3.角的平分线
的平分孩必须说明
(1)定义:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角 的射线,叫做这个角的平分线.
OC在OA与OB之间才
(2)常用结论:如图。射线(XC"平分/AOB,那么/AOCBOXC 4可以 AOB,AOB=2/AOC-2/B0C.类似地还有角的三等分线等。
4.角的四则运算
[4.角的四则运算
知识3余角和补角]

"运算":"加法"
"法则":"先同级相加,再时分秒化简"
"举例":"21°26'+32°47'=53°73'=54°13'"

"运算":"减法"
"法则":"从低位算起,若同级不够减,则向上一位 借1作60"
"举例":"60°-53°17'6"=59°59'60"一 53'17'6"=6°42'54""

"运算":"乘法"
"法则":"当一个角度与一个正整数相乘,先用正 整数分别与度分秒相乘,再把所得的积 相加后化简"
"举例":"12°14'10"×6=72°84'60"=73°25'"

"运算":"除法"
"法则":"当一个度数与一个正整数相除时,从高 位算起,余数乘60化为下一级再运算"
"举例":"29°10'48"÷4=7°+70'48"÷4= 7°+17'+168"÷4=7°17'42""
知识3余角和补角
与位置亚为余屏 两用和是90°(直角)
1.余角角没有余角
无关互为补角 两和是180飞平角)
(1定义:如果两个角的和等于 0C直角),就说这两个角互为余角,即其中一个角是 另一个角的余角。
互余或互补是指两个角之间的关系,一个角或三个
(2)性质:同角(等角)的余角相等. 及三个以上的角之间不能说互余互补关系
2.补角
(1)定义:如果两个角的和等于180(平角),就说这两个角互为补角,即其中一个角 是另一个角的补角. "同国"是指同一个角"等用"是指度数相等的角
(2)性质:同角(等角)的补角相等。
3.方向角
方向时习员上把南
(1)方向角是指方向线与正北或正南这两条基准线的夹角,如
"或北寻在前面东或西马 图-射线(A与正北方向的夹角为40".则OA的方向角是北偏 还在后面用两个方向表示, 东40°OB与正北方向的夹角为65.则OB的方向角是北偏 西652:同理.0X的方向角为南  45"或说 成是西南方向, 如北偏东60°. OD的方向角为南偏东20" 东南方向就是南偏乐45
(2)方向角的应用
先画出两条成直角的南北向直线和东西向直线,直角的顶点(即两直线的交点)是观 测点,然后以观测点为角的顶点,以南北方向线为一边 出向东成向西偏成的角,进 面可确定观测的方向。
分层练透 提分要旨
训练点3角的计算与比较 训练点1角的概念与表示
1.根据给出图同答下列问题
6.如图.已知点M是直线AB上一点, AMC
(1) 1表示成ZA,这样的表示方法是否正确?如 52'48'.BMD-72"19.期 CMD等手(
Dy
果不正确,应该怎样改正? 1180-(52°48+72°19)
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示?
(3)以A为顶点的角有几个?请表示出来
(4) ADC与/ACD是同一个角吗?请说明理由。 A.49"07" B.34'53" C.55'53' D.53*7"
7.[2021·武汉期本]在同一平面内,若 BOA 中间字母表示的顶点
50.3"、 BOC=10°30', AOC的度数是( 分OC在LAOB A.60.6 B40 D.60.6"或40"内.外两种情 C.60,8"或39.8 说考虑 8.[2021·商丘期末]计算
(148"39+67'31:先分后度 训练点2角的度量与换算 (2)180°-21°17'x5. 先乘后减
2.[2021·玉林月考]若a29°45',则 的余角等于 (3)72"35"÷2+1833'X4 18°X4+33X4 35÷2=1730"
A.60"55"
B,60'15 =72°+132
C.15055
D.150'15 =74'12.
3.[2020·淄博沂源期水]时钟的时间是3点30分,时 钟面上的时针与分针的夹角楚
B.100 C.75 D.105
A.90°
[学会总结]角的加减运算
[4.[2021·大湖月考计算:179°-72"18'54" 1.相同单位加减:准,分,秒分别加减。 2.速位,普位约办法,加的时候,满60往上一进 5.用度表示25'48'36", 5X3075 1.减的时候,不够减从上一肢借.借1作60.
训练点4角的平分线及其应用]9.[2021·宁波月考]如图,直线AB.CD相交于点O, 射线OM平分 AOC, MON=90°,若 CON= 55°,则/AOM的度数为 LAOM= COM C N M B A D.65° C.55° B.45° A.35°


倒除法从36"÷60开始
[学会总结]度、分、秒的换算
1.将度的形式化为度、分、秒的形式的方法是:取整 数后的剩余部分乘 ,再取该积整数后的 剩余部分乘60,最后以度、分、称的形式写出来。
2.将度、分、秒的形式化度约形式的方法是
1.60 60 3600/
10.[2021·六合月考]如图所示,0是直线AB上一 BFE,则 GFH的度数。是 点,0C为任一条射线,OD平分 BOC.OE平
分 AOC.
A.90°<a<180 B.0<a<90° C.o=90 (1)指出图中 AOD的补角, BOE的补角。
D.a随折痕GF位置的变化而变化
(2)若/BOC=68".求/COD)和/EOC的度数
12.如图.直线AB.CD相交于点O.OA平分 EOC, (3)ZCOD与ZEOC具有怎样的数量关系?
EOC: EOD=12.期 BOD
[关注过程]解:(1) AOD的补角为 BOD. /BOE的补角为/AOE
LEOC+LEOD
(2)"OD平分 BOC,BOC=68。 =180 :COD=BOC--x68=34 [学会总结]正确理解互余、互补的"三方面"
BOC=68"。
1.亚余、互补的两个角只与它们的和有关,而与它 们的位置无关, AOC=180°BOC-180-68°=112°, 2.余角或补角只是指两个角之间的关系,一个角或
OE平分 AOC, 三个及三个以上的角之间不能说是互余、互补 :EOC=÷A0C-÷x112-56
关系。 (3):OD平分 BOC,OE平分 AOC. 3.一个角的余角可以不只一个,但是它们的度数是
相同的,补角也是如此。
:COD--BOC,EC=-ZAOC.
训练点6表示方向的角及其应用
:0OD+EC=(BOC+ NC)=90 13.[202]·孝义期末]在如图所示表示方向的角中,射
线OA表示的方向是
COD与 EOC王余
描述方向角时,一般 先叙还北或南哦! [学会总结]判定角平分线的"五情形"
当OD在 AOB的内部且满足下列情况之一 时,可以判断OD是 AOB的平分线。
A.东偏南30°
(1) AOD=/BOD.
B.南偏东60°
C.西偏南30° D.南偏西60"
(2) AOD=
ZAOB.
14,[202]·秦皇岛海港区期末]一艘轮船行驶在B 处,同时测得小岛A.C的方向分别为北偏西30°
(3) BOD= AOB. 北偏西45. ,和西北方向,则 ABC的度数是
(4) AOB=2/AOD.
[学会总结]应用表示方向的角注意的几点
(5) AOB=2/BOD, 1.西表示方向的角时,一以 注意:若(C是ZAOB的平分线, AOB 方向作角的始迹。 2 AOC.若 AOB-2 AOC,OC不一定是 2.一定要分清东、南、西,北, ZAOB的平分线, 抗叠后GFC= 3.书写表示方向的角时。先写北成南,再写偏东或
偏西,如"北偏东"不要写成"东偏北"
训练点5余角、补角的性质及计算 GFE 4."东北"方向指
方向的角平
11.[2021·河东区月考]如图,将长方形纸片ABCD 分线:"西北""东""西南"。以此委推。 的角C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C
1.正北正南4.正业正东
[合),使点C落在长方形内部点E处,若FH平分 44
第五章 相交线与平行线]E D A B


相交线
同学教材 学习重点 知识1邻补角与对顶角 两条直线相交时一个角的邻补角有两个不要漏解
1.邻补角
(1)定义:两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有 这种关系的两个角。互为部补角,例如:21和4.2和/3、21和 /2./3和/4.
既有数量关系,只有位置关系注意与补角的区别
(2)性质:邻补角互补
2.对顶角→对顶成对出现,不能说某一个是对顶角
(1)定义:两个角有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向
延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,例如:2相24.1和3,强调的是位置关乐,注 意相等的两个不一定是对
(2)性质:对顶角相等。 知识2重线及其性质垂直的定义具有判定和主质的双重作顶闻
1.垂直的定义 "用,即知直用得垂直,知我重直得直角 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两 条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的 交点叫做垂足。如图所示,直线AB.CD互相垂直,记作"AB1
CD",读作"AB垂直于CD"
2.垂线的画法及性质
(1)垂线的画法:过已知点画一条直线的垂线的步骤 -靠一将三角尺的一条直角边靠在已知直线上。 作图时爱标,注好重直符 二移→沿直线移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点。 三画一沿过已知点的直角边画直线。
号和表示重足的字母
(2)性质:①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短。
3.区分两点的距离与点到直线的距离
(1)两点的距离
①定义:连接两点的线段的长度。 在图形中确定点列直线的距离,首先要作出这点到直碱 ②性质:两点之间.线段最短, 的垂接设然后我重我毁的长度,这在今后解题中经常用到
(2)点到直线的距离
①定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 不要当成重老毁! ②性质:垂线段最短。
知识3同位角、内错角、同旁内角三种讲的都是位置关系、而不是大小关系;成对出现 两条直线被第三条直线所截形成8个角.它们构成同位角、内错角与同旁内角的没有公共顶,、但有一 杀边落在同一条直碱上45
1.同位角一"同旁同做开如母的形式
(1)定义:图中 1和25.这两个角分别在直线AB.CD的同一方
(上方),并且都在直线EF的同侧(右 ),具有这种位置关系的一A-2 对角叫做同位角.2和 6.4和 8.3和 7都是同位角, (2)结构特征:形如"F"。
2.内错角"内都,异侧开女母"区"的形式
(1)定义:图中23和25,这两个角都在直线ABCD之间,并且分别在直线EF两"内"福在两直孩之间 3在直线EF左. 在直线EF右 ),具有这种位置关系的一对角叫量内气器川指在 两侧1 错角.4和6也是内错角。
3.同旁内角"同旁内部",开如字母"飞的形式
(2)结构特征,形如"2"
"同旁"指在截线的同
(1)定义:图中 3和/ 都在直线AB.CD之 .但他 在直线EF的同侧(左 )。 侧"内"福在被截两 具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.4和5也是同务内角。 直线之间
(2)结构特征:形如"U". 复杂图刊简单化:
分层练透 提分要旨
调练点1邻补角、对顶角的识别
(2)若 AOXC-70°,且 BOE EOD-2:3.求 ZAOE的度数.
1.如图,直线AB.CD.EF相交于点0 4BOE=x10=28
(1)指出/EOC. COF的对 E 180°-28°=152°
顶角
(2)指出 BOE.ZAOD的邻
补角
(3)图中一共有几对对顶角?有几对邻补角?分别 指出它们.
训练点3垂直的定义、性质及其应用 D
3.[2021-喝西县期末]如图,AB AOE=-AOC 与CD相交于点O.OE平分 ÷<BOD=20° /AOXC.OF LAB于点0.0G
1OE 于点0.若 BOD=40", [学会总结]邻补角、对顶角的识别方法 求 AOE和/FOG的度数。
ZAOE=FOG
1.找一个角的部补角时,可以先固定一造,得另一 [关注过程]解:如题图,为/BOD=40", 边反向延长。这样由固定边和及向腿长线所组底 所以 AOC= BOD=40. 的角就是原角的邻补角。
又OE 平分 ACX, 2.判定两个角是否互为对顶角,要抓住对顶角的特征: 所以 AOEAOC-20, (1)有公共顶点。
(2)两个角的两边互为反向延长线, 因为OFLAB手点0.0G1OE.
3.在判断时要注意两类角的区别,要抓住对顶角、 所以 AOF= EOG=90.
所以ZFOG-2AOE=20→同闻的余角相等 邻补角的特征,前提条件是两条直线相交,对顶
角无公共边,邻补角有公共进,一说平分就标上 会总结]垂直定义的应用 学 训练点2邻补角,对顶角的性质 1,2,便于3识 应用垂直的定义解题,要理解其定义的两个
2.[2021·长埋县期末]如图,直线


方面: AB.CD相交于点O.OE 把
(1)由两直线垂直可得其夹角为90"(垂直定理)
ZBOD分成两部分.
(2)由两直线的夹角为90'.可得两直线互相垂
(1) AOC的对顶角为 ZBOE的邻补角为
直.(垂直逆定理)
训练点4重线的画法,性质及其应用
[4.小云参加跳远比赛,他从地面
跳板P处起跳落到沙坑中,两]A B 沙坑


脚印分别为A.B两点,人来站
稳.一只手撑到沙坑C点,如
图所示.请你画出小云跳远成绩所在的垂线段。并说 明理山?
身体在沙坑中留下的离跳板最近的 点到跳板的距离才是跳远成绩哦!
3.若点在直线上,它到该直我的距离是0. 训练点6同位角、内错角、同旁内角的辨别
6.如图,与/1是同位角的角是 与 1是内 错角的角是 与 1是同旁内角的 角是
孔以本皮1所截
[学会总结]过一点(已知直线上或直线外),画已 知真线的垂线的"三步骤"
一靠:让直角三角板的一条直角边落在已知直 线上。
二移:没直线移动,使宜角三角板的另一条直角 经过已知点, 三题:沿直角边线,则这条直线就是经过这个 点的已知直线的垂线,如图,
训练点5 点到直线的距离 5.如图。
画线段射线 的重强是指
(1)过点Q作QDLAB,垂足为点D: 画线段、射线
(2)过点P作PEIAB.足为点E 所在直线的
(3)过点Q作QFLAC,垂足为点F 重
《4)连P.Q两点:
(5)P.Q两点的距离是线段 的长度:
(6)点Q到直线AB的距离是线段 的 长度:
(7)点Q到直线AC的距离是线段 的 长度:
(8)点P到直线AB的距离是线段 的长度。 [学会总结]点到直线的距离
1.点到直线的距离是数量,不是图形,重战段的长度
2.然到直线的距离具有唯一世,只有一种长度.
[学会总结]识别同位角、内错角、同旁内角的 方法
1.准确识别阿位角、内错角、网旁内角的关键是分 清喝两条直线被那条直线所截,往往是两个角的 两边被公共边所截, 线八角
2.在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两
旁找内借角, 3.形象记忆:同位角的边构成"F"形,内错角的边构 成"2"形、同旁内角的边构或"U"形。
5.2平行线及其判定 平行方的定义有三个特征:一是在同一平面内:二是两杀直线:三是不相交 三者缺一不可 同学教材 学习重点
知识1 平行线的定义、平行公理及推论、平行线的判定
同一平面内不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行
1.平行线的定义
应特别注意"在同一平面 在阿一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,记作a//6,读作a平行于6。
体现平行钱的存在性和唯一性 内"这一条件重合的直线
2.平行公理
视为一条直线
(1)公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行.那么这两条直线也互相平行,即如果 b/lavll.那么b/.1体现平行的住递生
(3)对平行公理的理解
以上结论说的是经过"直线外一点",若经过直线上一点作已知直线的平行线,就与 已知直线重合了, 平行公理指出了过直线外一点作这条直线的平行线的"存在性"和"唯一性"。
中的数量关系得线的位置关系
3.平行线的判定
(1)判定方法I
①内容:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两 条直线平行,即同位角相等,两直线平行.
②符号语言:因为1=/2,所以、//.
(2)判定方法2
①内容:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行,即内 错角相等,两直线平行.
解决判定的关键是:从复杂图开中抽 ②符号语言:因为23、所以1、// 象出简单图形""Z""
(3)判定方法3
①内容:两条直线被第三条直线所裁,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行,即 同旁内角互补,两直线平行.
②符号语言:因为2+4=180°,所以//
画圈的依据是同位角相等两直碱平行 知识2平行线的画法
一"落",把三角尺一边落在已知直线上:
二"靠":用直尺紧靠三角尺的另一边:
推动三角尺移动时紧靠它的直尺不能动。
三移":沿直尺 动三角尺.使三角尺与已知查线索合的边过已知点;
四"画",沿三角尺过已知点的边画直线:


[分层练透 提分要旨
5.3 平行线的性质]训练点1平行线及其画法 C.两直线平行,同位角相等 D.两直线平行,内错角相等 1.如图,已知点P是直线AB外一 点,按下列语句画出图形: [学会总结]判定两直线平行的"六方法" C点落在AB上 (1)过点P作PC AB,垂足为点C. 方法一:平行线的定义:在同一平面内,不相交的 两条直线就是平行线. (2)过点P作PD//AB. 方法二:平行公理的推论:如果两条直线都与第 观察你所作的图形,猜想CP与PD的位置关系. 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 方法三:同位角相等,两直线平行. 方法四:内错角相等,两直线平行. 训练点2平行公理及其推论 方法五:同旁内角互补,两直线平行. 2.如图,AB//CD,E为AC的中点. 方法六:同一平面内,垂直于同一条直线的两条 A B (1)请过E作线段EF,且使 直线平行. E EF//AB,EF与BD相交于 训练点4 平行线判定的应用 点F. D 5.[2021·大东区月考]如图,已知 1= 2,则下列结 (2)请回答:EF与CD平行吗?为什么? 论一定成立的是 平行于同一条直线的 AD与BC润 A 两条直线平行也称平 的内错角. 3 行线的传递性 2 B C [学会总结] 平行公理 A.AB//CD B.AD//BC 1."有且只有"强调直线的存在性和唯一性. C. B= D D. 3= 4 2.前提条件"经过直线外一点",若点在直线上,不 6.[2021·阳信月考]下列图形中,能由 1= 2得到 可能有平行线. AB//CD的是 AD与 只是四 AD与BC间的 B B 训练点3平行线的判定 BC润 边形的 3.[2021·太原月考]如图,下列条件中:内错角 2 2 的内 一组对角 (1) B+ BCD=180°;(2) 1= 2;(3) 3= D 错角 A B  4;(4) B= 5.能判定AB//CD的条件个数有 B A B A 2 D C D 3 2 C 1与 2是同旁内角 2 B 7.[2021·西城区月考]如图, 1=60°, 2=60°, 3= C 100°.要使AB//EF,/4应为多少度?说明理由 A.1 B.2 C.3 D.4 AB与CD间的 4.[2019·滨州中考]如图所示,是我们学过的用直尺 同位角 证EFIICD. 和三角尺画平行线的方法示意图.画图的原理是 B 2 E D D  DPC= BAC 4 B E F [学会总结]用平行线的判定解决实际问题 F 1.先画出示意图,将实际问题转化为数学问题. A.同位角相等,两直线平行 2.借助于平行线的判定方法加以判定,进而解决问题. B.内错角相等,两直线平行


同学教材 学习重点
在两直平行的前提下才夺在同位用相等,内角相等同营的互补一的路记 知识1平行线的性质 这是平打我4有的生质中考中常与对顶用、守补用一起考重
1.性质1
(1)内容:两条平行线被第三条直线所截.同位角相等,即两直线
位置关系
平行,同位角相等。
同位角相等 判定
(2)儿何语言:/ 1=2.
两直线平行 数量关系 内错角相等 性质
2.性质2
同意内角互补(1)内容:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,即两直线平行,内错角相等, (2)几何语言:7、//2=/3
3.性质3
(D内容:两条平行线被第三条直线所截.同旁内角互补.即两直线平行.同旁内角 互补. (2)何语言::/ 2+4=180。
平行线的 定和性 的运用规律是:已知平行用性质,判定两直线平行用判定. 题 时要结合图形,分析解题思路.总结规律。
知识2命题、定理、证明 命题不仅是一个完整的句子而且还必须对情作出肯定或否
1.命
定的判,"作 A=<B你使用一本涂书吗"不是命题. (1)定义,判断一件事情的语句叫做命题
(2)命题由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事 0,数学中的命题常可以写成*如果….么.……….·".……….·.….帝霆 .一如
要说明一个命题是 果"后接的部分是题设,"那么"后接的部分是结论.对于题设和结论不明显的命题 假命题举一个反例 需先把命题改写为"如果…….那么.…"的形式,再进行判断。
即可而要说明一个命 [真命题:题设成立时,结论一定成立的命题,如"两直线平行,同位角相等" 题是真命题,需要从 (3)分类 假命题:题设成立时,结论不一定成立的命题,如"相等的角是对顶角". 已知出发,经过一步
步推理,最后得出正
2.定理
确语记
(1)定义,经过推理证实得到的真命题叫做定理。
(2)定理与命题:定理都是真命题,而真命题不一定是定理.如如果/I= 2.2= /3.那么1=/3",它是一个真命题,但不是定理。
3.证明
(1)定义:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理 过程叫做证明。
()注意:证明中的每一步推理都要有根据,不能"想当然",这些根据,可以是已知条 件,也可以是已经学过的定义,基本事实、定理等。
提分要旨
训练点1平行线的性质
2.搞清平行线的判定与性质的区别,在由已知角的 1.[2021·皇站区月考]如图.已知AB/CD.直线EF 关系得平行时用判定,由已知平行的关系得角的 分别交AB.CD于点E.F.EG平分 AEF,若 2 关系时用性质。
=40°,则/1的度数是
训练点3命题的判定与改写
41的内错
5.判断下列句子是不是命题,如果是命题,把它们改写
成"如果…….那么……"的影式,并写出命题的逆命 角是 2周旁
题,判断逆命题的真假,其进命题是"女两个的相 内角的 (1)对顶角相等 等那么它们是对顶角
A.70" B.65 C.60 D.50 (2)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截,则下列说法错误 的是
A.一对邻补角的平分线互相垂直
B.一对同位角的平分线互相平行 同旁内角平分[学会总结]确定命题的题设和结论时的注意
C.一对内错角的平分线互相平行
事项
D.一对同旁内角的平分线互相平行是互相重直的 1.在找命题的题设和结论时,要分清命愿的"已知 [学会总结]平行线性质的"两应用"
事项"和"推出事项"
1.平行线的性质是由直线的位置关系确定角的数 2.准确地找出"设"和"结论"。不能增加或减少 量关系,应用时必须正确识别图形置特征及角 "设"和"论"的内容, 的关系。并与前面学过的对顶角、部补角、垂直、 3.为了准确表达命题的题设和结论,有时对命题的 角平分线等知识相结合。有时还会用到三角形的 词序进行调整或增减-使之语句通。语意明确。 内角和(180")计算角的度数。
但是不能改变原意, 2.利用平行线的性质求角的度数时,一定要弄清楚 训练点4定理与证明 所衰角与已知角的关系。 alb
6.如图.已知:点A.B.C在一条直线上。 训练点2平行线的性质与判定的综合应用 (1)请从三个论断:①AD/BE:1=/2:) A
-ZE中.选两个作为条件。另一个作为结论构成
3.[202]·广安月考]如图,若 1+/2 0=5
=180°、/3=110°,期/4=
一个真命题: 三种组合
4.[2021·重庆模拟]如图.CDG=
条件:
00→6
ZB.AD BC于点D.EFLBC于
结论
20→0.
点F.试判断 1与 2的关系,并说明理由:AD/EF (2)证明你所构建的是真命题。
可通过第三个角
[DGAB <BAD联系。
[学会总结]平行线的性质与判定的综合应用的 "两注意"]E D 1 2 B A


1.在利用半行线的性质或判定时,一定要看清楚直 线与角的位置关系。看同位角、内错角、同旁内免
是由哪两条直线被第三条直线所载而成的。 [学会总结]证明的方法
要说明一个命题是真命题需要通过挂理证明,对 于证明的每一步,必须有推理依据。不能"想当 然",这些很据可以是已知的条件,也可以是定 义、定理和基本事实等,说理过程应符合逻辑凝 序,同时使用规范性语言和证明格式,能说出证 明过程每一步的依据。
5.4 平 移
同学教材 学习重点 知识1平移的概念及性质 图刊的平移只改变图刊的位置,不改变围开的形状和大小 1.平移的定义 注意:围平移的方向是任意的不限于是水平的
(1)定义:把一个图形整体沿某 一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原 图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动,叫做平移.
(2)要索:①平移的方向:②平移的距离。
2.平移的性质 不能是曲孩
(1)平移是沿直线移动:
(2)平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同,只是图形的位置发生了
注意对应关系只有对应准确才能"平行"且"相等" 改变。
(3)连接各组对应点的线段平行(或在一条直线上)且相等
知识2利用平移作图
平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案. 在具体作图时,应抓住作图的"四步曲"一-定、找、移、连
(1)定,确定平移的方向和距离,平移的距离要大于0
(2)找,找出表示图形的关键点.
(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点。
(4)连:按原图形顺序连接关键点的对应点.
[分层练透 提分要旨
训练点1平移及其性质的应用]AD=BE=CF=2 D B E F


[学会总结]应用平移的概念及性质的"三注意"
1.如图,将三角形ABC沿射线
1.图形的平移必须具条两小基本条件:一是平移的 AB的方向平移2个单位到三
方向:二是平移的距离 角形DEF的位置,连接CF.点
2.图形的平移改变了图形的位置,但不改变图形的 A.B.C的对应点分别是点D, 形状和大小。
E.F
3.图形平移的方向不服于是水平的。
(1)直接写出图中所有平行的直线、 训练点2平移作图及其应用
(2)直接写出图中与AD相等的线段.
2.如图,将四边形ABCD进行平移,使点A的对应点为
(3)若AB=3.则AE
点A,,请你画出平移后所得的四边形A,B,C,D.并
(4)若/ABC=75°.求/CFE的度数, 找出图中哪些线段平行且相等。
[由AEICF出
第六章 实 数]A 连接AA,,其余三个 B 顶点也要向右平移 AA,个长度单位。


6.1 平方根
同学教材 学习重点
如22=4
知识1算术平方根与平方根
1.算术平方根
(1)定义:一般地,如果一个正数x的平方等于a.即 =a,那么这个正数x叫做a 只有正数有算术平方 的算术平方根. 具有双重非负性,即a30.a30. 根负数没有
(2)表示方法:4的算术平方根记为 .读作"根号a".u叫做被开方数
(3)规定:0的算术平方根是0.
需要熟记的平方数:
(4)求算术平方根近似值的方法
112=12
大多数计算器都有 键,利用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其 12=144 近似值).因为计算器的型号不同,按键顺序可能有所不同.但一般先按 键,然 132=169 14=196 后按数字#.再按银,计算 是示的结果就是该数的算术平方根(或其近似值)。
2.平方根 注意接建顺序
15=225
C1)定义:一般地·如果一个数的平方等于 .那么这个数叫做a的平方根或二次方162=256
粮这就是说如果朵~,那么r叫被:的平方概.如2和2处的平方概,简记为172=289
相加得a.
18=324
土2是4的平方根 19=361
(2)性质:①正数有两个平方根,它们互为相反数:20的平方服是0:③负数没有平方根。
(3)表示方法:正数a的算术平方根可以用后表示:正数a的负的平方根,可以用符21=44 25=625 号"一a"表示,故正数a的平方根可以用符号"土"表示,读作"正、负根号a"
3.开平方些数字:题的计算后果税不是  ,也不能化 分数,可以直接用会有根号的 (D)定义:求个数。的平方根的运算,叫被开平方,其中数a叫做被开方数,平方与数表示、到如2等 开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根。
(2)举例:士5的平方为(±5)=25.反过来25的平方根为士25=±5.
4.平方根的估算根据平方求一个数的平方根体现了数学中的转化思想
要估算"V(a≥0)"的近似值,(1)第一步先确定估算数的整数范围,如2<7<32, 所以2 V 3:(2)第二步以较小整数为基础,开始逐步加0,1C或以较大整数为基 础,始逐步减(0.1),并求其平方, 定被估算数的十分位:. 如此继续下去,可 按要求估算""的近似值,即用"夹通法"
知识2平方根与算术平方根的区别与联系
[知识2平方根与算术平方根的区别与联系
平方与开平方是互连运 算:一个正数有两个平方 根,这两个平方根互为相 反数:千万不能丢掉颠 的平方根]

区别 个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个

"":"表示方法"
"算术平方根":"正数a的算术平方根表示为√a"
"平方根":"正数a的平方根表示为士√a"

"":"取值范围"
"算术平方根":"正数的算术平方根一定是正数"
"平方根":"正数的平方根为一正一负, 互为相反数"
平方与开平方是互连运 算:一个正数有两个平方 根,这两个平方根互为相 反数:千万不能丢掉颠 的平方根
增乐趣
[增乐趣
这是一个二级这算, 要求的是算木平方根 的平方根,要先得出]

"":"联系"
"算术平方根":"具有包含关系"
"平方根":"平方根包含算术平方根,一个正数的正的平方根就是它的算 术平方根"

存在条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根,即a≥0,a≥0

特殊值0 0的平方根与算术平方根均为0
这是一个二级这算, 要求的是算木平方根 的平方根,要先得出
训练点1求非负数的算术平方根
训练点3求平方根 第一个这算的猛果
1.[2021·铁西区质检]求下列各数的算术平方根. 3.[202]·凉山州月考]81的平方根为 15=225 225
4.求下列各数的算术平方根与平方根. (10.0625.(2)(-3).(3)(4)5(5)14400 25=625 =9 12=144 (1)(3)'+1.(2)3-.(3)0.(4)一1 112=121
一个正数的平 方根有2个,且 互为相反数
[一个正数的平 方根有2个,且 互为相反数
【学会总结]求一个数的平方根的方法负数没有平]

"":""
"[学会总结]求算术平方根的方法":"1.熟记常用的平方数可帮助迅速求一个非负数的"

"":""
"[学会总结]求算术平方根的方法":"其化为假分数或进行整理,再求其算术平方根. 3.对于开方开不尽的数,求其算术平方根时,直接 根据定义进行表示,如5的算术平方根是5,然 后利用计算器计算出其算术平方根,注意精确度."
【学会总结]求一个数的平方根的方法负数没有平
1.先现察这个数是正数、0,还是负数。 方根
2.如果是非负数,对于易求出平方根的数,通常先 写出哪个数的平方等于已知数,然后写出这个数 的平方根、 3.如果是非负数,对于不易求出平方根的数。可以 用计算器直接得出。
训练点2算术平方根的应用长是1m.
训练点4平方根的性质及其应用


2.如图,将一块面积为36m的正方形 5.[2021·栖霞月考]如果a是负数,那么a"的平方 铁皮的四个角各截去一个面积为1m2
根是 的小正方形,剩下的部分刚好能围成
A.a B.一a
D.±V4
C.士a
一个无盖的长方体运输箱.求此运输 6.[2021·宁都县期末]已知一个正数的平方根是a+ 箱底面的边长,等于正方形的边长减去两 3和24-15.a+3+20-15=0<
个小正方形的边长 (1)求这个正数 我的是a+12的 (2)求a+12的平方根 算本平方根的平方
根属于二被运算
[是非负数只有一个分层练透 提分要旨
[学会总结]算术平方根的应用]


1.把实际问题转化为数学问题,一般是转化成求一 个数的算术平方根。
2.根据算术平方根的定义,列出方程,利用方程思 想解决。
[学会总结]平方与开平方运算的区别
1.已知被开方数求其平方根,是开平方运算。
2.已知平方根求其被开方数,是平方运算。
3.平方与开平方互为逆运算。
6.2 立方根
同学教材 学习重点 任何数都有立方根,并且只有一个,不要和平方根混淆
知识1立方根
1.立方根和开立方
(1)定义:一般地,如果一个数的立方等于a.那么这个数叫做的立方根或三次方 根,这就是说,如果x一a.那么x叫做u的立方根。
(2)求一个数的立方根的运算·叫做开立方,开立方与京方互为进运算.可以通过这
种关系求一个数的立方根.
2.立方根的表示方法
一个数a的立方根,用符号""表示·读作"三次根琴a",其中a是被开方数,3是 根指数、中的根指数3不能省路,而V5的根指数2就可以窗略
3.立方根的性质
(1)正数的立方根是正数。 一个非零数的立方根和被开方数同号
(2)负数的立方根是负数。
(3)0的立方根是(. 不同的计算器接建的顺序也可能不同
4.用计算器求立方根
键.用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).按键项
(1)一些计算器设有
键:再输人被开方数:最后按一键,注意按导建的顺序 序为先按
(2)有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根,按键顺序为先按2ndF健, 键,然后输入被开方数,最后按键
再按√
知识2平方根与立方根的区别
1.区别
[1.区别
2.注意]

"":"个数"
"平方根":"一个正数有两个平方根,它们互 为相反数;负数没有平方根;0的 平方根是0"
"立方根":"一个正数有一个正的立方根;一 个负数有一个负的立方根;0的 立方根是0"

"":"表示方法"
"平方根":"非负数a的平方根表示为士√a"
"立方根":"数a的立方根表示为a,这里的 根指数3不能省略"

"":"取值范围"
"平方根":"士√a中,被开方数a必须是非 负数"
"立方根":"√a中,被开方数a可取任意数"
2.注意
平方根为它本身的数是0。
算术平方根为它本身的数是0和1. 立方根为它本身的数是一1,0.1.
分层练透 提分要旨
训练点1立方根的定义、性质及其求法为算(-1), [学会总结]求一个数立方根的基本方法
1.[2021·临沂月考](-1的立方根是
1.定义法:求一个数的立方根进常用开立方运
A.-1 B.0 C.1 D.士1 算,先找出立方等于a的数,写出立方式,再由立
2.求下列各数的立方根.位方根只有一个. 方式写出a的立方概的值。 (1)-8.(2)--27.(3)--0.125.53=125 2.借助计算器:直接利用计算器求一个数a的立
方根 (4)-V(-0.00).(5)512.(6)-、
训练点2立方根的应用 1 x
4.[2021·蒙阴中考]求下列各式中的x.
(1)(0.1x+10)=-27000.
64 343 常用的立方数: 27 8
(2)2x+3=2
1=1
(3)125r+512=0.
23=8
33=27
4=64
5=125
63=216
7=343 5.[2021·南岗区期末]如图所示的圆柱
8=512 形容器的容积为81 dm,它的底面直
9=729 径是高的2倍.(取3) 设高较好
10=1000 (1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米?
(2)若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁 皮制作的,则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平 方分米?(不计耗)
先化为假分数。
3.求下列各式的值.
S=Sx+25
(1)/4X18X3.(2)
先计算结果,再开立方
[学会总结]应用立方根解决与体积有关的实际 问题的一般思路
1.把实际问题拍象成数学问题。
2.根据题意列出方程,利用立方根的定义求出方程 的解
6.3 数
同学教材 学习重点
知识1无理数
某些数的平方根或立方根是无理数,但带根劳的数子并不
1.无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数。 都是无理数:1916,-27…
无理数与有理数的和差一定是无理数
2.常见的形式
(1)所有开方开不尽的方根,如3;
无理数乘或除以一个不为的有理数结果一定是无理数
(2)化简后含有一的数,如 不是分数:分数是有理数。
(3)具有特定结构的数,如0.101001000 1从左向右,相邻两个1之间的的个数 逐次加1).
知识2实数
1.实数及其分类
(1)定义:有理数和无理数统称为实数。
提间一标唯分类,要做到不重不漏
(2)实数的分类 ①按定义分类
正整数 整数零 有理数 负整数有限小数或无限循环小数
正分数
实数 分数 负分数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
②按性质分类
正整数 正有理数 正实数 正分数
0既不是正数,也不是负数,不要前手单 正无理数 实数零
负整数 负有理数 负实数 负分数
实数与数轴上的点是一-对应的 负无理数
2.实数与数轴上的点的对应关系


(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之,数轴上的每一个点都表示一 个实数。
(2)数轴上的任意两个点.右边的点表示的实数总比左边的点表示的 数大正实数>
a-b的相反数应表示为-a+b(或b-a)不
0>负实数,两个负实数.绝对值大的反面小.
爱错误的表示为a+bia+b的相反数应
3.实数的性质
(1)相反数:数a的相反数是一u,这里a表示任意一个实数. 示 -a-b.不爱钱首误的表示为a-b
(2)绝对值;个正实数的绝对值是它本身:一个负实数的绝对值处它的相反数:0的 绝对值是0.
a.当a>0时
即设a表示一个实数,则la|=<0.当a=0时 一a,当a<0时, (3)倒数:实数4的例数为一(a≠0),若a与6互为倒数,则ab=1;若b=1,则a与
4.实数中的非负数 若儿个非负数之和为0,则每个非负数都等a重要
6互为倒数.
(1)常见的非负数的三种形式
①绝对值的非负性:任意实数a的绝对值是非负数,即lal>0.
②平方的非负性:任意实数a的平方是非负数,即 ≥0(a≥0,为正整数)。 水算术平方根的非负性:任意 负数a的算术平方根是非负数.即、a≥0.且 >0.
(2)非负数的性质
①若儿个非负数的和为0.那么这几个数一定都为0.arb+=0 则a=0.b=0.C=0 ②非负数有最小值,最小值是0.
③有限个非负数之和仍然是非负数,
知识3实数的运算
1.实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、 乘方运算,而且正 及0可以进行开平方诉算,任意一个实数可以进行开立方运算, 在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用。
2.实数运算的顺序
记忆2诀: 实数这算不要流有理法则来帮云
(1)先算采方、开方,再算乘除,最后算加减
这算首先开.乘方乘除加减后开张.
(2)同级运算从左到右依次计算, 同被这算左到在,括号先算不多想
(3)有括号的要先算括号里面的。
实数的运算顺序与有理数相同,有理数范围内的加法运算律,乘法运算律和去(舔) 括号法则阿样适用于实数,画数轴化较数开磕合
3.比较实数大小的常见方法
较:2.2与的大小2.2=18>17.
(1)把根号外的正数平方后移入根号内,由被开方数的大小比较根式的大小:对于符 号相同的两个根式.利用乘方法来比较大小.如,同是正号的两个平方根式、平方后 大的,原根式也大:同是负号的两个平方根式.平方后大的,原根式反而小.
(2)作差法比较:若a-b>0,则a>b;若a-b<0.则u<b.
(3)对于符号相同的两个实数,还可用取倒数法来比较大即. 《<h若<<0.则a>
4.实数的近似计算
在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时.可以按照所要求的精 确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算,常用的近似有限小数有2≈1.414、3≈ 1.732,V5≈2.236
分层练透 提分要旨
开不尽 训练点1无理数的判定及实数的分类
[学会总结]实数的运算
实数运算时,一般按从高级到低级的顺序进行运
1.[2021·金乡县期末]在实数一3.21.12.5 算,利用运算律可以使运算简便
开不尽 ,一,一4.0.2.4.0,121121 112中, 训练点4无理数的估算及近似计算
6.计算
整数有:
…: 有理数有:{ -1: (1)23+ -10√0.04(结果精确到0.01)。
无理数有:( ….)
(2)3x+2x--0.125(结果精确到百分位)。
负实数有:( …. 无理数的近似值要要求多一位小数 [学会总结]对无理数的"四种错误认识"
1.带根号的散都是无理数,女16就不是
2.无理数是开方开不尽的数,它的逆命题正确
3.分数是无理数。
4.无限小数是无理数,是有理里数。 训练点2实数的性质及其应用
2.[2021·株洲月考下列实数:3.0,一.0.3, 中最小的实数是 A.3 B.O C.-2 Da.35,有两个哦左、在一 3.[2021·怀来县期末]到原点距离等干5的数
(1)根据数轴确定ab的背号 是 .5的相反数是 .的绝对
(2)这用实数的性质化简式子
值是
(3)得出结果
训练点3实数的运算
训练点5实数性质的综合应用
4.[202]·黑河月考]若(a-1)+16-2)=0.(a一 7.2021·宜泰月考]实数w.6在数轴上的位置如图 6的值是
所示.则√-lu-b1D.2012
A.-1 B.1 C.0
小减大小于a.一。 几个非负数的和为0, 5.计算。
[学会总结] 则每个非页数都为. R (1/20-4+5
1.涉及无理数的近似运算时,可以先用计算器求出 无理数的近似值,把无理数用近似的有限小数代 (2)-125+49-1V-21.2-2<0 林,然后再进行近假计算,可熟记几个无理数的近


(3)(-3)+(-4--8+11-座21. 似值。如2≈1.414.3≈1,732.5≈2.236,开 a2=a1e Ia=-0(a<0) 3.14等。 牢记,有时可提高这算速度!
2.实数运算中通到无理数典且需要求出结果的近 似值时,参与运算的无理数的近似值要比结果要 求的精确度多取一位小数,计算的最后结果四舍 五人到所要求的精顽度。
2≈1414意思意思
≈1.732.七三在中间一二在两边 5≈2.236二二三得六
第七章平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
同学教材 学习重点 (a.b)
知识1有序数对
表示方法 作用
1.定义
有顺序的两个数组成的数对有序数对 表示早面内的位置
(1)文字表述:有序的两个数a与6组成的数对,叫做有序数对。
(2)应用:用有序数对表示位置.如用"排"列"表示教室内座位的位置.用经纬度表
示地球上的地点等
2.记法a和b的位置不能交换!
(3)含义:由两个数组成:两数有顺序性:成对出现
两个数a.b组成的有序数对记作(a,b).a和6之间要用逗号分开,以表示它们是独 立有序的两个数,同时用括号括起来,表示它们是一个整体.
知识2平面直角坐标系
1.坐标
(1)定义:数轴上的点与实数是--一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实 数叫做这个点在数轴上的坐标。
(2)下例:下 图中,点A在数上的坐标为一4.点B在数 上的 标为2
反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个点在数轴上的位置也就确定了.例如;数轴 组成平面直角坐标系的四要素:(1在 上坐标为5的点是点C. 周一平面内:(2)两杀数车:(3)互相重直;
(4)有公共原点
2.平面直角坐标系
我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数 轴,组成平面直角坐标系,水平的数轴称为x轴成横 轴,习惯上取向右为正方向:竖直的数轴称为y轴或 -3-2-10123 纵轴,取向上方向为正方向:两坐标轴的交点为平面
单位长度一般取相 直角坐标系的原点
同的在有些实际问
3.点的坐标-用唯一的一对有序实数对来表示
题中,两杀数轴上的 (1)定义:对于平面内任意一点A.由点A分别向轴、轴作垂线,垂足M在x轴 单位长度可以不同, 上的尘标是a,垂足N在y轴上的坐标是6.我们点A的 坐 是a.纵坐标是6, 但原点心须重合 有序数对(a,b)叫做点A的坐标。
(2)书写:先横后纵再括号,中间隔开用返号。
A到X车由距区离是2
(3)儿何意义:①点A(a.b)到z 的要离是l61.到y轴的 离是|al:垒标平面 A到车肉距离是3 内的点与有序实数对是--对应的.
4.象到车由离是从坐标的绝对值,到转由距区离是不坐标的绝对值
(1)象限划分,建立了平面直角坐标系以后,坐标平面就被两条坐标轴
A(327 1 分成I..IV四个部分(如图),每个部分称为象限,分别叫做第一 象限、第二象限、第三象限和第四象限,
[(2)注意:坐标轴上的点不属于任何象限,
(1)建平面直角坐标承,确 坐标方法的简单应用 7.2]A与B的垂直高度为1,只要A或B 在水平距离上找到为2的点 作底即可,分别以A,B为圆心, 以2个单位长度为半径作圆,交 在格点上的点均符合条件


[(2)注意:坐标轴上的点不属于任何象限,
(1)建平面直角坐标承,确 坐标方法的简单应用 7.2]5.坐标平面内点的坐标的特点 横、纵坐标的符号决定了这个点所 (1)各象限内点的坐标的符号特点和坐标轴上点的坐标特点 在的象限或坐标轴. 特征 特征 特征 1坐标轴上的点:x轴上的点(常数,0);坐标原点(0,0);y轴上的点 (0,常数). 常作为隐含条件进行考查! 特征 特征 特征 2象限内的点:第一象限 一(+,+);第二象限 三象限 特征 (一,一);第四象限--(+,一). 纵坐标 横坐标 (2)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点 1与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相同. 2与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同. (3)两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特点 Q Q 1第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点横、纵坐标相等。 Q 2第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点横、纵坐标互为相反数. -b 分层练透 涂 提分要旨 训练点1用有序实数对表示点的位置 3.[2021·洛龙区期末]已知点P(-3a-4,2+a),解 1.如图,正方形网格中的交点,我 答下列各题. 2+a=0 列 们称之为格点,点A用有序数 (1)点P在x轴上,求出点P的坐标. →-3a-4=5 对(2,2)表示,其中第一个数表 (2)Q(5,8),且PQ//y轴,请求出点P的坐标. (3)若点P是第二象限角平分线上的点,求a2018+ 示排数,第2个数表示列数,在 2018的值. 图中有一个格点C,使S三角形ABC 横坐标和纵坐标 5排 2 =1,写出符合条件的点C的有 互为相反数,且纵坐标 序数对. 大于0. A与B的垂直高度为1,只要A或B 在水平距离上找到为2的点 作底即可分别以A,B为圆心, 以2个单位长度为半径作圆,交 在格点上的点均符合条件. PCa,b) (O,b) [学会总结]用有序数对表示点的位置的"三步 骤" 1.明确有序数对中的行与列的表示. [学会总结] 平面直角坐标系中的点的位置与 2.由已知点确定起始行与列. 坐标 3.用 3.有序数对 表示所求各点的位置. 1.确定平面直角坐标系中的点的位置时,根据坐标 训练点2平面直角坐标系 描出给出的各点来确定位置或根据各象限内的 2.[2019·扬州中考]在平面直角坐标系的第二象限 坐标的符号特征来确定. 内有一点M,点M到x轴的距离为3,到y轴的距 2.由点的坐标P(a,b)确定点的位置时,分别过 离为4,则点M的坐标是 纵坐标为3. (a,0),(0,b)作x轴、y轴的垂线,两垂线的交点 B.(4,-3) A.(3,-4) 横坐标为-4. 就是点P的位置. C.(-4.3) D.(-3.4)


定源点x轴.y由的正方向
(2)确定单位长度 同学教材 学习重点 (3)是出备坐标和各个
地点的名称
知识1表示地理位置的方法
小朋家
1.用坐标表示物体位置
(1500,2000)
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图2000…… 的过程:
1500
(D)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定轴、1000 轴的正方向:这个步骤最重要因为原点选取不同 500
在哪里看就在那里建
(2)根据具体问题确定单位长度!事的坐标也不同。 5001000 1 500x/m
主指向标,常以南北
(3)在垫标平面内画出速些点.写出各点的坐标和各个地点的名称 作为起始方向比如
2.用方向角和距离表示物体位置
"北偏东…北偏西.
用此方法表示物体位置时,首先要选取一个适当的参照点。
南偏东一南偏西 然后再测量出方向角和两点之间的距离:其次必须具备两个 东 数据,一是"方向角",二是"距离",用有序数对体现时,一般 先写方向角。后写距离.如图.B船在A船的北偏东60"。 ,即A般在B般的南偏
35 n mile处
西60°35n mile处.
3.用经度和纬度确定物体位置
经纬定位法是地理学中 泛运用的一钟确宠物体位置的方法,是用经度和结度来碗 定物体的位置.使用此方法来确定物体的位置必须指明经度和纬度两个数据,缺k 不可.
知识2用坐标表示平移
[1.用坐标表示点的平移
2.图形的平移]向上平移b个 由点的坐标变化也可得 向左平移a个 单位长度(b>0) 单位长度(a>0) 出平移规律 向右平移a个 向下平移b个 单位长度(a>0) 单位长度(b>0)


(1)图形左右平移:在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加(或 减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度。
(2)图形上下平,在平面直角坐标系内,如果把一个 形各个点的很坐标都加(或 (去)一个正数 .相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移5个单位长度、
3.平移作图的步骤
(1找出图形中的关键点:(2)作出这些关键点的对应点:(3)连接对应点即得变换后 的图形
提分要旨
训练点1用坐标表示位置
训练点3点的平移
1.[2021·宁都县期末]如图,这是某市部分简图,为 3.[2021·石林月考]如图,将"笑脸"图标向右平移4 了确定各建筑物的位置,(图中小正方形的边长代 个单位,再向下平移2个单位,点P的对应点P'的 表100 m长).
容题点 坐标是 (-5+4,4-2)
(1)请你以火车站为原点建立平面直角坐标系.
[(2)写出市场,超市,医院,文化馆的坐标。
训练点4图形的平移与坐标]y P 4 -5 A.(-1,6) B.(-9,6) C.(-1,2) D.(-9,2) [学会总结] 点的平移规律 1.向右平移a个单位长度,坐标P(x,y)= 2.向左平移a个单位长度,坐标P(x,y 3.向上平移b个单位长度,坐标P(x,y)P( 4.向下平移b个单位长度,坐标P(x,y)=


4.2021·河口区期末如图是 训练点2用方向和距离表示位置
一个被抹去,轴、v轴及原点
2.如图,表示的是图书馆,保 中国银行 0的网格图.网格中每个小正 龙仓、中国银行和餐馆的位 餐 方形的边长均为1个单位长 32km
窄题点 置关系. K
度,三角形ABC的各顶点都 一存
(1)以图书馆为参照点,请 图书馆 在网格的格点上,若记点A的坐标为(一1.3),点 用方向和图中所标采的距保老仓28im
→根据AC的坐标确定 的坐标为(1.一1). 离分别表示保龙仓,中国银行和餐馆的位置。 (1)请在图中找出工轴,y轴及原点Q的位置, (2)火车站在图书馆的南偏东60°的方向上,并且火 (2)把三角形ABC向下平移2个单位长度,再向右 车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离 平移3个单位长度,请你画出平移后的三角形 相等、请在图中两出火车站的位置, A,B,C,若三角形ABC内部一点P的坐标为(a, b),则点P的对应点P,的坐标是
(3)试求出三角形ABC的面积
割补法解就是我 出国起△ABC的最 小长方形的面积,再 减去多余的三个直角 三角开的面积 [学会总结]确定位置的方法
[[学会总结】用坐标表示图形平移"三步骤" 1.要根据方位围得到点的方向:确定距离时,结果 1.明确平移的方向和距离。 有时需要计算,但要注意结果的合理性,正确性。 2.找出图形中几个关键点。 2.要特别注意中心位置的确定,如果问A相对于B 3.利用平移规律确定平移后的各对应点的坐标,疑 的位置。则在 建立"愿点",画出方向图。 次连接各点得到平后的图形。 度量出角度,计算出距高。 2.舞针
常用"南偏西10°.2.8km处"而不用"西 偏南20°.2.8km处"]市场 体育场 宾馆 文化馆 火车站 医院 超市


目标、位置相对多照物的方向
第八章二元一次方程组
8.1 二元一次方程组 同学教材 学习重点
知识1二元一次方程
1.定义
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1.像这样的整式方程叫做二元一 次方程。
一元方程的解也叫做方程的根,但是二元方程和方程组 的解只能叫解,不能叫根
2.二元一次方程的解
(1定义:般 ,快二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值.叫做二元
一次方程的解。通常用 的形式表示,在任何一个二元一次方程中,如果把其中 的一个未知数任取一个值,都可以通过方程求得与之应的另一个未知数的值,因
二元一次方程的解都是成对的两个数一 此,任何一个二元一次方程都有无数组解。
(2)解的个数:一般情况下,一个二元一次方程有无数组解,般用"联立表示
(3)解的检验;将该组数代人到方程中,若这组数满足该方程(即使方程左右两边相 等).就说这组数是该二元一次方程的解,否则,不是该二元一次方程的解,
知识2二元一次方程组
1.二元一次方程组的定义
并非每一个方程都要含有2个未知数。
(1)有两个未知数,含有每个未知数的项的次数都是1.并且一共有两个方程,像这样 的方程组叫做二元一次方程组。
(2)二元一次方程维应同时满是以下两点:①两个方程都是一次方程: 方程组中共 含有两个未知数, (3)注意:①方程组的各方程中,相同字母必须代表同一个量. 一一元一次方程
ym3. ②二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起构成,如 也是二 x"y=15
)二元一次方程 元一次方程组。
@二元一次方程组中的各个方程都是整式方程 能够使两个二元一次方程左、在两边都相等的数
2.二元一次方程组的解
(1)定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
(2)检验:检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时,可将这组数代人方程组中方祖的解一定是 的每个方程,只有当这组数满足其中的所有的方程时,才能说这维数是此方程组 方程组中每一个方程 的解,但方程组中 的解, 单个方程的解不一定
[[2=a+ (3)书写方程组的解时,必须用""把各个未知数的值连接在一起,即写成b 的 是这个方程组的解 形式.
8.2 消元 解二元一次方程组]涂 提分要旨 分层练透 mx+ny=8, 训练点1二元一次方程(组)的概念 的解,求2m-n的算术平方根. 1.已知方程(2a-6)x|b|-1+(b+2)ya2-8=0是关于 nx-my=1 非负数的算术平方根只有一个. x,y的二元一次方程,求a,b的值.系数≠0 [关注过程]解:(2a-6)x161=1+(b+2) a2-8=0是关于x,y的二元一次方程,次数为1 b|-1=1, a2-8=1, a=-3, 解得 x=2, (2x+(m-1)y=2, b=2. 2a-6≠0, 的解,求 是方程组 7.已知 nx+y=1 b+2≠0, m+n的值. [学会总结] x=2, 1.二元一次方程具备的条件 是方程组的解, [关注过程] 解:因为 方程整理后满足:(1)含有两个未知数.(2)含未知 (2×2+(m-1)×1=2, 代入过程越详 数的项的次数都是1.(3)整式方程. 所以 细越好 2.二元一次方程组具备的条件 (1)含有两个方程.(2)方程组中含有两个未知数. 解得 (3)每个方程都是一次方程. 训练点2二元一次方程(组)的解数,数出有几组. [学会总结] 1.二元一次方程的正整数解 2.二元一次方程2x+y=7的正整数解的组数为 解,但它的正整数解可 二元一次方程有 以是有限的,首先用其中一个未知数表示另一个 C.5 D.4 A.2 B.3 未知数,然后可以给定一个未知数的正整数的 3x+2y=m+21, 中 3.[2021·成都月考]已知方程组 2x+3y=3m2 值,计算出另一个未知数的值即可. 2.求与二元一次方程组的解有关的字母的取值 未知数x,y的和等于2,则m的值是 C.4 D.5 A.2 B.3 问题 4.[2021·烟台月考]方程5x+3y=54的正整数解的 已知二元一次方程(组)的解,求方程(组)中未知 组数是 数的值的常见步骤:把已知的解代入二元一次方 C.4 D.5 B.3 A.2 程(组),从而得出新的含有未知数的二元一次方 x=0, 程(组),通过求解新的二元一次方程(组),得出 为解的二元一次方程是 5.写出一个以 的解即是未知数的值,如果求含有原方程(组)中 如:x+y=5,答案不唯一. 1.无数组 未知数的式子的值,再次代入即可. 是二元一次方程组 6.[2021·西安月考]已知


知识二元一次方程组的解法
同学教材 学习重点
1.消元思想
二元一次方程组中有两个未知数。如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方 程组转化为我们熟悉的一元一次方 ,我们可以先求出一个未知数,然后再求另一 个未知数,这种将未知数的个数由多化少,还一解决的思想,叫做消元思想.
2.代入法
代入法解二元一次方程组的前提和关键建
(1)定义:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表 示出来.再代人另一个方程,实现消元,进面求得这个二元一次方程 的解.这种方 法叫做代人清元法,简称代人法。
(2)步骤 ①变;选一个票数比较简单的方程进行变形,变成yax+b x=ay+b 的形式.
四代:将y=ar十b或x=ay+6代人另一个方程.消去一个未知数,从而将另一个 去拉别时不要乘任何一项,拉号前面是页号时要变号 方程变为一元一次方程。
③解:解这个一元一次方程,求出工或y的值
④回代:将已求出的x或y的值代人方程组中的任意一个方程或y=az+6或x= ay+b.求出另一个未知数, 用"联立,别忘3呀! @联:把求的的两个未知数的值用"联立起来,这样就 到二元一次方程组的 .
3.加减法
用一 用"+
(1)定义:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两 个方程的两边分别相加 相减,就 消去这个未知 ,得到一个一元一次方程,这种 方法叫做加减消元法,简称加减法.
乐数不是整数时应先化成整数
(2)步骤,①1化:方程组中的方程化为有一个未知数系数的绝对值相等的形式。 四加 :根据其系数特点将变形后的两个方程相加或相减,得到一元一次方程 ③解:解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。
④回代:把求得的一个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程,求出另一个
未知数的值。
H联:把求得的两个未知数的值用"("联立起来,这样就得到二元一次方程组的
训练点1用代入消元法解二元一次方程组
1.解方程组。
1y=2r-3.
(1) 3x+2y=8.
jx+2y=0.
(2)[2019·窑迁中考]
3r+4y=6. Jy=2r-3.①
[关注过程]解:(1) 3r+2v=8. 将①代入②,得3s+2(2r-3)=8, 解得x=2。
将x=2代入①.群y=1.
T2.
故原方程组的解是 y=l.
jx+2y=0.① (2) 3z+4y=6.西
由①得上-2v.(0 待③代入②.3(一2y)+4y=6。 解得y=-3.
x+y =X+2, v--3代入(.得x=6. 2 2x-y 二原方程组的解为 =X+2. y=-3 训练点2加减消元法解二元一次方程组 2.二元一次方程组 x+2的 解是 [2-y=8. 3.解方程组 3x+2y=5. [2r-y=8.0 [关注过程]解:解法一: 3x+2y=5.6 ①x2.得4a-2y=16.(3)
①+②.得7y=21.解得r=3.
将r=3代入①,得y=-2.
x=3。
所以方程组的解是 1y=-2.
[2x-y=8.①)
解法二: 3x+2v=5.
①X3.得6z-3y=24.8
②X2.得6x+4y=10.0
④一③得7y=一1,所以y=-2, 将y--2代入①.得上=3.
所以方权组的解是 y=-2.
提分要旨
等量关系的标志
训练点3二元一次方程组的应用
4.[2021·邯郸月考甲、乙两地火车线路比汽车线路 长30千米,汽车从甲地先开出,速度为40千米/时。 开出半小时后,火车也从甲地开出,速度为60千米/时。 结果汽车仅比火车晚1小时到达乙地,求甲、乙两地 的火车与汽车线路长,汽车早走晚到合计多用15小时 [关注过程]解:设汽车线路:千米,火车线路
千米。
v-=30. x=240. xyI y-270 40601
答:汽车线路240千米。火车线路270千米。
5.[202]·长沙模拟]大学生小王积极响应"自主创业" 的号召,准备投资销售一种进价为每件40元的小家 电.通过试营销发现,当销售单价在40元至90元之 间(含40元和90元)时,每月的销售量y(件)与销 售单价x(元)之间满足等式y=ar+6.其中a.b
未出此时相应 为常数
(1)根据图中提供的信息.求a.b的值的销楚单价
[(2)求销售该款家电120件时所获利润是多少?(提 示,利润一实际售价一进价
[学会总结]列方程组解应用题的步骤 ,设出两个知数。]我发现当销售单价为 我发现当销售单价为 65元时,销售量为 50元时,销售量为 100件。 160件。 65a+b=100 50a+b=160


1.我出题中的两个
2.我准题中的两个等量关系,列出
3.解方程得出方程组的解,检验否符合实际意
2.方程组
义,并作签。
1.未知票
8.3 实际问题与二元一次方程组 同学教材 学习重点
知识1列二元一次方程组解实际问题的步骤
(1)审题→找出问题中的等量关系.
(2)设元→直接或间接设两个未知数, (3)列方程组。
解实际应用问题必须导"答",而且在写 代人法
(4)解方程组一 检验所得的解是否符合题意。 "答"前要根据应用题的实际意义,程验
加减法
我得的结果是否合理,不符合题意的解
(5)写出答案。
知识2列二元一次方程组解应用题的常见类型 应该舍去。
1.和差倍分问题:这类问题的基本等量关系式是较大量=较小量十多余量、总量=
倍正确理解一些关键建 数X一份的量。
调表达的同类量之
2.产品配套问 :这类问画的基本等量关系是总量各部分之 的比 一每一 各部分 词的特殊的相等 之间的比例、 关系,如"提前"起
3.行程问题:在行程问题中有三个量,分别是速度、时间、距离,其关系式是速度X时间过早到到" =距离。
倍"增加3""相向而
4.工程问题:这类问题的基本关系式是工作量一工作效率X工作时间 行"和"同向而行等
售价一进价×100%, 5.利润问题:这类问题的基本关系式是利润一售价一进价,利润率 进价
6号问题:解这类间题的关键是从(过剩),号(不是)两个角度来把握事物的总量。
分层练透 提分要旨
训练点1和、差、倍、分问题两个等量关系 [学会总结]和、差、信、分间的关系
1.[2021·绍兴月考]有若干只鸡和兔关在一个笼子 (1)较大量=较小量十余量, 里.从上面数,有30个头,从下面数,有84条腿,问 (2)总量=各分量之和。
笼中各有 只鸡和 只兔.
(3)总量=分量×倍数。 七年级代表队乘车与
2.[2019·黄冈中考]在端午节来临之际,某商店订购 训练点2行程问题 步的路程和 了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克.B 3.某中学七年级文艺代表队乘车去相距学校21千米 型粽子24元/千克.若B型棕子的数量比A型粽子 的县城中学参加比赛活动,到A地时司机接到学校 的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元, 一个电话:"喂,张师傅吗?"是我"请你立即开车 求订购了两种型号粽子各多少千克。 等量关系2 返回接八年级的体育代表队去县城中学,让七年级 等量关系1. 的代表队步行去,"七年级的代表队下车休息了
10分钟后开始步行,汽车返回没有停留,当汽车接 送八年级代表队到县城中学时,七年级代表队也同 时到达,已知步行速度是4千米/时,汽车的速度是 60千米/时.求学校到A地的距离及七年级代表队
步行的路程。 学校K-x千米-x米县减鸭
10 10=6小时
[学会总结]行程问题的等量关系
1.基本等量关系, (3)路程=
(2)总路程=分路程的和
2.相遇问题:总路程一甲走的路程十乙走的路程。
3.追及问题:造及差=快的走的路程一便的走的 路程.
4.环形问题:
(1)迫及问题: X迫及时间一环长, (2)相间题:路程一速度和X相进时间。
1.(1)速度×时间4,[1)速座差
训练点3图表信息类问题
[4.2021·乐陵另考]小明在超市帮妈妈买回一袋纸 杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图所示,请你根 据图中的信息.若小明把100个纸杯整齐叠放在 根据圈开可 起时,它的高度约是多少?
5.[202]·博兴月考用5个大小相同的小长方形拼成 了如图所示的大长方形,若大长方形的周长是1. 则每个小长方形的周长是多少?]列出27万样 14cm 9cm 解:设两个杯子套在一起时,上面 [关注过程] 杯子露在外面的是xcm,一个杯子总高度为 2x+y=9, ycm,则由题意可得 7x+y=14, .99×1+7=106(cm). 解得 答:100个纸杯叠放的高度约是106 cm.


[学会总结]解决图表信息问题的"识""用""建"
1."识图表",(1)先整体阅读,对图表有一个整体了 解,进而获取有用信息:(2)注意图表细节的提示
2."用图表":通过认真阅读,观察、分析图表,根据 图表中数据或图形特征,我出等量关系。
3."建模型";在正确理解各量之间关系的基础上, 建立合适的数学模型,解决间题。
训练点4利润及其他综合问题
6.某校组织"大手拉小手,文卖献爱心"活动,购买了黑 白两种颜色的文化衫共140件,进行手绘设计后出 售,所获得利润全部捐给山区困难孩子,每件文化衫 的批发价和零售价如下表:每牛利润是(25-10)元
批发价(元)零售价(元) 10 25 黑色文化衫
白色文化衫 20
假设文化衫全部售出,共获利1860元,求黑白两种 每件利润是(20-8)元 文化衫各多少件?
可列二元一次方程组,也可刻一元一次方程
·8.4三元一次方程组的解法
同学教材 学习重点
知识三元一次方程组的解法
1.三元一次方程组的概念 不一定是每个方程中都含有3个未知数, 含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1.并且--共有三个方程,像 这样的方程组叫做三元一次方程组。
[2.解三元一次方程组的基本思路 消元消去的是同一个未知数
3.解三元一次方程组的一般步骤]三元一次 消元 二元一次 消元 元一次 方程组 方程组 方程


(1)利用代人法或加减法,把方程组中一个方程与另外两个方程分别组成两组,消去 两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.
(2)解这个二元一次方程组,求出两个未知数的值。
(3>将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一 个一元一次方程.
(4)解这个一元一次方程,求出最后一个未知数的值.
(5)将求得的三个未知数的值用符号"("合写在一起.
分层练透 提分要旨
训练点1解三元一次方程组
(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种家电190台到A
1.[2021·聊域月考]解方程组.
地销售,同装运的汽车各多少辆?汽气车总辆数 -y=-1可让三式相加,能直 (2)计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种家电720台
(1)y-z=-1.
到B地销售,如何安排装运,可使公司获得36.6万 接得出x值 r+:=4.
元的利润? 总利润 家电总台数 x+=-3=0,0
[关注过程]解:(1)设有r辆车装运乙家电, ①中武夹先消y
(2)2.-y+2==2.
有y辆车装运两家电, Jr+y=8。 z=5.
解得 20+30y-190。 Ly=3
答:有5辆车装运乙家电,有3辆车装运两家电, (2)设有a辆车装运甲家电,有b辆车装运乙家 (a+b+C=20.
电,有c辆车装运两家电, 可化为 训练点2三元一次方程组的应用 a+b+c=20. 4a+2b+3C=72, 2.某电器公司计划装运甲、乙、丙三种家电到农村销 40u+206+30=720。 10a+7b+6c=183.
0.05X40a+0.07X206+0.04X30c=36,6。 售(每辆汽车按规定满载。且每辆汽车只能装同一 C的未数成倍数, ja=15. 种家电).下表所示为装运甲、乙、丙三种家电的台数 解得b=3. 且简单先消C 及利润, r=2.
[0.05X40a+0.07X206+0.04X30c=36,6。 售(每辆汽车按规定满载。且每辆汽车只能装同一 C的未数成倍数, ja=15. 种家电).下表所示为装运甲、乙、丙三种家电的台数 解得b=3. 且简单先消C 及利润, r=2.
答:有15辆车装运甲家电,有3辆车装运乙家 电,有2辆车装达两家电。]

"":"每辆汽车能装满的台数"
"甲":"40"
"乙":"20"
"丙":"30"

"":"每台家电可获利润(万元)"
"甲":"0.05"
"乙":"0.07"
"丙":"0.04"
答:有15辆车装运甲家电,有3辆车装运乙家 电,有2辆车装达两家电。
第九章不等式与不等式组
9.1不等式 同学教材 学习重点
有些不等式中不含未知数,有些不等式中含有未知 知识1不等式的有关概念
1.定义
数2×>5中x表示未知数。 "不小于即"大于或等 像4>3.3u<7这样用符号"<"或">"表示大小关系的式子,叫做不等式。 于用"≥"表示;"不大 像a+2≠a-2这样用符号" "表示不等关系的式子也是不等式。
于"即"小于或等于"用
2.不等式的解与解集不等式的标志:"< "≤表示;"非负数" (1)不等式的解:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.例如:80和78是不等
"正数或0",用"≥0"表
式x>45的解,而65和63不是不等式>45的解。
示"非正数""负数或
(2)不等 的 集:一个含有未知数的不等式的所有的 ,组成这个不等式的 集 00.用"≤0表示
3.解不等式
大于向在小于向左
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集可以在数轴上直观地表现出来,一般来说,一元一次不等式的解集用 数轴表示有以下四种情况(设4<0):
[不等式的解集可以在数轴上直观地表现出来,一般来说,一元一次不等式的解集用 数轴表示有以下四种情况(设4<0):
注 :实心圆点表示该点的数值能取到,空心园圈表示该点的数取不到]

"不等式的解集":"数轴表示"
"a":""
"":""
"I≥a":""
"":""

注 :实心圆点表示该点的数值能取到,空心园圈表示该点的数取不到
知识2不等式的性质
1.不等式的性质1
(1文字物:不等式两边加(成波)同一个数或式子),不等号的方(不变
(2)符号语言:如果a>,那么士>士
2.不等式的性质2
在不等式两边不能乘0因
(1)文字表述,不等式两边票 (或除以)同一个正数,不等号的方向不变 为乘0后不等式变为等式
(2)符号语言,如果a>b>0.那么ac>h
"除以是被除数在前,际数在后,"除是际数在前,被除数在后
3.不等式的性质3
(1)文字表述:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
(2)符号语言:如果a>b,<0.那么ar<bc
若只知ac>bc.而不知C的正负。
4.特别地:(1)若a+6>6+c,且-b>b-c.那么a>b.


(2)若ac>bc(r>0).那么a>6:若a>(c<0),那么a<、 则无法判a和b的大小
分层练透 提分要旨
训练点1不等式的定义和列不等式
(5)a+≠4,(6)r+2<3, 1.[2021·济宁月考]下列各式中,哪些是不等式:哪
些不是?必须含五种符号中的任一种
(1)r+60.(2)<0.(3)ms.(4)x+y'≥5.
不含不等号
2.根据下列数量关系列不等式.
[学会总结]应用不等式的性质时的"三注意"
(1)m的一半与7的差大于10_
1.不等式的性1
(2)x与m的积小于3.mx2
(1)一定要同时加或同时减:
(3)x的绝对值超过5.起过是大于
(2)同时加(或减)的数或式子必须
(4)m与n的和的平方小于m与n的平方的和, (3)同时加(成减)的是 (m+n) m2+n2 2.不等式的性质2
(1)一定要同时乘(或除以):
(2)都乘(或除以)的数
(3)都乘(或除以)的是一个
3.不等式的性质3
(1)一定要同时乘(或除以):
(2)都乘(或除以)的数
(3)都乘(或除以)的是一个 .且不等号 的方向要改变。
1.(2)相网(3)整式2.(2)相(3)正数3.12)性间(3)负数
训练点4利用不等式性质解简单的不等式 [学会总结]用不等式表示数量关系的步骤 6.[2021·邢台月考]根据不等式的性质,把下列各不
1.分析超意,找出题中的各种量
等式化为"x>a"或"<a"的形式(a为常数)
2.用代数式表示各种量, 两边同时 (2( (>
3.抓住关键字词的意义,寻找各种量之间的 加x
4.用适 的 将表示不等关系的量连接起来。 (3)-3x>2.(4)-3r+2<2x+3.
3.不等关系 4.不等符号
两边同时除以-3
训练点2不等式的解
3.[2019·南充中考]不等式 一1的正整 3
[学会总结]用数轴表示不等式的解集的方法 数解的个数是
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在
A.1 B.2 C.3 D.4 应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个"确定"
4.[2021·烟台月考]不等式4-3x>2x-6的非负整 一是确定" ",二是确定" 数解有
大于等于0 (1)确定"界点":若过界点是不等式的解,则用
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ,若边界点不是不等式的解,则用 [学会总结]判断不等式解的方法
(2)确定"方向":对边署点a而言x>a或x≥4 判断一个数是不是不等式的解,常采用的办法是 向右画.r<a或r≤a向左画, ".即把各个数值代入不等式,看不等
边界点方向(1)实心圆点空心圆围 式是否成立。
训练点5不等式性质的应用
注意:一般来说,一个不等式的解不止一个,往往 7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品
个,个别情况不等式的解也有可能只 10件,后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种 有一个。
代入检验法无数 商品40件,如果商店销售这些商品时,每件定价为 训练点3不等式的性质乘负变号
1元,则会获得不少于12%的利润、用不等式表示
5.已知a>6.用">""<"填空,并说明理由. 以上问题中的不等关系,并把这个不等式变形为 a>b
(1)u+3 6+3.(2)a4
"x≥a"或"x≤a"的形式"≥12%
1国桌-1 -6.(4)-2a -26 -a<-b
(5)3a-) 36-1.(6)1一a 11呵时+1 1-6.
1-0<1-b 星推荐 一本业 初中数学
9.2一元一次不等式
同学教材 学习重点
知识1一元一次不等式的有关概念
1.一元一次不等式的定义一元一次不等式中未知数的承数不能等于. 含有一个未知数.未知数的次数是!的不等式,叫做一元一次不等式.如-5>24
2.一元一次不等式的判定
与一元一次方程的判定类比
(1)不等号两边都是整式:
(2)不等式中只含有一个未知数:
(3)未知数的次数是1
知识2一元一次不等式的解法
1.解一元一次不等式
(1)去分母(根据不等式的性质2或3
不等式中有分母的要通过不等式两边每一埋都 各分母的最小公信数去分,住意 不要漏乘常数项.
(2)去括号(根据整式运算法则)
不等式中有括号的要按照 式运算中的去括号法则去括号.在去括号的过程中 注 意符号的变化。
(3)移项(根据不等式的性质1)
将不等式右边含未知数的项变号后移到左边.将左边的常数模变号后移到右边去。
(4)合并同类项(根据合并同类项的法则
可以向使含未知数的项的承数为正的一边 整理成ur≥6或ua≤b的形式.
移.常数项移到易一边这样就不用考虑不等
(5)将含未知数项的系数化为1(根据不等式的性质2或3) 号的方间是否要改变了 两边都除以a将不等式ar≥b化为x≥一或x≤一的形式,这一过程要根据a的符
际数颜,方向要变
号决定不等号的方向是否改变。
元一次不等式一般有无数个解
2.不等式ax>b或ax<b的解集


[2.不等式ax>b或ax<b的解集
3.列一元一次不等式解决实际问题]

"不等式":"ar>6"
"":"6 x a"
"a=0":"当6<0时,全体实数;当6≥0时,无解"
"":""

"不等式":"ar<"
"":"6"
"a=0":"当6≤0时,无解;当6>0时,全体实数"
"":""
3.列一元一次不等式解决实际问题
列一元一次不等式 应用题的基木步骤与列方程解应用题的步骤类似.零, (1)审:认喜审题,分清已知量,未知景及其关系找出题中的不等关系,要 住题设 中的关键字眼.如"大于""小于""不小于""不大于""至少""最多"等
(2)设,设出适当的未知数、井且用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. 找不等关乐,要抓住题
(3)列:根据题中的不等关系,列出不等式
中的关键建词
(4)解:解出所列不等式的解集。
(5)答:写出答案,并检验答案是否符合题章
分层练透 提分要旨
训练点|一元一次不等式的定义
训练点2一元一次不等式的解法
1.若(m-2)x=-2≥7是关于x的一元一次不等 2.202]·盐坡月考]解不等式. 去接号时不要诵乘, 武,求m的值次数=1
(1)2(5x+3)<r-3(1-2r)。 小数≠0
注意符号是否改变
去分母时一1也要乘6
75个,总费用不超过1180元,那么最多可以购买多 列不等式的关键词 少个A型放大镜?
训练点4用不等式解决方案设计问题
3.小明解不等式 <1的过程如下. 3 5.[2021·达州月考]学校为了奖励初三优秀毕业生, 请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确 计划购买一批平板电脑和一批学习机,经投标,购买
诵乘"6" 的解答过程.
1台平板电脑3000元,购买1台学习机800元. 解:去分母,3(1+x)-2(2r+1)≤1…①D (1)学校根据实际情况,决定购买平板电脑和学习机 去括号,得3+3z-4x+1≤1-没有1相乘 共100台,要求购买的总费用不超过168000元。则 移项,得3x-4r≤1-3-1…3
除以负数不等号 购买平板电脑最多多少台? 合并同类项,得一z≤-8方间没有汉变 (2)在(1)的条件下,购买学习机的台数不超过平板 两边都除以一1,得x≤3·5 易字無 电脑台数的1.7倍,请问有哪几种购买方案?哪种
[关注过程]解:错误步骤的序号是①②⑤. 方案最省钱!(1)的后记在第二问间中可以用际件
设购买平板 去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6.
[关注过程] 解:(1)说购买平板电脑a台,则 电脑x台,可知 去括号,得3+3r-4x-2≤6.
购买学习机(100-a)台,由题意,得3000u+ 购买学习机 移项.得3x-4r≤6-3+2.
500(100-a)≤168000.解得a≤40. 合并同类项,得一r≤5. (100-x)台 答;平板电脑最多购买40台。 两边都除以一1.得x≥-5.
(2)设购买的平板电脑a台,则购买学习机(100 一a)台,根据题意,得100-a≤1.7a.解得4>
[学会总结]解一元一次不等式的"四注意"
[[学会总结]解一元一次不等式的"四注意"
3727]

"步骤名称":"去分母"
"注意问题":"不等号两边各项都乘各分母的 ,不要漏乘不带分母的项"

"步骤名称":"去括号"
"注意问题":"当括号前是"一"时,要注意去括号 后括号内 都要改变符号"

"步骤名称":"移项"
"注意问题":"移项是从不等号的一边移到另一 边,且不要忘记"

"步骤名称":"将未知数的 系数化为1"
"注意问题":"若不等式两边都乘(或除以)同一个 时,不等号要改变方向"
3727
"u为正整数.=38.39,40,则学习机依次 :62台,61台.60台。
因此该校有三种购买方案:
[因此该校有三种购买方案:
:163600<165800<168000。]

"":"方案一"
"平板电 脑(台)":"38"
"学习机(台)":"62"
"总费用(元)":"163600"

"":"方案二"
"平板电 脑(台)":"39"
"学习机(台)":"61"
"总费用(元)":"165800"

"":"方案三"
"平板电 脑(台)":"40"
"学习机(台)":"60"
"总费用(元)":"168 000"
:163600<165800<168000。
最小公信数各项壹号负数
二方案一最省钱。 训练点3一元一次不等式的应用
4.[2019·哈尔演中考]春平中学要为学校科技活动 [学会总结]应用不等式解决方案设计类问题的 小组提供实验器材,计划购买A型、B型两种型号
一般步骤


的放大镜.若购买8个A型放大镜和5个B型放大 1.根据实际问题中的不等量关系 镜需用220元若购买4个A型放大镜和6个B型 2.求出不等式的 放大镜需用152元.两个等量关系,可列方程组。 3.根据实际问题的意义取 ,得出结论, (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元
1.列不等式
(2)春平中学决定购买A型致大镜和B型放大镜共
9.3 一元一次不等式组
同学教材 学习重点
知识1一元一次不等式组
可以是3个.4个或者更多
1.定义
把两个或两个以上一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集
股地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式雅的解集.解不 等式组就是求它的解集,
3.解一元一次不等式组的步骤
第一步;求出不等式中各个不等式的解集。
第二步,将各个不等式的解集在数输上表示出来, 第三步,在效铺上找出苦个不等式的都集的公共部分,这个公共那分就是不等式怕 的解集。
知识2一元一次不等式组解集的基本类型(a<b)
[知识2一元一次不等式组解集的基本类型(a<b)
用数轴表示不等式组 的解集时要时刻审记: 大于向在画小于向左画 有等号画实心国总无 号画空心圆圈]

"一元一次不等式组":""
"解集":"x>b"
"图示":""
"巧记":"同大取大"

"一元一次不等式组":"x<a"
"解集":"I<a"
"图示":""
"巧记":"同小取小"

"一元一次不等式组":""
"解集":"a<x<b"
"图示":""
"巧记":"大小小大中间找"

"一元一次不等式组":""
"解集":"无解"
"图示":""
"巧记":"大大小小无处找"
用数轴表示不等式组 的解集时要时刻审记: 大于向在画小于向左画 有等号画实心国总无 号画空心圆圈
知识3一元一次不等式组的应用
→常借助数轴进行分析同时要注意等号能否取到
1.利用不等式(组)的解集求待定量数值的方法
(1J若待定不 式组有 . 不等式组中各不等式的解集有公共 。可通过数确 定其中一不等式中待定量的值, (2)的待定不等式组无 ,则不式 中 不等式的 集无公共部分可通过数验确
常用"投一知二"来用一个未知数表示两个量这两 定其中一此不等式中待定量的值, 个量存在和差倍分关系时
2.列一元一次不等式组解应用题的一般步骤
(1)弄清题意和题目的数量关系,用字母表示未知量.
(2)找出能够表示题目全部意义的不等关系。
(3)根据不等关系列出需要的代数式,从而列出一元一次不等式组
(4)解这个一元一次不等式组:常出符合题意的解,解题时,一定要注意验解的实际意义, (5)写出答案(包括单位名称), 倒如很多问题中都要取又整数解
增乐趣
代入不等式组看是否满足额目条件 这用破案验证法排际,a=-6,-5 分层练透 提分要冒
训练点2一元一次不等式组的应用
训练点1解一元一次不等式组
5.[2021·广元月考]某宾馆二楼比一楼客房多3间, x-1 "2<-1.
1.[2019·参安中考]不等式组
一参观团有62人,若全住一楼,每间住5人,就有人 4(r-1)≤2(x-4) 没处住:若每间住6人,就有房间没人住.倘若他们
3个整数解,则a的取值范围是
全住二楼,每间住4人,就有人没处住:每间住5人, A.-6≤a<-5 B.-6<a≤-5 就余两间没人住,且有一间住不满,求一楼有多少间 C-6<a-5 D.-6a≤-5 客房。 3-x>0.
[关注过程]解:说一楼有2间客房,则二楼就 的最小
2.[2021·泰安模拟]不等式组 4.x.3
有(x+3)间,根据题意、得 3÷> 6 j5x<62,4x+3)<62, 整数解为 14 6x>62: (5(x+3)-10>62.
D.-1
A.o B.1
(1+x>4+ 解不等式祖(①,得10÷x<12号、其整数解为
有解,则
3.[202]·安阳月考]若不等式组 2x-4≤0 (X>a-1)
11.12.
a的取值范围是 有解时a-1<2 解不等式组 ,得11x<12其整数制 A.≤3 B.a<3 D.a≤2 C.a<2 4.[2020·大同中考](1)解不等式组:
为12. 去拉号时不要乘 >0
综合① 的解可知.=12. 并在数轴上表示其解集 即一楼具有12间客房。
(2(x+5)≥6(r-1).② 不要泪乘6 -3≤0.e
(2)解不等式组:
并将解集在
数轴上表示出来去拉号时注意负号
第十章数据的收集、整理与描述
10.1 统计调查
同学教材 学习重点
知识1收集数据
1.分类
收集数据的常用方法是统计调查,可分为全面调查和抽样调查两种
2.全面调查和抽样调查的优缺点
要求必须得到难确数据的(如"人口普
(1)全面调查,①定义:考察全体对象的调查叫做全面测查 查)或较容易做到的(如"小组10人的 ②优点:收集到的数据全面、准确。
身高) ③缺点:花费多、耗时长:有些调查不宜用全面调查。


(2)抽样调查:①定义:只抽取一部分对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对 象的情况的调查称为抽样调查. 必具有代表性 优点:花费少,省时.
③缺点:收集到的数据不全面
3.数据处理的一般步骤
(1)步骤
全面调查
绘图 收集数据 整理数据 →描述数据 抽样调查
得出结论 分析数据
(2)选择调查方式的方法
抽样调查适用情况:①当调查的对象个数较多,调查不容易进行时; ②当调查的结果对调查对象具有破坏性,或者会产生一定的危害性时。
全面调查适用情况:①当调查的对象个数较少,调查容易进行时;
②对调查的结果有特别要求,或调查的结果有特殊意义时,如全国人口普查,涉及到
生命安全时等.
知识2总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样
1.总体:要考察的全体时象称为总体是一种"数量指标"如身高、体重,使用寿命等 考察一个班学生的身高,耶么总体就是指这个班学生身高的全体,不能错误地理解 为学生的全体。
总体译 全体对象
2.个体:组成总体的每一个考察对象称为个体.
个体 每一个对象
总体包括所有的个体
样本 抽取的都分对象
3.样本:被抽取的那些个体组成一个样本, 样本容量 抽取对象的数量 样本通常只包括一部分个体,样本是总体的一部分, 4.样本容量:样本中个体的数目称为样本容量,,本容量没有单位 -般地,样本容量越大,通过样本对总体的估计越精确
5.简单随机抽样:在抽取样本的过程中,总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到, 像这样的抽样方法是一种简单随机抽样, 作法:算出各部分数量
知识3常见的统计图表
1形图定义:用整个 代表总体,。中的各个扇形分别代表总体中的不同分形总数量的负分屏出
都分数量对应的扇形的 的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形图 (1)作用:启形 主要是反映具 问题中的部分与整体的 景关系、 国心厨度数:再不追当的半径
(2)优点:易于显示每组数据相对于总数的大小.
画圆.在国内画出各个扇开
(3)缺点:在不知道总体数量的前提下,无法知道每组数据的具体数量。 在各扇开中行出数量名和 77
举找者一
私印的百分化
2条币  义:用一个单位长度表示一炮的数 关系.根据数量的多少画成长短不同 的条形,条形的宽度必须保持一致, 后把这些条形排列起来.这样的统计 叫做条 形图.
(1)作用,可以表示出每个项目的具体数量
(2)优点:能够显示每组中的具体数据,易于比较数据之间的差别。
(3)缺点:无法直观地显示每组数据占总体的百分比是多少。
3 折线图定义:用一个单位长度表示一定的数据.根据数量的多少描出各点.然后用线
用残圈比较两个统计
段顺次把各点连接起来,这样的统计图叫做折线图
(1)作用,它既可以表示出项目的具体数据,又能清楚地反映数据的变化情况,量的变化趋势时,要保证
(2)特点:易于显示数据的变化趋势。
两个围中横、纵坐标的一 提分要旨 分层练透
颈性
(4)根据抽样调查结果,请你估计2021年该县5400
训练点1调查方式的选择
名初中毕业生实验考查成绩为D类的学生人数
1.[202]·株洲末]下面的调查,哪些适合用全面调
[查?哪些不适合?
(1)调查中央电视台(大风车)的收视率,范国大]人数 100 80 60 60 40 20 10 0 B C D A 成绩等级


(2)调查我班同学最喜欢的颜色.这个可以做到
(3)调查一批炮弹的杀伤力情况,具有破坏性
(4)查航天飞机的安全可靠性,容不得半,马虎
(5)调查我省的人口确切数字.
务心准确
考察的对象
训练点2总体、个体、样本、样本容量
2.[2021·淄博模]为了了解某市七年级8000人的
身高情况,从中抽取800名学生的身高进行统计,下 列说法不正确的是 范围不是太大
A.8000人的身高情况是总体
B.每个学生的身高是个体
C.800名学生的身高情况是一个样本
D.样本容量为800人样本容量不带单位
训练点3统计图表信息应用
3.[202]·济宁模拟]为了解某县2021年初中毕业生 的实验考查成绩等级的分布情况,随机抽取了该县 若干名学生的实验考查成绩进行统计分析,并根据 抽取的成绩绘制了统计图表.
[3.[202]·济宁模拟]为了解某县2021年初中毕业生 的实验考查成绩等级的分布情况,随机抽取了该县 若干名学生的实验考查成绩进行统计分析,并根据 抽取的成绩绘制了统计图表.
请根据统计图表提供的信息,解答下列问题]
成绩等级	A	B	C	D
人数	60	J	y	10
百分比	30%	50%	15%	m
请根据统计图表提供的信息,解答下列问题
(1)本次抽查的学生有 名
(2)表中x.y和m新表示的数分别为=
(3)请补全条形统计图。
4.[2019· 尔滨中考]为使中华传统文化教育更具有 实效性,军宁中学开展以"我最喜爱的传统文化种 类"为主题的调查活动,围绕"在诗词、国画、对联、书
法,戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选 且只选一种)"的问题,在全校范围内随机抽取部分 学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图
所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息 回答下列问题, (1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图。
[(3)若军宁中学共有960名学生.请你估计该中学最
10.2 直方图]爱国画的学生有多少名? 对于双图问题, 人数 应从两个图中寻 40 40 找"共性"量 32 24 24 16 16 8 0 诗词 国画 对联 书法 戏曲传统文化种类 戏曲 寻找喜爱诗词 诗词 书法 20% 对应的人数. 对联 国画


同学教材 学习重点
知识频数分布直方图
1.直方图的结构
横轴→表示分组情况 频数
纵轴一表示 频数 条形图→每一条是立于横轴之上的一个长方形,底边长是这个组的坦距,高为 组距
2.获得一组数据的频数分布情况的步骤
(1)计算最大值与最小值的差,
(2)决定组距和组数:把所有数据分成若干组,分成的组的个数称为组数,每个小组 的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距
频数分而直方图和杀 一般数据越多分的组数也越多.当数据在100个以内时.按照数据的多少常分成 形统计图是不同的 5-12个组。
(3)列频数分布表:对落在各个小组内的 据进行 计,得到各个小内的数据的个 频数分布直方图中各小 数(叫做频数).对数进行整理可得数分布表.
长方形之间是连续的, (4)亚频数分布直方 ;按照较数分布表.在平面直角坐 系中,横轴表示数据,在楼 而杀开统计图中小 轴的正方向标出每个组的端点,纵输表示领数与组距的比值,容易看出,小长方形面 长方形之间是间断的 领数 积=组距× =频数.可见,频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落 在各个小组内的频数的大小,小长方形的高是颗数与组距的比值, 等距分组时,各小长方形的面积( 数)与高的比是常数(组查),因此,画等跟分组的 额数分布直方 时,为画 与看图 方 ,通常 接用小长方形的高表示频数。
3.频数分布直方圈的特点
(1)能够显示各组题数分布的情况。
(2)易于显示各组之间数的差别。
4.频数分布直方图的几个重要结论
(1)各小组的频数之和等于数据总数
(2)各小长方形的高与该组频数成正比.
分层练透 提分要旨 5+10+15+12+8=50
训练点频数分布直方图及其应用
2.[2021·莱芜期末]对某班学生一次数学测试成绩进
1.[2021·滨州期末]某校报名参加甲、乙、丙、丁四个 行统计的结果如图所示,该班人数为
兴趣小组的学生人数如图所示,那么报名参加甲组 70.5~80.5范围人数占全班的 %,如果以 和丙组的人数之和占所有报名人数的百分 80.5以上为优良,那么优良率为 (分数为 >12+8 比为
整数)。
[15
X100%. 50]频数(人) 50 15 15 12 12 10 10 8 8 5 5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5成绩(分)


第十一章三角形
11.1 与三角形有关的线段
同学教材 学习重点
知识1三角形及有关概念
不在同一条直线上 三杀线段
三角形 首尾顺次相接
1.三角形
(1)定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾短次相接所组成的图恶叫后三角
(2)三角形的边与角:在右图中,线段AB,BC.CA是三角形的边.点A, B.C是三角形的头点. A.B. C是相你两边组成的角.叫做三角孩 的内角,简称三角形的角。
(3)判是一个图形是三角形的条件:1三条线段:②不在同一条直线上:《3首尾顺次
缺一不可
相接, (4)三角形的表示:可以用符号"△"农示,点是A,B.C的三角形记作△ABC.读
作"三角形ABC".
(5)△ABC的三边,有时也用a,b,表示,在上图中,顶点A所对的边BC用a表顶角。A 腰 示,顶点B所对的边AC用6表示,顶点C所对的边AB用表示。
2.等腰三角形
底雨
B 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边都叫做腰,另一边叫做底 底边 边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角, 等腰梯开也有底角
等腰三角开特有
3.等边三角形
[底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形,即三边都相等的三角形叫做等边三 角形.
知识2三角形的分类]有一个内角是直角 等腰 直角三角形 三边都不 三角形 三角形 相等的 锐角三角形 等边 斜三 三角形 三角形 角形 钝角三角形 按角分类 有一个内角是钝角. 星推荐 一本涂书 初中数学


三边都不相等的三角形 三 底边和腰不相等 角 的等三角形 形 三角形
等边三角形
按边的关系分类
,三角刊限含的条件 三边关系是三角边的限制关系,与内用和等于180°一样都是
知识3三边关系 1.三边关系
[知识3三边关系 1.三边关系
2.判断三条线段能否组成三角形的方法]

"文字表述":"三角形两边的和大于 第三边 任意两边"
"数学语言":"在△ABC中,a +6>c;6+c a:a+c>b"
"理论依据":"两点之间, 线段最短"
"应用":"(1)判断三条线 段能否组成三 角形; (2)已知三角形 的两边,求第三 边的取值范围"
"图形":""

三角形两边的差小于 第三边 在△ABC中,|a -b|<c;16-cl <a:la-c<b
2.判断三条线段能否组成三角形的方法
(D)将较 的两条线段的和与最长的线段相比较,若较短的两条线段的和小于成等 于最长的线段,则不能组成三角形;若较短的两条线段的和大于最长的线段,则可以
组成三角形。
(2)将最长线段和最短线段之差与中间线段比较,若量长线段和最短线段之差大于 或等于中间线段,则不能组成三角形;若最长线段和最短线段之差小于中间线段,则 能组成三角形.
三角开的高一定记住垂是不一定落在三角形的边 知识4三角形的高、中线与角平分线 上,有可能落在边的延长线上
1.三角形的高
(1)定义:从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线,顶点 和垂足间的线段叫做三角形的高。
(2)几何表达形式:AD是△ABC的边BC上的高或AD1BC干D
或 ADB-ZADC=90° 三角开的一条中把三角开分成面积相等的两个三角形
2.三角形的中线
(1定义,连接三角取的一个 点和它所对的边的中点的线段叫 三角 形的中线。 (2)几何表达形式:AD是△ABC的边BC上的中线或BD=DC=-BC 或BC=2BD=2DC或D为BC的中点.
3.三角形的角平分线
(1)定义,三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间三角形的角平分是
一条残段.而角的平分 的线段叫做三角形的角平分线。
残是一条射试
(2)儿何表达形式:AD是△ABC的角平分线或/1=22-, BAC
4."三线"的交点
一个三角形有三条中线、三条角平分线、三高.它们所在直线都分别相交于一点
[一个三角形有三条中线、三条角平分线、三高.它们所在直线都分别相交于一点
注:三角形的高、中线、角平分线都是线段]

"线的名称":"中线"
"线的位置":"三条中线都在三角形内部"
"交点名称":"重心"

"线的名称":"角平分线"
"线的位置":"三条角平分线都在三角形内部"
"交点名称":"内心"

"线的名称":"高"
"线的位置":"锐角三角形:三条高都在三角形内部"
"交点名称":"垂心"

直角三角形:其中两条高恰好与两条直角边重合

钝角三角形:其中两条高在三角形外部
[注:三角形的高、中线、角平分线都是线段
5.结论]H 垂心 A B A E F A 内心 重心 垂心 B C C B C A垂心 B C B D


(1)三角形的高=90的角。
(2)三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(这两个小三角形
等底同高):三角形的中线延长一 ,容易构造平行 边形(倍长中线)
(3)三角形的角平分线→相等的角现成2倍关系的角:三角形的稳突性生是三角开特有的性生厦,只
知识5三角形的稳定性
要三角开三边国定三角开的形状和大小就
三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性。 确定不变了 三角形的稳定性有广泛的应用,桥梁、起重机、人字型屋顶等。
分层练透 提分要旨
3.308(不合题意)或88-3
训练点1三角形的有关概念
4.[2021·宁河月考]若等腰三角形的两边长分别为
1.[202]·陇西期末]课堂上,老师把教学用的两块三 3 cm和8cm,则它的周长是 角板叠放在一起,得到如图所示的图形,三角形的 5.把一条长为18m的细绳围成一个三角形,其中两
段长分别为xm和4m 第三边长(18-X-4)
个数为
无法判断三边 (1)求工的取值范围。 =(14-x)m
一一列出 (2)若围成的三角形是等腰三角形时,求x的值。 不等式组成不等
分两种情光讨论: 式祖我解
A.2 B.3 C.5 D.6
①4岁月要时
2.如图、 4为底边时
注意:求出x的值后要 判西能己否构成三角开!
(1)写出含有 A的所有三角形.
[(1)写出含有 A的所有三角形.
(2)写出含有边BC的所有三角形, (3)在 1、/2. A所对的边中,哪一条是公共的 对边?]

"[学会总结] 三角形的三边满足的关系":"能构成三角形. 当较小的两条线段之和 就不能构成三角形."
"":"第三条线段时,"

"[学会总结] 三角形的三边满足的关系":"较小的两条线段之和大于第三条线段等于或小于"
"":""
(2)写出含有边BC的所有三角形, (3)在 1、/2. A所对的边中,哪一条是公共的 对边?
[(2)写出含有边BC的所有三角形, (3)在 1、/2. A所对的边中,哪一条是公共的 对边?
训练点3三角形的三条重要线段的画法及表示]

"":""
"[学会总结] 数三角形个数的"四方法"":"1.按照图形的形成过程数(即重新画一遍图形,按 照三角形形成的先后顺序去数)."

"":""
"[学会总结] 数三角形个数的"四方法"":"3.从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数."

"":""
"[学会总结] 数三角形个数的"四方法"":"4.先固定一个顶点,变换另两个顶点去数."
训练点3三角形的三条重要线段的画法及表示
[6.[2021·张家口月考]下面四个图形中,线段BD是 △ABC的高的是
训练点2三角形的三边关系]B B 无90° D A C A D C A B B B BD与AC不垂直. BD与AC斜交 A D A C D


3.[2021·南宁模扣]若三角形两边长分别是4,5,则 周长C的范围是
A.I<C<9 B.9<C<14 C.10<C<18 D.无法确定
7.[2021·连沂期末]如图所示,某地有三个车站A, [学会总结]解答与三角形面积有关的问题的 B.C成三角形,一辆公共汽车从B站前往C站。 方法
1.利用三角形的中线求面积时,掌提中线分成的两个 从等底 小三角形的面积等于原三角形面积的 同高去 2.已知两边上的高及其中一边长,求相应另一地
时,利用
考虑 法 1.一单2.等查积 DEF
训练点5三角形的稳定性
(1)当汽车运动到点D时,刚好BD=CD,连接 10.[202]·越芳区期末]下列图形中不具有稳定性 AD.AD这条线段是什么线段?这样的线段在 的是 △ABC中有几条?此时有面积相等的三角形吗?
[(2)汽车继续向前运动,当运动到点E时,发现 ZBAE-ZCAE,那么AE这条线段是什么线段?
在AABC中,这样的线段又有儿条?]A B C D


11.小辉用7根木条钉成一个七边形的木架,他为了使
(3)汽车继续向前运动,当运动到点F时,发现 该木架稳固,想在其中加上四根木条请你在图1, AFB-ZAFC-90",则AF是什么线段?这样 2.3中画出你的三种想法,并说明加上木条后使该 的线段有几条?
木架稳固所用的数学道理
[A到BC的最短距离
加木杀使之都范构 成三角开]图1 图2 图3


训练点4三角形三条重要线段的应用
8.[202]·温博月考]如图所示,D是BC的中点,E是
[AC的中点,若S1.则S
9.如图,已知AD、AE分别是△ABC的中线和高.AB =8cm.AC=5 cm.]B D


[学会总结]使多边形稳定的方法 即AB与AC的差. 四形、五边形等多边形具有不稳定性,从一个
顶点向与其不相邻的顶点引 条对角线 DEC
能使该多边形稳定,无论怎样添加对角线。只要
(1)△ABD和△ACD的周长相差多少?
能保证把分成若于三角形即可。 [w-31 (2)△ABD和△ACD的面积有什么样的关系?说 出你的理由,
训练点6与三角形中位线有关的计算
等底同高 12.在△ABC中,AB=4.AC=3.AD.AE分别是其
角平分线和中线,过点C作CGLAD于点F.交 AB于点G.连接EF,则线段EF的长为() 在△AGC中:AF是底边GC 上的高碱和中线,也是角 平分"三残合一"
B.7
D.7
知识1三角形的内角
1.三角形内角和定理
定理:三角形三个内角的和等
于180°。
(1)表达形式:在△ABC中,A+ /B+ C=180°, (2)证明方法:剪拼或平角,通过作平行线构造平角,构造两平行线下的同旁内角。
2.直角三角形的性质与判定
(1)性质:直角三角形的两个锐角互余, (2)写法:直角三角形可以用符号"RI△"表示,直角三角形ABC'可以写成 RI ABC, (3)判定:①文字表述:有两个角互余的三角形是直角三角形。
②几何表述:在△ABC中,如果A+B=90',那么△ABC是直角三角形。
三角形的外角通常和三角形的内属,角平分钱一起考查在解 知识2三角形的外角
题时要注意一个外角与不相邻的两个内面之和的关系
1.定义
(1)三角形的一边与另一边的延长线组成的角、叫做三角形的外角。
(2)如图. ACD是△ABC的一个外角。
[2.性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
3.结论]A 2 B C D 3 2=


(1)三角形的外角与相邻内角的关系
(一个外角=相邻内角=直角三角形。 一个外角>相邻内角动可能为直角三角形,锐角三角形,也可能为 钝角三角形、 一个外角<相邻内角→纯角三角形.
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
(3)三角形的外角和为360°.
训练点1三角形的内角和
BC于点D.AE平分 BAC.试证明: EAD=
1.如图, A+ B+2C+ D+E+
[11.2 与三角形有关的角 同学教材 学习重点
分层练透 提分要旨]B A A B B B C


2.已知:如图,在△ABC中. C> B.ADBC交 84
[关注过程]证明:为AE分 BAC 2x=72",不符合题意;
思陨:通过EAD数 ①设ZA=x. B=2r.C=3x,则x+2x+ 所汉/BAE= CAEBAC.童关系的代换,渣 3r=180",解得x=30°,故3z=90", 因为 BAC=180°-(ZB+2C),渐间只含有<B.4C :△ABC是直角三角形,符合题意; 的方向靠孩
一[180"-(ZB+ C)] 所以/EAC= @A=/B=ZC.
因为ADIBC.所以/ADC=90°, :2A+2B+C=+2+20 所以 DAC=180°-ZADCC=90°-2C. 因为EAD=ZEACDAC, 2/C=180", C=90.△ABC是直角三角形,符合 所以EAD-[180"-(ZB+C)-(90 题意.
-2C)=(C-ZB).
综上所述,是直角三角形的是1四④四.共4个。
故选B
[故选B
[学会总结]直角三角形的性质与判定的区别与 联系]

"":"1.在三角形中已知"
"[学会总结]三角形内角和定理的"四应用"":"内角的度数,求第三个"

"":"个锐角."
"[学会总结]三角形内角和定理的"四应用"":"1.两个2.度数和3.度数关系"
[学会总结]直角三角形的性质与判定的区别与 联系
1.区别:性质中" "是条件,两说角的关系 是结论:判定中
"直角三角
形"是结论。
2.联系:性质和判定的理论很据都是三角形角和 定理。 1.直角三角形两锐角的关系是条件
训练点3三角形外角的性质
4.2021·南宁月考]如图. ACD是△ABC的外角, 训练点2直角三角形的性质与判定
CE平分 ACD.若 A-60. B-40°,则 ECD
3.[2021·历下区期末]在下列条件:① A+ B= 等于 /C/A1BC=1123③/A=B -2/CA=B=CA-28
[设C=X.则5x=180 1C中,能确定△ABC为直角三角形的条件有
2]E A 60° 40° B C D B.45° A.40° C.50° D.55°


A+<B=LC 5.[2021·榆林月考]如图, A=90°. B=21、C
A.5个 B.4个 C3个 D.2个 32",求/BDC的度数:延长阳交AC于由三角形 [关注过程]B
内用和定理得1=69° 解析:①A+/B+ C=180°
41=<2+C可得2=37. 南<29人BOC互补: : A+ B= C=-X180=90" Ez D 二AABC是直角三角形、符合题意: /A: B: C=1:2=3. : A=30°.B=60',C=90°, 二AABC是直角三角形,符合题意: ③ 设/C. A=B=2. 22x+2x+x=180°,解得x36°。
[学会总结]三角形外角性质的常见应用
1.已知三角形的一个外角及与它不相邻的两个内 鬼中的一个.求
2.证明一个角等于
3.作为中间关系证明两个角相等。
1.另一个内角2.另两个角的和
<BOC=180°-DBC-I<ECB =180--(DBC+LECB) =90°-1A =180°+/A
训练点4三角形的外角性质的综合应用
7.如图,在△ABC中, ACE是△ABC的一个外角。
ZABC的平分线与 ACE的平分线交于0点,若
2 1=2/2+A ZA=80°,求 Q的度数.
941-22=4A
1 BOC=4A
[关注过程]解:因为BO是 ABC的平分线, 所以ZOBC= ZABC.
因为C0是外角 ACE的平分线。
所以/0CE= ZACE.
所以20= OCEOBC ACE-ABC
ZACEABC) 80=
[8.[2021·临汾月考]如图,在△ABC中, A=a, ABC与 ACD的平分线交于点A,得 A: ZA,BC与 A,CD的平分线相交于点A.得 ZA:*…*·*/2.ABC与 AzCD的平分线相 交于点A得 AA
9.如图、0是外角/DBC与外角/ECB 的平分线BO和CO的交点,探索 ZBOC与 A有怎样的关系?]B C D


2
记住这三个磕论对解配类型题很有用!
【学会总结]角平分线夹角与第三个角的"三关系"
1.如图1,BD,CD为△ABC的内角平分线,期 ZBDC
2.如图2.BD.CD为△ABC的内、外角平分线,则 ZBDC
3.如图3,BD,CD为△ABC的外角平分线,则 /BDC
6.[2021·凉州质检]如图,在△ABC 中. B= C. BAD=40°,用 ADE= AED.求 CDE的度数, LC+-CDE=-B+LCDE 40°+-B-LCDE
11.3 多边形及其内角和
学习重点 同学教材 在半面内
各原边都相等 知识1多边形 一些3段
多边刑 正多边形 首尾顺次相接祖成的梦间图形 各内都等
1.定义
在平面内,由一些线段首尾照次相接组成的封闭图形叫做多边形,
2.多边形的内角
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,
3.多边形的外角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图。E。 Z1是五边形ABCDE的一个外角。
4.多边形的对角线三角形没有对角线
H1  接 边想不相匆的两个医点的线会, 做乡边形的对角线
(()一个 边形从一个点出发有7 3)条对角线.所有对角线的数量 "一一只有王边开的回线的总杀数和边数相等 一条
)或只有各个国相等(如长方形)的多边 只有备杀边相等(女麦开)
5.正多边形 形都不是正多边形
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
二者缺一不可
知识2多边形的内角和、外角和
1.多边形的内角和
从一个顶引对线能把n边开分成(n-2)个三角
(1)公式:n边形内角和等于(-2)×180 (刑(n-2)个三角开的内角和即为n边开的内角和
(2)正n边形的每个内角等于".180"
2.多边形的外角和 多边形的外用和等于360°.与多边形的边数无关
(1)定理:多边形的外角和等于360°
(2)正边形的每个外角等于.,只有因边开的内和萝外国和相等
3.多边形截去一个角后
(1)新多边形的边数有三种情况:
①增加一条边.
②边数与原多边形相同.
③减少一条边
(2)新多边形的内角的个数有三种情况: ①增加一个角。
②与原多边形角的个数相同。
[③减少一个角。
内角和为(5-2)×180]


分层练透 提分要旨
训练点1多边形的有关概念
4.[2020·秦安中考]如图,五边形ABCDE中.AB//、 CD.1.2.23分别是 BAE, AED. EDC
1.从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶 <B+4C=180°
点与其余各顶点,若把这个n边形分割或10个三角 的外角,则 1+ 2+ 3等于 n-2=10 形,则 的值是
B.11 C.12 D.13
A.10
[2.(1)若在n边形内部任意取一点P,将P与各顶点 连接起来,则可将多边形分割成 个三角形。
(2)若点P取在多边形的一条边上(不是顶点),再 5.2021·潘博模拟]多边形的每个内角都等于150", 将P与#边形各顶点连接起来,则可将多边形分割 则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有 成 个三角形.]B 1 A 2 E 3 D C A.90° B.180° C.210° D.270°


每个外用都是30°
[学会总结]边形的对角线总条数
A.8条 B.9条 C.10条 D.11条
从n通形的一个顶点可引(n-3)条对角线,n个 6.[2021·永吉县期末]一个多边形的内角和比它的外 顶点共应连成n(n-3)条对角线,其中包含了 角和的2倍少180°,这个多边形的边数是( "从A到C"与"从C到A"的对角线,这说明每条 A.5 B.6 C.7 D.8 对角线都重复了一次、所以n边形的对角线总条 7.[2019·莱芜中考]一个多边形除一个内角外其余内 w(w-3]
数为 条.
角的和为1510",则这个多边形对角线的条数是 陈去的内角度数范围是0"~180",← 训练点2多边形的内角和与外角和 0<(n-2)×180°-1510<180n取整数
A.27 B.35 C.44 D.54
3.[2021·玄武区月考]一个多边形截去一个角后,形
8.[2020·海南中考]多边形的内角和与某一个外角的 成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边
度数总和为1350°,则多边形的边数是 形的边数是
[度数总和为1350°,则多边形的边数是 形的边数是
A.10或11]

1.利用多边形的内角和公式

求内角和,也可已知多边形的内角和求边数.

2.因为任何多边形的外角和都是 ,所以多

边形的外角和与边数无关,解题时常把多边形的

内角问题转化为外角问题解决.

A.10或11
B.11或12或13
C.1I或12
D.10或11或12
[关注过程]D
解析:没多边形截去一个角后的造数为n, 剩(n-2)-180°=1620°。
解得x=11, "截去一个角后边数可以增加!或不变或减
少1.
二原来多边影的造数是10或11或12.故选D.
第十二章全等三角形
12.1全等三角形 同学教材 学习重点
知识1全等形
1.定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形,
2.判定全等形的方法
全等形关注的是两个图形的形状和大小,面不是图形所在的位置,看两个图形是否 为全等形,只要把它们叠合在一起,看是否能够完全重合即可
三角形全等的应用:(1)正明边相等;(2)证明角相等 知识2全等三角形
1.相关概念
(3)求角的度数:(4)正明等量关系
(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(2)把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫被对应顶点.重合的边叫做对应 边,重合的角叫做对应角。
2.全等三角形的表示方法 不要马成"啊!
(1)全等的符号:2,读作"全等于"。
(2)记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位 是BC=BC而不 置上,如右图.AABC和△DBC全等.点A和点D、点B和点B.点B 是BC=CB C和点C是对应顶点,记作△ABC≌△DBC.
3.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等。
(2)注意事项:全等三角币的周长相等.面积相等.对应边上的中线相等.对应角的平 分线相等,对痘边上的高相等,但是周长相等的三角形不一定全等,面积相等的三角
全等的三角形,周长一定相等面 形也不一定全等。
积也一定相等
4.确定全等三角形对应边、对应角的方法
:长对长,短对短
(1)若有公共边,则公共边一定是对应边;
(2)一对最长的边一定是对应边,一对最短的边也一定是对应边
(3)若有公共角,则公共角一定是对应角:
大对大小对小
(4)若有对顶角,则对顶角一定是对应角:
(5)一对最大的角一定是对应角,一对最小的角也一定是对应角:
(6)两边是对应的,则它们所对的角也一定是对应的:反过来,两个角是对应的,则它
们所对的边也是对应的:
若△ABC丝△DE:测AB
(7)两条对应边所夹的角是对应角,两对对应角所夹的边是对应边;
(8两个三角形全等用"52表示.找对应边,适应角一較可饮从其书写韵顺序和位置上=DEBC=EFAC=DF. (周样对应角也一样) 来找
分层练透 提分要旨
训练点1全等形、全等三角形的有关概念 B.能够完全重合的两个三角形全等
C.全等图形的形状和大小都相同
1.下列判断不正确的是 大小不一定相同几姐
D.全等三角形的对应角相等
A.形状相同的图形是全等图形
两个边长不同的等边
初中数学
2.[2021·高青县期水]边长都为整数的△ABC △DEF.AB与DE是对应边,AB=2.BC-4,若
△DEF的周长为偶数,则DF的取值为
A.3注意得题同长有限刺
C.5
D.3或4或5
3.[2021·株洲模叔]如图.△ABC △DEF,且顶点 A与D对应.B与E对应,点E.C.F.B在同一条 直线上。
AB=DE.
AC=DF
BC=EF.
(1)请写出所有相等的线段,并说明理由。
(2)请写出所有平行的线段,并说明理由。
[先找相等用,再找平行
[学会总结]确定全等三角形对应元素的"三方法"]E D F B


1.字母顺序法:
根据书写规范,按照对应顶点确定
△ABC ADEF.AB与DE.AC与DF.BC
与EF是对应边,A和/D.ZB和 E、C 和 F是对应角。
2.图形位置法:
(1)公共边一定是
(2)公共角一定是
(3)对顶角一定是
(4)对应边所对的角是 ,两条对应边所 夹的角是
(5)对应角所对的边是 ,两个对应角所 夹的边是
3.图形大小法:
两个全等三角形的最大约(角)是
小的边(角)是
1.对应边、对应角2.(1)对应边(2)对应角[3)对应角{4)对 应角对应典(5)对应达对应边3.对应边(角)封应边(角
训练点2全等三角形性质的应用 4.2019·大原中考]如图, ACBS △ACB'. BCB=30.则 ACA的 度数为
A.20° ACB=ZA'CB.B.30°
C.35
D.40"
[5.如图,△ABD△ACE.AD=8 cm,AB=3cm.则 BE cm
6.[2021·三亚期末]如图. ABF △CDE./B和 ZD是对应角.AF和CE是对应边,]A' A B B


[5.如图,△ABD△ACE.AD=8 cm,AB=3cm.则 BE cm
6.[2021·三亚期末]如图. ABF △CDE./B和 ZD是对应角.AF和CE是对应边,]A E


[6.[2021·三亚期末]如图. ABF △CDE./B和 ZD是对应角.AF和CE是对应边,
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应边和对应角.]A B E F D C


(2)若 B=30°.DCF=40°.求 EFC的度数.
(3)若BD-10.EF-2.求BF的长, BE=DF.
[学会总结]全等三角形性质的"两应用"
1.求线段:全等三角形的 相等,可以直接 确定对应边的数量关系,也可以间接求解相关线 段的长度, 2.求角:全等三角形的 相等,可以直接确 定对应角的数量关系,也可以间接求解相关角的 大小。
1.对应边2.对应角
12.2 三角形全等的判定
知识1全等三角形的判定定理
1.SSS(边边边)
(1)文字表述:三边分别相等的两个三角形全等。
不能判定三角形全等
(2)何表述,若AB-A'B'.BC-B'C'.AC=A'C.则 的两种情7况: AABCAABC(SSS)
SSA:有两边和其中一
(3)注意事项:利用"SSS"来证明三角形全等时,一定要找准对
边的对角对应相等的 应边,要注意隐含条件,如公共边、中线等.
两个三角形不一定全
2.SAS(边角边)
等哎图
(1文字表述:两边和它官们的夹角分别相等的两个三角形 全等 (2)几何表述:若AB=A'B'.ZBAC"=ZB'AC.AC=8
AAA:有三个角对应 "有用无边"(理里解含义) AC.则△ABC≌△A'B'C(SAS).
相等的两个三角开 C3)注意事项:运用"SAS 明三角形全等时,一定要物准对应相等的边、角.要注意 不一定全等. 隐含的等角,如公共角、对顶角、角平分线等:在书写证明步骤时,要按照"SAS"的 序书写,以表明三个元索的位置关系:"SSA"不 证明两个三角形全等.
3.ASA(角边角)
(1)文字表述:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形
全等
(2)几何表述:若 B= B',BC=BC'. C=/C'.则△ABC  A'BC(ASA)。
4.AAS(角角边)
(1)文字表述:同角分别相等且其中一组等角的对边相等的两
个三角形全等。
( )几 表述:若 8= B'. AA'.AC=A'℃,则△A C △AB℃C(AASI.
(3)注意事项:"AAS"是由"ASA"推导得出的,将两者结合起来可知,两个三角形如 果具备两个角和一条边对应相等,就可判定其全等. "两角十一边《理里解做题)
5.HL(斜边、直角边)
(1)文字表述:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
全等。
(2)几何表述:若AB=A'B',BC=BC',则Rt△ABC≌R△ABC(HL)
(3)注意 项:*Hl"是直角三角形所独有的,对于一般三角形不成立.
知识2三角形全等的判定方法的选择三角全等,先找边. 1.已知两边
(找夹角SAS 找直角→HL 找另一边SSS
[同学教材 学习重点
2.已知一边、一角]A' A B CB'


边为角的对边→找另一角→AAS
找这条边上的另一角ASA 边为角的邻边找这条边的对角→AAS
找这个角的另一边SAS
3.已知两角
找两角的夹边→ASA 找一角的对边→AAS
分层练透 提分要旨
训练点1应用"SSS"证明两个三角形全等 (1)求证:△BAD △CAE
1.如图所示,AB-CD,BC=DA、E.F是AC上的两 (2)试猜想BD,CE有何特殊位置关系,并证明。 点,且AE=CF.DE=BF,那么图中的全等三角形有 [关注过程] 解:(1)证明: BACDAE
等式的基本性质 =90°.
: BAC+ CAD= DAE+ZCAD. △ABC△CDACSSS) 印 BAD=/ZCAE. AADE△CBFCSSS CAABFACDECSSS 又"AB=AC.AD-AE.
A.4对 B.3对
D.T对 :△BAD ACAE(SAS).
2.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC一ED, (2)BDLCE,证明如下: 要利用"SSS"来判定△ABC和△FED全等时.下 由(1)知△BADSACAE. 面的4个条件中:①AE=FB:②AB=FE:③AE= :ADB=E.全等三角形的对应角相等 BE:④BF-BE.可利用的是
等式性质AB=FE /DAE=90"E+/ADE=90° :ZADB+ ADE=90°. BDE=90.
:BDICE.
4.[2021·许昌月考]如图所示,某同学把一块三角形
A.①或
玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全
B.②2或保
C.①或③)
D.①或④
一样的玻璃,那么最省事的办法是
[学会总结]证全等寻找等边的方法
1.利用线段 的定义说明边相等。
2.图形中的隐含条件,如 (有时需要添加 A.带①去无国实边 B.带 去 辅助线构造公共边)。
只有一个
C.带 去两及其英边相等D.带①和②去
3.多条线段在同一条直线上时,利用 证明
闻国定 有关线段相等。 1.中点2.公共3.等式性质 [学会总结]应用"SAS"判定两个三角形全等的
训练点2用"SAS"证明三角形全等
"两注意
3.[2021·萍乡期水]如图,在△ABC.△ADE中, 1.对应:"SAS"包含"边""角"两种元素,一定要注意 BACDAE=90,AB=AC.AD-AE.C.D. 无素的" "关系。
E三点在同一条直线上,连接BD.
2.顺序,在应用时一定要按边→角一边的版序排列 2DAC是二者的邻后
条件,绝不能出现过一边→角(或角→边一边)的 手拉手旋转 错误,因为 《或角过边)不能保证两个三 20模型. 角形全等, 1.对应2.边边角
训练点3"SSS"SAS"的实际应用
8.[2021·南山月考]如图,线段AC与线段BD相交
5.为稳固电线杆,从A处拉了两根等长的铁丝AC. 千点0.连接AB.BC.CD.AD.OA-OD. AD.且C.D到杆脚B的距离相等,则有/< 求证:1=/2. AC=AD CB=DB. 隐含:AB=AB CA 需先证△AOB丝△DOC(ASA)
A.Z1>2
OA'=OB
得到AB=DC.0B=OC.
[B./K</2 OA=OB 再去证△ABC丝△DCB C. 1=/2 限念对顶角 由两次全等证明 D. 1与 2大小不能确定 6.你一定玩过跷跷板吧!如图是小明和小刚玩跷跷 板的示意图,横板绕它的中点0上下转动,立柱(0
与地面垂直.当一方着地时,另一方上升到最高点。 问:在上下转动横板的过程中,两人上升的最大高 度AA'.BB'有何数量关系,为什么?][学会总结] 证三角形全等寻找等角的方法 1. 相等、 相等、直角相等. 2.等角加(减)等角,其和(差)相等. 相等. 3.同角或等角的 4.根据角平分线、平行线得角相等. 对顶角 1.公共角 3.余(补)角


训练点5用"AAS"证明两个三角形全等
9.2021·成都月考]根据下列已知条件,能画出唯一 △ABC的是
A.AB=3,BC=4, C=50°边边用
B.AB-4.BC=3.A=30边边角
C. A=60./B=45",AB=4
[学会总结]用全等三角形的判定定理解决实际 D.ZC=90'.AB=6只有两个条件
数学建模要
问题的思路
10.[2021·陕西月考]如图,AB/CD.E,F分别为
1.把实际网题转化为数学问题,构造两个三角形, AB.CD上的点,且EC#BF.连接AD,分别与 结合图形和题意写出已知、求证。
EC.BF相交于点G.H.若AB-CD,求证:AG
2.通过证明两个三角形全等,得到两条线段或两个 -DH.
角相等。解决问题。
训练点4用"ASA"证明两个三角形全等
7.如图,线段AD.BC相交于点0.若QA=OB.为了 用"ASA"判定△AOC △BOD,则应补充条件
还需同一边上的另一角
方法一:△AEG△DFH 一边隐含对顶闻 证AG=DH 方法二:△ABH△DCG
[AH=DG=AG=DH
A. A=/B]B' A B A


C.AC-BD
B.ZC=ZDAAS
D.OC=OD
训练点6用"H1"证明两个三角形全等
(1)猪想AQ与AP的大小关系,并说明理由。
11.[2021·周口月考]下列条件中,不能判定两个直 (2)按三角形内角判断△APQ的类型.并说明 角三角形全等的是
理由.
A.一条直角边和一个锐角分别相等没有对应关系
B.两条直角边对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.斜边和一个角对应相等
12.[2021·许昌中考]如图,已知AD.AF分别是两 [关注过程]解:(1)AQ=AP,理由如下: 个纯角△ABC和△ABE的高,如果AD-AF, BE.CF是△ABC的两条高线, AC=AE.
:BE LAC.CF LAB.
.. ABP+ BAC=90".
ZQCA+ BAC=90°。
: ABP=ZQCA.同的余角相等 求证:BC=BE.
在△ABP和△QCA中。 先证△ADC△AFE.得CD=EF
BP=CA. 再证△ADB△AFB.得BD=BF.
ABP=/QCA.
BO-CD=BF-EF.
AB=QC.
:AABP AQCA(SAS), 二AP=QA,即AQ=AP.
[(2)△APQ是等腰直角三角形,理由如下: "△ABP△QCA,
/P=ZQAC.][学会总结] 证明两条线段相等的方法 证明两条线段相等,常应用全等三角形的性质求 解,如果题目中没有能使用的两个全等三角形, 一般根据证题需要添加辅助线,构造两个 ,然后根据三角形全等求解.注意辅助 线要画成 全等三角形 虚线


:BPLAC, :/P+ PAE=90°
等量代换 :ZQAC+ PAE=90° :/QAP-90
又:AQ-AP.
二△APQ是等腰直角三角形。
[训练点7三角形全等判定方法的综合应用
[学会总结]判定直角三角形全等的"四思路"]13.[2021·江西质检]如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条 件后,仍无法判定 ABC ADC的是 B A.CB=CDSSS 一边,另一边:AC=AC. B. BAC= DACSAS C. BCA= DCASSA D. B= D=90°HL 14.[2021·黄冈中考]如图,BE,CF是△ABC的两 条高线,延长BE到点P,使BP=CA,CF与BE 交于点Q,连接AQ,且QC=AB.


1.若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相 等,用" "判定。
2.若有一对锐角和料边分别相等,用" 判定.
3.若有一对锐角和一组直角过分别相等, (1)直角边是锐角的对造,用" "判定.
(2)直角边是锐角的邻造,用" "判定。
[4.有两组直角边分别相等用" "判定 1.HIL2.AA53.(1AAS(2)ASA4.SAS
12.3 角的平分线的性质 同学教材 学习重点]D C A B E F


[4.有两组直角边分别相等用" "判定 1.HIL2.AA53.(1AAS(2)ASA4.SAS
12.3 角的平分线的性质 同学教材 学习重点]A P E F B


知识1作角平分线的方法
1.作 AOB的平分线的方法
(1)以点(为心,适当长为半径弧。交(于点M.交(B于点N (2)分别以点M.N为圆心,大于一MN的长为半径画弧。两弧在 ZA0B的内部交于点(.若不大于MN两弧不会相交。
(3)画射线(X.射线(X"就是所求作的/AB的平分线,
2.注意事项
(1)角的平分线是一条射线。
(2)作角的平分线时,必以大于MN的长为半径撕弧,这是因为以小于MN的 长为半径画出的两条弧不相交.平分的质是"一条平分,两个垂直到一个相等" 知识2角的平分线的性质与判定
拓晨:三角形外角平分残的交点有3个,.所
1.角的平分线的性质
以到三角刊三边所在直线距离相等的
(1)内容,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 点共有4个.
(2)如图,点P在ZAOB的平分线士,PDI(A手点D.PE
(B干点E,则PD=PE.
2.角的平分线的判定
"用的平分或的生质和
( >内容:角的内部到角的两边的跟离相等的点在角的平分线上,如上 .若PD 判定是互逆的 OA.PE1OB.PD=PE.则点P在ZAOB的平分线上。
(2)证明儿何命题的一般步骤
爱情况下,我们要能明一个几 命题时,可以按照类似的步骤进行还军明确合题中 的已知和求 根据题意·画出图形,井用符号表示已知和求证:③睦过分析,提出 由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程
分层练透 提分要旨
训练点1角的平分线的性质
2.202]·东膏片考]如图,已知在△ABC'中,CD是
1.[2021·漫博月考]如图.0C是 AOB的平分线.P AB边上的高线.BE平分 ABC.交CD于点E, BC-5.DE=2.则△BCE的面积等于
是(X"上一点-PDLOA于点D.PD-6.则点P到 过点E作EFLBC于
边OB的距离为
F.则EF=ED,选C
点到直残 的距离是垂 残段的长度
B.2
A.10
DX.4
B.5 C.4 D.3
A.6
[星长 界
第十三章 轴对称]RtAOEP. RtAODP丝 找条件,使 图形中寻 E 是在现有 实质上就 垂直相等 2.角的平分线上 "和" 满足两个条件:" 在 AOB 的平分线上,你补充的条件是 的点在 "来判定.判定角平分线时,需要 D,PE OB于点E,请补充一个条件,使点P一定 2.定理法:应用"角的内部到角的两边的距离相等 4.如图,点P为 AOB内部的一点,PDLOA于点 1.定义法:应用角的平分线的定义. 训练点2角的平分线的判定 [学会总结]证明角的平分线的"两方法" 1.角的平分线 角两边的距离 段相等,这是证线段相等的一个简便方法. 2.由角的平分线的性质不用证全等可以直接得线 相等. 做题时注意运用 用为角的平分线上的点到角两边任意点的距离 线上的点到 两个条件缺一不可,不能错 、角的平分 1.应用角的平分线的性质时, [学会总结]应用角的平分线的性质的"两注意" 得OE=OD. 先证AOEC三AODB, 用用平分线的判定定理。 (2)当OB=OC时, 1= 2. 求证:(1)当 1= 2时,OB=OC. 求证:BC=AB+AD. 得OE=OD. B 帮证AOEC ODB. BELAC 由CDLAB 得到角平分线。 平分 ABC. CD,BE相交于点O. 3.已知:如图,在△ABC中, A=90°,AB=AC,BD 5.已知,如图,CD AB于点D,BE AC于点E,且


13.1 轴对称
同学教材 学习重点
知识1轴对称图形与轴对称 轴对称是两个图形之间的位置关系特生,车由对称 图形是一个自身有对称性的图刊
1.轴对称图形
(1)定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合·这个图 形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称,这时,我们也说这个围形关于这条直 线(成轴)对称。
(2)判断一个图形是不是 对称图形的方法:根据图形特征.尝试寻找一条直线-将
等腰三角形的对标轴 这个图形沿着这条直线折叠,使得直线两旁的部分能够互相重合,若存在这样的直 有1条长方开有2条,等边 线.厕这个图形是干对称 形:你则,这个银形不是轴对称 形.
三角开有3条正方开有4 ( )对称验是一条直线·而不是线或线段:一个轴号称图形的写称轴可以有一条, 也可以有多条。
因有无数条正n边形
2.轴对称
有n杀
(1 定义:把一个图形沿者某一条直线折叠·如果它能够与另-个图形重合.那么就 说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是 对应点,叫做对称点。
对称轴上任何一点的对称点是它本身
(2)识别轴对称的方法:
同时满/①两个图形的形状相同:
星条件 能找到一条直线,使这两个图形沿这条直线对折后能够互相重合。
3.轴对称与轴对称图形的区别和联系
[3.轴对称与轴对称图形的区别和联系
成轴对称的两个 图刊一定全等,全 等的两个图刊不一 定成轴由对称]

区 别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊形状的图形

"名称 关系":"对象不同"
"轴对称":"两个图形"
"轴对称图形":"一个图形"

"名称 关系":"对称轴的位置不同"
"轴对称":"在两个图形之间"
"轴对称图形":"过图形的某条直线"

"名称 关系":"对称轴的数量不同"
"轴对称":"只有一条"
"轴对称图形":"不一定只有一条"

 联系 (1)沿对称轴折叠,两个图 形重合. (2)如果把成轴对称的两 个图形看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形 (1)沿对称轴折叠,图形 的两部分重合. (2)如果把轴对称图形的 两部分看作两个图形,那 么这两个图形成轴对称
成轴对称的两个 图刊一定全等,全 等的两个图刊不一 定成轴由对称
4.轴对称的性质
(1)两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形),则对应线段(对折后重合的线 段)相等,对应角(对折后重合的角)相等
(2如果两个阁形关干某条直线对称,那么对称轴是任何一对对庇点所连线段的垂 直平分线。 画对称轴由的方法. (3)轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。
知识2线段的垂直平分线
残段垂直平分钱的性质是证
1.线段的垂直平分线
明孩段相等的重要方法,在应 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的性质与判定
用时注意与线段重直平分的 (1)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 判定的区别不要说淆
(2)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平 分线上.
>拓晨:这种作围方
3.线段垂直平分线的尺规作图
法称为"交轨法" B 已知线段AB.求作AB的垂直平分线.
(1)分别以点A和点B为圆心.大于一AB的长为车径你弧,两弧相 交于C.D两点
(2)作直线CD,CD就是所求作的直线. AB的古找不到交!
4.利用垂直平分线解决实际问题
线段乘直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.利用此性质可以解决生活中山 同一点到几个不同地点距离相等的问题.
分层练透 提分要旨
训练点1轴对称图形的识别
/C=70°.△ABC'与△ABC关于直线EF对称, 1.[2021·九江月考]下列图形是轴对称图形的有 ZCAF=10°,连接BB',则ZABB'的度数是
旋转不对称 <BAB=(40+10)x2=100°
A.1个 B.2个 C3个 D.4个
2.[2021·河北中考]如图是由"O"和"口"组成的轴 A.30" B.35" C.40 D.45" 对称图形.该图形的对称轴是直线
[4.如图.将长方形纸片ABCD折叠.使点D与点B重
合.点C落在C处,折痕为EF,若AB=1.BC=2. 求△ABE 和△BC'F的周长之和.DC=|AD=2]


D AB+AE+BE=AB+AD
ED
F..C
A.l B./s C. D.l.
BC'+C'F+BF=CD+BC
[学会总结]轴对称图形的判断方法
1.轴对称图形是对一个围形来说的。是一种具有特
CD CF
殊性质的图形,一个图形是轴对称图形必须满足 两个条件;
(1)存在直线(对称输), (2)沿此直线对折,直线两旁的部分能互相重合。
2.对称轴是直线,不是线段。
训练点2轴对称及其性质
LBAC=180-2x10°=40
3.[202]·台州月考]如图,在△ABC中,AB=AC 98
星推荐 一本没有 初中数学
[学会总结]轴对称性质的应用
[学会总结]线段垂真平分线的性质的应用
1.无论是非对称图形还是两个围形成抽对称,对称 利用线役的垂应平台线的性质可以证明两线投 轴两旁的两个图形是 的,进资利用全等 祖等,在证明相等时其需直线满楚 形的对应角相等、对应边相等解决求角度,求边
即可得到到两墙点的距离相等,不用再 长的同题。
证三角形全等然后证明线没相等。垂直平分线段
2.画对称轴的关键在于找出一对对应点,只要作对
训练点4作对称轴
斑点所连线役的 即可得到所轴对称 8.如图,先找出下列各图形中的轴对称图形,再画出它 图形或成轴对称的两个圆形的对称结, 们的对称输(有几条就画几条)。
上.垂直平分线
训练点3线段垂直平分线的性质和判定 B+C=60°
5.[2021·内江月考]如图.△ABC中,ZCAB=120"。 AB.AC的垂直平分线分别交BC于点E.F、则 ZEAF等于
[发射塔在
残段AB 的垂直平 分上]A  B= 2  C= 1 B F E A.40° B.50° C.60° D.80°


9.[2021·白银月考]两个城镇A.B与两条公路/l 位置如图所示,电信部门需在("处修建一座信号发
6.[2021·海淀月考]如图。在△ABC中,C=90°, 射塔,要求发射到两个城镇A.B的距离必须相
ZB=30°以A为圆心,任意长为半径画弧分别交 等,到两条公路/:的距离也必须相等,那么点C AB.AC于点M和N.再分别以M.N为圆心,大于 应选在何处?请在图中,用尺规作图找出所有符合条 MN的长为半径画弧,两弧交于点P.连接AP 件的点C.(不写已知,求作,作法,只保留作图痕迹)
在1,与形成的的 交处
并延长交BC于点D.则下列说法中正确的个数是
平分上 ①AD是 BAC的平分线: ADC-60④点D
在AB的中垂线上:④S1S=1:3
DA=DB
A.1 B.2
[D.4
[学会总结]作对称轴的"三字诀"]7. [2021·抚州月考]如图,△ABC的周长为30cm, 把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折 痕交BC于D,交AC于E,连接AD,若AE= 4cm,则△ABD的周长是 BA+(BD+DA) A AC=8Cm =BA+BC E B D A.26 cm B.22 cm C.18 cm D.16 cm


1.我:无论是作成独对称的两不图形的对你输,还 是伴对称图形的对称输,其关键点都是我出图 形中的任意一对
2连:连接这对对应点。
工.作,你所连线的垂直平分线。该重直平会线就 是这两个或轴对称的图形成这个对称图形的 1.对应点对称
13.2 画轴对称图形
同学教材 学习重点
知识1画轴对称图形
1.关于某真线成轴对称的两个图形之间的关系
(1)由一个平面图形可以得到与它关于一条直线1对称的图形,这个图形与原图形 的形状、大小完全相同.
(2)新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线/的对称点。
华轴对杯图刊的依据
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
2.画轴对称图形的步骤
几何图形都可以看作山点组成,对于某些图形,只要画出 形中的一些特味点(如线 段 点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形。
画轴对称图形的方法简单归纳如下:对称可以是本身
(1)找--在原图形上找特殊点(如线段的端点)。
(2)画--画各个特殊点关于对称轴的对称点.
(3)连--依次连接各对称点。
知识2用坐标表示轴对称
1.已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律
[(1)关于轴对称的点的奎标为(x一y): "关于谁对标谁不变"
(2)关于轴对称的点的坐标为(一r+y): 点(r.vK
(3)关于第一,三象限角平分线对称的点的坐标为(y.z):(互换位置)
(4)关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为(一y一)(互换位置且汉变符号)
2.画出一个已知图形关于坐标轴的对称图形
方法一:我关键点、确定坐标-写出关于对称轴对称的点的坐标-描出点并 连线。
方法二:关键点→作关键点的对称点连线.
分层练透 提分要旨
训练点1画轴对称图形
格线的交点称为格点.已知A,B是两格点。如果C
L.如图.下面四个图案的设计中。没有运用轴对称知 也是图中的格点,且使得△ABC为等顾三角形,那 识的是
[么点C的个数有
2.[2021·石景山月考]如图所示的正方形网格中,网]B C.8个 D.9个 A.6个 B.7个


[么点C的个数有
2.[2021·石景山月考]如图所示的正方形网格中,网]B D C A


训练点2关于坐标轴对称的点的坐标特点 6.[2021+郴州月考]已知△ABC在直角坐标系中的 3.点A(a.3)与点B(4、6)关于y轴对称,则(a+ 位置如图所示,如果 A'BC'与△ABC关于直线
2-1对称:平行于x等由队从坐标,都是1的点构成的直线
6)时的值为P(X.y)→>P(-x.y)
(1)请画出△ABC的对称图形△A'BC
A.G
D.7* B-1 单不变坐:是2x1-2=
是一个上底为AA.下底为 4.(1)点(2.5)关于x=1对称的点的坐标为 (2)求Sne BB"的评刊,也可用蜜
(2)点(2.3)关于y=-1对称的点的坐标
补法书面积 为 (2)
不坐标不变,孤坐 [学会总结] 标是2x(-1)-3=-5 021
1.关于坐标轴对称的点的坐标规律的"简记法"
认25) 横轴横 .煎轴 相等。
2.美于坐标轴对称的点的坐标规律的"两应用"
(1)已知一个点的里标,求其关于至标轴对称的 点的坐标。
(2)已知两个点关于坐标轴的对称关系,求坐标 中有关特定学母的值。
相等
训练点3画出关于坐标轴对称的图形
5.如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(2.3) B(3.1.C(-2.-2).平行于车由横坐标、都是-1的构成的直线
(1)请在图中作出△ABC关于直线x第一1的轴对 称图形△DEF(A,B.C的对应点分别是D.E.F), 并直接写出点D.E.F的坐标。
是等月要不开
(2)求四边形ABED的面积。
[学会总结]在直角坐标系中画关于坐标轴对称 的图形的"四字快"
1.找:在坐标系中,找出已知图形中的一些持珠点 (如多故形的顶点)的坐标。
2.求:求出其对应点的坚标。
3.描:根据所求坐标,挂出对应点。
[4.连:连接这些点,就可以得到这个围形的轴对称 图形。
等腰三角形等腰三角形是轴对称图刊,这 13.3 顶角可以是视角直角或]y A 3 2 B 3 4 -6-5-4-3-2-1 2 x 2 C: 3 4


既是等腰三角开的特点又是 钝用而底用只能是钱屏
学习重点研究它的重要方法对于等股三角 同学教材
形问题:我们说角或边时,一般 知识1等腰三角形
都要指明是顶用还是底用是底边
1.等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两股 还是腰没说明则都 所夹的角叫做顶角.底边与腰的夹角叫做底角。 两个底角均为45. 有可能要河记解决,这 顶角是直角的等楼三角形是等腰直角三角形。
是解决等腰三角开间
2.等腰三角形的性质,证明角相等常用的方法
题最容易忽视和产生
(1)性质1:等三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。
(2)性质2」等三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合(简写成 错误的地方 线合一")。
注意:在表述"三线合一"的性质时. 分请是哪"三线"(顶角平分线、底边上的中线、 DDC 底边上的高9.不能表送为"等 三角形的角平分线,中线,高相互重合"
3.等腰三角形的判定
(1)定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形, (2)判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写 成"等角对等边")。 证明两条3段相等常用的方法
知识2等边三角形
轴对杯图形
1.等边三角形的概念
等边 三线合一 等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形,也叫正三角形。 三角 三边相等
2.等边三角形的性质
刑 三内角相等
(1)等边三角形的三个内角都相等。并且每一个角都等于60°.
(2)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,三条对称轴交于一点,该点称为"中心" 四心合一
(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质。 在有些题目中,若验出
3.等边三角形的判定 已知三边关系用此法. 的角是15°时,往往这
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形, (2)三个角都相等的三角形是等边三角形,→已知三国关系用此法. 用"一个外角等于和宅
(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
不相邻的两个内角的 4.含30°角的直角三角形的性质已知两边相等和一角为60°可用此法 和"特15"的角转化为
(1)文字表述:在直角三角形中,如果一个锐角等于30',那么它所对的 30"的前后,再利用这个 直角边等于斜边的一-半.
性质解决问题.
(2)几何表述:如图,在Rt△ABC中, B=30、则AC AB.
分层练透 提分要冒
训练点1应用等腰三角形的性质1:等边对等角 [学会总结]等腰三角形中求角的"两技巧"
1.若等三角形一腹上的高等于腹长的一半,则此三 1.在等展三角形中求意时,要看已知的角是否确定
角形的底角等于
为顶角成底角,若已确定,则直接利用三角形的内 0九
A.75 BD=AB
角和定理求解:若没有指出已知角是
B.15 林 分两种情况讨论,并要判定所求
C.75°或15 D.30 BD=AB 结莱是否符食三角形内角和定理。
2.[2019·化中考]已知等腰三角形的 一个外角为 2.若等腰三角形中已知的角是 .别此角必 130°,则它的角的度数为 M30 130*为顶角。
1.顶角底角2.直角成 180°-2X(180-130=80 180°-130°=50
3.[2021·身泽月考]如图。在△ABC中.AB=AC.
AD-DE. BAD-202. EDX=10.期 DAE 的度数为
主要这用等边对 <ADC= B+BAD 等角及三角形 外角的知识
A.30° B.40 C.60" D.80° [关注过程]C
解析:设/B=a. "AB=AC.
./B=/C.
/C=g
:ZADC是△ABD的一个外角, :ZADC=2B+ BAD, ZBAD-20,EDC=10°.
ZADE=a+20°-10=a+102 "AD-DE.
DAE= AED=a+10°.
+10+a+10+a+10=180, .50
: DAE-+10'=60',故选C.
6.如图.已知ACLBC.BDLAD.AC与BD交于0. AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形。
[训练点2应用等腰三角形的性质2:三线合一 1[2021·滨州模拟]如图.已知/AOB=60.点P在 边OA 上.OP=12.点M.N在边OB上.PM= PN.若MN=2.则OM
[学会总结]"三线合一"性质的应用 1.等腰三意形"三线合一"的性质是证明角相等、线 段相等和垂直关系的既重要又简便的方法, 2."三合一"的性质是等三角形所特有的性质。 它实际是一组定理、应用过程中,在等腰三角形 前提下。" "只要知 道其中"一线",就可以说明是其他"两线"。 2.角的平分线底边上的中线意边上的高]A 60° B M N


训练点3等腰三角形的判定
[5.如图.CE是△ARC的角平分 线,过点E作BC的平行线,交 AC于点D.交 ACG的平分线 于点F.试证明DE=DF
先证△ACB丝△BDA.][关注过程] 证明: CE是 ABC的角平 分线,平行线+角平分线等腰三角形。 角平分线的定义  CF为/ACG的平分线, ....角平分线的定义  EF //BC... 两直线平行,内错角相等  1= ......等量代换  .CD=ED,CD=DF............. ....等角对等边  DE=DF....... .....等量代换 A D E F 3 5 2 G B C 3 4=  4=


[5.如图.CE是△ARC的角平分 线,过点E作BC的平行线,交 AC于点D.交 ACG的平分线 于点F.试证明DE=DF
先证△ACB丝△BDA.]D B


[学会总结]等腰三角形的三种判定方法
1.当三角形有 相等时,应用"有两条边相 等的三角形是零腰三角形"来判定, 艺当三角形中有两个詹相等时,应用"如果一个三 角那有两小角相等。那么这两个角 业租 等"证明。
3.当线投非直平分线上的点与线现两端点构成三 角形时,应用"我技垂直平分线上的点到线投两 明点的距高 。期构成的三角形是等展三 角形"来证明。 1.两条动2.所对的边3.相等
训练点4等腰三角形的判定和性质的综合应用
7.[2021·娄底月考]如图,在Rt ABC中、ACB= 90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F, 若ZF=30°.DE-1.则EF的长是
D.1
A.3 B.2
8.(1)已知,如图,在四边形ABCD中.AB=BC,AD= CD.求证: A=2C.连接BD证△ABD△CBD
[(2)已知,如图,在四边形ABCD中,AB=BC,A= /C.求证:AD=CD.
10.如图.已知△ABC是等边三角形,点D.E分别在 BC.AC边上,且AE=CD.AD与BE相交于点F.]D E F B C


(1)线段AD与BE有什么关系?试证明你的 ADSBE所在的两个三角全等. 结论.
(2)求 BFD的度数, 利用外角生质求解
[学会总结]判定等边三角形的"四方法" 不能诗接BD只能通接AC
1.若已知三边关系,则考虑用" 都相等约
三角形是等迫三角形"来判定。
2.若已知三角关系,则根据" 都相等的三 角形是等边三角形"来判定, [学会总结]构造等腰三角形的"四个方法" 3.若已知两个角是60°的三角形,测根据"
1."角平分线十半行线"构造等婴三角形,应用平行 的三角形是等边三角形"来判定。 线的性质得到角的相等关系。应用等角对等得 .已知该三角形是等腰三角形,男根保 到边的相等关系。 的等膳三角形是等边三角形"来判定。
1,三条边2.三个角3.两个角是60"4.有一个角是50"
2."角平分线十垂线"构造等腰三角形,逆用等腰三 角形的三线合一性质定理。
训练点6含30角的直角三角形的性质
3.应用"垂直平分线"构造等腰三角形。
11.2019·广安中考]如图. AOE= BOE=15", 4.用"三角形中角的2倍关系"构造等腰三角形。 EF//OB,EC|OB于C.若EC-1.则OF
EFA=30°OF=EF, 训练点5等边三角形的性质与判定 构读直用三角刊求EF
9.[2021·白洋淀月考]如图,在△ABC中,AB=AC.城段中垂线上 A=120,BC=6 cm,AB的垂直平分线ME交的点到3段两 BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线NF端的距离相等
交BC'于点N.交AC于点F,则MN的长为 12.如图、 AOB=30'.P是 AOB的平分线上的一
cm.
点.PC/OA.交OB于点C.PD1OA,垂足为D, 如果PC=4cm,那么PD= CPO=15 连接AM.AN 可得AMN是
LPCB=30°
等边三角开
[过P华OB 的新
……..在直角三角形中,30"的鱼对 直角过等于斜边的一半 DE=CD..AD=2DC.……等董代换 也可证AD=BD.BD= 2DC]ABC中, A=30°, ACB= 13.如图,已知在Rt 90°,BD平分 ABC,求证:AD=2DC. 放在一个含 B 30°角的直角 三角形中 C D [关注过程] 证明:作DE AB于点E. .......作辅助线 DEB DE AB.... 垂直的定义 ,BD平分/ABC,  C=90°, DEB= .......角平分线的性质  CD= 在△ADE中, AED=90°, A=30°, =AD.


00"90DEDE
[学会总结]含30°角的直角三角形性质的应用
1.在袁角三角形中求续段的长度时,经常考虑30" 的角所对的直角边 这个性质。
2.含30角的直角三角形的质是求线段长度和证 明线段倍数关系的重要依据。 1.等于斜造的一
13.4 课题学习 最短路径问题
凡是涉及最短距离的问题一般要考虑残段的性质公理,合轴对称 知识最短路径
1.两点在直线的异例变换来解决多数情况要作关于某直线的对称 如图,求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题,只要连接这两点,所得
线段与直线的交点即为所求的位置.
对于"两线+两点"型
最短陨残问题,我 们可通过作两次轴 对标变换得到最短 例如,点A、点B分别是直线/异侧的两个点,在/上找到一个点C.使CA+CB最 小.这时点C是直线/与AB的交点-如图所示。
距离,再得到所我的
2.两点在直线的同侧
点与最短陨碱
如圈,末直线同侧的两点到宫线上一点距离的和后小的回圈,只要找到其中一个点 关于这直线的对 点·连接对 点与另一个点.  线 与该直线的交点即为所 求的位置,
"两定一动"模型,常作一 例如,点A、点B分别是直线7同侧的两个点·在/上找到一个点C.使CA+CB最 定点关于对称轴的对 小,这时先作点A关于直线/的对称点A",则点C是直线/与A'B的交点:或者先作 标点连接易一定点来 点B关于直 /的时称点B.则点C是直线/与直线Ag的交点,上 所示为其中 确定动的方法 一种曲法
[同学教材 学习重点
第十四章 整式的乘法与因式分解](已知) 所求 (已知) B


[同学教材 学习重点
第十四章 整式的乘法与因式分解]B


14.1 整式的乘法
底数不变指数相加 同学教材 学习重点 知识1 同底数幂的乘法
(1)底数a可代表单项式也可代表多项式
(2)这用该法则时底数必须相同
1.法则:*a=a"*(m都是正整数)。
2.推广:a*a
"(m+n.p,q均为正整数)。 j(y-xy(n为偶数)
3.逆用:=(m+都是正整数)。
(3X(x-yy= 1-(y-x)(n为奇数) 不要寻成a"+a?! 知识2幂的乘方
1.法则:(a")="(m.,都是正整数),底数不变指数相乘
2.推广:[(a")"]=a*(m,n都是正整数)。
3.逆用:"=(a")"=(a")"(m,都是正整数), 知识3积的乘方底数分别乘方,再相乘
1.法则:(ab)=a6"(w为正整数).
2.推广:(ab)"=a"b""(n为正整数)
3.利用幂的运算法则比较大小
所给幂的指数、底数均不相同、且指数较大时,可利用幂的乘方的性质化为同指数的 幂,根据底数的大小关系确定所给幂的大小关系。
知识4整式的乘法
也可把底数化成相同的,再比较指数的大小即可
1.单项式与单项式相乘
如:3"4化指数
()法则:单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单 相同比较底数:820, 项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
220.4化底数相同比
(2)步骤:把它们的 数相杀,包括符号的计算: 底数幂相乘:只在一个单  里含
较指数 有的字母及其指数不变。
(3)注意事项:
①单项式与单项式相乘后所得的积仍是单项式.
②在计算时不要忽略符号。
④当字母的指数为1时,省略不写,但在计算时,不要忽略。
2.单项式与多项式相乘
(1法 :单  与多 式相乘,就是用单 式去 多项式的每一 ,再把  的积 相加,单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律。 不登高山不知天之高也 (2)字母表示:m(a+b-c)=ma+mo+m(一c)=ma+mbo-mc. 不深谈,不知地之厚也.
(3)注意事项:
-《荀子》 ①多项式与单项式相乘后仍是多琐式,税的项数与多项式的项数相同 ②在计算时,不要丢掉多项式中各项前面的符号。
3.多项式与多项式相乘
要接一定的顺序去乘,做到不重不漏
(1法期:多项式与多项 式相乘,先用一个多项式的 一项乘另一个多项式的每 项,再把所得的积相加 (2)字母表示(a+b)(m-x)=am+a(-n)+8t+b(-n)=am-an+bw-bn
(3)注意事项:
①多项式与多项式相乘,结果仍是多项式。
②在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式项数之积,最后的计算结果中 不能含有同类项
x把多须式与多么式相乘所得的积适并同类项后,如果结果中不含某 ,那么该项 的系数为0.
知识5整式的除法
底数不变指数相减
1.同底数幂的除法
(1)法则:"÷a"=a""(a≠,mn都是正整数,并且m>n)。
(2)推广:"a"=a (a=0,man.p都是正整数,并且m>n+p).
-(a≠0.m-n都是正整数,并且m>n)
(3)逆用a""=a"÷a
2.零指数的意义,不要略底数不等于0这个件无意义
a°=1(a≠0).即:任何不等于0的数的0次幂都等于1.
3.单项式除法法则
单项式相除·把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的 单项式除以单项式痛是单项式,那是字母 字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 或数的乘积的形式
4.多项式除以单项式法则
(1)法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得
被除式有己项痛也应该有己项. 的商相加。
《2)字母表示:(am+bom-(m) 一am+m十b÷m十(一cm)÷川a十+
(3)注意事项:
①多项式除以单项式,应清楚多项式的每一项的符号,相除时要带着符号与单项式
相除
②注意运算顺序,有括号的先算括号里面的。
2".这用整体思想 分层练透 提分要旨
训练点1同底数幂乘法的直接应用
训练点2同底数幂乘法的灵活运用 4.2021·平南期如果a.那么的 1.已知r+y-3=0.则2·2'的值是 x+y=3
2初+ 值为
D.8
A.6 B.-5
A.1 B.4 C.5 D.6
5.计算:(-2)+(-2)(-2)01+=2X(-2)0n
2.[202]·博山月考]已知2=5.2=10.2=50.那么 50=5×10 ".b.c之间满足的等量关系是
6.[2021·郑州高新区期末]已知3a.3°=b.则 25=24.20
3.计算。
特别注意销号问题
(1)一x*工。
[学会总结]同底数幂的乘法法则的"两个运用"
(2)(-z)·(一z)'
1.同底数幂的乘法与整式的加减的混合适算。
(3)(a+6)-(u+b)*·[-(u+6)]"。
2.法则的逆运用 把(a+b)看作一个整体 (1)法则的使用:a"·u"一a""*(m,都是正
数),右向左为u" (·8 都是正整数),以此类推


[学会总结]同底数幂的特点 (p.…都是正整数)。
1.相同:冬因武中幕的 必须相同。
(2)逆用的事件:当塞的指数是和的形式时,可考
2.不变:相案时、底数不能发主变化。
虑变为 的乘法,结合已知条伴灵活变形。
3.求和;各因武中系的 作为结果系的指数。
使计算简便 2.(11a"'a(2)愈数
1鹿数 主指数起
训练点3幂的乘方-a"+a0
7.计算(一a)+(一a')的结果是
A.G B.at C.-2a D.2a
8.[202]·衡水期末]已知27"×9'=3',则x的值 是 39x3=317
9.计算。
(1)-[(a-6)了.
(2)E(一x)了。
(3))·[(一)。
[学会总结] 同底数幂的乘法与幂的乘方的比较
[[学会总结] 同底数幂的乘法与幂的乘方的比较
训练点4幂的乘方法则的运用]

底数 指数

同底数幂 的乘法 a a 乘法 不变

幂的乘方 7程 乘方 不变
训练点4幂的乘方法则的运用
10.若m=2+#=3",则m.n的大小关系正确的是
A.m>月
B.m<m C.相等 D.大小关系无法确定 11.[2021·锦州期末]若a"ma"(a>0.且a≠1、m. 是正整数),则m=n。
你能利用上面的结论解决下面的两个问题吗?
(1)如果2X8*X16"=2",求 的值。
2X2"×2=27
(2)如果(27)=3",求工的值。
(33*)=36
[学会总结]幂的乘方法则的运用
1.幂的乘方法则既可以正用,也可以使用,用为: a"=(a")=(a")"(m,都是正整数), 2.幂的乘方法则的推广:[(a")*]*=a*(m、n.p 都是正整数),
训练点5积的乘方
12.下列运算正确的是
4x4(
927ab
A.(3ab)3u6 B.(一2x")=-4r
C.(-3y=9D-a)aa
13.如果(r"y'y)=x'y",那么ab的值是( 7 A.a=4.hm3xy3b3 Bam9.bm6
C.a-9.6=-4 D.a=3.6=4
14.计算.
(1)(一a-b)。
(2)(-2**y1)。
[(2)(-2**y1)。
训练点6幂的运算法则的灵活运用(3x5) 5x+3=3x+7.]

 底数的形式 运算法则

幂的乘方 幂的形式 底数不变,指数

积的乘方 积的形式 积的每个因式分别乘 方,再把所得的幂
训练点6幂的运算法则的灵活运用(3x5) 5x+3=3x+7.
15.已知3x5-15+.则x=
16.[2021+西安长安区一候]计算(号)"x(一)"x ()" (xxx) x音xx
[学会总结]幂的运算法则的逆运用
1.同族数幂的乘法**
2.幂的乘方:g=
3.积的乘方:a6"=
4.归纳:(1)指数为和的形式,考想逆用
(2)指数为积的形式。者虑进用
(3)幂的乘法中,两因数的底数互为倒数或负制
数,考虑逆用
1"+a2a"13.4(1)同意数事的来
(2) 的乘方[3)积的乘方
训练点7单项式乘单项式
17.计算ry·(一y")"的结果是
A.ry B.r'y C.-zy D.ry"
18.已知单项式2u'y与一ta'y'的积为ma'y则
23.要使(4x-a)(z+1)的积中不含有x的一次项, 则#等于4x+(4-a)x-a Di4-a=0
A.-4 B.2 C.3
24.先化简,再求值:2(2r-1)(2x+1)+5z(一x+
2y)+4x(-4-号).其中x=-1.y=2.
先化简再代入我值
[学会总结]单项式乘单项式的"三注意"
1.单项式乘单项式的结果仍是
2.只在一个单项式里出现的字母,计算时不要将乘。 [学会总结]多项式乘多项式法则的"解读"
3.单项式乘单项式的法则对于三个及三个以上的 1.项数:多项式乘多项式的结果合并煎的项数为两 单项式相乘仍适用。
1.单地式 个多项式的项数 .要防土涌项, 2.符号:多项式乘多项式的积项数较多,一定要注 训练点8单项式乘多项式x项和x项的系数为0
号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
19.化简x(2x-1)-(2-z)的结果是
3.结果:多项式乘多项式的结果仍是
A.-g一#B.a一 C.-r-1D.r-1
定要
20.若(mx-nx+2)-(一2r')-4x2的结果中不含
1.之积2.多项式合并同类项
r'项和 项.则m +1
训练点10(x+p)(x+k)型多项式的乘法
21.已知ay'=一6.求一xy(x'y'-3x2y'-5y)的值。 25.[2021·邢台期末]现察下列两个多项式相乘的运 =-2mx+2nx24x-4x 算过程:
[整体代入 =-2mx+(2n-4)x-4x
底数都变成对的形式]-10 +10 +2


[学会总结]单项式乘多项式法则的"解读"
1.符号:多项式的每一项都包含它煎面的 2.湖乘:单项式必须和多项式的每一项相来,不能 根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)=x-7x+ 漏乘多项式中的任何一项,特别是
12.则ub的值可能分别是a+b=-7()
3.额序:对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算。 A.-3.ab=12 B.-3.4 还要注意运算原序,运算中如有同类项,要 C3.-4
D.3.4 先
26.先化简,再求值:(2)(r-3)+2(x+6)(-5)一
4.结果:积约结果是多项式,项数与所乘多项式的 3(x-7x+13),其中x=2. 项数 1.符号2.需数项3.合并同美项4.相同
[关注过程]解:原式=-5r+6+2(+ 训练点9多项式乘多项式 #-30)-3(r-7z+13)
22.[2021·通博期末](2a-36)(3a b)的结果是 =z-5r+6+2r+2r-60-3z+21r-39 =18r-93.
A.6a-9ab+56
注意书具形式
B.6a-66"
当r=2时,原式-18X2-93=-57
C.6a+66 D.6a-13a6+66
[学会总结](x+a)(x+b)型多项式的乘法特点
1.形式:相乘的两个因式都是只含有一个字母的一 次二项式,并且一次项系数为1.
2.结果:
二次项系数 一次项感数 常数项 二次三项式
2.1
训练点11同底数幂的除法 27,下列运算正确的是 0203 A+a
B.(-a2)=-a-a2x3 C"÷a=a(a≠0) →(-bc)+
D.(一be)+(一b)m一b
28,[2019·威海中考]已知r=3,=5,则x=
指数中的威觉是实际这算中的除号
27 A5 B.10
D.52
[学会总结]同底数幂除法的特点 .且不为0。
1.底数:按除式和除式中的底数
2.法则:底数 .指数
3.使图:当指数是差的形式时,可考虑法则的逆运
用。即:*
1.相周2.不变相减3.a*4a
隐含a+÷
训练点12零指数幂 ≠0
29.已知a≠0.下列等式不正确的是
B(+=)-1
A.(一7a)"= 当a=工1时底数1a1-1=0. D()-1
C.(la|-1)=1
30.若(2x+y-5)无意义,且3r+2y=10.求,y的值。
2X+y-5=0
[学会总结]正整数指数幂与零指数幂的"两区别"
1.概念不同:正整数指数是由相同固数的 得来的,零指数幂是由同底数票的
得来的, 2.底数的条件不同:正整数指数幂的底数可以是
.而享指数幂的底数不能为
1.根除法2.任何实数
训练点13单项式除以单项式
31.已知8a2b"÷(8a'6)=,那么m的取值为 m-2=2
A.mm4.n=3 B.mm4.=1
C.m=1+=3 D.m=2.=3
32201宿期计算(一ary)÷(一ary)
[学会总结]单项式除以单项式的"三要" 一要分清被除式与除式的系数。
二要找准两式含有的相同字母。
三要观察是否有只在被除式中存在的字母。
训练点14多项式除以单项式/
33.计算:(一426+12'6"-826)÷(一4"b)的结果是 -3b 20
A.-36+2a B.1-36+24
C.1+36-2a D.1-36-2a
34.已知7r'y与一个多项式之积是28'y"+7xy一
21r'v,则这个多项式是
[学会总结]多项式除以单项式法则的"解读"
1.实质:多项式除以单项式转化为单项武除以单 项式。
2.项数:多项式是儿项,所得的商即为
3.符号:弄清多项式中每一项的符号,相除时不能
出现符号错误。
4.期序:注意运算明序。
2.几项
星推荐 一太涂书 初中数学
14.2 乘法公式
同学教材 学习重点 两数和乘两数差·等于两数平方差:积化和差变两项·完全平方不是它
知识1平方差公式
1.平方差公式
(1)代数表达:(a+b)(a一b)ma"一
(2)文字表述,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个 数的平方差.
[(3)重要提示:公式中的字母a和6可以是数,也可以是式子 (包括单项式、多项式等)。
(4)变形公式:(6+a)(一4÷)=a一一6(一4一)= (-a)'-b:(一过一b)·(ah)=(-yu]a


2.平方差公式的特点
(1)等号的左边是两个二项式相乘,且有两项相同,另外两项互为相反数。
(2)等号的右边是相同项的平方减去互为相反数项的平方
知识2完全平方公式 首平方尾平方二倍首尾在中央。
1.完全平方公式
公式中的a.b可以是单项式也可以
(1)代数表达:(a+b)=a+2ah+b'=(a-b)=a-2ab+4 是多项式,有时可考虑整体代换
(2)文字表述,两个数的和(或差)的平方,等于它 的平方和.加上(或 去)它们的艇的 2倍
(3)变形公式:0+6=(a+)-2b:十配一(a一6)+2ab: (3)2a6=(a+b)-(a+6):(12ab=(a2+62)-(a-6): (a十b(a一b+(a一=(+6)一46
2.完全平方公式的特点
(1)等号的左边是一个二项式的完全平方的形式。
(2)等号的右边是一个二次三 式,其中有 项范平方的形式,另一项是平方项的两 项底数乘积的2倍或一2倍.
不要弄错"2倍之积项"的符号
1.代数表达:q+b+c=a+(+z)a一在一(mu-(方十c);一a+办-(=-(a-+e)。
[2.文字表述:括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号:如 果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号,
知识3添括号法则]b (a+b)2=a2+2ab+b 2-2ab+b


分层练透 提分要旨
=
训练点1平方差公式
1.计算。
6.若w+ --3,则m+ m ((号一)(一号一号).
7.运用完全平方公式计算, 100-4 200+2(1)202' (2)96
(2)15x(-4÷)
8.[2021·阳期末]若a-2005.b=2006,=2007, (3)[2r-(x+y(x-y)][(-a)(a+z)+(y求 ++p-ab-b-ac的值。
216y+=1).多次这用平方差公式
组合成三个完全 平方式
训练点5添括号法则
9.将多项式3.x'-2x"+4x-5添括号后正确的是
未变号 [学会总结]平方差公式的结构特点
A.3r-(2x2+4z-5 B(3e"+(x)-(20-未变号
1.等号左边:(1)两个二项式的 (2)两个二项式中有相同项和相反项。
C.(ar'-5)一(2.2-4.x)
D.2=2+(3"+4x-3),丢掉"号了
2.等号右边:(1)二项式。
填的平方减 项的平方。 10.[2019·徐州中考著2m+n-4.则代数式6-2m (2)
1.(1)积2.(2)相同相反
整体代人 n的值为 训练点2平方差公式的运用
[学会总结]添括号的巧记法则及"三注意"
2.[2021·达州开江县期末]计算:2018-2019 1.巧记法则:遇"十 2017的结果是(2018+1)x(2018-1)( 2.三点注意:
C.2018 D.2 017
A.1 B.-1
(1)看清楚哪项需要放进括号里面去。
3.若z-y=1.化简:(z+y)(z2+y)(x'+y')cr (2)这些项在放进括号是什么符号。 y'x"+y
(3)所括号前是什么符号。 1.不变都空
添加(X)项就可以连用平方差公式了
训练点6添括号在乘法公式中的运用
11.计算。
(1)(2-3y-1),看成整体
(2)X(a-2b+3c)(a+26-3c)。
[学会总结]灵活运用平方差公式的几种情形 [关注过程]解:(1)(2r-3y-1)=【(2x1.用平方公式简便计算两数的积。
3v)-1]=(2r-3y)-2(2x-3y)+1
2.建当结合,连续利用平方差公式。
3.在整式的混合运算中,正确识别符合 =4r2-12ry+9y-4z+6y+1.
(2)Ca+(26-3)a-(26-3)积的2倍
部分, 主平方差公式 =a-(26-3c)
训练点3完全平方公式
=a-46+12b-9。
4.将面积为a的正方形边长增加2,则正方形的面积 增加了 边长为Q
[学会总结]在乘法公式中添括号的"两技巧"
A.4 B.2a+4 C.4a+4 D.4u 1.当两个三项式相乘。且它们只含相同项与相反项
5.若(x+m)=x-6x+则n
时,通过添括号把相同项、相反项分别结合,一个 [学会总结]运用完全平方公式计算的技巧 化为"和"的形式,一个化为"差"的形式。可利用
1.记忆完全平方公式的口诀:"首(a)平方、尾(6)平
公式。
方,首(a)尾(b)乘积的 在申办" 2.一个三项式的平方,进过违括号把其中两项看或
2.(一a+b)2.(一a-b)在计算中容易出现符号错 一个整体。可利用 公式。
误,可作如下变形:(-a+6)=(b-a)=(a1.平方差2.完全平方
6).(一a-b)=(u+春)。
1.2值
14.3 因式分解
同学教材 学习重点
知识1因式分解的含义
1.因式分 :把一个多喷式化成儿个 式的 的 式,像这样的式子变彤叫做这个多 项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2.因式分解时应注意以下几点
(1)结果一定是积的形式。分解对象是多项式, (2)每个因式必须是整式。且每个因式的次数都必须低于原多项式的次数。 (33国式分解必须分解到不能分解为止。
(4)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算。
前者是将"和差"转化为"积的形式,而后者是将"积" 国式分解 如a一杯: 儿曲法4+hXa一h
转化为"和差"的形式
知识2提公因式法
1.公因式:多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
2.公因式的确定方法
系数-多项式中各项系数的最大公约数。
字母多项式中各项都含有的相同字母。
相同字母的次数→多项式的各项中相同字母的最低次赛,
3.提公因式法
首先提取公因式
(1)文字表述:如果多项式的各项有公因式,可把这个公固式提取出来,将多项式写 其次考虑用公式 成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法, 博字相乘排第三, x2)字母表示:加+p+(p=p(u+b+().p既可表示单项式也可表示多项式、 称 为这个多项式的公园式
分组分解第四
4.注意事项
几法若都不通
(1 如果多项式第一项的系数是负的,一般要 出"一"、 多项式第一项的系数变 挥项添项试一试! 为正, (2)提公因式后,括号内的项就是多项式除以公因式所得的商。
知识3公式法
1.定义


如果把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式、这种因式分解的方 法叫做公式法。
2.常用公式
(1)平方差公式通用:-6=(a+b)(a一6), 应用平方差公式分解因式的特征:
①等号的左边是两个数的平方差的形式.
②等号的右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
(2)完全平方公式逆用:+2ab+b=(a士6)
应用完全平方公式分解因式的特征:
①等号的左边是两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍。
②等号的右边是这两个数的和(或差)的平方。
实质就是"十字相乘法"解因式
3.形如x2+(p+q)x+pq的式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(xr+q),利用该式可将某些二次项系数是1的二次三 演式分解因式,如:zr--6x-7=(x-7)(x+(),x'+5x-6=(r+6X(ax-t).
6x(-17=-b X
知识4分组分解法(拓展)
-x+bx=5x
1.定义:am+an+bm+bn=a(m+w)+b(m+n)=(a+b)(m+n).像这种把多项式 分成几组来进行因式分解的方法叫做分组分解法。
2分组的标准:将多项式的项进行适当分组后.组与 之间能提公因式或运用公式法 进行因式分解, 简记为"一提,二套、三分组、四检查
知识5分解因式的步骤
(1)提:首先看要因式分解的式子是否含有公因式.若有,则先 取公因式,再着是否 能用公式法分解因式.
(2)套:看项数选公式,"二一硕"考想平方处公式"三一项"考虑完全平方公式
(3)分组;对三项以上的多项式考虑先分组,再提公因式或套公式.
(4)检查:最后检查因式分解是否彻底,
分层练透 提分要旨
训练点1提公因式法分解因式
[学会总结]用提公因式法因式分解的"四步骤 符
1.把一6(r=y)"-3y(y-x)分解因式.结果正确 1.确定公园式, 的乘积 号 2.把多项式的每一项都写成含有 的是 应该是-3 3没有提 的形式, A.-3(x-y)(2+v) B-(r-y)F(6-3v 现 3.把 提到括号前,把每一项除公园式外的 D.3(r-y)"(y-2)C.3(x-y)(y+2) 现 因式放到括号内,并进行合并同类项。
4.检查提公固式后的因火里面是否还有
2.[2019·淮中考]因式分解:(x+2)x一1 错误 是否存在满项的情况。 2.公园式3.公因式4.公式 -(x+2)
3.[2021·宁阳期末]把下列各式分解因式. 训练点2提公因式法分解因式的应用
(1)2a(r-y)-66(y-x).
4.若m-n=一].则(m一n)一2m+2m的值是
(2)(a-1)-b(a-1).
B.2-2(m-n)
A.3
(3)2r(y+x)+(r+y)(r=y)。
D.-1
[C.1
5.已知(2x-21)(3r-7)-(3x-7)(r-13)可因式 分解为(3z+a)(x+6),其中(g、6均为整数,则a+][关注过程]解:(1)原式=2a(x- 变形 3b .......确定公因式 ......提公因式 (2)原式= 确定公因式 提公因式 a-1)(a-1-b). 公因式 (3)原式=2x 确定公因式 ......提公因式 y) 2(x-y)(a+3b) (2) (a-1) (a-1)(3)(x+y)(x+y)(x+y)(3x-y)


ja=-7 3一 (3x-7Xx-8)
6.△ABC的三边长分别为,b.且=+
2bc.请判断△ABC的形状,并说明理由。
[关注过程] 解:△ABC是等腰三角影,…·结论
有边的条件根据边作 理由如下: a+2ab=c+2h 出判断个作现,确定会因式
·….☆公园式分解因式 =0.
星然方一·....确定边的关系
ABC是等腾三角形。
...判断三角形的形状 l4-(1+261u-()(a-(11+261=1+2
训练点5完全平方式 [学会总结]提公因式法的主要应用
11.2021·淮安期木]下列选项中,能用完全平方公式
1.结合等犬证明等量关系。
分解因式的是
2.利用因式分解,化简求值。
A.r+x+1应是2x. Br+2r-1符号问题 训练点3利用平方差公式分解因式
C.r-1应该是三项.D.r-6z+9
7.[2021·桂林阳期末]把x一4x分解式,结果 正确的是
12.[202]·监城期木]已知x 十七十k是一个完全平 4×4=16'
A.r(r'-1)不彻底 B.r(r+4)(r 方式.则需数为
D.r(-2)只有两项
C.x(z+2)(x-2)
A.2 B.-2
D.-4
[学会总结]能用平方差公式分解因式的多项式 [学会总结]完全平方式的"三特点" 具有的特点
1.该多项式有
1.该多填式是一个
2.有两项同号且能写成某数(或式)的 2.两项是 的形式。
3.其条一项曼这两数(成式)的积的 ·符号
3.每一项都能写成一个式子(可以是一个数字,羊 可正可负。 1.三项2平方3,2倍 填式,多项式)的 的形式。
训练点6用完全平方公式分解因式
1.二楼式)力 13,[2021·成都期末]下列式子直接能用完全平方公 训练点4平方差公式分解因式的应用
式进行分解因式的是 应是和
8.已知4,b是三角形的三边,那么代数式(a-b)一 A.1fu+8a+1 B.a-3u+分 的值(a-b+CX(a-b-C)← 的形成Da-8a-16
C.4a+4a-1
A.大于零>0 B.小于零
14.计算:125-50×125+25
C.等于零
D.不能确定
A.100
B,150 2X25X125
9.已知a-b=2.那么一b一的值为
C.10000
D.22500 a+bxa-b)
10.分解因式.
15.[2021·原州末]已知ab=-2.a-36=5.则 (124z"-16y.先提公园式
u'b-6a"6"+9ab'的值为
(2)r一1.分解要彻底
A.-10 B.20 e-30 D.40 ab(a-6ab+9b2) (3Xx-1)1-9.注意合并
16.[2021·宜宾月考]把-2u+u分解因式,结果 =ab(a-3b)2 正确的是
Bala+1)应该是差的 A.a(a-2a)少了一项. Cutu+I(a-1) D.u(a-1)形式 没有平方差.
[学会总结]应用平方差公式分解因式解决的"三
类问题"
1.已知两个数(或式)的和与差,求这两个数(或式) 的平方差。
2.已扣两个数(或式)的平方差,及这两个数(戏式) 的和或柔,求这两个数(或式)的差或和, 3.已知两个数(或式)的平方差,确定监被哪两个整 数《或式)整除.
第十五章 分 式
知识1分式的概念
15.1
同学教材
式 分母中是否含有字母是区别分 学习重点 式与整式的关键
1.定义:一般地.如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.
分式中,叫分子,叫被分母是式(ab)÷(+6)不是分式
2.判定一个式子分式的方法:码时 鼠:①具条的聪式:曲A.B均为整式:@8 中判 一个代数式是否
为分式,不能把原式变
含有字母。
世不是分式 开(如药分),而只能 知识2分式有意义的条件及分式的值为0的条件
根据原式进行判断, 1.分式有意义的条件
如恐就是分式 当B≠0时,分式告才有意义分式有无意义取决于分母
2.分式的值为0的条件
(1)文字表述:当分式的分子等于0.且分母不等于0时,分式的值为0.
(2)代数表达:当A=0.且B≠0时分式=0.
知识3分式的基本性质
一定要验使分子为的取值是否使分母的值为
1.分式的基本性质
(1)文字表述:分式的分子与分母乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变分式的分子、分母与分式
A÷C
(2)字母表达:(C0)A(0),其中AB.C是整式 本身的符号改变其中任
2.注意事项:应用分式的基本性质时,要注意在乘或除以同一个整式时,该整式不能等1两个,分式的值不变
干0.要注意免犯只乘分子或只乘分母的错误。
知识4分式的通分、约分及最简分式
1.约分-关叙在于找公因式
定义,根摇分式的基本性质.把一个分式的分子与分年的公因式的去,叫做分 的约分。
(2)步骤:①把分式的分子与分每分 因式:( 约去分子与分号的公因式,如
a*m 对于只是在分子(或分母)中的因式保持不变,约分要彻底,最终要使 b·m
分式运算的结果均要化为最简分式而均分是其重要途径 分子,分母没有公式。


2.最简分式:分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.
确定几个分式的最简公分母是遍分的关键建所在
3.通分
(1)文字表述:根据分式的基本性质.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相 等的同分母的分式.叫做分式的通分。
AA-DCB·C
(2)字母表达: "D'B"B·D'D"B·D(分母都为B·D),
(3)通分的步骤, ①将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应先进行因式分解 ②确定最简公分母.即各分母的所有因式的最高次幂的乘积。
证每个分式都和愿分式相等 化异分母分式为同分母分式时爱保
③将分子、分母同乘一个因式使分母变为最简公分母。
4.最简公分母:各分式分母的所有因式的最高次等的积、叫做最简公分母。
系数各分母系数的最小公倍数, 确定最简公 字母→各分母中含有的所有字母(或因式).
[分母的方法 相同字母的次数-各分母(或因式)中相同字母的最高次幂.
[学会总结] 分式变形的"三注意"
1.注意分式变形前后的值要
2.注意分式的分子和分母要 子或只对分母进行变形. 3.所乘(或除以)的整式不能为	1.相等2.同乘或同除以3.零]涂 分层练透 提分要旨 分母无字母 训练点1 分式的概念 [学会总结] 分式值为零的条件及求法 1. [2021·芜湖期末检测]在代数式一x 1.条件:分子为0,分母不为0. 2.求法:  是常数,不是字母. 3 2x2+5 中,分式共有 2x (1)利用分子等于0,构建方程. B.3个整式 A.2个 (2)解方程,求出所含字母的值. C.4个 D.5个 2.已知四张卡片上面分别写着6,x+1,x2-1,x-1, (3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使 请从中任意选两个整式,组成一个分式: 分母为0,若分母不为0.所求的值使分式值为0, 否则,应舍去. (写出一个分式即可) 训练点3分式的基本性质 [学会总结]分式辨别的"两关键"和"两误区" 1."两关键": 6. [2021·泰安泰山区期末]把分式 (1)=的形式(A,B都是 扩大3倍,则分式的值 A.扩大为原来的3倍 B.扩大为原来的6倍 (2)B中必须含有 2."两误区": C.缩小为原来的一 D.不变 (1)含分母的不一定是分式,如分母是数或元. 7.[2021·莱芜期末]若x,y的值均扩大为原来的3 (2)只看形式,不能看化简后的结果,如一是 倍,则下列分式的值保持不变的是 ,而不是整式. 1.(1)整式 (2)字母2.(2)分式 训练点2分式有意义、分式值为0的条件 3.[2021·衡阳质检]如果分式 在实数范围内有 填上适当的代数式,使等式成立: 意义,则x的取值范围是 A.x≠-1 C.全体实数 4.[2021·滨州月考]若分式 值为 5.x为何值时,下列分式有意义?


[分母的方法 相同字母的次数-各分母(或因式)中相同字母的最高次幂.
设a=2kb=3k]

1.注意分式变形前后的值要

2.注意分式的分子和分母要 子或只对分母进行变形. 3.所乘(或除以)的整式不能为 1.相等2.同乘或同除以3.零
设a=2kb=3k
训练点4约分 6
9.[2021·北京门头沟区一模]如果 那么
a-46= (a+2bxa-2b)a+2b 4-2ab的结果是
a(-2b) n
4.x'+8xy
10.分式 化为最简分式的结果是 2xv
11.[2021·邹平月考]有这样一道题:计算
ca'+x)(r2-2r+1),其中x=2021.某同学把
(r'-1)(r-x)
r=2021错抄成x=2012.但他的计算结果是正 确的.你能解释其中的原因吗?
[学会总结]分式约分的"两种情况"
1.分子、分母都是单项式:先确定分子、分母的 再约分。
2.分子或分母中有多项式:先 ,再确定公 因式,然后约分, 1.因式2.因式分解
训练点5通分
12.对分式和进行通分,则它们的最简公分
利 母为
一通分后,各分式的分子之和
13.把3+3+2u+
a+4 是 (a+4xa-4) 15[2021·包卖月寿]化:(1+)+
16.把下列各组分式通分.
我出各租的最简公
6aby
分母是关键
(2)66
[学会总结]找最简公分母的方法
1.找系数:如果各分母的系数都是整数,那么取它 们的 2.找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字 母的式子都要选取.
3.找指数:取分母因式中出现的所育字母或含字母 的武子中指数的 1.最小公倍数3.最大值
为
挡的坑儿注意窄题: 一的结果 14.2021武汉质检]计算1
15.2 分式的运算
同学教材 学习重点 当整式马方式相乘时要把整式(看作是分母为1的式子)与分式的 知识1分式的乘除 分相乘作为积的分子,分式的分母不变
1.乘法法则
(1)文字表述,分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母, (2)式子表达
2.除法法则
(1)文字表述:分式除以分式·把除式的分子、分母额倒位置后·与被除式相乘 ,简记为"颠倒相乘"
3.乘方法则
(1)文字表述:分式乘方要把分子,分母分别乘方、 (2)代数表达:一般地,当 是正整数时,
小)小
异分母分式相加减的一般步骤 遍分将异分母分式转化成同分母分式 别分数的加减法类似
加减:写成分母不变:分相加减的形式
知识2分式的加减
1.同分母分式相加减
合并:分子去拉易合并同类项
(1)文字表述:分母分式相加减,分母不变.把分子相加减。
构分:分子、分母的分将结果化成最简分式
(2)式子表达:"
或整式 因此异分母分式加减这算的关键是遍分
2.异分母分式相加减
(1)文字表述:异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。
a士
(2)式子表达:" bed
(1)式相减时,若分子是多项式测要把多
3.分式的混合运算--定要注意符号 项式加上拉号再相减 无括号:乘方乘除 →加减 结果为最简形式。
有括号:小括号-中括号大括号
(2)分式和整式相加减时光把整式看
知识3整数指数幂
成分母是1的式子整体通分后再加减
1.整数指数幂的运算性质
(1)a"·=a"(w.是正整数):(2)(a"Y=a"(m+开是正整数):(3)(ab) a'"(n是正整数()""=""(aDm是正整数m>m)x(5)() (w是正整数)。
商的乘衣:分别乘方然后相除
2.负整数指数幂
(1)-般地,当 是正整数时. (a0)这就是说.""(u学0)是"的倒数.像 上面这样引人负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整数, (2)常用结论D"与"互为例数()-(二)(a0.6=0、
#均为正整数)。
知识4科学记数法
7TO 有了负整数指数幕后.小于l的正数也可以用科学记数法表示,如:0.0001=1× 10+0.00000085→8.5X10.即小于1的正数可以用科学记 法表示为aX10 0.00000085 的医式,其中1a<10.月是正整数.w等于原数左边起第一个不是0的数字前来的 85X101 个数.b-4a·2a x-y 分层练透 提分要旨 20030.30 x+y (xy)'xy(x-y)
训练点1分式的乘法
训练点3分式的乘除混合运算
1.计算·( 的结果是 5.化简(y一)的结果是 rty
D.-Aa 6
A.六强安唤 4G 96
z.[2021·都商木]化简(--)的结 6.[2021·香中泰季检测]计算:
-2x+1=
果是
二下列解答过程是否正确?若正确,请写出每 A xty
一步的依据:若不正确,请指出错误的原因,并纠正。
[学会总结]分式与分式乘法运算的"三类型" 解:原式-(+1)(-1+(-1)= (r-1)
1.若分子、分母都是单项式,直接利用乘法法则运
乘除法在一起时 要接先后顺序,不要 先算后面的
算后再
2.若分子,分开都是多项式。先对分子,分母


约分后,再进行乘法运算, 3.若分式乘整式,把整式看成 的"分式"进 行计算。 1.的分2.分解因式立分母为1
[学会总结]分式乘除运算的"三注意"
训练点2分式的除法
1.运算顺序:分式的乘除运算要 依次运算。
3.先化简、再求值:1++1,其中2.运算技巧:乘除混合运算、先统一成
1
算,能约分的要先 .以减少运算量。
3.代入求值时,选取的字母值一定要使厚式中每个
分式 1,从左到右2.乘约分3.都有意 a2
训练点4分式的乘方
7.[2021·湖口月考]先化简,再求值:
-6
4.先化简:"
当6=-1时.再 a-ab
其中从一2<<2的范围内选取一个合适的整数a代人 求值. 8ab6 (a+b)(a-b) a2b (a+b)3 a(a-b) (a+b)(a-b)2 4(a-b)2
[学会总结]分式的乘除运算应注意的"四类问题"
1.理解法则,若作除法运算,先转化或 运算
2.分子、分母能分解因式的先 然后再
3送算的结果要化为最简分式或
4.自选数的代入求值问题,不要忽视分不为 的条件. 1.乘注2.分解因式约分3.整式4.零 [学会总结]分式乘方的"三注意"
1.要把分式加上 ,分式中分子,分母的 也要乘方。
2.分式乘方时,分式本身的 也要同时乘方, 3.注意分子、分母来方后的特,1.括号系数2符号
训练点5同分母分式的加减
8.[2021·南宁月考]计算: 果是 一的结
星推荐 一本涂书初中数学
9.先化简,再求值:
育六其=1 12.[2021·广安月考]先化简: r-yx(x-y) y(a+y)!1 ,再选一组你喜欢的x·y
1十y
所选的值使分母不为0, 的值代入求值。
女X≠yx≠步x≠0.y≠0.
[学会总结]同分母分式加减的"两注意"
1.分子加减时,特别是分子相减,一定基把或式的 分子加上 否易出现符误
2.最后的结果必是 t括号2最简分式
训练点6异分母分式的加减
10.化简6#(e一6 的结果是 Da+b
[学会总结]异分母分式加减的"两步骤"
1.通分:
(1)找喜分式的最简
(2)确定各分式的分子,分母通分后有要乘的 式子:
2.化简:运分后,按 分母分式的如减法法 前进行运算
提醒:(1)通分不能只改变分母,而不改变身子。
(2)结果 是茶简 或整式。
1.011公分母2.(21分式
训练点7分式的混合运算
11.[2020·阿亚中考]已知a-2,h=-1.求1 (a+bxa-b) u-61 的值。
uab a ala-b)
[学会总结]分式混合运算的"四注意"
1.按会式的运算顺半进行计算,情当短使用
会使运算简便.
2.要随时注意分子,分母可进行 的武子。 以签约分或通合时使用,可避免运算繁琐。
3.注意括号的""或"去", 4.结果分子,分母要进行 .化为最简分式。
1.金算律2.因式分解4,约分
训练点8整数指数幂的运算
13[2021·包头期木](1>(一)·(一)'÷ a+b4
(一ab)==
(2)(一)"+(a)
[学会总结]引入负整数指数幂的"两个作用"
1.负整数授数的出观,使得:a"+a一
一日(二) 一a"+6. 从而把整数指数的5条运算性质合并成了3条。
2.负指数幂的引入,可以使除法转化为 面转化为积。
tu62.乘法
训练点9科学记数法
14.把0.0813写成aX10"(1<a<10.为整数)的形
式,则口为,小数思在移2位所得的数(
A.1
C.a.813D.8.13 B-2
[学会总结]用科学记数法表示数的"两确定"
1.确定u:u是共有 位整数的数, 2.确定w:当原数的绝对值≥10时、w为正整数、开 等于原数的整数 减1:当原数的他对情
<1时.为 整数.n的绝对值等于原数 中全起第一个季零数前 的个数(含整数 位数上的家)。
1.一北位数负零
15.3 分式方程
同学教材 学习重点
判断一个方程是不是分式方程,不能变形
知识1分式方程的有关概念
完再判断,爱看原方程
1.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程, 2.判断一个方程是不是分式方程的方法:看方程的分母是否含有未知数,如果分母中
含有未知数,那么这个方程就是分式方程,否则不是分式方程, 3.增根:在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,使方程中的分母为零,因此 解分式方程要验根-其方法是把根代入最简公分母中看其是不是为零.
知识2分式方程的解法
1.基本思想:把分式方程转化为整式方程,即分式方程 -整式方程. 产生增根的原因去分 直接去分母法:方程网边 乘各分式的最简公分母,约击分母.北为整式方税,再求舞时方程两边 乘的
根验根, 最简公分母是含有未
(1)去分母方程两边同乘最简公分母,把分式方程化为整式方程。 知数的式子,这个式子
(2)解整式方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1, 有可能为,对于整式方
(3)验根-将整式方程的解代人最简公分母。如果最简公分母的值不为0.则整式


程来说,求出的解成 方程的解是原分式方程的解:否则,这个解不是原分式方程的解。
立,而对于原分式方程 使最简公分母为0的根 知识3分式方程的应用
来现当分母为零时分式 解分式方程应用题的步骤 叫做分式方程的增根 无意义,所以这个解不 少审:审清题意·弄请已知量和未知量:②找:我出等量关 : 设,没未知数:4列; 列分式方程: ③ , 这个方程iH验,既要验所求的 是否为分 方程的 ,又要 是原分式方程的解,即 检验是否符合实际意义:答:写出答案。
原分式方程无解 提分要旨 分层练透 不要漏乘(x-1) 3 训练点1解分式方程
[原分式方程无解 提分要旨 分层练透 不要漏乘(x-1) 3 训练点1解分式方程
37x-1]

方程.

3.检验整式方程的解是否使最简公分母等于

注意:检验是解分式方程的必要步骤,当整式方 程的解不使最简公分母为 时,它是原分

式方程的解,否则就是原分式方程的

 1.整式3.00增根
37x-1
1.解分式方程去分母得 A1-20-1=加号
BI-2(r-1)=3
C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3
2.[2021·张店集木]解方程.
(1+.3不要诵乘 (2+1=禁1不要病乘 训练点2根据方程解的情况求字母系数的值 ()+-最简公分母(X-1) 3.[2021·临沂月 ]者关于>的方程
有正数解.Mx=m+620且x≠3
A.m>0且m学3 B.m<6且m≠3
C.m≤0
D.m>6
4.52019·达州中考]若关于x的分式方程
[学会总结]
3-=24无部,则a的值为
1.工作量: 时,解分式方程
5.[202]·淮坊用考]当m=
(1)通宫把尽工作量看成 +(1化成的整式方无解 5"会出现增根。
(2)每一部分的工作量= X工作时间。
(2)化成的整式方程有解
2.等重关系,每人完成的工作量之和一总工作量。
[学会总结]分式方程的增根但它是不
1.(1)单*1"(2)工作效率 后产生的不适合分式方程的根, 1.增根:化为
训练点4行程问题
2.增根问题可按如下步骤进行:
8.[2021·乌鲁本齐片考3某校组织学生去9km外的 确定增根. (1)让最简公分母为
郊区游玩,一部分学生骑自行车先走,半小时后,其
(2)化分式方程为
他学生乘公共汽车出发,结果他们同时到达.已知公
(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值。 共汽车的速度是自行车速度的3信,求自行车的速
整式方程2.(110(2)整式方程
根据倍数关系 度和公共汽车的速度分别是多少 这样设,列方程简单
去设未知数 训练点3工程问题
[关注过程]解:没自行车的速度为上千米/时, 根据
6.政府为了美化人民公园,计划对公园某区域进行西 的是…如数时间 造,这项工程先由甲工程队施工10天完成了工程的 常着作"联据题意,得一
……..有性找等
一.为了加快工程进度,乙工程队也加入施工、甲、 ……....程量 关
解得工= 乙两个工程队合作10天完成了剩余的工程.求乙工 经检验、= 是原分式方程的解,且2系 程队单独完成这项工程需要儿天? 4 -12.3r=36,符合题意, [关注过程]解:设乙工程队单独完成这项工 答:自行车的速度是 千米/时,公共汽 程需要:天,…… …….未知数 车的运度是 千米/时.……作答
……-列方程
依随意有 12121236
.方程 解得 切记程 检验 9.甲,乙两地相距50 km,A骑自行车.B乘汽车,同时 经检验, 答:乙工程队单独完成这项工程需要20天。 从甲城出发去乙城,已知汽车的速度是自行车速度
作签 的2.5倍,B中途休息了0.5小时还比A早到2小
时,求自行车和汽车的速度.
()*10=1-=202是原分武方的新 用2.5小时
7.[2021·宁夏春季联考]甲工人的工作效率是乙工 人工作效率的2一倍,他们同时加工1500个零件。
总工作量
甲比乙提前18个小时完工,问他们每人每小时各加 工多少个零件? 数量关系差
[学会总结]行程问题的"三种时间关系"
1.甲早走同时到:时间差=
2.甲早走早到:时间差=早走的时间一
3.甲早走晚到:时间差一早走的时间十
1.早的时间2.早到的时间3,晚到的时间
八年级下
第十六章 二次根式
刊女b.a(a≥0)的式子都
16.1 二次根式
是二次根式,b与a是相乘关 同学教材 学习重点 乐如5,是二次根式但当
知识1二次根式的概念与性质
b为分数时,不能写成带分数,
1.二次根式的概念
巨不能成2号区
例:
(1)定义:一般地·把可如√瓜(a>0)的式子叫做二次银式. 称为二次 号.a
称为被开方数。
(2)判定一个式子是二次式的方法:
①从形式上看必须含有"√";
同时满足 ②被开方数必须满足a≥0.
记知二次根式a.就意味着出a30这一际舍条件
2.二次根式的性质
双重非负性:a≥0(a≥0), 非负数算术平方根的平方:(u)=a(a≥0).
(1)性质:


ja(a20). 一个数的平方的算术平方:= -a(a<0).
(2)常用方法:①计算(Va)直接运用(√a)=a。
②计算a一般有两个步骤, a,去掉根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即a=lal ja(a≥0). 二者是等价的 b.根据绝对值的意义去掉绝对值符号,即[al= -a(a<0).
3.式子(a)与、 这算经常会用到注意区分! 的异同点
[3.式子(a)与、 这算经常会用到注意区分! 的异同点
知识2代数式]

 意义 表示一个非负数a的算术平方根的 平方 表示一个实数a的平方的算术平 方根

不同点 取值 a是非负数 a是任意实数

 结果 2=a(a≥0) (a(a≥0).

相同点 (wa)(a≥0)与√a本身都是非负数,且当a≥0时,(a)2=√a
[知识2代数式
1定义:用基本运算符号(基本运算包括加、波、乘,除,乘方和开方>把数 表示数的字]母连接起来的式子.如5,a+b,-2ab,一 2.注意事项 字母前面的系数"1"或"-1"中的"1"省略 (1)单独一个数或一个字母也是代数式. 不写;带分数作系数要化为假分数;加减 (2)代数式中不能含有"="">"" 关系的代数式要加上括号后再写单位。 数与数相乘→乘号"X"不能省略 (3)数与字母相乘 省略乘号"X" 数字写在前面 1×3 字母与字母相乘 或简写为"·" 3×3 (4)代数式的除法可以写成分数(式)的形式. 分层练透 提分要旨 训练点1二次根式的概念 1.[2021·沾化模拟]下列各式一定是二次根式的是 根的指 -T<O,无意义. 数是3. A.√-7 没有限制a,b的 [学会总结] 判断一个式子是二次根式的方法 符号及力的取值。 (1)含有 (2)被开方数是 二者缺一不可. (1)二次根号 (2)非负数(正数或0) [学会总结]二次根式非负性的应用 训练点2二次根式有意义的条件 1.在实数范围内,式子√a(a≥0)表示非负数a的 ,它具有双重非负性. 2.[2021·日照月考]能使等式 2."若几个非负数的和等于0,则这几个非负数 的x的取值范围是 "可以解决一些与算术平方根有关的问题. A.x≠2 B.x≥0 1.算术平方根 2.都等于0 [学会总结] 求字母取值范围的"三种类型" 训练点4应用性质√a =a(a≥0)化简 1.二次根式:被开方数为 5.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则 2.分式:分母 3."复合型"式子:取使各部分都有意义的字母取值 0 b a<0,a-b<0 范围的 1.非负数2.不等于03.公共部分 =-a-b+a [学会总结] 性质√ =a(a≥0)的推广 =-b 训练点3二次根式的非负性,( a)2=a(a≥0)的 当a<0时,一a>0,故 sa-b+1=0, 应用 a+2b+4=0. 3.[2021·东营模拟]若|a-b+1|与 a+2b+4互为 因此√a2的化简可类比绝对值的性质: 相反数,则(a-b)2005= (a≥0), 4.计算. (a<0). -a 3 (1)(√0.3)2.(2) .(3)


16.2 二次根式的乘除
同学教材 学习重点
知识1二次根式的乘除法
常作为合条件
1.二次根式的乘法
(1)法则-=a(a≥0.6≥0),即两个二次根式相乘.把被开方数相乘,根指数
积的算术平方根名因式算术平方根的积化简猛果 不变
(2)逆用,反过来即得到Vab=a·历(a≥0,1≥0),利用它可以进行二次根式的 化简。
(3拓展:①二次根式的乘法可以由两个二次根式相乘推广"到多个二次照式相乘,如见个二次 式相乘.不只 的被开方数中若含有 a··e=a(a≥0.b≥0.≥0). ②当二次式前面有"系数"时,可类比单项式乘单项式法则计算,即"系数"与"系能开得尽方的数或 因式时,一定要将其开到 数相乘作为积的"系数",筱开方数与被开方数相采作为枳的被开方数. 根号外,避免出现计算
(4)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么就可以用它的算术平方根代替面移到不彻底自误
根号外面:如果被开方 是代数式和的形式?那么先分 因式.变形为积的形式.再
移因式到根号外面,反之,也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面去.外-移:mn=m、n.
因式的外移和内移也有利于比较两个数的大小.如2v3与3 2.因为2 3 12. mn(m≥0)
内移:m/n= 32=18.12<18.所以23<32。 -mn(mko).
2.二次根式的除法
注意b≠0!
(1)法则:√ (a≥0.b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数
商的算术平方根特他算术平方根的商
不变。
(a≥0.6>0),利用它可以进行二次根式的化简。
(2)逆用:反过来即得、
知识2最简二次根式
1.最简二次根式→如2,x+1等是最简二次根式
(1)被开方数不含分母。
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。
2.二次根式的化简方法
(1)在二次根式的化简中,要注意以下三点」
①被开方数是带分数的要先化成假分数。
②被开方数是小数的要先化成分数, ③被开方数是多项式且能进行因式分解的要先进行因式分解, (2)法则:ab=·6(a≥0.b≥0)和 (a≥0.6>0)是二次根式计算或 高
化简的重要依据?如果一个二次根式的被开方数中有的因式或因数) 开方开得
尽.可以利用上述同个性质及公式 aa(a≥0),将这些因式(或因数)开出来.从 而将二次根式化简
3.分母有理化
(1)定义:在二次根式的运算中,最后结果-一股要求分母中不含二次根式,把分母中 的根号化去的过程称为分母有理化.
(2)方法:
(a≥0.b>0):也可通过类似分式中的"约分"进行分 对记住猛记可提高做题速度哦 (6) 母有理化,如 一(60), o
4.拓展
(1)两个含有二次根式的代数式相采如果他们的不含有二次根式,那么这两个代 数式互为有理化因式
(2)常用的有理化因式:与a+6与4-6+与一a+与
含有两项时常考虑用平方差公式 av一等。
分层练透 提分要旨
训练点1二次根式的乘法
[学会总结]化简二次根式的"三步骤"
[1.把被开方数
2.把各因式(或因数)积前算术平方根化为每个固 式(或因数)的 的积。]×√4的结果是 1.计算一√ C.-4 A.-2 2.[2021·东丽区月考]计算. (1)√2×√3= (2)√36×9= (3) 2×3 (4)5 .(a≥0.b (5)5√ [学会总结]二次根式相乘的方法 相乘. 1.被开方数:二次根式相乘,把 2.当二次根式前面含有系数时,可类比单项式乘法 分别相乘.其步骤为: 法则进行计算,把 先确定积的系数,再把被开方数相乘. 1.被开方数 2.系数及被开方数


《或平方数),应用关系式
3.如果因式中有
√4=a(a≥0)把这个固式(或数)开出来,将 二次根式化, 1.分解式(或因数)2.算术平方根3,平方式
训练点3二次根式的除法→abr为负数。
4.如果ab>0,a+b<0.那么下面各式:
81自 -1:÷
-6.其中正确的是
A.1② B.C C①收 D.①③
5.[202]·静海区月考]计算、 (1)√a6"+ah(a>0.6>0). 训练点2利用积的算术平方根的性质化简 +
3.化简,5X100 7×3x16×7
(3(一÷()÷8(a>01201 (1)/500.(2)√21×112. 3=6x8,不要出现
(3)√(一6)X(一8). -6x-8的错误
(4)√5+12(5)8ub(a>0.6>0).
4ax2ab 先计算5+12再化简防 止出现5+12=17的错误
[学会总结]能直接运用二次根式的除法题目的 [学会总结]二次根式(a>0,>)的化简"两 特点 1.被除数与除数中的被开方数的商是 形式" 2.被除数与除数中的被开方数的商是分数,但是是 1.分数形式:当被开方数为分数形式时,相用、 完全平方数。 注意:二次根式的运算结果必须化为最简二次根 自 (a≥0.6>0)化简. 式.若含有分母则 中不能舍有二次根式。 西 1.整数分母 2.小数或带分数形式:当被开方数为小数或带分数 形式时,先化为 形式,再利用步1进行化 训练点4商的算术平方根性质的应用 2 1×2= 1 简。 2.真分数或假分数 的绝对值等于2 2 V2 2X2 训练点5最简二次根式 A.2 B.-2 8.[2021·河西区月考]下列二次根式中,最简二次根 被开方数含分母 7.计算 式是 25 a可以开方 3x3x17 1 (1)√3.5.(2)、 B3 C.153 D.143 A. 34 9.[2021·湛江月考]已知xy>0.化简二次根式 -y>0.k0. 的正确结果是 X2>0 A.vy B-yC.-√yD.-√-y 原二次根 式是页的
16.3 二次根式的加减
知识1二次根式的加减法
同学教材 学习重点
1.法则:二次根式相加减 先将二次根式化成最简二次根式
再将被开方数相同的二次根式合并
合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似.即只把"系数"相加减,面根号部 分不变"系数"的结果若不是整数, 应写成般分数形式,不能写成带分数形式,也 不能写成小数形式。
2.步骤
(1)化简:化成最简二次根式.
合并被开方数相同的二次根式后,若系数为
(2)判断:找出被开方数相同的二次根式. 多项式需添加接号
(3)合并:合并被开方数相同的二次根式 将"系数"相加仍作为"系数",根指数与
被开方数保持不变. 计算结果中含有二次根式的一定要
化成最简二次根式 知识2二次根式的混合运算
1, 次根式的混合运算包括二次概式的加,赢、柔,翰,素方、开方运算,这算法则 周有 数这算法则
2.汰根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和光理式的 合运算因此运算 顺序与有理式的运算顺序相同i运算 仍然适用i与多项式的乘法和因式分解类似。 可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算:对于分母含有二 次根式的代数式,要掌握有理化的方法-化分母为整式,如
a一万 a+v(a+vb)(a-b) w-V 一6
3.二次根式混合运算中几种常见的模型及运算方法
(1  + )= a + a+ ad人a2瓜,20,0.120.
(2)+)+)=a(.≥0)
记忆诀: 二次根式混合算 弄清顺序是关键事, 先乘方来后乘除, 最后才去算加减
(3)(+(-)=()-(6)=一(a≥06≥0)。 (4a=a+3(>0) (5+)()+)++2 (a≥0.
一(一)+) 6≥0,g=b).
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[训练点1二次根式合并的条件
1.下列各组二次根式中,能合并的是 .(填 序号点2 02.3 1/18和√12; 6 6 ②6和 5.3a ③√75u和、125a 550][学会总结] 二次根式混合运算的"四注意" ,再算 1.确定运算顺序:先算 ,最 的. 后算加减,有括号的先算 2.灵活运用 3.正确使用 4.有些运算中 可使运算简便. 1.乘方 乘除 括号内2.运算律 4.约分 3.乘法公式


2.C2021·高青模拟]如果最简根式3a-8与
5.[2021·玉林月考]先化简,再求值: √17-2a是同类二次根式,那么使√a-2z有意义 的x的取值范围是
添加号 a-(2ab-b
Ar≤10 B.x≥10 C.r<10 D.x>10 其中a=1+v2.b=1-2,4 【学会总结]判断二次根式是否可以合并的"三步骤"
先得二次根式化为
再看化为最简二次根式后的 是否相简
若被开方数相同。则可以合并,否则不能 最第二次模式被开方数
训练点2 二次根式的加减
3.计算。
(1)212-6√27+448. 255 (2(a3z)-() x
乘法公式和实 训练点3二次根式的混合运算 数的这算律
4.[2021·中卫月考]计算 仍然适用
(1)(24-2)-(8+6)
(2)2、12×÷2. 平方差公式
(3)(2+)(2、3-6).
(4)(2、48-327)÷6.
(5)(2、3-3、2)。
训练点4与二次根式有关的求值问题
6,[2021·天桥区模拟]若2和√3都是 最简二次根式,则m+n的值各是多少?
底数2了都不含能开方 的国数,指数若大于等 于2就不是最简了
[学会总结]求有关二次根式的代数式的值的"三 步骤"
1.化筒:化简代数式,字母表示的二次根式不是最简 形式时,要将其化筒
2.代入;将字母表示的二次根式的值代入化筒后的 代数式。
3.计算:将结果计算并化筒为最简形式。
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
前提条件 同学教材 学习重点
知识1勾股定理
1.文字表述:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.符号语言:如果直角三角形的两条直角边长分别为a.b.斜边长为 那么+=
3.变式:'-b, 4.应用+-6=
知识2勾股定理的证明
以下是几种著名的拼图证法:均股定理里在西方称为"华哥拉斯定理。
1.赵 弦图
因为大正方形的边长为c.所以大正方形的面积为.又因为大正方 幻般定理的证明方 形的面积=4xa6+(a-b)"=a+,所以"十一 法是面积法,即记
2.伽菲尔德总统拼图
[何围形经过割府 设棉形的面积为5.则S=(a+67(a+b7=++ 拼接后,利用等面积 w,因为s一++所+ 法进行证,
3.毕达哥拉斯拼图]b a b a


[由圈1得大正方形的面积为+4xab,由图2得 大正方形的面积为 +M+4x比较式易得
知识3勾股定理的应用利用般定理求直角三角形的边长时,要先确定直的三菌形的斜过无法 确定斜边时要进行谈类订记男出所有可能的结果,做到不重复、不遗编]b a a C b 图1 图2


1.勾股定理的应用条件
勾股定理只适用于直角三角形,所以常作铺助线,构查直角三角彩,比如做离等.
2.勾险定理的应用
(1)已知直角三角形的两边长,求第三边的长, (2)已知直角三角形的一边长,确定另两边长的关系。
(3)证明含有平方关系的几何题.
[(4)作长为Vw(开为正整数)的线段, (5)求最短路径, 3.利用勾股定理.在数轴上面出表示.2...的点,如图
训练点!利用勾股定理求(直角)三角形的边长 或高没有指明直的边或斜边需分情况对论]充分说明实数和数轴上的点 是--对应的关系 0 3 4 星推荐 一本涂书 初中数学


1.已知一个直角三角形的两边长分别为7.24,则第三
边的长为
2.[2021·承德模拟]如图.长方体盒子的长、宽、高分 别是12cm.8cm.30 cm.在AB的中点C处有一滴
[蜜糖,一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃, 求小虫爬行的最短路程.
将长方体展开在长方体晨开图 中构适直角三角开,利用勾般定 理求最短路程]A M D 30 cm B 8 cm E 12 cm F


[学会总结]
利思面积关系可以证明勾股定理,反过来可以利 用勾肢定理解决与面积有关的问题,解题关键是 将一个大正方形的面积转化为四个较小正方形 的面积,要认真体会勾股定理在这类面积河题中 的作用。
训练点3勾股定理的证明
[4.如图.是用硬纸板做成的两种直角三角形,各有若干 个.图1中两直角边长分别为a和办.斜边长为; 图2中两直角边长为c.请你动脑,将它们拼或一个 能够证明勾股定理的图形。
(1)请你画出一种图形,并验证勾股定理。]拼图 面积验证 a b 图2 图1


[(2)你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理 的图形吗?请画出拼后的图形(无需证明),
[学会总结]证明勾股定理的"三步骤"]正确理解勾股定理的"三方面" [学会总结] 1.适用的条件:只有在 中才能用勾股定理. 2.解决的问题:勾股定理揭示的是直角三角形三边 的关系,已知两边长,可求 3.注意的问题:直角三角形中已知的两边没有明确 是 时,必须分类讨论,不能漏掉一种 情况. 1.直角三角形2.第三边的长 3.直角边还是斜边


1.读固:观察整个图那是由哪些图形拼接成,图 中包括几个直角三角形、几个正方形,它们的造 长冬是多少, 2.列式:根据整小图形的面积等于各部分图形的面 积和,列出关于直角三角形三边长的等式。
3.化简:根摇整式的运算化简等式,得出勾股定理。
训练点2勾股定理与图形面积
训练点4勾股定理在实际问题中的应用
3.[2021·廊坊模拟]如图所示的图形中,所有的四边 5.如图,一架10米长的梯子斜靠在墙上,刚好梯顶抵 形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其 达8米高的路灯.当电工师傅沿梯上去修路灯时,梯 中最大的正方形E的边长为5.则正方形A.B.C. 子下滑到了B处,下滑后,两次梯脚间的距离为 D的面积和为
规律:般 2米.则梯顶离路灯 拓晨:换成等
树"中最外层 AA"的长 10m 所有正方形 边三角开或
不要误以为AA'=BB, 10m 的面积之和 9m 者是半圈,该
等于最大正方 本题只是巧合 2mb 规现律仍成立
定得 刑面积
[学会总结]勾股定理的实际应用的一般步骤
1.信懂超意,建立数学模型。
2.分析数量关系。数形结合、正确标图。将已知条件 体现到图形中,充分利用围形购功和性质
3.应用勾股定理进行计算或建立等量关系。构建方
程求解。
4.解决实际问尽。
训练点5利用勾股定理解决立体图形中的最短路 线问题
6.[2021·林第一次模扣]如图是一个三级台阶,它 的每一级的长,宽和高分别是50cm.30 cm.10cm。 A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一
[只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想, 这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点.至少 游爬 I
训练点6在数轴上表示无理数]50→B (单位:cm) 30 10 B.40 cm A.13 cm D.169 cm C.130 cm 求立体图形中最短路径问题的"四步骤" [学会总结] 将立体图形展开为 展平 注意:1只需展开包含相关点的面; 2可能存在多种展开法 确定相关点的位置 定点 连接相关点,构造 连线 计算 根据勾股定理求解 直角三角形 平面图形


7.如图.长方形OABC的边OA
长为2,边AB长为1.0A在
数轴上,以原点(为圆心,对角线0的长为事径 通弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是
0B的长
D.5
A.2.5 B.22 C.3
[学会总结]在数轴上表示无理数的"三步法"
"拆分":利用勾脱定理拆分出鄂两条线段长的平 方和等于所画线段(斜建)长的 为直角三角形薪边的顶点。
"构造":以 构造直角三角形。
"西弧",以我轴原点为圆心。以 为平径 虽弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点。
平方 熟近长
训练点7勾股定理在网格中的应用
8.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,求 网格上的△ABC的面积和周长, 用正方形的面积减
三个直角三角开的面
积表解
[学会总结]网格中的勾股定理
1.考查知识:图形的对称性。股定理、面积计算等。
2.解题思想:分类讨论,数形结合。
3,题目特征:任何格点之间的线投都是其正方形或 长方形的 ,所以任何格间的线段长度
主边或对角线 都能求得。
训练点8利用勾股定理解决折叠问题
9.2021·宁模]如图所示、将长方形ABCD沿 线HD折叠,使点C落在点C'处,BC交AD于E。
AD=8.AB=4.求△BED的面积 DE·AB
Sae 2
[学会总结]
1.折叠问题中求解长度的间题,常常将某些 件集中在某个直角三角形中,再运用勾股定理进 行术解,身然可以借助于相公三角形的判定与
性质来解决问题。
2.在直角三角形中,已知利用勾股定理可求第
三维,巴知一请和英外两边的关系,可利用勾股 定理列方程求另外两边, 3.利用年股定理解决实际问题,一般是把实际问题
转化为数学问题,抽象出一个直角三角形、利用 勾股定理列方程解决。
17.2 勾股定理的逆定理 同学教材 学习重点
知识1勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
(1)表述:如果三角形的三边长a.b.满足+6"=.那么这个三角形是直角三 角形。
()应用:在△ABC中. A. B. C的对边分别为a.b.若a+b=2.购C 90'若+=b则B=90;若6+2=,则A=90
(3)判断:三条线段能否构成直角三角形,只需验证较短的两条线段长的平方和是否 等于最长线段长的平方·若相等. 此三条线段能构成直角三角形:否则?不能构成 直角三角形,不必一一验证.
ab.c是勾股数,则满足
2.勾股数
0a2=b2+c2
(1)能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾数。
eabc都是正整数,
(2)勾股数的求法
①如果a为一个大于1的奇数,是两个连续自然数,且有a一b+,那么a.. 为一 勾股数.如4.5为两个连续自热数.且 1+5.则 3.4.5为一组勾股数,还有 5.12.1317.24.25:11.60.61:·
还如果ab为一组勾吸数,那么m、n也是一组勾数·其中 Yn1)为自然 数.如3.4.5是一组勾股数,6.8.10也是一组勾股数-9.12.15也是一组勾股数。
对手任意两个整数回情一丽>二>0,㎡十月',m一n.,n这三个数就是一组勾 股数,可见勾股数有无数组。
④若n>1,且是整数.则2+1.月-1.2为一组勾股数。 题设 题设
知识2互逆命题和互为逆定理
原命题
逆命题
1.互逆命题
骚记 猛记 一般地.如果两个命题的题设,结论正好相反,这样的两个命题叫做互逆命题,如果 把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题
每个命越都有逆命遇.说道命题时只需将题设和结论调换即可,但要分请题音和结 论、并注意语言的运用
2.互为逆定理
(1)定义:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么他也是一个定理·称这两 个定理互为逆定理
定理和逆定理都是真命题!
(2)定理与逆定理的关系
每个命题都有逆命题,但每一个 题设,结论 命部
逆命题 定理不一定有逆定理
定开
[逆定理
分层练透 提分要旨]C C A


训练点1互逆命题、互逆定理
训练点3勾股定理逆定理的应用
1.[2020·美知模拟]下列命题是假命题的是 5.[2021·唐山区月考]若△AI三边长a.b.c满足
A.经过两点有且只有一条直线公理
Va+h一2+h一a-1+(c一5)=0.则△AC是
B.三角形的中位线平行且等于第三边的--半定;里
C.平行四边形的对角线相等题开回相等假命题入.等腰三角形 B.等边三角形
D. 的切线垂直于经过切点的半径穿理里 C.直角三角形 D.等腰直角三角形AC=5
2.把命题如果直角三角形的两直角边长分别为u.b. 6.如图.Rt AHC"中./B=90°.AB=3.BC=4.CD= 斜边长为c,那么十一""的适命题改写成"如 12.AD=13.点E是AD的中点.求CE的长, 果……·那么.……·*"的形式;
CE=ZAD 512.13是幻股数 [学会总结]写一个命题的逆命题的"两注意" LACD=90°
1.写出一个命题的进命题,首先要分清已知命题的 瑟设和结论-把已知命超的 互换就得到 0435 这个命题的建合题。
2X21×32+1
2.命题的题设与结论不明显时,先把命题写或"如 06810 2×32×43+1 美…….那.么……".的形式, 1.眼设和结地 8 15 17 2x43X54+1
训练点2勾股数
第1组:
3.观察以下几组勾股数,并寻我规律:①4.3.5206, 第一个数是2(n+1) 8.10:38.15.1710.24.26·根据以上规律的 第二个数是n(n+2) 第①组勾股数是
第三个数是(n+1)+1
A.11.48.49 B.16.12.20
首先找到所有的三角开(权举法).再根据
C.16.63.65 D.16.30.34
[4.[202]·石景山模拟]长度为9,12.15.36,39的五根 逆定理去排除 木棍,从中取三根依次搭成三角形,最多可搭成直
角三角形的个数是]由三边判定直角三角形的"三步骤" [学会总结] 确定 确定三角形的 计算 算出最大边的平方及其他两边的 判断 根据计算后的数量关系判断三角形的形状 最大边 平方和


A.1 B.2 C.3 D.4
[A.1 B.2 C.3 D.4
第十八章平行四边形]

只要三个 中,满足较小两个正整数平方

的和等于较大正整数的 ,那么这三个正

整数就是一组勾股数. 平方 正整数
第十八章平行四边形
18.1平行四边形
同学教材 学习重点一组对边平行
四边开
平行四边开
知识1平行四边形的概念
另一组对边也平行
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2.表示方法与表示顶点的字母同时使用不能单独使用, 平行四边形用"口"表示:平行四边形ABCD记作" ABCD".读
作"平行四边形ABC'D".
3.注意:平行四边形的表示一定按照时针或逆时针依次注明各顶点。
知识2平行四边形的性质
[知识2平行四边形的性质
证明角相等互补或 残段相等的依据:]

边 平行四边形的两组 对边分别平行且 相等 :四边形ABCD是平行四边形, :.AD=BC,AD//BC,AB=CD, AB//CD

"性质":"角"
"符号语言":"平行四边形的两组 对角分别相等,邻角 互补"
"图示":"四边形ABCD是平行四边形, /BAD=/BCD, ABC= ADC, ZABC+ BAD=180°, ADC+ BAD=180°"

"性质":"对角线"
"符号语言":"平行四边形的对角 线互相平分"
"图示":":四边形ABCD是平行四边形, 0A=0C=AC.OB BD"
证明角相等互补或 残段相等的依据:
平行四边开中, ①边:两组对边相等 日角:两组对相等 ④对用线:对前碱互相 平分
1.应用 平行四边开的两杀对南3将平行四边开分成的四个三角开中相对的两个三角
(1)平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角成边的重要依据,利用平行四边全等,且四个三角开 形的性质可以求角的度数、线段的长度。 的面积相等
(2)平行四边形的性质的其他应用:
①平行四边形的性质为我们以后证明线段平行或相等,角相等提供了新的理论依据。
一 用对角线互相平分可以 决对角线成边的取值范抛的问题.在 答时-应联系 三角形三边之间的关系来解决。
<平行 边形被对角线分成 个小三角形,它们的面积相等,且相邻的两个三角形 的开长之差为平行四边形的两邻边之差、相对的两个三角形的周长相等 2.注意:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心,且平行四边形具 有一般四边形的一切性质。
过对称中心的任意一条直线把平行四边形的面积平分
知识3两条平行线之间的距离
1.定义:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离摘要段的长度·为正值
2.性质
(1)夹在两条平行线之间的平行线段相等
如图所示.直线!//AB//CD.则四边形ABCD是平行四边形,所 以AB=(D. (2)两条平行线之间的距离处处相等。
"边角.对线"的三种类型和亚种方法 知识4平行四边形的判定
1.平行四边形的判定方法
(1方法!两组对边分别平行的四边形是平行四边形(用定义判症)
(2)方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形、 平
两往对边分别平行 其推理形式为:如图1.AB=D.AD=BC 行 二四边形ABCD是平行四边形。 边 两组对边分别相等
(3)方法3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 四
一组对边平行且相等 其推理形式为:如图1.ZA-2C.ZB=2D.
:两祖对分别相等 边
[二四边形ABCD是平行四边形, 对用碱:对用互相平分)开
(4)方法4:对角线互相平分的四边形是平行四边形、 平行四边形的判定定理与性质定理 其推理形式为:如图2.0A=00.0B=(D. 相互对应要注意区分以防混淆 二四边形ABCD是平行四边形。]A A D D B B 图1 图2


(5)方法5:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形, 一组对边平行另一组对边相等的四边刊不一定 其推理形式为:如图2.AD/BC.AD=BC.
是平行四边开如等腰要梯开 二四边形ABCD是平行四边形。
2.三角形的中位线
三角形的中位线有3
(1)三角形中位线的概念
①定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(中位线专中线的区别:中位线是中点与中点连线,中线延头点与对边中点寅的 当问题的己知条件中含有中点时常添加辅助线--中位碱 连线 (2)三角形中位线定理 再利用中位线定理解决. ①文字表述:三角形的中位线平行于三角形的第三边-并且等于第
三边的一半,数量关系 位胃关系 ②数学表达:如图,D.E分别是△ABC的边AB.AC的中点。
也可马为DE丝-BC
BC. 则DE//BC.HLDE:
③应用:在已知两边中点的条件下,证明线段的平行关系及线段的倍分关系。
分层练透 提分要旨 训练点1利用平行四边形的边角性质进行计算
1.2021+热河模]如图.平行四边形ABCD中.EF
过对角线的交点(.AB=1.AD=3.0F=1.3,则四 边形BCEF的周长为 AD=BC OF=OE BF+EC=AB
[菜地者 137
[学会总结] 利用平行四边形的边角性质解决计 算问题
1.利用平行四边形		相等,求边长及周长等.
2.利用平行四边形		相等,求角.1.对边2.对角]A D E B C


[菜地者 137
[学会总结] 利用平行四边形的边角性质解决计 算问题
1.利用平行四边形		相等,求边长及周长等.
2.利用平行四边形		相等,求角.1.对边2.对角]E D B F A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6


[菜地者 137
训练点2利用平行四边形的边角性质进行证明]

1.利用平行四边形  相等,求边长及周长等.

2.利用平行四边形  相等,求角.1.对边2.对角
训练点2利用平行四边形的边角性质进行证明
[2.[202]·江阴月考]如图所示,已知平行四边形 ABCD的对角线交于0.过0作直线交AB,CD的 反向延长线于E、F,求证:OE=OF
[学会总结]应用平行四边形的边角性质的"两注意"]D E A B


[2.[202]·江阴月考]如图所示,已知平行四边形 ABCD的对角线交于0.过0作直线交AB,CD的 反向延长线于E、F,求证:OE=OF
[学会总结]应用平行四边形的边角性质的"两注意"][关注过程] 证明: 四边形ABCD是平行四 边形,  OA=OC,DF//EB,平行四边形的性质。  E= F,两直线平行,内错角相等。  EOA= FOC,   OAE OCF,  OE=OF.


1.注意含条件的挖据:平行四边形提供了线段的 截量及位置关系,也提供了角的关系,为证明 的相多, 的相等、三角形的全 等提供了条件。
2.在解题时,能应用平行四造形直接得到的结论, 不要再通过三角形的全等去证明。 1.线段
训练点3平行四边形对角线性质的应用
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,0是对角线 AC,BD的交点,BELAC.DFLAC,重足分别为 E.F.那么OE与OF是否相等?为什么?
平行四边开对
角互相平分
0B=OD.OA=OC 训练点4平行四边形性质的综合应用
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.EF 过点0且与AB.CD分别相交于点E.F、连接EC
AAOEACOF
(1)求证,OE-OF. APOESADOF
(2)若EF1AC,△BEC的周长是10.求口ABCD 的周长.
EF是AC的垂直平分
线=AE=EC BC+BE+EC
li AE BC+AB=10
训练点5平行四边形的判定
5.[2021·石河子末]如图.已知△ABC,分别以它 的三边为边长,在BC边的同侧作三个等边三角形。 为△ABD.ABCE.AACF.求证:四边形ADEF是 平行四边形。
△ABC以B为
△ABC以C为圆 国心,逆时针
心顺时针旋 旋转60°得
转60°得AFEC ADBE
[学会总结] 判定平行四边形的三种途径、五种 方法
已知条件 证明思路
1.证另一组对边也
一组对边相等 边 2.证这组对过
1.证另一组对边也
一组对边平行
2.证这组对造
一组对角相等角 对角线相交
证另一個对角也
证对角线互相
[对角线 相等平行平行相等相等平分
知识1矩形]第四部分 八年级下 训练点7三角形的中位线定理 训练点6平行四边形性质与判定的综合应用 7.[2021·碑林区校级模拟]如图,在 ABC中,BD 6.如图,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD, 平分 ABC,AF BD于点E,交BC于点F,点G CE于点M,N, A= F, 1= 2. > 1= DMN= 2 是AC的中点,若BC=10,AB=7,则EG的长为 D E 2 DENBC 能证AE=EF. N DBIIEC M △ABE三△FBE,得 A C B E是AF的中点。 (1)求证:四边形BCED是平行四边形. (2)已知DE=2,连接BN,若BN平分 DBC,求 F B BC=2 C.2.5 D.3.5 CN的长. B.2 A.1.5 三角形中位线定理的应用 训练点8 解:(1)证明: A= F, [关注过程] 8.[2021·雁塔区校级期末]如图,BD,CE是△ABC 内错角相等,两直线平行 的两条角平分线,AN BD于点N,AM CE于点  1= 2,且 1= DMF,由角相等找线平行 △ABC的周长为17,BC=7,则 M,连接MN,若 等量代换 MN的长度为 同位角相等,两直线平行 延长AM,AN交 A 则四边形BCED为平行四边形. BC于点G,F后得 ···两组对边分别平行的四边形是平行四边形 E D 两组全等三角 M N (2) BN平分/DBC, 形,M,N分别是 角平分线的定义 B CAG,AF中点,构 32 适三角形的中  EC//DB, B.2 A. 位线   CNB= DBN, 52 两直线平行,内错角相等 D.3 C. 等量代换 三角形的中位线的实际应用 [学会总结] ·平行四边形的对边相等 BC=DE=2,....... 三角形中位线的有关知识,常用来解决以测量距 等角对等边 离为背景的题目,解题时常先把实际问题转化为 (1)DF//AC 2= DMF DB//EC CN=BC=2 (2) DBN= CBN CNB= CBN 数学问题,再分两步走:一定(依照三角形中位线 定义,确定哪条线段是三角形的中位线);二算 [学会总结]理解平行四边形的性质和判定 (根据三角形中位线的性质定理,利用三角形的 1.类比法:将平行四边形的判定定理与性质定理加 第三边是三角形中位线的2倍进行计算). 以类比,因为它们是互逆的,通过类比,使知识融 会贯通. 2.分类法:将定理按边、角、对角线分类,易于记忆 和应用.


1.矩形的定义
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形, (2)两要素:四边形是平行四边形:有一个角是直角,两者缺一不可。
(3)矩形的对称性
①矩形是轴对称图形,有两条对称轴且对称轴都是过对边中点的直线。 ②矩形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心。
由菇的:个都是直角故常把于越瓶频化直销二团/额;
2.矩形的性质
短形的两杀对碱将短开减两对全等的等股三用形图在解决相关问题时常常用到
(1)角 等胜三角形的性质,并且分成的四个等月三角刊的面积相等 ①性质:矩形的四个角都是直角。
②符号语言:四边形ABCD是矩形, : BAD= ADC=DCB= CBA=90°
(2)对角线
在直角三角开中,遇斜边的中点常作
①性质,矩形的对角线相等, 斜边的中线,从而利用直用三角形斜 ②符号语言:四边形ABCD是矩形..AC=BD 边上的中钱的性质解决问题
(3)矩形性质的推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3.矩形的判定定理
[3.矩形的判定定理
遍常先证平行四边 开再根据一角是直 角或对前碱相等来证 明是短开]

角 有一个角是直角的平 行四边形是矩形 在口ABCD中,:/ABC= 90°,:口ABCD是矩形

有三个角是直角的四 边形是矩形 在四边形ABCD中,: BAD=  ADC= ABC=90°,四边 形ABCD是矩形

对角线 对角线相等的平行四 边形是矩形 在口ABCD中,:AC=BD, :口ABCD是矩形
遍常先证平行四边 开再根据一角是直 角或对前碱相等来证 明是短开
知识2菱形
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做形姿形是轴对称图形,它的对角 线所在的直线就是它的对称轴。
是平行四边形 麦刊
2.菱形的性质
有一组邻边相等
菱形是特殊的平行四边形,所以它除具有一般平行四边形的性质外,还具有一些特 殊的性质。如下所示:
但不一定相等
(1)菱形的四条边都相等, (2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理
(1)定义法:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 140
18.2 特殊的平行四边形 同学教材 学习重点
[有一个闻是直用的四边形不一定是短开
对前线相等的四过形不一定是短开,如等腰梯形]A D B