“大气运动”一节，从太阳辐射在地球表面的分布状况起，按照顺序用 几组文字，认清热量分布、大气密度、气压、气压梯度、气压梯度力和地转 偏向力等概念入手进行分解，把大气运动的原因、大气从垂直运动到水平运 动的完整过程细细排列出来：
太阳辐射在地球表面分布不均→各地受热多少不均→近地面大气受热膨 胀上升或冷却收缩下沉→产生大气垂直运动→同一水平面上大气密度不同→ 同一水平面上气压高低不同→出现水平气压梯度→产生水平气压梯度力（垂 直于等压线并指向低压）→大气由高压水平流向低压形成风⋯⋯。
这样一来，对有关概念就认识清楚了，对大气从垂直运动到水平运动的 全过程就有了一个全面、系统的了解，在这个基础之上再学习掌握更为复杂 的大气环流现象就容易得多。这以后学习南北半球三圈环流的形成，教师只 需对副热带高压带和副极地低压带的成因稍加解释，学生基本上能通过自学 看书，将高低空六种气流方向准确无误地叙述出来。


这样处理，符合学生的逻辑思维趋势，所以他们听得懂，记得牢，表达 得清楚明白。最后再回到开头所提出的问题上，进行归纳综合。这样，既传 授了知识，又教给学生分析问题的方法，起到了知识传授与能力培养同步进 行的教学效果，使原来纠缠不清的问题变得条理分明。
（2）摹拟演示，简图分解。地理课堂学习中的板图演示是重要的方法， 它能帮助学生简明地抓住要点，掌握核心，发现规律，得到启迪。
关于“三个区域水循环过程”，课本上有一个综合性很强的简图，但学 生很难依据这个综合图把三个区域水循环的状况各自区分清楚，必须对这样 的内容进行分解。
[在分解课本上的综合图时，先画出三个如下组的箭头，分别把表示三个 区域水循环的四大环节的箭头摹画出来：
然后根据课文演示增减：]水汽输送 蒸发升腾 凝结降水 地表径流 下


①陆地内流区域的水汽有一部分来自其它区域，必须在上空加上一个进 来的箭头。
②陆地外流区域的水汽主要是从海洋上来的，必须在上空加上一个进来 的箭头，降落下来的水也不是全部蒸发掉了，其中很大一部分通过地表和地 下泾流的形式流入到海洋。因此，必须在下部加上一个出去的箭头。
[③海洋上的蒸发量大于降水量，一部分水汽被输送到陆地上空，所以必 须在上空加上一个出去的箭头。它靠接纳陆地外流区域的泾流来达到水量平 衡，所以在下部要加上一个进来的箭头。另外，海洋中无陆地泾流这一环节， 要把下部中间的一个水平箭头去掉。
这十六个方向不同、位置各异的箭头，简释、概括了水循环一节的关键 内容，尤其是将各个区域水循环的来源、过程、去向及其相互关系都展示得 清清楚楚。]往陆地去 从海洋来 外来水汽 陆地径流 往海洋去


简图分解有助于我们从诸多联系紧密的因素中抓住本质，摸清规律，是 一种值得经常运用的较好办法。
（3）归纳比较，列表分解。列表分解和文字分解形式不同，但实质一样。 文字分解适用于认识和理解系统性较强、环节或过程跳跃性较大的地理事物 或现象，列表分解则一般用于包含有较多平行或并列的内容，难以理清头绪， 分清异同的问题，它的优点是简明扼要，令人一目了然。
列表分解的方法还可以帮助学生寻异求同。例如“生态系统的内部能量 流动和物质循环”的对比，就是很复杂的问题，将它分解为六点十二个方面： 填写表格中的内容，然后再加以区别。由于对比鲜明，学生一眼就可看 出它们的异同。
[列表分解的方法还可以帮助学生寻异求同。例如“生态系统的内部能量 流动和物质循环”的对比，就是很复杂的问题，将它分解为六点十二个方面： 填写表格中的内容，然后再加以区别。由于对比鲜明，学生一眼就可看 出它们的异同。
分解的三种形式各有其对象和特点，怎样运用，要视具体情况而定。除 了单独使用外，它们常常糅合在一起，将单个知识点连成知识线，织成知识 网，从各个方面揭示事物内部的多种联系，帮助我们认清各种现象的本质和 规律。]


"项目":"途径"
"能量流动":""
"物质循环":""
"异同":""
"项目":"方向"
"能量流动":""
"物质循环":""
"异同":""
"项目":"规律"
"能量流动":""
"物质循环":""
"异同":""
分解的三种形式各有其对象和特点，怎样运用，要视具体情况而定。除 了单独使用外，它们常常糅合在一起，将单个知识点连成知识线，织成知识 网，从各个方面揭示事物内部的多种联系，帮助我们认清各种现象的本质和 规律。
值得注意的是，分解是手段，而不是目的，在进行了知识分解后，还要 对被分解出的每一个问题进行逐个讲解，有时还要讲清它们相互间的联系。
2.地理知识的综合
分解的本质是逻辑方法中的分析法，它和综合法是相辅相成的，在对地 理知识进行了分解讲解之后，一定要进行综合，只有综合才能从分解中找出 规律。


综合的方法是多种多样的，可以通过教师的讲解来进行，也可以在教师 的引导下让学生自己来进行。现仍以上述“三个区域水循环过程”为例，若 要在教师的引导下让学生自己来进行综合，可先出如下讨论题让学生去思 考：A、水循环之所以存在的内因、外因各是什么？B、三个不同区域水循环 有哪些共同的过程？C、三个不同区域水循环相互间的联系在哪里？通过上述 问题的讨论，就不难从中总结出全球水循环的基本模式与特征等。若再加一 问“各个区域水量变化情况怎样？”就可以很顺利地由水循环引申到水量平 衡。
分解—综合法能化整体为部分，化笼统为具体，化抽象为形象，有助于 提高地理分析、综合的能力，这是它的优点，但在解决一些相对比较独立， 联系性或内涵较少的问题时却不太适用，有些问题能分解则分解，不能分解 不应强行分解。
地理表解学习法
表解法作为一种常见的地理教学方法，自有其坚实的教育理论基础与重 要的作用。具体来讲，包括如下三点：


（1）有利于提高概括能力。它可以把冗长的文字叙述简化，精炼、醒目、 有重点地表述有关内容，使之一目了然。例如：天气与气候两个概念，如果 按传统的讲授方法一般要 10 分钟左右，且难以理解透彻；而用表解法比较至 多 5分钟，节余时间则可多练。这样精讲多练、比较概括，自然事半功倍。 其分析见表 1：
表 1：
[表 1：
（2）能开拓学生的求异思维，增进理解记忆。教学中表解法往往把两个 或两个以上地区或国家，两个或两个以上的地理事物或现象，相互联系起来 进行比较，找出它们的共性和个性写在表格中，使它充当地理知识的“贮存 器”，这样大大提高了学生逻辑思维的能力，增强了理解记忆。例如：表 1 中填注气候与天气的联系与区别的练习，对了解教学状况很有价值。类似问 题这样处理，一方而比较加深了理解，另一方面理解促进了记忆，简化了内 容，显出明显优势。]


"项目 名称":"天气"
"时间":"短"
"空间（范围）":"小"
"关系":"元素"
"项目 名称":"气候"
"时间":"长"
"空间（范围）":"大"
"关系":"集合"
（2）能开拓学生的求异思维，增进理解记忆。教学中表解法往往把两个 或两个以上地区或国家，两个或两个以上的地理事物或现象，相互联系起来 进行比较，找出它们的共性和个性写在表格中，使它充当地理知识的“贮存 器”，这样大大提高了学生逻辑思维的能力，增强了理解记忆。例如：表 1 中填注气候与天气的联系与区别的练习，对了解教学状况很有价值。类似问 题这样处理，一方而比较加深了理解，另一方面理解促进了记忆，简化了内 容，显出明显优势。
（3）有利于强化学生的应变能力。许多地理知识是彼此相关连的，常常 还可以触类旁通。利用表解注意启发，学生往往就能举一反三、随机应变。 例如：填注“我国农业生产发展的条件”就是一个典型范例。
表 2：


[表 2：
就表 2而言，教师先指导学生填“气候”一项，以下各项均由学生自行 思考填好。这样学生既加强了“两分化”分析地理事物的认识，又适应了类 似问题的解答。导而勿牵，远优于常规“填鸭式”教法。]
"项目":"气候"
"有利因素":"地处中纬，光热条件好，夏 季高温，雨热同期"
"不利因素":"旱涝灾害、寒潮、霜冻、 台风等恶劣天气"


"项目":"土地资源"
"有利因素":""
"不利因素":""
"项目":"农垦历史"
"有利因素":""
"不利因素":""
"项目":"人口"
"有利因素":""
"不利因素":""
"项目":"生物资源"
"有利因素":""
"不利因素":""
就表 2而言，教师先指导学生填“气候”一项，以下各项均由学生自行 思考填好。这样学生既加强了“两分化”分析地理事物的认识，又适应了类 似问题的解答。导而勿牵，远优于常规“填鸭式”教法。
学习的目的主要在于运用，而运用当否则是能否发挥其作用的关键所 在，在将表解法运用于地理学习时，应突出以下三个方面：
1.根据教学要求设计表解
表解法的运用首先是表解设计，可要设计好实为一项艰巨而复杂的工 作，一般来讲其项目要根据教材内容与要求选定，切忌滥立名目、随意增减。 表解既要简明又要全面，切不可遗漏项目和各项中的基本论点。设计时既要 考察到两部分各项内容的系统性，又要考虑到二者的区别与联系。就是说通 过本表练习有关季风的题目，一般要能对付。
2.重点考究复习、练习


表解法可以在各种课型、各个不同教学环节中运用，但实际证明在复习、 练习课及巩固环节中运用起来效果最佳，因为它可以起到精炼概括、提纲挈 领、画龙点睛的作用。
例如：“气候”一章的小结。
表 3：
概念 指一个地方多年的天气特征
气候
分析
气候 要素 气温 降水
成因 季风 位置 地形
特征 大陆性季风气候显著 复杂多样
               
  
  
           
3.表解题型训练
表解在地理成绩考核中早已出现，但被广泛采用是从标准化命题盛行时 开始，然而学生对此比较棘手。其原因主要是：概括能力不强，专题训练少， 不习惯这种题型。即使“达意”，也不会这样“表意”。故此，为发展能力 适应命题改革，切不可忽视这种智能训练。
运用地理表解除上面提到的外，还要特点注意如下两点：
其一，只有在精读教材的基础上进行，才能系统地、有重点地表述纵横 交错、千头万绪的地理事物，做到有的放矢，也才能通过练习熟悉教材，抓 住本质，提炼出地理特点、规律、成因，以形成简明，扼要、深刻的认识。


其二，切忌牵强附会，务必“因材而异”，表解法也像其它方法一样涉 及“因材施教”的问题。这主要是指根据不同教材、要求、课型.灵活而恰当 地运用表解，最大限度地发挥其作用。相反则会有损于知识的科学性、系统 性而贻误教学。
三步三法学习指导法
第一步，读、划先行“思维描图法”
酋先是通读教材.包括小字部分，然后分段略读、精读，对教材市点内容 如概念、定义等，要求做到读、划（在下面用色笔画线）并 h，以加深印象， 为运用地理语言解答问题打 F基础。对其。？优美的文宇，如地理景观描述， 亦 11 须改、朗读。课本中精美的插图照片，可当作美术作品欣赏.要充分利 用美学的感染力.来引起学’5。自学地理教材的兴趣。最门分析和总量个 h
段落大意，动手列出章节知识结构。y吏、划教材向步进 fJ’的，则足配合 课文内容.进行“思维描图”的练习.以树才学儿正确的地理空间概念和具体 的地理轮廓形象。为培养学 1地理思维能力，增强地理记忆能力，学好地理 课打 F4 础。


“”思维描图法”就是使学生把抽象思维（动脑）和描绘地图（动手） 结之起来的力法。这样.手脑结合，地 1蚊 1识和绘图技能结合.达到地理概 念清楚。地理朱物和现象空间结构、中间分布和相 J.I.关系明确，起到增强 记忆的作用。
具体做法是：每学一课（章、节）就计学生把与课本有关的地图描绘下 来（教师事先选好应描地图），描图纸要用单页薄纸，并作为课堂作业，检 查评分。描图要求轮廓清楚，位置正确，书写规范。所描项目须经教帅选定， 描图过程（包括描图前和描图后）要引导学生对所描地图进行反复思考，要 思维其地理位置特征、轮廓形象、方位距离、面积大小、地形分布、生产布 局等等；也可以联系不同的大洲、大洋、国家地区进行对比思维，还可以把 课本中有关文字论述和所描绘的地图本身结合思维，把部分专题地图如山河 分布图、气候类型图、交通城市图等归纳成综合性地图来思维，也就是把所 描地图，同整个教材串连起来，形象具体、顺理成章，便于学生理解记忆。


“思维描图”的关键是思维（包括想象），而不是“依样画葫芦”的描 图。如果学生不思维，而单纯描图，则单调乏味。只有边想（思维）边描， 使想像中的地理事象的空间结构、空间分布与联系同地图结合，才能兴趣盎 然。“思维描图”需教帅培养引导，为增强说服力，可在同一学生身上搞些 数据，对比“思维描图”与“单一描图”的不同效果。
“思维描图”具有紧扣教材，简单易行的优点，不论教学设备的好坏， 师资水平的高低，学生成绩的优劣，皆可推广应用。“思维描图”不仅使地 理概念清楚，地图知识牢固，还能避免“地名搬家”的现象发生。
第二步，填、写结合——“地理事物镶嵌法”


学生在读、划教材，思维描图的基础上，已初步掌握了教材内容和地图 知识，这样，可以利用地理事物都占有一定空间以及有规律分布这一特点， 填、写结合，采用“地理事物镶嵌教学法”。所谓地理事物镶嵌法，就是配 合教材内容，取空白地图一张（学生自绘），就像幼儿的“积木盘”一样， 把有关地理事物，如山脉、河流、气候类型、自然带、交通城市等，让学生 像摆积木似的，按位置、比例分别“镶嵌”到空白地图上，填（图例）写（注 记）结合，把众多的地理事物，综合归纳为一图，形象具体、印象深刻。
用此法还可以把不同的教材（自然地理、区域地理、人文地理）、不同 的章节内容有机地结合在一起。这样，地理事物在地图上密切结合，启发学 生按步思维，找出不同地理事物的各自规律、特征，理解其形成原因，掌握 其相互关系，进一步把中学三个层次（中国地理、世界地理、高中地理）六 册地理教材综合在一起，达到学生对地理课本越学越薄，越读越少，概念清 楚，内容熟悉的目的。
第三步，练、测并重——“对比强化记忆法”


通过读（课文）、描（思维描图）、划（概念、定义）、写（知识结构、 地名）、填（地图）等一系列的自学活动，动手动脑，自学能力大大提高， 已初步掌握了地理的“双基”内容。下一步就应通过练习，来培养学生分析、 归纳、综合地理问题的能力，进一步掌握各地理要素规律，以及相互影响、
相互制约的辩证关系。如虽处同一纬度，由于海陆、洋流、地形的不同，气 候类型产生差异，气候、土壤、生物之间相互作用所形成的复杂关系，地理 环境（主要指资源环境）与经济发展的关系，人类与环境之对立统一关系， 等等，使学生具备审答地理问题，评价地理事物和解决地理问题的能力。
教师根据地理教学大纲要求，布置练习作业，进行单元测验。这里讲的 测验，也是以学生自我测验为主，由教师公布答案，学生相互批改，最后由 教师进行讲评和组织讨论，检查自学效果。


在此阶段，对易混淆的地理事物包括地名等，以及重要的地理界线，典 型的经济项目，可利用地图实行“对比强化记忆”。还可以对相近、相似、 相同而易混淆的地名，通过此法，在地图上对比强化记忆。相近的如瑞典和 瑞士、摩洛哥和摩纳哥、巴拿马和巴哈马；相似的如黄浦江和黄浦港、北仑 河和北仑港。相同的如伯明翰（英美都有）、圣保罗（美国、巴西都有）、 圣地亚哥（智利、古巴）、科隆（德国、巴拿马）等等。
地理比较学习法
比较法在地理学习中占有重要地位。这是地理课的特点所决定的。运用 比较法就是把这一地理事物和另一地理事物进行比较，尤其是充分利用各地 的乡土地理事物同其它地理进行比较，从而获得新的地理知识，形成新的地 理概念。现在，比较法不仅在教学、总复习中被广泛应用，而且在各级各类 命题考试中也常出现。
在地理学习中，以选择同类地理事物的相似特征最为常见，目的是有利 于减少头绪，减轻学生负担。如常常将亚马孙河与刚果河（扎伊尔河），喜 马拉雅山脉与阿尔卑斯山脉，海河治理与淮河治理进行比较。
作为比较的对象应该是已知的，不能选择那些尚未学过的地理事物或现 象进行比较。


作为比较的对象应该是本质特征相同或相反的两种地理事物或现象。还 应该具有典型性，即对比各点，无论异同，都要个性鲜明，特征突出。此外， 选定比较对象时，还要遵循“就近取材”的原则，不要舍近求远。
各种地理事物和现象的共性和个性，都是通过反复比较得出来的。由于 地理事物和现象的复杂性和多样性，导致地理教学中的比较法类型的多样 化。杭州十一中张爱珍老师根据比较对象的性质和比较方式的不同，归纳总 结了以下几种比较教学方法：
1.图表直观法
即利用课本中的各类景观图、曲线图、示意图等进行直接逐项比较，从 而形成地理概念或地理特征。
如通过对哈尔滨、北京、武汉、广州等四个大城市各月气温变化曲线图 的比较，可以得出我国气温分布的主要特点：
（1）冬季气温南北差异很大——哈尔滨一月平均气温-20℃，广州一月 平均气温约 15℃，南北温差达 35℃。
（2）位于秦岭—淮河一线以北的哈尔滨、北京 1月平均温度在 0℃以下。 此线以南的武汉、广州 1月平均温度都在 0℃以上。
（3）夏季我国大多数地方普遍高温，图中四城市 7月平均温度都在 22 ℃以上，南北温差不大哈尔滨 22℃，广州 28℃，南北温差仅 6℃左右。


为了说明我国冬季南北温差很大这个气温分布特点，教科书上安排了两
张冬季景观图：一张是我国最北的黑龙江省北部山区，大地披上银装，地面 积雪很厚，冰天雪地，人们穿棉衣戴皮帽，扬鞭催马，在冰雪上行驶扒犁， 说明冬季严寒；另一张是我国南方的海南岛，浓绿阔叶的椰于树呈现出热带 风光，广阔的田野上，插秧机正在忙于插秧，说明这里的冬季温暖如春。通 过这样的直观比较，能够强化形象理解。
2.类比法
即学习某一地理事物时，引用已经学过的同类地理知识进行比较。 类比法根据对比各点的异同，又可分为同类同型比较和同类异型比较两 种：同类同型比较，就是同类地理事物各点相同或相似，具有共同特征。
如北美洲地形与南美洲地形相比较；亚洲气候与北美洲气候相比较，都 具有气候复杂多样，温带大陆性气候为主的共同特征。同类异型比较，即是 同类地理事物的对比各点不同，具有相异的特征。
3.借比法


就是把难以想象，比较抽象的地理事物，借助学生所熟知的一些事物进 行比较的方法。如季风的成因，是教学中常常不易被学生理解和掌握的难点。 可借助露天游泳池和池边水泥地来说明陆地、海洋受热和散热不同而形成季 风的道理。夏天，我们去露天游泳池游泳，赤脚站在水泥地上觉得脚下发烫， 跳到水里觉得很凉快，这主要是固体、液体的热容量大小不同造成的。夏天， 大陆增温快→气温高→热空气膨胀上升形成低气压；反之，大洋增温慢→气 温低→形成高气压。空气同流水一样，从高气压区流向低气压区。我国夏季 常出现由海洋吹向大陆的偏南风，这就是夏季风。同样道理，冬季常出现由 亚洲内陆吹向海洋的偏北风，叫冬季风。
4.演变法
即同一地理事物从发展过程中，作今与昔的自身比较的方法，又称历史 比较法或自身比较法。其目的在于了解各种地理事物的过去和现在，从而推 断其未来，明了其发展变化过程和规律。
利用演变比较法，分别对新中国成立前后我国经济主要指标、科技、国 防等逐项进行比较，就能清楚地看出我国的“昨天”和“今天”。随着一大 串大小数字的比较，在学生思想上对社会主义的信念也随之增强。
就是把两种地理事物相互联系起来进行比较的方法。


如对地势高低对气温分布的影响这个概念，可以把位于 30°N 附近的杭 州和拉萨的夏季平均气温值联系起来作比较，在海拔高度仅 10 米的杭州七月 平均气温 28.6℃，而拉萨只有 13℃，原因是拉萨的海拔高度比杭州高 2600 米以上。通过比较，可以形成“一般说来，平均海拔增高 1000 米，气温下降 6℃”这个气温分布规律。如果在复习时，把非洲轮廓与欧洲轮廓联系起来进 行比较，使它们的个性更突出，印象更深刻。
6.并列法
即把分别独立的几个比较对象并列起来进行比较的方法。目的在于了解 这些地理事物的共性和个性，从而使学生明了个体和整体的地理特征。
如把我国长江、黄河、海河、珠江和塔里木河几条河流并列起来进行发 源地、长度、流量、上中下游主要特征、水利开发利用及治理情况的逐项比 较，既反映了它们的共性，更突出了各自的特殊性，一目了然，教学效果很 好。
7.中心对象法
即一个中心对象与几个比较对象同时进行比较的方法。目的在于加深和 突出中心对象的特征。


如为了突出欧洲气候冬温夏凉、降水均匀的特征，除了与同纬度的亚洲 气候比较外，还可与非洲、南美洲、北美洲等各大洲气候进行比较。这些大 洲的气候只与欧洲比较，它们之间并不相互对比，只和中心对象发生比较关 系。
8.综合法
是一种对比要素较多，综合复杂的比较方法。它要求把不同区域的地理 综合体的各个要素，全面地进行比较，以比较它们之间的相同和不同点。目 的在于使学生获得各个区域整体的地理环境特征。它一般用于综合复习课。 如把秦岭—淮河一线以南以北的地理环境和农业特色进行综合比较，详见下 表：
秦岭—淮河南北地理特征综合比较
[秦岭—淮河南北地理特征综合比较
另外，在中国区域地理中，把黄河中下游五省二市与长江中下游六省一 市、东北三省与西南三省、北部内陆二区一省与南部沿海三省一区的自然条 件和农业特色分别进行综合比较，教学效果好，从中学到的不仅是完整的、 系统的地理知识，而且能熔自然地理与人文地理于一炉，达到理解性记忆。]


"项目 区域":"地形"
"秦岭—淮河以南":""
"秦岭—淮河以北":""
"项目 区域":"气候"
"秦岭—淮河以南":""
"秦岭—淮河以北":""
"项目 区域":"植被"
"秦岭—淮河以南":""
"秦岭—淮河以北":""


"项目 区域":"河流"
"秦岭—淮河以南":""
"秦岭—淮河以北":""
"项目 区域":"农业"
"秦岭—淮河以南":""
"秦岭—淮河以北":""
另外，在中国区域地理中，把黄河中下游五省二市与长江中下游六省一 市、东北三省与西南三省、北部内陆二区一省与南部沿海三省一区的自然条 件和农业特色分别进行综合比较，教学效果好，从中学到的不仅是完整的、 系统的地理知识，而且能熔自然地理与人文地理于一炉，达到理解性记忆。
实践证明，比较学习法在地理学习中是一种掌握新知识、巩固旧知识、 减少头绪、加深印象、深化理解的好方法。它是地理教学中的重要教学方法。
纲要信号图表学习法


纲要信号法，足前苏联教育家沙塔洛夫创造的一种新颖、独特而灵活的 学习方法，纲要信号是一种直观图示，具有概括性强、逻辑性强和直观性强 的优点。它要求把教材中大量复杂的知识内容，归纳概括成简明扼要的纲要 信号，即绘成鲜明的图形、醒目的符号，并注明简洁的语言文字。在学习中 运用纲要信号图示便于提纲挈领地理解和掌握知识的要点及其逻辑联系。由 于这些纲要信号充分利用了形象思维、逻辑思维、辩证思维和立体思维的特 征，因而可以培养和促进学生智力的发展，可以用较少的时间，获得更大的 学习效益。


[第一，运用纲要信号可以完整地掌握地理学科的基本特点和结构 地理学本是研究地理环境的形成、变化、发展以及人地之间相互关系的 一门科学。地理科学是一门综合性科学，既要探索自然环境，也要研究人文 事实，特别是要研究二者的相互联系，内涵极其丰富。纲要信号完全可以清 楚地表达这种关系，反映出地理学科的综合性、区域性和广阔性的特征。例 如，高中地理的全部内容可以概括成下列纲要信号图表：
地理综合体的两部分内容，自然地理和人文地理以及人地关系的主线极 为明白醒目地展示出来。这是其它任何方法所不能代替的。]宇宙环境 地理环境 生物资源 矿产资源 自然资源 土地资源 能源资源 (社会生产) 农业生产 工业生产 人类 (自身生产) 粮食问题 人口问题 城市问题 环境问题


[又如，构成自然地理环境的五大要素关系图：
地形、气候、水文、生物、土壤等要素共同组成地理环境综合体，它们 之间相互作用、相互制约、相互影响。若某个要素发生变化就要影响其它要 素的变化。纲要信号图清楚地揭示了这一重要的地理规律。]生物 水文 土壤 地形 气候


第二，运用纲要信号教学法，可以使地理学习科学化、系统化为了理解 地理概念之间的联系和掌握系统的概念，必须进行以科学化和系统化为主要 目的的各种特殊教学工作。在掌握地理知识的每一阶段，尤其在结束所学题 目的时候，这些工作就更为重要。因此，归纳设计出一整套系统纲目，就是 完成这项任务的巧妙办法。
上述这些纲要系列，明确表达了地理概念之间的从属关系、并列关系和 因果关系，以及它们之间的区别与联系。因此这些地理名词便成为具有内在 联系的系统化知识，而不是彼此孤立的名词概念。把这样有系统地组成知识 的链条教给学生，就能使他们获得的地理知识不是一堆堆零乱的东西，而是 成串的知识珍宝。
第三，运用纲要信号图示法培养学习能力
地理学习跟其它各科一样，必须遵循学生认识活动的规律，即由生动的 直观到抽象的思维再到实践。学生掌握地理知识的过程就是感知、理解、记 忆和运用这些知识的过程。纲要信号法，能形象而直观地帮助学生发现地理 事物的主要方面和主要特征。这样就能在教学中，使直观的与抽象的、具体 的与概括的东西保持正确的相互关系，形象鲜明地活跃在学生的头脑里，就 会促进学生观察能力、思维能力和语言表达能力的发展。


这幅图解显而易见地表明地球自转运动与公转运动的密切关系—黄赤交 角及其所产生的一系列影响。
课业学习要努力多方面去感知，使几个分析器官同时参加到认识事物的 活动中去，是非常重要的。只有了解事物的发展过程及其相互之间的关系， 才能正确地掌握知识。也就是说，直接的感知应当保证不是领会那些处于静
止状态的孤立的事物，而是领会互相联系的运动着的事物。在这方面，纲要 信号有其不可比拟的优势。
第四，运用纲要信号图表提高课堂学习效率，促进创造力培养
设计独特新颖的纲要信号图解，具有很强的实效性，在课堂学习中具有 特殊的实用价值和认识价值。课堂学习应特别注意在每个阶段都能获得巩固 的知识、技能和技巧。在课堂上，纲要信号会引起学习兴趣，它能强烈地吸 引注意力，调动思维积极活动，从而自觉地接受教师所传授的知识，并深入 地思考和消化这些知识。思考会刺激智力觉醒，是防止读死书的有力手段。


只有深入分析教材的体系结构和逻辑顺序、反复推敲、仔细斟酌、统览 全局、抓住重点、层层剖析，才能恰到好处地设计出独特新颖的纲要图解。 在课堂中，边讲边画边写，师生互答协调活动，就能创造出生动活泼的课堂 气氛。假如学生理解他所学习的这些材料的关系模式，他就会很快掌握知识， 就不需要死记硬背式的不断练习。
教学是教师引导学生学习的过程。教师的任务除了尽可能使学生牢固地 掌握学科内容外，还应当尽可能使学生主动地去积极思维。这样的学生，当 他在正规学校的教育结束之后，将会独立地向前迈进。所以，教师应当努力 发挥学生思维的积极性。为达到此目的，在学会每一课后要做总结纲要信号 图表的作业。只有通过作业练习，才能不断提高分析综合问题的能力，并成 功地掌握地理知识。在这种富有创造性的知识活动中，每个学生都不甘落后， 他们积极开动脑筋、细心阅读、深入剖析、精心设计，特别活跃，真是八仙 过海，各显其能。
附：五阶段导学式程序


导学式教学法以“教育要面向现代化、面向世界、面向未来”的要求为 指针，根据中学生的生理特点和“动机、感知、理解、巩固、应用”的认识 规律，借鉴了布鲁姆认知领域教育目标分类的思想，按低、中、高三级能力 层次循序渐进的原则，把地理教学过程分为“引导、自学、讨论、总结、创 新”五个互相联系的阶段，以全面完成地理科教学的知识、能力和思想教育 三项任务，大面积提高教育质量，培养开拓型人才为目的。陕西王成瑶老师 以高中地理“自然资源概述”为例，说明了具体做法。
引导阶段第一
教师首先利用青少年强烈的好奇心，提出富有兴趣的、有思考价值的和 与学生关系密切的实际问题，设置悬念，创设情景。例如本课开始就可提出： “当今世界面临哪四大问题？”（回答后接着设问：）“何谓资源问题？为 什么会产生资源问题？如何解决？”（以激起学生的求知欲。）再应用教材 分析进行课题谈话，使学生了解教材内容的重点、难点，明确本课学习的目 的、意义与计划、要求，从而激发学生学习动机，调动学生学习的积极性， 为顺利进行下一阶段教学创设前提条件。
自学阶段第二


其程序是：教师展示自学提纲—学生自学教材—学生质疑—教师巡视、 答疑—达到第一次教学平衡。
自学提纲主要由识记能力层次的各类题目组成，例如：
什么是自然资源？
自然资源包括哪几种？
按照能否再生的特性可分为哪几类？
自然资源的基本特征是什么？等等。
这些问题的多数内容在教材内可以直接找到，学生带着这些问题，有目 的、有重点地读书自学，边看书、边思考、边勾划重点，遇到疑惑不解的问 题，可以提出来，待老师讲解、答疑。这样，学生自己动脑、动手寻求问题 的答案，避免了中差生不愿意读书、预习的毛病。
自学时，教师可以积极巡视课堂，及时了解学生学习的情况，适时口述 提供一些资料让学生分析、研究，重点对差生进行个别辅导。使全体学生了 解教材的全貌，感知教材的基本内容，养成看书自学的习惯，为下一阶段学 习打下基础。
讨论阶段第三
其程序是：教师展示讨论提纲—学生独立思考、讨论、质疑—教师启发 引导—学生回答问题—教师评价—达到第二次教学平衡。


教师必须精心设计讨论提纲，以不同的形式、从不同的侧面、角度提出 问题（包括学生在自学阶段提出的属于本阶段能力层次的问题），以激起学 生学习的积极思维，并在共同讨论、剖析典型实例的过程中，引导学生向高 一层次上努力。
例如，学生对什么是自然资源，都认为没有问题，为此提问：
棉花、钢铁、沙漠、冰川是否属于自然资源？
石头是不是自然资源？请说明理由。
学生带着这些问题，运用料学的思维方法进行分析、综合、判断、推 理⋯⋯，经过认真看书，共同讨论、互相争论，并从讨论过程中，或从教师 的引导、评价中及时获取反馈信息，从而进一步理解了自然资源的两个基本 属性。这样，学生通过自己的努力去获得知识、理解知识、应用知识，避免 了传统教学中“注入式”、“满堂灌”，只重知识，不重能力的毛病。


在讨论中，教师的主要任务是指导学生观察和分析地理资料，传授怎样 获得答案的必要途径和基本方法，帮助学生克服学习中遇到的困难，并适时 对讨论的结果做出正确的评价。如发现学生对已学知识掌握不牢，因而无法 进行讨论时，应及时采用谈话式或其它教学手段进行引导和点拨，或者留在 下一阶段重点讲解。这样，通过信息再反馈，调整教学，使学生初步理解教 材，掌握地理知识的本质特征和内部联系。
总结阶段第四
是教师对地理知识进行组织、加工、疏导，将复杂多样的地理知识归纳 成序，成为系统，便于学生全面理解和掌握的过程。
学生在上述自学、讨论过程中获取知识是不断穿插进行的，比较零散。 教师应根据教学大纲的要求和学生的反馈信息，运用纲要图表（提纲挈领式、 表格式、结构式等）进行总结串讲，着重讲解教材的重点、难点、关键以及 学生共同感到困难的问题，把知识概念化、条理化和系统化，有助于学生对 输入的信息进行系统地组织、加工、编码，使之纳入已有的知识系统之中， 达到全面、深刻、牢固地理解和掌握知识之目的。
创新阶段第五


是学生在教师指导下，准确地再现和创造性地运用所学知识、解决、评 价具体实际问题，培养应用地理知识和初步创造能力的过程。其程序是：教 师提出研究的课题或问题—学生独立思考提出假设—教师协助学生收集资料
进行加工—教师引导学生论证假设、得出结论—达到第三次教学平衡。
研究的题目主要由应用、创造等高能力层次的各类题目组成，例如，可 向学生发问：
我国要建立一个大型有色金属冶炼基地，该基地应建在何方？为什么？ 等等。学生通过自己组织材料，应用已学过的有关知识，分析和研究这 些具体的地理问题，得出了工业布局接近原料地，以及如何应用现代科学技 术、改善生产条件、节约能源、综合利用矿产资源和如何改善管理、奖励发 明创造等具有独创性的初步设想。这样灵活应用理论知识于社会实践，既加 深和丰富了原有知识，又培养了创造思维能力。
在这个阶段中，教师主要是创造条件，及时帮助学生，提供发现的线索 和依据，并引导鼓励他们的探索精神与活动，使学生顺利地开展发散性认识 活动，有刊于学生个性优良品质的形成和创造思维的发展，符合时代的要求。


本阶段还可延伸到第二课堂中去，通过野外观察，实际操作，选写小论 文等，可以发掘优秀学生的潜力，让他们“冒尖”，便于发现和培养创造型 人才。
以上五个阶段教学一环扣一环，步步引导、层层而上，形成统一的整体。 从系统论的观点看这一整体必然产生整体机制，从而发挥其更大的功能。首 先，引导和自学阶段着重揭示了教材的组成，是学习的基础；讨论、总结、 揭示了教材的内部联系，是教学的关键；通过这四个阶段，完成了地理“双 基”教学，使学生建立了教材知识体系；其次，根据教学实际进行有计划、 有目的的创新阶段教学，在探索的过程中，引导学生联系已学过的其它学科 的知识，课外掌握的知识和生产、生活中的有关实例，使教学成为开放的系 统，可以达到更完善的知识教学功能，形成具有多方联系的教学知识体系； 最后，在上述两个知识系统形成过程中，或以两个知识系统为基础，实现了 培养能力、发展智力和思想教育三项功能。


[数学课堂学习程式和方法 数学课堂学习的基本环节]学校的理想装备 电子图书·学校专集 校园 上的最佳资源 学习方法指导丛书 数学课业学习常规 m


在校学生的学习，是在教师指导下进行的，课堂学习一般由四个环节组 成：首先要听老师的课，这就是听课的一环；为了消化和掌握课堂上所传授 的知识，需要做练习，这就是作业的一环；为了进一步把所学的知识巩固起 来，并了解其内在联系，需要记忆和归纳整理，这就是复习的一环；为了使 下一节课学得更主动，事先需要阅读新课，这就是预习的一环。这四个环节 的每一部分都有它的独立意义和独立作用，而各部分之间又相互衔接，相互 影响，相互制约。这四个环节组成一个小循环，也就是一个学习周期。学习 的周期就是学习的车轮运转一周的轨迹，善于学习的人应该从车轮运转一周 的辙印中找到它的起止点和中间环节，把四个环节组成定型的学习周期，组 成一个学习系统，使每个环节都能充分发挥它们的作用，这样就能取得好的 学习效果。
数学课堂学习的原则和基本方法
根据心理学的理论和数学的特点，分析数学课堂学习，应遵循以下原则： 动力性原则，循序渐进原则，独立思考原则，及时反馈原则，理论联系实际 的原则，并由此提出了以下的数学学习方法：
1.求教与自学相结合


在学习过程中，既要争取教师的指导和帮助，但是又不能处处依靠教师， 必须自己主动地去学习、去探索、去获取，应该在自己认真学习和研究的基 础上去寻求教师和同学的帮助。
2.学习与思考相结合
在学习过程中，对课本的内容要认真研究，提出疑问，追本穷源。对每 一个概念、公式、定理都要弄清其来龙去脉、前因后果、内在联系，以及蕴 含于推导过程中的数学思想和方法。在解决问题时，要尽量采用不同的途径 和方法，要克服那种死守书本、机械呆板、不知变通的学习方法。
3.学用结合，勤于实践
在学习过程中，要准确地掌握抽象概念的本质含义，了解从实际模型中 抽象为理论的演变过程；对所学理论知识，要在更大范围内寻求它的具体实 例，使之具体化，尽量将所学的理论知识和思维方法应用于实践。
4.博观约取，由博返约
课本是学生获得知识的主要来源，但不是唯一的来源。在学习过程中， 除了认真研究课本以外，还要阅读有关的课外资料，来扩大知识领域。同时 在广泛阅读的基础上，进行认真研究，掌握其知识结构。
5.既有模仿，又有创新


模仿是数学学习中不可缺少的学习方法，但是决不能机械地模仿，应该 在消化理解的基础上，开动脑筋，提出自己的见解和看法，而不拘泥于已有 的框框，不囿于现成的模式。
6.及时复习增强记忆
课堂上学习的内容，必须当天消化，要先复习，后做练习，复习工作必
须经常进行，每一单元结束后，应将所学知识进行概括整理，使之系统化、 深刻化。
7.总结学习经验，评价学习效果
学习中的总结和评价，是学习的继续和提高，它有利于知识体系的建立、 解题规律的掌握、学习方法与态度的调整和评判能力的提高。在学习过程中， 应注意总结听课、阅读和解题中的收获和体会。
更深一步，是涉及到具体内容的学习方法，如，怎样学习数学概念、数 学公式、法则、数学定理、数学语言；怎样提高抽象概括能力、运算动力、 逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力；怎样解数学题； 怎样克服学习中的差错；怎样获取学习的反馈信息；怎样进行解题过程的评 价与总结；怎样准备考试。对这些问题的进一步的研究和探索将更有利于中 学生对数学的学习。


历史上许多优秀的教育家、科学家，他们都有一套适合自己特点的学习 方法。比如，我国古代数学家祖冲之的学习方法概括起来是四个字：搜炼古 今。搜就是搜索，博采前人的成就，广泛地研究；炼是提炼，把各种主张拿 来比较研究，再经过自己的消化和提炼。著名的物理学家爱因斯坦的学习经 验是：依靠自学，注意自主，穷根究底，大胆想象，力求理解，重视实验， 弄通数学，研究哲学等八个方面。如果我们能将这些教育家、科学家的更多 的学习经验挖掘整理出来，将是一批非常宝贵的财富，这也是学习方法研究 中的一个重要方面。
学习方法这一问题虽已为广大的教育工作者所重视，并且提出了不少好 的学习方法。但是由于长期以来“以教代学”的影响，大部分学生对自己的 学习方法是否良好还没有引起注意。许多学生还没有根据自己的特点形成适 合自己的有效的学习方法。因此作为一个自觉的学生，就必须在学习知识的 同时，掌握科学的学习方法。
学生学教学的基本过程
学生学习独立新知时，一般要经历以下五个基本步骤。


第一步，对所学知识——事、物或数的变化发展过程进行初步感知 如考察事、物的存在、演变的条件与过程；参与对所学知识的演示、操 作与实物及再现事物的存在、变化和发展过程，进而获得对所学知识的初步 感受。
第二步，再现演示、操作、实验的全过程
经过对比或类比分析，进行初步整理，使所学知识的本质概念在头脑中 产生一个既清晰又模糊的印象，即形成表象。
第三步，学习课本
在课本的启发下，结合自己的体验，用最能表达自己感受的语言把所学 新知识变化、发展的条件、规律和结果恰如其分地表述出来，形成清晰而完 善的概念。
第四步，运用多种方法，熟记并进一步资化对概念的认识，使知识 逐步向能力转化
第五步，参与各种练习
进一步巩固和加深对所学知识的领会，一方面完成其向能力的转化工
作，另一方面促进智力水平的不断开发与提高。
上述五个步骤的循环往复就构成了学生独立新知学习过程的基本模式。
学生学习由旧知扩弃而来的新知的基本过程一般有两种形式，每种形式 都可分为六个具体的阶段。
每一种形式各阶段的基本次序是：复习旧知—→认识新知—→探究新知 （用对比和类比的方法找相同点和不同点）—→概括新知—→记住新知—→ 运用新知。


第二种形式各阶段的基本次序是：认识新知—→沟通新旧知识的内在联 系—→探究新知—→概括新知—→记忆新知—→运用新知。
[学生学习半独立新知的过程同前述独立新知和扩弃新知的学习过程基本 相同。其具体的实施步骤如下：
重视学生学数学的基本过程的研究，对改进教学方法、加强学法指导， 提高教学质量具有十分重要的意义。]接触和初步认识新知--建立感性认识 开展联想 --形成新知表象 探究新旧知识的内在联系--第二次感知 抽象概括新知本质特征 --向理性知识转化 记忆新知 --巩固 应用新知 --将知识转化为能力


数学课文预习方法
1.阅读课文
这是预习以下几个步骤的基础（参看后面介绍的各种阅读方法）。
2.亲自推导公式
数学课程中有大量的公式，有的课本上有推导过程；有的课本上没有推 导过程，只是把公式的最初形式写出来，然后说一句，“经推导可得”，就 把结果式子写出来了。无论课本上有无推导过程，学生预习的时候应当自己 合上书亲自把公式推导一遍；书上有推导过程的，可把自己推导过程和书上 的相对照；书上没有推导过程的可在课堂上和老师推导的过程相对照；以便 发现自己有没有推导错的地方。
自行推导公式既是自己在独立地分析问题和解决问题，又是在发现自己 的知识准备情况。通常，推导不下去或推导出现错误，都是由于自己的知识 准备不够，要么是学过的忘记了，要么是有些内容自己还没有学过，只要设 法补上，自己也就进步了。
3.扫除绊脚石
数学知识连续性强，前面的概念不理解，后面的课程无法学下去。预习 的时候发现学过的慨念有不明白、不清楚的，一定要在课前搞清楚。
4.汇集定理、定律、公式、常数等


数学课程中大量的定理、定律、公式、常数、特定符号等，是学习数学 课程的最重要的内容，是需要深刻理解，牢牢记住的。所以，在预习的时候， 无论你做不做预习笔记，都应当把这些内容单独汇集在一起，每抄录一遍， 则加深一次印象。上课的时候，老师讲到这些地方时，应把自己预习时的理 解和老师讲的相对照，看自己有没有理解错的地方。
5.试做练习
数学课本上的练习题都是为巩固所学的知识而出的。预习中可以试做那 些习题。之所以说试做，是因为并不强调要做对，而是用来检验自己预习的 效果。预习效果好，一般书后所附的习题是可以做出来的。
数学教材“三读”法
“三读”：粗读、复读、精读。
预习或自学教材要采取粗读—复读—精读的良好的独立读书程序。
第一，精读—浏览全书，掌握概貌


为此必须以较快的速度迅速浏览。看书时，应先看目录和前言、编者的 话等，以了解书的章节大意。阅读正文时，从默读到逐渐加快眼的视力速度， 以加强大脑皮层上视觉区的神经兴奋，直接以文字、数学符号作为信息传入 脑的视觉区，既加快了阅读速度，又锻炼了自己的逻辑思维能力。粗读中， 重点在于了解书的概貌，掌握书中的基本概念、基本原理和定理，学会初步 的运算和论证。阅读进度可以配合教学进度阅读，也可自己按章、节、篇划 单元阅读。对于书中的重点、难点、问题、原有知识的空白和相关性小的知 识怎么办？建议采取“标记号、绕道走、放过去”的对策：
所谓“标记号”，就是对重点知识标注记号。记号可以根据读者习惯， 各自选择、创造。例如可取以下记号标于书中的字里行间：
直线段“——”标明较为重要的内容；
红色红段“——”或波浪线段“ ”标明特别重要的内容；
问号“？”标明自己的疑点、难点；
“△”标明知识空白点.留待补充；
“*”标明暂时跳过去未看的内容；
等等。
利用标注记号的办法，一方面可以把思维引向书中深处；另一方面利于 复习、思考和进一步精读。


所谓“绕道走”，就是当阅读到某些难点，如难理解的概念、难证的定 理，或暂时读不懂的地方，又不特别影响后面内容的阅读，则可作上记号， 暂时挂起来，跳过去绕道继续往下读。待多读些后回头再来“梳一梳”问题 时，也许就迎刃而解或容易弄懂了。
所谓“放过去”，指对书中暂时与自己学习需要无关的内容，或在学术 上有争议的问题等，就把它放过去，这样可以缩短看书的进程。
第二，复读—弄清结构，掌握思想
阅读数学书，重要的在于弄清书的结构，了解全书的系统和来龙去脉， 掌握它的精神、思想和方法。复读阶段十分重要，它要在初读的基础上加深 理解，扫清留下的障碍。此阶段建议采取“追、疑、补、记、注”的对策： 所谓“追”，是指重点追读和思索书中的关键、难点。要深入思考基本


概念的意义、作用；加强对重点问题的演算和论证练习，从而把握有关原理、 命题的基本思想及其应用；回头追读难点，扫清知识障碍。数学学习中比较 大的障碍就是“抽象性”。例如由于对一些抽象的基本概念理解不清，掌握 不牢，遂导致课程的后继学习上的困难。怎样来理解数学中的抽象概念为好 呢？考虑到抽象与直观是辩证的统一，大量抽象概念都是从直观中逐步抽 象、提炼出来的。如“群”这一抽象概念的产生，就是在证明一般五次方程 不可能用根式求解，而导出了包括群在内的近世代数方程理论。如果不考虑 “群”的历史发展顺序，可以这样来看群的概念从直观到抽象转化的过程： 从最直观的晶体结构→置换群→运动群→抽象群。虽然有些抽象的数学概念 未必由直观产生，但可以用某一直观模型来表示，使它直观化。如虚数的产 生和人们给它的命名，就说明当时对虚数的奥妙难以捉摸，后来高斯在 1831 年将 a+bi 表示为复平面上的一点，找到了它直观的几何意义，使人们确信了 复数确实存在。


再如把实数描述成数轴上的一点，把实变数函数描述成平面 曲线，把解析函数理解成复平面之间的共形映照，把 n元数组理解成 n维向 量等等，都是把抽象概念直观化的例子。学习时，只要注意充分利用直观模 型来帮助理解抽象概念，就可以减少学习上的难度。
所谓“疑”，是指质疑。就是说在自学过程中，要学会“自疑寻答”。 巴尔扎克说过：打开一切科学的钥匙都毫无疑问的是问号；我们大部分的伟 大发现都应当归功于如何，而生活的智慧就在于逢事都问个为什么。当你自 学数学而提不出问题时，说明你还徘徊在门外；一旦有所疑且提出一个像样 的问题时，说明你已在该问题的学习上向前迈进了一步；若能自己寻思求得 解答，应该庆贺你在自学过程中取得了一个胜利。值得庆幸的意义不在于你 获得了某项知识的解答，主要的在于你开始学会如何在自学中“自疑寻答”。 这是自学者非常重要的一种学习素质。正如古人所言：“为学患无疑，疑则 有进”、“小疑则小进，大疑则大进”。因此，看书、学习时，应尽力使自 己沿着“有疑→有问→有思→有进”的螺旋式进程前进！


所谓“补”，是指补上你学习中的知识空白。学习，特别是对新知识的 学习，不可能事先把需用的基础知识都准备好；相反，恰恰是学而不足，用 方知补缺。那么，你就采取缺啥补啥，补到够用即可的办法，必能助你学习。
所谓“记”，是指在学习中作记要。写读书记要，既可以加深对数学知 识的理解和记忆，又可为后继的学习垫牢基础，更可培养索取知识的动手能 力。写读书记要的方式多样，常用的方法有摘记原文、写概要笔记、列表对 比摘记、小结式摘记等等。这些都将对你的自学增加补益，从中亦可看出自 己思想深化的过程。
所谓“注”，是指自学时在书的“天头”、“地脚”、空白处加批注。 这种批注，可以是自己对问题的看法、体会；也可以是“慎读”、“审视”、 思索后提出的疑问；也可以是空白知识的补充、易忘公式的记载；也可以是 对书中某问题的评价及个人的创见，等等。读书批注，是自学深化的过程， 也是破除对书本的“迷信”，发展自身创造性思维能力的过程。持之以恒， 大有补益。
第三，精读—深入思索，激发创见


经过各章、各篇的粗读、复读以后，应该说基本上已掌握了该书的结构 和知识体系，已有了一定的基础。然而任何一本书中的知识都并非尽善尽美； 一本书尽管编得再好，也不是就没有不足之处。因此尚有许多东西值得推敲、
玩味，尚需进一步深入思索。精读的目标建议可考虑如下一些问题：
该书是按怎样的结构体系编写的？这种体系有何优点和不足？
全书的数学思想和精神是什么？
书中的基本概念定义得是否精确？在知识体系中，每个概念的编排是否 得当？
主要定理的论证有无可改进之处？若将定理的条件加强些，定理的论证 及适用范围将发生怎样的变化？条件减弱要求，情况又会如何？
有关定理或定律的论述中，哪些步骤具有普遍意义？别人是怎样想出来 的？还有无可深入之处？它给出什么解题思路？
书中的题例安排是否适当？习题选择、编排是否达到巩固基本知识、应 用基本知识、深化基本知识的作用？
书中的编排、论证、阐述上有无逻辑上的错误？
文字叙述是否精确、明晰？等等。
通过对这些问题的推敲、思索，不仅促使对书本的“甚解”，重要的在 于激发自己的创造性思维，使自学中的独立思考能力得到更好的发展。
附：阅读数学课本的四步方法
[美] 戴维·E·加勒特


顺利阅读数学课本需要掌握特定的阅读技能，例如：精读，权衡细节的 重要程度，理解例题，组织论据，作出推断，区别资料的关联性与无关性以 及注意概念间联系等。以下是帮助学生获得这类分析技能的四个步骤。
1.慢速阅读
帮助学生理解数学课本的第一步是放慢阅读速度。大多数数学课本中几 乎没有什么多余的语言，由于过渡性语言的缺乏和数学语言的复杂性，致使 难以利用上下文的线索，教师要教会学生通过浏览寻找关键词，以及归纳段 落大意来阅读数学课本，不仅应该通篇阅读，而且应该逐字逐句地阅读，并 要边仔细阅读，边反复思考。
2.复读
第二步是教会学生复读，尤其鼓励学生复读第一遍阅读中没有理解的那 些内容。一种适用于结构严谨的数学课本和其他技术资料的系统的阅读—— 研究方法称为 PQ4R；预习、提问、阅读、思考、改写、评论。这种过程特别 适用于阅读文字问题。这些准则告知学生要放慢阅读速度，并找出概念之间 的相互关系。
通常，当问题的答案并非一目了然时，学生容易失去信心。新的解题方 法产生于学生尝试构思，并付之实际之时，这个过程需要时间。在数学阅读 中，学生应该努力做到手脑并用；既思考解题设想，又把它们及时记下。


3.学习数学词汇
第三步是使学生熟悉有关的数学词汇和符号。数学在特定的意义上来使 用一些日常词汇，所以其意义已经不同于传统的用法。另外的阅读困难来自 课本中使用的数学符号，也可能来自缩写词。
口头数学语言的教学是理解书面数学语言的前提。在幼儿园或小学一年 级教学正规数学时，这种连续就应该开始。在数学学习的早期阶段，在对具
体实物进行数学操作中，教师使用规范化的数学口语，有利于儿童打下学习 数学语言的扎实基础。
4.调整眼睛移动的形式
解决数学阅读问题的第四步是帮助学生调整眼睛移动的形式，这种形式 不同于惯常的阅读文学作品中的从左到右的移动。在数学课本中，学生必须 阅读带有指数、小括号、大括号等的表达式，他们也必须阅读若干种不同的 表格和插图。当代数方程式中出现分数时，学生往往由于横向阅读分子而不 是阅读整个分数，以致发生错误。教师需要强调，为了理解数学课本，种种 眼睛移动形式都是必要的。
阅读和理解数学课本的方法有别于人文学科。由于在大多数数学或理科 课本中的内容的精练性和复杂性，学生不宜采用阅读小说的方法来简单地浏 览课本。这里提出的四项建议能够帮助学生加深对书面数学资料的理解。


（竺培梁 编译）
指导学生阅读课本的十种方法
1.默读法
就是不出声地读，用心看。培养学生边读边思考的能力。
2.间读法
间断地而不是持续地读。读一句，想一下，这一句是什么意思，想清楚 了领会了，再继续读下去。到中高年级可要求学生一节一节地读，读一节， 思考一下什么意思。
3.复读法
就是让学生对同一部分内容翻来复去数遍地阅读。如“分数的意义”一 节，可采用“五遍复读法”：一遍领会每句意思。二遍想清楚上下句的联系 和每个自然段的意思。三遍想一想叙述和所举例题是不是一致，还可以补充 哪些例子。四遍读后进行举例和结语之间的归纳和演绎。五遍记忆一些概念 和动手演算本节的习题。
4.研读法
就是对某些概念、定义、法则的语言表达部分进行某些词句的变换，再 与原表述内容进行研究比较的一种阅读方法。如：“简易方程”一节，“含 有未知数的等式叫做方程。”——“不含有未知数的等式叫做方程”吗？“含 有未知数的式子叫做方程”吗？这就掌握了方程的两个特征：一是含有未知 数；二必须是等式。
5.跳读法


跳过某些部分，不作一般顺序的读法。小学数学课本内容，一般可分为 引语，例题和习题，结语（包括概念和法则）以及图表几种类型。在初读基 础上，可着重读引语和结语。对于夹有图、表、线段和几何形体的地方，要 跳过一些内容，将有关数表和图形查找对应起来进行比较领会。
6.算读法
对于课本上的算式或例题，可以边读边演算，这是数学阅读中的重要方 法之一。可让学生先独立地尝试解答和演算，演算解答发生困难时，或者在 演算结束后，再去读书看例题。
7.索果阅读法
对应用题可以从已知条件出发读题，不断提出中间问题。为追索问题的 结果提供条件，如，“一个煤矿上半年原计划产煤 66 万吨，实际每月比原计 划多生产 2.2 万吨。照这样计算，完成上半年计划要用几个月？”可以这样 读：“一个煤矿上半年计划产煤 66 万吨，上半年有几个月？原计划平均月产 煤多少吨？实际每月比原计划多生产 2.2 万吨，实际每月产煤多少万吨？照 这样计算，完成上半年计划（上半年计划是多少万吨？）要用几个月？”
8.追因阅读法


根据应用题中问题的需要，阅读追索条件。如，“一个机械化养鸡场一 月份运出的鸡是 13600 只，二月份运出的鸡的只数是一月份的两倍，三月份 运出的比前两个月的总数少 80 只。三月份运出多少只？”可自问“求什么？” 自读“三月份运出多少只？”自问“三月份运的鸡数与那几个月有关呢？” 自读“比前两个月的总数少 80 只。”自问“前两个月运出的总数是多少只？” 自读“⋯⋯一月份运出 13600 只，二月份运出的只数是一月份的 2倍。”
9.关键词句阅读法
就是抓住应用题中的关键词句，边读边找条件，提问题，弄清题目的结 构。如“高年级同学在校办工厂劳动，6个同学糊了 35 个纸盒，照这样计算， 12 个同学一共可以糊多少个？”抓住“照这样计算”展示阅读。自问“照怎 样计算？计算什么？”然后自读“12 个同学业共可以糊多少个纸盒？”
10.代入阅读法


用这种方法阅读应用题，可将复杂的数量关系转化为简单具体的数量关 系。如“少年宫合唱队有 64 人，比舞蹈队人数的 2倍多 16 人。舞蹈队有多 少人？”阅读时设舞蹈队有 x人，然后把题中“舞蹈队人数”“舞蹈队”用 x人代入读成：“少年宫合唱队有 64 人，比 x的 2倍多 16 人。求 x是多少？” 这样一读，方程就读出来了。
附：数学课本六步读书法
为了提高阅读质量，增强再现思维，在实践中可采用读、划、查、思、 比、练的六步阅读法，从粗览到精读，做到由泛到精，再由精到博，以达到 消化吸收的目的。
第一步：读
就是看书，看课文，精读细看反复识记，深入理解。
第二步：划
就是使用各种符号，作出标记，帮助分析总结，如勾画出定义、定理， 重点、难点，画草图，作眉批，提问题⋯⋯可以用横线、波浪线、问号、惊 叹号、箭头等不同符号，要注意符号使用得前后一致。
第三步：查
对阅读中遇到的疑难问题和必须了解的数据，可以通过查阅其它材料搞 清楚，或利用工具书验证，力争经过自查不留问题或少留问题。
第四步：思


就是思考，对所读材料要多问几个为什么？从引入方法到概念的内涵和 外延，从证题的方法到证题的依据等，要对照书上或教师编拟的思考题逐一 思索回答，在理解中进一步掌握。
第五步：比
比的意义，一方面是对照阅读，进行纵向比较及横向比较，把该知识与 有关知识的相同点、类似和差别找出，并纳入相应的知识链中；另一方面是 与同一类别同一内容的书的讲述方法对比，在比较中熟悉它的特点，加强结 构的记忆。
第六步：练
动手写一写，做一做，概念是否清晰准确，方法是否掌握，技能是否具 备，都要通过练习来进行自我检测，这是检验阅读效果，训练再现思维的好 方法，通过这些方法将会激发阅读的专注性和深刻性，为进一步提高再现能 力创造条件，增强自觉性。
附：阅读数学课本的习惯培养
提高阅读能力的第一步就是养成阅读习惯，可采用的方法是：
1.引导阅读
对要学习的内容，事先编写印发提纲或作口头指导，引导学生研究课本 内容和表达方式，这样给他们指明阅读的方向和要求。


如对概念部分，要求在阅读中：（1）弄清构成概念的要素，体会概念的 一般结构，即“⋯⋯叫做⋯⋯”，“⋯⋯统称为⋯⋯”；（2）指出关键字、 词；（3）判断是非；（4）举正例；（5）举属于邻近概念的反倒；（6）进 行相近、相反概念的比较。
2.坚持预习
特别是难懂的教材，一定要求学生通过预习提出疑点，由教师在课堂上 答疑，通过释疑、点拨，起到举一反三，触类旁通的作用。
3.适时提问
课堂上，根据学生已阅读的内容，提出精心设计的问题，逐步引入新课， 一步步完成数学任务，对有的教材，如“抛物线”、“双曲线”部分，它们 位于椭圆一节之后，与“椭圆”一节的研究方法类似，则应以学生阅读为主， 要求学生回答它们研究的方法与“椭圆”有何异同（都是按定义——标准方 程——性质——平移化简的顺序研究的，又因定义相异，导致离心率 e的不 同），而对标准方程的推导、性质、平移化简等，都要求自行推演。
4.引发讨论
对学生容易忽略的内容，要仔细斟酌，反复推敲，必须让他们边阅读边 议论，在讨论中，咬文嚼字，达到消化吸收的目的，如函数定义中的“每一 个”、“确定”、“唯一”、“对应”等词的意义，都要求在讨论中加深理 解。


5.小结串讲
学完一个单元以后，让学生在反复阅读和复习的基础上，作出简单的书 面小结并进行串讲，它包括知识纲要，研究方法，内在规律，应用和要注意 的问题。
6.诱导自学
有时对练习和学生提出的问题，不是正面直接讲授，而是让他们去看× 页×例，或参阅×书×页，以养成自觉阅读的习惯。
附：小学数学课本的“三步读书法”指导
阅读数学课本的方法“三步读书法”是对新教材预习或自学时，读教材 理解教材的三个步骤，即粗读、细读、精读。“三步读书法”的操作程序是 根据学生学习的规律和年龄特点，把有关学习方法的概念和理论，科学地变 为学习过程中可供学生学习实际操作的具体步骤，让学生在学习过程中一步 一步地按程序进行学习。这是由河南濮阳中小学教研室郭志刚老师对这种方 法进行了实验并作了总结。
1.“三步读书法”简介
（1）粗读。从整体着眼，通读教材，初步了解知识的全貌了解这段内容 要说明一个什么问题，解决一个什么问题，用到哪些旧知识，引入哪些新知 识。


（2）细读。逐字逐句，细读教材，研究定义、法则、公式、性质等是怎 样得出来的，分几层意思，关键在哪里，新知识与旧知识有些什么联系等， 在引导学生逐字逐句地细读课本时，应鼓励学生读一句，自讲其含意，并提 出不同的问题，对于自己不能够得到答案的问题要作特殊标记，以便听课或 讨论时作为主要问题来研究。
（3）精读。回到整体，带着问题融会贯通地读，由学生提出问题或教师 提出简要自学提纲，带着问题进行第三次读书，使学生达到理解。（自学提 纲是根据教材的知识结构 教材重点难点以及学生学习中容易混淆的概念精 心设计的，自学提纲设计一般包括启发性提问，灵活答辩，以及启迪思维过 程和解题思路、方法步骤等）。
2.“三步读书法”的运用
（1）计算教学的“三读”。步骤是：粗读，粗读例题，细读，找出与对 此题或所学旧知识的区别和联系，精读，根据提纲看书并回答问题或者根据 教材特点，将知识分成几个层次来进行“三读”。
如：计算： （ ÷ ）粗读，让学生读出题意，细读，引导 4.3 + 2.4 3 5 2 2 3


学生对式题进行认真地分析，要求：①看运算顺序；②想运算法则；③看数 与数之间的联系，精读，回答问题并计算。让学生说出先算什么，后算什么， 根据是什么，有几种算法，哪种简便，并写出解题过程。
（2）应用题的“三读”。具体主法是：一读，领略大意，找出已知条件 和问题，二读，理解题中每句话的含意，还可进行联想，可由此及彼沟通知 识间（条件与条件，条件与问题）的内在联系，还可尝试画图进行分析。三 读，根据自学提纲进行第三次读书。
如：苍海号捕鱼船五月份捕鱼 吨，六月份比五月份多捕了 ，六 月份捕鱼多少吨？粗读要求同上，细读，让学生讲出题意，并联想：把五 月份捕鱼的吨数看作“ ”，六月份捕鱼的吨数相当于五月份的（ ）， 求六月份捕鱼多少吨？就是求 吨的（ ）是多少，精读，说出数量 关系式，五月份捕的鱼×（ ） 六月份捕的鱼，并列式解答。
2400
1+ 1 4
2400 1+ 1 4
1+ 1 4 =
1 4
（3）概念的三读。具体作法是：粗读，领略大意，明确本节内容，细读，


把概念的关键词句用不同符号划下来加以分析，逐字逐句讲出每句话含义， 寻找课文中定义、概念、推导公式、归纳法则的重要词句，认真领会。精读， 按提纲进行第三次读书。
又如：正方体的表面积。在讲之前可留预习作业。粗读，领略大意。细 读，认真读题中文字，并结合图形理解题意。精读，按照教师提出的自学提 纲进行第三次读书。提纲：①每人找一个或做一个正方体的盒子，看谁做得 最符合规格；②量出边长，先计算一个面的面积，再试一试计算六个面的面 积之和；③六个面的面积之间有什么关系，你能用最简便的方法计算么？
3.低、中、高年级数学课本的阅读方法


（1）低年级数学课本的阅读。①先讲解后读书。对于小学低年级学生来 说，由于他们识字不多，阅读能力有限，教学时，宜先采取直观演示结合讲 解，后指导学生看书学习的方式进行。也可将课本上的内容写在小黑板上或 用幻灯演示出来，边出示边讲解。然后叫学生翻开书，指出这些内容在书上 什么地方，指导他们进行对照，明了书上的图解及叙述意义，以后可逐步提 高对学生阅读课文的要求，回答教师提出的问题或复述教师的讲解等（举例 略）。②边看边读边引导。从学生的实际出发，在教师的引导下，指导学生 边看边读数学课本，培养学习能力。③渗透下节新授内容，引导学生预习。 每教完一个内容或上完一节课，在让学生得到充分的练习机会后，把下一节 课的教学内容作为作业补充题让学生做。
以上三种方式，对中、高年级的学生学习较复杂的内容也是适用的。
（2）中年级数学课本的阅读。中年级的学生有了一定的阅读能力，教学 时可采取以下两种方式。①边讲解边读书。②边读书边讲解，让学生读一句， 自讲一句，或学生自己读完以后，同桌或四人一组互讲教材题意，并按教师 提出的提纲回答问题。


（3）高年级数学课本的阅读。对于高年级的学生，因他们基本具备了独 立着书的能力，对教材中一些不太理解的内容，教学时，可采取先让学生读 书思考，后由学生或教师进行分析讲解，以讲清学生读书后的疑难点，可分 两种方式：①预习教材。新授课的前一天布置给学生预习要讲的教材，预习 前按“三步读书法”提出要求或问题，在预习时自己找答案，并把不懂的例 题或难理解的词句记下来，教师在讲课时就共同的问题，讨论或讲解。②课 堂指导阅读在课堂上先指导学生按三步读书方法看书学习，尔后，根据实际 学情，首先让学生讲给全组或全班学生听，并培养他们提出问题，引导争论， 师生共同解答（举例略）
学习数学概念的两种基本课堂模式比较
概念形成的两种学习模式，既“实例一定义”模式和“假设一验证”模 式，从结构上讲有相似的地方，但作为两种不同的学习方法它们是有本质区 别的。
1.形式结构相似
两种模式的结构大体相似，两种模式都分成两个阶段，每个阶段都
有三个步骤，特别是第二个阶段的三个步骤几乎完全相同。
2.各自内涵相异
两种模式最大的区别在前两个步骤之中。“实例一定义”模式的第一步，


要求教师一次性地呈示肯定例证。如在“长方形的认识”的教学中，教师举 出课本的表面、黑板的表面，等等，第二步是师生共同归纳这些例证的相同 点，再通过全面分析和综合，概括概念的特征。如概括出长方形的特征是“有 四条边且对边相等，有四个角且都是直角”。“假设一验证”模式的第一步， 要求教师有顺序地呈示附有标记的两类例证。如在“整除的概念”的教学中， 教师举出 36÷12=3（是）和 118÷3=39.333⋯（否），等等。第二步是学生 独自比较这些例证，找出两类例证的不同点，再通过不断地反馈，逐步深入， 总结概念的特征，如学生总结出“整除就是被除数、除数和商都是整数的除 法”。
3.引导角度不同
在“实例一定义”模式中，教师只呈示肯定例证，然后引导学生对这些 例证进行观察，再通过分析、综合和概括，让学生经历一次由具体到抽象的 认识过程，最后形成概念，在学习过程中，学生在教师的指导下积极思考。


在“假设一验证”模式中，教师的主导作用比较隐蔽，学习时，教师必 须呈示两类例证，然后要求学生对这些例证进行观察、比较、猜测，教师在 否定、肯定、又否定、又肯定的“场外”指导中，让学生经历一次由假设到 验证的发现过程中，最后形成概念，在教学过程中，充分发挥了学生独立思 考的能力。
4.理论依据各异
“实例一定义”模式的依据是逻辑学，逻辑学认为：人们认识事物，要 经历一个观察、比较、分析、综合、概括、抽象的过程，这是一个由特殊到 一般，不断深化认识的过程，“实例一定义”模式就体现了这一过程。
“假设一验证”模式的依据是心理学，心理学认为：人们认识事物，要 经历一个假设与验证，并且不断循环的过程，这是一个多次假设、不断反馈、 反复验证的过程，“假设一验证”模式就体现了这一过程。
此外，在培养学生思维能力方面，两种模式的教学效果也不一样。
“实例一定义”模式是运用分析、综合、概括、抽象等逻辑思维方法， 形象概念，所以它能使学生的思维趋向严密，培养了学生初步的逻辑思维能 力。
“假设一验证”模式是通过肯定与否定的多次循环，形成概念，所以它 能使学生的思维更加灵活，能培养学生较广的横向联想能力。


数学概念学习八法
1.温故法
不论是皮亚杰还是奥苏伯尔在概念学习理论方面都认为概念教学的起步 是在已有的认知结构的基础上进行的。因此，教学新概念前，如果能对学生 认知结构中原有的适当概念作一些结构上的变化，引入新概念，则有利于促 进新概念的形成。
2.类比法
抓住新旧知识的本质联系，有目的、有计划地让学生将有关新旧知识进 行类比，就能很快地得出新旧知识在某些属性上的相同（相似）的结论而引 进概念。
如，教学“最简比的意义”，我们就可以用最简分数意义与它进行类比：
①判断：下列分数哪些是最简分数？哪些不是？为什么？
42 63 5 7 11 13 36 16 15 8
②将上述分数看作比，回答哪几个比的前项和原项是互质数？
③比的前项和后项是互质数的比，就叫做最简单的整数比，从而引进了 化简比的概念。
可见，这种方法有利于分析二者异同，归纳出新授内容的有关知识，有 利于帮助学生架起新、旧知识的桥梁，促进知识的迁移，提高探索能力。
3.喻理法
为正确理解某一概念，以实例或生活中的趣事、典故作比喻，引出新概 念，谓之喻理导入法。


如，学“用字母表示数”时，先出示的两句话：“阿 Q 和小 D 在看《W 的悲剧》。”、“我在 A市 S街上遇见一位朋友。”问：这两个句子中的字 母各表示什么？再出示扑克牌“红桃 A”，要求学生回答这里的 A 则表示什 么？最后出示等式“0.5×x=3.5”，擦去等号及 3.5，变成“0.5×x”后， 问两道式子里的 x各表示什么？根据学生的回答，教师结合板书进行小结： 字母可以表示人名、地名和数，一个字母可以表示一个数，也可以表示任何 数。
这样，枯燥的概念变得生动、有趣，同学们在由衷的喜悦中进入了“字 母表示数”概念的学习。
4.置疑法
通过揭示数学自身的矛盾来引入新概念，以突出引进新概念的必要性和 合理性，调动了解新概念的强烈动机和愿望。
例如：“通分”让学生回答下面每组中两个分数的大小：
（ ） 和 （ ） 和 （ ） 和 （ ） 和 （ ） 和 1 3 4 5 6 2 5 8 5 7 3 3 4 1 4 4 7 12 5 10 5 3 4 5 6
显然，（1）～（4）题学生能很快回答，第（5）题是新授例题，到底怎 样回答？学生处于暂时的困惑，教师抓住学生急需求教于老师的这个时


机，让学生大胆讨论：到底怎样才能比较 和 的大小？投石激浪，学生 3 4 5 6 的回答可用：画跋匕较大小、化成同分母后比较大小、化成同分子后比较大 小、化成小数比较大小等，进而，教师再引导学生分析比较上面哪一种方法
比较简便？最后小结：我们把 和 分别化成 和 的过程，就是今天 3 4 5 6 9 12 10 12 我们要学习的通分。
5.演示法
有些教学概念，如果把它最本质的属性用恰当的图形表示出来，把数与 形结合起来，使感性材料的提供更为丰富，则会收到良好效果，易于理解和 掌握。
如，学“求一个数的几倍是多少”的应用题，重要的是建立“倍”的概 念，引进这个概念，可出示 2只一行的白蝴蝶图，再 2只、2只地出示 3个 2 只的第二行花蝴蝶图，结合演示，通过循序答问，使学生清晰地认识到：花


蝴蝶与白蝴蝶比较，白蝴蝶 1个 2只，花蝴蝶是 3个 2只；把一个 2只当作 1份，则白蝴蝶的只数相当于 1 份，花蝴蝶就有 3 份。用数学上的话说：花 蝴蝶与白蝴蝶比，把白蝴蝶当作一倍，花蝴蝶的只数就是白蝴蝶的 3倍，这 样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快地 触及了概念的本质。
6.问答法
引入概念采用问答式，能在疑、答、辩的过程中，步步探幽，引人入胜。 如，开始学扇形概念时，教师先把自己手中的摺扇打开，问：这是什么？ （扇子）接着出示下图问：图中的影形部分像什么？（扇子）所以我们称它 是什么？（扇形）那么，圆中空白部分是不是扇形呢？学生意见不一！那么 究竟什么样的图形叫扇形呢？指导学生带着问题学习课本。这样，思维从问 题开始，随着问题的启发，内在潜力得到了充分发挥，从而对“扇形”概念 本质特征的认识在不断深化中达到智力升级。
[7.作图法
用直尺、三角板和圆规等作图工具画出已学过的图形，是学习几何的最 基本的能力。通过作图揭示新概念的本质属性，就可以从画图引入这些概念。]顶点 顶点 顶点


[7.作图法
用直尺、三角板和圆规等作图工具画出已学过的图形，是学习几何的最 基本的能力。通过作图揭示新概念的本质属性，就可以从画图引入这些概念。]A


如讲三角形的“高”和“底”时，可先作图：
（1）过直线上一点画一条和这条直线垂直的直线；
（2）过直线外的一点画一条和这条直线垂直的直线；
（3）给出三个图，要求学生作一条过顶点和顶点所对的边垂直的线段， 大量作图的基础上概括出“顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”，“和 高垂直的边叫底”。
8.计算法
通过计算能揭示新概念的本质属性，因此，可以从学生所迅速的计算引 入新概念，如讲“余数”时，可以让学生计算下列各题：
（1）3个人吃 10 个苹果，平均每人吃几个？
（2）23 名同学植 100 棵树，每人平均种几棵？
学生能很容易地列出算式，当计算时，见到余下来的数会不知所措，这 时教师再指出：
（1）题竖式中余下的“1”；（2）题竖式中余下的“8”，都小于除数， 在除法里叫做“余数”。学习新概念的方法很多，但彼此并不是孤立的，就 是同一个内容的学习方法也没有固定的模式，有时需要互相配合才能收到良 好的效果，如也可以这样引入“扇形”概念，让学生把课前带的一把摺扇一 折一折地从小到大展开，引导学生注意观察，然后概括出：
第一，折扇有一个固定的轴；
第二，折扇的“骨”部长。


然后再要求学生在已知圆内作两条半径，使它的夹角为 20°、40°、120 °、⋯⋯引导学生观察所围成的图形与刚才展开的折扇有哪些相似之处，最 后概括出扇形的意义。
数学定义学习的步骤和方法
中学数学教学大纲指出“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前 提”。数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其特征在思维中的反映。 概念是一种思维形式，客观事物通过人的感官形成感觉、知觉，通过大脑加 工——比较、分析、综合、概括—形成概念，建立一个概念，一般是运用由 特殊到一般、由局部到整体的观察方法，遵循由现象到本质，由具体到抽象 的认识规律，按照辨证唯物主义的观点去分析，找出事物的外部联系和内在 的本质，因此概念是培养学生逻辑思维能力的重要内容，概念又是思维的工 具，一切分析、推理、想象都要依据概念和运用概念，所以正确理解概念是 提高学生数学能力的前提，相反地，如果对学习概念重视不够，或是学习方 法不当，既影响对概念的理解和运用，也直接影响着思维能力的发展，就会 表现出思路闭塞、逻辑紊乱的低能。中学数学中的概念多以定义的形式出现， 因此必须有学习定义的正确方法，一般说来，有以下几个环节。


1.从定义的建立过程明确定义
定义是在其形成的实际过程中逐步明朗化的。任何一个定义的产生都有 它的实际过程，学习定义时要想象前人发现定义的过程，从定义形成的过程 中，认识其定义的必要性和合理性，这样可以达到理解定义训练思维的目的。
一个定义的形成，一般地说有四个阶段：
（1）提出问题。提出数学定义的常见方法有以下几种：
①从实例提出。理论的基础是实践，高中数学中大量的定义，如集合、 映射、一一映射、函数、等差数列、等比数列、柱体、锥体等，都是从实例 中归纳总结出来的。
②通过迁移提出。数学的特征之一是它的系统性，因此常常可以从旧知 识过渡迁移而得出新的定义。如球的定义可以从圆的定义迁移而得出；双曲 线的定义可以从椭圆的定义迁移而得出；反三角函数的定义可以从反函数的 定义结合原来的习题迁移而得出等。
③观察图形或实物提出。“形”是数学研究的对象之一。观察函数的图 形可以得出函数的单调性、增减性、奇偶性、周期性等定义，观察空间的直 线与直线、直线与平面、平面和平面的位置关系可以得出异面直线、直线与 平面平行、相交和垂直的定义，平面与平面平行、相交和垂直的定义等。


④从形成的过程提出。数学中有些定义是通过实际操作而得出的，其操 作过程就是定义，这样的定义叫形成性定义，如圆、椭圆的定义，异面直线 所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角等。
（2）探索问题的解答。如果学生了解了一个新定义提出的方法，那么心 理状况必是：对如何定义有迫切的愿望，因而兴趣被激发，积极主动地去思 考得出概念的过程，急切想通过自己冷静的思考去试寻问题的解答。这样既 有利于掌握定义的本质，又能较快地发展逻辑思维能力，提高分析问题和解 决问题的能力。相反地，如果只知是什么，而不知定义得出的过程，那么所 学的知识往往是僵死的，妨碍对定义的灵活运用，能力也得不到应有的提高。
因此应该掌握探索问题解答的正确方法。
①从实例提出的定义，要对所举各例进行分析，去掉其个别的、非本质 的东西，抓住其共同的、本质的东西，抽象概括寻求问题的解答。
②对通过迁移提出的定义，要在对旧知识准确理解与运用的基础上，进 行比较、分析、推理，去寻求问题的解答。
③对观察图形或实物得出的定义，按照观察的目的，运用正确的观察方 法，认真观察，仔细分析，同时还要对正反两方面的图形加以比较，去寻求 问题的解答。


④对于形成性定义，要亲自动手进行实际操作，同时操作的每一步都要 进行认真地分析，找出操作能顺利进行的条件或操作不能进行的原因，写出 使操作能顺利进行的操作过程，去寻求问题的解答。
（3）检验解答的合理性。检验解答的合理性，可以通过实践，也可以利 用已有的知识进行逻辑推理，若发现有不合理的因素，要加以修改或补充， 这样既可加深对定义的理解，又可培养学生严谨的作风。
（4）写出合理的解答，即为定义。
2.剖析定义
（1）明确定义的本质和关键。建立定义以后，要养成剖析定义的习惯， 首先要认真阅读课文，逐字逐句地进行推敲，结合定义形成的过程明确定义 的本质和关键。
例如“二面角的平面角”的定义：
①“在二面的α—l—β的校l上任取一点 O”，是可取的，但位置是多 变的。
②“过 O分别在两个半平面α、β内作棱l的垂线 OA、OB”，由平面几 何知，OA、OB 是可作的且是唯一的，即当 O取定后，∠AOB 是确定的。
③由等角定理可知，∠AOB 的大小与点 O 的位置无关，是二面角本身确 定的。
因此定义的本质是： ∈ ， α， ， ⊥， ⊥ ， O l OA OB OA l OB l ⊂ ⊂ β


与 O在 l上的位置无关，与 OA、OB 得出的方法也无关。这样结合前面所学的 知识，可得出找（或作）二面角的平面角的方法：
①可根据定义作出；
②过空间一点 P，作 l 的垂面分别交α、β于 OA、OB，则∠AOB 就是二 面角α—l—β的平面角；
③可根据三垂线定理或逆定理作出；
④平面图形中如果存在两条互相垂直的直线，若沿其中的一条折成二面 角，则另一条直线被折成的角就是所折的二面角的平面角。
由此可知，棱l垂直于二面角的平面角所在的平面，即l⊥面 AOB。
（2）明确定义的充要性。凡是定义都是充要命题，如直线与平面垂直的 定义“如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个 平面互相垂直”；反过来，“如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线 就垂直于这个平面内的任何一条直线”仍成立，即直线 l 垂直于平面α是 l 垂直于平面α内的任何一条直线的充要条件。又如椭圆的定义“平面内与两 个定点 F1、F2的距离之和等于常数 2a（2a＞｜F1F2｜）的点的轨迹叫椭圆”；
反过来“椭圆上的任意一点到两个定点 F1、F2的距离之和都等于常数 2a”。


再如“若函数 f（x）对于定义域内的每一个值 x，都有 f（—x）=f（x）， 则 f（x）叫做偶函数”；反过来，“如果函数 f（x）是偶函数，那么对于定 义域内的每一个值 x都有 f（—x）=f（x）”等等。
（3）突破定义的难点。对于一个定义，应突破它的难点。如 a＋bi（a、 b∈R）为什么表示一个数，周期函数定义中的“对于函数定义域内的每一个 x 的值”，数列的极限的定义中的“ε”、“Ν”等。都是难以理解的，要 认真思考，设法突破它，如举出实例并与定义相对照。加深对难点的理解， 纠正认识中的错误，以达到准确地理解定义的目的。


（4）明确定义的基本性质。对于一个定义，不仅要掌握其本身，还应掌 握它的一些基本性质。如反函数的定义，不仅明确它的定义，还要掌握求函 数的反函数的方法；熟悉函数的它的反函数的定义域和值域的关系；还应明 确它的互逆性，即 f[f-1（x）]≡x，进而了解若 M（a，b）是函数 y=f（x） 图象上的点，则 M＇（b，a）必是它的反函数 y=f-1（x）的图象上的点；并 掌握函数 y=f（x）的国家和它的反函数 y=f-1（x）的图象关于直线 y=x 对称； 并理解 y=f（x）与 y=f0＇（x）同为增函数，或同为减函数；若 y=f（x）是 奇函数，则 y=f-1（x）也是奇函数，若 y=f（x）是非奇非偶函数，则 y=f-1 （x）也是非奇非偶函数；并且理解偶函数和周期函数都不存在反函数的理 由。这样把定义和它的基本性质结合起来，对思考、分析和解答与定义有关 的问题显然是很有好处的。
（5）逆向分析。人的思维是可逆的。但必须有意识地去培养这种逆向思 维活动的能力。前面说过，定义都是充要命题，但对某些定义还应从多方设 问并思考。如对于正棱锥的概念可提出如下的几个问题，并思考。


①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）
②侧面与底面所成的角相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）
③底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）
④符合以上三条中的两条的棱锥是否一定是正棱锥？（一定）
⑤侧面是全等的等腰三角形的棱锥是否一定是正棱锥？（一定）
（一定的加以证明，不一定的举出反倒。）
3.记忆定义
只有在记忆中能随时再现的知识，才能有助于提高分析问题和解决问题 的能力，因此必须准确记忆定义。至于记忆方法这里不想多谈，只谈谈记忆 定义不应是孤立的。在建立定义时就要开始记忆，在剖析定义时要巩固记忆， 特别要弄清定义的基本结构。因为定义是充要命题，所以一般地说，定义是 由条件和结论两部分构成的。一般的句子形式是“如果⋯，那么⋯”。或“设⋯ 则⋯”。对于逻辑结构复杂的定义，一般地是“设⋯，如果⋯，且⋯，那么⋯。” 如函数的定义“设 f：A→B就是从定义域 A到值域 B上的函数。”这里“设⋯，” 是前提条件，“如果⋯”，是加强条件，“且⋯，”是又加强的条件，总之 这是条件部分，“那么⋯”是结论部分。
4.应用定义


应用定义解答具体问题的过程是培养演绎推理能力的过程。应用定义一 般可分三个阶段：
（1）复习巩固定义阶段。学习一个新定义之后，要进行复习巩固。首先 要认真阅读教材中给出的定义，领会定义的实质，再要举出实例与定义相对 照，加深对定义的理解，然后解答一些直接应用定义的问答题、判断题、选
择题或是推理计算题。一般地，在一个定义的后面紧跟的例题或练习题往往 是为此而安排的，要认真地，严格地按照定义，用准确的数学语言去解答， 且不可马虎草率，对说不出或出现错误的问题，要深究其原因，并在重新阅 读，复习定义的基础上，澄清定义，纠正错误。
（2）章节应用阶段。学完一章以后，要把本章中相近的定义，或是与原 来学过的相近的定义如排列与组合，球冠与球缺，函数与方程等有意识地用 比较的方法，明确它们的区别和联系。或是批判谬误，在批判错误的过程中， 找出错误的根源，以免产生概念间的互相干扰。
另外，要把本章中与某一定义有关的知识加以总结，与这一概念有关的 例题、练习题加以归纳、总结出应用此定义的基本题型。


（3）灵活综合应用定义阶段。学习一个单元之后，由于知识的局限性， 往往很难把某些概念理解透彻，必须到一定的阶段进行这一概念的补课，特 别是数学中具有全局性的重要概念，如算术根及绝对值的概念、函数的概念， 充要条件的概念等，以克服只见树木不见森林的弊病，从而培养分析与综合 能力，训练辨析事物实质的思维能力。
数学命题学习的步骤和方法
正确的命题是刻画概念的性质或揭示概念间的内在联系的。任何一个数 学问题的解决都依赖于定义、定理、公式、性质、法则，因此学好命题是学 好数学的关键。学习命题，要弄清发现命题的过程，重视命题的推导或证明 方法的分析过程，掌握命题的推导或证明方法，在命题的应用上狠下功夫。 克服只重视命题而忽视命题被发现的过程，只重视命题的推导或证明方法而 忽视其分析过程，只重视解题而不重视以下几个环节：
1.猜想命题
（1）了解命题提出的方法。了解数学命题是怎样提出来的，是学习数学 知识，提高数学能力所需要的。积极思维是探索知识的灵魂，而思维是从问 题开始的，因此了解提出命题的途径有利于发展思维的主动性。教材中或教 师讲授新课时，提出问题的方式常见的有以下四种：


①从实际问题提出。理论来源于实践，实际问题本身就具有强大的魅力， 它吸引学生去探索，去追寻。数学中不少命题是根据实际问题发现的，如线 面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，等差数列 的前几项和公式等。
②过渡性提出。由于数学的系统性很强，数学中有不少命题可从旧知识 到新知识的过渡中去猜想而提出问题。如余弦定理可由勾股定理过渡而提 出，倍角、差角的三角函数的公式可从和角的三角函数的公式而提出等。
③反倒式提出。由于某些知识的负迁移作用，学生常常会产生错误的猜 想，甚至想当然地把错误的猜想当作正确的命题使用。为了避免学生的错误。 可用引入反例的方法，提出新的问题。例如，从批判由定理“如果平面α外 的一条直线与平面α内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行”，想 当然地得出“如果平面α外的一条直线与平面α内的一条直线垂直，则这条 直线与平面α垂直”的错误，提出探索线面垂直的判定定理的问题。
④归纳式提出。定理、公式是对客观实际的抽象，要完成这一抽象，常


常用归纳的方法。如幂函数的性质，函数 y＝f（x）的图象和它的反函数 y=f-1 （x）的图象关于直线 y=x 对称的定理，等差数列和等比数列的通项公式，二 项式定理等，都是在观察、分析部分事实的基础上，归纳猜想出来的。
（2）掌握猜想命题的正确方法。问题提出以后，就要积极思维并用正确 的方法去猜想命题。
①从实物提出的命题，要在观察实物的基础上，变实际问题为抽象的数 学问题，抓住本质的东西去猜想命题。
②过渡性引入的命题，要在复习旧知识的基础上，用推理的方法去寻求 命题。
③反例式提出的命题，要在批判错误的东西的同时，改变条件变化方式， 用已有的知识去探索命题。
④归纳式提出命题，要在分析部分事实的基础上，用归纳的思维方法， 抓住它们规律性的东西去猜想一般的结论。
（3）验证猜想命题的正确性。对于猜想的命题，要用具体事例进行验证， 检验猜想的命题是否正确，发现问题及时纠正。
（4）把正确的猜想写成命题。
2.试作证明或推导
学习命题的证明或推导方法有两种，一种是直接阅读教材，按照教材中 给出的解答过程，找出每一步的理论依据及其推算过程，从而弄懂命题的推 证方法。


另一种方法是，不先看书，而是通过认真审理，分析命题的条件和结论， 联想有关的知识，运用分析与综合的方法，理出解决问题的思想，并且试写 解答过程，然后再与教材中的解答方法相对照、比较，进行修改补充，从而 准确掌握命题的证明或推导方法。
两种方法相比较，一般说来，第一种方法便当省力，但不利于培养数学 能力，有时会感到方法来之突然，甚至感到不可琢磨，而且所学到的方法也 往往是僵死的；第二种方法比较费力，但对其推证方法感到自然，印象深刻， 便于灵活运用，更有利的是在学习命题的推证过程中，能较快地提高分析能 力，想象能力，推理能力和解决问题的能力。
3.剖析命题
（1）剖析命题成立的条件或使用范围。在解题中，学生错误地使用定理 或公式的现象屡见不鲜。例如：对于 x2=｜x｜2。因没弄清应用的范围是 x∈ R，而导致在复数中出现 x2=｜z｜2的错误。由此看来，弄清定理或公式的成 立条件和使用范围是非常重要的。
（2）逆向分析。对所学的定理、公式、性质、法则，要从不同的角度， 不同的方面去分析，去思考，可提高解题的正确率，并能促进思维能力的发 展。


对于一个公式，要分析它的多种变形。如 sin2α=2sinαcosα要分析它 的正向 sin2α=2sinαcosα，逆向 2sinαcosα=sin2α；sinαcos
α α 变形 α ； = 1 2 sin2 . sin = = sin cos cos sin sin 2 2 2 2 α α α α α
。
这对于灵活运用公式会很有好处。如求 cos20°cos40°cos80°的值， 虽然方法很多，但使用 α 得出结果 ，也可谓简便的方法。
cos = sin2 2sin
α α 1 8
对于一个定理，应写出它的逆命题，并判断是否成立。正确的要加以证 明，不正确的要举出反例。
4.应用命题
（1）命题内容的应用。学过一个定理公式后，结合课本中的例题、习题， 总结一下它能解决哪些问题，对掌握知识培养能力都是有好处的。如对二项 式定理按照课本的要求，主要可用来：
①求二项技开式，如展开（ ） ，（ ） 等。 1+ 1 x 4 6 2 1 x x −
②求二项展开式的某些特定的项。如常数项，x3项，展开式的第五项， 展开式的前三项，系数绝对值最大的项，中间项，有理项等。


（2）证明方法的应用。命题的证明（或推导）方法往往是很重要的典型 的方法。如二倍角的正弦、余弦公式是在和角的正弦、余弦公式中令α=β而 得到。这种“令”的方法就是数学中很重要的一种方法。其后的和差化 积公式又是在积化和差公式中令α β θ，α β 而导出的。
+ = = ϕ
在解答一个具体题目时，也常常用这种“令”的方法。如，已知α、β
是锐角，且 α ， （α β） ，求 β的值。
cos = 1 3 sin = 1 5 sin
只要在差角的正弦公式中令 x=α，y=α-β，由 sin（x-y）=sinβ很简 便地就能求得。
sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α－β） = = = = 1 1 3 1 1 5 1 3 1 5 2 2 3 2 6 5 1 15 8 3 1 15 8 3 1 15 2 2 ( ) ( ) sin · · · 即 。 β


（3）命题的灵活综合应用。对于一个定理、公式，特别是一些重要的定 理和公式，如三垂线定理、二项式定理、有关曲线的对称的定理[奇（偶）函 数的图象关于坐标原点（y轴）对称的定理，函数 y=f（x）和它的反函数 y=f-1 （x）的图象关于直线 y=x 对称的定理]、三角函数的和差化积与积化和差的 公式、万能置换公式、等差（等比）数列的通项公式和前 n项和公式都不是 一讲就通、一学就透、能灵活运用的，必须在章节复习和以后的学习过程中， 乃至总复习时逐步加以补充完善，才能学得比较好些，才可能达到灵活、综 合运用，因此要注意学习的阶段性和连续性，既不能在低年级时，去做难以 达到的事；也不能在高年级时，不注意原来学习的知识。必须有意识地对低 年级所学的内容，乃至小学、初中学的内容进行复习、加深、拓广，使之达 到综合运用知识的目的。
数学例题学习的步骤和方法
在教材中，每一节继基础知识之后总安排有例题。因此怎样学习例题是
一个值得探讨的问题。


一般说来，例题是典型的具体代表性的题目，例题的解答过程是运用理 论解决具体问题的过程。所以说例题的作用不仅是复习巩固基础知识，而且 能培养学生由一般到特殊的演绎推理能力，反过来又能加深学生对基础知识 的理解。例题的解答方法也往往是典型的重要的方法。学好一个例题往往能 掌握解决一类问题的方法。
然而在学生学习例题时，往往认为例题简单而一看了之，或是机械地记 忆解题过程，这样不仅不能充分发挥例题的作用，而且妨碍了学生解题能力 和思维能力的提高。因此学生要特别重视学习例题的方法。学习例题一般应 掌握以下几个环节：
1.审题
在读题的基础上，了解题意，搞清题目所给的条件，特别是某些隐含条 件，明确题目的要求，画出相应的图形。
这里重点谈谈“隐含”条件问题。因为这是学生解题时常常忽视的问题， 也是导致错误的根源之一，隐含条件一般有以下几种情况。
（1）常用的性质和定义中的特定条件。如二次函数或二次方程中的二次 项系数，零指数的底数，对数中的底数和真数，偶次根式的被开方数，公式 的分母等的隐含条件。


（2）函数的定义域和值域或方程中变量的取值范围如 sinx 的值域， arcsinx 的定义域和值域，ax的值域，x2+y2+2x=0 中 x 和 y 的取值范围等。
（3）几何中特定图形的限制条件。
2.寻求解题思路
（1）联想筛选寻求思路。这是最常用的一种方法。首先根据题目的条件 联想由此而得出的结论，再由此结论联想其它的结论，然后根据题目的要求 联想必需得到什么才能使问题得以解决，并根据图形的特点联想有关的知识 和方法。显然，联想的知识越多，所学的知识越系统、所能寻到的解题方法 也就越灵活，解题的技巧也就越高。因而在联想的过程中可以增强知识的系 统性和综合性。
在联想的基础上要进行筛选，找出能够沟通条件和结论的路线，从而理 清解题思路，弄清解题的方法和步骤。
（2）追溯发现过程，寻求解题思路。课本中有些题目的解题思路不易想 出，其解证方法孕育在发现结论的过程中，数学归纳法部分尤为突出，因此 要追溯得出结论的过程，从而找到解题思路。
3.解答
解题思路明确后，要用严格的格式，准确的数学语言写出题目的解答， 这对于培养学生的数学表达能力是非常必要的。
4.小结


在题目解答完毕后，首先要剖析题目中的各条件的作用。思考去掉或改 变这些条件会引起什么变化，特别是逆向变化，然后对有多种解法的例题， 要把各法加以比较，从中选优，还要注意从解题方法上、运用题目的结论寻 求解题的规律和技巧，对有些例题还应注意随着知识的增加而逐步加深和拓 广。
行之有效时作出小结，这是学习数学不可缺少的一步，但也是往往被人 忽视的。通过总结可使学生准确掌握知识和解题方法。通过一题多解和变题
可培养学生的发散思维能力，使学生得到规律性的方法，达到举一反三，学 一知十的目的。
附：小学书面练习“五步”法
教学练习是为了加深学生对数学知识的理解，形成熟练的技能，发展学 生的思维。为了达此目的，在数学书面练习时采取五步清是行之有效的，即： 一读、二找、三说、四算、五想。
具体做法是，将每个练习题按编排的层次分成若干组，在每组中选有代 表性的习题进行指导，分五步进行。
一读


就是不论什么类型的题目，首先认真读题。读题方式要多样，长题默读， 短题齐读，式题变换方法读，如“95+25”可读成“95 加上 25”，“95 与 25 的和是多少”，“比 95 大 25 的数是多少”。这样就将计算的实际意义揭示 出来了，对于文字题与应用题则要求学生逐步做到读有轻重缓急，关键词语 重读，易忽略的地方拉长声读。另外，对于有些叙述繁琐的题目，则要求学 生能抽其筋骨读，以明晰数量关系。
二找
就是找出式题的计算顺序，简算题的特征，已知条件与要求的问题，混 合运算式题，要求学生在运算符号下面标出计算顺序。简算题可在题目下面 标出表示有关运算定律的字母。应用题的已知条件与要求的问题尽量做到用 图表表示出来，分数应用题、行程问题都要逐步训练用线段图表示出条件与 问题。对于难以用图表表示的题目则要求在已知条件与要求的问题下面画出 不同的线条。
三说


就是说一说自己的解答步骤或解题思路，这是较为困难的一步，在进行 中要注意三点。①从易到难，先可选择与所教学的例题大致相似的题目让学 生模仿地说，再逐步加深难度，适当做些变化。②注意到让所说题目的难度 大小与学生程度的高低合理搭配，以保护、培养差生的积极性，防止优生的 自满。③要鼓励学生多角度地思考问题，提出异议。
四算
就是在计算结束后进行纵横比较，找出题与题之间的异同点，与以前所 学知识的区别与联系，也可结合新课的预习想想所掌握的知识对学习新课的 作用，还可分小组讨论各种计算方法的优劣，分析错误的原因。
数学解题检验十三法
1.量纲法
数学是从客观世界中抽象出来的一门科学，其结果当然也要符合客观物 质世界的实际情况。因此，对于具有明显几何意义或物理意义的解题结果用 量纲检验是一种十分有效的简便方法。
例：在锐角三角形 ABC 中，AB=c，AC=b，∠BAC=α
求证：△ABC 的重心 G到 BC 的距离为
d b b c bc = − + sin ( ) sin β α 2 2 3 4 2


检验 随便这一个长度单位，先看看该式两边与量纲是否相同，若选“米” 为单位，则该式左边的量纲是“米”，而右边的量纲却是“（米）”，说明 所得表达式不正确，可能题目传抄失误。
2.概念法
运用数学的基本知识和基本概念以及人们的生活经验进行快速的估计和 直觉的判断可以检验答案的真实性。
例如果 、 为有理数，且 和 是两个最简三次根式，那么 的有理化因式是什么？
a b a b a b 3 3
3 3 +
解：依题意可知， 的有理化因式是 。
a b a b 3 3 2 3 2 3 + −
检验 “两个含有根式的代数式相乘，如果它们的来积不含根式，就称这 两个代数式互为有理化因式。”这里（ ）（ ）
不是有理式，故题解错误。由于（ ）（ ） ＋ ，故 的有理化因式为 。
a b a b
ab a b b a b a ab b a b a ab b
3 3 2 3 2 3
2 3 2 3
3 3 2 3
3 2 3 3 3 2 3 3 2 3
+ +
+ − + − + + − +
= a -
= a b
3.估算法


利用人们的生活经验所提供的信息进行估计，是简便易行的检验方法。 关于计算人步行速度的应用题中，如呆得到的答案是每小时步行 100 公里， 那么就可以断言，或者是题解有错，或者是命题者不了解普通的生活常识。 一般说来，命题是以客观实物的数量指标为背景的，所以，在通常情况下， 可以断定计算必有错误，需重新检查每一步解答。
4.条件法
解答数学题，关键在于充分利用题设条件，沟通条件与问题或条件与结 论间的逻辑联系，条件检验是从数学题的条件入手，全面检查已知条件是否 充分利用，题解的各个环节与已知条件是否矛盾。
（1）考虑是否利用了所有的已知条件。如果完成了对某个问题的解答， 却又没有用或未用完所给的全部条件，那么必须引起我们警惕和深思。
（2）是否考虑了题中的隐蔽条件。解题中的错误常常来自忽视隐于题设 的背后隐含条件。因此，进行条件检验时，要在观察和分析题中的隐含条件 上多下功夫。
例 如果 k、k＋1、k＋2是钝角三角形的三边，求 k的取值范围。 解：因 k＋2是三角形的最大边，那么它所对的角θ必为钝角。由余弦定 理得，


cos ( ) ( ) ( ) ( ) θ = + + − + + = − + + = − k k k K k k k k k k k 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 1 3 2 0 ＜ 。
解得 0＜k＜3。
检验上面的解答似乎无懈可击，但却是错误的，细察题意，这是一个有 关三角形边长的问题，故蕴含着“任意两边之和大于第三边”的隐蔽条件。
若在 0＜k＜3内取 k=1，则 k=1、k＋1=2、k＋2=3，此三段不可能构成三角形。 略解：设 k＋2所对的角为θ，则 cosθ＜0，k＞0，k＋（k＋1）＞k＋2，
解得 1＜k＜3。
k k k k k 2 2 2 1 2 2 1 0 + + − + + ( ) ( ) ( ) ＜ 。
（3）考虑题解答案与条件是否和谐。任何一个严密的数学问题都应该是 一个有机的整体，其各个部分的关系非常密切，并且表现出一定的和谐性。 因而必须重视条件之间、条件与结论之间配合的和谐性。
5.特例法
一个数学结论的成立必须对其允许的各种可能情况均经判断成立后，才 能确认，因此，要否定一个数学命题，只要举出一个令其不能成立的特例即 可。


特例检验就是从这一思想出发，当我们获得一般性的结论时，用一些适 合题意的简单数值、简化问题、给予特例等代入后的结果也一定正确。否则， 即可断定题解有误。
例将代数式
简化后答案为 ，检验其结果有无错误。
2 1 1 1 1 1
3 2
+ − − + + −
x x x x x x
检验可根据代数式恒等变形的意义，取特殊值检验之。如，令 x=2，则
原式 ，答案为 两者不相一致，可见答案错误。 =
2 + 1 2 -1
2 + 2 2
= 1 2
− + −
=
1 2 1 1
3 3
2 x
6.规律法
看运算结果是否符合客观规律。有些题目在结果中出现与现实生活相矛 盾或违背客观规律的情况。如得出的结论中，人数出现分数或小数，面积、 长度出现负数，时间出现虚数等，有的结果与题目本身有矛盾，如题目给一 个量杯最多能盛 1升水，可计算结果却出现量杯盛水超过 1升的结论。又如 得到三角形内角和超过 180°，求得水的沸点为200℃等等，一般都可以判断 运算出了错误。
7.逆运算法
用逆运算检验，数学中的加与减、乘与除、乘方与开方是互为逆运算的 关系，遇到这一类的运算，可用逆运算反过来再计算一下，看结果与题设是 否相符。


8.推理法
解答数学题的过程，实质上是一系列变形、推理过程，如果各步推理都 有充分的依据，又遵守相应的逻辑规则，那么题解正确，反之，即可判断题 解错误。
推理检验，是从检查题解的推理入手，全面考虑推理依据是否真实，推 理过程是否合乎逻辑。
9.代入法
用所得结论代入原命题进行计算。比如解方程一类的题目，可以把得到 的 x、y的值代入原方程进行计算，看方程两边是否相等。对解恒等式、不等
式一类题目，把结果、允许值范围代入原式看是否符合题设。对解因式分解 的题目可以把得到的因式相乘展开，看是否得到原式，等等。
10.取值法
在推理检验中，我们强调了结合题意，注意充分条件和必要条件在推理 中的关系，即考察问题变换的等价性。然而，解答数学题时，等价变换并非 永远可行。在某些情况下，如解分式方程时去分母、解无理方程时有理化、 解超越方程时变量替换等等，都不得不施行某些非等价变换来促使问题的转 化。但是，非等价变换有可能使解答失真，解方程时的非等价变换可能引入 增解或失解。


取值范围的检验，是从原方程及逐次变形时未知数的可能取值范围入 手，来确定方程增、失解的一种检验方法，这种方法在一般情形下，比直接 代入验根要简便得多。
例解方程 。
1 2 5 17 10 3 2 + − − + = x x x （ ）1
解：方程（ ）两边平方，得 。 （ ） 方程（ ）两边平方，得 （ ） （ ） 方程（ ）两边平方，得 ＋ （ ） ， （ ） 即 。 。
11.对称法
12.数形法
、
1 = 8 2
2 = 2x 64 3 3 5x -17x 10 = 2x 64 4 x + 293x 4086 = 0
2 5 17 10
5 17 10
239 73465 2
2 2
1 2
x x x x
x
− − + − +
∴ = − ±
检验 数字太大，将 x1、x2分别代入原方程检验是很麻烦的，其实，只 须对解题过程作一逻辑分析，注意未知数的可能取值范围便能达到目的。很 明显，（ ） （ ）、（ ） （ ）都是等价变换（两边都不小于 ） ，而因为（ ）的右端 不能肯定是否不小于 ，所以（ ） （ ） 1 2 2 3 0 3 2x 64 0 3 4
⇒ ⇒ ⇒


有增根可能，将 x1、x2分别代入 2x—64，若不小于 0，即为原方程根；若小 于 0，即为增根。此时，x1、x2都是增根，原方程无解。
对称，是数学美的一个基本内容，它反映了数学对象之间内在的联系， 从具有某种对称性的对象推得的结果，也应该具有相应的对称性，否则，就 可以怀疑所得结果的正确性。对称检验，就是利用了这一特性。
例 展开（a＋b＋c）（-a+b＋c）（a-b＋c）（a+b-c），学生作出的答 案繁多，如 （1）-a4＋b4+c4＋2a2b2＋2b2c2+2c2a2；
（2）2（a2b2＋b2c2＋C2a2）-（a4+c4）；
（3）-a4-b4-c4＋2a2b2＋4b2c2+4c2a2；
（4）-a4-b4-c4+2a2b2+2b2c2＋2c2a2
检验 由于所给式子关于 a、b、c 轮换对称，故展开式仍应为轮换对称 式。因此，立即可知答案（1）、（2）和（3）均不具备这一性质，唯有答案
（4）可能正确。
数形结合观点是数学的一个基本观点。数形结合可使我们有可能通过数


量关系的讨论来研究图形性质；另一方面，也可利用几何图形直接地反映函 数或方程中变量之间的关系。数形结合不但可以相互启发、互相补充，也有 互相印证的作用。比如对行程中的追击问题，把表示时间、距离、速度的坐 标画在纸上，三者之间的关系一目了然。
例 在 120°的二西角α-AB-β内一点 P到平面α的距离为 1，到棱 AB 到距离为 。6
求：（1）点 P到另一个平面β的距离；
[（2）点 P到两个平面的垂足间的距离。
学生常将图形画成图 1 的情形，以为点 P 到平面β的距离为垂线 PO 的 长，其垂足为 O。]B 0 D E A A 2 图1


检验由图 可知 ， ，∠ ＜ ，∠
＞ ，则点 到平面β的垂足 应落在半平面β的反 向延展面上，即为图 的情形。
1 PC = 1 PD = 6 PDC = arcsin 6 6 PDO =
2 3 arcsin 6 6 = 2 P O
π π π π π
6 2 3 6 −
13.多解法
“抛两个锚比抛一个锚更安全”，有多种解法比只有一种解法更令人放 心，比如一道题可以用不同的方法、不同的途径解出结果。有的还可以分别 用代数法、几何法、三角法得出结果，这种检验方法不但能准确地检验计算 结果是否正确，还能加强知识间的联系，增强分析问题的能力，特别是当仅 有的一种解法比较冗长、曲折，自己感到把握不大时，最好探求一下其它的 解法，以便相互比较和印证。
例 用 0、1、2、3、4、5六个数字能组成多少没重复数字的六位奇教？ 解：六个数字能组成 P6个六位数，减去其中 0 排首的 P5个；又由于 1、 3、5是六个数字中的一半，于是六位的奇数有（P6-P5）=300（个）。


检验 六个数字能组成 P6个六位数，减去 0、2、4分别排末的各 P5个， 以及减去 0 排首而 1、3、5 分别排末的各 P4个，因此，组成的六位奇数有 P6-3P5-3P4=288（个），仔细比较两种解答，发现原题解错误原因是 1、2、3、 4、5分别排末的六位数是（P5-P4）个，但是 0 排末的六位数却有 P5个，即 比其它数字排末多 P4个，列式时未曾注意到，重复了 P4=12（个）。
最后需要强调指出，有些检验法只能用来进行直觉估计。它的通过并不 能保证题解的正确，如量纲检验、特例检验、对称检验等等。但尽管如此， 这些仍不失为有效的方法。如果把两种或两种以上的检验法结合起来，将收 到相辅相成，事半功倍的效果。
小学生查错习惯培养
培养小学生查错习惯十分重要，一般可运用下面的一些方法，培养学生
的查错习惯。
1.在解题时，步步用概念查错


解题过程中离不开概念，因此，弄清概念是查错的前提，例如，一种农 药，药液与水重量的比是 1∶1000。（1）3克药液要加水多少千克？（2）如 果要配制 8080 千克药水，要用多少千克药液？解这道题时，为了防止可能发 生的计算错误，应要求学生弄清“按比例分配”和“正比例”的联系和区别。
2.题目解错后，应重新审题
弄清已知条件，正确地建立数量关系，从而列出算式。
3.运用一些常见错误，进行判断、选择训练
例如，铺一块地，用边长 0.3 米的方砖需要 576 块，如果改用边长 0.4 米的方砖，需要多少块？解法如下：设需要边长 0.4 米的方砖 x块，0.4×x ＝0.3×576，x=432。此解法对吗？为什么？
4.备一本错题本，吸取平时教训
在平时作业中的一些错例，可摘录在自己的错题本上，并写出产生错误 的原因和纠正的方法，经常这样做可以吸取平时的教训，在以后的学习中避 免或减少错误的产生。


（1）写原因。开始学生写的原因总是“粗心”、“态度不认真”、“上 课没有听，保证以后做好作业”等宽泛空洞近似于检讨书保证书一类的话， 后经指导，要求写具体原因，是什么地方错的，怎么错的，为什么错的等等。 如：
①抄错题，把 2.5 写成 25。
②结果是近似值，应该用≈。
③每天烧煤 3.2 吨，8天烧多少吨列式是 3.2×8，我写成了 8×3.2，是 没有认真审查造成的。
（2）把自己错误的原因归类整理。学生之间相互交流。共同形成做作业 中应注意的几个问题，如做计算题应注意：
①题目有没有抄错？
②计算顺序对不对？数式有没有遗漏？
③计算法则有没有混淆？
④小数点处理是否正确？
⑤是不是近似值？要不要用≈？
上述是五年级学习小数四则混合运算内容时列出的 5点应注意的问题。 针对不同的年级、不同的学习内容，可列出更加贴近具体的注意点。
数学知识记忆十九法


心理学告诉我们，记忆分无意记忆和有意记忆两种。要使记忆对象在大 脑中形成深刻的映象，一般来说要通过反复感知，有些记忆对象，由于有明 显的特征，只要通过一次感知就能记住，经久不忘，这就是无意记忆。有些 记忆对象，由于没有明显特征，即使通过三、五次感知，也很难记住，而且 容易遗忘，这就需要加强有意记忆。
1.口诀记忆法
中学数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以帮助记忆。例如， 根据一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0（a＞0，△＞0）与 ax2＋bx+c＜0（a＞0， △＞0）的解法，可编成乘积或分式不等式的解法口诀：“两大写两旁，两小 写中间”。即两个一次因式之积（或商）大于 0，解答在两根之外；两个一 次因式之积（或商）小于 0，解答在两根之内。当然，使用口诀时，必先将 各个一次因式中 X 的系数化为正数。利用口诀时，必先将各个一次因式中 X 的系数化为正数。利用这一口诀，我们就很容易写出乘积不
等式（ ）·（ ）＞ 的解是 ＜ 或 ＞ ，公式不等式 ＜ 的解是 ＜ ＜ 。这种记忆法对低年级特别适用。
x 3 2x +1 0 x X 3
0 2 x


− + − 1 2 2 3 1 1 3 x x
2.形象记忆法
有些知识，如果能借助图形，可以加强记忆。例如，化函数 y=asinx＋ bcosx（a＞0，b＞0）为一个角的三角函数，可以用 a、b为直角边作
一直角三角形 ，则斜边 ，于是 θ
ABC AB = a + b a = a + b cos .b = 2 2 2 2 θ， 。这样就很容易记忆。又如，利用指 a + b sin y = a + b 2 2 2 2 sin( ) x + θ
数和对数函数的图象，可帮助记忆其性质、定义域和值域；利用三角函数的 图象，可帮助记忆三角函数的性质、符号、定义、值域、增减性、周期性、 被值；利用二次函数的图象，可帮助记忆抛物线的性质——开口、顶点、对 称轴和极值。
3.表格记忆法


有些知识借助表格也能帮助记忆。例如，0°、30°、45°、60°、90 °等特殊角的三角函数值；等差与等比数列的定义、一般形式、通项公式 an、 前 n项的和 sn性质及注意事项；指数与对数函数的定义、图象、定义域、值 域及性质；反三角函数的定义、图象、定义域、主值区间、增减性及有关公 式；最简三角方程的通值公式等等，都可以用表格帮助记忆。有些数学题的 解题方法，也可以用表格化难为易、驭繁为简。例如，用列表法解乘积或分 式不等式，解含绝对值符号的方程或不等式，计算多项式的乘法，求整系数 方程的有理根等等，都是很好的方法，这种记忆法在复习中尤其应该提倡。
4.联想记忆法
对新知识可以联想已牢固记忆的旧知识，用类比的方法来帮助记忆。例 如：高次方程的根与系数的关系，可以类比二次方程的韦达定理来帮助记忆； 一元 n次多项式的因式分解定理可以类比二次三项式因式分解定理来帮助记 忆。有些数学题的解法也可以用联想的方法帮助记忆。例如，联想到实数的 有序性，我们容易写出乘积不等式（2x＋1）（x-3）（x-1）（2x＋5）
＞ 与分式不等式 ＞ 的解都是 ＜ 或 ＜ 或 ＞ 。这只


要把与四个一次因式对应的四根（又叫零点）由小到大排列为 、 、 、 ，这四个根把数轴分为五个区间，在最右一个区间 ＞ 内， （ ） 、 （ ） 、 、 均为正数，因此 ＞ 即为原不
0 0 x 2 5 1 2 x x 3
2 5 1
1 3 x 3 x 2 5
= 2x + 5 2 x 1 2 = 2x +1 2 x -1 x 3 x 3
( )( ) ( )( ) x x x x − + + − 1 2 5
2 1 3 2
等式的一个范围内的解。写出了这个范围的解，其余范围的解就可以每隔一 个区间向前很顺利地写出。可见，将每一个一次因式中 X的系数都化为正数 后，用实数的有序性来解乘积或分式不等式是十分方便的。
5.分类记忆法
遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如 求导公式有 18 个，就可以分成四组来记：（1）常数与幂函数的导数（2个）；
（2）指数与对数函数的导数（4个）；（3）三角函数的导数（6个）；（4） 反三角函数的导数（6个）。求导法则有7个，可分为两组来记：（1）和差、 积、商复合函数的导数（4个）；（2）反函数、隐函数、幂指函数的导数（3 个）。


6.“四多”记忆法
要使记忆对象经久不忘，一般来说要经过多次反复的感知。“四多”即 多看、多听、多读、多写。特别是边读边默写，记忆效果更佳。例如，甲对 某组公式单纯抄写四次，乙对同组公式抄写两次然后默写（默写不出时可看 书）两次，实验证明，乙的记忆效果优于甲。
7.静心记忆法
记忆要从平心静气开始，根据一定的记忆目标，找出适合于自己学习特 点的记忆方法。比如记忆环境的选择就因人而异。有人觉得早晨记忆力好； 有人感到晚上记忆力好；有人习惯于边走边读边记；有人则要在安静的环境 下记忆才好等等。不管选择何种方式记忆，都必须保持“心静”。心静才能 集中注意力记忆，心静才能形成记忆的优势兴奋中心，记忆需从静始！
8.首次记忆法
首次记忆有四种方式：
（1）背诵记忆法。将运算过程和结果在理解的基础上背诵记熟，这种记 忆称为背诵记忆。比如，加法与乘法法则，两数和、差的平方、立方的展开 式等记忆都是背诵记忆。
（2）模型记忆法。有许多数学知识有它具体的模型，我们可以通过模型 来记忆。有些数学知识可有规律的列在图表内，借助于图表来记忆，这些记 忆都称模型记忆。


例如，要记住特角 30°，45°，60°的三角函数值，可以通过两模型来 记忆。
（3）差别记忆法。有些数学知识之间有许多共性，少数异性。要记住它 们，只需记住一个基本的和差异特征，就可以记住其它的了，这种记忆称为 差别记忆。
例如，平行四边形、菱形、矩形和正方形的定义，我们只要记住平行四 边形的定义和它们之间的差异特征就可以了。
平行四 菱形 正方形 边形 矩形
[四边相等 有一角为直角 有一角为直角  →   →   → 
（4）推理记忆法。许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知 识，只需记忆一个，而其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。]1 2 60° 45° 1 1


例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推得它的任 一对角线把它分成两个全等三角形，继而又推得它的对边相等，对角相等， 相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。
9.重复记忆
重复记忆有三种方式。
（1）标志记忆法。在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用 彩笔在下面画上波浪线，在重复记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到 尾逐字逐句的看了，只要看到波浪线，在它的启示下就能重复记忆本章节主 要内容，这种记忆称为标志记忆。
（2）回想记忆法。在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是 通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆，在实际记忆时， 回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。
（3）使用记忆法。在解数学题时，必须用到已记住的知识，使用一次有 关知识就被重复记忆一次，这种记忆称为使用记忆。使用记忆法是积极的记 忆，效果好。
10.理解记忆法


知识的理解是产生记忆的根本条件，对于数学知识特别要通过理解、掌 握它的逻辑结构体系进行记忆。由于数学是建立在逻辑学基础上的一门学 科，它的概念、法则的建立，定理的论证，公式的推导，无不处于一定的逻 辑体系之中，因此，对于数学知识的理解记忆，主要在于弄清数学知识的逻 辑联系，把握它的来龙去脉，只有理解了的东西才能牢固记住它。因此，数 学中的定理、公式、法则，都必须弄通它的来龙去脉，弄懂它们的证明过程， 以便牢固记住它们。
用好这一方法的关键，在于学习要注意理解，这一方法，不仅对于数学 学习，就是对于其它学科的学习都有着广泛的应用。应十分重视。
11.系统记忆法
有位青年总结自己的经验得出：“总结+消化=记忆”。这正是根据系统 记忆法的思想总结出来的。因为系统记忆法，就是按照数学知识的系统性， 把知识进行恰当的比较、分类、条理化，顺理成章，编织成网，这样记住的 就不是零星的知识而是一串，它往往采取列表比较的形式，或抓住主线、内 在联系把重要概念、公式和章节联系串为一个整体。
在学习中，应用系统记忆法来小结，总结整理自己的知识系统，对掌握 知识大有裨益。
12.简化记忆法


根据记忆目标的特点或自身规律，使用适当方法将记忆目标简化，是减 轻记忆负担、提高记忆效率的有效方法。
（1）口诀简化。中学数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以 帮助记忆。例如，根据一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0（a＞0，△＞0）与 ax2 ＋bx＋c＜0（a＞0，△＞0）的解法，可编成乘积或分式不等式的解法口诀： “两大写两旁，两小写中间”。即两个一次因式之积（或商）大于 0，解答 在两根之外；两个一次因式之积（或商）小于 0，解答在两根之内。当然， 使用口诀时，必先将各个一次因式中 x的系数化为正数。利用这一口诀，就
很容易写出乘积不等式（x-3）·（2x+1）＞0的解是 x ＜ 或 ＞ ，分式不等式 ＜ 的解是 ＜ ＜ 。这种记忆法对低 年级特别适用。
1 2 x 3 0 2 x x x + − 2 3 1 1 3
（2）图表简化。有些知识借助表格也能帮助记忆。例如，0°、30°、 45°、60°、90°等特殊角的三角函数值；等差与等比数列的定义、一般形 式、通项公式 an前 n项的和 sn性质及注意事项；指数与对数函数的定义、图


象、定义域、值域及性质；反三解函数的定义，图象、定义域、主值区间、 增减性及有关公式；最简三角方程的通值公式等等，都可以用表格帮助记忆。 有些数学题的解题方法，也可以用表格化难为易、驭繁为简。例如，用列表 法解乘积或分式不等式，计算多项式的乘法，求整系数方程的有理根等等， 都是很好的方法，这种记忆法在复习中尤其应该提倡。
（3）目标简化。筛选出记忆目标中具有代表性的部分，用以取代记忆目 标的整体，是简化记忆的又一常用方法。三角函数的积化和差与和差化积公 式各有四个，可利用两角和与差的正余弦公式，由一组中的四个导出另一组 中的四个，因而可着重记忆积化的差公式即可。
（4）取名简化。给记忆目标取一个形象的名字，可顾名释义，记起这个 记忆目标。例如，对不等式｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜，针对其 特征，设某三角形的三边之长分别为｜a｜、｜b｜、｜a±b｜，由于三角形 的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）满足这个不等式， 故给其取名为“三角形不等式”。


（5）转换简化。把复杂难记的记忆目标甲，转换为简单易记或早已熟记 的事物乙，把乙连同甲与乙相互转换的方法，作为新的记忆目标记忆。当需 用甲时，大脑会同时再现出甲、乙及甲与乙的转换方法，此时甲往往是模糊 的，而乙却是清晰的，转换乙便得到了清晰的甲，如万能公式，可利用图所 示的 Rt△的边角关系记忆：
sin cos ( ) α α α α = + = − + = − = 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 t t t t tg t t t tg 、 其中 。
13.联合记忆
把具有相关意义的两个或两个以上的记忆目标，联合在一起记忆，往往 比孤立地记忆其中一个还要容易，这是因为，利用它们的相关意义由此及彼 地联想，经过相互印证、相互补充，必然能收到事半功倍的记记效果。
（1）近似联合。把音、义、式、形等方面具有一定相似之处的几个记忆 目标联合在一起。如把同次根式与同类根式的定义联合在一起；把全等三角 形 与 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 联 合 在 一 起 ； 把 S a b h s c c h S c c l 梯形
棱台侧
圆台侧 、 及


联合在一起；把 = + = + = + 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ') ' ( ')
椭圆与双曲线的有关知识联合在一起；把函数 f（x＋k）与 f（x）的图 象之间的关系、三角中 （ ）与 两图象之间的关系，以及 y = sin x + y = sinx ϕ
解析几何中 F（x＋k，y＋h）=0 与 F（x，y）=0 两曲线之间的关系联合在一
起。
（2）反正联合。把具有某种相反意义的两个记忆目标联合在一起。如把 查对数表的方法与查反对数表的方法联合在一起；把充分条件的定义与必要 条件的定义联合在一起；把三垂线定理与其逆定理联合在一起等。
（3）递进联合。把具有从属关系的几个概念，或具有因果关系的几个定 理（公式）连同它们的先后顺序联合在一起记忆，不仅可由前者推出后者， 而且也可由后者感知前者。如把对应、映射、一一映射、逆映射等概念联合 在一起；把棱柱、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体等几何体的定义联合在 一起；把两角和的正余弦公式、二倍角公式、半角公式等联合在一起等等。
14.意趣记忆


有意义的和感兴趣的事物容易记住，这是每个有记忆力的人的共同感 受，把平淡、枯燥的记忆目标意趣化，例如，利用谐音或者生动形象的比喻 等，都是强化记忆的有效方法。
15.对比记忆法
是将一些相似的数学材料，列出它们的相同或相异点来比较的记忆方 法。例如平面与空间图形的性质，等差数列与等比数列的特征，微分与积分 定义、公式、微分方程所描述的不同的物理模型、相似或相互对立的一些概 念等等，应用对比记忆法都可收到良好的记忆效果。
16.逻辑记忆法
按照知识的顺序、层次、系统列出某单元知识结构图，根据知识结构图 逐步分层记忆，可提高记忆的效率。例如，三角函数的和差角公式，倍角与 半角公式，和积互换公式，就可按证明过程的逻辑先后顺序列出公式结构图 帮助记忆；同角的三角函数间的关系（俗称八大公式）可根据三角函数线利 用单位圆来帮助记忆；三角形的各种面积公式可按下面的逻辑顺序记忆：
式中 ， ， 分别为内切圆、外接圆半径。
s = a + b + c 2 r R
17.交替记忆法
即是把不同的学习内容、不同的学科互相交替记忆；把学习和休息、学 习和体育锻炼互相交替。这样，可以提高大脑的记忆力。
18.分布记忆法


在理科和数学的学习中，也可移植丰子恺先生的“二十二遍读书法”： 第一天读十遍，第二天、第三天各读五遍，第四天读二遍。这样的记忆，大
脑细胞可以得到适当的休息，用脑比较省力，既符合加强首次感知的规律， 又符合记忆保持的规律。反之，老是重复同一材料，单调的刺激，容易引起 大脑皮层的保护性抑制，使记忆力衰降。
19.循环记忆法
即是将要记忆的材料分成若干组，当记后几组时，要有规律地复习记忆 前面的几组。也可用此方法于自学读书。当阅读一本数学书时，先读第一章 并记忆其中的一些主要结果；在读第二章以后的书时，应分别简要地复读前 一章书中的主要结果；读一章书也一样，应在读后节内容之前，复读一下以 前各节的主要内容。这样的循环记忆，实则是在强化识记的痕迹，利于记忆 的保持，自然可收到深刻记忆的效果。
数学公式的记忆步骤和方法
1.弄清公式结构
例 二项展开式为：
（a＋b）n = C C a b C a b + C ab C b n 0 n 1 n -1 n 2 n-2 2 n n-1 n-1 n n n ＋ ＋ ⋯＋ ＋ 。


对公式右边作如下分析：（1）共有（n＋1）项，全带正号；（2）每项 由三部分的积组成，呈 Cab 的形式；（3）a的指数从高到低（n到 0）；（4） b的指数从低到高（0到 n）；（5）C的下标恒为 n，上示从低到高，明白以 上五点后，学生即可逐步写出这个公式。开始可能慢了些，但熟练后，即可 直接写出二项展开式。
2.赋予一个名称，或使用一个记号
有时候，为了加深对某个公式的印象，可以自己赋予某一公式的部件以 一个合适的名称，也可以使用一个恰当的记号。经过这种刺激，反而使学生 记住这一公式。
例如，点（x0，y0）到直线 Ax＋By＋C=0 的距离 d由下公式计算：
d = | | Ax By C A B 0 0 2 2 + + +
此外，分子容易记住：把点代入直线方程一般式的左边后，再取绝对值。 但分母可能要忘却，我们称 为（该直线方程的）法化因子。由于
A B 2 2 +
此名称关系，学生就会记住：还要除以一个叫法化因子的东西——而这正是 我们的目的。
当然，名称也并非胡撰的。事实上，直线方程在化为法线方程时，确实 需要除以 ，故称其为法化因子。
A B 2 2 +


数学上有些公式，或是不常用到，或是重要性相对来说较为次要。这些 公式，不必一定全部记住，只要记住其大概的推导方向，或推导方法。直到 要用时，临时推导一下即可。
例如，万能公式中的一个cosα
α α =
− − + 1 2 1 2 2 2 tg tg
只要记住目的即可： α用 来表示，于是有： α cos tg 2 cos = cos s
in
2 2
α α α
2 2
= − + = − + cos sin cos sin 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 α α α α α α tg tg
4.利用图表
某些公式，可以制成一个图或一个表，借此，可较为轻松地记住这些公 式。
例如，初学“同角三角函数间关系”对其中关系式可能较难记忆，右图 可以协助记忆：
①对角线上两个三角函数乘积为 1。
如 sinα·cscα＝1。
②带阴影的三角形中，上面两个顶点上的值的平方和等于下面顶点上的 值的平方。
如 sin2a＋cos2α=1。
③六角形任一顶点上的函数值等于与它相邻的二个顶点函数值的乘积。 如 sisα=tgα·cosα。
5.代入特殊值
例如，对某学生来说，正弦函数的三倍角公式是甲？还是乙？


甲：sin3α=3sinα-4sin3α， 乙：sin3α=4sin3α-3sinα.
他记不准了（主要该生把它与 cos3α的公式混淆起来了）。这好办，令
α °，从甲得 × × ，真，而乙为 ，不对，故认定甲 = 30 1 = 3 4 = 1 1= -1 1 2 1 8
成立。
这里特别要注意，特殊值必须选好，要能区分，又要易于计算。如选α =60°，则无从区分。
6.编制口决
有时候，为了记住某个公式，或为了正确地使用公式，可以根据公式的 特点编制一些口诀，运用口诀就可以较方便地解决这种记忆。
例：三角学中有所谓诱导公式，它由 54 个公式组成。如果记住这 54 个 公式，脍炙人口的口诀“奇变偶不变，符号看象限”就完全解决了这一问题。
7.记住一般的公式。
[有些公式，是更一般公式的特例。因此，单独记住它是不妥的。这似乎 是“就事论事”。更主要的是，没能更深刻地揭示事物的本质，故还不如记 住一般的公式为好。
例如，球缺的体积公式为：]sina ctg0 1


记住它，不如记住“球台 ”的体积公式： 。
V h r h v r r r h
= + = + +
π π
6 3 6 3 3
2 2
1 2 2 2 2
( )
( )
（所谓“球台”是在一个球缺上取下一个球缺后所成的几何体，但二球 缺底面要平行）。
理由是简单的，球缺可以看作是球台的特例（r2=0）。由球缺的体积公
式去推出球台的体积公式是锻炼学生智力的一个极好的练习。
8.推广公式的意义或使用范围
推广公式的意义，实际上是多记住了一些公式，推广公式的使用范围， 有助于减少记忆公式的个数。
9.用一句话，一种说法记住公式，或公式的关键部分，或公式的作用 例如，一平面图形面积为 S，该图形所在平面与某平面 M 成α角。该图 形在 M上射影面积为 S＇，则有 S＇=Scosα。这个立体几何中颇为有用的公 式，请勿记为 S=S＇cosα。这只要记住以下简单事实即可：在雨中一块木板 所能挡住地面不遭受雨淋的面积决不大于木板本身面积。
10.结尾
初等数学本身也在追求容易记忆的公式。


初等数学中有许多公式，依靠数学手段，数学工具的发展，可以将原来 较为复杂难于记忆的公式变为简单易记或较为统一的公式。从此意义上讲， 初等数学本身也在追求容易记忆的公式。
例如，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程如下：
x a y b x a y b y px 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 + = − = = ， ， 。
如果说前二公式很有相似之处，那么后一公式实在与前二公式大不一 样，但在引进“极坐标”种方法后，三者方程居然可以统一为：
ρ θ = − ep e 1 cos
。
这才深刻地揭示了圆锥曲线本质。从我们现在角度来说：这是一个值得 记忆的公式，记住一个，等于记住了三个。
数学复习的常规方法
复习是学习的重要环节，它对学生牢固掌握所学知识，形成技能技巧， 养成良好的学习习惯具有很大的作用。
1.日常复习


日常复习是复习体系中最重要的环节，通常是在学习新知后的当天中午 或晚上进行。一般有五个环节。一想：先把当天所学内容在脑海里“过”一 遍，想一想，今天主要学习了什么？老师是怎样讲的？二看：看课本中所学 的全部内容，包括例题、图表、公式及法则的推导过程和结语等。三思：思 考题，弄清知识的来龙去脉，将所学知识消化、吸收。四记：在理解的基础 上，把需要牢固掌握的概念、法则、定律、公式等知识进行记忆，防止遗忘。 五练：完成作业，巩固新知。
2.单元复习
一个单元学完后要进行系统复习。单元复习的方法一般有四种。
（1）小结法。将一个单元所学的数学知识，根据自己的理解，写出本单 元的重点、难点和注意点，以便理清数学知识的脉络，抓住重点，做到胸中 有数。
例如，圆的周长和面积单元：
重点：圆的周长和面积的计算。
难点：圆的面积和扇形面积公式的推导。
注意点：
①概念条件不能少。
②计算圆的周长用长度单位，计算圆的面积和扇形面积用面积单位。 ③在计算时，圆周率π取 3.14，但并不就等于 3.14。
④扇形是圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形。


（2）比较法。将某一单元中出现的既有联系又有区别的概念、法则、解 题方法及应用题用图表形式列举出来，找出它们之间的内在联系和本质区 别，从而更牢固、更准确地理解和掌握数学知识。比和比例中的求比值与化 简比、比和比例、正比例与反比例等概念及正比例应用题及反比例应用题就 可用比较法进行复习。
（3）提纲挈领法。将某一单元的主要内容，根据课本目录和自己的理解， 整理好复习提纲，使学生对本单元的学习内容做到心中有数，一目了然。
例如，分数的意义和性质：
①分数的意义（略）
②分数的种类 真分数＜ 假分数≥ 带分数＞ 1 1 1
    
③分数的基本性质（略） ④约分 什么是约分（略）
约分的方法（略）
  
⑤通公 什么是通分（略）
通分的根据：分数的基本性质 通分的方法（略）
分数的大小比较 同分母
同分子
异分母、异分子
⑥分数和小数的互化 小数化分数
分数化小数
    
     
      
（4）知识点提要法。将某一单元所学的数学知识用图表形式简明扼要地 归纳出来，从而沟通联系，形成网络， 3.总复习


总复习包括期中、期末和毕业复习。学习通过总复习可以更系统、更熟 练地掌握数学知识和一些解题方法、为期中、期末或毕业考试作准备。总复 习的方法一般有以下四种。
（1）系统归类法。将某一部分的数学知识，按一定标准，以图表形式系 统整理，合理归类。这样不但能弄清数学知识的纵横内在的联系，而且能使 学生更系统、更牢固地掌握某一部分数学知识的主要内容。
（2）提问法。让同座或相邻的两个同学根据某一部分复习内容互相提出 问题，如概念、法则、定律、公式等让对方回答，发现问题及时补救。这样 既能增强记忆，又能培养学生空间想象能力和语言表达能力。
（3）讨论法。在复习过程中，组织几个同学，就某一数学问题展开讨论， 讨论时要求学生积极动脑，各抒己见，做到敢问、敢想、敢说。这样不但能 充分调动学生学习的积极性，而且能增强学生的理解能力，发展学生的思维 能力。


（4）检测法。就某一部分复习内容或全学年所学知识，自由组合，每人 设计一份试卷交换检测。做完后由制卷人认真批阅评分，最后再交换意见， 指出对方存在的问题，自己分析错误原因，并及时订正和补救。这样既培养 了学生对知识的融汇贯通能力，又能使学生及时发现自己在学习中存在的问 题，起到查漏补缺的作用。
教材复习六法
认真、深入地钻研教材中的例题和习题，是搞好复习的根本。这是因为： 第一，课本上的例题和习题和所学的数学知识紧密相联；第二，课本中的例 题和习题是经过编者认真编选出来的，是很典型的；第三，重视课本中的例 题和习题，能引导学生重视教材，真正做到在复习时“以纲为纲”、“以本 为本”；第四，通过对例题与习题的挖掘，可以培养发现和创造能力。
1.充分认识公式变式的构形特征
例如，复习等差数列的公式： an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）；
S = 1 2 n a + a = n a n n 1 n 1 a 1+n （ ） · （ 为奇数）；
（ ）
S na n n d dn a d n n = + − = + − 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) 。


从公式的构形可见，（1）等差数列的通项公式是 n的一次函数，斜率为 d，d＞0递增，d＜0递减；（2）Sn可用等差中项表示；（3）Sn
是缺常数项的二次函数（ ≠ ），若 ＜ ，当取 时， 最大，此 d 0 d 0 n = [1d ] Sn a1
此时 n＇满足 an＇＞0且 an＇＋1＜0
例 等差数列｛an｝中 a3=12，S12＞0，S13＜0，问 S1，S2，⋯，S12中哪 一项最大。
分析一：由 · （ ＋ ）＜ ＜ 。
S = 13 a = 13 12 4d 0 d 3 13 7 ⇒


S d d 12 0 24 7 24 7 3 0 ＞ ＞ ， ∴ ＜ ＜ ＜ 。 ⇒ − − − 0 故当 ＇ 时 最大，而 ＜ ＜ ＇ ＜ ， 故 最大。 n = [1a d ] = [312 d ] S 5.5 a d n = [312 d ] 7 1 n 1 6 分析二：因 ＜ ＜ ＜ ，故设 最大，则 ＞ ， ＜ ， ＞ ， ＜ ＜ ＜ 。 再由 ＜ ＜ ， ＞ ＞ 。 ∴ ＜ ＜ ＜ ＜ ， 24 7 d 3 0 S S 0 6 S 0 5 1 13 12 a a a pd d a pd a d p a d a d a d a d p a d 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 2 5 1 2 1 7 +    ⇒ + − +    ⇒ − − ⇒ ⇒ − −
x
∴ 最大。 S 6
2.熟练掌握课本中基本题型
复习时，应对课本中的常见基本题型、一般规律及一般解法达到熟练掌 握，并注意基本题型的变形与演化，以及其特殊或一般的情况。在复习中， 将与之相近的、相似的、或相关的各类题目，都联系原基本题型、从而达到 举一反三、触类旁通的能力。


例如，在△ABC 中求证 tgA＋tgB＋tgC=tgAtgBtgC（证明略）。
这类题型的一般规律是：在 A＋B＋C=π的条件下，研究A、B、C的正（或 余）切的和、差与积的关系，一般解法是应用诱导公式，看下列各题：
（1）求证：tg40°＋tg60°＋tg80°=tg40°tg60°tg80°；
（2）设 A+B+C=π，求证： tgnA＋tgnB+tgnC=tgnAtgnBtgnC（n∈Ｎ）；
（3）设 A＋B＋C=π，求证： tg A tg ctg B ctg C ctg A ctg B ctg C 2 2 2 2 2 2 + + = ；
（4）设 A＋B＋C=π，求证： ctg A ctg B ctg C ctg A ctb B ctg C 2 2 2 2 2 2 + + = ；
（5）求证：tg3θ-tg2θ-tgθ=tg3tg2θtgθ；
（6）求证： tg tg tg tg 20 40 3 20 40 3 ° ° ° ° 。 + + =
易知，其中（1）是例 1的特殊情况；（2）是例 1的一个推广；（3）、 （4）、（5）、（6）与例 1相近或相关，其证法也与例 1的证法类似。


3.旧题新解
变陈题为新题的意义，主要在于挖掘命题与解题的思路原由，更深刻地 理解题目的本质，从而能更好地培养学生的思维能力。本文就变陈题为新题
的一些技巧，作一些初步探讨。
（1）通式赋值法。运用从一般到特殊的思维方法，将一些已证明但并非 公式的结论，赋于特殊值，使陈题降低了难度，用于掌握原结论的证明方法。
陈题：求证：logn（n-1）logn（n＋1）＜1。
变题：求证：log19911990·log19911992＜1。
陈题：△ABC 中，求证；cosA＋cosB＋cosC = 1+ 4sin 1 2 Asin 1 2 Bsin 1 2 C。
变题：求证： °＋ ° ° °。
sin50 cos80 1 2 = 2sin20 sin40
（2）因果倒置法。将陈题的条件和结论加以交换，新命题真假都有，选 择其真命题，常常可以加大题目的难度。
陈题：一圆的极坐标方程是 θ θ，θ∈ ， π）， P = 5cos 5 3sin [0 2
求该圆圆心的极坐标。
变题：极坐标方程ρ=acosθ-bsinθ（0＜a＜b）是一个圆，圆心坐标为 （5，5π/3），圆的直径为 10，求 a、b的值。


（3）引深变形法。变更陈题的条件或所求，引进一些其它知识，使题目 相对复杂化，成为综合题。
陈题：一个圆锥的轴截面面积为 S，过两条母线所作截面面积的最大值 为 ，求它的底圆的面积。 2 3 3S
变题：一个圆锥的轴截面面积为 S，过两条母线所作截面面积的最大值 为 ，求有最大截面积的截面与轴截面所成的二面角。 2 3 3S
（4）迁移联想法。此法特点是：对陈题的叙述方式作较大变动，但不改 其原意；或者变更其对象而不变其方法。
陈题：求正四面体两条高所成的角。
变题：自空间一点 O引出四条射线，使它们之间两两所成的角都相等， 求这角的大小。
陈题：设点 P 到原点的距离为 a，到点 A（0，-3）的距离为 b，到点 B （-3，0）的距离为 c，且满足 b=2a=c，求 a。一变题：已知复数 z满足｜z-3i｜ =2｜z｜=｜z+3｜，求｜z｜。
（5）结论逆返法。改变陈题的结论，模仿陈题的求解过程进行逆推，从 而得到新的已知条件。
陈题：不查表求 ctg70°+4cos70°的值。
本题结果为 。欲使另一题结果为 ，则有 ° ° °


3 3 3 = 2cos30 cos80 / sin10 =（-cos110°-cos50°）/sin10° =（-2cos60°cos110°-sin40°）/sin10° =（cos10°-2sin40°）/sin10°
=ctg10°-8cos10°cos20°。故得。 变题：不查表求
ctg10°-8cos10°cos20°的值。
（6）中途替换法。一些陈题解法中，中途有一个推理转折的关键式子， 模仿此式进行替换，便可得到条件类同的新题。 陈题：数列｛an｝中，a1=1，an=3an-1＋2（n≥2），求数列的通项公式
an。
本题解法中，常将 an=3an-1＋2变为 an+1=3（an-1+1）的形式，从而归
结为等比数列 求解。若令 进行交换，整理后得到。
b = 3b b = 1 a -1 n n-1 n n
变题：数列｛an｝中，a1=1，3an+2anan-1-an=0（n≥2，且 an≠0），求
数列的通项公式 an。
（7）归纳推进法。有的陈题，不断改变已知条件的数字，经过几个特例 的研究，归纳出一般性结论，由此演变出的新题，更具有抽象和完美的特点。


陈题：△ABC 中，∠C=90°，｜AC｜=｜BC｜，D 为 BC 中点，E 点在 AB 上，且｜AE｜=2｜BE｜，求证：AD⊥CE。
变动此题中的 D、E两点，但始终保持 AD⊥CE，情形如下：若｜BD｜=2｜ DC｜，则｜AE｜=3｜BE｜；若｜BD｜=3｜DC｜，则｜AE｜=4｜BE｜；⋯⋯很 快发现。
｜BD｜=n｜DC｜，则｜AE｜=（n+1）｜BE｜。此结论中的 n是自然数， 能否扩大这个数集？很快又能发现：去掉绝对值符号，引进有向线段的概念， 本题可推进为
变题 1：△ABC 是等腰直角三角形，C是直角顶点，D点在直线 BC 上，E 点在直线 AB 上，且满足 BD=n·DC，AE=（n＋1）·EB（n∈R 且 n≠-1，n≠ -2）， 求证：AD⊥CE。
如果限定 D 点在线段 BC 上，E点在线段 AB 上，但将等腰条件换成一直 角边为另一直角边的 k（k＞0）倍，又可得到
变题 2：△ABC 中，∠C=90°，｜AC｜=k｜BC｜，D、E两点分别在 BC 和 AB 上，且满足｜BC｜=n｜DC｜，｜AE｜=k2n｜EB｜，（k和 n都是正的常数）。
求证：AD⊥CE。


在日常教学中，变求证为化简（或求值或猜想）；变图形为式子；变方 程为不等式等等都是常用的陈题改造技巧，在此不一一赘述。其目的在于使 陈题换新貌，使学生产生新鲜感，从而提高学习兴趣。
4.研究教材中题的多种解法
一题多解的训练是数学复习的重要方面，是培养学生求异思维（有时也 叫做发散性思维）能力的好方法，求异思维富于联想，思维宽阔，善于分解 组合，引申推广。
例 设 A1、A2是一个圆的直径的两个端点，P1P2是与 A1A2垂直的弦、求
直线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程。
此题除用交轨法外，另有三种解法：
略解一：建立直角坐标系，如图，设 P1（rcosa，rsina），P2（rcosa， -rsina），A1（-r，0），A2（r，0），则直线 A1P1方程为 y=[sina/（cosa ＋1）]（x＋r），直线 A2P2方程为
y=[-sina/（cosa-1）]（x-r），此二万程相乘得。x2-y2=r2。
注意到由于 P1、P2可以互换，故得A1P1与 A2P2两直线方程可以与上面所 得之相应的方程不同，但最终结果是一致的。
最后得到所求的轨迹是等轴的双曲线 x2-y2=r2。


略解二：设 P1（x0，y0），则 P2（x0，-y0），令 A1P1与 A2P2相交于 P（x， y），因 kA1P·kP1A2=-1，又因kA1P=y/（x+r），kA2P=y/（xr）故有x2-y2=r2。
注意到由于 P1P2的位置变化使 kA1P 等可能与上面值不同，但最终结果都 是 x2-y2=r2。
略解三：设∠pA1A2=θ，则 90°-θ=∠A1P1P2=∠A1A2P2=∠PA2x。知 kPA1 ＝igθ，kPA2=tg（90°=θ）＝ctgθ. 于是
直线 A1P1的方程为 y=tgθ·（x＋r）， 直线 A1P2的万程为 y=ctgθ·（x-r）， 此二方程相乘，得 x2-y2=r2
还要注意由P1P2的位置变化引起kA1等的变化，但最终结果仍是x2-y2=r2
5.提炼数学思想
例如复习
x y x y x y = =    ⇔ + = + =    cos sin cos sin | | | | θ θ θ θ 2 2 2 2 1 1 1 ≤ ， ≤


这个简单的课本知识表明：（1）如果定义域为[-1，1]，则可设 x=sin θ（或 cosθ），而使关于 x的代数问题转化为关于 sinθ，cosθ的三角函 数问题。像这样的思想，称转化思。（2）关于 sinθ，cosθ的一次（或二 次）方程，若令 x=cosθ，y=sinθ，则变为直线与二次曲线的几何问题，又 根据其几何性质结合代数方法去解决，象这样的思想称数形结合思想。
例求 ＋ ＋ 的值域。
分析一：因定义域为｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ，故可设 θ，
∈ ， ，则 ＝ ＋ θ＋ θ ＋ （θ＋ ）（ ≤θ≤ ）。
∴ ∈ ， 。
y = 1 x x x = 2sin
[2 2 ] y 1 sin cos = 1 2sin -
y [1+ 2 3] 2
2 2
2 2 4 2 2
2 − ⇔
x x l π π π π π
分析二：因（ ） ＋（ ） （ ） ＋（ ）
。故可设 θ， θ，则 ＋ （ θ＋ θ）， 下与分析一同。 x = 2 =
1 x = 2sin = cos y = 1 sin cos
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
− ⇒ − −
x x x x
6.研究教材中题目的变形与推广


例 已知三角形顶点是 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），求△ABC 的重心 G的坐标（x，y）。
解法略，答 G（（x1＋x2＋x3）/3，（y1+y2＋y3）/3）。
下面深入研究此题，先考虑三角形的重心，除其几何性质外还有什么代 数性质？经过研究得到：三角形内存在一点，它到三个顶点的距离平方和最 小，这一点就是三角形的重心。
下面证明这个性质。设点 P（x，y）到 A，B，C 的距离平方和最小，然 后证明
x=（x1+x2+x3）/3，y=（y1＋y2+y3）/3 ｜PA｜2+｜PB｜2+｜PC｜2=（x-x1）2+（y-y1）2 +（x-x2）2+（y-y2）+（x-x3）2＋（y-y3）2 = 3x 2 x + x + x x + x + x + x + 3y 2 y + y y y + y + y + y 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 2 （ ） （ ＋ ） 。


因 x1，x2，x3，y1，y2，y3为定值，故上式最小时，必须3x2-2（x1+x2+x3） x 最小，而且 3y2-2（y1＋y2＋y3）y 也最小，易知必须 x=（x1＋x2+x3）/3， y=（y1＋y2+y3）/3。
以上证明了我们要证明的结论。
上面的结果还可以推广到 n边形中去：在 n边形内，到它的几个顶点距 离平方和最小的点是这个 n边形的重心。
证明：用复数法来证。把这个 n边形放在复平面中，取这个 n边形的重 心为坐标原点。设 n个顶点对应的复数分别为 z1、z2、⋯⋯、zn。因 n 边形 的重心坐标原点，也就是复数 0，故有 z1+z2⋯⋯＋zn=0。
设 n边形内任意一点对应的复数为 z，则这点与 n个顶点距离平方和为


D=｜z-z1｜2+｜z-z2｜2+⋯+｜z-zn｜2 而｜ ｜ （ ）（ ） （ ， ，⋯， ）， 故 。 z z = z z z z =|z| k = 1 2 n D = n|z| k 2 k k 2 2 + − − + − − = + = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ | | | | | | | | z zz zz z z z z z n z z k k k k k n k k n k k n k k n 2 2 1 1 1 2 2 1
因 是常数，故使 最小时，只有 。 D z = 0 = ∑ | |
z k k n 2 1
到此，对于这一例题的研究似乎讨论完了，但是，注意到前面证明中的 式子
D = m|z|2 + = ∑ | |z k k n 2 1
可知，只要｜zp｜=｜zp＇｜就一定有 Dp=Dp＇从而得到：
①平面上任意一个n边形，用G表示它的几何重心，那么以G为圆心的 圆 周上的每一点，到 n个顶点距离平方和是一定值。
②平面上任一正 n边形的处接圆上任意一点到此正 n边形每个顶点距离 平方和为定值。
附：学生复习十二技


为了让学生牢固地、全面系统地掌握教学知识，不仅要指导学生复习知 识，更重要的是要教给学生一些正确的复习方法。
1.温习课文
课本是复习的重要依据。要让学生温习课文，也可以让学生相互交流阅 读课本的方法。对课文中的说明部分和结语，要字字推敲，不能粗心放过。 如“只有一组对边平行的四边形叫做梯形”，这句话中“只”字不能少，少 了这个“只”字，变成“有一组对边平行四边形”，那就不一定是梯形了。
2.说理例证
对于重要的教学知识要求学生结合具体例证加以说明，以加深对知识的 理解，提高运用知识的能力。如一个三角形，如果你知道它一个角的大小， 你能知道它是锐角三角形、钝角三角形或直角三角形吗？要求学生学会分析 说理、例证。已知的角可能有三种情况：①钝角，②直角，③锐角。如系① 或②两种情况，则可断定这个三角形是钝角三角形或直角三角形，而如果已 知的角是锐角，那么就难以断定这个三角形是怎样的三角形。
3.阅读批注


学完一部分内容，教师应让学生自觉地阅读课本，重点章节及复读，边 读边对重点语句加上圈点或记号，有时还可根据自己对课文的理解补充一些 批语、注解。如阅读“圆柱的体积”一节的例 2，课本用的是叙述法：“1 立方分米的水重 1公斤，所以这个水桶大约能装 28 公斤水。”在此，可以加 如下批注：“1×28=28（公斤），28 个一公斤就是 28 公斤。”这样批注， 一方面从运算的角度加深了对例题答案的理解；另一方面，对以后碰到与水 的比重不同的物质的计算问题就容易了。
就是把若干既有区别又有联系的知识放在一起进行对比复习。小结其异 同点，抓住本质特征。如将比的基本性质，小数的基本性质，分数的基本性 质与商不变的规律对比，将除法、分数与比的意义对比。
5.提问追踪
就是让学生自己给自己提出问题，自己解答。解答了一个问题，接着再 设计一个问题，一个接一个地追踪下去。碰到困难，再去读书求师找答案。 这有利于弄清知识的来龙去脉。如，复习数的整除时，可问“整除与除尽有 何异同？”“零除以一个不为零的数叫整除？还是叫除尽？”“12 能被整除， 12 能整除；这两种说法确切吗？”
6.歌诀概括


有些内容可编成顺口溜，让学生熟读成诵，帮助学习复习记忆。如，公 市制长度单位、面积单位、体积单位的换算率分别是“三、九、二十七”。
7.图像表格
运用图像表格的方法对数学知识进行总结复习，数形结合，有利于将知 识条理化和形象化，便于记忆，利用巩固。如通过数轴上标出数的对应点， 可将自然数、整数、小数、分数、百分数的概念与形结合起来。这就显得形 象、直观。
8.回忆再现
在复习时，采取系统回忆的办法，对知识进行“盘底”，从而对症下药， 及时补偿；回忆时可采取静思、复述、背诵和默写的办法，也可把这几种结 合起来。如复习长方体时，可回忆长方体的性质特征，由性质引起联想，回
顾长方体的表面积与体积的求法，最后试设一例进行练习，这就可使零碎的 知识像“一线串珠”似的联结起来，达到系统强化的目的。
9.整理归纳
教师可以通过复习，让学生把平时分散、孤立的知识加以纵横联系，使 之系统化、条理化、整理归纳成有机的整体。这样学生对知识就能融会贯通， 运用自如。如通过“倍”的复习，可将整数应用题的“倍”与分数应用题的 “几分之几”，百分数应用题的“百分之几”、比的应用题中“x∶y”等知 识串联成线。
10.多种思维


如在复习应用题知识的过程中，可以让学生体会数量关系较简单的应用 题，一般以综合法为主，遇到困难时借助于分析法。对数量关系较复杂的应 用题，一般以分析法为主，结合综合法进行。对数量关系较隐蔽，用一般的 思考方法不易找到解题途径的，还需要教给学生用特殊的思考方法来解决。 例如用假设法，通过假设，简化应用题的结构，便于启发解题思路。对数量 关系较隐蔽的应用题，亦可引导学生用列方程的方法来解。
11.设疑讨论
在一个学期中，由于各种原因，学生对本册教材所学的知识总会遗留一 些尚未解决的问题。复习时，可以有意识地设疑置难，让学生讨论，启发学 生思考，以便因势利导，攻关解惑。如学生对“复名数和小数（单名数）” 的三化掌握得不够牢固，总复习时，可设置一些有一定难度的例题让学生讨 论，例如 4吨 5公斤=（）公斤，98 克=（）公斤，（）公里=5 公里 80 米。 在讨论中进一步掌握三化的关键和规律，即：
同时注意小数点移位的方向及移动的位数，正确地处理在数的末尾或前 头添上零和去掉小数末尾的零的问题。
12.弥补缺漏


平时学习知识，难免产生缺漏。有些知识理解不深，记忆不牢。应利用 复习机会，让学生自己把遗忘的或缺漏的部分补上去，进一步理解记忆，牢 固掌握。如复习前，让学生把自己（本学期的）平时的作业和历次考卷翻出 来看一看，想一想，哪些地方错了，为什么错，现在弄清楚了没有。然后针 对存在的问题，在复习中加强这方面的听课、温习和练习。
培养中学生六种良好教学学习习惯
1.专心听讲的习惯
上课专心听讲是获取知识，培养能力，发展智力的前提。专心听讲习惯 的养成，就低年级来说，是靠老师有意识的采取各种措施，使教学内容生动 形象、教学方法灵活多样，课堂生动活泼，从而唤起学生的学习兴趣，激发 学生的求知欲望。在教学过程中，注意把学生的有意注意与无意注意结合起 来，不断地转移儿童的兴奋中心，使儿童在一定时间里把注意力都集中在应 注意的对象上，从而争取最佳的教学效果，久而久之，就会形成学生注意听 讲的好习惯。
培养学生专心听讲的具体内容是：


①认真听老师讲解，注意看老师演示、板书和表情、动作，仔细想老师 提出的问题和讲解的内容。②注意听同学们的发言，大胆地发表自己的意见， 积极参加课堂上的讨论活动。③认真完成教师布置的演示、读书、写作业等 任务。纠正精神不集中、贪玩，做与课堂无关的事情的不良习惯。
2.善于求异和质疑问难的习惯
培养学生独立思考和善于提出问题的习惯对发展学生的创造性思维以及 将来进一步学习都有重要的作用。小学生求知欲强，好奇、好问。对于这种 好问的积极性，一定要很好地保护和发展、爱因斯坦说过：“提出一个问题 比解决一个问题更重要”。对于那些敢于发现问题，特别是提出不同见解的 同学，要进行鼓励和表扬；另外通过“一题多变”“一题多解”和编题练习 培养学生发散思维，使学生独立并创造性地运用已有知识，学习新知识，解 决新问题，从而培养学生的创造性思维能力。这样经过长期培养，可使学生 养成爱动脑筋的好习惯。
培养学生求异和质疑问难习惯的具体内容是：


①独立地思考问题，自己肯从书中、演示中或从分析自己的错例中寻找 问题答案，不畏困难，积极思考。②敢于提出自己的疑问，并追根问底，敢 于提出不同见解，充分发表自己的不同意见。③在解题、讨论或研究问题时， 能突破条条框框的约束，不墨守陈规，能从不同角度多方面的思考问题，寻 求出创造性的解题方法。纠正儿童懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或 单纯靠记忆、模仿、照搬等习惯思维的不良习惯。
3.培养学生认真阅读课本的习惯
阅读课本，是学生获得知识的主要途径。培养学生认真阅读数学课本的 习惯，正是培养学生自学能力的开始，正如叶圣陶所说：“教是为了不教。”
刚入学的新生，为了培养（学生自学能力）和集中他们的注意力，可以 采取先讲后看书的方法。老师把书上的插图放大，讲完后打开书看看，刚才 讲的是哪道题、插图画的是什么，算式怎么写等等。使他们看到，课堂上用 的这些有趣的教具和讲的有用的知识，都来自课本。从而喜爱课本。


当学生初步形成了课堂常规，有了一定自制能力时，可采用讲讲看看与 引导学生自己看书的办法，即按照书上的例题，从上往下一步一步地去看。 先看题里怎么说，接着看书中插图是什么意思。再看看是怎么算的，旁注是 怎么写的，最后让学生用自己的话说一说是什么意思，是怎么想的？启发学 生说说为什么？老师再补充讲讲。然后就采取带着问题看书，分组讨论，启 发学生自己概括。最后，采取先看书后提出看不懂的问题。这些办法都要由 浅入深，循序渐进，并持之以恒。
让低年级儿童自学看书，不是放手随便看而是在老师启发引导下，激发 学生的看书兴趣，教给学生看书的方法，养成学生看书的习惯，培养学生自 学能力。同时要纠正学生不看课本或走马观花的不良习惯。
4.严格认真，一丝不苟的习惯
数学的科学性强，逻辑严密，来不得半点马虎。在数学教学和学生作业 中，要注意培养学生严肃认真，一丝不苟、认真负责的态度和书写工整、格 式规范的习惯以及积极挑错、改错的习惯。这对学生优良品质的形成和以后 学习、生活都有很大好处。


书写工整、格式规范，是提高数学计算准确性的重要因素，而且能培养 学生认真负责的学习态度。因此，在数学课书写时，除同语文课一样要求写 字姿势、执笔方法、笔顺规则，字形比例等规则以外，还要提出格式要求， 如横式、竖式、递等式的写法；答案书写在什么地方；四则混合运算、文字 题、应用题等又怎么写；什么样的题用多大格，都应培养学生书写格式规范 的良好习惯。反之，作业不专一，书写潦草，会造成作业中不应有的错误。 同时要纠正学生字迹潦草，作业马虎不认真的习惯。
5.按时独立完成作业的习惯
按时独立完成作业，是考察学生学习态度，学习习惯及培养学生独立思 考能力的主要途径，学生的作业不仅反映学生知识，技能的水平和教学效果， 而且也能反映学生的学习态度和学习习惯，表现教育的结果。如果学生从小 做作业，就养成了一种马马虎虎，敷衍了事的坏习惯，将来工作时就难以做 到一丝不苟，有条不紊，认真对待事业。因此，对学生的作业不但要重视知 识内容是否正确，还必须注意卷面是否工整和按时独立完成，卷面乱、脏， 没按时完成作业，不但导致不良习惯形成而且必然要影响学习质量。


做作业的主要要求是：态度认真、字迹工整、卷面整洁、格式规范，独 立完成，按时交卷，及时改正，保存完整。开始时，要统一格式、甚至字写 多大，哪道题写在哪个格里，都要提出具体要求，以后逐步消减限制，逐步 过渡到学生独立安排，以利于培养学生的良好习惯和独立处理问题的能力。
在平时，要严防与纠正投机取巧，抄袭别人作业与马虎了事的坏习惯。 要注意从小培养学生的时间观念和责任感，同时也培养学生勇于克服困难完 成任务的毅力。
6.检验习惯
在数学教学中，培养学生对所解答的问题进行“检验”，这是培养学生 检验能力与习惯的一种重要手段。学生检验的方法越多、思路越广、思维也 就越灵活。培养学生检验习惯的同时，还要注意培养学生有惜自觉改正的习 惯，从小树立学习的责任感，纠正某些草率从事，不管对错的不负责任的态 度，以保证学生解答问题的正确率和培养学生认真负责的态度。
附：培养小学生九种良好的数学学习习惯
1.专心听讲习惯的培养


教师在教学中要做到：①合理分配教学时间，采用多种多样的教学方法 用生动形象的语言，形象化的直观教学来吸引学生的注意力。②从学生的实 际出发，抓住学生学习中的难点，深入浅出，使学生都能听得懂。③注意调 动和保持学生学习的积极性，不讲刺激学生的语言，教态和蔼可亲。
培养学生良好的听课习惯可以从三方面入手：①对教师讲的主要部分关 键问题一定要提醒学生，引起他们的注意力，使学生自觉不自觉地养成注意 听课的习惯。②要培养学生在课堂教学中边听边想的习惯，遇到不懂的地方， 要及时举手，向老师提出来，强化学生在课堂教学中积极主动地学习，把疑 难问题放在课堂中解决。③边听边记。听课必须有手的活动，随时听到的重 点随手记到本上或书上，养成这种听写同步进行的习惯对今后的学习是大有 益处的。此外，教师讲课时要善于察看学生听课的表情，如果学生对所讲内 容反应淡漠，就应及时调整讲课内容方法；如有个别学生思想“开小差”，
要及时提醒。


专心听讲是学生在数学课上接受信息、获取知识的基本保证。一方面教 师在讲课时要注意突出重点，善于捕捉学生的注意，善于巧妙提问，启发思 维，引起兴趣。另一方面要加强思想教育和进行常规训练，注意提出明确的 专心听讲的具体要求，逐条落实。
上课专心听讲，包括两方面的要求：一是认真听教师讲课并注意观察教 师的教具演示过程，板书内容，讲课的动作及表情等，理解教师讲课的内容。 二是注意听同学的发言，同学在回答教师提出的问题时，要注意听，边听边 想，同学回答得对或不对，如果不对，错在什么地方，如果让自己回答，该 怎样说好。此外，还要让学生明确学习的任务，掌握学习的主动权，这是学 生“听懂”数学课的关键。
2.动脑多思习惯的培养


教师应创造条件，充分利用一切机会，使学生在课堂教学中能够精力集 中、专心听讲、勇于钻研、肯于动脑、大胆发言并逐步养成习惯。其做法是： ①激疑启思法。教师要抓住教材中的重点和难点，在教学中善于提问，启发 学生积极思考，使其产生探索求知，解决问题的积极要求。②情境激励法。 从数学学科特点和小学生心理特点出发，根据新授知识的需要，精心设计教 学情境，激发学生学习的欲望和信心，提高他们进一步探索问题的能力，培 养其良好的钻研动脑习惯。③操作悟理法。在数学教学中，结合教学的重点 或难点，教师一方面应利用形象的直观教具进行演示，另一方面应充分让学 生有操作的机会，使学生通过实际操作，领悟算理，同时培养学生动手能力 和探索精神。


在教学学习活动中，要教育学生上课时要边听边看边想，阅读数学课本 时边读边思，作业时要边做边想；要引导学生全面地、细致地、一丝不苟地 观察题、式、图，从大量的感性材料中自觉地进行分析综合，比较对照，抽 象概括，逐步形成独立的观察与思考能力；要注意引导学生把握科学知识间 的内部联系，在复杂的问题情境中抓住关键，揭示规律；特别要注意培养求 异思维，强调独立自主地思考问题，分析问题、解决问题，自觉从书本中、 演示中或反省错例中寻找问题的正确答案；要注意纠正个别学生的思维惰 性，改变他们一味依赖老师、家长、同学或单纯靠死记硬背，照搬照抄等不 良习惯。
要逐步训练学生学会有条理、有根据地思考问题，培养思维的敏捷性和 灵活性。要求学生在教师的指导下，积极参加问题的讨论。在讨论中，不但 要认真听取、分析别人的意见；而且要多动脑筋，多方面去思考问题；让他 们把看到的听到的用数学语言讲出来，然后再想一想，把弄明白的道理讲给 教师和同学们听。
3.质疑问难习惯的培养


从低年级开始，先要培养学生不懂就问的良好习惯。低年级学生还比较 敢问，对不懂就问的学生要表扬。到了中高年级，学生由于心理上的原因， 怕问，因此教师一旦发现学生练习中的错误，要耐心询问学生哪里不懂，要 以鼓励、诱导、启发等尊重、爱护学生的方法，使学生树立学习的信心，切 忌责怪。对学有所长的学生，则还要鼓励他们提出不同见解。如果学生不会 质疑，教师则要设疑。通过经常训练，学生就从无疑到有疑，从不会质疑到 会质疑。
教师在教学中，要积极引导学生思考，满腔热情地鼓励学生发问。启发 学生在阅读课本和听课时，把疑难的地方随时画出来，特别是对书上的新课 叙述部分，使学生养成逐字逐句细看深究习惯，哪怕对一个词产生疑问也要 提出来。要根据教学内容和学生学习实际，帮助学生克服自卑不敢发问，满 足于一般理解的倾向，教师对各类学生的质疑都要给予鼓励，树立学生的自 信心，培养学生质疑问难的习惯。
4.阅读课本习惯的培养


数学书需要重读、精读、巧读。①计算过程重点读。计算教学中不仅要 读算式、读法则，更重要的是要训练学生阅读中间过程。②数学概念应精读。 数学概念应按其结构来精读，要力求让学生学会理解概念的方法，在此基础 上指导学生精读概念。③应用题要巧读。关键词语重音读；省略句式补全读； 意思隐含换词读。
阅读是学生独立获取知识的主要途径和手段，其施为过程为：
（1）循着知识脉络初读，重感知。数学教材中的公式、法则、性质、概 念等，往往只揭示基本的推理和步骤。初读教材，要循“序”而读。沿着教 材所揭示的知识发生、发展顺序追根溯源，探索每一步骤推理的依据，依着 数学知识的结构，将每一单元、每一章节的内容进行系统整理，从整体高度 加强认识。
（2）围绕知识重点精读，求理解。数学教材中的文字，多为提示思想性 文字和结论性文字，语言简炼、准确。要能掌握知识的完整性、严密性和系 统性，就要在逐字逐句阅读的基础上精读，要斟词酌句，注重要点，把握精 髓，在阅读中思考，在思考中发现。


（3）针对知识、“疑难”研读，得发展。研读教材，要对每一概念、法 则进行分析、探讨，同时参阅其他书籍，对同一概念的不同阐述，同一例题 的不同解法进行比较，随时针对“疑难”研究探讨。
（4）低年级，教给学生看数学课本的初步方法。看书要从上到下，从左 到右看，跟着教师有顺序的看课本上的插图，要数清图中各种物体的个数， 用简单的语言进行图解。教师要注意采用“先讲解后读书”的方法，培养学 生看书的习惯。
（5）中高年级，教师要帮助学生建立起读书的技巧。在普通读的基础上， 重点内容，难理解的地方，注意勾画，认真推敲课本上的黑体字和方框中的 内容，怎样掌握公式的推导过程，线段图与应用题的关系，如何看懂各种图 表等。
5.完成作业习惯的培养
培养学生细心的作业习惯，首先要求要具体明确。作业要求学生做到认 真、准确、完整。其次要树立作业榜样。在作业前，有意识地把做得好的作 业展示给学生，使学生产生向典型看齐的向上心理。还要及时反馈、认真纠 错。


培养学生良好的计算习惯，做法有：①培养学生认真正确的看、听、读、 说的学习习惯。②培养学生认真思考，全面分析的习惯。在指导审题上，要 寻找题中特点，思考计算法则，运用运算定律，选择最佳的解题方法。③培 养学生正确，规范的作业习惯。即作业书写规范化，作业订正自动化。④培 养小学生自觉检查作业的习惯。自查，用短程目标的管理，推动学生主动自 查作业。互查，针对小学生好胜争强的心理，开展学生作业互查活动。
6.参与合作习惯的培养
课堂教学是教与学的双边活动，每个学生都应积极参与，与人合作。① 启做议练。即在课堂教学中，首先提出问题，启发学生思考，进而带着问题 去动手操作，组织讨论，发表意见，进行练习，以达到巩固的目的。②点化 自学。通过教师点拨，学生自学，把旧知识和新知识联系起来，加以迁移运 用，深化提高。
7.准确表达习惯的培养
在低年级，要训练学生运用学过的数学语言来叙述图意，复述题意，说 明计算过程和回答问题，要求他们逐步做到完整地表达自己的思想。随着年 级的升高，要训练学生有根有据、有条有理地说明算理，分析数量关系，理 由充足地与他人讨论数学问题，并能随时纠正别人不正确不严密的数学语 言。


8.课外学习习惯的培养
课后要培养学生预习、复习、多思的习惯，预习复习不能流于形式，要 真有效果，必须天天布置预、复习作业，还要指点方法，经常检查完成的情 况。对中、高年级，还要培养学生课后看学习小报、参考书、习题书、有好 的内容随时做些摘录，常整理知识，动手做学具等习惯。
9.快节奏有亲理习惯的培养
要做到提高效率，必须加强做事的计划性和条理性，养成做事有条理的 良好习惯。教师要做到教学方案设计合理，组织严密，环环相扣，提高教的 效率，还要想办法提高学生学的效率。①竞赛训练法。通过组织学生进行竟 赛、游戏等方法，训练做题又准又快的能力。②手势会意法。教师运用事先 与学生约定好的，学生能够自觉接受并领会的手势信号来传递信息，以提高 效率。


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1.认真审题，明确要求
首先要认真理解题意，弄清题目给出什么条件，需要回答什么问题，也 就是明确已知和求解。
2.回忆知识点，确定解题方案
在审清题意的基础上，回忆有关的化学概念，基本理论，计算公式等化 学知识，设计一条解题途径，制订出解题的方案。
3.正确解题，完善答案
把解题的思路一步步表达出来，注意解题的规范性和完整性。解题结束 时，要注意反复检查，以提高解题的正确率。
4.展开思路寻找规律
这是最后一环，也是大多数学生最容易忽视而至关重要的一个步骤。一 道题目做完以后，要结合已做好的题目联系前后的思索，从中悟出带规律性 的东西来，就会事半功倍。反之，就是做无数道练习题，也达不到巩固知识、 训练技巧、提高能力的目的。


例如，完成反应式 NaOH+（ ）→，Cu（OH）2+（ ）这个反应式中， 反应物有碱，生成物有新碱，要求填写的化合物是使反应存在。明确了要求， 根据已学的知识，碱和盐反应才能生成新盐和新碱，盐必须溶于水，供选择 的盐有 CuCl2、CuSO4、Cu（NO3）2等，可填在括号内。右括号内相应是 NaCl、 NaNO3、Na2SO4等。在做这道题时，你是否在填一种化合物后能想到其它种可 能的化合物呢？除此之外，还可将此题变为（ ）+CuCl2→（ ）+NaCl 或 （ ）+CuSO4→（ ）+BaSO4等等，还是否联想到反应的象呢？做完题后的 展开思路一环是开拓的重要方法
审化学题五法
审好题是解好题的基础，题目未审清，必然抓不住关键所在。在解题中 如何疏通渠道，越思维障碍正确审题？
1.关键词句法


认真阅读试题，抓住关键词句。审题首先要认真仔细地阅读试题，准确 完整地理解题意。阅读时应紧紧抓住试题中关键的词句反复推敲，如“最”、 “是”、“不是”、“正确”、“不正确”等，要防止粗枝大叶，一掠而过 而误解题意。如有的学生在做选择题时，对题目中的“最”字重视不够，在 选择了一个正确答案后，又从“似真性”答案中选择第二个，造成了“画蛇 添足”，待考试以后，他们才后悔不已。
2.收缩法
此法特别适用于一些推理题。
例：一种常温下为气体单质 A及其它的化合物在一定条件下的转化过程 如图。试写出 A、B、C、D、E各物质的分子式？
[解析]此题粗看起来着无边际，难以下手。关键在于找到突破口，攻破


[了突破口，其他问题就迎刃而解了。收缩法审题步骤如下：
∴A为 N2，B为 NH3C 为 NO，D 为 NO2，E为 HNO3。](1)常温下为气体单 (2)这些元素处在元 (3)在这方位上的气 质的元素是什么 素周期表上什么 体单质,在一定 元素? 方位? 条件下能与02、 H2反应的有哪 ↓推出 些? 推出 ↓推出 进一步 缩小范围 稀有气体元素、F2 A为非金属 缩小范围 据元素周期表右 C12_、02都不可能 元素单质 上方(H2例外) 只有N。


3.规律法
此法是解决一些有规律可循的题目
例：某金属原子最外层电子排布是 6S26P1，关于该金属及其它的化合物 描述错误的是（ ）
（A）金属性比铝强；
（B）能形成+3 价；
（C）氢氧化物呈两性；
（D）该金属在一定条件下能与盐酸反应；
（E）该金属是导体。
[解析]由金属原子最外层电子排布6S26P1可知①该元素处于元素周期表 中第 6周期第ⅢA族；②该元素同金属铝属于同一主旋。
根据元素周期表中元素性质的递变规律推出，该金属的金属性比铝强得 多，就很快选出答案（C）。
4.分解法
此法在有关溶解、结晶、溶解度、百分比浓度等方面计算比较直观，较 易被学生接受。
例：15℃时，某 2价金属硫酸盐的饱和溶液的百分比浓度为 25％，取足 量此溶液，加入 1克上述硫酸盐的无水物，则析出 3.15 充 t 水合硫酸盐晶体。 试确定 2价金属的原子量。
[解析]设 2价金属为 R，原子量为 x。
用思考题和图示双重分解（要求：边思考边图示）。
（1）思考题：
①2价无水金属硫酸盐和它的 t水合硫酸盐晶体化学式如何写？（RSO4、 RSO4·7H2O）
②1克无水硫酸盐投入饱和溶液后有多少克晶体析出？（3.15 克）


③从析出的晶体质量看，原溶液的质量减少了几克？（2.15 克）
④减少的那一份溶液与剩下的溶液在浓度上有什么关系？（相同）
（2）图示：
题给质量（克）：3.15 1+2.15×25％=1.5375 2.15×75％＝1.6125 化学式： RSO4·7H2O ～ RSO4 ～ 7H2O
摩尔质量（克/摩）：222+x 96+x 126 即有 3.15∶1.6125=（222+x）∶126 或 1.5375∶1.6125=（96+x）∶126
解得 x=24.14（克/摩）
∴2价金属的原子量为 24.12。
5.整体法
对一些关系比较复杂的题目，应从整体、全面的观点去看问题。所以， 此法特别适用于综合性强的题目。
例：将一块生锈的铁片置于稀硝酸中，反应结束后收集到 1.12 升一氧化 氮气体（标准状况下），溶液中还剩下 3克单质铁。取出铁后，向溶液中通 入 10.65 克氧气，恰好使溶液中的 Fe2+全部被氧化（假设 Cl2只与 Fe2+反应）。
求这块生锈的铁片总质量（铁锈成分以 Fe2O3·H2O 计算）。


[解析]此题看起来数据不多，但存在较为复杂的关系。有些同学原先做 与这道题同类型的题目，感到较困难或束手无策。有的虽能理出一些，但结 果却与题不符。因此，碰到这些较为复杂的题目，可采取以下做法：
①理：数据对应的物质或物质的关系要理好；
②找：物质之间有何反应关系要找好；
③挖：题目中的隐含条件要挖出；
④串：量——物质——反应的关系要串结好。
解题路线（逆推）
从③通 Cl2知道溶液（Ⅱ）中 Fe2+的物质的量（2Fe2++Cl2=2Fe3++2Cl-）： 10.65/71×2=0.3mol
从②中知道溶液（Ⅰ）中 Fe3+的物质的量及消耗在与 Fe3+反应的 Fe 的物 质的量（Fe+2Fe3+=3Fe2+）
Fe3+的物质的量=2/3×0.3=0.2molFe 的物质的量=1/3×0.3=0.1mol
从①中知道 Fe2O3·H2O 的物质的量和消耗在与 HNO3反应的 Fe 的物质的 量：
Fe 的物质的量=1.12/22.4=0.05mol
[∴Fe 的物质的量：NO 的物质的量=1：1]
Fe2O3·H2O 的物质的量=（0.2-0.05）×1/2=0.075mol，所以，铁片的总
质量为：


3+（0.1+0.05）×56+0.075×178=24.75（克）
最后，需要指出的是，审题与解题一样没有固定的方法，采用何种方法 审题，则要看具体的题目来定。
发掘隐蔽条件三法
解化学题离不开已知条件的应用。可不少化学题目的已知条件（或部分 已知条件）隐蔽在题目的叙述中，稍不注意就被忽视，使解题误入歧途，故 必须引起重视。下面介绍发掘隐蔽条件的三种方法。
1.根据实验操作要领发掘隐蔽条件
例：实验室中，用氢气还原氧化铜 m克，待大部分固体变红时，停止加 热，冷却后，称得残留固体为 n克。共用去氢气 w克。求参加反应的氧化铜 的百分率。
[分析]实验室用氢气还原氧化铜，必须先通一会儿氢气排除试管中的空 气，然后再加热。故题中给出的“共用去 w克氢气”，不是实际参加反应用
去的氢气，但反应前后 CuO 失重（m-n）充，是氢气夺取 CuO 中的氧所致。 发掘了这一隐蔽条件。题目就可迎刃而解。
解：设有 x克 CuO 参加了反应
CuO+H2 +Cu+H2O 固体质量减少 80 61 80-61=16
X 克
（m-n）克 80：x=16：（m-n）
x=5（m-n）（克）
∴参加反应的 ％ × ％


CuO = 5(m n) m 100
答：（略）
2.透析反应原理发掘隐蔽条件
例：有一部分变质的氢氧化钠固体 8.15 克溶解后加入足量石灰水，生成 白色沉淀，将沉淀洗涤、灼烧，称重为 0.784 克。求变质氢氧化钠的质量百 分含量。
[分析]解此题关键就在于弄清 0.784 克是什么物质。审题时仔细推敲“将 沉淀洗涤、灼烧”这句话，就不难知道 0.784 克是碳酸钙分解生成的氧化钙 质量，而非碳酸钙质量，弄清了这点，找关系即可求解。
答：变质氢氧化钠百分含量为 14.3％（解法略）
3.联系概念、定义发掘隐蔽条件
例：将 5.6 克 CaO 溶于 194.4 克水中，溶液的温度为 33℃，求此时溶 液的百分比浓度。
[分析]审题时，不但要注意隐反应 CaO+H2O=Ca（OH）2
还要联系 Ca（OH）2的溶解性。因为 Ca（OH）2微溶于水，未溶解的部分 不能计入溶液的质量中去。
由题意解得 5.6 克 CaO 完全反应后耗水 1.8 克，生成 7.4 克 Ca（OH）2。


在水中的溶解度为 0.15 克，不难看出，7.4 克 Ca（OH）2溶解在（194.4-1.8） =192.6 克水中形成的溶液为饱和溶液，故所得溶液百分比浓度为： 015 100 015 .
. + × ％ ％（解法从略） 100 = 0.15
多方位思考形成解题思路的方法与技巧
所谓多方位思维就是根据试题信息来源纵向横向联想，从不同方向去思 考，多种因素去分析，对已知条件进行选择、转换、归纳、找出解题的多种 途径，然后进行对比筛选出简捷快速的解题途径的思维方法。他能拓展思维 广度和深度，增进思维的流畅性、灵活性、敏捷性，培养学生思维的变通能 力和创造能力。
1.选择、转换、归纳已知条件，多途径筛选
例：托盘天平两盘内分别放一个质量相等的烧杯，烧杯里都放 100ml1M 的硫酸，向两个烧杯里同时加入下列哪组物质反应完毕天平仍保持平衡。
（A）1克镁，1.1 克铝
（B）10 克镁，10 克锌
（C）6.5 克镁，6.5 克锌
（D）0.1 摩镁，0.1 摩锌


此题单凭直觉思维按常规进行化学方程式的两量取量计算，逐个演算相 当复杂速度很慢，可这样来分析：两种金属分别加等量的稀硫酸中，要使反 应后仍保持天平平衡。可能有的情况：①加入的两种金属的质量相等且过量， 酸完全作用，放出的 H2的量相等；②加入的两种金属质量相等，其中一种金
属过量，另一种金属恰好与酸完全作用，放出等量的 H2；③加入的两种金属 都与酸发生置换反应且质量不等，酸过量，必定要满足加入的两种金属的质 量之差与产生 H2的质量之差相等。又根据： 2M+2H+=2M++H2↑ 2M+2H+=2M2++H2↑ 2M+6H+=2M3++3H2↑ （M 表示金属元素）的反应规律，采用两量比较大小计算就简捷快速多 了。已知硫酸产生 H+离子的量为：
0.1×1×2=0.2（摩）
选择答案：
（ ） × ， × ，酸过量，而 × × ≠ ， A 1.1-1 1 24 2 02 11 27 3 02 11 27 3 2 1 24 1 < < − . . . .
不合题意； （ ） × ， × ，酸完全作用，放出 相等，合题意； B
H2 10 24 2 02 10 65 2 02 > > . .


（ ） × ， × ，酸完全作用，放出 相等，合题意； C
H2 65 24 2 02 65 65 2 0 2 . . . . > =
（D）镁、锌都是活泼金属，都与酸恰好完全作用，产生 H2相等，但加 入的金属质量不等，很快排除。由此分析讨论，得到正确答案为（B）、（C）。
2.抓住依据，重点突破
解题突破口是解题思路的起点，解题的思路的形成需要依据，题目中的 解题依据，有的很明显，有的却隐蔽得巧妙，必须通过对题目的有关词句反 复推敲，认真辨析，深挖细找，才能抓住，抓住了解题依据，解题的突破口 也在其中了。


例：以等摩尔数的金属 M和 M′组成的混和物 60.5 克（其中 M质量为 w 克）与足量的稀硫酸反应，共放出 22.4 升氢气（标准状态），同时，这种金 属都转化为二价离子的硫酸盐。另取 w克金属 M置于足量的硫酸铜溶液中，M 变为正二价金属离子，并折出金属铜，待反应完全后，所折出的铜的质量比 w克少 0.5 克，计算这两种金属 M和 M′的原子量。分析：抓住题意所提供的 解题依据，M 和 M′以等摩尔数与稀硫酸反应，同时转化为二价离子的硫酸 盐，共放出 22.4 升氢气（标准状态）很容易找到解题的突破口，并能由此引 出简捷的思路和解法。
（解法略）
3.全面综合分析，防止以偏概全
例：有两瓶pH=2 的酸溶液，一瓶是强酸，一瓶是弱酸，现只有石蕊试液， 酚酞试液，pH 试纸和蒸馏水，而没有其它试剂，简述如何用简便的实验方法 判断哪瓶是强酸。


此题是一个概念、计算、知识、识记和实验操作技能的综合性较强的试 题，解题必须从以下几个方面来分析推理：①虽两种酸溶液的 pH 值相等，但 因强酸在水溶液中完全电离，弱酸在水溶液中存在电离平衡过程，所以弱酸 的浓度比强酸浓度大，要加水稀释通过 pH 值的测定加以鉴别；②加水稀释一 定要取同体积的两种，而且稀释的倍数相等，才能引起 pH 值增大的差距加以 鉴别；③加水稀释的倍数要适当，加水稀释 10 倍，强酸溶液的 pH 由两边只 增大到 3，弱酸溶液的 pH 值也会接近 3：加水稀释量太大，弱酸会趋于完全 电离，两者的 pH 值也会接近难易鉴别；④因石蕊试液在一定 pH 值范围内的 颜色变化很小，不便鉴别；而酚酞试液在 pH 值＜8时不显色，不可能用酚酞 试液来鉴别。所以答案是：各取等体积的酸液用水稀释相同倍数（如 100 倍）， 然后 pH 试纸分别测其 pH 值，pH 值变化大的那瓶就是强酸。
4.遵循规律，建立网络


每一类化学题都有寻找解题突破口的基本方法和技巧，熟悉和掌握各类 化学题的解题突破口，就能建立寻找各类化学题解题突破口的思路网络。在 解答具体的化学题时，只要遵循规律，对号入座，就容易找到解题的突破口。
例：只用一种试剂，如何鉴别乙醇、乙醛、乙二醇三种有机物的水溶液？ 写出有关的化学方程式。
[分析]针对题意，应联系鉴别题解题突破口的思路网络，基本方法是利 用给定的几种物质的特性，设计鉴别的方法，再根据本题的特点是需用一种 试剂来鉴别几种有机物，在寻找解题突破口时必须抓住有机物官能团的特 性，以及由此出现的性质上的差异来考虑有关试剂的特殊反应，由此找到解 题突破口，确定选用的试剂。
5.克服思维定势，挖出潜在条件
例：已知乙酸和乙酸乙酯混和物含氢 7％其中含氧质量百分比为（ ） （A）48.6％％（B）51％（C）93％（D）无法判断
从题表现给予的已知条件看唯有一个，不加思索就会得出错误答案（D）。 若假设混和物质量为 100 克，其中含乙酸为 x克，乙酸乙酯为（100-x）克： 可列式：
x x × × × × 4 60 100% 100 8 88 100% 7% + − = ( )


求出两种物质的质量克数；反过来又由两种物质质量运用上式运算法可 求出混和物中含氧质量百分比，但这种麻烦，如果多层次探索，从羧酸和酯 不属同分异构，乙酸和乙酸乙酯都符合同一个通式：CnH2nO2，不难发现一个
潜在的已知条件，两种化合物不论以何种比例混合，碳氢两种元素的质量比 始终保持为：12n∶2n=6∶1，混和物中含碳质量百分比为： 6×7％=42 ％
则混和物含氧质量百分比为： 100％-7％-42％=51％
便很快得到答案为（B）。
6.类比联想
第一类化学题都有着共同的解题突破口，这是普遍性的一面，所以，在 寻找一个化学题的解题突破口时，要用类比联想的方法，既要分清题类，找 到这类题的共同解题突破口，又要针对题意，进行具体分析，突出异同，由 此找到具体的解题突破口。
例：有一种由 C、H、O三种元素组成的有机物，它的分子中共有 10 个原 子，核外电子共有 32 个。1 摩尔这种有机物完全燃烧生成 CO2和 H2O 需要 4


摩尔 O2。它能使 KMnO2溶液褪色，但不能起银镜反应，也不能和 Na2CO3溶液 反应。0.1mol 这种有机物能和 16 克 Br2完全反应，0.2mol 这种有机物能和 金属钠反应放出 2.24 升氢气（标准状态）。试推断该有机物可能有的结构和 名称。
[分析]根据题意，进行类比联想，这是一道结合化学计算的有机推断题。 这类题的共同解题突破口是从计算分析该有机物所含元素的原子个数比着手 确定该有机物的最简式和分子式，然后抓住题目提供的该有机物的有关性 质，推断其结构式。确定有机物的分子式的方法有多种，必须针对题意进行 具体分析，本题应抓住有机物 XxHyO2的燃烧反应，按题意列式求解（解略）
7.纵横联系
对于一些比较复杂的化学题，一时难以揭示出解题突破口，必须分层解 析题意，纵横联系有关化学知识，依照题意，逐步转化寻找突破口的思路， 直到找出解题的突破口。
例：在 FeCl3和 CuCl2的混和溶液中通入足量的 H2S 气体，与两物质完


全反应，结果生成 0.2mol 沉淀，将此沉淀滤出后，往滤液中加入适量的铁 使其完全反应。最后将溶液蒸干，得到固体 0.4mol，求原混和物中含有 FeCl3
和 CuCl2各多少 mol？
[分析]题意分两个层次展开：
第一层次：混和溶液中 FeCl3和 CuCl2和足量的 H2O 气体完全反应：即：
2FeCl3+H2O = 2HCl+S↓+ 2FeCl2 xmol xmol xmol x mol xmol 1 2 2 CuCl2+H2S =CuS↓+2HCl ymol ymol ymol 2ymol
(1)
(2)
抓住以上两个化学方程式，着重分析反应物和生成物间的量的关系，根 据题意可知，反应结果所生成的 沉淀应是生成的 和 0.2xmol xmol S ymol 1 2 CuS 之和，即
1 2 02 x y+ = .
①
这是第一个突破口。
第二层次：适量的 Fe 和滤液完全反应，将溶液蒸干得到 0.4mol 固体， 联系有关物质间的反应可得 2HCl+Fe=FeCl2+H2↑ （3）
有些学生分析反应（3）中 2HCl 的量时常会搞错，应是反应（1）和反应


（2）中所生成的 HCl 量之和，即（x+2y）mol。
2HCl+Fe=FeCl2+H2↑
（ ） （ ） x + 2y mol 1 2 x + 2y mol
将溶液蒸干得到 0.4mol 固体应是 FeCl2，FeCl2的量有的学生认为即是
1 2 （ ） ，忽略了反应（ ）还生成 的 ，所以蒸干得到的 x + 2y mol 1 3xmol FeCl2 0. 4mol 的 FeCl2，应是： [ 2 x + 2y + x]mol 1 （ ）
这是第二突破口。 由此可得：
1 2 （ ） x + 2y + x = 0.4
②
联立①和②式： 1 2 x + y = 0.2
x + 2y + x = 0.4 1 2 （ ）
     
解得：x=0.2mol（FeCl3） y=0.1mol（CuCl2）
所以在原混和溶液中含有 0.2mol FeCl3和 0.1molCuCl2。
由上例可知，分层解析题意，分层联系有关的化学知识，分层寻找解题 的突破口，同时按题的层次转化思路，串连各层题意使形成整体，这种层层 解析，层层突破的方法是寻找比较复杂的化学题解题突破口的有效方法。
8.会诊条件，排劣择优


即从顺向推理到反向推理，由顺向思维到逆向思维，沟通思路，简速解 题。
例：有 A、B、C、D、E 五种有机物，它们的分子中氢原子数最多只有 6 个，分子量最大的不超过 65，试通过化学推理确定他们的结构简式。
如果由题中已知条件从 A推起，因分子中含 6个氢原子和小于 6个氢原 子的有机物有十几种，势必推导过程中思维受到阻碍，变成猜测。只有把试 题中的三个已知条件进行会诊。多层次思考，解答的突破口是分子量最大不 超过 65。由于分子量最大不超过 65，肯定五种有机物分子都含有两个碳原 子，从而排除五种物质中不可能有羧酸和酯。由图示反应推导 E肯定为乙炔， D为乙醛，A为乙烯，C为乙醇，B为乙烷。（因为氟乙烷分子量为 47 其次乙 醇分子量为 46，分子量均比 50 还小，不合题意，而溴乙烷与碘乙烷分子量 均大于 65）。
化学选择题的类型与解题技巧
多选题的题型种类较多，综合类型多，基本上有 14 种之多，但按其模式， 根据题干内容和备选答案的形式可以概括为两大类：
1.根据备选答案形式不同，可以分为


（1）相关选择题。这种题型的模式是，备选答案分成两栏，左栏是（A）、 （B）、（C）三项，右栏为（1）、（2）、（3）、（4）、（5）五项，答题 的要求是左栏中的一项，必须与右栏中的四项相关，一项不相关，也就是相 关选择题应该有两个答案。
（2）比较选择题。此类习题主要考查学生理解概念是否正确，以及两种 类似的情况（或数量）的比较、鉴别的能力。
它的基本模式是：答案由（A）、（B）、（C）、（D）、组成，（A）、 （B）是需要比较的两项实质性的内容，它们之间必须是既有不同涵义，又要 有某些相似的内容。
例：（A）水解反应，（B）银镜反应，（C）既能水解，又能银镜反应， （D）既不能水解，又不能银镜反应。
①乙醛（B） ②甲酸乙酯（C）
③油脂 （A）④乙酸（D）
（3）因果选择题。此种题型的基本模式是：习题是由叙述Ⅰ和叙述Ⅱ两 个部分组成，它们之间存在着下列五种情况： A B C D E
叙述Ⅰ 正确 正确 正确 错误 错误 叙述Ⅱ 正确 正确 错误 正确 错误 有因果 无因果
关系 关系


（4）配伍选择题。它的题型是由一组答案为试题的解答，放在问题的前 面，问题与答案数目不相等，每项答案可以选用一次或多次，也可不用，但 每个问题只允许选择一个答案。
例：在下列反应中，含有 S元素的物质表现的性质是：
（A）氧化性，（B）酸性，（C）既是氧化剂又是还原剂。
①Cu+2H2SO4 CuSO4+2H2O+SO2↑ ②SO2+2H2S=3S↓+2H2O ③2H2S+3O2=2H2O+2SO2↑ ④Na2S2O3+H2SO4=Na2SO4↑+S↓+SO2+H2O
⑤Na2SO3+H2SO4（稀）=Na2SO4+H2O+SO2↑
（5）多解选择题。这类选择题的正确答案不止一个，可以培养学生周密 思考，仔细审题的能力。
（6）组合选择题。组合选择题，其实质也是多解选择题。由于多解选择 题对阅卷带来不便，为此，将答案进行组合，使答案单一，既有利于阅读卷， 还可以测试学生的判断、综合能力。
2.根据题干的指向不同，可以分为
（1）评价选择题。此类题的备选答案都是有价值的，要求从中评价出最 符合题干的指向的一个答案。
例：在 Fe（NO3）3溶液中混有少量 AgNO3、Ba（NO3）2杂质，用下列那


种方法既除去杂质，又能得到纯净的 Fe（NO3）3溶液。
（A）先加入适量的 HCl 再滴入适量 H2SO4
（B）先加入适量的 Na2SO4，再滴入适量的 KCl （C）加入适量的 Na2CO3
（D）先加入适量 BaCl2再滴入适量 Fe（SO4）3 （E）先加入适量 Fe2（SO4）3，再滴入适量 BaCl2 （2）类推选择题。此种选择题主要培养和考察学生们对事物间关系的概
括能力和理解能力，题意要明确，答案要力争单一，尽量避免由于考虑问题 的角度不同，而产生同一个习题有多种答案的情况。
例：根据化学平衡移动的条件，找出与 2NO+O2 2NO2+Q”相符的反应。
A.C（固）+H2O（气） CO（气）+H2（气）-Q
B.CO2（气）+C（固） 2CO-Q
C.CO（气）+NO2（气） CO2（气）+NO（气）+Q
D.SO2（气）+0.5O2（气） SO3+Q
E.2NO2（气） N2O4+Q


（3）分类选择题。此种试题主要训练和考察分析、综合的能力，是测试 中用得较多的一种，其中内容甚至不一定局限于本学科和已学的知识，从而 判断学生思维是否敏锐，是否具有一定的综合、分析能力。其形式大致有两 种：
其一是从一组物质中找出与众不同的物质。
其二是根据一组物质的共同特征，从而在备选答案中找出可以归入该组 的物质。
（4）填空选择题。填空选择题近似于填充题，填充题的答案总是由学生 自选，常会出现多种多样，甚至似是而非的答案，造成批阅的困难，例如填 充题，在硫化氢分子中存在着____键。其答案可以填写 H—S，极性、共价、 极性共价、氢硫键等。虽然都无科学性错误，但未必正确，并会给评分造成 困难，为了弥补这个缺点，将填写的内容采用选择题形式，避免答案的多样 性。
例：在氢气和氧化铜的反应里，氢气____，氧化铜____，所以这是一个 ____。而在黄铁矿煅烧的反应里，FeS2____，O____。
（A） 被氧化
（B）被还原
（C）氧化还原反应
（5）识图选择题。这类题型，主要是由提供的图、表来解题。


（6）阅读选择题。阅读内容可以摘选没有学习过的有关内容，也可以是 现代化学的报道，通过阅读进行解题，可以按内容直接回答，也可以需分析 思考后才能回答的习题。
（7）排列选择题。分析一列数字（数值、化合物、原子数等）的关系， 然后从所给的数字中选出一个加入该数列，使其与原来的关系或规律相符。
（8）改错选择题。这类习题的模式是：在习题的某一部分或全部的下面， 用直线划出，要求结合题意，判断它是否正确，并在备选答案中选择合适的 一项。备选答案中也可包括用直线划出的部分，以示干扰。
3.选择题的选择方法因题而异，不同的类型有不同的原则，常用的方法 主要有以下几种
（1）直觉估算法。直觉估算法是直接思维的一种形式，而直觉思维是人 创造能力的特征思维之一。有的选择乍一看似乎需要进行繁琐的计算或精确 的推理。但稍加琢磨或用一种居高临下的眼光进行扫描，就会突然有所发现， 估计而得答案。
例：把 1 毫升 0.01 摩/升的盐酸用蒸馏水稀释到 1000 升，所得溶液的 pH 值是（ ）
（A）8 （B）7 （C）6 （D）6.9


分析：盐酸被稀释后，溶液只能接近于中性，不可能变碱性。因此无需 计算，就可很快选出（D）是正确答案。
（2）优先法。若备选项涉及到一批可以比较大小的对象。我们不妨按某 种顺序把它们排列起来，然后优先考虑某一个（通常是中间一个），以尽快 缩小搜索范围，化繁为简。优先法在思维上属于排序思维，是一种重要的解 题策略。
例：氧化物 MxOy，还原成金属时，质量减少 22.54％，若金属 M的原子
量为 55，则 x∶y的值为（ ） （A）2∶3 （B）1∶1 （C）3∶2 （D）4∶3 （E）3∶4
分析：按比值由大到小（即含氧量由小到大）排列成序 （C）2∶3 （D）4∶3 （B）1∶1 （E）3∶4 （A）2∶3
优先（B）进行试探计算：MO： 16 16 55 100% 22 54% + = × .
此题凑巧了。一步就得出答案（B）。现假设，经计算若（B）含氧量百 分数大于 22.54％，则答案必在（C）、（D）之中，再任选一个计算，如选 （D），若含氧百分数不为 22.54％，则答案必为（C），也就是说，至多两 次计算，必能解决问题。


（3）具体法。例：核电荷数分别为 11 和 16 的 A、B 两种元素，能形成 的化合物为（ ）
（A）AB 型 （B）A2B 型 （C）AB2 型 （D）A2B2 型
该题可将 11、16 号元素具体化，即 Na 与 S，它们的化合物为 Na2S 即 A2B， 答案（B）正确。
（4）整体法。例：A、B两种固体的溶解度曲线，某烧杯中盛有含 A、B 两种溶质的 60℃时的饱和溶液，且杯底尚有少量 A、B 固体，随着温度降低 则（ ）
（A）烧杯中 A减少，B减少；
（B）杯底中 A减少，B增多；
（C）杯底固体 A增多，B减少；
（D）杯底固体 A、B均增多。
该题经分析杯底中 A、B量的变化，刚好与曲线的变化相反，根据曲线随 着温度的降低，A溶解度减少，B增加，所以杯底 A增加，B减少，（C）符 合。
（5）归一法。计算选择题中常出现解题数据不足或没有数据的题目。这 类题采取常规解法往往思路不通或事倍功半。采用归一法，即把被研究的物 质定为 1个单位，则云散日出。
例：某一盛满硫酸溶液（密度为 1.4 克/厘米 3）的试管，其质量是 47


克，若用这一试管盛满硝酸溶液（密度为 1.2 克/厘米 3）其质量为 42 克，
则该试管最多能盛水（ ） （A）35ml （B）10ml （C）25ml （D）20ml
分析：用相同的试管盛两种溶液，则试管的质量、体积保持不变。恰恰 这两个不变值均未知。常规解法应通过设两个未知数，借助密度关系建立方 程求解。现采用归一法：设试管体积有 1 毫升，则溶液质量差为（1.4-1.2 克），现设试管为 V毫升，溶液质量差为（47-42）克。故有 1∶（1.4-1.2） =V∶（47-42）.V=25，这样就可快速得出答案（C）。
归一法的实质是化抽象为具体。使问题明朗化。因此，利用此思路使选 择过程简单，从而化难为易。
（6）图解法。一种无色气体 X 和红热的木炭反应，得到另一种气体 Y， Y和灼热的氧化铜反应又得到 X和红色固体，气体 X和 Y依次是（ ） （A）CO、CO2 （B）O2、CO （C）CO2、CO （D）O2、CO2
根据题意得一图，X→Y→X，另根据答案只有 CO、CO2、O2气体，不难推 断 X为 CO2，Y为 CO，答案为（C）。


（7）极值法。有一块质量为 5.6 克的铁和足量的稀硫酸完全反应，所 得氢气的质量大于 0.2 克，说明它可能含有下列哪一种金属杂质（ ） （A）Zn （B）Cu （C）Mg （D）Ag
假设 5.6 克全部为杂质金属，则该金属置换出氢气的质量应大于 0.2 克， 又根据答案，该金属为 Zn 或 Mg，均为+2 价可有：
M（杂质）→H2
5.6 克 ＜0.2 克 x（原子量） 2克 即 × ＞ ，∴ ＜ 得该金属为 。 2 56 x 0.2 x 5.6 Mg
（8）筛选法（淘汰法、排除法）。这种方法的关键是确定“筛子”，然 后将备选项逐一过筛，去伪存真，获得答案。
例：将过量的氯气通入 FeBr2溶液中，发生反应的离子方程式是（ ）
（A）Cl2+2Br-=2Cl-+Br2 （B）Cl2+2Fe2+=2Fe3++2Cl-


（C）2Cl2+2Fe2++2Br-=2Fe3++4Cl-+Br2 （D）2Fe2++4Br-+2Cl2=2Fe3+2Br2+6Cl分析：（A）无 2Fe2+被氧化，予以排除；（B）无 Br-被氧化，予以排除； （C）中 Cl2被还原的产物应为 Cl-而非 Cl，应予以排除，剩下的（D）对。
答案：（D）。
（9）综合法。它常用来解答那些弯子绕得比较大，比较多的复杂选择题。 例：100 毫升 0.6 摩/升盐酸与等体积 0.4 摩/升氢氧化钠溶液混合后溶 液的（ ） （A）PH=2 （B）PH=0.2
（C）[OH-]=1×10-13摩/升
（D）[H+]=0.2 摩/升
（E）PH=0.1
分析：由题干可直接推出混合后溶液的[H+]=0.1 摩/升，但以此仅能筛 掉（D）。还需要[H+]=0.1 摩/升推出 pH=1。以此再筛掉（A）、（B）、（E）， 最后根据水的离子积公式推出[OH-]=1×10-13摩/升为答案。
此外，如差量法、中间数值法、关系式法等有关资料丰富，已为人们熟 识和应用。在此不再一一赘述。
常用计算题解题四法
1.关系式法


所谓关系式法，就是根据化学概念、物质组成、化学反应方程式中有关 物质的有关数量之间的关系，建立起已知和未知之间的关系式，然后根据关 系式进行计算。利用关系式的解题，可使运算过程大为简化。
例：以电石为主要原料制取乙酸乙酯，试计算制取 1吨乙酸乙酯需要含 CaC280％的电石多少吨？
解：CaC2+2H2O→Ca（OH）2+C2H2↑
C2H2+H2O CH3CHO
2CH3CHO+O2 2CH3COOH CH3CHO+H2 C2H5OH CH3COOH+C2H5OH CH2COOC2H5+H2O
设需要含 CaC280％的电石 x吨，由上述方程式推得：
2CaC2——→CH3COOC2H5 2×64 88 x×80％ 1 （2×64）∶（x×80％）=88∶1
x = = 2 64 1 88 80% 182
× × × 吨
. ( )
答：制取 1吨乙酸乙酯需要含 CaC280％的电石 1.82 吨。
简评：本题通过五步反应，最后才制得乙酸乙酯，若按化学方程式一步 一步的计算，则运算过程复杂，本题由于采用了关系式法求解，使运算过程 大为简化。
2.差值法


所谓差值法，就是利用反应前后物质质量、气体体积、压强等的变化， 建立起已知和未知的特殊关系，然后根据这种特殊关系进行解题的一种方 法。有些题用差值法求解，可使解题步骤大为简化。
例：在一密闭容器中充入 n摩尔的 N2O4，测得压强为 2大气压，在同温
下达到平衡，这时测得压强为 2.8 大气压，求 N2O4的分解率。
该题的一般解法为：
设达到平衡时有 x摩尔 N2O4分解
N2O4——→2NO2
起始摩尔数 n 0
平衡时摩尔数 n-x 2x n n X X − + = 2 2
28. X=0.4n
∴N2O4的分解率为 04. n n × ％ ％ 100 = 40
下面用差值法求解：
设平衡时 N2O4的分解率 x％，则有 100% x% = 4 2 2.8 2
（压强差）
（压强差）
解得 x％=40％
可见，这道题用差值法求解要简便得多。
3.十字交叉法
有些化学计算，用十字交叉法求解也很简便。


例：现需 59％的硫酸（密度 1.1 克/ml），但实验室有 98％的硫酸（密 度 1.84 克/ml）和 15％的硫醚（密度 1.1 克/ml）。问应按怎样的体积比混 合这两种酸才能得到 95％的硫酸？98％的硫酸与 15％的硫酸混和时的质量 比为 44∶39，因此混和时的体积比为： 4 4 184 39 11 2 3 . . . .
∶ ≈ ∶
答：98％的 H2SO4与 15％的 H2SO4混和时的体积比 2∶3。
简评：此题若用一般解法，则数字运算非常复杂，很难解出结果。
4.公式法
有些同类的计算题，可以通过归纳整理，找出其计算公式进行计算，可 使解题步骤和运算过程大为简化。
例：pH=3 的醋酸溶液用纯水稀释 100 倍，求稀释后醋酸溶液的 pH 值。 解：设醋酸溶液的原始浓度为 C，则：
C H K K K M = = = + − − [ ] ( ) ( ) 2 3 2 6 10 10 电离 电离 电离
又设稀释后溶液的浓度为 C1，则 C K M 1 10 100 6 = − × 电离 ( )
稀释后溶液中 × × ×
电离 电离


电离 [ ] H K C K K M + − − = = = 10 100 10
6 4
∴pH=-lg10-4=4
由上述计算可得出弱酸稀释后溶液 pH 值的计算公式为： 稀释后溶液的 原 （ 为稀释倍数） pH = pH + lg n n
若用上述公式计算弱酸溶液稀释后溶液的 pH 值，则非常简便。
解计算型选择题十二法
1.粗略估量法
例：下列物质中含 N量最高的是_____最低的是____。
（A）NH4HCO3 （B）（NH4）2SO4
（C）NH4NO3 （D）CO（NH2）2
分析：只要写出每种化肥中 元素质量与分子量之比： ， ， N
A = 67 B= 14 14 66
C = 14 40 D = 14 30
D A ， 。然后观察以上各式即可选出正确答案（ 、 ）
此题也可以用 N原子数和分子量之比来解答。
2.心算推断法
凡能心算的，应立即算出必要数据，并笔录结果，以便推断。
例：丁烷、甲烷、乙醛的混和气体，在同温同压下与 CO2的密度相同， 已知其中丁烷占总体积的 25％，那么三种气体的体积比是（ ） （A）5∶1∶3 （B）1∶2∶5 （C）5∶1∶5 （D）2∶1∶5


[题意解析]题意给了丁烷的体积分量和平均分子量，所按常规求平均分 子量的算法求出各种成分体积百分含量再比出结论，但不难从选题中心算出
（ ）中丁烷所含体积分量为 与题意相符。 D 2 8
[解答]（D）
3.观察法
例：已知下列两个热化学方程式：
2H2（气）+O2（气）=2H2O（液）+571.6 千焦
C3H8（气）+5O2（气）=3CO2（气）+4H2O（液）+2220.0 千焦
实验测得氢气和丙烷的混和物共 5mol，完全燃烧时放热 3847 千焦，则 混和气体中 H2和 C3H8的气体体积比（ ）
分析：按一般解法，根据阿氏定律 H2与 C3H8气体体积之比即为摩尔比， 后二者物质的量分别为 Xmol、ymol，按题意列方程： x+y=5 ①
285.8x+2220.0y=3847⋯⋯⋯⋯⋯②
解得：x=3.75，y=1.25。


∴二者体积之比为 3∶1，应选（B）。 此解法由于数较大，且不能整除， 运算费时。若采用观察法眼看心算，便可以难化简，其思路为：按选项中（A） 和（C）的摩尔比相混和并完全燃烧放出的热量，一看就可以看出大于 3847 千焦；按（D）的摩尔比混和，则明显小于 3847 千焦，这样仅进行简单计算 就可以淘汰（A）、（C）、（D）、选出（B），这比列方程解答可以节约大 量的时间。
4.间接求解法
这种解法是，把题目所要解决的某个问题转化为另一个容易解决的问 题，就可以把繁杂的计算，化为简单计算或不经过计算而得出结论。
例：二硫化碳（CS2）能够在 O2中完全燃烧生成 CO2和 SO2。现用 0.228 克 CS2在 448 毫升 O2（在标准状况）中完全燃烧，反应后气体混和物在标准 状况下的体积是（ ）
（A）112 毫升 （B）224 毫升 （C）336 毫升 （D）448 毫升 （E）201.6 毫升


[解析]如按常规解法，需通过计算确定哪一种反应物过量，然后计算生 成 CO2和 CS2的体积，最后加上剩余的 O2的体积，才能得到反应后混和气体 的总体积。这种解法既浪费时间，也容易出错误。如果分析这一反应的特点： CS2（液）+3O2（气） CO2（气）+2SO2（气），很容易看出同温同压下 反应前后气体的体积不发生变化，所以反应前 O2为 448 毫升，反应后混和气 体也必然为 448 毫升，所以根本不需计算就可以得出答案（D）。
5.比较法
比较法就是找出所求量与它所依据的变量之间的关系转化为其他量，然 后进行比较，选出最佳答案。
例：下列氮肥中，含氮量最高的是（ ） （A）NH4NO3 （B）（NH4）2SO4 （C）（NH4）HCO3
（D）CO（NH2）2 （E）NH4CL
[分析]这道题也要分别根据分子量的计算方法，求出各物质的含氮量， 再进行比较，运算过程很繁琐。因此，我们可以把比较含氮高低，转化为分 子量大小的运算就简单了。


化合物中某元素的含量，是由化合物的分子量以及分子中该元素的原子 个数确定，知道分子量和原子个数，将五种质进行对比，根据含 N原子数目 可以分为两组，一组为 A、B、D，均有两个 N 原子，D 分子量最小，B 分子 量最大，因此含 N量为 D＞A＞B；另一组为 CE，均含一个 N原子，同理可 知：E＞C；D和 E比较，D含 N数目是 E的 2倍，而 D的分子量小于 E的 分子量的 2倍，故最高的含 N量的是 D。
6.推理法
例：一定条件下，40mlCO2、CO 和 O2的混和气体完全燃烧后，恢复到原 来的条件，测得气体的体积为 36ml，那么，O2的体积是____。
（A）8ml （B）4ml （C）36ml （D）10ml （E）无法确定
分析：有的同学认为已知条件不足，无法计算。事实上根据化学方程式： 2CO+O2 2CO2可知，反应前 CO 的体积等于反应后生成的 CO 的体积， 减少的体积为 40-36=4ml 就是 O2的体积。∴应选（B）。
7.差量法


利用化学方程式进行有关质量的计算，一般步骤都很复杂，当题目如果 提供混合物反应前后的量，只要反应前后的量相减，得出实际差值，再分析 理论量差，就可以按比例式求解，这样可以简化。
例：把 1克含有脉石（S2O）的黄铁矿试样在O2中灼烧后，得到残渣 0.76
克，此黄铁矿的纯度为（ ） （A）52％ （B）65％ （C）72％ （D）78％ （E）85％
[解析]矿样反应后变成残渣，质量减轻了。减轻的原因是 FeS2转化为 Fe2O3，便可列式，（设含 FeS2的质量为 x克）。
2FeS2—→Fe2O3 反应前后质量差 （2FeS2-Fe2O3） 2×120=240 160 240-160=80
（理论质量差） x 1-0.76=0.24
（实际量差）
由此列出比例式： 240∶80=x∶0.24，便可求出 x=0.72 克，即纯度为 72％，选取答案 C。
8.关系式法


例：在 O2中灼烧 0.4 克 S 和 Fe 的化合物，待其中的 S 全都转化为 SO2， 把这些 SO2氧化生成 H2SO4，这些 H2SO4 可以用 20ml 0.50MNaOH 浓液完全中 和，求原化合物中 S的百分含量 （A）18％ （B）46％ （C）53％ （D）73％ （E）40％
分析：由题意得关系式：
S—→SO2—→H2SO4—→2NaOH
32 克
2mol x 0.5×20×10-3=0.01（mol）
x = 2 = 0.16 100 = 40
32 0 01 016 04
× × ％ ％
.
. .
∴应选（E）
9.简化关系法
这是一类可以用化学方程式或关系式计算的题型借助于对反应式系数熟 悉的基础，得出更简化的关系式。
例：在天平两端的两只烧杯中，各放同浓度，同体积的足量 HCl，调节 天平平衡后，往左边烧杯中加入 3.6g 铝粉，为使天平最终保持平衡，应该往 右端烧杯中加入镁粉的质量是（ ） （A）3.6g （B）3.93g ]（C）3.49g （D）3.70g


[题意分析]从心算知，每 9gAl 能置换出 1gH2，3.6gAl 置换出 0.4gH2， 而投入 Mg 与放出 H2的差量关系：
Mg↓～H2↑⋯⋯增 24 2 22 32 x = .
[解答]（C）
10.筛选淘汰法
例：下列溶液 pH＞8 的是______。
（A）将 pH=5 的 HAC 溶液稀释 100 倍（B）10ml0.2N 的 HAC 中加入 9.99ml0.2N 的 NaOH 溶液
（C）500ml 水中加入 0.05M 的 H2SO410ml
（D）pH=12 的 NaOH 溶液稀释 100 倍
（E）pH=8 的 KOH 溶液加水稀释 100 倍
分析：此题不必对 A—E各项一一加以计算，只要根据题目所给条件，运 用化学知识逐一进行筛选，淘汰不合题意的答案，就可以选出正确答案 pH＞ 8，说明溶液呈碱性。（A）为酸性，稀释后不可能变为碱性，B、C溶液呈酸 性，∴（A）、（B）、（D）可以排除，（E）pH=8，该溶液稀释后碱性只能 减弱，pH 值不可能增加，故只能选（D）。
11.最小公倍数法。


例：体积相同的 NaCl、CaCl2、AlCl3溶液，把其中的 Cl-全部沉淀出来， 用去相同体积等摩尔浓度的 AgNO3溶液，则三种溶液摩尔浓度之比为 （A）1∶1∶1 （B）1∶2∶3 （C）3∶2∶1 （D）6∶3∶2
（E）无法确定
分析：Ag++Cl-=AgCl↓ 1mol∶1mol NaCl∶MV×1∶M1V0×1，∴M1=MV/V0；
CaCl2：MV×1∶M2V0×2，∴M2=MV/2V0；
AlCl3∶MV×1∶M3V0×3，∴M3=MV/3V0。
∴ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶ 。
M M M = 1 = 6 3 2 1 2 3 1 2 1 3
∴应选（D）
12.多反应式变换法
例：一定条件下，将等体积 NO 和 O2的混和气体置于试管中，并把试管
倒立于水槽中，充分反应后，剩余气体的体积约为总体积的______。
（ ） （ ） （ ） （ ） A B C D 1 4 3 4 1 8 3 8 分析：2NO+O2=2NO2 ① 3NO2+H2O=2HNO3+NO ② 因 NO 不稳定被氧化后，最后完全被水吸收变成 HNO3。 ①×3+②×2 得 4NO+3O2+2H2O=4HNO3 ③


根据③式可知：若 NO 与 O2体积之比为 4∶3，则无气体剩余，由于已
知 与 体积之比为 ∶ ，所以剩余 为 ，总体积为 ，剩余气体为原 NO O 1 1 O 2 2 2 1 4
总体积的 ，应选（ ）。 1 8 C
分析型计算题的解题方法
分析和计算结合的题，是一种十分流行的习题类型。这类题中的条件隐 蔽得很巧妙，从题中给出的条件解题，往往觉得缺乏一些直接条件或似乎无 解，只有通过反复推敲、周密分析，找出暗藏在字里行间的间接条件，才有
获得的希望。这类题的综合程度较大，涉及的知识面宽，较复杂。学生解这 些题，感到特别困难，加强对解这类习题的指导，可以发展思维，开拓智能， 加深对知识的理解和解题技能，提高分析能力、判断能力和综合能力。
分析和计算结合题的解题方法，是要将分析和计算结合起来，属于分析 性的方面要用适当的文字叙述，属于计算的方面要按计算的规则进行计算， 两者不可偏废。几种常用的解题方法如下：
1.传递法（又叫顺推法）
题的脉络清晰，一环紧扣一环，牵滕则瓜动，因此常用顺藤摸瓜的方法 解。
例：从含 FeS245％的黄铁矿 4000 吨能制得 H2SO4多少吨？


解：设可生成 H2SO4x 吨。
由 FeS2制 H2SO4有三个化学方程式，它们之间的关系是：
4 11 350 2 8 2 2 2 3 2 FES O Fe O SO + + ℃
8 4 450 500 8 2 2 2 5 3 SO O V O SO
+ ℃ ℃ ~ 8SO3+8H2O=8H2SO3 4FeS2～8SO2～8SO3～8H2SO4
化简后得出关系：FeS2～2H2SO4 120 196 4000×45％ x
解得 x=294 吨。答：略
2.逆推法
逆推是一种与顺推相反的一种解题方法，适应于思考性较强的题目，特 点是假设未知为已知，由条件逆后推理。
例：有碳、氢、氧三种元素组成的有机物，它的分子式由几个原子组成， 核电荷数为 34，当完全燃烧 2摩尔该有机物时，需消耗 9摩尔 H2，求此物质 的分子式。
解：设该有机物分子中碳、氢、氧的原子个数分别为 x、y、z。
则该物质的分子式为 CxHyOz。
原子个数：C H O x y z
各原子核电荷总数： 6x y 8z 2CxHyOz+9O2—→xCO2+yH2O


反应前氧原子的摩尔数为 2z+18，反应后氧原子的摩尔数为 2x+y。 依题意得：
x + y + z = 12 6x + y +8z = 34 2z +18 = 2x + y     
解得 x=3，y=8，z=1。
∴该有机物的分子式为 C3H8O。
3.讨论法
只能从题给出的条件分析解题，似乎觉得条件不够，必须寻找一些间接 条件，找出间接条件与直接条件的关系，并讨论有几种解的可能性。
例：两种气体链烃各 0.1 摩尔组成的混和物与过量的氧气充分燃烧后， 当产物通过浓 H2SO4时，溶液的质量增重为 7.2g，然后通过浓 H2SO4溶液时， 溶液又增重 17.6g。求由哪两种烃组成？各种烃占多少克？
解：设混和物中碳原子的摩尔数为 x，氢原子的摩尔数为 y。
CO2 C H2O 2H
44 克 1mol 18 克 2mol
17.6 克 xmol 7.2 克 ymol x=0.4mol y=0.8mol
则碳原子的摩尔数：氢原子的摩尔数 即 x∶y=0.4∶0.8=1∶2
氢原子数为碳原子数的两陪： nH=2nC 设两种混烃的分子式分别为：
CmHn和 CaHb


则由题设条件有下列关系式存在： 0 01 0 4 01 01 08 4 8
. . .
. . . m a n b m a n b + = + =    ⇒ + = + =
  
如果是烷—烷组合：
则 nH=2nC+2 与 nH=2nC
∴与题不符；
如果是烯→烯组合：
则 m≥2且 a≥2
那么 m=2，a=2，即都是乙稀，与题不符；
如果是炔→炔组合：
则 nH=2nC-2，∴与题不符合；
如果是烷→稀组合；
则 nH＞2nC，∴与题不符合；
如果是烯→炔组合：
则 nH＞2nC，∴与题不符合；
如果是烷→炔组合（∵nH=2nC，又由于是混烃，符合条件），因此上述 混烃只能由烷烃和炔烃组成。
设烷烃分子中碳原子数 n1，炔烃分子中碳原子数为 n2 。


C H O n CO + n +1 H O C H n + O n CO + n -1 H O n 2n 2 1 2 1 2 n 2 2-2 2 2 2 2 2 1+2 （ ） → （ ） （ ） → （ ） n n n n 1 1 2 1 1 2 1 2 + + + − 44n1+0.1+44n2×0.1=17.6 18（n1+1）+0.1+18（n2-1）×0.1=7.2
化简得 n1+n2=4。
当 n1=1 时，是甲烷，其质量为：
16×0.1=1.6（克）， 当 n1=2 时，是乙烷，其质量为：30×0.1=3（克）
则 n2=3 是丙炔，其质量为：
40×0.1=4（克）， 当 n1=2 时，是乙烷，其质量为：30×0.1=3（克）
则 n2=2，是乙炔，其质量为：
26×0.1=2.6（克）。答：略。
4.步步逼进法（又叫穷追法）
是推理计算中应用的一种方法，是根据题意，步步逼进，淘汰不合题意 的结论，得到正确的唯一结论。


例：有原子量均大于 10 的 A、B 二元素相化合成 x、y两种气态化合物， 已知 x-分子中含 A、B各一个原子，7克 x在 27℃、0.5 大气压，体积为 12.3 升：y一分子中含 A一个原子，对 H2的相对密度为 32，求 A、B 为哪两种元
素？x、y为哪两种化合物？
解：设 x化合物 7克在标态下时所占的体积为 V0，分子量为 M1，y的分
子量为 M2，y中 B原子的个数为 n。
V PVT P T M 0 0 0 1 05 12 3 273 1 300 56 22 4 7 56 28 = = = = = . . . ( ) . . . × × × 升 ×
根据题意可得 A+B=28 ① A+nB=44 ②
解得 B（n-1）=16
将符合题意得 B=16 代入方程（1）、（2）中的解得 A=12，查表得 A 为 碳，B为氧，x为 CO，y 为 CO2。
解无数据计算题四法
无数据化学计算题是近年来常见的题型，对于培养学生的抽象思维能力 是一种良好的训练方法。
1.归一法


所谓归一法就是把被研究的物质数值定为一（单位视情况而定）来进行 求解。这种方法思路清晰，步骤简捷，带有其独特之处，是解无数据化学计 算题最常用的方法。
例：由 CaCO3和 MgCO3组成的混和物高温加热至质量不会再减少时，称得
残留物的质量是原混和物的一半，则残留物中的 Ca、Mg 两种元素的物质量之 比为多少？
解：高温加热时的化学方程式为：
CaCO3 CaO+CO2↑
MgCO3 MgO+CO2↑
由方程式可以看出：残留物中的 Ca、Mg 两种元素物质的量之比，等于 CaO 和 MgO 的物质的量之比，也等于 CaCO3和 MgCO3的物质的量之比。残留物
质为原混和物的一半，说明残留物的质量与 CO2的质量相等，而且 CO2 和残 留物的物质的量也相等，由此可以看出 CO2的分子量和残留物的平均分子量 相等，都是 44。
假设残留物为 1摩尔，其中 CaO 为 X 摩尔， 则 56X+40（1-X）=44， X=0.25（摩尔）。
1-X=1-0.25=0.75（摩尔）。
残留物中 Ca、Mg 两种元素的物质的量之比为： 0.25∶0.75=1∶3
2.差量法


化学反应的过程中，会造成物质在量的方面发生变化。这些变化的差量 必定与某些量存在着某些关系，借助这种关系，就可以用差量法进行有关计 算，这种方法简捷、方便。
例：在空气中将无水的硝酸铜和铜粉的混合物灼烧后（即生成 CuO）， 所得物质的质量与原混合物的质量相等，求原混和物中硝酸铜的百分含量。
解：因为灼烧前后混和物的质量相等，所以发生反应时 Cu（NO3）2分解
减少的质量与 Cu 被氧化增加的质量相等。
设原混和物的质量为 1克，其中含 Cu（NO3）2为 X 克，Cu 粉为（1-X）
克。
2Cu(NO3)2 2CuO+4NO2↑+O2↑ 质量减量 2×188 克 216 克 X X 克 克 27 47
2Cu+O2 2CuO
质量增量 2×64 克 32 克 ( ) 1 1 4 − − X X 克 克 所以 解得 克
×
27 4 1 4 03022 03022 1 100% 30 32 3 2
X X X Cu NO
= − = = =
, . ( )
( ) % .
. (%)
3.推理法
有些习题可以借助于化学方程式、化学式以及一些特定的条件，经过逐 步推理得出关系式。
例：题目同上例（略）


解：混和物灼烧前后质量相等，都假设为 1克，其中 Cu（NO3）2设为 X
克，则铜粉为（1-X）克。
混和物灼烧的化学方程式： 2Cu+O2 2CuO 2Cu（NO3） 2CuO+4NO2↑+O2↑ 由以上两个化学方程式可以看出：CuO 的物质的量等于 Cu 的物质的量加 上 Cu（NO3）2的物质的量。 即 1 80 188 1 64 = + − X X
解得 X≈0.3032（克） Cu NO( ) % . .
3 2 0 3022 1 100% 3032% = = ×
4.假定法
有些习题，由于题设条件或间接条件不确切，造成求解的结论出现几种 可能。处理此类问题往往需要对不确切的条件进行假设，然后再依据这种假 定进行计算、分析，从而求得可能的解。
例：在 120℃时，某种烃和足量的空气充分反应后其体积不变，这种烃 是什么？
解：假设这种烃的分子式为 CxHy。
2C H + 2X + y 2 O 2XCO + yH O x y 2 2 2 （ ） → （气）
根据阿氏定律可知，在相同条件下气体体积相等，则其物质的量也相等。


即2 2 2 2 + + = + x y x y, 解得 y=4， 则这种烃的分子式为 CxHy。
讨论：假设为烷烃，分子式为 CH4，甲烷； 假设为烯烃，分子式为 C2H4，乙稀；
假设为炔烃，分子式为 C3H4，丙炔。
简答题的类型及答法
化学问题，要求用意思完整，言辞简洁，逻辑性强，能击中要害的字、 词、句、字母、符号、化学用语、数字和单位等来回答化学问题，解释化学 现象，故常叫化学简答题。它的命题内容主要包括：根据双基进行元素及比 合物的推断，物质的分离、提纯、制备；化学实验及简单的设计等。命题形 式主要有两种，一种表现为类似填空的形式，另一种表现为提出问题，要求 回答。
解答简答题一般思路是：①认真审题，抓住核心，分清要说明问题，还 是要归纳结论，还是要验证原理；②分析题意，找出题中所有的大小知识点， 并抓住各知识点间的内在联系；③学会知识迁移，把书本知识渗透到题目中， 积极思维，寻找交联点；④草拟方案，联系题意进行综合分析，归纳小结， 并对语言进行加工提炼，做到：原理正确，回答切题，操作规范，语言精炼， 意思完整。
1.“实验操作”型


要求回答“怎么做”。往往用来考查化学实验知识，最常见的是设计一 个简单的实验。分析时要运用同中求异的思维方法，设计出简便而可行的实 验方案。回答时，需用文字陈述实验的操作步骤、所用药品、现象以及结论。 一般不必阐述“这么做”的理由。
例：有两瓶pH=2 的酸溶液，一瓶是强酸，一瓶是弱酸，现只有石蕊试纸、 酚酞试液、pH 试纸和蒸馏水，而没有其它试剂。简述如何用最简便的实验方 法来判别哪瓶是强酸。
[分析]题目中提供了多种试剂，它既限制了答题的范围，又对解题产生 了干扰，分析时不要被众多的试剂所迷惑，而应作适当的取舍。鉴别对象是 酸，因此必须从 H+着手，想法使两者的 pH 值搞得不相符，方法是加水。在 稀释时，弱酸还有未电离的弱酸分子进一步电离出 H+，使[H+]降低的幅度较 小，这种差异可用 pH 试纸定量加以区别，而石蕊试液只有定性意义，故不宜 选用。
[答案]各取等体积酸溶液用蒸馏水稀释相同倍数（如 100 倍），然后pH 试纸分别测其 pH 值，pH 值变化的幅度大的那瓶是强酸。
2.理论解释型


要求说明“为什么”。多用来考查基本理论和元素化合物知识，最常见 的是分析说明和解释一个化学现象和事实，分析时要运用由果索因的思维方 法，力争自圆其说，回答时侧重于化学用语，并配以必要的文字说明。
例：在 80℃时，纯水的 pH 值小于 7，为什么？
[分析]回答时必须把前因后果说清楚，说全面，有的只答出温度升高纯 水电离增大，至于原因只字未提，因此未尽题意，仅得一分。
[答案]已知室温时，纯水中的[H+]=[OH-]=10-7mol/l，又因为水的电离 （H2O H++OH-）是吸热反应，故温度升高到 80℃时，电离度增大，致使
[H+]=[HO-]＞10-7mol/l，即 pH＞7。
3.因果关系型
因是问题和说理的依据，果就是推理和判断的结论，有因才有果，有果 必有因。
例：有两瓶 pH=2 酸溶液，一瓶是强酸，一瓶是弱酸，现只有石蕊试液， 酚酞试液，pH 试纸和蒸馏水，而没有其它试剂，简述如何用最简便的实验方 法来判断哪瓶是强酸。
[答案]各取等体积酸液用蒸馏水稀释相同倍数（如 100 倍），然后用pH 的试纸分别测其 pH 值，pH 值变化大的那瓶是强酸。


[分析]回答时必须答出稀释，测 pH 值，指出 pH 值变化，然后解出正确 判断，其中稀释，测 pH 值是题目要求回答的最简单实验方法，pH 值的变化 是判断的依据，正确的判断结果是合题的结论，答案的三句话，思路简捷， 因果明确。
4.平行关系型
一个问题，必须同时考虑几个平行因素，然后综合比较，择优回答。 例：用电石和水反应，产生的乙炔中含有 H2S、PH3等杂质，某学生拟选
用 NaOH 溶液，KMnO4溶液，CuSO4溶液中的一种除去 H2S 杂质，经研究最后确 定选用 CuSO4溶液，请根据反应原理回答：（1）选用 NaOH 溶液的理由
是______，排除选用 NaOH 溶液可能原因是______。
（2）选用 KMnO4溶液的理由是______，排除选用 KMnO4溶液的可能原因
是______。
（3）选用 CuSO4溶液的理由是______，最后确定选用 CuSO4溶液的主要
原因是______。
（4）能否用 Cu（NO3）2溶液代替 CuSO4溶液？为什么？
[答案]略。
[分析]本题主要考查 H2S 和 C2H2的性质，回答时首先考虑 H2S 的几个平
行的性质因素：


硫化氢系酸性气体能与 NaOH 溶液反应（中和反应）；
硫化氢具有强还原性能与 KMnO4溶液反应（氧化一还原反应）；
硫化氢能与 Cu2+，pb2+等多种金属离子反应（复分解反应）。
择优确定 CuSO4溶液时又必须考虑：
（1）除去杂质试剂不能与制取的气体反应；
（2）除去杂质应完全彻底；
（3）实验现象尽可能明显；
（4）不能引入新的杂质。
5.延续关系型
要根据题目提供的条件研究前期反应，又要根据可能发生的后期反应作 出正确的回答。
例：两个大小相等的集气瓶，室温下一个充满 H2S，另一个充满 SO2气体， 将集气瓶口对口密封上下颠倒数次，请回答：
（1）反应后瓶内压强最大时是原来的多少倍？
（2）反应完全后两瓶内物质各是什么？
（3）氧化产物和还原产物的质量之比是多少？
[答案]（1）1/4；（2）S，SO2，H2SO4；（3）2∶1。
[分析]由于 SO2气体过量，反应后瓶内压强最大时应是剩余的 SO2 未溶 于生成的水时的状态。
回答（2）时，应考虑剩余 SO2与生成水的相互反应，因而瓶内物质反应
为 S、SO2、H2SO4，因为 SO2不可能完全溶解，而溶有 SO2 的水应是 H2SO4溶 液。


6.逆向关系型
逆向思维简答题也较常见，例如概念和问题的逆向关系，计算题中的逆 向运算，化学原理和方法的逆向思维等，它有利于克服学生正向思维的定势。
例：某学生利用实验里制取 O2的装置，加热0.1 摩的 Cu（NO3）2的晶体， 他首先计算在标准状况下可得的气体体积，再加热并收集，但实验失败，未 能收集到应用的气体，你认为可能的原因是什么？
[答案]操作上，装置漏气，用错试剂，虽加热但未分解等。
理论上：因 2Cu（NO3）2 2CuO+4NO2↑+O2↑
4NO2+O2+2H2O=4HNO3
反应生成的气体 NO2和 O2以 4∶1 的体积比完全生成了 HNO3，故用排水 法不能收集到 Cu（NO3）2分解产生的气体。
[分析]本题从应放出气体又收集不到的正、反两个方面要求分析作答， 由于止向的计算易出差错，因而逆向的回答也易错漏。
7.发散性型
各种化学问题，常见的均有固定答案，且多具唯一性，尽管有些题目有 多种解法，但最后的答案却是相同的（有人称之为“对闭型”题目。）


发散性题目一般只有统一要求，没有固定答案，且有时不止一个答案（人 称之为“开放型”题目），解题这类题目是从一个目标出发，运用全部信息 进行放射性联想，以寻求多途径，多方法解决同一问题。
例：现有0.1mol·L-1Al2（SO4）3溶液 100 毫升，若要产生1.17 克沉淀， 问要加入多少毫升 0.5mol·L-1NaOH 溶液？
[答案]90 毫升和 130 毫升。
（1）当加入的 NaOH 溶液不过量时：
Al3++2OH-=Al(OH)3↓
3 78 0.5 1.1 V=90ml
（2）当加入的 NaOH 溶液过量时： Al3++ 3OH= Al（OH）3↓ 1 3 1 0.02 0.5V1 0.02
解得 V1=120（ml）
因已知生成的 Al（OH）3沉淀为 1.17/78=0.015（mol） 故知溶解的 Al（OH）3应为： 0.02-0.015=0.005（mol） ∴A1（OH）3+OH-=AlO2-+2H2O 1 1 0.005 0.5V2
解得：V2=10（ml） ∴V1+V2=180（ml）


[分析]本题属一个问题多个结论，根据 Al（OH）3的两性，应从加入的 NaOH 溶液是否过量全面分析解答。
中学生化学解题中的障碍及其克服九法
学生在解题中，会遇到一些来自知识、方法或心理方面的障碍，只有注 意解决这些障碍，才能使学习顺利进行。
1.先入为主
例“铝能与酸反应生成铝盐，也能跟碱反应生成偏铝酸盐，所以铝是既 具有金属性又具有非金属性的两种性质的单质。”对吗？
不少同学认为这句话是对的。这是铝的两性概念的原有旧知识的负迁移 现象，铝是两性元素。但其两性表现在化合态的铝——氧化铝和氢氧化铝分 别是两性氧化物和两性氢氧化物，而游离态的单质铝却是只有典型的金属
性，在它与酸、碱溶液反应时都是失去电子而表现出金属性。显然，上述错 误判断是学生对“两性”旧知识的“成见”，产生了对新问题的“先入为主” 的干扰，为了消除“先入为主”，应采取对比的方法，找出类似概念的区别， 划清类似知识的界限。同时，教学时要加强理解，提炼概念的本质，提高知 识的概括水平，以发挥知识的正迁移的积极作用，克服负迁移的消极作用。
2.抓不住化学过程


化学计算题可视为数学应用题，可是不少学生说化学题比数学应用题难 解，“难”在何处呢？主要是题设已知到未知的过程比较复杂且穿插一些化 学概念，更“头痛”的是建立已知与未知中间过渡过程无法找到。如，某待 测浓度的 NaOH 溶液 25ml，用 20ml1 摩/升的 H2SO4溶液中和后显酸性，再滴
入 1M 的 KOH 溶液 1.5ml 才达到中和，求待测 NaOH 的摩尔浓度？
一看题目这么长，情节这么杂，数字那么乱，心里就发慌，但如果静心 地读出题目所叙述的化学过程，身临其境去体会情节就不难看出，本题复述 的化学过程是：20 毫升 1 摩尔/升的 KOH 和 25 毫升不知浓度的 NaOH 中和， 显然，抓住了这个过程，怎么思考就一清二楚了。
造成这种心理障碍原因主要是：学生还没有掌握学习化学的思维特点和 规律，抓不住关键，形不成中心，影响了思维的畅通。
3.忽视隐蔽因素
在解决化学习题时，一些隐蔽因素学生不易发现，因而也给学生带来障 碍。如，把等体积的 NO 和 O2在等温等压下混和，混和后气体的平均分子量
是（ ） ①30 ②41.33 ③32 ④29 ⑤31


很多学生错把⑤选上，其原因主要是他们看题时只注意那些起明显作用 的因素，认为等体积的气体又是等温等压的条件，摩尔数一定相等。只要把 两者气体的分子量相加后除以 2即可求出平均分子量，而看不到“混合”二 字还存在两者能发生反应的隐蔽条件。
造成这些障碍是心理因素在起作用，学生往往拿到题目就列式计算，只 要有答数就认为会做，毫无考查题意的意思了。
4.不善于寻找替换方案
有些化学题目初看起来似乎无解，但若能改变思维角度设想一个效果相 同的事件取代原先研究的课题，摒弃问题的复杂性、曲折性，就能使研究的 问题变得简明了。如，现有两种氧做单质 O2和 Om的混合气体，从其中取出体
积相同的两份，往一份中加松节油，Om完全被吸收，结果气体体积减少 V毫 升；加热另一份使其中 Om 全部分解成 O2，则气体体积增加 0.5 毫升（以上 气体体积都在同温同压测定的），根据上述的数据，推断 m的数值。
本题数量关系的内容叙述的非常婉转，按表面的字眼是很难产生思路 的，可若把分号前的第一步实验的句子改为因果关系，即变成：因为 Om被松


节油完全吸收，结果气体体积减少 V毫升 Om的体积是 V毫升，再把分号后的 第二步实验进行交换可得，因为 Om全部分解成 O2，所以气体增加了 0.5V 毫 升，连起来条件就可改述为：将 V毫升的 Om气体加热完全分解得到 O2，气体 体积增加了 0.5V 毫升根据替换后的条件，借助化学原理就不能进行以下的分 析推理：
O m O V m V
m △
毫升 毫升
2 2 2
从关系式可以看出气体体积增大量为： ，这时就可列出方程： m V V 2 −
m V V V 2 1 2
− = ，解之就可求出。
造成这种障碍的主要原因是学生不会运用等效研究的问题，根源在于教 师认为这是较高档次的认识水平问题，是建立在学生对化学问题的理性认识 的基础之上的，也是技巧问题，因此平时不怎么注意诱导、训练这种能力所 致。
5.用数学的思考方法代替化学概念
化学的公式、概念都有一定的化学含义，学习时往往忽略这一点造成失 误。如，在 1.5 升 40％硫酸溶液里（密度为 1.30 克/厘米 3），含有多少克 的硫酸？


这题目小学数学就已学过，学生顺手就可列出算式。方式有：①1.5×1000 ×40％×1.30；②1.30×40％×1.5×1000；③1.5×1000×1.30×40％结果 ①和②都是错的。从数学角度上看，三个式子都是一样的，但从化学意义来 说，①和②是解释不通的。
造成这种障碍的原因是：学生学习化学时只从数学角度看习题，忽略了 化学概念的化学意义。
6.思维定势
思维定势用物理语言叫思维惯性，在教育心理中就是学生根据已有感性 认识去解决命题时既定心理的准备。这种心理状态容易使学生由于思维定势 形成负迁移，产生消极影响，造成学习上的困难。
例：有硫化氢 170 克，在燃烧时共用去 O2100.8 升（标况），燃烧后把
产生的物质冷凝至室温，剩余气体体积缩小为原混和气体体积的 21.05％， 求充分燃烧的硫化氢占硫化氢总体积的百分率。
[解Ⅰ]设充分燃烧的 H2S 为 X 升，未充分燃烧的 H2S 为 Y 升。
2H2S+O2 2S+2H2O 2 1 y 1/2y
2H2S+3O2 2SO2+2H2O 2 3 x x 3 2
依题意得： 1 2 y + 3 2 x = 100.8


x + y = 22.4 × 170 34
1 （ ） 2 （ ）
解（1）和（2），得：x=44.8（升），y=67.2（升）。
∴充分燃烧的 占 × ％ ％。
H S 100 = 40 2 44 8 44 8 67 2 .
. . +
[解Ⅱ]从方程式：
2H2S+3O2 2H2O+2SO2
可知：充分燃烧的 H2S 体积=生成的 SO2（即剩余气体）的体积=（100.8+ 170 34 × ）× ％ （升）
22.4 21.05 = 44.8
以下同解Ⅰ。


以上两种解法，解Ⅰ是常规解法，从已知条件出发，按照定型化的习惯 思路，按步就班地进行推理计算。而解Ⅱ从题目的整体出发，采用敏捷的判 断和简缩的推理得出答案。与解Ⅰ比较，解Ⅱ是创造性的解法，解Ⅰ是学生 的“心理定势”解法。心理定势指学生在长期的学习中形成的一种习惯思维 方向。这种定势，有其积极的一面，就是容易熟练。即对于同一类型的题目， 能够沿着模型化的思路，驾轻就熟地解答。但“心理定势”有时会限制学生 正常思维能力的发展，特别是创造思维的发展，形成心理惰性，使思维呆板， 对学生能力的发展产生消极的反作用。要摆脱“心理定势”的反作用，可以 选择一些典型范例来破坏学和对常规使用某一公式或某一方法的过分信赖， 使学生对某种心理定势产生自我“制动”。另外，一题多解是训练学生思维 灵活性的好方法，通过一题多解，培养学生思维的多向性和敏捷性，训练学 生按常规思维跳跃前进和另辟捷径。以求在最短时间内发现问题、分析问题 和解决问题。
7.多余条件干挠
例：把 50ml0.5M 的 R2SO4溶液和 25ml1M 的 RC1 溶液混和，求混和液中 R+浓度。


有的同学被题目中数字现象所干挠，认为这是两种不同浓度溶液混合的 问题，于是按： × × × （ ）来计算 浓度。虽然答数也对， 50 05 2 25 1 50 20 1
. + + = M R+
但走了弯路，“多此一举”浪费了时间。有的同学观察力强，一眼看出两种 溶液中的 R+浓渡相同，所以不管以什么比例混和，结果混和液中的 R+浓度都 是 1M，所以不用计算，就可得出答数。这就排除了多余条件的干挠。在课堂 教学中，要引导学生，对问题要先把各种因素加以整理，化繁为简，去伪存 真，排除多余的信息，然后对简约的信息进行加工，从而当机立断，赢得思 维速度。
8.问题空间的屏蔽


一般说，解决问题是从已知条件出发，经过一步步的中间状态，最后达 到目标。这里的中间状态，也叫“问题空间”。“问题空间”或多或少地对 解决问题产生心理“屏蔽”作用（犹如电子云的屏蔽效应），对解决问题就 是排除“屏蔽”，探索问题空间的过程。心理学研究表明，探索有二种策略， 一是算法式，一是直觉式（或叫巧联式）。算法式“保险系数”大，但较费 时。而直觉式，是根据已有的经验和知识，机智分析后信手拈来的一种方法， 它解题快速，但容易出差错。根据教育要面向未来的要求，对未来的复杂问 题不运用直觉式是不行的。因而化学教学中要有意识培养学生直觉思维能
力。为此，首先要扩大学生的知识基础，尤其要帮助学生形成科学的知识结 构。因为直觉思维的一个重要特点就是思维跨越空间的跳跃性，它要求学生 要有在短暂时间内迅速地把所需要的知识和经验从整个知识和经验背景中检 索出来和重新组合的能力。这只有在学生具有结构化学的科学知识系统下才 能办得到。


例：某混和气体，系由一种气态烷烃和一种气态烯烃混和而成。它对氢 气的相对密度为 12.0，把这种混和气体 1体积和 4体积氧气混和，在密闭容 器中用电火花点燃，使两种烃都充分氧化。如果燃烧前后温度保持不变且＞ 100℃，压强从燃烧前的 1大气压增加到燃烧后的 1.04 在气压。问这两种烃 各是什么烃？在混和气体中它们的体积百分比是多少？
要解答这个问题，若按算法式，设烷烃为 CnH2n+2，烯烃为CmC2m，然后一
步步求解，将会相当困难。而运用直觉式，根据混和气体的平均分子量=2× 12.0=24，立即可以直觉地判断出烷烃为甲烷。跨越了这一步问题空间的屏 蔽，以后的解题就容易了。教师在课堂教学中，要有意设计这类有明显“问 题空间”跨度的习题来训练学生。
9.紧张状态的抑制


在重要考试时，经常有人怯场，就是本来能够解答的问题，由于情绪紧 张而不能解答，或者解答时心理障碍特别多。甚至本来已经完全掌握了的知 识一时都记不起来（临场遗忘）。这说明紧张状态产生心理抑制，造成严重 心理障碍。要避免上述情况，一要平时打好基础，有了扎实的基本功就能“艺 高胆大”，不会怯场；二要使精神放松，制造“假消极状态”，等待心理潜 力的发挥；三要把问题暂时放开，暂时休息或转换别的问题；四要进行自我 暗示，相信过一会儿会把问题答出来，避免“怯场”还要在平时重视心理训 练，并以“实战”的姿态对待每一次课堂练习或考试，练出信心和成功胜利 的心理素质。
化学课堂学习的指导程式与方法 化学课堂学习的基本阶段
化学学习过程，是由一系列阶段组成的，阶段与阶段之间，既有联系又 有区别，每一阶段也有自己的专门特点和任务。学习过程的基本阶段，实际 是认识过程的基本阶段。深入研究和正确组织学习过程，对提高学习质量， 促进知识的掌握和能力的形成具有很大的意义。
化学学习过程一般可分为四个基本阶段。
1.感知教材——发展观察能力阶段


通常情况下，学生接受化学知识是从感知所学物质及其变化的现象、事 实入手的，并在听取教师的讲解过程中进行的。从观察对化学有兴趣、学得 好的学生来看，他们在课前都自觉地预习好有关知识，做好书籍用品等物质 准备及心理准备，带着愉快的心情盼望化学老师快来讲课，学到更多更有用 的化学知识和技能，上课时就全神贯注。这种自我集中注意，是在学习过程 中逐步养成的。从教的角度来说，如何使学生能这样作自我准备，需要做许 多工作，如培养学生的学习兴趣、明确学习目的，了解做好自我准备的重要 性，并加以指导、检查等等。
感知化学新教材，一般有三个途径：
（1）演示实验或边讲边实验，这是主要的。其次是展示模型、标本、挂 图等直观教具和幻灯、电影等现代化教学手段。
（2）利用教材、课外读物中提供的基本事实材料。
（3）利用生动形象的语言，唤起学生头脑中的旧观念，使与所学的新观 念结合起来。这就要充分利用学生已有的知识和经验，并非事事都要从生动 的直观开始，注意克服为演示而演示的形式主义。