中会出现调研主体数量不足的情 况,这就需要我们借助其他力量,如大学生恋愿者、社区工作人员等的帮助。
(5)调研方法
[(5)调研方法
问卷法	1.电子问卷(官网/邮箱/ 微博/微信) 2.一对一面谈/入户访谈/ 电话访谈	操作简单 客观性强 效率高成本 低 具有较好的 匿名性	主要方法 普遍适用各种调查,注意 对数据的统计、分析的及 时性
访谈 (对个人和对 集体)	座谈会/研讨会/电视电话 会议/约谈	信息广泛、 全面 效率高成本 低	主要方法 普遍适用于各种调查,敏 感性、隐私性问题不宜使 用
观察法 明察和暗 访)	明察暗访/实际操作/视 频记录(监控/执法记录 仪/行车记录仪等)	参与度高 信息丰富	辅助方法 正在发生的现象;调查对 象有表达困难、难于配合 的情况
]


"调研方法":"文献法"
"具体类型":"1.纸/书籍/单位档案(会 议纪要、政策规定、活 动记录) 2.专业网站(万方数据 库、知网、电子期刊)"
"优点":"客观性强 效率高 花费少"
"适用范围":"辅助方法 常在调研初期使用,为后 续调研提供基础和指明方 向"


[调研方法	具体类型	优点	适用范围
文献法	1.纸/书籍/单位档案(会 议纪要、政策规定、活 动记录) 2.专业网站(万方数据 库、知网、电子期刊)	客观性强 效率高 花费少	辅助方法 常在调研初期使用,为后 续调研提供基础和指明方 向


(6)调研结果]
"问卷法":"访谈 (对个人和对 集体)"
"1.电子问卷(官网/邮箱/ 微博/微信) 2.一对一面谈/入户访谈/ 电话访谈":"座谈会/研讨会/电视电话 会议/约谈"
"操作简单 客观性强 效率高成本 低 具有较好的 匿名性":"信息广泛、 全面 效率高成本 低"
"主要方法 普遍适用各种调查,注意 对数据的统计、分析的及 时性":"主要方法 普遍适用于各种调查,敏 感性、隐私性问题不宜使 用"


"问卷法":"观察法 明察和暗 访)"
"1.电子问卷(官网/邮箱/ 微博/微信) 2.一对一面谈/入户访谈/ 电话访谈":"明察暗访/实际操作/视 频记录(监控/执法记录 仪/行车记录仪等)"
"操作简单 客观性强 效率高成本 低 具有较好的 匿名性":"参与度高 信息丰富"
"主要方法 普遍适用各种调查,注意 对数据的统计、分析的及 时性":"辅助方法 正在发生的现象;调查对 象有表达困难、难于配合 的情况"
(6)调研结果
调研往往是以调研报告的呈现作为结果展示。
调研报告能够涉及的内容包括问题描述、现状描述、原因分析、影响分 析、预测分析、解决对策等。
(二)宣传
1.什么是宣传
宣传是指对群众说4讲解,使群众相信并跟着行动。主 是向人讲解说 明、教育传播,宣扬一些方针政策、先进的科普知识与观念。
2.怎么做宣传
(1)宣传目的
直接目标:通过传播一些知识和观念影响人的思想和行动。
间接目标:宣传活动开展后后社会进步、国家发展等多个方面带来的长
远影响。
(2)宣传内容
分析宣 内容常见的角度包括现状、影响、案例、致策法规、科学知识 操作方法等,这些内容都能够实现传递知识和观念的作用。
(3)宣传对象


为了保证宣传活动的覆蓋面和针对性,选取宣传对象的方法就是远用 广泛宣传和重点宣传相结合的方式。即在广泛宣传的同时,可以对一些重点 对久进行针对性的宣传。重点对象,就是对本没宣情活动需求度更高的群体。
(4)宣传方式
H政府常用宣倍方式:*两微一端"等网络宣信:电视广播等蝶体寄 传;横橘、海报、手册等实物宣传;"六进"活动宣传(进机关、进社区、 进农村、进企业、进学校、进媒体),如讲座、文艺汇演、演习等。
②创新式宣传:网络直播、短视频、条幅签字、体验日、随手拍、承诺 书、公益广告、方言说唱、快闪等。
(三)统筹协调
1.统筹协调优先处理的事情范围
(1)公事优先
当公事和私事时间上冲突时,要以公事为重进行优先安排,私事协调处 理。
(2)生命至上、安全第一
涉及到生命健康、人身安全的事项优先进行处理。
如=因水、火、电不当导致的安全隐悲;设施故障引发的安全隐u; 秩序混乱引发的安全隐患;治安问题等。
(3)群众利益优先
当群众利益或诉求与当下工作安排或个人利益发生冲 时,要以群众 利益或诉求为重。
如:群众反馈意见、质疑、上访、投诉等;网络办公系统瘫痪;办事服 务窗口人员拥挤,吵闹等。
(4)公益优先


涉及到基本生活保障问题时,需要优先处理。
如:髋问困难取工群众孤寡老人,失独老人,留守老人,留守几童, 残疾人)等;社会志愿服务活动等。
(5)限时或约定事项优先办理
对于有时间限制的工作,或已经事先约定好的事项,需要优先处理。 如:要求任务在指定时间内完成:工作内容直接影响电一环节工作进度: 有提前预约。
2.协调处理其他事情的方法
(1)人尽其才原则
待办事多,人力有限时,要统筹安排,确保最大限度地发挥人力资源□☆韬 的作用。
(2)物尽其用原则
现有物品、场地、资金等资源无法满足所有事项处置的需求,可以遵循 节约成本,重复利用,充分协调,合理替代筝工作原厕进行有效处置。
(3)委派原则
当事项存在时间冲突,有些事项无法亲自处理时,需要将事项委派给他
如:委托同事,委托朋友、家人等。
(4)寻求专业帮助原则
为了保障工作完成质量,往往需耍其他资源尤其是调动更为专业的力 量解决问题。
如:电子信息技术方面的问题(系统崩溃,网络瘫 等);出现伤残问 题;治安秩序或执法问题;灾情应对问题等。
(5)挤时间原则
一是事项可以插空处理,并不是所有的事项都必须独立地占用一段时 间,有些事项是可以交叉进行的。


二是利用工作外时间,高效利用午休和下班后的时间。
(6)充分沟通原则
充分沟通是确保事项高质量完成的重要原则,尤其是涉及到事情和资 源需要协调时。
[如:说明情况;表示歉意;做好工作交接;申请人手、物资支援等。
第四章]


人际交往的意识与技巧
学 了解人际关系处理能力的考查目的、考查特点。
0掌握工作中人际关系处理的基本原则。
0掌握并灵活运用人际关系处理类题目的高分技巧,实现个性 作答。
习目标
题目展示
1.单位领导给你安排了一项工作任务,这项任务难度大,工作量大,有 很多旧资料要壶,也需要和各个部门协同合作。你刚进入单位,和同事都不 熟悉,对此,你会怎么办?
2廖处长是 来的处长,经常在工作中提出析颖的点子,但有些点子不 切实际,部分同事在落实工作中也 有艳怨。此次廖处长交给你一项任务, 任务中有部分安排你觉得不切实际。此时,你会如何开展工作?
3.进入单位以后,你被分到办公室工作,工作很琐碎,压力较大,而且 已经干了一年半的时间。而与你一起进单位的同事们,工作都很有换战憧, 你很羡慕他们。面对这种情况,你会怎么做?
人际交往的意识与技巧考查的核心目的是评考尘能否建立、维持与 他人和谐会的人际关系,从而与 考生能否快速歌入团队、顺利开展工作。 具体而言,主要考查考生在面对人际矛盾时,问题抓取是否全面、准确,归 因是否明 ,处理原则是否得当,解决矛后的方法是否合理、可行、有效。
考查特点


1侧重考查人际主动性、适应性、有效沟通三方面内容,多以与领导、 同事关系的处理作为命题背景。
2矛后内容集中在适应领导的工作风络、被安排不熟为的工作任务、同 事产生误解或不满三个方面。
3.提问方式固定。普通人际题目只有一个提问,一般有三种常规问法, "你怎么办?""你会如何开展工作?""如何与XX沟通?
考查要素
(一)积极主动性
积极主动性是指个体按照自己规定或设置的目标行动,而不依赖外力 推动的行为品质,即不用别人告诉,个体就能自党、自主、出色的完工作 的特性。作为国东公职人员,工作中要积极主动永担责任、执行命令、沟通 交流、化解矛盾,不做消极等待的被动者。
【例题一】近期单位业务繁忙,很多同事被分配较多的任务,但是你却 没有被分配任务,此时,你怎么办?
【例题2】你和小王同是刚入职的新人,工作一段时间后,你发现小王
在工作中积极肯干,备受领导、同事好评,在工作中也更受重视,永担的工 作也比较重要。然而你在工作中却经常无所事事。此时,你会怎么办?
(二)沟通性


沟通是为了一个设定的目标,把信息、思想和情感在个人或群体间传送。 所谓有效沟通是将想法进行合理加工,清晰准确地表达出来用以达成特定 目标的行为过程。作为政府祝关单位人员,要勤于沟通、善于沟意,在沟通 中实现人际和谐、工作顺利、成长进步。
【例題1】单位领导给你安排了一项工作任务,这项任务难度大,工作 量大,有很多旧资料要查,也需要和各个部门协同合作。你刚进入单位,和 同事都不熟悉,对此,你会怎么办?
【例題2】你和两位同事小陈、小许一起开展工作,小陈业务能力比较 强,小许文字功底比较好,但他们之前有矛盾,导致无法很好的开展合作, 工作进程被耽误,请问,你会怎么办?
(三)适应性
适应性,是指个人为与人际,工作环境取得和谐的关系而产生的心理和 行为变化。但是适应不等于随波逐流,在政府机关工作中,在积极适应机关 工作环境的同时,依然要发挥主观能动性,有个人见解,能坚持原则。
【例题】单位领导干工作 厉风行,而你干工作 欢事无巨细,按部就 班。因此,领导认为你做事没有魄力。面对这种情况,你会怎么办?
(四)服从性


国家公职人员必须服从领导依法作出的决定。在意识上,要有权威意识、 辅助意识;在行动上,要积极执行、请示汇报。
【例题】廖处长是 来的处长,经常在工作中提出新颖的点子,但有些 点子不切实际,部分同事在落实工作中也 有抱怨,此次廖处长交给你一项 任务,任务中有部分安排你觉得不切实际。此时,你如何开展工作?
(五)原则性与灵活性
原则性,指遵守工作中的规范和原则以及单位明确的规章制度和约定 俗成的规矩、规定。
灵活性,指处理问题的方法灵活变逼,做到因人而异,具体问题具体分 析。
在政府机关单位工作中,既要遵守国家的法律法规、部队的纪律要求、 单位的规章制度、做人做事的基本原则,又要注意具体方法的灵活变通,体 现刚性原则背后的柔性温暖。
【例题】假如你的朋友醉酒驾车撞人后逃逸,造成被害人抢救不及时死 亡。死者家属在出事地点打起横幅:重金悬赏寻找目击者。而你知道是朋友 醉驾 成的,但如果你的朋友被抓可能被判刑并承担巨额赔偿任,你会怎 么办?
四 分析训练


【例题1】单位领导给你安排了一项工作任务,这项任务难度大,工作 量大,有很多旧资料要查,也需要和各个部门协同合作。你刚进入单位,和 同事都不熟悉,对此,你会怎么办?
学员思考1:你如何看待当前的状况?
学员思考2:如何有效解决好相关问题?
(1)如何解决任务难度大、工作量大,且要查阅旧资料的问题?
(2)如何解决与各个部门协同合作的问题?
学员思考3:经过此事后,今后需要多注意哪些方面?
【例题2】廖处长是新来的处长,经常在工作中提出新颖的点子,但有
些点子不切实际,部分同事在落实工作中也偶有抱怨。此次廖处长交给你一 项任务,任务中有部分安排你觉得不切实际。此时,你会如何开展工作? 学员思考1:针对处长的工作风格和工作安排,你的看法是什么?
学员思考2:你会如何完成处长安排给你的任务?
学员思考3:经过此事后,今后需要多注意哪些方面?
【例题3】进入单位以后,你被分到办公室工作,工作很琐碎,压力较 大,而且已经干了一年半的时间。而与你一起进单位的同事们,工作都很有 挑战性,你很美慕他们。面对这种情况,你会怎么做?
学员思考1:你如何看待当前的状况?
学员思考2:如何有效解决好相关问题?


(1)针对羡慕同事们的工作性质这一问题,你会怎么办?
(2)针对办公室工作的问题,你会怎么办?
学员思考3:经过此事后,今后需要多注意哪些方面?
五高分指导
1.精准审题,把握矛盾。能够准确把握题干中需要回应的关键信息,如矛盾、心理 感受、想法、面临问题等:能关注题干的特殊要求。
2针对 决,对策具体,能,根抵题干中的关键信息,从思想认知到具体对策展开 作答。能够从原因分析、思 转变、解决方式内容等方面进行细化。
[3.情感真,有礼有节。表述时有情有义,让对方感变到自己内心真实的感受,处 理问题既有理性的原则,又有感情的担当与情义。
第五章]


应急应变能力
学 习 目 标 了解应急应变能力的考查目的、考查特点。
0学习并掌握常见应变问题的解决方法。
0掌握并灵活运用应变类题目的作答思路与高分技巧。 0结合题干及自身理解,实现灵活作答。
题目展示
1.你们单位要组织一次线上民主生活会,前期已将设备反复调试,确保 无误但在活动开始后'有几个同事在工作群里反跑,设各连接不上,无法 参会,情绪有些焦躁。作为此次活动的负责人,你会怎么办?
2菜地政府开展老旧小区安全稳志专项整治行动,重点筛查整活违章建 筑。在行动中,你发现有将自行车棚私自改成了小卖部和菜市场的情况,依 规应予以拆除但现场居民强厕反对。作为此次整治行动的现场负责人,你 会怎么办?
3.某地政府组织辖区内机关单位开展篮球对抗赛。在一场比赛中,甲乙 两队发生了争执。甲队认为己队请了其他单位的外后参赛,影响公平,但己 队并不承认。随即双方罢赛,现场观众也一片哗然。如果你是活动现场的负 责人,你该怎么办?
4县政府正在召开基本农田保护工作会议。突然,有参会群众代表站起 来反映情况,称某镇政府强行推广经济作物山药,毁坏了村里的粮田。作为 此次会议的负责人,此时,你怎么办?


5.你单位窝口工作人员与一名办事群众产生了争执,导致现场徒序比 较混乱,而当事人还是一名网红。如果领导让你去处理,你会怎么办?
应变能力,是通过设置一些压力情境式的问题,了解考生在应对突发紧 急事件时的综合表现,进而判断考生在实际工作中是否具备应对复杂情形 和突发状况的能力。具体考查考生在高压紧急情境下的情绪控制能力是否 到位、能否桥住核心问题并采取有效措施予以针对性解决,是否具备总结预 防意识等。
二考查特点
1.考查题型。
主要考查题型包括一般应变、误会质疑、阻挽阻碍、争执纠纷这几种, 除此之外,也考查过少量的与情处置和事故灾害。
2.身份设定。
身份设定较为多样,涉及不同社会领城:
(1)招考岗位相关人员,如老干局、市药品监督管理局等部门的工作 人员;
(2)普通政府工作人员,如致务窗口业务页、扶贫办干部、社区工作 人员、执法人员;
(3)普通社会身份,如地铁站工作人员、活动演出的场务人员。
3.高频考点
(1)一般应变:老干部锻炼究发身体不适,巡视组突然检查,序混 乱等;
(2)误会质疑:办事大厅群众疑服务,抖长质疑教尘装修、空巢老 人质疑食堂饭菜,贫困户质疑扶贫政策落实不到位等;


(3)阻挠阻碍:多为阻挠执法,如阻挠安全整治活动、阻碍督导组工 作人员等;
三
【例题1】你们单位要组织一次线上民主生活会,前期已将设备反复调 试, 保无误。但在活动开始后,有几个同事在工作群里反映,设备 接不 上,无法参会,情绪有些焦踩。作为此次活动的负责人,你会怎么办? 学员思考1:面对上述突发情况,你的处理目标和原则是什么?
学员思考2:你将如何解决问题?
(1)比较紧急的问题是什么?你将如何解决?
(2)核心问题是什么?你将如何解决?
(3)还有哪些后续问题需要解决?
学员思考3:为了避免类似事情再次发生,你会怎么做?
【例题2】某地政府开展老旧小区安全隐患专项整治行动,重点筛查整
治违章建筑。在行动中,你发现有将自行车棚私自改成了小卖部和莱市场的 情况,依规应予以拆除,但现场居民强烈反对。作为 次些活行动的现场负 贵人,你会怎么办?
学员思考1:作为整治行动的现场负责人,你处理此事的目标和原则 是什么?
学员思考2:为了有效处理问题,你打算采取哪些措施?
(1)针对现场居民强烈反对这一问题,你会如何应对?
(2)针划将自行车棚私自改 了小象都和莱市场的问題,你会账何应 对?


(3)还有哪些后续问题需要解决?
学员思考3:为了避免类似事情再次发生,你会怎么做?
【倒想了 菜地政府组织馆区内机关单位开展篮珠后抗赛。在一场比赛 中,甲乙两队发生了争执。甲队认为乙队请了其他单位的外援参赛,影响公
平,但己队并不承认。随即双方罢赛,现场观众也一片哗然。如果你是活动 现场的负责人,你该怎么办?
学员思考1:面对上述突发情况,你的处理目标和原则是什么?
学员思考2:为了有效处理问题,你打算采取哪些措施? (1)比较紧急的问题是什么?你将如何解决?
(2)核心问题是什么?你将如何解决?
学员思考3:为了避免类似事情再次发生,你会怎么做?
【例题4】县政府正在召开基本农田保护工作会议。突然,有参会群众 代表站起来反映情况,称某镇致府强行推 经济作物山药毁坏了村里的粮 田。作为此次会议的负责人,此时,你怎么办?
学员思考1:作为此次会议的负责人,你处理此事的目标和原则是什
么?
学员思考2:为了有效处理问题,你打算采取哪些措施? (1)针对现场群众代表反映的这一问题,你会如何应对?
(2)处理完群众代表反映的问题,接下来你会做什么?
学员思考3:为了避免类似事情再次发生,你会怎么做?


【例题5】你单位窗口工作人员与一名办事群众产生了争执,导致现场 秩序比较混乱,而当事人还是一名网红。如果领导让你去处理,你会怎么办? 学员思考1:面对上述突发情况,你的处理目标和原则是什么?
学员思考2:为了有效处理问题,你打算采取哪些措施?
(1)比较紧急的问题是什么?你将如何解决?
(2)核心问题是什么?你将如何解决?
(3)还有哪些后续问题需要解决?
学员思考3:为了避免类似事情再次发生,你会怎么做?
四 高分指导
1条理清晰,有条不奈。照轻重i急的原则,能够清楚地表达问题处 理的先后顺序,语言直接,逻辑层次性好。
2资源调配,多方联动。充分结合题干设定的身份,懂得资源调配,多 头推进,彰显出较强的管理思维和管理技巧。
3.聚焦当下,关注长远。既能够把题干中现有问题全部解决,还能够就 潜在危险提出根本解决之策。
五知识学习
(一)解决突发问题基本原则
1.轻重缓急原则。基本原则:第一级生命安全、危险源、过激行为、情 绪状态:第二级铁序问题,如,信息事故、日常事故:第三级财产损失。
2.程序原则。如,首问负责制、服务承诺制、一次性告知制、限时办结 制、岗位责任制、责任追究制等。


3效率原则。通过多种手段提高办事效率,减少工作积压,以保障群众 利益,维护单位的正常秩序。
4.圆满解决,注重服务效果,维护单位形象。
(二)常见突发问题处理办法
口关于"误会质疑"的处理办法
1.稳定局面。第一时间及时反应,控制事态发展,避免事态扩大化、严 重化。
2调查真相。通过各种可行的方法,调查事件的原园,了解实际情况, 还原事实真相。
3.解决回应。根据不同情况、不同间题,采取不同方法和手 进行 决。
4.总结预防。总结此次事件的经验教训,通过多种方式,预防此类事件 的继续发生。
关于"秩序混乱"的处理办法
1.人力维护:请同事或其他工作人员协助。
2.语音提醒:面对面劝导、喊话、高音喇叭、大厅广播提醒。
3.设施保障:设置分隔带、拉起警戒线、放置路障。
4.要善安置:将现场人员带到休息区城,做妈关注特殊群体筝人员安置 工作。
关于"舆论舆情"的处理办法
1找到信息来源,搜集與论信息,总结與论关键质疑点。
2官方平台做好解释回应,表明官方重视的态度,安抚大众與论。
3组织相关人员实地调 查了解情况(联系发粘人,或实地走访、观察)。


4.若与论属于造谣滋事。则依法追究相应造谣传谣人员的法律责任。若 舆论属实,第一时间上报领导并配合处理解决问题避免影响扩大。
5.将事情原委及处理结果公示(出具相关专业部门检验检测相关报告、 提供权威辟谣证明等)。
6.做好后续跟进,避免谣言再次传播。
口关于"人员不足"的处理办法
在问题中,出现人力资源短缺时,可以考虑运用以下解决办法:
1.高效利用现有人员。如:合理规划工作,优化值班制度,用人高峰时 段增加人手,提高工作效率等。
2.加班加点,延长工作时间。
3.根据需要增设人手。如:向领导申请,与其他部(借 人手;招聘兼 职、全职工作人员;培训现有人负,做到一专多能,完成更多工作任务。 关于"资金缺乏"的处理办法
1.向上级部门申请专项资金。
2.参与人员共同出资。
3.开发周边产品,提高自主盈利能力。
4.向企业拉赞助,通过互利合作(为企业做宣传等)争取资金。
5.向公益慈善组织申请救助。
口关于"意识淡薄"的处理办法
当处理好题目中的紧急、重 问题之后,往往还需要处理意识淡薄的问 题,达到引以为戒或者防患于未然的目的。常采用的办法如下:
1.进行业务技能培训,提高相关意识。


2.宣传相关法律、精神、规定,提高重视程度。
3.追究涉事人员的法律责任,倒逼思想意识的改进。
4.加强制度约束,通过约束行为,进而影响意识。
口关于"疫情"的处理办法
1.上报防疫部门。
2.对感染疫情的人员隔离救治,疫区内存栏的家禽家畜全部无害化处理, 密切接触人要隔离观察。
3.对疫区 行关离、消毒设置消毒检查站,对疫区和受威胁区严络消 消除安全隐患。
4.做好群众心理安抚工作。
5.做好疫情科普工作。传播途径,防疫知识等。
6.主动、实时公示疫情产生原因,疫情发展情况及处理结果,消除群众 恐慌。
关于"设备故障"的处理办法
省出现电力、供、供气、生产、信息、服务等方面的设务设施损坏、 短缺的时候,需要紧急补救,常见办法列举如下:
1.联系专业部门及时检修。
2.开启备用设备。
3.向其他部门借调设备。
4.完善设备维护的工作机制,包括专人负责、定期检修、应急处置等。
5.外包部分业务。
6.申购更多设备。
第六章 解决问题能力
0了解解决问题能力题目的考查目的和考查特点。
0掌握解决问题能力的作答基本原则和高分技巧。
0结合题干及自身知识储备,在思路和内容上实现灵活作答。
学习目标
题目展示


1.政府政务需厅装修之后环境针适,设施齐全。在炎类夏日,很多市民 都去大厅乘凉,影响了致务大厅正常办公,你作为政务大厅负责人,你会怎 么办?
2.一项调查报告显示,当前我国大学生社会适应能力较差,主要体现在 社会认知片面、自我定位偏差、心埋调适能力与人际调适能力低下等方面。 而且这一问题已经从大学生就业遇到的诸多问题和困难中凸显出来。假如 你是某高校就业指导中心的工作人员,你会怎么办?
3.张大爷去致务服务大厅办理房产证,因为不了解办理的流程,也找 不到相关的指示牌,张大爷选择到办事窗口排队办理。排队人数很多,很长 时间才轮到张大爷办理业务,但窗口工作人员告知他,必须去自助业务机办 理。针对服务大厅发生的这类现象,领导让你改进政务 厅的服务工作,你 会怎么办?
解决问题能力主 考查考生实际解 决问题的水平与效果,看考生在解 决问题时,是否能够遵循政府处理问题的基本原则,做到准确把握个人身份、 抓住间题本质、考虑问题周全、工作方 要当、措她多 含理可行有效。
考查特点
1.问题明确


在国考面试中,解决问题能力题目,一般会没有明确的身伤角色和其 体工作中遇到的一些问题,需要考生依据给定的相关政府工作人员身份出 色地解决问题或提出建议。
2.提问方式灵活
从 间方武上看,常规问法主要包括:你么么办?怎么解决?如何处理? 请提出相关建议,相关对策等,同时还有个别问法会有具体要求,倒如如何 常态化推进某活动等。
3.话题复杂多样
从考查语题来看,主要涉及 联网+公共服务关心环卫工人公益活动) 常态化落实、办事服务大厅问题等公共服务话题,党的作风建设、党员干部 进社区志愿服务活动等党定话题,农村推行拉圾分类、农村文化场所闲置、 支持困难群众种植新农作物等基层治运话题,大学生造应社会能力差、电信 网络诈骗等社会话题。
分析训练
【例题1】政府政务大厅装修之后环境舒适,设施齐全。在炎炎夏日, 很多市民都去大厅乘凉,影响了政务大厅正常办公,你作为政务大厅负责人,
你会怎么办?
什么?
学员思考1:作为政务大厅的负责人,处理此事的意义和原则分别是
学员思考2:为了有效解决题中的问题,你会怎么做?


【例题2】一项调查报告显示,当前我国大学生社会适应能力较差,主 要体现在社会认知片面、自我定位偏差、心理调适能力与人际调适能力低下 等方面。而且这一问题已经从大学生就业遇到的诸多问题和困难中凸显出 来。假如你是某高校就业指导中心的工作人员,你会怎么办?
学员思考1:作为某高校就业指导中心的工作人员,处理此事的意义 和原则分别是什么?
学员思考2:当前我国大学生社会适应能力较差的原因是什么,你如 何获取这一信息?
学员思考3:为了提高你校大学生的社会适应能力,你会怎么做?
【 题}】张大爷去致务服务大厅办理房产证,因为不了解办理的流程 也找不到相关的指示牌,张大爷选择到办事窗口排队办理。排队人数很多, 很长时间才轮到张大爷办理业务,但窗口工作人员告知他,必须去自助业务 机办理。针对服务大厅发生的这类现象,领导让你改进致务大厅的服务工作, 你会怎么办?
学员思考1:作为某政务大厅的工作人员,处理此事的意义和原则分 别是什么?
学员思考2:为了有效解决服务大厅发生的这类现象,你要了解哪些 信息?
学员思考3:为了改进政务大厅的服务工作,你会怎么做?
高分总结:


1.分析深 ,把握本质。能够充分结合现实,分析目标问题产生的原 因、 带来影响能 ;心问题根东原深账响现 看到本质,从而提出针对性、有效性对策。
2.逻辑清晰,针对性强。问题分析与对策的解决环环相扣,鞭辟入里。
3.系统思维,真正解决问题。能够由表及里,由眼前到长远,运用多种 手段、多种方式、多元主体,提出立体化解决问题的方案。
第七章
言语理解与表达能力
0了解并熟悉言语理解与表达能力的考查目的和考查特点。 0掌握言语理解与表达能力类题目的作答方法、高分技巧。
0根据言语理解与表达能力类题目的不同命题形式,实现灵活 作答。
学习目标
题目展示
1.小王是一位民警,由于工作原因长期和妻子两地分居。小王多次中 请调到妻子所在地工作,但是组织没有批准。为此,小王情绪十分低落,工 作积极性明显下降。如果你是小王的同事,你会如何安慰他?请现场模拟。
2你是某市民办幼儿园的因长,幼儿园刚进行了改制,接受市里补点, 取消了双语班教学和幼小街接课程。家长认为这样会使教学质量下降,在家 长会上提出了质疑和不满。你会如何与家长沟通?请现场模拟。


3.近日,习近平总书记在陕西考察时强调,广大党员干部要自觉讲政治 对国之大者要心中有数,关注党中央在关心什么、强调什么,深刻领会什么 是党和国家最重要的利益,什么是最需要坚定谁护的立场。请以"国之大者" 为题做一篇演讲。
4,为进一步改进工作作风,某市纪条监委邀请了群体代表一起参与座谈 但是以往代表们的提议都无关痛痒,没有切中要害。作为本次会议的主持人, 如果让你做一个开场白,你会说些什么,请现场模拟。
言语理解与表达能力考查的核心目的是评判考生在与他人沟通时,能 够高质、高效地实现沟通目标,具体而言,主要测查考生能否准缝理解他 人的意恩、清晰流畅地表达自己的想法,以及语言再容是否条理清晰、准 确恰当、有说服力。
考查特点
1.题型多样。既有沟通类,如安抚劝说、解释回应;又有演讲类,如主 题演讲、情景演讲。以沟通类为主。


2.话题丰富。沟通类题目主要涉及的对象是朋友、同事、群众,极少涉 及的有企业负责人、父母、领导等;d考话题包括他人的负面情绪(沮丧、 (不满、难过等)、不理智的决定(辞职、不工作、不配合等)、误会质疑(质 疑政府不作为、质疑他人弃虚作假、不相信 府决算等)。演讲类题目包括 个人层面的坚守初心,也包括国家层面的"国之大者"和"大疫无情,民生 有情"等。
分析训练
【例题1]小王是一位民警,由于工作原因,长期和妻子两地分居。小 从多次申请调到妻子所在地工作,但是组织没有批准。为此,小王情 十分 低落,工作积极性明显下降。如果你是小王的同事,你会如何安慰他?请现 场模拟。
学员思考1:你怎样理解小王此时的处境?
学员思考2:沟通中,你会委婉指出他的哪些问题?
学员思考3:你会给他提出哪些改进意见?
学员思考4:你会如何进一步巩固说服的效果?
高分总结:
【例题2】你是某市民办幼儿园的国长,幼儿园刚进行了改制,接受市
里补贴,取消了双语班教学和幼小衔接课程。家长认为这样会使教学质量下 降,在家长会上提出了质疑和不满。你会如何与家长沟通?请现场模拟。
学员思考1:面对家长的质疑和不满,第一时间你会如何表态?


学员思考2:对于家长质疑的问题,你会怎么回应?
学员思考3:沟通结束前,你还会说什么?
高分总结:
【例题3】近日,习近平总书记在陕西考察时强调,广大党员干部 自 觉讲致治,对国之大者要5中有数,关注党中夹在关心什么、强调什么,深 刻领会什么是党和国家最重要的利益、什么是最需要坚定维护的立场。请以 "国之大者"为题做一篇演讲。
要求:3分钟准备,5分钟以内演讲完毕;演讲时需站立,可以拿演讲 提纲。 学员思考1:你演讲核心主题是什么?
人学员思考2:演讲开始前,你要说些什么?
学员思考3:你怎么做开篇引入?
学员思考4:你将如何展开正文分析?
学员思考5:你将如何结尾?
【例题4】为进一步改进工作作风,某市纪委监委邀请了群体代表一起 参与座该,但是以往代表们的提议都无关痛痒,没有初中要害。作为本次会 议的主持人,加果让你做一个开场白,你会说些什么,请现场模拟。
学员思考1:面对会议现场的代表们,首先你会说些什么?
学员思考2:围绕改进工作作风的会议主题,为了代表们的提议不再 无关痛痒,你会说些什么?
学员思考3:最后,你还会说些什么来确保会议效果?
四高分指导


1.换位思考意识强。能够感同身受,切身了解对方的感受,准确把握对 方的顾虑,通过切实有效地沟通拉近距离,进而取得沟通效果。
2语  辑清晰表达 辑清楚层层逃进,能够让对方快速获取信息。
3.沟通内容充实。能够联系实际、调动自身知识储备,有理有据,展开 沟通或演讲,具有较强的煽动性和劝说力。
五知识学习
(一)沟通类知识学习
历年 考真题、沟通类题目要实现沟通效果,主要体现在语言的生动性 和内容的说服力上,本次知识学习主要从内容方面入手。
沟通如果有效,必须使沟通对象愿意听,所以理解沟通对象是建立良好 沟通的基础,学员要对"埋解沟通对像的常见维度"有一定的敏感性。
在面 题目中,沟通效果一般体现在改变对方思想、安抚对方情绪、指 导对方行为等方面,要想实现沟通效果,学员要对"说服沟通对象的常用维 度"有一定的认识。
为确保沟通效果的实现,沟通主要内容实现后,要继续推进沟通效果的 实现,学员要能掌握"进一步推进沟通效果的常用方法"。
1.理解沟通对象的常用维度
(1)把握处境
包括沟 对象的角色、斤处环境、事情发生的经过、当前面临的问题等。


【例题小李是一名 员工,由于进入工作角色较慢,领导误认为他不 上进、不努力,批评了他。小李心情很低落,假如你是他的同事,你如何安 慰小李?请现场模拟。
分析:通过"新员工"、"进入工作角色较慢"等对小李的所处的角色、 环境换位思考,表示理解。
(2)理解心态
①顾虑、担忧--沟通对象对工作和生活存在某些方面的担心,如担心 影响个人未来的发展、担心影响团队利益、担心不适应新环境等。
【例题】老王在一个部门工作了十多年.平肝工作脚实地口碑很好。 最近该部门换了一个新领导,制定了一些 制度,老王很不适应,工作总是 出错。 因此受到了领导的批评,情绪很低落。 作为他的同事,你会怎么劝 解他?请现场模拟。
分析:老王在一个部门工作了十多年对"新领导、新制度"不适应, 既担心影响个人发展,也担心影响团队剩益,要能够理其焦虑的心情,否 则会影响其工作质量,甚至身体健康。
②情绪--沟通对象因为主客观的原因导致情绪出现了波动,如委屈、 低落、焦虑、激动等。
【例题】小李是一名新员工,由于进入工作角色较慢,领导误认为他不 上进、不努力,批评了他。小李心情很低落,假如你是他的问事,你如何安 慰小李?请现场模拟。


分析:小李心情很低落,一方面是因为领导误解,对其批评;另一方面 也是担心会影响自己的发展。
(3)理解行为
沟通对象的行为,往往是基于客观现实和主观考虑而采取的做法,因不 了解或忽视某些法律、政策或程序,造成行为达不到预想的结果。
【例题】县扶贫办派你 驻某村开展精进扶贫工作,你抵达该村后发现, 村民们居然擅自把耕地承包给企业用于填理垃圾。当你决定向上级反映这个 问题时却遣到村民一拦,他们觉得如果种地每年每亩只能赚500元钱,承包
给企业后能赚20多元这时你会怎么功说这些村民?把在场的考官当村
民现场模拟一下。
分析:村民基于经济收入的 加,将耕地承包给企业填理垃圾,如果反 映给上级,村民就必须取消承包合同,收入减少,所才会阻拦"我"向上级 反映问题。
【注意】上述理解沟通对象的三大维度,并非割裂的,在很多题目中, 我们要通过分析题干的具体信息去找到几个维度之间的内在联系。
2.说服沟通对象的常用维度
(1)联系价值观、初衷:结合沟通对象的初衷、价值观进行劝说。


【例题】某学校老师小王将学生成绩单发到家长微信群里、家长认为此 做法会对孩予心理产生创伤,于是去教育局进行了举报控诉。小王老师在得 知此事后,感到委屈,向学校提出了辞职。假如你是教育局工作人员,领导 要求你对小王进行劝导,请进行现场模拟。
分析:小里的做法其实是让家长了解子的成绩和在班酸的名次,是负 责任的一种表现,加果因一点控折就称职,遠背了自已对教育的热爱和当初 当老师的初衷,影响自己价值的实现。
(2)原因分析:帮助沟通对象分析其问题产生的原因,为给出合理化 建议作铺垫。
【例题】同事小李法律专业毕业.在单位从事文案类工作。由于一直写 不好材料,小李便找到领导希望可以调换岗位,领导拒绝了她。小李很是温 丧,作为与她比较要好的同事,你会怎么安慰她?请现场模拟。
分析:小李作为法律专业毕业的学生,客观来说应该具备不错的学习能 力。但是在工作中出现了一直写不好材料的问题,原因有以下几方面:1没 有正确领会领导的意图;②自身缺少思考和总给: 没有及时学习请教。
(3)影响分析:分析其省前的状态、行为等可能造成的影响,帮助沟 通对象转变思想,积极面对当前的处境和遇到的问题。


【例题】你的一位同事喜欢在微信朋友圈晒幸福、秀恩爱,有时还发牢
骚抱怨工作,发泄不满情绪、在同事中产生了一些负面影响。领导对此不满, 让你找他谈谈。作为同事,你准备怎样劝说他?请现场模拟。
分析:因为常索抱怨工作,发布负能量的消息,不仅仅会传播负能量, 还会对单位形象造成负面影响,而且不利于个人发展,严重的甚至可能会泄 露工作的秘密,违反纪律。
(4)给出建议:针对沟通对象的诉求、问题产生的原因等,提出切实 可行的解决办法。
【例题】同事小李法律专业毕业,在单位从事文案类工作。由于一直写 不好材料,小李便找到领导希望可以调换岗位,领导拒绝了她。小李很是沮 丧,作为与她比较要好的同事,你会怎么安慰她?请现场模拟.
分析:①建议小李调整心态,用更加积极的工作状态去面对遇到的困难; 回及时请教领导,充分领会倾导的意 ;@多向经验丰富的老同事请救和学 习;④主动学习文案写作的方法和技巧,进行阶段性总结。
3.进一步推进沟通效果的常用方法
指的是对劝说内客和思想观点作一个高度 括性的总结,要求语言简 明扼要,常用的维度有以下四个方面:


(1)给予鼓励:针对沟通对象出现的情绪波动,如低落、沮丧、委屈、 苦恼等,在沟通最后通过鼓励性的话语给予支持,帮助建立信心。
【例题】小李在大学的时候是最佳辩手,口才很好,但是到基层参加调 解工作的过程中,却总是碰壁,很沮丧,作为同事,你会怎么安抚开导他? 请现场模拟。
示范:能得学校最佳辩手,口才棒捧的,今后你只要不断实践,了解了 基层情况、群众特点、具体敢策,再运用好你出色的语言表达能力和还辑思 维能力,在未来的工作中一定大有可为。我相信你,你也要相信你自己,千 万不能泄气啊。
(2)指向行动:为了强化沟通效果,在沟通的最后直接指向下一步行 动。
【例题】单位召开会议,部署简政放权工作。会议即将开始时,小周发 现会议文件中有几处跟中央最新文件的措辞不太一致,便将情况汇报给了领 导。领导会后批评了起草文件的部门。事后一些同事们背后议论小周多管闲 事、爱出风头,小周因让情绪很低落。如果你是小周的同事,你会如何安慰 他?请现场模拟。


示范:希望你调整好心态,打起精神,继续保持积极热情的态度,并全 身心投入到工作中来,同时,工作中保持和同事们的沟通,学会换位思考, 用自己的实际行动缓和同事关系,让同事更加信任自己。
(3)给出承诺:针对沟通对象的诉求,给予一定的承诺,以进一步强 化沟通效果。
【例题】为展现单位职工的精神风貌,你单位准备举办一次集体诗歌朗 诵活动,领导要求全员参加。性格内向的同事小 提出,过一段时间 回家 亲,而且手头的工作比较忙,不想参加这次活动。 加你是此次活动的负 责人,你会如何劝说小李?请现场模拟。
示范:你工作比较忙,我正好有些时间,可以帮助你一起做,这样既能 够加快你工作进度,又有时间参见集体诗歌朗诵;另外,我也会主动带你介 绍一些同事,这样你们就慢慢熟悉了。同时,这个参加了这个活动,保证你 能够认识更多人,憧格上也会有突破;除此也外,参加这个活动并不影响你 回家探亲啊.相反.探亲父母看到你的进步,保证会更开心。
(4)发出号召:用提希望或发出号召的方式结尾,常用于一对多的模 拟情境。


【例题】近期,你社区在推广宣传垃圾分类工作过程中,发现一位大妈 把业有未分类垃圾的垃圾袋直接扔在垃圾桶旁边,她说反正垃圾车来了也是 一起装走,没必要分类。作为一名社区工作人员,你怎么劝说她?请现场模 拟。
示范:咱们来一起把您家这垃圾分一分,给其他邻剧做个示范,顺便给
您把积分记上,这样我们的社区会建立地越来越美丽,这次注意,下次就轻 车熟路了嘛!
【注意】在现场模拟中沟通的重点在于如何说服沟通对象,因此在给 尾时做到简洁精炼即可,避免本末倒置、拖沓冗长。
(二)演讲类知识学习
1.内容构建
[一个完整的主题演讲,包括报题目、开头、论证、结尾四个部分组成。
【例题】请以《乐观》为主题,发表一篇演讲。]开头 论证 结尾 报题目


(1)报题目
主题词+意义/作用:《乐观让平凡人生不平凡》
对策/建议+主题词:《珍惜拥有,乐观生活》
比喻式:《让乐观的甘霖滋润灵魂》
引用式:《苔花如米小、也学牡丹开》(引自袁枚《苔》) 对仗式:《乐观人生,自在生活》
(2)开篇引入
①引用法。通过引用名言、故事、新阅等来乎出题目,衔接演讲的主要 内容。方法运用:名言/故事/新闻等+分析+点明主题。
我记得心理课上老师给我们讲过一个故事:从前有一个位老奶奶有个儿 子和一个女儿,儿子是给人家晒盐的,女儿是卖伞的,于是这个老奶奶就一 直发愁,因为晴天时女儿的今就卖不出去了,而下雨天,她又为儿子担心盐
会湿,后来有人建议那个老奶奶下雨就想着女儿能赚钱.晴天就想儿子能 卖很多盐,于是老奶奶就乐观了起来。其实这件事情儿子和女儿的生意并没 有变化,只是老奶奶换了一个角度去思考而已。所以,保持乐观心态,生活 就会充满阳光。
②设间法,故意先提出问题,明知故问,自问自答.方法运用;设问+ 回答+点明主题。


"乐观就是无无刻保持微笑吗?"其实并不是。我理解的乐观,是在 遭遇痛苦、闲惑、磨难后,能够调整状态、积极而对问题。所以,乐观不是 挂在脸上的表情,而是发自内心的振作。
③对比法。通过运用强烈的反差对比来引出自己的题目,以期在听众心 中留下深刻的印象。方法运用:对比+分析+点明主题。
秋 ,在悲观者眼里是落叶萧瑟,一片凉;而在乐观者眼里则是硕果 满枝,一片丰收的喜悦。一个悲观的人,总是先被自己打败,然后被生活打 败:而一个乐观的人,总是先战胜自己,然后再战胜生活!总之,用一个悲 观者目光看世界,人生就必然是悲惨、暗淡的;而用一个乐观者目光看世界, 人生则是绚丽多彩、辉煌灿烂的。
(3)阐述主题
①按照主体。方法运用:按照个体、集体、社会等设计演讲结构。
【个人]观是个人事业成功的保障。日常生活中存在各种各样的问题, 如果面对这些问题消极悲观,只会回避不直面应对,问题不能得到及时解决b 反而可能酿成大祸。
【集体】乐观是企业核心竞争力的关键。乐观者在每次危难中看到的都 是机会,保持乐观心态不仅会给自己带来健康,也会影响身边的人:不仅给 生活带来精彩,也会为事业成功创造更多机会。


【民族】乐观是民族形象的体现。如果国民都能乐观向上,追求成功, 那么国家将会获得无限的发展动力。
②按照时间。方法运用:时间+事例+分析。
【古代】陶渊明仕途不顺,哪怕被贬,也依然有 归国田居》"采菊东 篱下,悠然见南山。"的悠然自得;李白起起落落,哪怕不被重用,他却仍 能快乐地梦游天姥,举杯畅饮,写出"长风破浪会有时,直挂云帆济沧海" 的乐观、豁达;当苏轼展遭贬演,他却仍有"泛舟游赤壁"的雅兴,有"浪 淘尽千古英雄"的豪迈。
【现代】高士其苦斗病磨: 士其是 国科普作家。在外国 学肺,有 一次做实一个裴有 赤类德性毒的玻璃亲子破裂了将毒侵入了 他的小脑。从此留下了身体致残的祸根。他忍受着病毒的折磨,学完了芝加 哥大学细关学的全都博士课程。解放后痛情恶化,说话和行动那十分困难, '睁、合眼 需要别人帮助。但他仍以惊人的吃苦精神进行创作,先后写点 10多万字的作品。有人问他若不苦他笑眷议:"不苦!因天天在 斗争,斗争是有无穷乐趣的。
③按照空间。方法运用:空间+事例+分析。


【国内】高士其苦斗病魔:高士其是我国科普作家。在外国留学时,有 一次做实验,一个装有培养脑类过滤性病毒的玻璃瓶子破裂了,病毒侵入了 他的小脑。从此留下了身体致残的祸根。他忍受着病毒的折磨,学完了芝加 哥大学细菌学的全部博士课程。解放后病情恶化,说话和行动都十分困难, 连睁、合眼都需要别人帮助。但他仍以惊人的吃苦精神进行创作,先后写成 100多万字的作品。有人问他苦不苦,他笑着说:"不苦!因为我天天都在 斗争,斗争是有无穷乐趣的。
【国外]海伦·凯乐幼时恋病,两耳失聪双目失明。但她而对病魔, 并没有被打到,反而积极乐观的生活。正是源于她积极乐观的态度,她顺利 进入大学,以优异成绩毕业而著作了《我生命的故事》,激关了成千上万的 残疾人:写了许多文字和几部自传性小说,成为伟大的作家:关爱残疾人士. 1964年被授予美国公民最高荣誉-总统自由勋章,次年又被推选为世界十 名杰出妇女之一
(4)演讲结尾
①号召。用提希望或发出号召的方式结尾。以慷慨激昂、扣人心弦的语 言,提出希望、发出号召、展示未来。方法达用:重申结论+发出号召。


乐观是每个人都应该具备的心态,只有笑看人生,才能让我们的思想 生活、工作都呈现积极状态,让生命充满阳光,让人生活出精彩。
②引用。用哲理名言、警句做结尾,使语言表达得精炼、生动、富有节 奏和韵律,丰富演讲的内容。方法运用:故事/名言/新闻等+结论。
英国诗人雪莱曾说:"冬天来了,春天还会 远吗?"人生苦,而欢乐 无限。让我们以积极乐观的姿态,拥抱美好的生活。
2.演绎风格
演讲的过程演绎,是指演讲的外在形式,是"演"的过程,是借助声音、 、动作来加强演讲的生动,从而实现演讲目的。常见演绎形或有:
(1)严谨明式。表现为语言经过严谨加工、逻辑性强,内容蕴含丰富 的词语和修辞方式,较多进行有声语言的强调,肢体语言保持相对稳定,多 适用于政治性演讲。
外交部《外交部告诫向英寻求庇护的乱港分子三结只有一个就是彻底失败》
[(2)  激昂。多采用高充激昂的音调、急速紧张的节奏。胶体语言 多借助锐利沉重的目光、深重有力的手势,鼓动性强,号召性强。
闻一多《最后一次演讲》]


[3  道来。表现为语言自然朴实、亲切清新,语义真i,形象亲切、 生动感人,肢体语言近于平时习惯,毫无矫揉造作之感。
消防战士演讲《我的一封遗书》]


第八章 微材料
0理解微材料题目的考查目的。
熟悉微材料题目的考查特点。
0掌握微材料题目的核心考点和高分技巧。 0结合题干及自身情况,实现灵活作答。
学习目标
【例题1】单位安排小刘和老王的共同起草一份文件,以下是两人微信 聊天的一段对话。
任务下达的第二天:
小刘:今天是任务下达的算二天,材料我准备好了,要不要讨论一下。 老王:你做的很好,要不然你再找找材料,多思考一下。
过了几天:
老王:已经过去几天了,我们要不然讨论一下吧。
小刘:我现在手头有很多东西没有梳理完,明天是周六,我们等下周三 再讨论一下吧。
问题:请分析一下老王和小刘的性格特点,假如跟他们两个共事,你认 为需要注意哪些问题?
【例题2】材料:
某工作日下午,你有以下几件事情需要处理:
(1)14:00上级领导到你单位检查,科长安排你接待考察团。
(2)父母从老家过来,14:30分到达火车站,让你去接站。
(3)房东约你15:00面谈房屋续签事宜,而你对合同有不满之处,需 要修改。
(4)15:00一位退休老干 要来单位报 医保费用,让要你接待。
(5)女朋友生病了,想让你下午请假陪她去医院。
问题:面对这些事情,你会如何安排?


微材料是中央党敢机关面试招录过程中一种板其重要的考查形 ,在 近三年的考试中均有出现。微材料主要考查 生解决问题的能力,具体来讲, 包括统筹安排能力、人际交往意识与技巧、服务意识与技巧等。
考查特点
1.考查方式:材料相对较短,大约150-300字,多以对话、陈述事项等 形式呈现,在材料之后会设置一至两道与材料有关的问题。
2.考查题型:常见的题型有统筹安排型材料、情景对话型材料和描述型 材料。
分析训练
【例题1】
【题签材料】单位安排小刘和老王的共同起草一份文件,以下是两人微 信聊天的一段对话。
任务下达的第二天:
小刘:今天是任务下达的第二天,材料我准各好了,要不要讨论一下 老王:你做的很好,要不然你再找找材料,多思考一下。
过了几天:
老王:已经过去几天了,我们要不然讨论一下吧。
小刘:我现在手头有很多东西没有 理完,明天是周六,我们等下周三 再讨论一下吧
问题:请分析一下老王和小刘的格特点,假如跟他们两个共事,你认 为需要注意哪些问题?
学员思考1:根据对话,你认为小李的性格特点是什么?
学员思考2:根据对话,你认为老王的性格特点是什么?
学员思考3:你会如何与他俩共事?
【例题2】
【题签材料】


某科室的科长与本科室一位年龄较长的科员刘姐就分工的问题对话如
科长:刘姐,我们科室的考勤工作就由你负责。
刘姐:这项工作我已经做了好几年了,很容易得罪人。今年 说什么都 不干了。
科长:其 人员都有重要工作安排,你年纪相对较大,还是你来负责。
刘姐:我就不接受,你还是另请高明吧。
科长:这么简单的一项工作你都做不了,你想干什么?
刘姐:做什么都比考勤好,反正我不干。你如果一定逼我,我就去找局 长反映!
科长:你··
问题:
根据材料中的对话,你认为双方在对话中存在哪些不妥之处?
学员思考1:刘姐在对话中有哪些不要之处?
(1)"很容易得罪人"存在的不要之处是什么?
(2)"今年我说什么都不干了"存在的不要之处是什么?
(3)"我就不接受,你还是另请高明吧"存在的不妥之处是什么?
(4)"做什么都比考勤好,反正我不干。你如果一定过我,我就去找 局长反映!"存在的不要之处是什么?
学员思考2:科长在对话中有哪些不要之处?
(1)"其他人员都有重要工作安排,你年纪相对较大,还是你来负责" 存在的不要之处是什么?
(2)"这么简单的一项工作你都做不了,你想干什么?"存在的不要 之处是什么?
【例题3】材料:


某工作日下午,你有以下几件事情需要处理:
(1)14:00上级领导到你单位检查,科长安排你接待考察团。
(2)父母从老家过来,14:30分到达火车站,让你去接站。
(3)房东约你15:00面谈房屋续签事宜,而你对合同有不满之处,需 要修改。
(4)15:00一位退休老干部要来单位报销医保费用,需要你接待。
(5)女朋友生病了,想让你下午请假陪她去医院。
问题:面对这些事情,你会如何安排?
学员思考1:你认为上述五项事件中,必须由你今天下午亲自去做的 有哪些,你会如何安排?
学员思考2:你认为上述五项事件中,可以改换时间处理的有哪些, 你会如何安排?
学员思考3:你认为上述五项事件中,如时间协调不开,可以不必要 亲自去处理的有哪些,你会如何安排?
学员思考4:你在处理上述事件时,遵循哪些原则?
学员思考5:你打算如何向考官作答此题,请组织语言进行作答。
高分总结:
【例题4】
材料:单位组织业务培训,但培训效果不佳,以下是三位同事对此次培 训提出的意见:
小王:每次都是这种填鸭式的培训形式,根本没有效果,也没意思 老张:来取网络培训的形式,虽然不受场地跟制,但是很多老同志不会 操作电脑,培训效果不好。


小率:每次都是那么几个业务骨千讲挽内容燥乏味,大家提不起兴 趣,都不想参加了。
请根据材料总结培训中存在的问题,然后提出至少三条有针对性的解 决措施。
学员思考1:小王提出的意见主要针对培训中存在的什么问题?
学员思考2:老张提出的意见主要针对培训中存在的什么问题?
学员思考3:小李提出的意见主要针对培训中存在的什么问题?
学员思考4:请提出至少三条针对性的解决措施?
【例题5】
材料:单位推行无纸化办公,领导提了三点反对意见:
(1)电子办公容易泄密;
(2)电子设备维护成本高;
(3)老同事可能不容易接受。
把面试官当成领导,说服他推行无纸化办公,请现场模拟。
学员思考1:此次劝说的目的是什么?
学员思考2:针对电子办公容易泄密这一意见,你会如何劝说?
学员思考3:针对电子设备维护成本高这一意见,你会如何劝说?
学员思考4:针对老同事可能不容易接受这一意见,你会如何劝说?
学员思考5:为了让领导接受你的想法,你还会说些什么?
第九章 创新题型
理解创新题型的考查类型。
0熟悉创新题型的考查特点。
0掌握创新题型的高分技巧。
0结合题干及自身情况,实现灵活作答。
学习目标
一、串词类
(一)串词讲故事


【例题】请用"夕阳""城管""市场""微笑""感动"5个词编一 个故事。
【作答原则】
1.主题明确
2.叙议结合
3.立足现实
4.紧扣核心
5.同类映衬
(二)串词论述
【例題1材料题本:创新数量创新大因、创新质量。问题:请用这 三个词造句,并作为观点进行论述。
【作答原则】
1.把握关键词和词语之间的逻辑关系
2.确定观点
3.结合实际进行阐述分析
二、编故事类
【例题】以"我和朋友去郊外游玩,只见山上的树林繁茂,河水清澈见 底…….为开头,以"我的心情突然又变得沉重起来""为结尾编故事。
【作答思路】
1.确定主线--"4W"
(1)When:时间
(2)Where:地点
(3)Who:人物
(4)What:事件
2.讲述故事情节-4要素
(1)起因
(2)经过
(3)高潮
(4)结尾
三、辩论类
【例题】以下是一道辩论题,请你选择正方或者反方进行论述。 正方:公务员的口才比文才重要
反方:公务员的文才比口才重要
【作答思路】
1.阐述概念和特点
2紧扣"更重要"展开论证,兼顾证明和反驳
四、新闻报道类
[【铜题】锻如你是一皂记者,请根据下困 开合理想象模拟进行一次 现场报道。
【作答思路】]


1.开头:观众问好,自我介绍
2.主体内容:实事求是,简述事件详情(时间、地点、人物、原因、结 果)
3.结尾:渲染精神,呼吁社会
【作答原则】
1.以图片为依据进行合理联想,切忌离题过远。
2新闻记者桥报要秉持客观真实的原则,现场描述要尽量采用容呢叙事 的方式。
3.抓住图片中反映的精神品质进行造当渲染,但不宜过度,切忌通篇都 是主观情感。
五、选A答B类
【例题】
材料:
小张是一名政府工作人员,乘机去外地开展调研,由于调查问卷太多不 方便携带,所以办理了托运。到达目的地后,发现由于机场工作人员的失误, 托运的调查问卷并未同机抵达。
角色A:按照原定计划,配合调查的单位都已经做好了准备,调研时间 无法更改,现在距离调研时间还有3小时,机场到达调研地车程至少需要1 小时,重新打印问卷至少需要2小时。如果你是小张,你会怎么办?
角色B:小张要求调研资料必须在2个小时内送过来,但最近的航班要 3个小时才能到,小张很气价,在祝场大吵大闹,引起很多乘容围观,并且 拍照。如果你是机场工作人员,你会怎么做?
问题:请选择任意一个角色进行作答。
【要求】考官根据考生的选择,要求考生以未选择的角色进行作答。
六、主题拟定类


【例题】国强则少年强,今天的中国赋予所有与之相关的人一张"中国 牌"可打,每个普通人都是国家形象的代言人。请你拟一个"为祖国代言" 的口号,要求不超过20个字,并谈谈你对这个口号的理解。
七、图片类
[【例题】这是一组关于"桥"的图片,请谈谈你的观后感受。
八、书写类]鹊桥 赵州桥 卢沟桥 港珠澳大桥


【例题】请用楷体抄写一遍《七律·长征》。抄写内容如下: 勤 五铃 于 乌 在 江顺播密 讨的我拍梦 海 多 石旗 候 4 老书城言 走了 N3 方派征 宜暖液同转


普通高中教科书
数学
必修
第二册
人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心
人表顾
人民教育必版社 ·北京·
主编:章建跃李增沪
副主编:李勇李海东李龙才
本册主编:薛彬张淑梅
编写人员:丁益祥马波王芝平申铁李龙才李海东吴明华 沈她张唯一张淑梅张惠英意建跃糊海奎薛彬
责任编辑:宋莉莉
美术编辑:王俊宏
普通高中教科书数学必修第二册 人民教育出版社课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心
出版人民都北
(北京市区中关村南大街17号院1号楼邮编:100081) 网h httpo//ww.pep.com.ct 重印xXx出版社
发行XXX新华书店
印刷XXX印刷
版次 年月第版 印 次 年月第次印刷
开本890毫米x1240毫米1/16 印张17.25
字数383千字
印数 册
书号IN978-7-107-13566-2 定价 儿
定价批号:xx号审图号:GS(xxxx)xxxx号
版权所有·未经许可不得采用任何方式握自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质武问 ,请业承中小学4教材怠见反 平台:xyikupacom.m
如发现印、装质量同题.影响阅读,请与xxx联系调换:电话:xxx-x


本书根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》编写,包括"平面向量及其应用" "复数""立体几何初步""统计""概率"五章内容和"数学探究用向量法研究三角形的 性质"
平面向量有着极其丰富的实际背景,是近代数学中重要和基本的 念之一,它是沟通 几何与代数的桥梁.在"平面向量及其应用"中,同学们将在了解向量的实际背景的基础 上,学习平面向量及其运算的一些基本知识,用向量方法解决一些平面几何问题、物理间 题,探索三角形边长与角度的关系,从中可以看到向量这一工具的强大力量.
数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,从中可以看到数学发展的内在需求和 背景,复数是一种重要的运算对象,在"复数"中,同学们将了解引入复数的必要性,经 历数系扩充的基本过程,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的 作用.


立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系,在"立体几何初步"的学习 中,同学们将从对空间几何体的整体观察人手,认识空间图形,再以长方体为载体,直观 认识和理 空间中点、直线、平面之间的位晋关系,并利用数学语言表述有关平行、垂育 的性质与判定,对某些结论进行论证,在认识和探索几何图形及其性质的过程中,同学们 将学到直观感知、操作确认、思辩论证,度量计算等立体几何的主要研究方法。
统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.在"统计"中,同学 们将在初中的基础上,进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数 据统计特征的刻画方法.通过运用数据分析的 法解决简单的实际问题,体会用 本钻计 总体分布及其特征的思想,体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的 差异.


在客观世界中,随机现像到处可见,概 论是研究随机现象数量规律的科学,它为人 们认识客观世界提供了重要的思维模式和 决问题的方法,也为统计学的发展提供了理论 基础,在"概率"中,同学们将结合具体实例,理解样本点、有限样本空间、随机事件, 学会计算古典概型中简单随机事件的概率.加深对随机现象的认识和理解,提高用概率的 方法解决问题的能力.
[希望同学们以更高的学习热情投入学习,通过本册书的学习,掌握更多的数学知识, 学会更多的数学方法,在思维能力、用数学解决实际问题的能力等方面都有更大的提高.
目录]R


第六章平面向量及其应用
6.1平面向量的概念…·
阅读与思考向量及向量符号的由来…·
6
6.2平面向量的运算…·
7
6.3平面向量基本定理及坐标表示……
25
6.4平面向量的应用
38
阅读与思考海伦和秦九韶……
小结……
复习参考题6
数学探究用向量法研究三角形的性质…
63
第七章复数……
67
7.1复数的概念
68
7.2复数的四则运算
阅读与思考代数基本定理……
7.3"复数的三角表示
83
探究与发现1的1次方根
小结……
93
复习参考题7…
94
第八章立体几何初步
96
8.1基本立体图形…·
97
8.2立体图形的直观图…
107
阅读与思考画法几何与蒙日·
8.3简单几何体的表面积与体积……
114
探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积……·121
[8.4空间点、直线、平面之间的位置关系···124
8.5空间直线、平面的平行……]


[8.4空间点、直线、平面之间的位置关系···124
8.5空间直线、平面的平行……]


8.6空间直线、平面的垂……
146
阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法
165
文献阅读与数学写作"几何学的发展
小结……
167
复习参考题8
169
第九章统计
172
9.1随机抽样…·
阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应
185
信息技术应用统计软件的应用……
9.2用样本估计总体…·
阅读与思考统计学在军事中的应用
二战时德国坦克总量的估计问题
208
阅读与思考大数据·
9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析……
218
小结……
220
复习参考题9
222
第十章概率
225
10.1随机事件与概率……
226
10.2事件的相互独立性
246
10.3 频率与概率
251
阅读与思考孟德尔遗传规律
259
小结
261
复习参考题10…·
[部分中英文词汇索引…… 265
第六章]


[部分中英文词汇索引…… 265
第六章]


平面向量及其应用
在现实生活中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位 后只用一个实数就可以表示出来,如长度、质量等,还有一些量 则不是这样,例如下图中小船的位移,小船由A地向东南方向 航行15n mile到达B地(速度的大小为10n milc/h).这里,如 果仅指出"由A地航行15nmile",而不指明"向东南方向"航 行,那么小船就不一定到达B地了,这就是说,位移是既有大小 又有方向的量、力、速度、加速度等也是这样的量,对这种既有 大小又有方向的量加以抽象,就得到了我们本章将要研究的 向量.
[向量是近代数学中重要和基本的概念之一,向量理论具有丰 富的物理背景、深刻的数学内涵.向量既是代数研究对象,也是 几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究 其他数学领域问题的基础,在解决实际问题中发挥着重要作用. 本章我们将通过实际背景引入向量的概念,类比数的运算学 习向量的运算及其性质,建立向量的运算体系.在此基础上,用向 量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题.
6.1平面向量的概念]北 A 东 西


我们知道,力、位移、速度等物理量是既有大小、又有 方向的量,本节我们将通过对这些量的抽象,形成向量概念 及其表示方法:通过研究向量之间的一些特殊关系,初步认 识向量的一些特征。
6.1.1向量的实际背景与概念
[在本章引言中,小船位移的大小是A,B两地之间的距离15 n mile,位移的方向是 东南方向;小船能行速度的大小是10nmile√h,速度的方向是东南方向,又则,物体受到 的重力是竖直向下的(图6.1-1),物体的质量越大,它受到的重力越大:物体在液体中 受到的浮力是竖直向上的(图6.1-2)·物体浸在液体中的体积越大,它受到的浮力越大.
力、位移、速度等有各自的特性,而"既有大小,又有 方向"是它们的共同属性,我们知道,从一支笔、一棵树、 一本书……·中,可以抽象出只有大小的数量"1".类似地, 我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象,形成一种 新的量.]G 图6.1-1 图6.1-2


[在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量 (vector),而把只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、 身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
6.1.2向量的几何表示]物理学中常称向量为 矢量,数量为标量,你还 能举出物理学中的一些向 量和数量吗?


由于数量可以用实数表示,而实数与数轴上的点--一对应,所以数量可用数轴上的点 表示,而且不同的点表示不同的数量,那么,该如何表示向量呢?
我们仍以位移为例,小船以A为起点,B为终点,我们可以用连接A,B两点的线
段长度代表小船行进的距离,并在终点B处加上简头表示小船行驶的方向.于是,这条 "带有方向的线段"就可以用来表示位移.受此启发,我们可以用带箭头的线段来表示向量, 线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向。
通常,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设
[A为起点.B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方
向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3). 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向,以A为起 点、B为终点的有向线段记作AB,线段AB的长度也叫做 有向线段AB的长度,记作|ABI.]表示有向线段时,起 点一定要写在终点的前面.


[向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3). 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向,以A为起 点、B为终点的有向线段记作AB,线段AB的长度也叫做 有向线段AB的长度,记作|ABI.
图6.1-3]B(终点) A(起点)


有向线段包含三个要素:起点、方向、长度,知道了有 向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.
向量可以用有向线段AB来表示,我们把这个向量记作 向量AB.有向线段的长度|AB|表示向量的大小,有向线段 的方向表示向量的方向,用有向线段表示向量,使向量有了 直观形象.
向量AB的大小称为向量AB的长度(或称楼),记作 |AB].长度为0的向量叫做零向量(zero veetor),记做0. 长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量(umit vector)。
向量也可以用字母a.b,c,…表示.
例1在图6.1-4中,分别用向量表示A地至B,C两 地的位移,并根据图中的比例尺,求出A地至B.C两地 的实际距离(精确到1km).
解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈
[AC表示A地至C地的位移,且AC|≈
图6.1-4]1印刷用黑体a,书 写用a.


6.1.3相等向量与共线向量
下面,我们通过向量之间的关系进一步认识向量.
[方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(paralled vertors), 如图6.1-5,用有向线段表示的向量a与b是两个平行向量.
向量a与b平行,记作a//b.]图6.1-5


我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0/a. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector),如图
6.1-6,用有向线段表示的向量a与b相等,记作a=b.
任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段表示,并且
[与有向线段的起点无关:同时,两条方向相同且长度相等的有向线
段表示同一个向量,因为向量完全由它的模和方向确定.]图6.1-6


[如图6.1-7,a、b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线1.在己上 任取一点O,则可在/上分别作出OA=a,OB=b,(C=c,这就是说,任一组平行向量 都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量(colinear vec ors).
图6.1-7]B A


例2如图6.1-8,设0是正六边形ABCDEF的中心.
(1)写出图中的共线向量:
(2)分别写出图中与OA,OB,(C相等的向量.
解:(1) QA,CB,D、FE是共线向量;
OB,DC,EO,AF是共线向量; C,AB,ED,FO是共线向量.
(2) 0A-CB=D0
[OB=DC=E0: =AB=ED=FO.
练习]A B C D E 图6.1-8


1.下列量中哪些是向量?
悬挂物受到的拉力,压强,摩擦力,频率,加速度、 2.两两条有向线段,分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一 个水平向左、大小为28N的力.(用I(m长表示10N)
3.指出图中各向量的长度。(规定小方格的边长为0.5)
4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示。
(1)当OMON是相等向量时,判断终点M与N的位置关系:
(2)当OM与ON是平行向量,且[OM|=2|ON|=1时,求向量
MN的长度,并判断MN的方向与ON的方向之间的关系
第六章平面向量及其应用
习题6.1
复习巩固
[2.如图,点0是 ABCD的对角线的交点,HOA=a.=b.AB=c.分别写出口ABCD和 折线MPQRST中与a,b.c相等的向量.
综合运用]1.在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量: (1)|OA|=4,点A在点O正南方向; (2) |OB|=22,点B在点O北偏西45°方向; (3)|OC|=2,点C在点 南偏西30°方向. P Q D (第1题) (第2题)


3. 断下 结论是否走疮人正碗的在话号内打" ".错误的打 >" .并说明理中.
(1)若a与b都是单位向量。则a=b
(2)方向为南偏要60℃的向量与北偏东602的 向量是共线向量
(3)直角坐标平面上的轴、y轴都是向量
(4)若a与b是平行向量,则a=b
(5)若用有向线段表示的向量AM与AN不相等,则点M与N不重合.
(6)海拔、温度、角度都不是向量。
拓广探索
[如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2.M.N分别为边AB. CD的中点,在以A,B.C.D.M.N为起点和终点的所有有 向线段表示的向量中,相等的向量共有多少对?
(第+题)]D N A M B


向量及向量符号的由来
向量最桐应用于物理学,被你为失量,很多物理量,如力,位移,速度, 电场强度、磁感应强度等都是向量,向量的概念萌芽于二千多年前,大约在 公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384-前 322)就知道了力可以表示成向量."向量"一词来自力学、解析几何中的有 向线 ,最先使用有向线较表示向量的是英国科学家牛顿(saacNewton. 1642-1727), 向量是一种带见何性质的量.除零向量外.总可以画出"前头示方》 向,线段长表示大小"的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔(J.R. Argand. 7681822)以AB表示有向线段或向量,1827年,欢比鸟斯(A. F.Mobius.1790-1848)以AB表示起点为A.终点为B的向量:这种用法 被数学家广泛接受,另外,哈密 (W.R.Hami'lton. (805-*1865)、吉布斯 (J.W.Gibbs,1839-1903)等人则以小写希腊字母表示向量、后来,字母上 加靠头表示向量的方法 渐流行,尤其用在手写稿中:为了方便印别,人们 又用 黑体小写字母a.


b等表示向量,这两种符号一直沿用至今, 菜布尼茨(G.W.Leibriz,16416-1716)曾经从位置几何学研究的视角 进行过预想:"我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素,即使在没有 任何图形的情况下,它也能有利于表达思想、表达事物的本质,我的这个新 系统能跟可见的图形,以一种自然的、分析的方式,通过一个确定的程序 同时给出解、构 边和几何的证明."莱布尼茨所说的"有新特点的元素"和
"新系统"就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论, 向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦 测量学家书塞尔(Caspar Wess ]. 1745-1818)把复表示为向量,并利用 向量定义复数运算,他把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何 表示用于研完几何与三角问题.人们还步接受了复数,也学会了利用复表 示、研究平面中的向量。
发展到现在向曼在教学、物理、计算机科学与技术等学科,以及社会 生产、生活、经济,金独与贸易等各领城中都有广泛的应用,成为解决这些 领城中各种问题的有力工具.
你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗?
6.2平面向量的运算


我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力 无穷,那么,向量是否也能像数一样进行运算呢?人们从向 量的物理背景和数的运算中得到启发,引进了向量的运算. 本节我们就来研究平面向量的运算,探索其运算性质,体会 向量运算的作用.
下面先学习向量的加法.
6.2.1向量的加法运算
我们知道,位移、力是向量,它们可以合成.能否从位移、力的合成中得到启发,引 进向量的加法呢?
思考
[如图6.2-1,某质点从点A经过点B到点C,这个 质点的位移如何表示?
物理知识告诉我们,这个质点两次位移入B,BC的结果,与从点A直接到点C的位 移AC结果树同.因此,位移AC可以看成是位移AB与BC合成的,数的加法启发我们,从运]A B 图6.2-1


算的角度看,AC可以看作是AB与BC的和,即位移的合成可以看作向量的加法
如图6.2-2,已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作AB=a,BC=b,则 向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.
[图6.2-2
第六章半面向量及其应用7]B


求两个向量和的运算,叫做向量的加法,这种求向量和的方法,称为向量加法的三角 形法则,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模币.
我们再来看力的合成问题.
思考
[如图6.2-3.在光滑的平面上,一个物体同时受到两个 外力F、与F:的作用,你能作出这个物体所受的合力F吗?
我们知道,合力F在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于这 条对角线的长,从运算的角度看,F可以看作是F,与F的和,即力的合成可以看作向量 的加法。]B F2 F1 A 图6.2-3


如图6.2-4,以同一点0为起点的两个已知向量a, b,以QA,OB为邻边作口QACB,则以0为起点的向量
CC(OC是口OACB的对角线)就是向量a与b的和。我们
把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
[则。力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
思考]B a+b b 图6.2-4


向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗?为什么?
对于零向量与任意向量a,我们规定 a+0=0+a=a
例1如图6.2-5,已知向量a,b,求作向量a+b. 作法1:在平面内任取一点0(图6.2-6(1)),作0A=a,AB=b,则OB=a+b. 作法2:在平面内任取一点0(图6.2-6(2)),作OA=a,OB=b.以OA,OB为
[邻边作 OACB,连接0C,则OC=OA+OB=a+b.
第六章平面向量及其应用]A A a a b b B B (2) 图6.2-5 图6.2-6


(1)如果向量a,b共线,它们的加法与 的加法有什么关系?你能作出向量 +b吗?
(2)结合例1.探索|a+b|.lal.b|之间的关系。
一般地,我们有
la+b≤a+|bl
当且仅当a,b方向相同时等号成立.
根据数的运算的学习经验,定义了一种运算,就要研究相应的运算律,运算律可以有 效地简化运算.
探究
教的法满足交换结合律,同的台也满爬交律结台呢?
[如图6.2-7(1),作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作口ABCD,容易发现 一EC=b,DC=a,故AC=AB+E=a+b,又AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.
图6.2-7]a+b+c b+c a+b A a b B R (2)


由图6.2-7(2),你能否验证 a+(b+c)=(a+b)+e? 综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
例2长江两岸之间没有大桥的地方,常常通 过轮渡进行运输,如图6.2-8,一艘船从长江南岸 A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为
15 km/h,同时江水的速度为向东6km/h.
[(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际
航行的速度;]图6.2-8


[(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际
航行的速度;]D a+b b b A B a (1) 图6


(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间 的夹角表示,精确到1).
解:(1)如图6.2-9.AD表示船速,AB表示江水速度,以AD, AB为邻边作 ABCD,则AC表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中,|AB|=6,|BC|=15,于是 |AC|=VIAB+|BC|=6+15=261≈16.2.
[EC
因为tan CAB= 所以利用计算工具可得 CAB~68.]D C B A 图6.2-9


AB
因此,船实际航行速度的大小约为16.2km/h,方向与江水速度 间的夹角约为68.
练习
[1.如图,在上列各小题中.已知向量a.b.分别用两种方法求作向量a+b.
2.当向量a,b满足什么条件时,a+b|-la](3)


3.根据图示填空:
(1)a+b=
(2)e+d(3)a+b+d=
(4)e+d+e
4.如图,圆边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,判断下列各式 是否正确(正确的在括号内打"√"、错误的打 (1)DA+DP-PA
(2)DA+AB+BP=DP.
(3) AB+BC+CP-PA.
5.有一条东西向的小河,一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行 速度的大小为15km/h.方向为北偏二30°.河水的速度为向东
[7.5 km/h.求小船实际航行速度的大小与方向.
10第六章平面向量及其应用]D e d E C g b A a B


[7.5 km/h.求小船实际航行速度的大小与方向.
10第六章平面向量及其应用](第3题) D P A B (第4题)


6.2.2 向量的减法运算
思考
在数的运算中,法是加法的逆运算,其运算法则是"点去一个数等于加上这个 数的相反 "类比数的减法,向量的减法与加法有什么关系?如何定义向量的减法 法则?
与数x的相反数是一x类似,我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫 做a的相反向量,记作一a,由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和一a互为相 反向量,于是
(一a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 由两个向量和的定义易知
a+(一a)=(一a)+a=0.
即任意向量与其相反向量的和是零向量,这样,如果a.b互为相反向晕,那么
a=-b.b=-a.a+b=0.
向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即
a-b=a十(一b),
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
我们看到,向量的减法可以转化为向量的加法来进行:减去一个向量相当于加上这个 向量的相反向量.
探究
向量减法的几何意义是什么?
如图6.2-10,设OA=a,OB=b.OD=-b,连接AB, 由向量减法的定义知
a-b=a+(-b)=0A+D=0.
在四边形OCAB中,OBICA.所以(CAB是平行四边 形,所以
BA=0C=a-b.


由此,我们得到a-b的作图方法.
[如图6.2-11,已知向量a,b、在平面内任取一点0,作
OA=a.OB=b,则BA=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点 的向量,这是向量减法的几何意义.]B a-b b a A -b a+(-b) C D 图6.2-10


[OA=a.OB=b,则BA=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点 的向量,这是向量减法的几何意义.
图6.2-11]A b b a-b B


思考
(1)在图6.2-11中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?
(2)如果改麦图6.2-1中向量a的方向.使aj/b.怎样作出a-b呢?
[例3如图6.2-12( ).已知向量a.b.c.d.求作向量a-b.c-d.
图6.2-12 作法:如图6.2-12(2),在平面内任取一点O,作OA=a.oB=b,ac=c.OD=]B D a-b c-d A b a C (2)


d、则 BA=a-b. DC=e-d.
例4如图6.2-13,在 ABCD中,AB=a,AD=b,你能 用a,b表示向量AC.DB吗?
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道
AC=a+b.
同样,由向量的减法,知
DB-AB-AD=a-b
图6.2-13
练习
1.如下页图、在各小题中,已知a,b.分别求作a-b.
[12第六章平面向量及其应用
6.2.3 向量的数乘运算]a b b (1) (3) (第1题) 2.填空: AB-AD= 3.作图验证:-(a+b)=-a-b.


探究
已知非军向量a,作出a+a+a和(一a)+(一a)+(一a),它们的长度和方向分 别是怎样的?
[如图6.2-14,0=0A+AB+BC=a+a+a.类比 数的乘法,我们把a+aa记作3a,即(C=3a.显然3a 的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即 3a|=3al. 类似地,由图6.2-14可知,PN-PQ+QM+MN-
(一a)+(一a)+(一a),我们把(一a)+(一a)+(一a) 记作一3a,即PN=-3a.显然-3a的方向与a的方向相 反,一3a的长度是a的长度的3倍,即|一3a|=3la|.]a C A B -a -a -a Q P N M 图6.2-14 R 饭 你对零向量、相反向 量有什么新的认识?


一般地,我们规定实数入与向量a的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by sca lar),记作a,它的长度与方向规定如下:
(1)xa入a:
(2)当入>0时,入a的方向与a的方向相同;当入<0 时,Aa的方向与a的方向相反.
由(1)可知,当入=0时,a=0.
由(1)(2)可知,(一1)a=-a.
如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍,方向不变得到向量b,向量b该 如何表示?向量a,b之间的关系怎样?
根据实数与向量的积的定义,可以验证下面的运算律是成立的.
[设入。拉为实数,那么
特别地,我们有](2)( +u)a= a+ua; (3) (a+b)=ya+yb.


(一入)a=-(a)=入(一a),
入(a-b)=入a-入b.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量。 对于任意向量a,b、以及任意实数入,热,热,恒有
入(ga士ub)=xua士au2b.
例5 计算:
(1)(一3)X4a: (2)3(a+b)-2(a-b)一a:
(3)(2a+3b-c)一(3a-2b+e)。
解:(1)原式=(一3X4)a=-12a;
(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b:
(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c =-a+5b-2c.
例6如图6.2-15, ABCD的两条对角线相交于点M, 且AB-a,AD-b,用a,b表示MA,MB.MC和MD. 解:在 ABCD中, AC=AB+AD=a+b. DB=AB-AD=a-b.
由平行四边形的两条对角线互相平分,得
M-÷--(a+b)-M=(a)=a
图6.2-15
M
MD-D8-+6
练习
1.任画一向量e.分别求作向量a=4e.b=-4e.
AC 5
·则AC=AB.BC=AB.
2.点C在线段AB上,且
CB
3.把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积:
(1)a=3e.b=6et


(2)a=8e.b=-l4et
探究
引入向量数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?
可以发现,实数与向量的积与原向量共线.
事实上,对于向量a(a≠0).b、如果有一个实数入,使b=入a,那么由向量数乘的 定义可知a与b共线.
反过来,已知向量a与b共线,且向量b的长度是向量a的长度的 倍,即|b|= [a.那么当a与b同方向时,有b=j闻a:当a与b反方向时,有b=-ua. 综上,我们有如下定理: 向量a(a≠()与b共线的充要条件是:存在唯一-个实数入.使b=入ah
根据这一定理,设非零向量a位于直线!上,那么对于直线!上的任意一个向量b. 都存在唯一的一个实数入,使b=ia.也就是说,位于同一直线上的向量可以由位于这条 直线上的一个非零向量表示.


[例7如图6.2-16,已知任意两个非零向量a,b,试作0A a+b.OB=a+2b,(C=a+3b.猜想A,B.C三点之间的位置 关系,并证明你的猜想. 分析:判断三点之间的位置关系,主要是看这三点是否共线, 为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上,在本题中,应 用向量知识判断A.B,C三点是否共线,可以通过判断向量AC. AB是否共线,即是否存在入,使AC=A.AB成立。
分别作向量OA,OB,CC,过点A.C作直线AC(图 6.2-17).观察发现,不论向量a,b怎样变化、点B始终在直线 AC上,猜想A,B,C三点共线.]图6.2-16


事实上,因为
AB=OB-OA=a+2b-(a+b)=b.
AC--0A=a+3b-(a+b)=2b.
所以AC=2AB.
[因此,A.B.C三点共线.
例8已知a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-,b共线,求实数:的值。]3b B 2b 图6.2-17


由a,b不共线,易知向量a为非零向量。由向量b-1a,一6共线。 可知存在实数入,使得
b-a=x(三a).
即
(+三)=(2+1)0.
由a,b不共线,必有1十=+1=0,否则,不妨设十 b.由
两个向量共线的充要条件知,a,b共线,与已知矛盾。 由
因此,当向量b一1,共线时。1
练习
1.判断下列各小题中的向量a与b是否共线
(1)a=-2e,b=2e:
(2)a=e一e.b=-2e+2e
2.化简:
(2)(a-26)-(3-26)(-一b)
(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);
(3)(x+y)a-(x-y)a.
3.已知e,e:是两个不共线的向量,a=e-2eb=2e,+he,若a与b是共线向量,求实数k的值.
16第六章平面向量及其应用
6.2.4向量的数量积
前面我们学习了向量的加、减运算,类比数的运算,出现了 一个自然的问题:问量能否相乘?如果能,那么向量的乘法该 怎样定义?
在物理课中我们学过功的概念:如果一个物体在力F的作 用下产生位移s(图6.2-18),那么力F所做的功
W-Fscos0.
其中0是F与s的夹角.


功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定。这给我们一 种启示,能否把"功"看成是两个向量"相乘"的结果呢?受 此启发,我们引入向量"数量积"的概念.
因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角,所以我们 先要定义向量的夹角概念。
已知两个非零向量a,b(图6.2-19),0是平面上的任意 一点,作OA=a,OB=b,则 AOB=0(0<0<)叫做向量 a与b的夹角.
[显然,当0=0时,a与b同向:当0=时,a与b反向.
图6.2-18]


如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直,记作alb.
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为8、我们把数量allb|cos8叫做向量a与b 的数量积(或内积(inner product)),记作a·b,即 a·b=ablcos0
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
对比向量的线性运算,我们发现,向量线性运算的结果是一个向量,而两个向量的数 量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
例9已知|a|=5,[b|=4,a与b的夹角0= 解:a·b=alb|cos0 2m =5X4Xcos 3 ,求a·b.
=5×4×(
第六章半面向量及其应用17
例10设a=12.b=9,a·b=-542,求a与b的夹角8. 解:由a·b=la||b|cos0.得
-54/2 a·b cos0= ab 12X9 2
3元 因为0e[0,],所以0 4
如图6.2-20(1),设a,b是两个非零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变 换;过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直缘的重线,重足分别为A,B,得到


A,B,我们称上述变换为向量a向向量 投影 project).A,B,叫傲向量a在向量b上 的投影向量.
[图6.2-20
如图6.2-20(2),我们可以在平面内任取一点0,作OM=a,ON=b.过点M作直 线OV的乘线,乘足为M,则OM,就是向量 在向量b上的投影向量.]B A M a b b M N B D (1) (2)


探究
如图6.2-20(),设与b方向相同的尊位向量为e,a与b的夹角为④.那么 (M,与e、a,0之间有怎样的关系?
显然,OM,与e共线,于是
下面我们探究入与a,0的关系,进面给出(M的明确表达式.我们分0为锐角、直 角、钝角以及0=0.0=等情况进行讨论. 当0为锐角(图6.2-21(1))时。OM与e方向相同,入=OM=alcs0,所以
OM,=|OM,le=alcosde:
当0为直角(图6.2-21(2))时,入=0,所以
OM
18第六章平面向量及其应用
当0为钝角(图6.2-21(3))时,OM,与e方向相反,所以
入=-[OM,|=-a|cos/MOM =-a|cos(-0)=a|cos0.
OM,=la|cos Oe.
[图6.2-21
当 =0时,入=al,所以 OM,=ale=a cosOe: 当0=时,入=-a|.所以 OM,=-ale=la|coste. 从上面的讨论可知,对于任意的 e[0,x],都有 OM,-la|cos Oe.]M M M a b N o b N M (1) (2) (3)


探究
从上面的探究我们看到,两个非零向量a与b相互平行或垂直时,向量a在向量 b上的投影向量具有特殊性,这时,他们的数量积又有 样的特殊性?
由向量数量积的定义,可以得到向量数量积的如下重要 性质.
设a,b是非零向量,它们的夹角是0.e是与b方向相 同的单位向量,则
(1)a*ee*a=acos8
(2)alb a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=lallb|:当a与b反向时, a·b=-|a|[b|.特别地,a·a=a或a=a*a.
此外,由|cos0|<1还可以得到 (4)a+b≤ab.
如果a·b=0.是否 有a=0,或b=0?
a"a常常记作a"
练习
1.已知|p=8.lq|=6,p和q的夹角是60".求p*q.
2.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0或a·b=0时,试判断△ABC的形状. 3.已知la|=6,e为单位向量,当向量a,e的夹角0分别等于45",90",135"时,求向量a在向量e 上的投影向量。
与向量的线性运算一样,定义了向量的数量积后,就要研究数量积运算是否满足一些 运算律.
探究


类比数的乘法运算律,结合向量的线性运算的运算律,你能得到数量积运算的 些运算体?你能证明吗?
由向量数量积的定义,可以发现下列运算律成立:
对于向量a,b、c和实数入,有
(1)a·b=b·a: (2)(入a)·b=入(a·b)=a·(ab): (3)(a+b)·c=a·c+b·c.
下面我们利用向量投影证明分配律(3)
证明:如图6.2-22,任取一点0,作0A=a,OB=
b.C=e.OD=a+b.
[设向量a,b,a+b与c的夹角分别为8,,0.0、它
们在向量c上的投影向量分别为OA,OB,OD,与c 方向相同的单位向量为e,则]D B B1 图6.2-22


QA=alcos 0e.
OB:=blcos Oe.
OD=la+blcos 0e.
因为a=BD,所以OA,=B.D.于是 OD,=OB+B,D,=OB+0A.
la+blcos Oe=la|cos Oe+lb|cos0e.
第六章平面向量及其应用
整理,得 所以 即
所以 因此
(a+b|cos0-a|cos0,-|b|cos0)e=0.
la+b|cos0-la|cos 0,-|b|cos 0=0
a+b|cos0=lacos 0+b|cos0..
a+blecos0=|al|c|cos0+bllelcos0.
(a+b)·c=a·c+b·c.
思考
设a.b.c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立吗?为什么?
例11我们知道,对任意4,6ER,恒有
(a+b)=a2+2ab+b2.(a+b)(a-b)=a-b,
对任意向量a,b,是否也有下面类似的结论?
(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2:
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b, 解:(1)(a+b)=(a+b)·(a+b) =a*a+a·b+b·a+b·b =a2+2a·b+b2=
(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a.b+b·a-b·b


Fa-b.
因此,上述结论是成立的。
例12已知|a|6.|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b)。
解:(a+2b)·(a-3b) =a*a-3a·b+2b·a-6b·b =al-a·b-6|b| =a-a|bcos0-6|b|= =6-6X4Xcos60°-6×4 =-72.
例13已知|a|=3.b=4,且a与b不共线.当4为何值时,向量a+b与a-kb 互相垂直?
即
解:a+bb与a-bb互相垂直的充要条件是
(a+kb)·(a-kb)=0.
因为a=3=9、b2=4=16. 所以9-16k=0. 3
解得 =土
a"-k"b'=0.
也就是说,当=士时,a+b与a一hb互相垂直。
练习
1.已知(al=1.18i=2,lel=3,向量a与b的夹角为,向量与c的夹角为",计算:
(1)(a·b)c:
(2)a(b·e)。
2.已知a|=2.1b|-1,且a-b与a+2b互相垂直,求证alb.
3.求证:(a+b)一(a-b)=la·b.
习题6.2
复习巩固
1.如果a表示"向东走10km",b表示"向西走5km",表示"向北走10km"、d表示"向南 走5km".那么下列向量具有什么意义?


(1)a十a: (2)a+b: (3)a+c:
(4)b+d: (5)b+e+b: (6)d+a+d.
2.一架飞机向北飞行300km,然后改变方向向西飞行400km,求飞机飞行的路程及两次位移的 合成。
3.一艘船垂直于对岸航行,航行速度的大小为16km/h,同时河水流速的大小为4km/h.求船实 际航行的速度的大小与方向(精确到1°)。
4.化简:
(1) AB+BC+CA;
(2)(AB+MB)+BO+OM
(3)A+0+B0+ (4)AB-AC+BD-CD
(5)OA-OD+AD
(6)AB-AD-DC
(7)NQ+QP+MN-MP.
5.作图验证:
22第六章平面向量及其应用
6.(1)已知向量a.b.求作向量c.使a+b+e-0.
(2)(1)中表示a.b、c的有向线段能构成三角形吗?
7.已知a,b为两个非零向量。
(1)求作向量a+b,a-b:
(2)当向量a.b成什么位管关亲时,满足a+bl=la-bl?(不要求证明)
8.化简:
(1)5(2a-2b)+4(2b-3a);
(2)6(a-3b+c)-4(一a+b-e):
(3)÷(3a-2b)+a--(a-96),


(4)(x-y)(a+b)-(r-y)(a-b).
9.如图,NA.N求证
10.填空:
(1)若a.b满足la|-2、|b|-3.则la+b|的最大值为 最小值为
(2)当非零向量a,b满足 时,a+b平分a与b的夹角。
11.(1)已知la|=3,1b|=4,且a与b的夹角8=150°,求a·b.(a+b)",la+b):
(2)已知la|-2.1b|-5,且a·b--3,求|a+b|,la-bl.
12.求证:
[(aa)·h-a(a·b)=g·(ab),
综合运用]N A B M


13.根据下烈各小题中的条件,分别判断→边形ABCD的形状·并给出证明:
(1)AD-BC:
(2)AD-配
(3)AB-DC.且AB|-|ADI.
14.在△ABC中,AD--AB,DE// BC,且与边AC相交于点E.
△ABC的中线AM与DE相交于点N.设AB-a.AC-b、用a.b 分别表示向量AE.BC.DE.DB.EC,DN.AN.
15.如图,在任意四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,求 证:AB+DC=2EF.
16.飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地,再从乙地沿 南偏 75°的方向飞行1400km到达丙地。 出飞机飞行的位移示意 图、并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多远?
17.(1)如下页图(D).在△ABC中,计算AB+BC+CA:
(2)如下页图(2),在四边形ABCD中,计算AB+BC+CD+DA
(3)如下页图(3),在n边形A,A,A.…A.中,AA,+A,A,+AA+…+AA.
A.A,=?证明你的结论


[(第15题)
18.已知la|=4.1b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角. 19.已知|a|=8.[b|=10.且a+b|=16,求a与b的夹角 (精确到1).(可用计算工具) 20.已知a是非零向量,b≠c,求证: a·b-a·e=al(b-e).]R D E A B F C


[拓广探索
6.3平面向量基本定理及坐标表示]|,则向量BA在向量BC 21.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2A 上的投影向量为( 22.如图,O是平行四边形ABCD外一点, B C (第22题) 23.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量OA.OB.OC,OD足等式OA+OC= OB+OD. (1)作出满足条件的四边形ABCD. (2)四边形ABCD有什么特点?请证明你的猜想. B 以求出AB·AC的值? (第24题)


上节我们学习了向量的运算,知道位于同一直线上的向 量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示,类似地,平 面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表 示呢?
6.3.1平面向量基本定理
[我们知道,已知两个力,可以求出它们的合力:反过来,一个 力可以分解为两个力,如图6.3-1,我们可以根据解决实际问题的 需要,通过作平行四边形,将力F分解为多组大小、方向不同的 分力, 由力的分解得到启发,我们能否通过作平行四边形,将向量a 分解为两个向量,使向量a是这两个向量的和呢?
图6.3-1]


探究
如图6.3-2(1),设e,e:是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与 ,e:都不共线的向量,如圈6.32(r.在早面内任取一点 .作 A-e.oB
[e.(XC=a.将a按e、e:的方向分解,你有什么发现?
如图6.3-3.过点C作平行于直线(B的直线,与直线(A交于点M:过点C作平行 于直线OA的直线,与直线OB交于点N,则OC-OM+ON.由OM与e,共线,ON与e 共线可得,存在实数.,入,,使得(M=2:,ON=;,所以a=入,+e,也就是 说,与e,e;都不共线的向量a都可以表示成入;e+e,的形式 当a是与e:或e:共线的非零向量时,a也可以表示成入e+2e:的形式;当a是零 向量时,a同样可以表示成入e十入e:的形式.(为什么?)]A e1 B (1) (2) 图6.3-2


[如图6.3-3.过点C作平行于直线(B的直线,与直线(A交于点M:过点C作平行 于直线OA的直线,与直线OB交于点N,则OC-OM+ON.由OM与e,共线,ON与e 共线可得,存在实数.,入,,使得(M=2:,ON=;,所以a=入,+e,也就是 说,与e,e;都不共线的向量a都可以表示成入;e+e,的形式 当a是与e:或e:共线的非零向量时,a也可以表示成入e+2e:的形式;当a是零 向量时,a同样可以表示成入e十入e:的形式.(为什么?)
图6.3-3]M C A 利用信息技术工具, 可以动态地展示a=y1e1+ e2 N B


上述讨论表明,平面内任一向量a都可以按e,e:的方向分解,表示成入e+入e; 的形式,而且这种表示形式是唯一的.事实上,如果a还可以表示成热e:+ =e:的形式, 那么入je:十入(:=y::+gg.可得(入,ge:+(入2-g;)e;=0.由此式可以推出入1一 ,入一:全为0(假设入一热。一:不全为0,不妨假设入一≠0,则e= 一由此可得e,共线,这与已知,:不共线矛盾),即、=,=
也就是说,有且只有一对实数入,,入,使a=2,e;十e
综上,我们得到如下定理:
平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量a,有且只有一对实数入,,使
若e,e不其线,我们把(e,e》叫做表示这一平面内所有向量的一个基底(base)。 由平面向量基本定理可知,任一向量都可以由同一个基底唯一表示,这为我们研究问 题带来了极大的方便, 例1如图6.3-4,OA,OB不共线,且AP=1AB
(1ER),用OA,OB表示OP.
解:因为AP=/AB


[所以OP-OA+AP
=OA+/AB OA+(OB-OA) 0A+10B-10A =(1-0A+1OB]P B A 图6.3-4 观察OP=(1-t)OA+ tOB,你有什么发现? A B D 图6.3-5


例2 如图6.3-5,CD是△ABC的中线,CD= AB.用向量方法证明△ABC是直角三角形。
分析:由平面向量基本定理可知,任一向量都可由同 一个底表示。本题可取(CD,DA)为基底,用它表示CA CB.证明CA·CB=0,可得CACB,从而证得△ABC是 直角三角形。
26第六章平面向量及其应用
证明:如图6.3-6,设CD=a.DA=b,则=a+b. DB=-b,于是CB=a-b.
CA·CB=(a+b)·(a-b)=a-b. 因为CD=
一AB,
图6.3-6
所以CD=DA.
因为a=CD',b'=DA", 所以CA·CB=0.
向量的数量积是否为
零,是判斯相应的两条线 因此CA|CB.
段(点直线)是否垂直的 于是△ABC是直角三角形。
重要方法之一。
练习
[1.如图,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,CA=a,CB=b.用a,b表示AB,AD,B,CF.
2.如图、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O.AB=a.AD=b,点E.F分别是OA.0C 的中点,G是CD的三等分点(IX=-CD)]A D G E E A B D B (第1题) (第2题)


(1)用a.b表示DE.FB.OG;
(2)能山(1)得出DE,BF的关系吗?
3.如图,在△ABC中,AD=-AB,点E,F分别是AC,BC的中 点,设AB=a,AC=b.
(1)用4,b表示CD.EF.
(2)如果/A=60°、AB=2AC.CD.EF有什么关系?用向量方法
证明你的结论。
(第3题)
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
给定平面内两个不共线的向量e,e,由平面向量基本定理可知,平面上的任意向 量a,均可分解为两个向量入e,Ae,即a=入e:+e,其中向量入e;与e共线,向 量Ae:与e共线.
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相乖直的向
[量,叫做把向量作正交分解,如图6.3-7,重力G沿互相垂 直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常 见而实用的一种情形.
图6.3-7]重力G可以分解为这 F1 样两个分力:平行于斜面 使木块沿斜面下滑的力 F1,垂直于斜面的压力F2.


在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,将为 我们研究问题带来方便
思考
我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标) 表示。那么,如何表示直角坐标平面内的一个向量呢?
如图6.3-8,在平面直角坐标系中,设与x轴、v轴方 向相同的两个单位向量分别为i,j,取(,j}作为基底,对 于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有 且只有一对实数x、y,使得
a=ri+vj.
这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我 们把有序数对(r,y)叫做向量a的坐标,记作
a=(r,y).
其中,x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在v轴上的坐 标,①叫做向量a的坐标表示, 显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
如图6.3-9,在直角坐标平面中,以原点0为起点作 OA=a,则点A的位置由向量a唯一确定.


[设QA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点 A的坐标:反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量 OA的坐标,因为OA=a,所以终点A的坐标(x.y)就是 向量a的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的 联系.
例3如图6.3-10,分别用基底(,j)表示向量a.b. c、d、并求出它们的坐标.]i 图6.3-8 R 图6.3-9


已知a=(ri+yi),b=(rg.y:),你能得出a+b,a-b的坐标吗?
a+b=(zi+yj)+(xgi+y:j) =ri+xi+yij+y.j =(x)+xg)i+(y+y:)j,
a+b=(x:+ryi+y).
同理可得
a-b=(x一x:yi一yz)
这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(X
例+已知a=(2.1),b=(-3,4),求a十b,a-b的坐标.
解:a+b=(2,1)+(一3.4)=(一1.5), a-b=(2.1)-(一3.4)=(5,一3)。
[探究
第六章平面向量及其应用29]如图6.3-11,已知A(x1,y1),B(x2,y2), A(x1,y1) 你能得出AB的坐标吗? B(x2,y2) 图6.3-11


OD=OB+BD
=(一1,3)+(3,一1) -(2,2)。 所以顶点D的坐标为(2.2).
你能比较一下两种解法 在思想方法上的异同点吗?
练习
1.在下列各小题中,已知向量a,b的坐标,分别求a+b.a-b的坐标:
(1)a=(-2.4).b=(5.2); (2)a=(4.3),b=(一3.8);
(3)a=(2.3)。b=(一2.一3); (4)a=(3.0),b=(0.4).
2.在下列各小题中:已知A,B 点的坐标:分别求A.BA的坐标:
(1)A(3.5).B(6.9):
(2)A(一3.4),B(6,3):
(3)A(0.3),B(0,5):
(4)A(3.0),B(8,0).
3.若点A(0,1),B(1.0)。C(1.2),D(2.1),则AB与CD有什么位置关系?证明你的猜想.
30第六章平面向量及其应用
平面向量数乘运算的坐标表示
思考
已知a=(x,y),你能得出入a的坐标吗?
Aa=2(xi+yj)=azi+入yj,
即
ia=(Ar.ay).
这就是说,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.


例6已知a=(2,1)、b=(一3.4),求3a+4b的坐标。 解:3a+4b=3(2,1)+4(一3.4) -(6.3)+(-12.16)
=(一6,19)。
探究
如何用坐标表示两个向量共线的条件?
设a=(x),vi),b=(xzve),其中b≠0.我们知道,a,b共线的充要条件是存 在实数入,使
a=ab.
如果用坐标表示,可写为 (xiyi)=2(x.y). 即
[r=Ar Vi=Ay2. 消去入,得
JLV:二J:V1=0.
这就是说,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是
xy:x:y=0.
例7已知a=(4,2),b=(6,y),且a//b.求y. 解:因为a//b.
所以4y-2×6=0.
第六章平面向量及其应用31
解得y=3.
例8已知A(一1,一1),B(1,3),C(2.5),判断A,B. C三点之间的位置关系.
解:在平面直角坐标系中作出A.B.C三点(图6.3-15). 观察图形,我们猜想A,B.C三点共线.下面来证明.
因为AB=(1-(一1),3-(一1))=(2,4), AC=(2-(一1),5-(一1))=(3、6), 又2×6-4×3=0.
所以AB//AC.


[又直线AB,直线AC有公共点A, 所以A.B.C三点共线.
例9设P是线段P P:上的一点,点P,.P:的坐标分别是(xiyi)、(xsy:).]C 5 4 3 B 2 2 01 A 图6.3-15


(1)当P是线段P,P:的中点时,求点P的坐标;
(2)当P是线段P.P:的一个三等分点时,求点P的坐标.
[解:(1)如图6.3-16、由向量的线性运算可知 =(OP+OP)(,+)
所以,点P的坐标是("+)]若点P1,P2的坐标 分别为(x1,y1),(x2, y2),线段P1P2的中点P 的坐标为(x 则 此公式为线段PP2 的中点坐标公式.


[所以,点P的坐标是("+)
(2)如图6.3-17,当点P是线段PP,的一个三等分点时,有两种情况,即PP= ÷PP或P.P=2PP]图6.3-16


如果P.P-PP:(图6.3-17(1),那么
P=OP+PP=P+PP
[32第六章平面向量及其应用
图6.3-17]即点P的坐标是( P2 (1) (2)


同理。如果P.P=2PP(图6.-17(2),那么点P的坐标是(22%)
探究
[如图6.3-18,线投P,P:的 点P,P:的坐标分别是(x,yi),(r,y:), 点P是直线P.P:上的一点,当PP=APP,时,点P的坐标是什么?
练习]P2 图6.3-18


1.已知a=(3.2).b=(0.-l),求-2十4,4a+3的半
2.当x为何值时,a=(2,3)与b=(x.一6)共线?
3.若点A(一2,-3),B(2,2),C(-1,3),D(-7,-4,5 ,则AB与CD是否共线?
4.求线段AB的中点坐标:
(1)A(2.1),B(4.3):
(2)A(-1,2).B(3,6):
(3)A(5,一4),B(3.-6)。
5.已知点0(0.(),向量(A=(2,3).0=(6.一3),点P是线段AB的三等分点,求点P的玺标
第六章平面向量及其应用33
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
探究
已知a=(x1+v1).b=(r:.ys).怎样制a与5的坐标表示a·b呢?
因为a=zi+yj.b=xi+yaj.
所以a·b=(ri+yij)·(xai+y:j)=xjz:i+riyi·j+yir:j·i+yivej. 又iil.jj=lij-ji=0.
所以a·b=xae+yiy
这就是说,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
由此可得
(1)若a=(x.y),则al=r2+y,或lal=√r+y.


如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x,yi),(xvg),那么
a=(x一z,y一yi), lal-(x:x)+(y:-yi). (2)设a=(xi,y:),b=(xxy:),则 albxxz+yy:=0.
例10若点A(1.2),B(2,3),C(一2,5),则△ABC是 什么形状?证明你的猜想
解:如图6.3-19,在平面直角坐标系中画出点A.B,C,我 们发现△ABC是直角三角形,证明如下
因为AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(一3,3), 所以AB·AC=1X(-3)+1X3=0.
于是ABLAC
[因此,△ABC是直角三角形.
设a,b都是非零向量,a=(x1,yi).b=(xz.y:),0是a与b的夹角,根据向量 数量积的定义及坐标表示可得]5 B 2 -2-10 2 图6.3-19


:+y cos0 Vri+yivxi+yi
例11设a= (5,-7).b=一6.一4),求a ba.b的夹角 (精确到1. 34第六章平面向量及其应用
解:a·b=5X(一6)+(一7)X(一4) --30+28 =-2. 因为|a|=5+(-7)=74,|b|=√(-6)+(-4)=52,所以用计算器计算 可得
cos0= ≈-0.03. √74× 52
利用计算器中的"cos"键,得0~92°
例12用向量方法证明两角差的余弦公式
cos(a-3)=cosacos3+sin asin .
证明:如图6.3-20,在平面直角坐标系r0y内作单位圆O.以r轴的非负半 为始 边作角a,3.它们的终边与单位圆O的交点分别为A.B.则
[OA=(cos a,sin a),OB=(cos ,sin).
图6.3-20]B终边 终边 B A (1)


[OA=(cos a,sin a),OB=(cos ,sin).
图6.3-20]B终边 a终边 B


由向量数量积的坐标表示,有 OA·OB=cosacosB+sin asin . 设OA与OB的夹角为0,则 OA·0B=|OA1·1OB|cos0=cos 0.
所以 cos 0=cos acos B+sin asin .
另一方面,由图6.3-20(1)可知,a=2kx+3+0:由图6.3-20(2)可知,a= 2kx+3-8.于是a-3=2k士8、kEZ.所以 cos(a-3)=cos 0.
[于是
cos(a-3)=cos acos +sin asin .]运用向量工具进行探 索,过程多么简洁啊!


12.已知点((0.0),A(1,2),B(4,5),OP=0+rAB.当1=1,,-2,2时,分别求 点P的坐标.
13.已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上,且IAP|=P,求点P的 坐标.
14.求证:以A(1,0),B(5,一2),C(8.4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.
拓广探索
15.如图,设Oz,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴。。 e:分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若向量 OP=xre+ye,则把有序数对(x.y)叫做向量OP在坐 标系r0y中的坐标.设OP=3e,+2e
(D)计算IQ |的大小:
(2)根据平面向量基本定理判断,本题中对向量坐标的规
定是否合理。
16.用向量方法证明:对于任意的a,l,,dER,恒有不等式
(a+)≤a+(+)
[(第15题
第六章半面向量及其应用37]el


6.4平面向量的应用
前面我们学习了平面向量的概念和运算,并通过平面向 量基本定理,把向量的运算化归为实数的运算,本节我们将 学习运用向量方法解决平面儿何、物理中的问题,感受向量 在解决数学和实际问题中的作用,同时我们还将借助向量的 运算,探索三角形边长与角度的关系,把解直角三角形问题 拓展到解任意三角形问题
6.4.1平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景, 平面几何图形的许多性质,如们等,相似、长度夹角等都 可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此平面几何中 的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.下面通过两个其 体实例,说明向量方法在平面几何中的应用. 有了运算,向量的力 量无限:没有运算,向量 就只是一个路标。
例1如图6.4-1,DE是△ABC的中位线,用向量方 法证明:DE//BC.DE BC.
分析:我们在初中证明过这个结论,证明中要加辅助 线,有一定难度,如果用向量方法证明这个结论,可以取 (AB.AC)为基底,用AB,AC表示DE,BC,证明DE
[一BC即可。
图6.4-1]A E B


证明:如图6.4-2.因为DE是△ABC的中位线,所以 A-AAE从面DE-A-ADA 又BC=AC-AB.
[所以DE=.
于是DE/IBC.DE-BC.]A D E B C


38第六章平面向量及其应用
平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题,而平面向量的运算,特别是数量积 主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决某些几何问题,用 向量方法解决几何问题时,通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通 过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系,最后再把运算结果"翻译"成几何关 系,便得到几何问题的结论.
用向量方法解决平面几何问题的"三步曲":
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面儿何问 题转化为向量问题
(2)通过向量运算,研究几何元索之间的关系,如距离、来角等问题:
(3)把运算结果"翻译"成几何关系。
例2如图6.4-3.已知平行四边形ABCD,你能发现对 角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关 系吗?
[分析:平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条 邻边对应的两个向量的和与差,我们可以通过向量运算来探索
它们的模之间的关系.]C D B 图6.4-3


解:第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问 题中的儿何元素,将平面几何问题转化为向量问题:
如图6.4-4,取(AB,AD)为基底,设AB=a,AD
b.则
AC=a+b.DB=a-b.
第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系:
[AC=(a+b)2=a2+2a·b+b2, DB:=(a-b)=a-2a·b+b.
上面两式相加,得AC+DB=2(a+b)。 第三步,把运算结果"翻译"成几何关系:]B 图6.4-4


[上面两式相加,得AC+DB=2(a+b)。 第三步,把运算结果"翻译"成几何关系:
AC+BD=2(AB+AD)]你能用自然语言叙述这 个关系式的意义吗?


练习
1.证明:等腰三角形的两个底角相等
2.如下页图,正方形ABCD的边长为a、E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF 与DE交于点M.求/EMF的余弦值
[3.如下页图,在△ABC中,点0是BC的中点,过点Q的直线分别交直线AB,AC于不同的两点 M.N.设AB=mAM、AC=nAN,求m十的值。
6.4.2向量在物理中的应用举例]A C D N B F M B A E M (第2题) (第3题)


下面,我们再来感受一下向量在物理中的应用。
例3在日常生活中,我们有这样的经验:两个人共提一个旅行包,两个拉力夹角越 大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这 种现象吗?
分析:不妨以两人共提旅行包为例,只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重 力以及两个拉力的夹角三者之间的关系,就可以获得问题的数学解释.
解:先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5.设作用在旅行包上的两个拉力分别为 F,F:,为方向起见,我们不妨设|F:|=1F:1、另设F,F:的夹角为0,旅行包所受的 重力为G.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识。
可以知道
2cos
这里,IG为定值,分析上面的式子,我们发现,当0由0逐渐变大到
[0 x时,由0逐渐变大到"。的值由大逐渐变小、此时|由小
逐渐变大:反之,当#由逐渐变小到0时,由逐渐变小到0, 的值由小逐渐变]F F1 F2 G R 图6.4-5


大,此时F,由大逐渐变小,这就是说,F.F,之间的夹角越大越费力,来角越小越省力. 同理,在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力。
探究
(1)当0为何信时,F,最小?最小值是多少?
(2)F能等于|G吗?为什么?
事实上。要使|F|最小,只需c"最大、此时o"1,可得0-0.于是|;|的最小 值为若要使=G,只c此时一即
[例4如图6.4-6,一条河两岸平行,河的宽度 d=500m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸 航行.已知船的速度v的大小为|v|=10 km/h,水流 速度v的大小为|v=2km/h.那么当航程最短时。 这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1min)? 分析:如果水是静止的,那么船只要取垂直于 河岸的方向行驶,就能使航程最短,此时所用时间
也是最短的,考虑到水的流速,要使航程最短,船的 速度与水流速度的合速度 必须垂直于河岸。]图6.4-6


解:设点B是河对出一点:AB与河岸垂直:那么当这艘船实际沿 着AB方向行驶时,船的航程最短。
如图6.4-7.设v=v十v2,则
v=√v-v=96(km/h).
此时,船的航行时间
0.5 ×60≈3.1(min). 96
[图6.4-7 所以,当航程最短时,这艘船行驶完全程需要3.1min.
练习]B


1.一物体在力F的作用下,由点A(20.15)移动到点B(7、0).已知F=(4,一5),求F对该物体所 做的功.
2.如图,一滑轮组中有两个定滑轮A,B.在从连接点 出发的三根绳 的端点处,挂着,个重物,它们所受的重力分别为IN.IN和
[4/3N.此时整个系统恰处于平衡状态,求 AOB的大小.
3.若平面上的三个力Fi.F,F,作用于一点,且处于平 状态.已知 |F:-1N.|F6+2]A B 4N 4N (第2题)


N.F,与F的夹角为45°,求:
(1)F.的大小;
(2)F与F,夹角的大小.
第六章平面向量及其应用4
6.4.3余弦定理、正弦定理
个三角形含有各种各样的几何量,例如三边边长,三个内角的度数、面积等,它们 之间存在着确定的关系, 如,在初中,我们 到过勾股定理、锐角三角函数,这是直角 三角形中的边、角定量关系。对于一般三角形,我们已经定性地研究过三角形的边、角关 系,得到了SSS.SAS.ASA.AAS等判定三角形全等的方法,这些判定方法表明,给 定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素,这个三角形就是唯一确定的.那么 三角形的其他元素与给定的某些元索有怎样的数量关系?
下面我们利用向量方法研究这个问题.
1.余弦定理
我们知道,两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,这说明,给定两边及其夹 角的三角形是唯一确定的,也就是说,三角形的其他边,角都可以用这两边及其夹角来表 示.那么,表示的公式是什么?
探究
在 ABC中,三个角A.B.C所对的立分别是a.b.c.怎样用a.b和C米 示c?
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角,所以我们
考虑用向量的数量积来探究。


如图6.4-8,设CB-a,CA-b,AB=e,那么
c=a-b.
我们的研究目标是用a|,b和C表示|c|,联想到数 量积的性质c·c=lc|,可以考虑用向量c(即a-b)与其 自身作数量积运算.
由①得
cz=c*c=(a-b)·(a-b) =a·a+b·b-2a·b =a+b-2albcosC.
所以 c=a+b-2abcos C. 同理可得
a2=b2+c2-2lxcos A. b=c+a-2cacos B.
[于是,我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理:
图6.4-8]B


[图6.4-8
第六章平面向量及其应用]从这里的推导过程, 你感受到向量运算的力量 了吗?


余弦定理《law of cosines)三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即
=b+c-2lx cosA. =+a-2cacosB.
c=a+b2-2ubeosC
你能用其他方法证明 余弦定理吗?
利用余弦定理,我们可以从三角形已知的两边及其夹角 直接求出第三边.
思考
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,应用余弦定理,我 们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题,怎么确定呢?
b+c-a2 cosA= 2lx c+a-b cos B= 2ca a2+b2-c2 cos C= 2ab
由余弦定理,可以得到如下推论:
余弦定理及其推论把 用"SAS"和"SSS"判 定三角形金等的方法从 量化的角度进行了剧画。
利用推论,可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角。
从余弦定理及其推论可以看出,三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定 量计算的公式.
思考
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指出了三角形的三条 边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗?


果ABC中有一个角是直角,例,C=0,这时cos C=0.由余弦定理可 =a+b,这就是勾股定理.由此可见,余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余 弦定理的特例.
一般地,三角形的三个角A.B.C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving triangles),
例5在△ABC中,已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解这个三角形(角度精确 到1",边长精确到Icm),
由余弦定理,得
-b2+c-2bxcos A =602+34"-2×60X31Xcos41 ≈1 676.78.
所以 a≈41(cm)。 由余弦定理的推论,得
2+a-b2 34+41*-60 763 cos B= 2ca 2X34X41 2788
利用计算器,可得B~106°
所以C=180°-(A+B)≈180°一(41°+106°)=33°。
3/3 例6在△ABC中,a=7,6=8,锐角C满足sinC= ,求B(精确到1")。 分析:由条件可求cosC,再利用余弦定理及其推论可求出B的值。
解:因为sinC= ,且C为锐角,


13 所以cos C=1-sinC= 14 由余弦定理,得
13 c2=a2+b"-2abcosC=49+64-2x7×8
所以c=3. c+a2-b29+49-64 进而cos B= 2ca 2×3X7 利用计算器,可得
B≈98".
练习
1.(1)在△ABC中,已知6=12.9cm,(=15.4cm.A=42.3",解这个三角形(角度精确到0.1, 边长精确到(.1 cm):
(2)在△ABC中,已知u=5,6=2.C= .求c.
2.在△ABC中,已知u=2.6=2.=/3+1,解这个三角形。
3.在△ABC中,已知6-5,c=2,锐角A满足xinA,求C(精确到1)
正弦定理
探究
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公 式,如果已知两角和一边,是否也有相应的直接解三角形的公式呢?
在初中,我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上,三角形中还有大边对大 角,小边对小角的边角关系.从量化的角度看,可以将这个边、角关系转化为;


在△ABC中,设A的对边为a,B的对边为6.求A.B、a.b之间的定量关系. 如果得出了这个定量关系,那么就可以直接解决"在△ABC中,已知A,B,a,求 6"的问题.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手、根据锐角三角函数,在RI△AFC中 (如图6.4-9),有
sinA= sin B
显然,上述两个关系式在一般三角形中不成了,观察发现,它们有一个 共同元素c,利用它把两个式子联系起来,可得
sin B sin A
[又因为sin C=sin 90°=1,所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式,即
图6.4-9]B


sinA sin B sin C
对于锐角三角形和钝角三角形,以上关系式是否仍然成立?
因为涉及三角形的边、角关系,所以仍然采用向量方法来研究.
我们希望获得△ABC中的边a,b、c与它们所对角A、B、C的正弦之间的关系式, 在向量运算中,两个向量的数量积与长度、角度有关,这就启示我们可以用向量的数量积 来探究.
思考
向量的数量积运算中出现了角的余弦,而我们需要的是角的正弦,如何实现 转化?
由诱导公式cod)-sina可知,我们可以通过构造角之间的互余关系,把边与 第六章半面向量及其应用45
角的余弦关系转化为正弦关系.
下面先研究锐角三角形的情形。
如图6.4-10,在锐角△ABC中,过点A作与AC垂直的单
[位向量j,则j与AB的夹角为-A.j与B的夹角为C 因为AC+CB=AB,所以 j·(AC+CB)=j·AB.
由分配律,得 j·AC+j·CB=j·AB. 即]B 图6.4-10


ACC-=-)
也即 asin C=csinA. 所以
同理,过点C作与CB垂直的单位向量m,可得
因此
sin B sin C
sin A sin B sin C"
当△ABC是钝角三角形时,不妨设A为钝角(如图6.4-11) 过点A作与AC垂直的单位向量j,则j与AB的夹角为A与CB的夹角为" -C.仿照上述方法,同样可得
sin A sin B sin.C
综上,我们得到下面的定理:
正弦定理(Law of sines)在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等。
sinA sinB
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的 角的正弦之间的一个定量关系.利用正弦定理,不仅可以解 决"已知两角和一边、解三角形"的问题、还可以解决"已
图6.4-11
这个公式表达形式的 统一性,对你性,不仅使
结果更和谐优美,而且更 突显了三角形边角关系的 本质.
知两边和其中一边的对角,解三角形"的问题.
以上我们利用向量法获得了正张宅理余兹定理,事实上.操索和证明这两个建理 的方法很多、有些方法甚至比上述方法更加简洁,你还能想到其他方法吗?ǚ
例7在△ABC中,已知A=15°,B=45°.c=3+3,解这个三角形.


解:由三角形内角和定理,得
C=180"-(A+B)=180°一(15+45)=120°
由正弦定理,得
csin A_(3+3)sin15 (3+√3)sin(45°-30) sin C xin 120 sin 120 (3+3)(sin 45cos 30°-cos45sin30°) sin 120 √3√21、 (3+V3)(2 x222 2 =/2. 3 2
csin B (3+3)sin45° sin C sin 120
(3+v3)X 2 =6+√2, 3 2
例8在△ABC中,已知B=30°.b=2.c=2,解这个三角形.
分析:这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题,可以利用正弦定理. 解:由正弦定理,得 sin Ccsin B 2sin 30° V2 6 2 因为>b、B=30°
[所以30°<C<180.
于是C=45°,或C=135.]为什么角C有两个值?


(1)当C=45°时,A=105° 此时
√2sin 105" 2sin(60°+45) bsin A sin B sin 30 sin 30 V2(sin 60°cos 45°+cos60 sin 45) sin 30
第六章半面向量及其应用47
归x =/3+1. 1 2
(2)当C=135°时,A=15".
此时
bsinA2sin15°/2xin(45"-30°) sin B sin 30 sin 30° 2(sin45°cos30°-cos 45 sin 30°) sin 30 2 -=3-1.
由三角函数的性质可知,在区间(0,)内,余弦函数单调递减,所以利用余弦定 解:正弦函数在区间()内单调递增,在区间(,)内单调递减, 理求角,只有一
以利用正弦定理求角,可能有两解.
练习
1.完成下列解三角形问题(角度精确到1,边长精确到1cm):
(1)在△ABC中,已知A=60',B=45.c=20cm:
(2)在△ABC中,已知a=20cm.b=11cm,B=30°.
2.(1)在△ABC中,已知a=2、c= .A=120°,求6和C;
(2)在△ABC中,已知b=2.A=45'.C=75.求c.


3.在△ABC中,已知(osA=.B=.6=,求a,e
3.余弦定理、正弦定理应用举例
在实践中,我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问 邀 .解快这类问题,通常需要借助经结,以及参尺等邋是角和距离 的工具进行测量.
[具体测量时,我们常常遇到"不能到达"的困难,这就需要设 计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要 注意的是,题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他的条件.
事实上,这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方 案,而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.]


[例9如图6.4-12.A.B两点都在河的对岸(不可到
达),设计一种测量A.B两点间距离的方法,并求出A,B 间的距离.]B A


分析:若测量者在A,B两点的对岸取定一点C(称作 测最菇点),则在点C处只能测出 ACB的大小,因而无法 解决问题,为此,可以再取一点D.测出线段CD的长.以 图6.4-12 及 ACD, CDB, BDA,这样就可借助正弦定理和余弦
定理算出距离了.
解:如图6.4-13,在A,B两点的对岸选定两点C、D.
测得CD=a,并且在C.D两点分别测得 BCA=a, /ACD=3./CDB=Y、 BDA=8.
[在△ADC和△BDC中,由正弦定理,得 asin(Y+8) a sin(Y+8) AC= sin[ 180°-(8+7+8) sin(3++8) asin y asin y BC'= sinl180°-(a+3+)]sin(a+B+y)
于是,在△ABC中,由余弦定理可得A,B两点间的距离 AB=AC+BC-2ACXBCcos a asin(7+8) 2a sin(y+8)sin Ycos a u"sin)]B B D C 图6.4-13


V sin(+)+8)sin(a++)in(++8)sin(a+3+)
思考
在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点问距离的方法吗?
[在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的 线段叫做基线,如例9中的CD.为使测量具有较高的 精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度,一般米 说,基线越长,测量的精确度越高,如图6.4-14,早 在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之 间的距离,利用几乎位于同一经线上的柏林(点A) 与好望角(点B)为基点,测量出a, 的大小,并计 算出两地之间的距离AB,进而算出了地球与月球之 间的距离约为385400km.我们在地球上所能用的最
长的基线是地球椭圆轨道的长轴.当然,随着科学技术的发展,人们会不断发现更加先进 的测量距离的方法.]


[长的基线是地球椭圆轨道的长轴.当然,随着科学技术的发展,人们会不断发现更加先进 的测量距离的方法.
图6.4-14]B B


下面看一个测量高度的问题。
例10如图6.4-15,AB是底部B不可到达的 座建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建 筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度。
分析:由锐角三角函数知识可知,只要获得 一点C(点C到地面的距离可求)到建筑物的顶 部A的距离CA.并测出由点C观察A的仰角。
就可以计算出建筑物的高度,为此,应再选取一 点D,构造另一个含有CA的△ACD,并进行相 关的长度和角度的测量,然后通过解三角形的方 法计算出CA.
解:如图6.4-15,选择一条水平基线HG. 使H,G,B三点在同一条直线上.在G.H两 点用测角仪器测得A的仰角分别是a,3,CD= a,测角仪器的高是h.那么,在△ACD中,由 正弦定理,得
asin p AC sin(a-3)'
所以,这座建筑物的高度为 AB=AE+h
-AC sin a十h asin asin 3
[十h, sin(a-3)
下面再来看一个测量角度的问题。]B C a D G B H 图6.4-15 在实际操作时,使 H,G,B三点共线不是 一件容易的事情.你有什 么替代方案吗?


例11位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔 船遇险后抛错等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与
第六章平面向量及其应用
甲船相距7n mile的C处的乙船,那么乙船前往营教遇险渔船时的目标方向线(由观测点 看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1'):需要航行的距离是多少海里(精确 到1n mile)?
[分析:首先应根据"正东方向""南偏西30""目标方向线"等信息,画出示意图。 解:根据题意,画出示意图(图6.4-16),由余弦定理,得
BC'=AB"+AC'-2AB·AC·cos 120" =20+7-2X20×7x(一 =589]北 由于题目中没有给出 A 20nmile B n mile 图形,因此正确理解题 30° 意、画出示意图,是解决 问题的重要环节. 图6.4-16


于是
BC≈24(n mile). 由正弦定理,得
sin C sin 120 20 24
于是
253 sin C= 12" 24
由于0'<C<90'. 所以C≈46. 因此,乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46"+30°=76,大约需要航行 24 n mile.
练习
1.如图,一般船向正北航行,航行速度的大小为32.2 n mile/h,在A处看灯塔S 在船的北偏东20~的方向上,30mint后,船能行到B处,在B处看灯塔在船的北 偏东65"的方向上,已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区城,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗?
2.如下 图,在山脚A侧 山顶P的仰角为a.沿倾斜角为的斜坡向上走am
到达B处,在B处测得山顶P的角为7.求证:山高A=in asin(Y-3) sin(y-a)
[3.如下页图,一艘海轮从A出发。沿北偏东75"的方向航行67.5n mile后到达海 岛B.然后从B出发,浩北偏 32℃的方向航行5nmile后到达海岛C.如果下
(第1题]北 65° B 20°


[次航行直接从A出发到达C.那么这船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?(角度 精确到0.1°.距离精确到0.01 n mile
第六章平面向量及其应用]C 北 54 n mile 132° B 75° 67.5 n mile A (第2题) (第3题) 习题6.4 复习巩固 1.若非零向量AB与AC满足 (B)直角三角形 (A)三边均不相等的三角形 (C)底边和腰不相等的等腰三角形 (D)等边三角形 2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,满足|OA|=|OB|= |OC|,NA+NB+NC= 垂心是三角形三条高 PA,则点O,N,P依次是△ABC的( 所在直线的交点. (A)重心,外心,垂心 (B)重心,外心,内心 (C)外心,重心,垂心 (


[次航行直接从A出发到达C.那么这船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少?(角度 精确到0.1°.距离精确到0.01 n mile
第六章平面向量及其应用]D)外心,重心,内心 3.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角. 4.两个粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的的位移分别为sA=(4,3),s (2,10). (1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在s 上的投影向量. 5.一个人在静水中游泳时,速度的大小为2√3km/h.当他在水流速度的大小为2km/h的河中游 泳时, (1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的 大小为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的 大小为多少? 6.在△ABC中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm): (1)a=49cm.b=26cm,C=107°; (2)a=9cm,b=10cm,c=15cm. 7.在△ABC中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm):


(1)A-70.C-30.-20cm (2)b-26cm,r-15cm.C-232。
如图.测量 对岸的塔高AB时,可以选取与塔 B在同一水
平面内的两个测量基点C与D.现测得 Da, BDC一3.
(D)一s,在点C测得塔顶A的仰角为0、求塔高AB.
9.在气象台A正西方向300km处有一台风中心,它正向东北
方向移动:移动速度的大小为40km/h.距台风中心  0km
以内的地区都将受到影响,若台风中心的这种移动趋势不变, 气象台所在地是否会受到台风的影响?如果会,大约多长时
[间后受到影响?持续时间有多长(精确到1 min)?
10.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?]B D (第8题)


综合运用
11.已知对任意平面向量AB=(x、y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量入 (rcos0-ysin0,rsin0+ycos9),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转8角得到点P.已
知平面内点A(1.2),点B(1+ 2.2-2/2),把点B绕点A沿顺时针方向 后得到
点P.求点P的坐标.
12.如图,在AAIC中,已知AB=2.AC=5.ZEAC=60°.BC.
AC边上的两条中线AM,BV相交于点P.求MPN的余弦值.
13.一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,-艘船从河岸边的A
处出发到河对岸,已知船在静水中的速度v,的大小为v|=
10km/h.水流速度v的大小为|v|=2km/h.如果要使船行驶 的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.
此时我们分三种情况讨论:
(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时。
(2)当船膜流行驶,与水流成锐角时:
(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角 时所用时间最短。


14.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东23km/h.一艘小货船准备 从河的这一边的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并
且与B相距250V3m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 6km/h,则当小货船的航程最短时,求合速度的方向,并求此时小货船航行速度的大小。
15.△ABC的三边分别为a,b、c.边BC.CA,AB上的中线分别记为m,m、m,利用余 弦定理证明
[/2(b+e)-a √2a+)-b. 2(a+6)2
(第12题)]B M P A N


第六章半面向量及其应用53
16.在△ABC中,求证:c(acos B-bcos A)-a一62, 17.证明:设三角形的外接圆的半径是R,则a=2RsinA、=2Rin B.r=2RsinC.
18.利用第10题的结论,证明三角形的面积公式
sin BsinC sin A
拓广探索
19.如图,在口ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中 点.BE.BF分别与AC交于R.T两点:你能发现AR. RT.TC之间的美系吗?用向量方法证明你的结论.
20.已知△ABC的三个角A.B.C的对边分别为a,b、c.
[设p= (u+6+e),求证:
(1)三角形的面积S-p(p-a)(p-b)(p-e):]D C F E R A B (第19题)


(2)若r为三角形的内切圆半径,则
(一a)(-6)(一() D.
(3)把边BC.AC,AB上的高分别记为AA,.则
h一 (一a(p-b)(p一e -a)(-)(-) p(p-a)(p-b)(p-e)
21.如图,为了测量两山顶M,N间的距离,飞
机沿水平方向在A,B两点进行测量,A.
B、M.N在同一个铅垂平面内.请设计
个测量方案,包括:
(1)指出要测量的数据(用字母表示,并标
示在图中):
[(2)用文字和公式写出计算M,N间的距离
的步骤。]A B (第21题)


22.已知a.b,e分别为△ABC三个内角A,B.C的对边,且ucosC+3usinC-b-c=0
(1)求A:
(2)若a=2.则△ABC的面积为3.求b.C.
23.根据实际需要,利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业,并写出实习报告(包括 测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论)。
海伦和秦九韶
古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期,数学的应用性得到了很大的发展, 其突出的一点就是三角术的发展,三角术是人们为了建i定量的天文学、以使用 来预报天体的运行路线和位置以帮助报时,计算日历、航海和研究地理而产生的, 在解三角彩的问题中,一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a.b.c 直接求出三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的, 他得到了公式
S=√p(p-a)(p-b)(p-c).
这里p= (a+b+c).


但现在人们常常以古希腊的数学8海伦(eron.约1世纪)的名字命划这 个公式,因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中,公式的证明在海伦 的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到,海伦公式解决了由三角形的三边 直接求出三角形而积的问题,它具有给换后你的特点,形式很关,大容很容易记 住它, 海伦是古希腊的教学家,他还是一位优秀的测绘工程师,他的代表作是《度 量术》,此书讨论平面图形的面积、立体图形的体积,以及把图形分成几部分, 使所分成的各部分的面积或体积的比等于给定的比,《测量仪器》是他的另一本代 表作,其中描述的一种仪器,功能相当于现代的经纬仪,在此书中他还讨论了许 多测量问题,如怎样挖隧道,从山的两侧开始,找准方向,使隧道准确会合:确 定两点间高度的差:测量可望不可即的两点之间的距离:还有各种高度和距离的 测量问题


我回南家著名数学家泰九韶(约12021261)也发现了与海伦公式等价的从 三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为"三斜求积"。在他的著作《数书九 章》卷五"田城类"里有一个题目:"问有沙田一段,有三针,其小斜一十三里, 中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何。"这道题实际上就是 已知三角形的三边长.求三角形的面积《数书九章》中的求法是:"以小 家牛 大斜军减中斜暴,余半之,自乘于上,以小斜暴乘大斜暴减上,余四约之,为实, 一为从隅:开平方得积."如果把以上这段文字写成公式,就是
秦九韶独立推出了"三斜求积"公式,它虽然与海伦公式形式上不一样,但 再者完全等价,从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数要水平.


[秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一,他的《数书九章》概括了宋元时 期中国传统数学的主要成就,尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一 次同余问题的解法,提出了相当完备的"正负开方术"和"大衍求一术",对数 学发展产生了广泛的影响,秦九部是一位既重视理论又重视实践。既善于继承又 勇于创新的数学家,他被国外科学史家赞誉为"他那个民族,那个时代,并且确 实也是所有时代最伟大的数学家之一"。
第六章平面向量及其应用]R


[第六章平面向量及其应用
类比数a的整数信nu是个a相加的总和,可以把"个向量a相加的总和 写为们a,一般地,突载入与向量a的乘积知a是一个向量,他í满足的运算徘]小结 一、本章知识结构 实际背景 向量的概念 向量的运算及其几何意义 向量的数乘运算 向量的数量积 向量的加、减运 算及其几何意义 及其几何意义 及其几何意义 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的应用 二、回顾与思考 向量是刻画现实世界中"既有大小又有方向的量"的数学工具.本章我们类 比数及其运算,学习了向量及其运算,以及向量运算的几何意义,并用向量方 法解决了一些几何问题、物理问题,特别是用向量方法研究了任意三角形的边 角关系,得到了正弦定理、余弦定理.其研究的内容、过程是:向量现实背景、


[第六章平面向量及其应用
类比数a的整数信nu是个a相加的总和,可以把"个向量a相加的总和 写为们a,一般地,突载入与向量a的乘积知a是一个向量,他í满足的运算徘]几何背景一向量的概念一向量的运算和运算律一相关知识的联系--实际应用 我们通过分析位移、力、速度等了解了向量的实际背景,引入了向量概念. 其中,位移是向量的最佳现实模型.定义向量概念时,我们首先明确了向量的内 涵(大小、方向),并用有向线段表示向量,然后认识了单位向量、零向量等 "特殊"向量,明确了两个向量的平行、相等、共线等"特殊;关系".这里,明 确数学对象的内涵及表示是定义一个数学对象的基本要求. 向量的运算,是"带方向的量的运算".这里,如何对方向进行运算是核心 问题."位移的合成"很好地解释了"两个方向之和",以此为背景我们定义了向 量加法的三角形法则;而以"力的合成"为背景定义了向;量加法的平行四边形 法则."定义了一种运算就要研究运算律",向量加法满足交换律、结合律,而交 换律就是"平行四边形的两组对边分别平行且相等"的向量表达式.


(1)Aa+ya=(a+u)a.(2)入(pa)=(Au)a,(3)2(a+b)=a+ab与实数系 法的运算律有所差异,远里有两个特别有用的结论:一是k(a+b)=ka十t是 "相似三角形对应边的比等于相似比"的代数化形式:二是入a与a共线,由此 两个非零向量a,b共线(平行)的充要条件是a一ab.其实.联菜数轴概念 如果设e是与数轴Or的方向相同的单位向量,数轴上任意一点P的坐标为x, 那么OP=re:反之也对。
以物理中力做一为背景,我们定又了两个向重的数量积,并别碗了它的运 算律·其中分配律是非常重要的,向量数量积不同于向量的线性运算、因为它的 运算结果是 量,不是向量,向量数量积与 距离、夹角等紧密相联,用它可以解 决一些涉及距离、夹角的几何问题.


为了彻底实现几何的代数化,需要进一步研究平面上点的向量表示问题。对 于平面·上任意一点P,可以剩用向量的方法和数系向量,把乎面a上的向最 (P表示为火:a+k=b(其中向量a.b不共线),从西使它成为可运算的对象.在 解决几何问题时.这种表示发挥了基础性作用。因此我们把它叫恢平面向量基 本定理,特别地,我们以(i、j)为基底,建立了平面直角坐标系20y中的向 量OA与点A的坐标间的一一对应。
通过零章的学习我们发现.与集合是一种特殊的运算对像类似,.向量也是 一种不同于实数的运算对象.而向量运算与实数达算院有差别又有共除:在定义 向量的运算法则,探索其相应的运算律时,我们总是类比数及其运算来发现和 提出问题。因此,本章的学习对于提高我们对数学运算的认识水平,理解数学运 算和逻辑推理的关系等,都有很大的帮助。


用向量方法解决平面几何问题,其特色是仅用向量加法法则(称为"向量 回路")、向量数乘的意义及其运算术、向量数量积的意义和运算 (特别是相 互垂直的向量数量积为0),以及平面向量基本定理等4条基本法则、定理,与平 面几何有大量基零事实、定理比 ,向量法在解决某些几何间题时简 得多、1 如,利用"三角形回路"AB+BC=AC和数量积,我们非常快捷地得到了余弦 定理。
平面向量及其运算与空间向量及其运算紧密联系。与数及其运算也直接相 关,在其他学科(特别是物理)中也有广泛应用。这种联系我们可以用下面的框 图表示,
第六章平面向量及其应用
空间中的向量及其运算
复数及其运算
实数及其运算
类比 平面上的向量及其运算
直线上的向量及其运算
类比
类比 有向线段
请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧!
1.向量的概念是什么?用有向线段如何表示一个向量?
2.你绕说说向 的加法、减法、商量的数乘运算、向量的数量积是如何定 义的吗?
3.运算律是运算的灵魂,你能通过实例,说明向量的加法、向量的数乘运 算、向让的数处积有哪些运算徘吗?这些运算律的几何意义是什么?远些运算 律与数的运算律的联系与区别是什么?


4.平面向量基本定理是什么?这个定理的意义是什么?你能说说什么是向 量的坐标表示吗?
5.你能用向量的坐标表示描述向量共线的条件吗?你能用向量的垒标表示 描述向量的长度及两个向量的夹角吗?
6.用向量方法解决平面几何问题要经过哪些步骤?要注意哪些问题?你能 通过实例说明如何选择基底吗?
7.你就通过实例,说明向量在物理中的应用吗?
8.回顾用向量方法推导正弦定理、余弦定理的过程,你绕总结一下其中的 思想方法吗?
复习参考题6
复习巩固
1.判断下列命题是否正确(正确的在括号内打"√"、错误的打 (1)AB+BA-0
(2)AB+BC=AC
(3) AB-AC-BC.
(4)0.AB=0。
第六章半面向量及其应用59
特殊化
2.选择题
()如果 .b是两个单位向量,那么卡她四个结论中正碗的是( (A)a=b (B)a·b-1 (C)a≠b (D) 1-162
(2)对于任意两个向量a和b,下列命题中正确的是() (A)若a.b满足|al>b.且a与b同向,则a>b (B)|a+b≤lal+|b (C)|a·bl>lalb (D)a-b≤a-|b
(3)在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,则()。


(A)四边形ABCD是矩形 (B)四边形ABCD是菱形 (C)四边形ABCD是正方形 (D)四边形ABCD是平行四边形
(4)设a是非零向量,2是非零实数,下列结论中正确的是()。
(A)a与一Aa的方向相反 (B)|-≥la (C)a与2a的方向相同
(D)|-入a|=12|a
5)设M是nABCD的对角线的交点.0为任意一点,则OA+ B+ 0 第5=() (B)20M
(A) OM (C)3OM (D)4OM
(6)在下列各组向量中,可以作为基底的是( (A)=(0.0).e=(1.-2) (B)e=(-1.2),=(5,7)
(D)e=(2.一3)(一-) (C)e;=(3.5).e=(6.10)
3.已知六边形ABCDEF为正六边形,且AC=a,BD=b,分别用a,b表示DE,AD,BC, EF,FA.AB.CE.
4.已知平 直角坐标系中,点O为原点,A(-3.一4),B(5.一12).
(1)求AB的坐标及|AB|的值:
(2)若0C-0A+08,可D--0,求(X与0D的坐标:
(3)求OA·OB的值。
5.已知点A(1.1),B(-1.0).C(o.1),.若AB=CD,则点D的举标是什么?