23．一筐苹果
入冬前，妈妈买来了一筐苹果。清理时，发现这筐苹果 2个、2个地数， 余 1个；3个、3个地数，余 2个；4个、4个地数，余 3个；5个、5个地数， 余 4个；6个、6个地数，余 5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
24．怎样分？
有 44 枚棋子，要分装在 10 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相 同，应该怎样分？
25．不要急于动手
[下图是一个正方形，被分成 6 横行，6 纵列。在每个方格中，可任意填 入 1、2、3中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各 不相同，这可能吗？为什么？
图 9]


26．数字小魔术
新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微 笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出 一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑 子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意 4个自然数 （不重复写），我保证能从你们写的 4个数中，找出两个数，它们的差能被 3整除。”
王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最 调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学 们一个个念起自己写的 4个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真 听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3整 除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
27．应该怎样称？
有 9个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你 用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？
如果是 27 个球、81 个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能 找出那个较轻的球吗？这里有规律吗？
28．最少拿几次？


晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子 前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出道跳棋子的题， 看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着：这 盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1个棋 子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3个是同一颜色的？”
听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？
29．巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块 小黑板，上面写着：
“各中队少先队员：
花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出 下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上 16 盆麦冬，要求每边都是 7盆，应该怎样 摆？
② 还要在这个花坛四周摆上 24 盆串红，要求每边也是 7盆，应该怎样 摆？”
同学们，你会摆吗？请你试试看。
30．填数（一）
[请你把 1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面 的 4个角上的数之和都相等。
31．算算这笔账]图10


小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是 990 元。 但是甲种收录机是紧俏商品，赚了 10％；乙种收录机是滞销品，赔了 10％。 假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若 赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？
32．“达标”的人数
有一所学校，男生有 ％的人体育“达标”，得了优秀。这所学校的 是 男生；在全校“达标”获优秀的学生中， 是男生。问女生“达标”获
5 3 5 3 4
优秀的学生占全校学生总数的百分之几？
33．谁得优秀？
六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试 后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：“如果我得优，那么乙也得优。”
乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”
丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人 中谁得优秀？
34．排名次
学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、 六（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？ 甲、乙、丙三人做如下的猜测：
甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。”


乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四。”
丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。”
比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了 一半。你能根据上面情况排出 1～4名的名次吗？
35．要赛多少盘？
六年级举行中国象棋比赛，共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每 个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
36．获第三名的得几分？
A、B、C、D、E 五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且 只赛一盘。规定胜者得 2 分，负者得 0 分。现在知道比赛结果是：A和 B 并 列第一名，C是第三名，D和 E并列第四名。那么 C得几分？
37．五个好朋友
A、B、C、D、E 五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作， 这四科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。
请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。
（1）语文课代表不是 C，也不是 D；
（2）历史课代表不是 D，也不是 A；
（3）C和 E住在同一楼里，中队长和他们是邻居；
（4）C问数学课代表问题时，B也在一旁听着；
（5）A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；


（6）D、E常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。
38．过队日
六（1）中队共 43 名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布， 大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活 动结束时，中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题： “全中队至少有多少人参加的活动完全相同？”
你能替六（1）中队的同学找到正确答案吗？
39．放硬币游戏
参加人：2人，也可以有裁判 1人。
用具：一张纸（方形、圆形都可以），1分硬币若干枚。
游戏规则：①2 人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；②放在桌 上的硬币不能重叠；③最后在纸上无处可放者为负。
同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个很简单的原理。 你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗？
40．一本书的页数
我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如 15，就要用 2个铅字；158，就要用 3个铅字。现在知道有一本书在排版时， 光是排出所有的页数就用了 6869 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封
面、封底、扉页不算在内）
41．重要的是能发现规律


学习数学，重要的不是会做几道题，而是通过学习，学会总结规律、使 用规律，最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题 的能力。
下面有一道题，就是检查你是否具备这方面能力的。不过，在正式做题 前，先复习一下有关的知识。
一个三位数，例如 256，可以表示成： 100×2+10×5+6。
一个任意三位数 abc（通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条横 线）也可以表示成： 100a+10b+c
一个任意四位数 也可以表示成： abcd 1000a+100b+10c+d
好了，现在请做下面的题。
有一个四位数，减掉它各位数字的和得到 19※2，你能准确地判断出※ 表示的数字是几吗？
解答这道题，当然可以用分析、推理等方法，但希望你能发现规律，并 利用规律来巧解这道题。
42．填数（二）
[右图中的大三角形被分成 9个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、 9 分别填入 9 个小三角形中，每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角 形每条边的 5 个小三角形内的数相加的和相等，并且使五个数的和尽可能 大，请问该怎样填？如果使五个数的和尽可能小，又该怎样填？
43.换个角度想]图11


在所有的三位数中，有很多数能同时被 2、5、3整除，那么不能同时被 2、5、3整除的三位数的和是多少？
要解答这个问题，最好换个角度想。
44.从后往前想
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共 72 支。现在华华从 自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在 所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有
的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数 正好是华华手中铅笔支数的 8倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？
45．缺少条件吗？
红光小学六年级共有学生 210 多人。期末考试成绩得优的占全年级人数 的 ，得良的占全年级人数的 ，得中的占全年级人数的 ，其余的不及 1 2 2 9 7 27 格。问不及格的有几人？
46．丢番图的墓志铭
古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元前 246 年到公元 330 年之间， 距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。


丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题， 每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧， 以致后人把这类题目叫做丢番图问题。
但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文 集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用 诗歌形式写成的：
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大， 才和死神见面？”
请你算一算，丢番图到底活到多少岁？
47．丢番图的趣题
下面是丢番图出的一道题：
今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为 22、24、27 和 20。求这 四个数各是多少？
48．真是没想到！
出题前，先讲个小故事。


传说在很久以前，印度有个叫塞萨的人，为了能使国王忘掉战争，精心 设计了一种游戏（国际象棋）献给国王。国王对这种游戏非常满意，决定赏 赐塞萨。国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋 盘上的格子数，在第一个小格内赏我 1粒麦子，在第二个小格内赏我 2粒麦 子，第三个小格内赏 4粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格 内的麦子加一倍。陛下，把这样摆满棋盘所有 64 格的麦粒，都赏给我吧。” 国王听后不加思索就满口答应了塞萨的要求。但是经过大臣们计算发现，就 是把全国一年收获的小麦都给塞萨，也远远不够。国王这才明白，塞萨要的， 是国王放弃战争，发展生产，改善人民生活。
我们来计算一下，塞萨要的小麦到底是多少？原来聪明的塞萨巧妙地利 用了数学中的乘方。棋盘上共有 64 格，按塞萨的要求，应付给他 2641=18446744073709551615 粒小麦，约合 5千多亿吨。这个数字大得惊人，古 代印度那个国王，怎么能付得出来？
下面有一道类似的题：
“把一张厚度仅有 0.05 毫米的纸，对折 30 次后，它的厚度是多少？” 请你算算，看你想到了没有？


49．黑蛇钻洞（印度古题一）
古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：
一条长 80 安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的 黑蛇，以 天爬 安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每 天长 安古拉 5 14 7 1 2 1 4 11 4 。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？
50．芒果总数（印度古题二）
有一堆芒果，国王取 ，王后取余下的 ，三个王子分别 1 6 1 5
取逐次余下的 、 和 ，最年幼的小孩取剩下的三个芒果。请你求 1 4 1 3 1 2 出芒果的总数是多少个。
51．托尔斯泰的算题（一）
托尔斯泰是 19 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写过算 术课本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。
下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题：
“一队割草人要收割两块草地，其中一块比另一块大 1倍。全队在大块 草地上收割半天之后，分为两半，一半人继续留在大块草地上，到傍晚时把 草割完；另一半人到小块草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一 小块要第二天 1个人用 1整天才能割完。
问割草队共有几人？”
52．托尔斯泰的算题（二）
托尔斯泰喜欢的另一道算题是：


木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个，则 24 分钟可以注满水桶； 若单独打开另一个，则 15 分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔，水可以从 孔中往外流，一满桶水用 2小时流完。如果同时打开两个水管，水从小孔中 也同时流出，那么经过多少时间水桶才能注满？
53．爱因斯坦编的问题
很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理 能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：
在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨 2阶，那么最后剩下 1阶； 如果你每步跨 3阶，那么最后剩 2阶；如果你每步跨 5阶，那么最后剩4阶； 如果你每步跨 6阶，那么最后剩 5阶；只有当你每步跨 7阶时，最后才正好 走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
54．苏步青教授解过的题
我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家， 在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：


甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 50 千米。甲每小时走 3 千米，乙每小时走 2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 5千米。这只狗同甲 一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰 到乙时再往甲这边跑⋯⋯，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多 少路？
苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学 家。
请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解 题的“窍门”。
55．农妇卖鸡蛋
从前，有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个； 乙买了剩下鸡蛋的一半多半个；丙又买了剩下的一半多半个；丁买了最后剩 下的鸡蛋的一半多半个。这样，鸡蛋刚好卖完。
你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗？
56．各有多少钱？
兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥：“你带多少钱？”哥哥说：“我
和弟弟一共带 240 元，如果弟弟给我 5元，那么我的钱数就比弟弟的钱数多 一倍了。”妈妈又问弟弟：“你带了多少钱呢？”弟弟回答说：“如果哥哥 给我 35 元钱，那么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后，还弄不 清哥哥和弟弟到底各带多少钱。你能弄明白吗？


57．河边洗碗
有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多 碗？”她回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？” 妇女笑着答道：“2 个人给一碗饭，3 个人给一碗鸡蛋羹，4 个人给一碗肉， 一共要用 65 只碗，你算算我们家来了多少客人。”
58．是谁错了？
小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题，越看越奇怪，题目是这样写 的：
[小明认为这道题错了，到底是谁错了呢？
59．各放多少发子弹？]10202 +4775 3205


小张是某部队武器库保管员，他将 1千发子弹分放在 10 个盒子里，一旦 需要，只需告诉他 1000 以内所需子弹数，他都可以拿出若干个盒子，凑出所 需的子弹数，而不必打开盒子去数子弹。请问小张在 10 个盒子里各放了多少 发子弹？
60. 逢四进一
[通常我们用的数的进位制是十进制，即逢十进一。它有十个数字：0、1、 2、⋯⋯、9。下面的算式用的不是十进制，而是四进制——即逢四进一。它 有四个数字：0、1、2、3。在这个算式中，字母 A、B、C、D分别代表 0、1、 2、3中的某一个数字。
请问按此算式，字母 A、B、C、D各代表什么数字？]BBCBB AB +CB ABCD


61．交叉公路
有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1350 米处往北直行；乙从十字 路口处向东直行。二人同时出发，10 分钟后，二人离十字路口的距离相等； 二人仍保持原速继续直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相 等。求甲、乙二人的速度。
62．何时追上乙？
甲、乙二人步行速度比是 13∶11。如果甲、乙二人分别从 A、B 两地同 时出发，相向而行，0.5 小时相遇，那么甲、乙二人分别从 A、B两地同向而
行，几小时后甲追上乙？
63．流水行船
一只小船，第一次顺水航行 20 千米，又逆水航行 3千米，共用了 4小时； 第二次顺水航行了 17.6 千米，又逆水航行了 3.6 千米，也用了4小时。求船 在静水中的速度和水流速度。
64．粗心的钟表匠
小王师傅是钟表店的新职工，由于工作不安心，时常出问题。有一次， 他给学校修理一只大钟，竟然把长短针装配错了。这样一来，短针走的速度 变成了长针的 12 倍。装配的时候是下午 6点，他把短针指在“6”上，长针 指在“12”上。小王装好后，就回家了。


学校值班老师看到这大钟一会儿 7点，一会儿 8点，十分奇怪，立刻派 人去找小王师傅。小王师傅在第二天上午 7点多钟才来到，他掏出标准表一 看，表和大钟的时间一样，说学校故意找他的麻烦，气乎乎地回家了。小王 走后，老师发觉大钟还是不对头，又通知小王来。下午 8点多，小王又来到 学校，与标准表一对，仍旧准确无误。
请你想一想，小王第一次来校对表的时刻是上午 7点几分？第二次对表 的时刻又是下午 8点几分？
65．分针、时针追跑
你注意过钟面上的时、分、秒 3根针的运动特点吗？这 3根针，每时每 刻都处在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针⋯⋯，永不停息。请问从 早晨 8点开始，当分针第一次与时针重合时，是几点几分？
66．弄通情境
骑车人以每分钟 300 米的速度，从 102 路电车始发站出发，沿 102 路电 车线前进。骑车人离开出发地 2100 米时，一辆102 路电车开出了始发站。这 辆电车每分钟行 500 米，行 5分钟到达一站并停 1分钟，那么要用多少分钟， 电车追上骑车人？
67. 预定时间


某人从甲地到乙地按预定的时间和速度行了甲、乙两地路程的 ，在 余下的路程上，他行走的速度增加 ，行走的时间每天减少 ，结果他从
2 3 1 9 1 4
甲地到乙地共行了 16 天。那么原定从甲地到乙地要行多少天？
68.文艺书与科技书
六（1）班的图书箱里共有文艺书和科技书 91 本，文艺书本数的 25％ 与科技书本数的 正好相等。两种书各有多少本？ 2 5
69．几天完工？
一项工程，甲、乙两队合做需要 8天完成，甲队单独做了 4天，乙队又 单独做了 天，还有全工程的 没有完成，那么每队单独完成这项工程各 2 2 3 需要几天？
70．干活的人数
一项工程，8个人干需 15 天完成。今先由 18 人干了 3 天，余下的又由 另一部分人干了 3天，共完成了这项工程的 3 4 3 ，问后 天有多少人参加？
71．甲先做了几天？
一件工程，甲独做 12 天可以完成，乙独做 4天可以完成。现在甲先独做 了几天，因事离去，乙接着做余下的工程，直至完工。完成这件工程前后共 用了 6天，那么甲先独做了几天？
72．空池注水


一个水池有两个进水管甲、乙，一个排水管丙。如果单开甲、丙两管， 那么 10 小时可把空池注满；如果单开乙、丙两管，那么 15 小时可把空池注 满；如果单开丙管，那么 30 小时可把满池水放光。现在同时打开甲、乙、丙 三管，几小时可把空池注满？
73．往返行驶
一辆汽车在甲、乙两站之间行驶，往返一次共用去 4小时（停车时间不 计）。已知汽车去时每小时行驶 45 千米，返回时每小时行驶 30 千米，问甲、 乙两站相距多少千米？
74．分树苗
学校把 414 棵树苗按各班人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗 的棵数比是 2∶3，二班和三班分得树苗的棵数比是 5∶7，求每个班各分得树 苗多少棵？
75．生产巧安排
甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂，并且都生产同规格的成衣，而且甲、 乙两厂的人员和设备都能全力进行上衣和裤子的生产。但是两厂的特长不 同， 甲厂每月用 的时间生产上衣，用 的时间生产裤子，这样每月可生产 套成衣；乙厂每月用 的时间生产上衣，用 的时间生产裤子，这样每
3 5 2 5 4 7 3 7
90 0


月可以生产 1200 套成衣。现在两厂联合，尽量各自发挥特长，那么怎样进行 合理安排，在原有的条件下增加产量？每月能增产成衣多少套？
76．谁先掉进陷阱？
狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛。狐狸每次跳 4.5 米，黄鼠狼每次跳 2.75 米。
它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔 米设有一个陷 12 3 8
阱。它们同时起跳，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
77．何时再相逢？
甲、乙、丙三辆公共汽车分别往返于 A、B，A、C，A、D 之间。A、B 间 的路程是 4千米，A、C间的路程是 6千米，A、D间的路程是 8千米。甲车每 小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，丙车每小时行 60 千米。现在三辆车 同时从 A站出发往返而行，（途中停车时间不计）那么经过多少小时后三辆 车又在 A站相遇？
78．奇特的长跑训练


小明在 400 米长的环形跑道上练习长跑。上午 8点 20 分开始，小明按逆 时针方向出发，1 分钟后，小明掉头按顺时针方向跑，又过了 2 分钟，小明 又掉头按逆时针方向跑。如此，按 1、2、3、4、⋯⋯分钟掉头往回跑。当小 明按逆时针方向跑到起点，又恰好该往回跑时，他的练习正好停止。如果小 明每分钟跑 120 米，那么他停止练习时是几点几分？他一共跑了多少米？
79．试着使用代数法
我们快要上中学了，在数学学习上，要完成从算术到代数的过渡。下面 这道题希望你试着用代数法解答。
为了庆祝“六一”儿童节，班里决定做一幅贴纸画送给低年级同学。中 队长小明拿 1元钱买了彩色纸 100 张。其中，绿色纸 3分 1张，红色纸 4分
1张，白色纸 1分 7张。你知道小明买了 3种颜色的纸各多少张吗？
80．发奖品


学校举办了数学竞赛。老师准备了 35 支铅笔作为奖品，发给一、二、三 等奖获得者。原计划发给一等奖获得者每人 6 支，发给二等奖获得者每人 3 支，发给三等奖获得者每人 2支，正好发完。后来改为发给一等奖获得者每 人 13 支，发给二等奖获得者每人 4支，发给三等奖获得者每人 1支，也正好 发完。那么获得二等奖的有多少人？
81．姐姐、弟弟各几岁？
李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说：“4 年前，我的年龄 正好是弟弟年龄的 3倍。”李老师又问明明：“你姐姐今年几岁？”明明说： “姐姐今年的年龄是我今年年龄的 2倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁？
82．兄弟俩的年龄
今年兄弟俩的年龄加起来是 55 岁，曾经有一年，哥哥的岁数是弟弟今年 的岁数，那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各 是多少岁？
83．幼儿园的午餐
某幼儿园现有大人和幼儿共 100 人，今天午餐刚好吃了 100 个面包，其 中一个大人一餐吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包。问这 100 个人中， 大人和幼儿各有多少人？
84．生产课桌椅


新星木器厂安排 56 名工人生产学生用的课桌椅。每个工人平均每天能生 产课桌 6张或椅子 8把，问应分配多少人生产课桌，多少人生产椅子，才能 使每天生产出的课桌和椅子刚好配套？
85. 为新生做花
为了欢迎一年级新生入学，六（1）班同学承担了做花的任务。如果每人 平均做 5朵，则缺少 20 朵，不能完成任务；如果每人平均做 6朵，则又超过 任务 24 朵。问参加做花的同学有多少人？做花的任务是多少朵？
86.五个少年
五个少年，依次相差一岁，在 1994 年共同发奋学习，到公元 2018 年时， 他们都在科学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了，他们五人在公 元 2018 年的年龄之和正好是 1994 年的年龄之和的 3倍。问在 1994 年时他们 的年龄各是多少？
87. 学雷锋
小丽和小刚两个小朋友向雷锋叔叔学习，准备把零用钱攒起来，以后寄 给希望工程，帮助贫困地区的小朋友上学。小丽现有 5元钱，她计划每年节 约 11 元；小刚现有 3元，他打算每年节约 12 元。问他们俩几年后钱数能一 样多吗？如果他们俩准备一共凑足 100 元，问需要几年？
88. 白鹅和山羊


小勇跟爷爷去赶集，看见集市的一角有 44 只白鹅和山羊，它们共有 100 条腿。请问白鹅和山羊各有几只？
89. 两盘苹果
有大小两盘苹果。如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果就 一样多；如果从小盘中拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果就是小盘的 3倍。 问大小两盘苹果各有几个？
90. 师徒加工零件
师徒两人加工一批零件，徒弟先加工 240 个，然后师傅和徒弟共同加工。 完成任务时，师傅加工的零件比这批零件的 少 个。已知师徒工作效率 3 8 40 的比是 5∶3，问这批零件有多少个？
91. 王医生出诊
王医生为一位山里人出诊，他下午 1时离开诊所，先走了一段平路，然 后爬上了半山腰，给那里的一位病人看病。半小时后，王医生沿原路下山回 诊所，下午3时半回到诊所。已知他在平路步行的平均速度是每小时 4千米， 上山每小时 3千米，下山每小时 6千米。请问王医生出诊共走了多少路？
92．规定时间
一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走 15 千米可以早到 24 分钟，每小时走12 千米就要迟到 15 分钟。问原规定时间是 多少？他去某地的路程有多远？


93．至少有几个人做的数学题一样多？
9 月 1 日开学那天，数学课代表向李老师汇报说：“我们六年级 100 个 同学，在暑假里一共做了 1600 道数学题。”李老师听了非常高兴，立刻表扬 了他们。接着李老师问课代表：“你知道这 100 个同学中，至少有几个人做 的数学题一样多吗？”课代表答不出来。同学们，你能帮助课代表解答这个 问题吗？
94．六（1）班有多少人？
六（1）班在期末考试中，数学得 100 分的有 10 人，英语得 100 分的有
12 人，这两门功课都得 100 分的有 3人，两门功课都未得 100 分的有 26 个。 那么六（1）班有学生多少人？
95．至少有几个学生四项活动都会？
六（2）班有学生 50 人，其中 35 人会游泳，38 人会骑车，40 人会溜冰， 46 人会打乒乓球。那么这班至少有多少个学生以上四项活动都会？
96. 五种颜色的铅笔
有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最 多可以搭配成不重复的几组？
97．最少有几个座位？


有一条公共汽车的行车路线，除去起始站和终点站外，中途有 9个车站。 一辆公共汽车从起始站开始上乘客，除终点站外，每一站上车的乘客中，都 恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这 辆公共汽车至少要有多少个座位？
98. 将军饮马
[古希腊一位将军要从 A地出发到河边（如下图 MN）去饮马，然后再回到 驻地 B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
99．牛顿与方程]B M N 图12


阿基米德、牛顿和高斯被誉为历史上最伟大的三位数学家。牛顿是 17 世纪英国著名科学家，他非常喜欢用方程解题，并常常出一些方程问题。下 面的一道题就是选自牛顿的名著《一般算术》。为了便于理解，我们把长度 单位改为现行的通用单位。
“邮递员 A和 B相距 59 千米，相向而行。A两小时走了 7千米，B三小 时走了 8千米，而 B比 A晚出发一小时。求 A在遇到 B时走了多少千米？”
100．有名的牛吃草的问题
牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上 吃草的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。
“有一片牧场的草，如果放牧 27 头牛，则 6个星期可以把草吃光；如果 放牧 23 头牛，则 9个星期可以把草吃光；如果放牧 21 头牛，问几个星期可 以把草吃光？”
解答这道题时，我们假定牧草上的草各处一样密，草长得一样快，并且 每头牛每星期的吃草量也相同。
你会解这道题吗？
二、百解
1．钟声
小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大 楼的钟，每敲响一下延时 3秒，间隔 1秒后再敲第二下。


假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨 6点，前后共经过了几秒钟？
分析与解 从第一下钟声响起，到敲响第 6 下共有 5 个“延时”、 5 个 “间隔”，共计（3+1）×5=20 秒。当第 6下敲响后，小明要判断是否清晨 6 点，他一定要等到“延时 3秒”和“间隔 1秒”都结束后而没有第 7下敲响， 才能判断出确是清晨 6点。因此，答案应是：
（3＋1）×6=24（秒）。
2．越减越多
同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去 1个角，还剩 几个角？”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情 况来确定“剩角”的多少。
[以下 3幅示意图，表明了 3种不同情况的 3种不同答案。其中第 3种情 况最有趣，长方形原有 4个角，切去了 1个角，反而多了 1个角，出现了越 减越多的情况。下面一道题的思考方法与上题类似，看你能否正确回答。
图 13](2) (3) (1) 剩4个角 剩5个角 剩3个角


“一个正方体，锯掉一个角，还剩几个角？”请注意，这里的“角”是 立体的“角”，它不同于平面上的角。
[分析与解 锯掉角的情况有 4种，因此剩角的答案也有 4种（如 14 图所 示）。
图 14]还有8个角 还有7个角 还有10个角 还有9个角


3．数一数
如果有人问你“会数数儿吗？”，你会不屑一顾地说：“这么大了，还 不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的。不信，请你数出下面几何 图形的个数。
分析与解 图（1）中：边长1个单位的三角形有 12 个；边长2个单位的 三角形有 6个，边长 3个单位的三角形有 2个。
一共有三角形 20 个。
图（2）中：先按公式，计算出边长 8 个单位的大正方形中，共有（12 ＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82）=204 个正方形；然后再分别计算左、右两侧 各多出的一部分构成 13×2=26 个正方形；最后计算出共有大、小不同的正方 形 204＋26=230 个。
图（3）中：共有长方形（1+2＋3+ 4＋5）×（1+2+3＋4）= 15×10=150 （个）。
[图（4）中：共有梯形（1＋2+3+4+5）×（1+2+3）=15×6=90（个）。
图 15](2) (1) 有( 有( )个正方形 )个三角形 (3) (4) 有( 有( )个梯形 )个长方形


4．画一画
[下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）
图 16](3) (1)


分析与解 一笔画需要解决两个关键问题。一个是这幅图能不能一笔画？ 另一个是，若能一笔画，应该怎样画？对于这两个问题，数学家欧拉在 1736 年研究了“哥尼斯堡七桥”的问题后，做了相当出色的回答。他指出，如果 一幅图是由点和线连接组成，那么与奇数条线相连的点叫“奇点”；与偶数 条线相连的点叫“偶点”。
[例如，在图 17 中，B为奇点，A和 C为偶点。
图 17]B A


如果一幅图的奇点的个数是 0 或是 2，这幅图可以一笔画，否则不能一 笔画。这是对第一个问题的回答。欧拉又告诉我们，如果一幅图中的点全是 偶点，那么，你可以从任意一个点开始画，最后还回到这一点；如果图中只 有两个奇点，那么必须从一个奇点开始画，并结束于另一个奇点。
[本题的 4幅图，其中图（1）、（4）各有两个奇点，图（2）、（3）的 奇点个数为 0。因此这 4幅图都可一笔画。画法请参看图
图 18]


5．最短的路线
[养貂专业户养殖场内安置了 9个貂笼（如下图）。
为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个 貂笼，喂完食后还要回到原出发点。你能替他设计一条最短的路线吗？并算 出每喂食一次，至少要走多少米的路。]4米 4米 3米 3米


分析与解 要给 9个貂笼的貂分别喂食，最短的路线不止一条。我们只 给出其中的一种如图 20 所示。
我们选择这条路线的根据是：（1）尽量多走 3米长的貂笼间隔，少走 4 米长的貂笼间隔；（2）根据勾股定理，第⑨步走斜边（长 5 米，这是因为 52=32＋42）比走两条直角边（3＋4=7 米）要少走 2米。
他每喂食一次，至少要走
[3×5＋4×3+5=32（米）。
图 20]


6．切西瓜
六（1）班召开夏夜乘凉晚会，买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今 天买来了许多西瓜请大家吃。在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数 学题。我规定，西瓜只能竖切，不能横剖。大家知道，切一刀最多分成 2块， 切 2刀最多分成 4块，那么切 3 刀最多能分成几块？切 4刀、切 5刀、切 6 刀呢？这中间有没有规律？如果有规律，请同学们找出来。”李老师刚说完， 同学们就七嘴八舌地讨论起来。请你也参加他们的讨论吧。
分析与解 分割圆时，切的刀数和最多可分的块数之间有如下规律： 切 n刀时，最多可分成：（1+1+2＋3＋⋯⋯+n）块。
经整理，可归纳成公式： 。其中 表示切的刀数举例如图 n n 2 2 2 + + n
21 所示。
[图 21
7．均分承包田]1+1+2+3 1+1+2+3+4 切3刀: 切4刀: 1+1 1+1+2


有一块等腰梯形菜地（如下图），地边有一口水井。现在 3户种菜专业 户都提出要承包这块地。经研究，决定让这 3户共同承包这块地，因此必须 把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要相等的 3块地。 你能帮助解决这个问题吗？
[分析与解 分法如图 23 所示。我们只要把等腰梯形上底的两个端点，分 别与水井连接，这样就把这块菜地分成符合题意的 3块了。
图 22]190米 水井 190米 380米


8．巧分食盐水
大家在常识课上认识了量杯。快下课时，王老师让我们用手中的量杯做 一个智力小游戏：
有 30 毫升、70 毫升、100 毫升的量杯各 1个，请你用这三个量杯把水槽 中的 100 毫升食盐水平均分成两份，但分的时候不准看量杯的刻度。大家动 手试一试，至少要分几次才成？
分析与解 至少分 9 次。这种题，一般统称为分液问题。解答时，最好 用列表的方法。本题解答方法，如下表所示（这不是唯一的方法）：
[分析与解 至少分 9 次。这种题，一般统称为分液问题。解答时，最好 用列表的方法。本题解答方法，如下表所示（这不是唯一的方法）：
9．扩大鱼池]
"杯子容量 杯中盐水 分的次数":"1"
"100毫升":"30"
"70毫升":"70"
"30毫升":"0"


"杯子容量 杯中盐水 分的次数":"8"
"100毫升":"20"
"70毫升":"50"
"30毫升":"30"
"杯子容量 杯中盐水 分的次数":"9"
"100毫升":"50"
"70毫升":"50"
"30毫升":"0"
9．扩大鱼池
养鱼专业户张强，去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如图 24），喜 获丰收。为了进一步增产，决定把鱼池扩大。但有这样的要求：①扩大后的 鱼池必须仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是 原面积的 4倍；③原鱼池的三个角上栽的 3棵大柳树不能移动。你能替张强 设计一个施工草图吗？
分析与解 草图如图 25 所示。
我们只要过三角形的三个顶点，分别作它们所对的边的平行线，两两相 交，成一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的 4倍。
10． 巧妙的算法（一）
11=1
22=1+3
32＝1+3+5 42＝1+3+5+7
⋯⋯
⋯⋯
请你仔细观察上面这些算式，试着找出某种规律，并利用这个规律迅速
算出下面式子的答案：
（1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15
（2）1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25


＋27＋29＋31＋33＋35＋37＋39
分析与解 由已知的算式
12=1 22=1+3 32=1+3＋5 42=1＋3＋5＋7
我们不难看出：
5 = 1 3 5 7 9
6 = 1+ 3 5 7 + 9 11
2
5
2
＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
⋯⋯⋯⋯
项
项
1 2 4 4
3 4 4
4 4 4
n = 1 3 5 + + 2n 3 + 2n -1 2 n ＋ ＋ ⋯⋯ （ ） （ ） 项 1 2 4 4 4 4 4 4 44 3 4 4 4 4 4 4 4 4
因此，（1）的答案为 8（项数）的平方，即 64；（2）的答案为 20（项
数）的平方，即 400。
11．巧妙的算法（二）
13＋23 =9
（1+2）2=9
13+23+33 =36 （1＋2＋3）2=36
⋯⋯
⋯⋯
请你仔细观察上面两组算式，找出规律并迅速算出下面算式的答案：
（1）13＋23＋33＋43＋53＋63＋73+83+93＋103 （2）13＋23+33+⋯⋯＋203
分析与解 求几个数的立方和，一般总是先求出各数的立方再相加。但
对于从 1开始的若干个连续自然数的立方和，我们可以从题中的两组算式得
到启发，找出规律，迅速算出它的答案：


（1）13+23＋33＋⋯⋯+103 =（1+2+3+⋯⋯＋10）2=552=3025； （2）13＋23+33+⋯⋯+203 =（1+2+3＋⋯⋯＋20）2=2102=44100
用数学归纳法可以证明： 13＋23＋33+⋯⋯+（n-1）3+n3 =[1＋2+3+⋯⋯+（n-1）+n]2
12．哪个分数大？
有三个分数 、 和 ，请你比较一下，哪个分 数大？
1111 11111 11111 111111 111111 1111111
分析与解 在比较 、 和 的大小时，如果用先通分再比较 大小的一般方法，就太麻烦了。我们知道， ，而 的倒数 却比
1111 11111 11111 111111 111111 1111111 1 2 1 3 1 2 1 3 > 2 的倒数 3小。就普遍的情况而言，一个分数的倒数大，这个分数反而小。这 样，要比较这三个分数的大小，只要比较它们的倒数就可以了。


14．从 1 到 100 万
大家对德国大数学家高斯小时候的一个故事可能很熟悉了。
传说他在十岁的时候，老师出了一个题目：1+2＋3+⋯⋯+99+10O 的和是 多少？
老师刚把题目说完，小高斯就算出了答案：这 100 个数的和是 5050。 原来，小高斯是这样算的：依次把这 100 个数的头和尾都加起来，即 1 ＋100，2＋99，3＋98，⋯⋯，50＋51，共 50 对，每对都是 101，总和就是 101 ×50=5050。
现在请你算一道题：从 1到 1000000 这 100 万个数的数字之和是多少？ 注意：这里说的“100 万个数的数字之和”，不是“这 100 万个数之和”。 例如，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 这 12 个数的数字之和就是
1+2＋3＋4+5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1+1+1+2=51。
请你先仔细想想小高斯用的方法，会对你算这道题有启发。
分析与解 可以在这 100 万个数前面加一个“0”，再把这些数两两分组： 999999 和 0 999998 和 1
999997 和 2 999996 和 3


依此类推，一共可分为 50 万组，最后剩下 1000000 这个数不成对。 各组数的数字之和都是 9＋9＋9＋9＋9＋9=54，最后的 1000000 数字之 和是 1。
所以这 100 万个数的数字之和为： （54×500000）+1=27000001
15.求数列的和
你能用巧妙的方法，求出下列算式的结果吗？注意，高斯求和的方法在 这里用不上。
（ ） （ ） 1
1 2 + + + + + + + + + + + 1 4 1 12 1 24 1 40 1 60 1 84 2 3 2 15 2 35 2 63 2 99 2 143
2
分析与解 这是两道求数列和的计算题。巧算的方法与第 13 题类似，要 根据每个数列中各个数的特点，进行“拆分”，使拆分成的新数列的中间部 分互相抵消，从而达到“巧”算的目的。


下面这道计算题，按一般运算法则计算是很麻烦的。如果你能发现数字 的特点，采用巧算，则这道题将变得很容易。请你不要用纸和笔，用脑子想 一想，就得出答案，行吗？（限 10 秒钟） 1994 1994 1994 1995 1993 × − ×
分析与解 根据分母的数字特点，可用如下方法计算： 1994 1994 1994 1995 1003 1994 1994 1994 1 1994 1 1994 1994 1994 1 1994 1994 1994 1 1994
2 2 2 2 2
× × ×
−
= − + −
= − −
= − + =
( ) ( ) ( )
17．猜猜是几？
一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒 过来看的 。这个三位数是几？ 2 3
分析与解 这个三位数是 666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。 这道题如果要求找一个一位数，那就是 6；找一个两位数，则是 66；找一个 四位数，则是 6666，⋯⋯，依此类推。
18．完全数


如果整数 a能被 b整除，那么 b就叫做 a的一个因数。例如，1、2、3、 4、6 都是 12 的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的
和，这种数叫做完全数。例如，6就是最小的一个完全数，因为除 6以外的 6 的因数是 1、2、3，而 6=1+2＋3。
你能在 20 至 30 之间找出第二个完全数吗？
分析与解 20 至 30之间的完全数是 28。因为除28 以外的28 的因数是1、 2、4、7、14，而 28=1＋2＋4＋7＋14。
寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共 找到了 23 个完全数。第三、四个完全数是： 496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248 8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064
奇怪的是，已发现的23 个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至 今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。
19．有这样的数吗？


小明异想天开地提出：“世界上应该存在这样两个数，它们的积与它们 的差相等。”他的话音刚落，就引起了同学们的哄堂大笑，大家都觉得这是 不可能的。但是，世界上有些事情往往产生于一些怪想法。小明的想法，后 来竟被同学们讨论证实了。
你能找到这样的两个数吗？告诉你，这样的数还不止一对呢！
分析与解 下面举出几个两数的积等于两数的差的实例： 1 2 1 3 1 2 1 3 1 6 1 4 1 5 1 4 1 5 1 20
× ×
= − = = − = 2 5 2 7 2 5 2 7 4 35 3 4 3 7 3 4 3 7 9 28
− = − = = − = ×
同学们，你可再试着找一些。
20．两数的积与两数的和能相等吗？
数学课上，小明偶然发现 2×2=2＋2。下课后，小明问王老师：“2×2=2 ＋2，这样两数的积等于两数的和的情况，还有吗？”王老师听后很高兴地拍 着小明肩膀说：“你能在数学学习中敏锐地发现问题，提出问题，这是很宝 贵的，希望你能保持这个优点。你提的问题在数学中不是偶然的现
象，还可以举出很多实例。例如， × ＋ ，甚至还有三个数的积 3 1 1 2 = 3 1 1 2


等于这三个数的和，四个数的积等于这四个数的和，五个数的积等于这五个 数的和。这些现象近似于数学游戏，有兴趣，你回去仔细想想，一定会找到 答案的。明天我们一起交换看法好吗？”小明听后高兴地接受了老师的建议。
同学们，你们能找出这样的数吗？
分析与解 下面是部分例子。
两数积=两数和：
11×1.1=11+1.1
3 1 1 2 = 3 1 1 2
4 1 1 3 = 4 1 1 3
5 1 1 4 = 5 +1 1 4
× ＋ × ＋ ×
⋯⋯
三数积=三数和：
1×2×3=1＋2＋3
四数积=四数和：
1×1×2×4=1+1＋2＋4
五数积=五数和：
1×1×1×2×5=1+1+1+2+5
1×1×1×3×3=1+1+1+3+3
1×1×2×2×2=1+1+2+2+2
其中，有关两数积=两数和的例子，可以找出无数组，请再找出一些。
21．老路行不通
[五年级的时候，我们在数学课上就学习过计算与三角形有关的阴影部分 面积的方法。但下面这道题却无法用习惯的方法解答，需要另辟蹊径。这条 要走的“新路”所依靠的知识，仍然是最基本的：如果几个三角形的底和高 都相等，那么它们的面积也相等。
图 26]F E B D


已知：在△ABC 中，BC=5BD，AC=4EC，DG=GS=SE，AF=FG。
求阴影部分的面积占△ABC 面积的几分之几？
分析与解 这道题看起来很像一道中学较复杂的几何求解题。其实，只 需要一些小学最基本的数学知识就可以解答了。
根据 ，可以知道，△ 的面积 △ 的面积；根据 ，可以知道，△ 的面积 △ 的面积 × △ 的 面积 △ 的面积。依此类推，△ 的面积 △ 的面积 △ 的面积；△ 的面积 △ 的面积。
BC = 5BD
ABD = 1 5 ABC AC
= 4EC
DEC = 1 4 ADC = 1 4 ABC
= 1 5 ABC
ADG = 1 3 ADE =
ABC FGE = 1 5 ABC
4 5
1 5
阴影部分的面积占△ 面积的 ，即占△ 面积的 × 。
FGE
ABC = 1 10 1 2 1 5 1 2
22．关键在于观察
你在数学课上学了不少几何图形的知识，掌握了不少平面图形的求面积 公式。但是有许多组合面积的计算，单靠这些知识是远远不够的，它更需要 对组合图形的观察能力。下面就是一道考查你的观察能力的题目。试试看， 你能很快做出来吗？


[已知图内各圆相切，小圆半径为 1，求阴影部分的面积。
图 27]


分析与解 按一般的解题规律，要求面积，首先得确定所求的是什么图 形，或是由什么图形组合而成。而本题构成阴影部分的图形，却是个不规则 的图形。但仔细观察，就能发现阴影部分是由两部分组成的：下面是一个小 的半圆，上面是大的半圆减去 个小圆和 个小半圆的剩余部分的 。由此 2 3 1 3 可得到以下解法：
阴影部分面积 π × π π × π π π π = 2 + ⋅ − = + = 1 3 3 2 2 3 2 2 3 5 6 2 ( )
23．一筐苹果
入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果 2个、2个地数， 余 1个；3个、3个地数，余 2个；4个、4个地数，余 3个；5个、5个地数， 余 4个；6个、6个地数，余 5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加 1，就恰好是
2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个 数应该是 2、3、4、5、6的最小公倍数减去 1。
[2，3，4，5，6]=60
60-1=59
即这筐苹果至少有 59 个。
24．怎样分？


有 44 枚棋子，要分装在 1O 个小盒中，要求每个小盒中的棋子数互不相
同，应该怎样分？
分析与解 无法分。
[因为要想使这 10 个小盒中的棋子数互不相同，至少可使这 10 个盒子中 的棋子数分别为 0、 1、2、3、4、5、6、7、8、9；这样共需要 45 枚棋子。 而实际只有 44 枚棋子，因此，必有两盒或两盒以上的棋子数相同。
25.不要急于动手]图28


左图是一个正方形，被分成 6 横行，6 纵列。在每个方格中，可任意填 入 1、2、3中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各 不相同，这可能吗？为什么？
分析与解 不可能。
这是因为每行、每列和两条对角线都是由 6个方格组成的，那么数字之 和最小是 1×6=6，数字之和最大是 3×6=18。要想使各行、各列及对角线上 的数字之和各不相同，只能出现 6、7、8、9、⋯⋯、17、18 这 13 种数字和， 但实际却需要 6（行）＋6（列）＋2（对角线）=14 种不同的数字和。
由此可知，要达到每行、每列及两条对角线上的数字和各不相同是不可 能的。
26．数字小魔术
新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微 笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出 一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑 子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意 4个自然数 （不重复写），我保证能从你们写的 4个数中，找出两个数，它们的差能被 3整除。”


王老师的话音一落，同学们就活跃起来。有的同学还说：“我写的数最 调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学 们一个个念起自己写的 4个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真 听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3整 除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是 听数学规律的话。
因为任意一个自然数被 3除，余数只能有3种可能，即余0、余 1、余 2。 如果把自然数按被 3除后的余数分类，只能分为 3类，而王老师让同学们在
纸条上写的却是 4个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相 减（以大减小）所得的差，当然能被 3整除。
王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数 学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。
27．应该怎样称？
有 9个外观完全相同的小球，其中只有一个重量轻一点儿。现在要求你 用一架天平去称，问你至少称几次，才能找出较轻的球？


如果是 27 个球、81 个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能 找出那个较轻的球吗？这里有规律吗？
分析与解 9 个球，至少称两次就可以找到那个较轻的球。
第一次：天平两侧各放 3个球。
如果天平平衡，说明较轻的球在下面；如果不平衡，那么抬起 一侧的 3个球中必有轻球。
第二次：从含有轻球的 3个球中任选两个，分别放在天平两侧。如果平 衡，下面的球是轻的；如果不平衡，抬起一侧的球是轻的。 如果是 27 个球，至少需要称 3次。
第一次：天平两侧各放 9个球。
如果平衡，说明轻球在下面 9个中；如果不平衡，抬起一侧的 9个球中含有轻球。
第二次、第三次与前面所说 9个球的称法相同。
在这种用天平确定轻球（或重球）的智力题中，球的总个数与至少称的 次数之间的关系是：若 3n＜球的总个数≤3n+1，则（n+1）即为至少称的次数。
例如，设有 25 个球，因为 32＜25＜33，所以至少称 3次；
设有 81 个球，因为 33＜81=34，所以至少称 4次。
28．最少拿几次？


晚饭后，爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子 前，爸爸忽然用大手捂着盒子对小红说：“小红，爸爸给你出一道跳棋子的 题，看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行，您出吧？”“好，你听着： 这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各 15 个，你闭着眼睛往外拿，每次只能拿 1 个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有 3个是同一颜色的？” 听完题后，小红陷入了沉思。同学们，你们会做这道题吗？
分析与解 至少拿 7次，才能保证其中有 3个棋子同一颜色。
我们可以这样想：按最坏的情况，小红每次拿出的棋子颜色都不一样， 但从第 4次开始，将有 2个棋子是同一颜色。到第 6次，三种颜色的棋子各 有 2个。当第 7次取出棋子时，不管是什么颜色，先取出的 6个棋子中必有 2个与它同色，即出现 3个棋子同一颜色的现象。
同学们，你们能从这道题中发现这类问题的规律吗？如果要求有 4个棋 子同一颜色，至少要拿几次？如果要求 5个棋子的颜色相同呢？
29．巧手摆花坛
学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时，大队部在花坛旁挂出一块
小黑板，上面写着：
“各中队少先队员：


花坛修好了，同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出 下面两道题，就请那个中队的少先队员负责管理这个花坛。
① 要在这个花坛的四周摆上 16 盆麦冬，要求每边都是 7盆，应该怎样 摆？
② 还要在这个花坛四周摆上 24 盆串红，要求每边也是 7盆，应该怎样 摆？”
同学们，你会摆吗？请你试试看。
[分析与解 答案如下图：
图 29]摆16盆 摆24盆


30．填数（一）
[请你把 1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点的圆圈里，使每个面 的 4个角上的数之和都相等。
图 30]


分析与解 做这种填数游戏，有两种方法，一种是“笨”方法，即凑数 的方法。分别用这 8个数去试，这种方法可行，但很费事。另一种方法是用 分析、计算的方法。这道题可以分析、计算如下：
在计算各个面上 4个数的和时，顶点上的数总是分属 3个不同的面，这 样，每个顶点上的数都被重复计算了 3次。因此，各个面上4个数的和为 1～ 8这 8个数的和的 3倍，即（1＋2+3+⋯+8）×3=108。又因为正方体有 6 个 面，也就是每个面上的四个数的和应是 108÷6=18。18 应是我们填数的标准。
[如果在前面上填入 1、7、2、8（如图 31），那么右侧面上已有 2、8， 其余两顶点只能填 3、5。以此类推，答案如图 31 所示。
31．算算这笔账]


小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机，售价都是 990 元。 但是甲种收录机是紧俏商品，赚了 10％；乙种收录机是滞销品，赔了 10％。 假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了？若 赚了，则赚了多少？若赔了，则赔了多少？你会算这笔账吗？
分析与解 赚了 10％后是 990 元，原价是：
990÷（1＋10％）=900（元）
赔了 10%后是 990 元，原价是：
990÷（1-10%）=1100（元）
那么两台收录机，原来进价为900＋1100=2000元，现在卖了990×2=1980 元。
因此，这个商店卖出甲、乙两种收录机各一台，赔了 2000-1980=20 元。
32．“达标”的人数
有一所学校，男生有 的人体育“达标”，得了优秀。这所学校的 是男生；在全校“达标”获优秀的学生中， 是男生。问女生“达标”获
5% 3 5 3 4
优秀的学生占全校学生总数的百分之几？
分析与解
根据已知条件，获体育“达标”优秀的男生占全校人数的 ×
。
3 5 5%
= 3 100
根据获优秀的学生中， 是男生，则女生占 。即男生占 份，女生
占 份。所以，女生获优秀的占全校人数的 ÷


3 4 1 4 3 100
3
3 = 1 100 = 1%
33．谁得优秀？
六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学，都要参加体育加试。加试 后，甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：
甲说：“如果我得优，那么乙也得优。”
乙说：“如果我得优，那么丙也得优。”
丙说：“如果我得优，那么丁也得优。”
以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名。问这四人 中谁得优秀？
分析与解 我们可以这样想：如果甲得优秀，那么乙、丙、丁都得优秀， 这与实际不符；如果乙得优秀，则丙、丁也得优秀，也与实际不符。因此， 只能丙、丁得优秀，才符合实际情况。
判断结果是：丙、丁得优秀。
34．排名次
学校举办排球比赛，进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、 六（2）班的代表队，到底谁得第一，谁得第二，谁得第三，谁得第四呢？ 甲、乙、丙三人做如下的猜测：
甲说：“五（1）班第一，五（2）班第二。”
乙说：“六（1）班第二，六（2）班第四。”
丙说：“六（2）班第三，五（1）班第二。”
比赛结束后，发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了 一半。你能根据上面情况排出 1～4名的名次吗？


分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。
[分析与解 这类题用列表法进行推理比较简捷。
上表第一行，是假设甲说的“五（1）班第一”是错的，“五（2）班第 二”是对的；由此推向乙、丙，因为“五（2）班第二”是对的，则乙说的“六]

"甲说":"乙说"
"×":"×"
"√":"√"

"甲说":"丙说"
"×":"√"
"√":"×"
上表第一行，是假设甲说的“五（1）班第一”是错的，“五（2）班第 二”是对的；由此推向乙、丙，因为“五（2）班第二”是对的，则乙说的“六
（1）班第二”就是错的，丙说的“五（1）班第二”也是错的，那么乙说的 “六（2）班第四”与丙说的“六（2）班第三都是对的，这显然矛盾。因此 可以断定，甲说的“五（2）班第二”是错的，而甲说“五（1）班第一”是 对的。进而我们用下表可推出正确结论来：


[（1）班第二”就是错的，丙说的“五（1）班第二”也是错的，那么乙说的 “六（2）班第四”与丙说的“六（2）班第三都是对的，这显然矛盾。因此 可以断定，甲说的“五（2）班第二”是错的，而甲说“五（1）班第一”是 对的。进而我们用下表可推出正确结论来：
推理过程是：甲说“五（1）班第一”是对的，丙说“五（1）班第二” 是错的；那么，丙说“六（2）班第三”是对的。由此又推出，乙说“六（2） 班第四”是错的，当然乙说“六（1）班第二”是对的。前三名已有了，第四 名只能是五（2）班了。]


"甲说":"乙说"
"√":"√"
"×":"×"
"甲说":"丙说"
"√":"√"
"×":"×"
推理过程是：甲说“五（1）班第一”是对的，丙说“五（1）班第二” 是错的；那么，丙说“六（2）班第三”是对的。由此又推出，乙说“六（2） 班第四”是错的，当然乙说“六（1）班第二”是对的。前三名已有了，第四 名只能是五（2）班了。
35． 要赛多少盘？
六年级举行中国象棋比赛，共有 12 人报名参加比赛。根据比赛规则，每 个人都要与其他人各赛一盘，那么这次象棋比赛一共要赛多少盘？
分析与解 一共要赛 66 盘。
要想得出正确答案，我们可以从简单的想起，看看有什么规律。
假如 2个人（A、B）参赛，那只赛1盘就可以了；假如 3个人（A、B、C） 参赛，那么 A—B、A—C、B—C要赛 3盘；假如 4个人参赛，要赛 6盘，⋯⋯ 于是我们可以发现：
2人参赛，要赛 1盘，即 1；
3人参赛，要赛 3盘，即 1+2；
4 个参赛，要赛 6盘，即 1+2+3；
5 人参赛，要赛 10 盘，即 1+2+3+4；
⋯⋯
那么，12 人参赛就要赛 1+2+3+⋯⋯+11=66 盘。
我们还可以这样想：


这 12 个人，每个人都要与另外 11 个人各赛 1盘，共 11×12=132（盘）， 但计算这总盘数时把每人的参赛盘数都重复算了一次，（如 A—B赛一盘，B —A又算了一盘）,所以实际一共要赛 132÷2=66（盘)。
36．获第三名的得几分？
A、B、C、D、E 五名学生参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且 只赛一盘。规定胜者得 2 分，负者得 0 分。现在知道比赛结果是：A和 B 并 列第一名，C是第三名，D和 E并列第四名。那么 C得几分？
分析与解 获第三名的学生 C得 4分。
因为每盘得分不是 2分就是 0分，所以每个人的得分一定是偶数，根据 比赛规则，五个学生一共要赛 10 盘，每盘胜者得 2分，共得了 20 分。每名 学生只赛 4盘，最多得 8分。
我们知道，并列第一名的两个学生不能都得 8分，因为他们两人之间比 赛的负者最多只能得 6 分，由此可知，并列第一的两个学生每人最多各得 6 分。
同样道理，并列第四的两个学生也不可能都得 0分，因此他们两人最少 各得 2分。
这样，我们可得出获第三名的学生 C不可能得 6分或 2分，只能得4分。
37．五个好朋友


A、B、C、D、E 五个学生是同班的好朋友，其中有四人做课代表工作， 这四科是语文、数学、地理、历史。另一个人是中队长。
请你根据下列条件，判断出这五位同学各做什么工作。
（1）语文课代表不是 C，也不是 D；
（2）历史课代表不是 D，也不是 A；
（3）C和 E住在同一楼里，中队长和他们是邻居；
（4）C问数学课代表问题时，B也在一旁听着；
（5）A、C、地理课代表、语文课代表常在一起讨论问题；
（6）D、E常到数学课代表家去玩，而中队长去的次数不多。
分析与解 A 是数学课代表，B是中队长，C是历史课代表，D是地理课 代表，E是语文课代表。
题中（1）、（2）是直接条件，而（3）～（6）就不像（1）、（2）那
样将条件直接写明。只要我们把（3）～（6）转换成直接条件，再把这些条 件填入下表，就会得到正确的判断。
条件（3）中，“C和 E住在同一楼里，中队长和他们是邻居”，这就是 说，中队长不是 C，也不是 E。条件（4）就是说，数学课代表不是 C也不是 B。条件（5）就是说，地理课代表、语文课代表不是 A，也不是 C。条件（6） 就是说，数学课代表、中队长不是 D或 E。


将以上（1）～（6）条件填入下表。
[将以上（1）～（6）条件填入下表。
由上表纵着看到数学课代表是 A，画上“√”； A就不可能是中队长了， 在相应位置上画上“×”；那么中队长一定是 B，画上“√”。既然 B 是中 队长，他就不是语文课代表了，在相应位置上画上“×”。再挨着看，C 是 历史课代表，D是地理课代表。最后得出 E是语文课代表。]


"":"C"
"语文课代 表":"×(1)(5)"
"数学课代 表":"×(4)"
"地理课代 表":"×(5)"
"历史课代 表":""
"中队长":"×(3)"
"":"D"
"语文课代 表":"×(1)"
"数学课代 表":"×(6)"
"地理课代 表":""
"历史课代 表":"×(2)"
"中队长":"×(6)"
"":"E"
"语文课代 表":""
"数学课代 表":"×(6)"
"地理课代 表":""
"历史课代 表":""
"中队长":"×(3)(6)"
由上表纵着看到数学课代表是 A，画上“√”； A就不可能是中队长了， 在相应位置上画上“×”；那么中队长一定是 B，画上“√”。既然 B 是中 队长，他就不是语文课代表了，在相应位置上画上“×”。再挨着看，C 是 历史课代表，D是地理课代表。最后得出 E是语文课代表。
38．过队日


六（1）中队共 43 名队员，他们到龙潭游乐园过中队日。中队长宣布， 大家只能参加“激流勇进”、“观览车”和“单轨火车”三种游乐活动。活 动结束时，中队长说：“根据今天参加游乐活动的情况我编了一道数学题： “全中队至少有多少人参加的活动完全相同？”
你能替六（1）中队的同学找到正确答案吗？
分析与解 全中队至少有 7人参加的活动相同。
这是一道根据实际活动编得很有趣的数学题。解答这道题首先要弄明白 同学们参加游乐活动共有几种可能情况。我们把各种情况分别列出如下： （1）只参加“激流勇进”；
（2）只参加“观览车”；
（3）只参加“单轨火车”；
（4）既参加“激流勇进”，又参加“观览车”；
（5）既参加“激流勇进”，又参加“单轨火车”；
（6）既参加“观览车”，又参加“单轨火车”；
（7）三种活动都参加。
由于可能的情况共有 7种，去游乐场的有43 名少先队员， 43÷7=6⋯⋯
1（人），即如果每种可能的情况有 6名队员参加的话，那么还余 1名队员， 不管这 1名队员参加活动属于哪种“情况”，则至少有7人参加的活动相同。
39.放硬币游戏
参加人：2人，也可以有裁判 1人。


用具：一张纸（方形、圆形都可以），1分硬币若干枚。
游戏规则：①2 人轮流把硬币放在纸上，每人每次只放一枚；②放在桌 上的硬币不能重叠；③最后在纸上无处可放者为负。
同学们，要想在这个小游戏中取胜，只需应用几何中一个很简单的原理。 你知道怎样放才能保证在游戏中稳操胜券吗?
分析与解 这个游戏对参加的两个人来说是不平等的，如果知道了游戏 的奥妙，那么先放硬币的一方会稳操胜券。
游戏的奥妙是利用平面几何中的中心对称原理。先放者，首先抢占“对 称中心”，即纸的中心。然后，不论对方把硬币放在什么位置，你每次都根 据中心对称原理，把硬币放到对方硬币的对称位置上。这样，只要对方有地 方放，你就必定有放的地方，直到你占满最后一处空白，逼得对方无处可放， 你就获胜了。
40．一本书的页数
我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如 15，就要用 2个铅字；158，就要用 3个铅字。现在知道有一本书在排版时， 光是排出所有的页数就用了 6869 个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封 面、封底、扉页不算在内）


分析与解 仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、⋯⋯。 一位数有 9个，使用 1×9=9 个铅字；
两位数有（99-9）个，使用 2×90=180 个铅字；
三位数有（999-90-9）个，使用 3×900=2700 个铅字；
依此类推。
我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从 1 到 999 共需用 9 ＋2×90+3×900=2889 个铅字，从 1到 9999 共需用 9＋2×90＋3×900＋4× 9000=38889 个铅字，而 2889＜6869＜38889，所以这本书的页数用到四位数。
排满三位数的页数共用了 2889 个铅字，排四位数使用的铅字应有 6869-2889=3980（个），那么四位数的页数共有 3980÷4=995（页）。因此 这本书共有 999+995=1994（页）。
41．重要的是能发现规律
学习数学，重要的不是会做几道题，而是通过学习，学会总结规律、使 用规律，最终培养出一种能独立发现和总结规律并应用规律去解决实际问题 的能力。
下面有一道题，就是检查你是否具备这方面能力的。不过，在正式做题 前，先复习一下有关的知识。


一个三位数，例如 256，可以表示成： 100×2+10×5+6。
一个任意三位数 （通常表示几位数时就在这几个字母上面画一条 abc 横线）也可以表示成:
100a＋10b+c
一个任意四位数 也可以表示成： abcd
1000a＋100b＋10c＋d
好了，现在请做下面的题。
有一个四位数，减掉它各位数字的和得到 19※2，你能准确地判断出※ 表示的数字是几吗？
解答这道题，当然可以用分析、推理等方法，但希望你能发现规律，并 利用规律来巧解这道题。
分析与解 ※表示 6。
在解答这道题的过程中，不知你是否发现这样一个规律：不管是一个两 位数、三位数或四位数⋯⋯，减去它的各个数位上数字之和所得的差，必定 是 9个的倍数。这个规律的证明，简述如下：
一个四位数 ，可以表示成： ＋ ＋ 。它 abcd 1000a 100b +1Oc d
与它的数字之和的差为 1000a+100b+10c+d-（a+b+c+d） =（1000a-a）+（100-b）+（10cc）+（d-d） =999a+99b+9c =9（111a+11b+c）


因为这个差是“9”与一个算式（其计算结果是整数）的乘积，所以这个 差必定能被 9整除。（其他位数的数的证明与此相同，从略）。
解答上面这道题，我们可以根据条件这样想：1+9+2=12，12 比 9 的 2 倍 少 6，比 9的 3倍少 15，因为※表示的是一个数字，所以※表示的只能是 6。
42．填数（二）
[右图中的大三角形被分成 9个小三角形。试将 1、2、3、4、5、6、7、8、 9 分别填入 9 个小三角形中，每个小三角形内只填一个数。要求靠近大三角 形每条边的 5 个小三角形内的数相加的和相等，并且使五个数的和尽可能 大，请问该怎样填？如果使五个数的和尽可能小，又该怎样填？
图 32]


分析与解 靠近大三角形三条边的5个数的和尽可能大的填法如图33中 的左图；使 5个数的和尽量小的填法如图 33 中的右图。
[把靠近大三角形三条边的 5个数都加起来，就会发现，除每边靠中间的 那 三 个 数 外 ， 其 余 的 数 都 重 复 相 加 了 两 次 。 要 想
图 33]6 7 2 5 4 4 8 3 7 3 2 8


使靠近大三角形每条边的 5个数的和相等，并且使和尽可能大，那么靠近各 边中间的这三个数就应该尽量小，当然应该填 1、2、3。这时每条边的 5 个 数之和为 ［2×（1+2+3+ ⋯⋯+9）-1-2-3]÷3=28
同理，要使靠近大三角形三条边的 5个数的和相等，并且使和尽可能小， 则靠近各边中间的这三个数就应该尽量大，即这三个数应是 7、8、9。这时 每条边的 5个数之和为 ［2×（1+2+3+ ⋯⋯+ 9）-7-8-9]÷3=22
43．换个角度想
在所有的三位数中，有很多数能同时被 2、5、3整除，那么不能同时被 2、5、3整除的三位数的和是多少？
要解答这个问题，最好换个角度想。
分析与解 解答这道题时，要是把不能同时被 2、5、3 整除的三位数都 挑出来，再进行计算，那就太费时间了。
因为在三位数中，能同时被 2、5、3整除的数的个数是不多的，这样我 们只要从所有的三位数的总和中减去能同时被 2、5、3整除的数的和，得到 的就是不能同时被 2、5、3整除的数的总和。
能同时被 2、5、3整除的三位数是：120、150、180、210、⋯⋯、960、 990。


以上是一个公差为 的等差数列，共有
项），这些 数的总和是 × 。
30 +1 = 30( = 16650
990 120 30 120 990 30 2 − + ( )
所有的三位数共有
（个），它们的总和是 。
999 -100 +1 = 900 = 494550
( ) 100 999 2 +
因此，不能同时被 2、5、3整除的三位数的总和是 494550-16650=477900。
44．从后往前想
明明和华华各有铅笔若干支，两个人的铅笔合起来共 72 支。现在华华从 自己所有的铅笔中，取出明明所有的支数送给明明，然后明明又从自己现在 所有的铅笔中，取出华华现有的支数送给华华，接着华华又从自己现在所有 的铅笔中，取出明明现在所有的支数送给明明。这时，明明手中的铅笔支数 正好是华华手中铅笔支数的 8倍，那么明明和华华最初各有铅笔多少支？ 分析与解 有些数学题，如果顺着思考不易找到答案，往往从后往前想 比较方便，即从已知条件倒推回去，找出答案来。


根据这道题的已知条件可知，无论明明取多少支铅笔给华华，还是华华 取多少支铅笔给明明，两人所有的铅笔总支数（72 支）是不变的；又知道最 后明明手中铅笔的支数是华华手中铅笔支数的 8倍。这样我们可以求出最后 两人手中铅笔的支数。
华华最后手中铅笔的支数是：
72÷（8＋1）=8（支）
明明最后手中铅笔的支数是：
8×8=64（支）
接着倒推回去，就可以求出两人最初各有铅笔多少支了。
答案是：明明最初有铅笔 26 支，华华最初有铅笔 46 支。
45．缺少条件吗？
红光小学六年级共有学生 210 多人。期末考试成绩得优的占全年级人数 的 ，得良的占全年级人数的 ，得中的占全年级人数的 ，其余的不及 1 2 2 9 7 27
格。问不及格的有几人？
分析与解 题中没有给出六年级学生到底有多少人，缺少这一条件，还 能解答这道题吗？
我们知道，由于各档次成绩的人数一定是整数，所以全年级的人数一定
是 、 、 这几个分数分母的公倍数。 、 、 的公倍数有 、 、 1 2 2 9 7 27 2 9 27 54 108


162、216、270、⋯⋯，题中告诉我们六年级共有学生 210 多人，在上面这些 公倍数中，靠近 210 的是 216，显然全年级共有 216 人。于是不及格的人数 是：
216 11 2 2 9 7 27 = 4 ×（ ） （人）
46．丢番图的墓志铭
古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元前 246 年到公元 330 年之间， 距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。
丢番图著有《算术》一书，共十三卷。这些书收集了许多有趣的问题， 每道题都有出人意料的巧妙解法，这些解法开动人的脑筋，启迪人的智慧， 以致后人把这类题目叫做丢番图问题。
但是，对于丢番图的生平知道得非常少。他唯一的简历是从《希腊诗文 集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用 诗歌形式写成的：
“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。


请你算一算，丢番图活到多大，
才和死神见面？”
请你算一算，丢番图到底活到多少岁？
分析与解
丢番图的墓志铭中出现的分数 、 、 、 都是以丢番图的年龄 1 6 1 12 1 7 1 2
作为单位“1”的，因此，他的年龄一定是这几个分数分母的公倍数。6、12、 7、2 的公倍数有 84、168、252、⋯⋯。丢番图不可能活到 168 岁或更大的年 龄，因此得出丢番图活到 84 岁。
47．丢番图的趣题
下面是丢番图出的一道题：
今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为 22、24、27 和 20。求这 四个数各是多少？
分析与解 如果设其中某个数为 x，则其他三个数很难用 x的式子表示出 来。丢番图的作法十分巧妙，他设四个数之和为 x，则这四个数分别为 x-22， x-24，x-27，x-20。列方程 （x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20）=x
解得 x=31 31-22=9，31-24=7， 31-27=4，31-20=11， 即这四个数分别为 9、7、4、11。
48．真是没想到！
出题前，先讲个小故事。


传说在很久以前，印度有个叫塞萨的人，为了能使国王忘掉战争，精心 设计了一种游戏（国际象棋）献给国王。国王对这种游戏非常满意，决定赏 赐塞萨。国王问塞萨需要什么，塞萨指着象棋盘上的小格子说：“就按照棋 盘上的格子数，在第一个小格内赏我 1粒麦子，在第二个小格内赏我 2粒麦 子，第三个小格内赏 4粒，照此下去，每一个小格内的麦子都比前一个小格 内的麦子加一倍。陛下，把这样摆满棋盘所有 64 格的麦粒，都赏给我吧。” 国王听后不加思索就满口答应了塞萨的要求。但是经过大臣们计算发现，就 是把全国一年收获的小麦都给塞萨，也远远不够。国王这才明白，塞萨要的， 是国王放弃战争，发展生产，改善人民生活。
我们来计算一下，塞萨要的小麦到底是多少？原来聪明的塞萨巧妙地利 用了数学中的乘方。棋盘上共有 64 格，按塞萨的要求，应付给他 2641=18446744073709551615 粒小麦，约合 5千多亿吨。这个数字大得惊人，古 代印度那个国王，怎么能付得出来？
下面有一道类似的题：
“把一张厚度仅有 0.05 毫米的纸，对折 30 次后，它的厚度是多少？” 请你算算，看你想到了没有？


分析与解 把一张厚度为 0．05 毫米的纸对折 30 次，厚度为 0．05×230 ≈53．69 千米。
49．黑蛇钻洞（印度古题一）
古代印度的许多算术题是很有趣的，比如：
一条长 80 安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的 黑蛇，以 天爬 安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每 天长 安古拉 5 14 1 4 11 4 7 1 2
。请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？
分析与解 黑蛇不断往洞里爬，蛇尾也不停地向后长，要求出黑蛇全部 爬进洞的时间，可先分别求出黑蛇向洞里爬行的速度和蛇尾生长的速度：
黑蛇爬行的速度 ÷
蛇尾生长的速度 ÷
7 1 2 = 21
= 11
5 14 11 4 1 4
二者的速度差=21-11=10
全部进洞的时间=80÷10=8（天）
50．芒果总数（印度古题二）
有一堆芒果，国王取 ，王后取余下的 ，三个王子分别取逐次余下 的 、 和 ，最年幼的小孩取剩下的三个芒果。请你求出芒果的总
1 6 1 5 1 4 1 3 1 2
数是多少个。
分析与解
设芒果总数为 ，那么国王取 ；王后取余下的 ，即 ×
；三个王子分别取逐次余下的 、 和 ，即（ ）× ，（
）× ， × 。


1 (11 6 ) =
12 6 = 1 6 1-
3 6 = 1 6 (14 6 ) = 1 6
1 6 1 5 1 5 1 6 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2
国王、王后和三个王子都取得了总数的 ，合在一起为 。这样小孩
得到的也是总数的 。因此，芒果总数为
1 6 5 6 1 6
÷ （个） 1 6 3 = 18
51．托尔斯泰的算题（一）
托尔斯泰是 19 世纪末俄国的伟大作家。他对算术也很有兴趣，还写过算 术课本。他特别喜欢表面复杂，但却有简便方法解答的算题。
下面就是托尔斯泰非常喜欢的“割草人”算题：
“一队割草人要收割两块草地，其中一块比另一块大 1倍。全队在大块
草地上收割半天之后，分为两半，一半人继续留在大块草地上，到傍晚时把 草割完；另一半人到小块草地上割草，到傍晚还剩下一小块没割。剩下的一 小块要第二天 1个人用 1整天才能割完。
问割草队共有几人？”
分析与解 托尔斯泰本人是怎样解算这道题的呢？他认为，既然大块草 地上割草队全体割了半天，接着全队的一半人又割了


[半天。很明显，这一半人在半天内收割了大块草地的 。另一方面，小块 草地相当于大块草地的 。以大块草地为 ，那么在小块草地上，半队人 割了半天后剩下的草地为 。而这剩下的 ，一个人一天割完了
图 34]


，这说明一个人割草的效率为一天割大草地的 。
1 3 1 2 1 2 1 6 1 6
1
1 3 = 1 6
大、小草地合起来是 ＋ ，割草队割了一天总共割了 × ，说明割草队共有 人。
1 = 3 2 1 6 = 8 6 = 1 6 8 8 1 2
3 2
托尔斯泰的解算十分巧妙，说明他算术功底很深。托尔斯泰还很注重算 术题的直观解法。如下图，左边代表大块草地，右边代表小块草地，小块草
地是大块草地的一半。一个人一天割了 ，因此，每个正方形都代表两个 1 6
人一天所割的草。第一天一共割了四个正方形，说明割草队共有 8个人。
52．托尔斯泰的算题（二）
托尔斯泰喜欢的另一道算题是：
木桶上方有两个水管。若单独打开其中一个，则 24 分钟可以注满水桶； 若单独打开另一个，则 15 分钟可以注满。木桶底上还有一个小孔，水可以从 孔中往外流，一满桶水用 2小时流完。如果同时打开两个水管，水从小孔中 也同时流出，那么经过多少时间水桶才能注满？
分析与解 当两个水管打开时，从一个水管 1分钟注入的水占木桶容积
的 ，从另一个水管 分钟注入的水占木桶容积的 ；而 分钟从小孔流 出的水为木桶容积的 。因此，


1 24 1 15 1 120
1 24 1 15 1 120 1 10 + − =
1 1
即 分钟木桶中积有的水为木桶容积的 。
÷ （分） 1 = 10 1 10
1 1 10
所以，经过 10 分钟水桶才能注满。
53．爱因斯坦编的问题
很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理 能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：在你面前有一条长长的 阶梯。如果你每步跨 2阶，那么最后剩下 1阶；如果你每步跨 3阶，那么最 后剩 2阶；如果你每步跨 5阶，那么最后剩 4阶；如果你每步跨 6阶，那么 最后剩 5阶；只有当你每步跨 7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
分析与解 分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比 2、3、5、 6的公倍数（即 30 的倍数）小 1，并且是7的倍数。因此只需从 29、59、89、 119、⋯⋯中找 7的倍数就可以了。很快可以得到答案为 119 阶。
54. 苏步青教授解过的题
我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家， 在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：


甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 50 千米。甲每小时走 3 米，乙每小时走 2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑 5千米，这只狗同甲一 起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到 乙时再往甲这边跑⋯⋯，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少 路？
苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学 家。
请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解 题的“窍门”。
分析与解 这个问题看起来很复杂，其实却是出人意料的简便。因为每 小时甲走 3千米，乙走 2千米，所以甲乙二人相遇共走了 10 小时，这表明狗 也跑了 10 小时，因此狗一共跑了 50 千米。
55．农妇卖鸡蛋
从前，有一个农妇提了一篮鸡蛋去卖。甲买了全部鸡蛋的一半多半个；
乙买了剩下鸡蛋的一半多半个；丙又买了剩下的一半多半个；丁买了最后剩 下的鸡蛋的一半多半个。这样，鸡蛋刚好卖完。
你知道农妇的一篮鸡蛋共有几个吗？
分析与解 由于丁买了最后剩下的一半多“半个”，鸡蛋刚好卖完，这 说明最后剩下鸡蛋的另一半就是那“半个”鸡蛋。可见， 丙买了后，篮子里只剩 1个鸡蛋


乙买后剩下：（ ）× （个）
甲买后剩下：（ ）× （个）
农妇的一篮鸡蛋总数为（ ）× （个）
1+ 1 2 2 = 3
3 + 1 2 2 = 7
7 + 1 2 2 = 15
56．各有多少钱？
兄弟俩到商店去买东西。妈妈问哥哥：“你带多少钱？”哥哥说：“我 和弟弟一共带 240 元，如果弟弟给我 5元，那么我的钱数就比弟弟的钱数多 一倍了。”妈妈又问弟弟：“你带了多少钱呢？”弟弟回答说：“如果哥哥 给我 35 元钱，那么我的钱数就和哥哥的一样多了。”妈妈听了以后，还弄不 清哥哥和弟弟到底各带多少钱。你能弄明白吗？
分析与解 哥哥给弟弟 35 元后各有钱：240÷2=120（元）
哥哥带的钱数：120+35=155（元）
弟弟带的钱数：120-35=85（元）
57．河边洗碗
有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多 碗？”她回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？” 妇女笑着答道：“2 个人给一碗饭，3 个人给一碗鸡蛋羹，4 个人给一碗肉， 一共要用 65 只碗，你算算我们家来了多少客人。”


分析与解 题目给出了碗的总数，以及客人和碗的关系。如果能求出每 人占用多少只碗，那么就可以求出客人的数目了。 2 3 4
+ 1 3 + 1 4
个人给一碗饭，每人占 只碗；
个人给一碗鸡蛋羹，每人占 只碗； 个人给一碗肉，每人占 只碗；
合起来，每人占（ ）只碗；
1 2 1 3 1 4 1 2
因此，客人数为 65 + 1 3 + 1 4 = 60( ) ÷（ ） 人） 1 2
58．是谁错了？
小明看见哥哥的练习本上抄着一道加法题，越看越奇怪，题目是这样写 的：
小明认为这道题错了，到底是谁错了呢？
分析与解 这道加法题并没有错，原因是我们已经习惯于十进位制，也 就是逢十进一。这里却是八进位制，也就是逢八进一。


[从右数第一位，5+5 等于十（不是 10），由于满八就进一位，只剩下 2， 所以第一位是 2；第二位数字 0＋7=7，加上刚才进位的 1，又满八，于是进 到第三位，而第二位的得数写 0；第三位等于 2+7+1，满八进一，所以向第四 位进一，第三位得 2；第四位等于 3＋4+1，又向第五位进一，第四位得 0。 所以最后结果是 10202。
59．各放多少发子弹？]10202 +4885 3205


小张是某部队武器库保管员，他将 1千发子弹分放在 10 个盒子里，一旦 需要，只需告诉他 1000 以内所需子弹数，他都可以拿出若干个盒子，凑出所 需的子弹数，而不必打开盒子去数子弹。请问小张在10 个盒子里各放了多少 发子弹？
分析与解 十进制数中的 1、2、4、8、16、32、64、128、256 分别是二 进制数 1、10、100、1000、10000、100000、1000000、10000000、100000000， 这九个二进制数码可以组成 1到（111111111）2的任何一个二进制数。于是
用 1、2、4、8、16、32、64、128、256 这九个十进制数中的数相加，可以得 到 1到 511 中的任何一个十进制的数。所以保管员在九个盒子中分别装入 1、 2、4、8、⋯⋯、256 发子弹共 511 发，剩下的 489 发装在第十个盒子里。如 果需要的子弹数小于或等于 511 发，那么就可以由前九个盒子中挑选出若干 盒子来满足。如果需要的子弹数大于 511 发，那么可先取第十盒中的 489 发 子弹，其余的由前九盒中的若干盒来满足。
60．逢四进一


通常我们用的数的进位制是十进制，即逢十进一。它有十个数字：0、1、 2、⋯⋯、9。下面的算式用的不是十进制，而是四进制——即逢四进一。它 有四个数字：0、1、2、3。在这个算式中，字母 A、B、C、D分别代表 0、1、 2、3中的某一个数字。
请问按此算式，字母 A、B、C、D各代表什么数字？ 分析与解 在四进制中，加法运算是这样进行的： 0+0=0 0+1=1 0+2=2 0+3=3
1+1=2 1＋2=3 1+3=10
2+2=10 2+3=11
3+3=12
现在我们可以根据上述运算结果来确定算式中的数字。
由于和的首位 B 是由进位而得的，而 A＋C 最大只能是 11，因此不管下 一位 B＋B是否进位，A＋C只能进位 1，从而得 B=1；将 B=1 填入后，立即可 得 D=0。现在 A和 C只能在 2和 3中取，但不论 2＋3还是 3＋2都会进位 1， 所以 C=B＋B＋1=1＋1＋1=3，于是 A=2。
原算式为
61．交叉公路


有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1350 米处往北直行；乙从十字 路口处向东直行。二人同时出发，10 分钟后，二人离十字路口的距离相等； 二人仍保持原速继续直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相 等。求甲、乙二人的速度。
分析与解 甲从十字路口南 1350 米处往北直行，乙从十字路口处向东直 行，同时出发，10 分钟后二人离十字路口距离相等，说明甲、乙二人 10 分 钟共行了 1350 米，于是可以求出二人每分钟的速度和。又知道，二人继续行 走 80 分钟，即从出发各行 90 分钟，二人离十字路口距离又相等，说明甲、 乙二人 90 分钟行走的路程之差是 1350 米。于是又可以求出二人每分钟的速 度差，进而求出甲、乙各自的速度。
1350÷10=135（米）
1350÷（10+80）=15（米）
甲的速度是：（135+15）÷2=75（米）
乙的速度是：（135-15）÷2=60（米）
即甲的速度是每分钟 75 米，乙的速度是每分钟 60 米。
62．何时追上乙？


甲、乙二人步行速度比是 13∶11。如果甲、乙二人分别从 A、B 两地同 时出发，相向而行，0．5 小时相遇，那么甲、乙二人分别从 A、B 两地同向 而行，几小时后甲追上乙？
分析与解 我们先假设 A、B两地间的路程为 1，那么甲、乙二人每小时
2 2 -1 1 12 11 12 1 (1 1 12 11 12 ) = 1 = 6 × ＝ ÷ ÷ （小时） 13 13 11 11 12 1 6 +
的速度之和是：1÷0.5=2
即 6小时后甲追上乙。
63．流水行船
一只小船，第一次顺水航行 20 千米，又逆水航行 3千米，共用了 4小时； 第二次顺水航行了 17．6 千米，又逆水航行了 3．6千米，也用了 4小时。求 船在静水中的速度和水流速度。
分析与解 比较两次航行的航程可知：在相同的时间内，顺水可航行 20-17．6=2．4 千米，逆水可航行 3．6-3=0．6 千米。于是求出在相同时间 内顺水航程是逆水航程的 2．4÷0．6=4 倍。那么顺水行的航速也就是逆水行 的航速的 4倍，进而求出顺水与逆水的航速。
顺水航速为每小时：（20+3×4）÷4=8（千米）


逆水航速为每小时：（20÷4＋3）÷4=2（千米）
船在静水中的速度为每小时
（8+2)÷2=5（千米）
水流速度为每小时
（8-2）÷2=3（千米）
即船在静水中的速度为每小时 5千米，水流速度为每小时 3千米。
64．粗心的钟表匠
小王师傅是钟表店的新职工，由于工作不安心，时常出问题。有一次， 他给学校修理一只大钟，竟然把长短针装配错了。这样一来，短针走的速度 变成了长针的 12 倍。装配的时候是下午 6点，他把短针指在“6”上，长针 指在“12”上。小王装好后，就回家了。
学校值班老师看到这大钟一会儿 7点，一会儿 8点，十分奇怪，立刻派 人去找小王师傅。小王师傅在第二天上午 7点多钟才来到，他掏出标准表一 看，表和大钟的时间一样，说学校故意找他的麻烦，气乎乎地回家了。小王 走后，老师发觉大钟还是不对头，又通知小王来。下午 8点多，小王又来到 学校，与标准表一对，仍旧准确无误。
请你想一想，小王第一次来校对表的时刻是上午 7点几分？第二次对表 的时刻又是下午 8点几分？


分析与解 这个问题的关键是只有两针成为一条直线时，大钟所指的时 间才是准确的。在 6点，两针成一直线，这是小王装配指针的时间。以后每
增加 小时 分，两针再成一直线。我们知道，两指针走动的相对关系
1 5 5 11 ，每隔12 小时一循环，所以在第二天上午 6点和下午 6点，短针和长针也是 分别指在“6”上和“12”上，因此，在第二天上午 7点以后，两针成一直
线的时间是 点 分；而在下午 点后，两针成一直线的时间是 点 分 。这也就是小王两次来校对表的时刻。
7 5 5 11 8
8 10 10 11
65.分针、时针追跑
你注意过钟面上的时、分、秒 3根针的运动特点吗？这 3根针，每时每 刻都处在你追我赶之中。秒针追分针、分针追时针⋯⋯，永不停息。请问从 早晨 8点开始，当分针第一次与时针重合时，是几点几分？
分析与解 这道题是典型的钟面问题。解答这类题有以下几个关键问题：
（ ）分针的速度：每分钟走 钟面周长（ 格）；
（ ）时针的速度：每分钟走 钟面周长（ 格）；
1 60 1 60 12 1 12 ×
（3）分针与时针由不重合到重合，表示分针追及时针，它们之间的速


度差为 或 （格）； 1 60 1 720 1 1 12 11 12 − − =
（4）计算开始时的距离即两针相差多少格，本题的距离为 40 格（按分 针顺时针方向到时针的距离）。
弄清以上问题，根据追及问题的数量关系：
追及时间 距离
速度差 分 = = = 40 11 12 43 7 11 ( )
所以，从早晨 点开始，分针与时针第一次重合的时刻是 点 分。 8 8 43 7 11
66．弄通情境
骑车人以每分钟 300 米的速度，从 102 路电车始发站出发，沿 102 路电 车线前进。骑车人离开出发地 2100 米时，一辆102 路电车开出了始发站。这 辆电车每分钟行 500 米，行 5分钟到达一站并停 1分钟，那么要用多少分钟， 电车追上骑车人？
分析与解 电车行驶 5分钟到达一站，停车 1分钟，电车可行驶
500×5=2500（米）而骑车人可行
300×（5＋1）=1800（米）


根据题意，电车要追赶骑车人 2100 米，这时可不能误认为追赶 2100÷ （2500-1800）=3 个（5＋1）分钟即 18 分钟追上骑车人。因为求得的 18 分 钟，恰是电车停车的那 1分钟时间里，所以是不可能追上的。
电车开离第二个站时，已追赶了骑车人
[500×5-300×（5＋1）]×2=1400（米）
这时电车离骑车人还有：
2100-1400=700（米）
那么再行
700÷（500-300）=3．5（分钟）
即可追上骑车人。
这样电车前后共用了
（5＋1）×2＋3．5=15．5（分钟）
即要用 15．5 分钟电车追上骑车人。
说明：这是一道复杂的追及问题，题中要求追及时间，同学们计算时往
往认为是 18 分钟追上。这种思考方法错了，忽视了最后追及的“6分钟”路 程实际电车只行了 5分钟，最后一分钟是停下来的；如果不停这一分钟，电 车又可向前走 500 米，即电车超前骑车人 500 米，超前这 500 米要用 500÷
（500-300）=2．5（分钟）。这样从 18 分钟内减去 2．5分钟，也能得出正 确答案是 15．5 分钟。
67．预定时间


某 人 从 甲 地 到 乙 地 按 预 定 的 时 间 和 速 度 行 了 甲 、 乙 两 地 路程的 ，在余下的路程上，他行走的速度增加 ，行走的时间每天减少 ，结果他从甲地到乙地共行了 天。那么原定从甲地到乙地要行多少天
2 3 1 9 1 4 16 ？
分析与解
某人行走余下的路程，速度增加 ，行走时间减少 ，那么他 天行 走的路程相当于原定 天行走路程的（ ＋ ）×（ ） ，于是进一 步求出他行走余下路程（ ）相当于原定行走全程的（ ）÷ 。
已知他行走全程用了 天，恰好相当于行走原定路程的 与 之和，于是
1 9 1 4 1 9 5 6 2 3 2 5
1
1 1 11 4 = 5 6
12 3 12 3 = 2 5
16
求出他原定从甲地到乙地所用的时间。
（ ＋ ）×（ ） （ ）÷ ÷（ ＋ ） （天） 1 11 4 = 5 6 12 3 = 2 5 16 = 15 1 9 5 6 2 3 2 5
即原定从甲地到乙地要行 15 天。
68．文艺书与科技书
六（1）班的图书箱里共有文艺书和科技书 91 本，文艺书本数的 2 5％与科技书本数的 正好相等。两种书各有多少本？ 2 5


分析与解 解答这道题的关键是确定比较的标准。根据文艺书本数的 25
％与科技书的 正好相等这个条件，可得如下关系式： 2 5
文艺书本数× ％ 科技书本数× ， 25 = 2 5 再利用比例的基本性质把上式转化为：
文艺书本数∶科技书本数 ∶ ％ ∶ = 2 5 25 = 8 5
再利用比例分配的方法，分别求出每种书各有多少本。 2 5 ∶ ％ ∶
25 = 8 5
文艺书： × （本） 科技书： × （本）
91 = 56 91 = 35
8 8 5 5 8 5
+ +
即文艺书有 56 本，科技书有 35 本。
69．几天完工？
一项工程，甲、乙两队合做需要 8天完成，甲队单独做了 4天，乙队又 单独做了 天，还有全工程的 没有完成，那么每队单独完成这项工程各 2 2 3
需要几天？
分析与解
题中告诉我们：还有全工程的 没有完成，也就是已经完成了全工程的 ；又知这 是先由甲队独做了 天，又由乙队独做了 天完成的。换一 种说法，即两队合做了 天，甲又单独做了 天，完成了全工程的 。甲、乙
2 3 1 3 1 3
1
2 3 = 1 3 4 2
2 2


两队合做 天，完成全工程的 × ，甲队每天完成全工程的 ÷ ，乙队每天完成全工程的 。由此可以分别求出甲、 乙两队单独完成这项工程所需天数。
2 1 8 2 1 4 1 3 1 4 4 2 1 24 1 8 1 24 1 12
= − − = − =
( ) ( )
1 [ 1 8 2 4 2 ] = 1 [ 1 4 2] = 1 = 24 1 ÷ （ × ）÷（ ） ÷ （ ）÷ ÷ （天） 1 3 1 3 1 24 1
1 24 = 12 ÷（ ） （天） 8
即甲队单独完成这项工程需要 24 天，乙队单独完成这项工程需要 12 天。
70．干活的人数
一项工程，8个人干需 15 天完成。今先由 18 人干了 3天，余下的又由
另一部分人干了 天，共完成了这项工程的 ，问后 天有多少人参加？ 3 3 3 4
分析与解 解答这题的关键是求后 3 天的工作量以及每人每天的工作 量。
根据 人干 天完成，可以求出每人每天干全工程的 ，那么 人 天共干全工程的 ，后 天每天干这项工程的
÷ ÷ × × （ ）÷
8 15 1 = 8
3 1 120 3 18 = 9 20 3 9 20 3


1 15 8= 1 120 3 4 1 10 1 10 1 120 ，所以后 天参加的人数是： ÷ （人） 3
[ 1 15 8 3 18] 3 1 15 8
= [ 3 4 9 20 ]
= 3 10 = 12 3 4 3 1 120 3 1 120
（ ÷ ÷ ）× × ÷ ÷（ ÷ ÷ ） ÷ ÷ ÷ ÷
（人）
即后 3天共有 12 人参加。
71．甲先做了几天？
一件工程，甲独做 12 天可以完成，乙独做 4天可以完成。现在甲先独做 了几天，因事离去，乙接着做余下的工程，直至完工。完成这件工程前后共 用了 6天，那么甲先独做了几天？
分析与解 要求甲先独做了几天，我们可以假设完成这件工程前后所用 的 天都由乙独做，那么乙就可以完成这件工程的 × ，超过全工程 的部分是因为乙代替甲去做的结果。乙每代替甲做 天即可多完成全工程的 ，于是可以求出甲独做的天数。
6 = 3 2 1
1 4 1 4 1 12 1 6 − =
( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 6 1 1 4 1 12 3 2 1 1 6 1 2 1 6 3 × ÷ ÷ ÷ 天 − − = − = =
即甲先独做了 3天。


说明：题中给出“完成这件工程前后共用了 6天”，既不表示甲独做了 6天，也不表示乙独做了 6 天，而这 6 天中既包括甲独做的天数，也包括乙 独做的天数，因此，解答时应该用“假设法”去求解，正像分析中所说的那 样，“假设完成全工程所用的 6天都由乙独做”，然后求出甲独做的天数。 当然也可以“假设完成全工程所用的 6天都由甲独做”，然后求出乙独做的
天数，再从 6天中减去乙独做的天数，就得出了甲独做的天数。
72．空池注水
一个水池有两个进水管甲、乙，一个排水管丙。如果单开甲、丙两管， 那么 10 小时可把空池注满；如果单开乙、丙两管，那么 15 小时可把空池注 满；如果单开丙管，那么 30 小时可把满池水放光。现在同时打开甲、乙、丙 三管，几小时可把空池注满？
分析与解 根据已知单开甲、丙两管 10 小时可把空池注满，就是说甲管 1 1 15
小时注水量与丙管 小时的排水量之差是 ；单开乙、丙两管 小时可把 空池注满，就是说乙管 小时的注水量与丙管 小时的排水量之差是 。因 此，甲、乙、丙三管同时打开 小时，注水量是 。
1 15 1 15 1 10 1 15 1 30 ( ) + +


1 + 1 15 + 1 30 ) ÷( 1 10 = 1÷ 1 5 =5（小时）
即同时打开甲、乙、丙三管，5小时可把空池注满。
说明：这是一道“工程问题”，工作总量除以工效之和等于完成的时间。
根据已知 ＋ 是甲、乙工效之和再减去 个丙的工效，因此甲、乙、丙 工效之和应该是 。
1 10 1 15 1 10 1 15 1 30
2 + =
73．往返行驶
一辆汽车在甲、乙两站之间行驶，往返一次共用去 4小时（停车时间不 计）。已知汽车去时每小时行驶 45 千米，返回时每小时行驶 30 千米，问甲、 乙两站相距多少千米？
分析与解 由于往返的路程是一样的，所以在路程一定的条件下，汽车 往返的速度比与汽车往返的时间成反比。汽车的速度比是 45∶30，汽车往返 时间比是 30∶45，即 2∶3。已知往返一次共用 4小时，那么这辆汽车
去时所用的时间是 × （小时）。由此可求出甲、乙两站的距离 。
4 = 1 3 5 2 2 3+
4 = 1 3 5 45 1 3 5 = 72 × （小时） × （千米） 2 2 3+
即甲、乙两站相距 72 千米。
74．分树苗


学校把 414 棵树苗按各班人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗 的棵数比是 2∶3，二班和三班分得树苗的棵数比是 5∶7，求每个班各分得树 苗多少棵？
分析与解 已知一班和二班分得树苗的棵数比是 2∶3，二班和三班分得 树苗的棵数比是 5∶7，那么三个班分得树苗棵数的连比是 10∶15∶21。进而 求出三个班各分得树苗的棵数。
一班分得树苗： ×
（棵） 二班分得树苗： ×
（棵） 三班分得树苗： ×
（棵）
414 = 90 414 = 135 414 = 189
10 10 15 21 15 10 15 21 21 10 15 21
+ + + + + +
即一班分得树苗 90 棵，二班分得树苗 135 棵，三班分得树苗 189 棵。
75．生产巧安排
甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂，并且都生产同规格的成衣，而且甲、 乙两厂的人员和设备都能全力进行上衣和裤子的生产。但是两厂的特长不 同， 甲厂每月用 的时间生产上衣，用 的时间生产裤子，这样每月可生产 套成衣；乙厂每月用 的时间生产上衣，用 的时间生产裤子，这样每月
3 5 2 5 4 7 3 7
90
0


可以生产 1200 套成衣。现在两厂联合，尽量各自发挥特长，那么怎样进行合 理安排，在原有的条件下增加产量？每月能增产成衣多少套？
分析与解 要合理安排生产，关键在于根据各厂每月生产上衣和裤子所 需时间的比例关系来确定各厂的具体分工。
甲厂用于生产上衣和裤子的时间之比为 ∶ ，即 ∶ ；乙厂用 于生产上衣和裤子的时间之比为 ∶ ，即 ∶ 。
3 5 2 5 21 35 14 35 4 7 3 7 20 35 15 35
比较两厂生产上衣、裤子所用的时间多少，不难看出，甲厂比乙厂善于
生产裤子，而乙厂生产上衣的能力更强些。
现在让乙厂全力生产上衣。由于乙厂用 个月的时间可生产上衣
件，那么它一个月可生产上衣 ÷ （件）。这些上衣由甲厂
4 7 4 7
1200 1200 = 2100
生产裤子来使它们配套。
甲厂生产 条裤子要用 个月的时间，那么生产 条裤子要用 900 2 5 2100
÷（ ÷ ） （月） 2100 900 = 14 15 2 5
也就是说，甲厂用 个月的时间生产的 条裤子与乙厂生产的 件上 14 15 2100 2100


衣配套，这个数目正好是甲、乙两厂从前每月生产 900 套成衣与生产 1200 套成衣之和。因此，甲厂利用剩余的 个月的时间生产的成衣数就是两厂 1 15
联合后增产的成衣数。
甲厂每月生产 套成衣， 个月可生产：
× （套） 900 = 60 1 15
900 1 15
因此，乙厂全力生产上衣，并由甲厂生产裤子与之配套，甲厂再利用剩 余时间生产成衣，即在原有的条件下增加的产量，这样每月能增产成衣 60 套。
76．谁先掉进陷阱？
狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛。狐狸每次跳 4．5米，黄鼠狼每次跳 2.75 米。它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔 米设有一 12 3 8
个陷阱。它们同时起跳，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？ 分析与解
当狐狸掉进陷阱时，它跳过的路程最短应是 ． 米和 米的最小公 倍数： 米。
4 5 12 3 8 99 2
当黄鼠狼掉进陷阱时，它跳过的路程最短应是 米和 米的最小
公倍数： 米。
2.75 12 3 8 99 4
因为 ＜ ，所以黄鼠狼先掉进陷阱。这时黄鼠狼共跳了
÷ ． （次），
99 4 99 2 99 4 2 75 = 9


这时狐狸也跳了 9次，进而可以求出狐狸跳的路程。
99 4 ÷ （次）
2.75 = 9
4．5×9=40．5（米）即黄鼠狼先掉入陷阱，这时狐狸跳了 40．5 米。
77．何时再相逢？
甲、乙、丙三辆公共汽车分别往返于 A、B，A、C，A、D 之间。A、B 间 的路程是 4千米，A、C间的路程是 6千米，A、D间的路程是 8千米。甲车每 小时行 40 千米，乙车每小时行 50 千米，丙车每小时行 60 千米。现在三辆车 同时从 A站出发往返而行，（途中停车时间不计）那么经过多少小时后三辆 车又在 A站相遇？
分析与解 甲车在 A、B之间往返一次要用 4 2 40 = 1 5 × ÷ （小时） 乙车在 A、C间往返一次要用 6 2 50 = 6 25 × ÷ （小时）
丙车在 、 间往返一次要用 × ÷ （小时） 、 和 这三个分数的分母的最小公倍数为 ，于是得出
。 、 和 的分子的最小公倍数是 。 因此， ÷ （小时），即 小时后三辆车又在 站相遇。
A D 8 2 60 = 4 15 75
180
180 75 = 2 2 5 2 2 5 A


1 5 6 25 4 15 1 5 15 75 6 25 18 75 4 15 20 75 15 75 18 75 20 75
= = =
, , 4 2 40 = 1 5 × ÷ （小时）
6 2 50 = 6 25 8 2 60 = 4 15
× ÷ （小时）
× ÷ （小时）
[5，25，15]=75
[15，18，4] =180
180 75 = 2 2 5 2 2 5 A
÷ （小时）
即 小时后三辆车又在 站相遇。
78．奇特的长跑训练
小明在 400 米长的环形跑道上练习长跑。上午 8点 20 分开始，小明按逆 时针方向出发，1 分钟后，小明掉头按顺时针方向跑，又过了 2 分钟，小明 又掉头按逆时针方向跑。如此，按 1、2、3、4、⋯⋯分钟掉头往回跑。当小 明按逆时针方向跑到起点，又恰好该往回跑时，他的练习正好停止。如果小 明每分钟跑 120 米，那么他停止练习时是几点几分？他一共跑了多少米？ 分析与解 根据题意，小明在跑 1、3、5、⋯⋯分钟时，每次按逆时针方 向，比前一次增加 120 米。他停止练习时，那次是按逆时针方向跑，并离开


起点的距离应是 120 和 400 的最小公倍数 1200 米。于是得出他沿逆时针方向 跑了 1200÷120=10（次）。他停止练习前那次跑了 10×2-1=19（分钟），他 一共跑了 1＋2＋3＋⋯⋯＋19=190（分钟），即 3小时 10 分，由此可求出停 止练习时的时刻（11 时 30 分）和停止练习时他一共跑了的路程。
[120，400]=1200
1200÷120=10（次）
1+2+3+⋯⋯+19=190（分钟）
120×190=22800（米）
即小明停止练习时是 11 时 30 分，他一共跑了 22800 米。
79．试着使用代数法
我们快要上中学了，在数学学习上，要完成从算术到代数的过渡。下面 这道题希望你试着用代数法解答。
为了庆祝“六一”儿童节，班里决定做一幅贴纸画送给低年级同学。中 队长小明拿 1元钱买了彩色纸 100 张。其中，绿色纸 3分 1张，红色纸 4分
1张，白色纸 1分 7张。你知道小明买了 3种颜色的纸各多少张吗？
分析与解 这道题要求的未知量有 3 个，而已知条件又很少，用小学学 过的应用题解法去解答是很困难的，因此，我们不妨试着用代数法来解答这 道题。


设小明买了 x张绿纸，y张红纸，买的白纸是（100-xy）张。
根据题中的等量关系，列方程
3x + 4y + 1 7 100 x y = 100 （ ）
化简得 21x+28y+100-x-y=700
x = 30 27 30
化简后的方程含有两个未知数，只要给出 x 一个定值，y 就必有一个定 值与它相对应。我们应根据分析、推理来确定 x、y的值。
根据题意，小明买的各色纸的张数都是整数。 是整数，那么 也 x y 27 20
必定是整数。由此可知，y必定是 20 的倍数。
当 y=20 时，得出 x=3，白纸有 100-20-3=77（张）；当 y=40 或 y 大于
40 时，x 是负数，不符合实际情况。因此，小明买了 3 张绿纸，20 张红纸， 77 张白纸。
80．发奖品
学校举办了数学竞赛。老师准备了 35 支铅笔作为奖品，发给一、二、三 等奖获得者。原计划发给一等奖获得者每人 6 支，发给二等奖获得者每人 3 支，发给三等奖获得者每人 2支，正好发完。后来改为发给一等奖获得者每 人 13 支，发给二等奖获得者每人 4支，发给三等奖获得者每人 1支，也正好 发完。那么获得二等奖的有多少人？


分析与解 本题有三个未知数，可分别设获一等奖的有 x 人，获二等奖
的有 y人，获三等奖的有 z人。根据题意，可列出方程组
6x 3y 2z = 35 1 13x 4y z = 35 2 ＋ ＋ （ ） ＋ ＋ （ ）    （2）×2-（1），得 20x＋5y=35 4x＋y=7 y＝7-4x（3）
因为 x与 y均为自然数，所以 0＜x＜2，故 x只能取自然数 1，即 x=1。 把 x=1 代入（3），得 y＝7-4×1＝3
即获二等奖的有 3人。
81．姐姐、弟弟各几岁？
李老师问明明的姐姐今年几岁了。明明的姐姐说：“4 年前，我的年龄 正好是弟弟年龄的 3倍。”李老师又问明明：“你姐姐今年几岁？”明明说： “姐姐今年的年龄是我今年年龄的 2倍。”请问今年姐姐、弟弟各几岁？ 分析与解 设弟弟今年 x岁，姐姐今年 2x 岁。根据题意得，
3（x-4）=2x-4 3x-12=2x-4 x=8 2x=2×8=16
即姐姐今年 16 岁，弟弟今年 8岁。
82．兄弟俩的年龄


今年兄弟俩的年龄加起来是 55 岁，曾经有一年，哥哥的岁数是弟弟今年 的岁数，那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的两倍。问哥哥和弟弟今年年龄各 是多少岁？
分析与解 设哥哥今年 x 岁，则弟弟是（55-x）岁。过去某年哥哥岁数 是 55-x 岁，那是在 x-（55-x）即 2x-55 年前；当时弟弟的年龄是（55-x）（2x-55）即 110-3x。列方程为 55-x=2（110-3x）
解得 x=33 55-33=22
即哥哥今年 33 岁，弟弟今年 22 岁。
83．幼儿园的午餐
某幼儿园现有大人和幼儿共 100 人，今天午餐刚好吃了 100 个面包，其 中一个大人一餐吃四个面包，四个幼儿一餐只吃一个面包。问这 100 个人中， 大人和幼儿各有多少人？
分析与解
四个幼儿吃一个面包，则一个幼儿吃 个面包。 1 4 设有 x个幼儿，则有 100-x 个大人。列方程
1 4 x + 4 100 x = 100 （ ）
解得 x=80 100-80=20
即大人有 20 人，幼儿有 80 人。
84．生产课桌椅


新星木器厂安排 56 名工人生产学生用的课桌椅。每个工人平均每天能生 产课桌 6张或椅子 8把，问应分配多少人生产课桌，多少人生产椅子，才能 使每天生产出的课桌和椅子刚好配套？
分析与解 如果分别用 x、y表示生产课桌和生产椅子的人数，那么可列 方程组 x y = 56 1 6x = 8y 2
2 x = 4 3 y 3
＋ （ ） （ ）
由（ ）得 （ ）
  
把（3）代入（1），得 4 3 y y = 56
y 24
＋ ＝
把 y=24 代入（3），得 x=32 ∴x=32 y=24
∴ x = 32 y = 24   
即应分配 32 人生产课桌，24 人生产椅子。
85．为新生做花
为了欢迎一年级新生入学，六（1）班同学承担了做花的任务。如果每人 平均做 5朵，则缺少 20 朵，不能完成任务；如果每人平均做 6朵，则又超过 任务 24 朵。问参加做花的同学有多少人？做花的任务是多少朵？
分析与解 设参加做花的同学有 x 人，做花的任务是 y 朵。根据题意可 得
5x = y 20 6x = y 24 x = 44 y = 240 ＋ 解得      


即参加做花的同学是 44 人，做花的任务是 240 朵。
86．五个少年
五个少年，依次相差一岁，在 1994 年共同发奋学习，到公元 2018 年时， 他们都在科学上做出了很大贡献。那时他们的年龄也增长了，他们五人在公 元 2018 年的年龄之和正好是 1994 年的年龄之和的 3倍。问在 1994 年时他们 的年龄各是多少？
分析与解 设年龄为中间数的一个少年在 1994 年是 x岁，则其余四人的 年龄分别为 x-2 岁、x-1 岁、x＋1岁、x＋2岁。
在 1994 年五人年龄之和为 （x-2）＋（x-1）＋x＋（x＋1）＋（x＋2）=5x
2018 年五人年龄之和为 5x＋24×5=5（x＋24）
因为这五个少年 2018 年的年龄之和是 1994 年年龄之和的 3倍，所以
5（x＋24）=3×5x
解得 x=12
因此，这五个少年的年龄分别为 10 岁、11 岁、12 岁、13 岁和 14 岁。
87．学雷锋


小丽和小刚两个小朋友向雷锋叔叔学习，准备把零用钱攒起来，以后寄 给希望工程，帮助贫困地区的小朋友上学。小丽现有 5元钱，她计划每年节 约 11 元；小刚现有 3元，他打算每年节约 12 元。问他们俩几年后钱数能一 样多吗？如果他们俩准备一共凑足 100 元，问需要几年？
分析与解 设 x年后，他们攒的钱数一样多，则有 5＋11x=3＋12x
解得 x=2
设要凑足 100 元，需要 y年，则有 （5＋11y）＋（3＋12y）=100
解得 y=4
即 2 年后他们俩的钱数一样多，他们俩一共凑足 100 元，需要 4年。
88．白鹅和山羊
小勇跟爷爷去赶集，看见集市的一角有 44 只白鹅和山羊，它们共有 100 条腿。请问白鹅和山羊各有几只？
分析与解 设白鹅为 x只，山羊则为（44-x）只。依题意可列方程 2x＋4（44-x）=100
解得 x=38
即有白鹅 38 只，山羊 44-38=6（只）。
89．两盘苹果
有大小两盘苹果。如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果就 一样多；如果从小盘中拿出一个苹果放在大盘里，大盘苹果就是小盘的 3倍。 问大小两盘苹果各有几个？


分析与解 设大盘原来有 x个苹果，小盘原来有 y个苹果。依题意得
x -1= y 1 x 1= 3 y -1 x = 5 y = 3 ＋ ＋ （ ） 解得      
即大盘原来有 5个苹果，小盘原来有 3个苹果。
90．师徒加工零件
师徒两人加工一批零件，徒弟先加工 240 个，然后师傅和徒弟共同加工。 完成任务时，师傅加工的零件比这批零件的 少 个。已知师徒工作效率 3 8 40 的比是 5∶3，问这批零件有多少个？
分析与解 设这批零件有 x个。
5 8 （ ） x 240 = 3 8 x 40 5 8 5 8 x -150 = 3 8 x 40 3 8 x = 150 40 x = 440 （ ）
即这批零件有 440 个。
91．王医生出诊
王医生为一位山里人出诊，他下午 1时离开诊所，先走了一段平路，然 后爬上了半山腰，给那里的一位病人看病。半小时后，王医生沿原路下山回 诊所，下午3时半回到诊所。已知他在平路步行的平均速度是每小时 4千米， 上山每小时 3千米，下山每小时 6千米。请问王医生出诊共走了多少路？ 分析与解 设平路有 x千米，山路有 y千米，依题意得


2 4 2 3 6 6 4 2 12 x y y x y y ＋ ＋ = 3.5 0.5 -1 = 2 + +
解得 x＋y=4
4×2=8（千米）
即王医生出诊共走了 8千米。
92．规定时间
一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走 15 千米可以早到 24 分钟，每小时走12 千米就要迟到 15 分钟。问原规定时间是 多少？他去某地的路程有多远？
分析与解 设原规定时间为 x分钟。可列出以下两种走法：
速度
时间
路程
（1）每分钟走 0.25 千米 （x-24）分钟 0.25（x-24）千米
（2）每分钟走 0.2 千米 （x＋15）分钟 0.2（x＋15）千米
由于两种走法的路程相同，可列方程： 0.25（x-24）=0.2（x＋15）
解得 x=180 0.2（x＋15）=0.2×（180＋15）=39
因此，原规定时间为 180 分钟，即 3小时，到某地路程为 39 千米。
93．至少有几个人做的数学题一样多？


9 月 1 日开学那天，数学课代表向李老师汇报说：“我们六年级 100 个 同学，在暑假里一共做了 1600 道数学题。”李老师听了非常高兴，立刻表扬 了他们。接着李老师问课代表：“你知道这 100 个同学中，至少有几个人做 的数学题一样多吗？”课代表答不出来。同学们，你能帮助课代表解答这个 问题吗？
分析与解 把六年级的 100 人，按 3人一组来分，可以分成 33 组还剩下
1人。假设第一组 3 个人都没做题，也就是每个人都做了 0 道题；第二组每 人都做 1道题；第三组每人都做 2道题；⋯⋯这样第33 组每人都做 32 道题。 剩下的 1个人要是和前面的 99 人做的题数不一样，那么至少也要做 33 道题。 这样 100 人共做了：
3×（0+1+2+3+⋯⋯+31+32）+33=1617（题）
超过了 1600 题。要不超过 1600 题，必须有 1个同学或更多的同学少做题， 合起来一共要少做 17 道题。其实只要有1个同学少做题，那么这个同学就可 以归到做题少的那组去。这样一来，那个组就会有 4个人做的题数一样多。 这就是说，这 100 个同学中，至少有 4个人做的数学题一样多。


94．六（1）班有多少人？
六（1）班在期末考试中，数学得 100 分的有 10 人，英语得 100 分的有
12 人，这两门功课都得 100 分的有 3人，两门功课都未得 100 分的有 26 个。 那么六（1）班有学生多少人？
分析与解 由于数学得 100 分的有 10 人，英语得 100 分的有 12 人，那 么数学与英语两门功课中至少有一门得 100 分的人数应是 10+12-3=19（人）， 这是因为在 10+12=22（人）中，有 3人是两门都得 100 分的，我们重复算了， 应从 22 人中减去 3人。
所以，六（1）班的人数是数学与英语两门功课中至少有一门得 100 分的 人数与两门都没得 100 分的人数之和：19+26=45（人）。
95．至少有几个学生四项活动都会？
六（2）班有学生 50 人，其中 35 人会游泳，38 人会骑车，40 人会溜冰， 46 人会打乒乓球。那么这班至少有多少个学生，以上四项活动都会？


分析与解 这个班不会游泳的有 50-35=15（人）；不会骑车的有 50-38=12 （人）；不会溜冰的有 50-40=10（人）；不会打乒乓球的有 50-46=4（人）。 所以有一个项目不会的人最多是 15＋12＋10＋4=41（人），因此四项运动都 会的至少有 50-41=9（人）。
96．五种颜色的铅笔
有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最 多可以搭配成不重复的几组？
分析与解 根据题意，红色铅笔分别与黄、蓝、绿、白四种颜色的铅笔 搭配，有不重复的 4组；黄色铅笔分别与蓝、绿、白三种颜色的铅笔搭配， 有不重复的 3组；蓝色铅笔分别与绿、白二种颜色的铅笔搭配，有不重复的 2 组；绿色铅笔与白色铅笔搭配，有不重复的 1 组。所以最多可以搭配成不 重复的 4＋3＋2＋1=10 组。
97．最少有几个座位？
有一条公共汽车的行车路线，除去起始站和终点站外，中途有 9个车站。 一辆公共汽车从起始站开始上乘客，除终点站外，每一站上车的乘客中，都 恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站。为了使每位乘客都有座位，这 辆公共汽车至少要有多少个座位？


分析与解中途有 9个车站，加上终点站共 10 个车站。根据题意，在起始 站上车的有 10 个人，在这 10 人中以后每站都有 1人下车；在第二站上车的 9人，在这 9人中，以后每站下去 1人。在起始站上车的有 1 人在第二站下 车，于是在第二站至第三站之间汽车上实有 10＋9-1=18（人）。这样推算下 去，列表如下：


[分析与解中途有 9个车站，加上终点站共 10 个车站。根据题意，在起始 站上车的有 10 个人，在这 10 人中以后每站都有 1人下车；在第二站上车的 9人，在这 9人中，以后每站下去 1人。在起始站上车的有 1 人在第二站下 车，于是在第二站至第三站之间汽车上实有 10＋9-1=18（人）。这样推算下 去，列表如下：
98．将军饮马]

"站号":"上车人数"
"1":"10"
"2":"9"
"3":"8"
"4":"7"
"5":"6"
"6":"5"
"7":"4"
"8":"3"
"9":"2"
"10":"1"
"11":"0"

"站号":"下车人数"
"1":""
"2":"1"
"3":"2"
"4":"3"
"5":"4"
"6":"5"
"7":"6"
"8":"7"
"9":"8"
"10":"9"
"11":"10"

车上实有人数 10 18 24 28 30 30 下车的人比上车的 人多，车上人数减 少
98．将军饮马
[古希腊一位将军要从 A地出发到河边（如下图 MN）去饮马，然后再回到 驻地 B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
图 35]N A B


分析与解 这是著名的“将军饮马问题”。在河边饮马的地点有许多处， 把这些地点与 A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A地到饮马地点， 再回到 B地的路程之和。现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短 的那个点来。
在图上过 B点作河边 MN 的垂线，垂足为 C，延长 BC 到 B′，B′是 B地 对于河边 MN 的对称点；连结 AB′，交河边 MN 于 D，那么 D点就是题目所求 的饮马地点。
[为什么饮马的地点选择在D点能使路程最短呢？因为 BD=B′D，AD与 BD 的长度之和就是 AD 与 DB′的长度之和，即是 AB′的长度；而选择河边的任 何其他点，如 E，路程AE+EB=AE+EB′，由于A和 B′两点的连线中，线段 AB ′是最短的，所以选择 D点时路程要短于选择 E点时的路程。
图 36]


99．牛顿与方程
阿基米德、牛顿和高斯被誉为历史上最伟大的三位数学家。牛顿是 17 世纪英国著名科学家，他非常喜欢用方程解题，并常常出一些方程问题。下 面的一道题就是选自牛顿的名著《一般算术》。为了便于理解，我们把长度 单位改为现行的通用单位。
“邮递员 A和 B相距 59 千米，相向而行。A两小时走了 7千米，B三小 时走了 8千米，而 B比 A晚出发一小时。求 A在遇到 B时走了多少千米？” 分析与解
设 在遇到 时走了 ＋ 千米，其中 是 比 早出发 小时所走的路 程。 A B x
A B 1
7 2 7 2
此时， 走了 （ ＋ ） 千米。
B 59 x = 55 1 2 x 7 2
两人相向而行，相遇时所用的时间一样，可列出方程： x = 55 1 2 x ÷ （ ）÷ 7 2 8 3 整理，得
37 56 7 2 x = 333 16 x = 31.5 x = 35 ＋
即 A在遇到 B时走了 35 千米。
100．有名的牛吃草的问题
牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上 吃草的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。


“有一片牧场的草，如果放牧 27 头牛，则 6个星期可以把草吃光；如果 放牧 23 头牛，则 9个星期可以把草吃光；如果放牧 21 头牛，问几个星期可 以把草吃光？”
解答这道题时，我们假定牧草上的草各处都一样密，草长得一样快，并 且每头牛每星期的吃草量也相同。
你会解这道题吗？
分析与解 在牧场上放牛，牛不仅要吃掉牧场上原有的草，还要吃掉牧 场上新长出的草。因此解答这道题的关键是要知道牧场上原有的牧草量和每 星期草的生长量。
设每头牛每星期的吃草量为 1。
27 头牛 6个星期的吃草量为 27×6=162，这既包括牧场上原有的草，也 包括 6个星期长的草。
23 头牛 9个星期的吃草量为 23×9= 207，这既包括牧场上原有的草， 也包括 9个星期长的草。
因为牧场上原有的草量一定，所以上面两式的差 207-162=45 正好是 9 个星期生长的草量与 6个星期生长的草量的差。由此可以求出每星期草的生 长量是 45÷（9-6）=15。
牧场上原有的草量是 162-15×6=72，或 207-15×9= 72。


前面已假定每头牛每星期的吃草量为 1，而每星期新长的草量为 15，因 此新长出的草可供 15 头牛吃。今要放牧21 头牛，还余下21-5=6 头牛要吃牧 场上原有的草，这牧场上原有的草量够 6头牛吃几个星期，就是 21 头牛吃完 牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。
也就是说，放牧 21 头牛，12 个星期可以把牧场上的草吃光。
三、百练
练习题
1．计算： （ ） （ ） 1 2
1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 56 1 72 1 90 1 110 1 3 1 6 1 10 1 15 1 21 1 28 1 36 1 45 1 55 + + + + + + + + + + + + + + + + +
2．计算： （ ） （ ）
× × × × × × × × × 2 3 1 3 1 5 2 15 2 21 1 14 1 18 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 7 8 9 10 + + + + + + + + + Λ Λ
1 2


3．原计划 10 天完成组装一批录音机的任务，由于工人们的努力，每天 比原计划多组装 台，实际只用了原计划天数的 就完成了任务。这批录音 7 4 5 机有多少台？ 4 1.6
．一瓶油，第一次用去 千克，第二次用去余下的 ，瓶内还有油 3 4
2.1 千克。这瓶油原来重多少千克？
5．某车间原计划6月份加工零件 3000 个，结果前10 天就完成了全月计 划的 40％多 50 个。照这样计算，这个月（按 30 天计算）加工的零件数将超 过原计划的百分之几？
6．小明训练 800 米赛跑，如果速度提高 5％，那么时间缩短百分之几？ 7 32 ．有一堆糖果，其中奶糖占 ，再放入 块水果糖后，奶糖就只占 。这堆糖果中有奶糖多少块？ 9 20 1 4
8．把一个正方形的一边增加 25％，另一边减少 1．6米，就得到一个长
方形，它与原来正方形的面积相等。问正方形的面积是多少？ 9 120
．第一车间原有工人 名，调出 给第二车间后，第一车间的人数 比第二车间人数的 还多 名。第二车间原有工人多少名？


1 8 6 7 10 100 16 ．姐妹俩养兔 只，姐姐养兔只数的 比妹妹养兔只数的 多 只。姐姐、妹妹各养兔多少只？
1 3 1 10
11 ． 育 红 幼 儿 园买来两筐苹果共 220 千 克 ， 取 出 甲 筐 的 1 4 1 5 和乙筐的 共 千克分给小朋友。问甲、乙两筐原有苹果各多少千克？ 50
12．一件工程，甲队单独做，15 天完成；乙队单独做，45 天完成。现在 两队合做，其间甲队休息了 5天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息）。 问从开始到完工共用多少天？
13 1 1 2 ．一个水池装有甲、乙两根水管。单独开甲管，经过 小时可以把
空池注满水；单独开乙管，经过 1小时可以把满池水放完。如果同时打开甲、 乙两管，那么几小时可以把满池水放完？
14．一件工程，甲、乙两队合做，36 天完成；乙、丙两队合做，45 天完 成；甲、丙两队合做，60 天完成。问甲队独做，需要多少天完成？
15．修路队计划 30 天修完一条公路，先由 18 人修 12 天，完成了工程 的 。如果要提前 天完工，那么还要再增加多少人？ 1 3 6


16．甲汽车由A地到 B地需要 8小时，乙汽车由B地到 A地需要 6小时。 两车同时从两地相对开出，相遇时甲汽车距离 B地还有 160 千米，A、B两地 相距多少千米？
17．制作一批零件，甲车间要 10 天完成。如果甲车间与乙车间一起做， 只要 6天就能完成；乙车间与丙车间一起做，需要 8天才能完成。现在三个 车间一起做，完成任务后发现甲车间比乙车间多制作零件 2400 个，问丙车间 制作了零件多少个？
18．学校买来一批树苗，按 2∶3∶4分配给四、五、六年级种植。已知 四年级比六年级少分配 16 棵，问三个年级各种树苗多少棵？
19．甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是 3∶2，乙 的长与宽之比是 7∶5，求甲与乙的面积之比。
20．有甲、乙两辆汽车，在 A、B两城之间往返行驶。甲车去时速度为 60 千米／小时，回来时速度为 40 千米／小时；乙车往返的速度都是 50 千米／ 小时。求甲、乙两车往返一次所需时间的比。
21．一个分数的分子与分母之和是 100。如果分子加上 23，分母加上 32，所得新的分数约分后是 ，原来的分数是多少？ 2 3


22．某商店1994 年第一季度共售出电视机 570 台，其中1月份与 2月份 销售量之比为 3∶4；1月份与 3月份销售量之比为 6∶5。这个商店每个月各 售出电视机多少台？
23．兴华小学男、女生人数之比是 16∶13，后来有几名女生转入学校， 这时全校有学生 880 人；男、女生人数之比变为 6∶5。问转入的女生有多少 人？
[24．小刚以每分钟 50 米的速度离家上学，走了 2分钟后，他发现这样走 下去就要迟到 8分钟；于是改为每分钟 60 米的速度前进，结果提早 5分钟到 校。问小刚家到学校的路程是多少？
图 37]A B 由


25．A 、C 两站相距 10 千米，A、B两站相距 2千米（如右图）。甲车从 A站，乙车从 B站同时向 C站开去。当甲车到达 C站时，乙车距C站还有 0.5 千米。甲车是在离 C站多远的地方追上乙车的？
26．鸡兔同笼，共 100 个头，272 条腿。问鸡、兔各有多少只？
27．有大、小两盘苹果，如果从大盘中拿出 2个苹果放在小盘里，那么 两盘苹果就一样多；如果从小盘中拿出 1个苹果放在大盘里，那么大盘苹果
就是小盘苹果的 2倍。问大、小两盘苹果原来各有多少个？
28．5 顶帽子与 3 双鞋的价钱相等，已知每双鞋比每顶帽子贵 4.4 元， 问 1顶帽子、1双鞋的价钱各是多少元？
29．有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的三分之一加在一起是
13 公顷；麦地的一半和菜地的三分之一加在一起是 12 公顷。那么菜地、麦 地各有几公顷？ 30 110
．京华小学买来两筐桔子共 千克，取出甲筐的 和乙筐的 共 1 4 1 5
25 千克送给幼儿园的小朋友。问甲、乙两筐原来各有桔子多少千克？


31．有大、小两个两位数，在大数的右边写上一个 0之后再写上小数， 得到一个五位数；又在小数的右边写上一个大数，然后再写上一个 0，也得 到一个五位数。第一个五位数除以第二个五位数得到的商是 2，余数是 590； 又知大数的 2倍与小数的 3倍的和是 72。问这两个两位数各是多少？
32．有一辆汽车，从甲地开往乙地。如果每小时比原定速度快 6千米， 那么就可以早 6分钟到达；如果每小时比原定速度慢 5千米，那么就要迟到 6分钟。问甲、乙两地间的路程是多少千米？
33．小红到文具店买铅笔和练习本，共花了 1 元零 7 分钱。每支铅笔 1 角 1分钱，每个练习本 1角 3分钱。问小红买了几支铅笔和几个练习本？
34．一个缝纫小组一天能做 6件上衣或者 9条裤子。现有一批订货，需 要上衣和裤子各若干件，结果他们一天就完成了任务。问订货中上衣和裤子 各多少件？
35．某施工队要安装一条长 41 米的管道。现有 3 米和 5 米长的钢管各
10 根，施工中需要多少根 3米和 5米的钢管？如果想尽可能地使用 5米长的 钢管，问该用多少根钢管？


36．有三种物品，每件的价格分别是 2元、4元和 6元。现在用 60 元买 这三种物品，共买 16 件，而钱恰好用完。问价格为6元的物品最多买几件？ 价格为 2元的物品最少买几件？
37．一列数 1、 2、 4、 7、 11、 16、 22、 29、⋯⋯，这列数左起 第 1994 个数除以 5的余数是几？
38．有一列加法算式，4+2、5+8、6+14、7+20、⋯⋯，这些算式的第一 个加数是按规律排列的，第二个加数也是按规律排列的，问第 99 个算式是几 加几？
39 100 ．有一列分数， 、 、 、 、 、 ，问从左至右第 个分 1 3 1 2 5 9 7 12 3 5 11 18
数是几分之几？
40．把自然数中的偶数依次排成 5列（如下所示），那么1996 出现在左 起第几列？
2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 34 36 38 40 48 46 44 42 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
43 1 ．有一串数 ； ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ，⋯⋯，问
1 2 2 2 1 2 1 3 2 3 3 3 2 3 1 3 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 1 4 （ ） 是第几个分数？ 1 3 10
（2）第 385 个分数是几分之几？
44．从 1 到 100 的自然数中，每次取两个数，并使它们的和大于 100， 共有多少种不同的取法？
45．有一段楼梯，它有10 级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，问要 登上第 10 级台阶，共有多少种不同的走法？
[46．下图中的大正方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，其他点都是它们所 在边的中点。问阴影三角形的面积是多少？
图 38]B


[47．下图中的长方形 ABCD 周长为 14 厘米，在它的每条边上各画一个以 该边为边长的正方形。已知这四个正方形的面积的和是 50 平方厘米，求长方 形 ABCD 的面积。
图 39]


48．如右图，大圆的周长是小圆周长的 倍。如果阴影部分的面积 1 1 9
[是 285 平方厘米，那么小圆的面积是多少平方厘米？
图 40]


49．如下图，三角形 ABC 是腰长为 3厘米的等腰直角三角形。阴影部分 是由以 A 为圆心、AB 长为半径的圆弧与等腰直角三角形 ABC 的边所围成的。 求阴影部分的面积。
[50．右图是两个同样大的圆，半径为 1厘米，而且两个阴影部分的面积 相等，那么，连接两个圆心的线段 O1O2的长是多少厘米？（π取 3.14）
图 42]B


51．有一个圆柱形钢材。它的高是 1.2 米，它的侧面积是 7.536 平方米。 问它的重量是多少吨？（每立方厘米钢重 7.8 克，得数保留整数吨）（π取
3.14）
52．有一块方木，横截面为正方形，每边长 40 厘米，相当于方木长度 的 。 1 10
（1）若把它加工成最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少立方分米？
（2）若把它加工成最大的圆锥体，去掉的木料的体积总和是多少立方分 米？
（π取 3.14）
53．一个正方体纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体。 那么纸盒的容积有多大？（π取 3.14）
54．某班共有 56 名学生。其中参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛 的有 27 人，两科竞赛都没参加的有 25 人。那么语文、数学两科竞赛都参加 的有多少人？
55．某区 100 名外语教师中，懂英语的 75 人，懂日语的 45 人，其中有 的教师既懂英语又懂日语，那么只懂英语的教师有多少人？


56．六（1）班 50 人参加测验，共有两道题。如果没做出第一题的有 10 人，没做出第二题的有 15 人，两道题都没做出的有 5人。那么只做出一道题 的有多少人？两道题都做出的有多少人？
57．育英小学举行学生画展。其中 17 幅不是五年级的，18 幅不是四年 级的。现在知道四、五年级共展出 19 幅画，那么其他年级共展出多少幅画？
58．希望小学学生到“少儿活动中心”参加活动。其中划船的有 156 人， 比乘电动火车的少 40 人，比参加电子游戏的多 26 人；既参加划船又参加电 子游戏的有 47 人；既乘电动火车又划船的有 80 人，是既参加电子游戏又乘 电动火车人数的 2倍；三种活动都参加的有 30 人。已知每个学生至少参加一 项活动，那么希望小学去“少儿活动中心”参加活动的学生共有多少人？
59．某旅游团有 42 人，每人至少都到过北京、上海、广州三个城市中的 一个。其中只到过北京的有 9 人，只到过上海的有 8 人；到过广州的有 21 人，北京、广州都到过的有 8人，三个城市都到过的有 3人，而到过北京的 人数与到过上海的人数一样多。那么只到过广州的有多少人？


60．将 1 千克茶叶按 10 克一包、25 克一包两种规格分装。共有多少种 不同的分装方法？
61．有 1克、2克、4克、8克、16 克的砝码各 1个。若只允许在天平的 一侧放砝码，那么用天平能称出多少种不同重量的物体？
62．从 2、3、4、5、6、10、11、12 这八个数中，每次取出两个数，分 别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个不等的真分数？
63．在 1到 1994 这 1994 个自然数中，共出现了多少个数字 1？
64．将 1994 表示成三个自然数之和。若加数的顺序排列不同就看作不同 的表示方法，那么共有多少种表示方法？
65．一次测验共有 10 道选择题。先给了 10 分基础分，规定：答对 1题 得 4分，不答得 0分，答错 1题倒扣 1分。那么这次测验共有多少种不同的 得分情况？
66．将 70 表示为 11 个不同自然数之和，加数的不同排列顺序可看作是 同一种表示方法，那么这样的表示方法共有多少种？
67．小马虎给五位朋友写信，由于粗心，在把信放入信封时都弄错了， 结果五位朋友都没收到小马虎写给自己的信，而收到了他写给别人的信。那 么一共有多少种装错信的方式？


68．有一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 厘米的细 木条，它们的数量都足够多，从中适当选取 3根木条作为三条边，可围成一 个三角形。如果规定底边是 11 厘米，你能围成多少个不同的三角形？
69．在今年入学的一年级新生中有 189 人是同一年出生的。那么这些新 生中至少有多少人是同年同月出生的？
70．库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个。那么 在 41 名参加搬运的学生中，至少有多少人搬运的球完全相同？
71．有红、黄、蓝、白四种颜色的单色球各 10 个，混合后放到一条布袋
里。那么至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中四种颜色都有？
72．要把 151 个羽毛球分装在若干个羽毛球盒子中，每个盒子最多可以 装 5个羽毛球。那么至少有几个盒子里的羽毛球数目相同？
73．任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数之差是 7的倍数？
74．一个五位小数四舍五入到百分位，结果是 1.62，那么这个五位小数 最大是多少？最小是多少？
75．100 以内的任意两个质数都能组成一个真分数，其中最小的真分数 是谁？最大的真分数是谁？


76．在 1960×1969、1961×1968、 1962×1967、 1963×1966、1964×
1965 中，乘积最大的是哪个算式？最小的是哪个算式？
77．用长36 厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和 宽不相等），那么围成的长方形中，面积最大的是多少平方厘米？最小的是 多少平方厘米？
78．把 19 拆成几个自然数的和，要使这些自然数的乘积最大，这个乘积 是多少？
79．有三个数字，能组成 6个不相同的三位数，这 6个三位数相加的和 等于 3774，那么其中最小的一个数是多少？
80．123456789101112⋯⋯484950 是一个位数很多的多位数，从中划去 80 个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一些新的多位数。若这些新 多位数的位数相同，那么其中最大的多位数是多少？最小的多位数是多少？
81．用 0、1、2、⋯⋯、9这十个数字组成五个两位数（每个数字只用一 次），要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，那么这些两位数的和是多 少？
82．用 1到 8这八个数字，分别组成两个四位数。要使它们相乘后的积 最大，试分别写出这两个四位数。


83．一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图上的数字表示各条 街道的千米数。他从邮局出发，走遍各街道，最后回到邮局，那么走完全程 最少需要走多少千米？
84．电视台要插放一部40 集的电视连续剧，如果要求每天安排播出的集 数互不相等，该电视剧最多可以播几天？
85．A、B、C、D、E 在一次满分为 100 分的考试中，得分都是大于 91 的 整数，如果 A、B、C的平均分为 95 分，B、C、D的平均分数为 94 分，A是第 一名，E是第三名得 96 分，那么 D的得分是多少？
86．一个直角梯形的周长是 36 厘米，两底之和是两腰之和的 2.6 倍，其 中一个腰长是 6厘米，那么这个梯形的面积是多少平方厘米？
[87．一个长方体，底面是正方形，它的表面积是 252 平方厘米。把它切 成三个体积相等的小正方体，这三个小正方体的表面积之和是多少平方厘 米？
图 43]邮局 2 4 2 5


88．计算： × × × × 1 4 1 1 1 4 4 1 1 4 9 1 1 4 100 1 − + − + − + + − Λ Λ
89．有三个自然数 a、b、c，a和 b的最大公约数是 2，b和 c的最大公 约数是 4，a和 c的最大公约数是 6，a、b、c的最小公倍数是 84。这三个数 的和最小是多少？
90．有一列数，第 1个数是 1，第 2个数是 1995，以后每个数都是前面 两个数中大数减小数的差。那么这列数中的第 1995 个数是多少？
91．有一条长 180 厘米的绳子，从一端开始每 3厘米作一记号，每 5厘 米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
92．已知一个六位数□1993□能被 55 整除，求所有符合题意的六位数。
93．两个数的最大公约数是 88，最小公倍数是 3080，两个数的和是 1056， 两个数的差是多少？ 94
．有纯酒精一瓶，倒出 后用水加满，再倒出 后用水加满，最后 再倒出 后用水加满。这时，瓶中含的酒精比原来少 毫升。问瓶中原
1 4 1 5 1 6
有酒精多少毫升？


95．桌上有10 枚围棋子，每次至少拿 1枚，拿完为止，共有多少种不同 拿法？
96．学校新买来《趣味数学》442 本，《少年科技》297 本，《儿童文学》 210 本。如果将每种书平均分给每个班，那么三种书剩下的本数相同。问如 果有 1993 本笔记本，平均分给这些班级，会剩下多少本？
97．20 个连续自然数之和是 40090，其中最小的一个数是多少？
98．某学生将连续自然数 1、2、3、⋯⋯逐个相加，直到某个自然数为 止。由于计算时漏加了一个自然数而得出错误的和为 1988，那么漏加的自然 数是多少？
99．有三片牧场，草长得一样密，而且长得一样快。它们的面积分别是 3 1 3 公亩、 公亩和 公亩。 头牛 星期可以吃完第一片牧场原有的和 星 10 24 12 4 4
期内新长出来的草；21 头牛 9星期可以吃完第二片牧场原有的和 9星期内新 长出来的草，问多少头牛 18 星期才能吃完第三片牧场原有的和 18 星期新长 出来的草？


100．某游乐场在开门前已有一些人排队等待，开门后每分钟有 10 人前 来排队入场。一个入口每分钟可以进入 25 位游客。如果开放一个入口，开门 后 8分钟就没有人排队；现在开放 2个入口，那么开门后多少分钟就没有人 排队？
练习题答案
1． ； ． ； ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 11 2 9 11 2 1 5 9 2 119 2160
3．280 台 4．10 千克 5．25％ 6．约 4.8％
7．18 块 8．64 平方米 9．97 名
10．姐姐养兔 60 只，妹妹养兔 40 只。
11．甲筐原有苹果 120 千克，乙筐原有苹果 100 千克。
12．17 天 13．3 小时 14．90 天 15．18 人 16．280 千米 17．4200 个 18．16 棵，24 棵，32 棵 19．864∶875 20．25∶24
21 22 1 180 2 240 3 150 ． ． 月售出 台， 月售出 台， 月售出 台。
39 41
23．10 人 24．4000 米 25．2 千米 26．鸡 64 只，兔 36 只
27．大盘原有苹果 11 个，小盘原有苹果 7个。


28．一顶帽子 6.6 元，一双鞋 11 元
29．菜地 18 公顷，麦地 12 公顷
30．甲筐 60 千克，乙筐 50 千克
31．大的两位数是 21，小的两位数是 10。
32．66 千米 33．5 支铅笔和 4个练习本
34．2 件上衣、6条裤子或 4件上衣、3条裤子
35．需要2根 3米、7根 5米的钢管或 7根 3米、4根 5米的钢管；如果 尽可能使用 5 米长的钢管，则应选用 2 根 3米、7 根 5 米的钢管，即共用 9 根钢管。
36．3 件 37．余数是 2。 38．102+590 39 40 3 ． ．左起第 列 199 300
41．1000000 42．第 123 行第 236 个位置 43 1 84 98 2 ．（ ）分别排在第 个或第 个位置。（ ） 16 20
44．2500 种 45．89 种 46．6 平方厘米 47．12 平方厘米
48．1215 平方厘米 49．0.9675 平方厘米 50．1.57 厘米
51．约 29 吨 52．（1）502.4 立方分米；（2）约 472.5 立方分米 53．800 立方厘米 54．24 人 55．55 人


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课文是学生英语学习中最重要的语言素材，也是学生接受语音、词语、 语法与各种习惯用法等的最重要来源。从语言学习的规律和目的出发，学习 课文的指导思想应该是：（1）把课文视为接受语言信息的宝库；（2）挖掘 宝库，开发语言运用能力。学好课文至少应做到：
（1）通读一遍，掌握课文梗概。
（2）从文首或文中的某个时间状语或上下文的联系中，确定整个短文的 时态。
（3）从短文论述的对象中，确定其语态。
（4）注意文章的标题和每段段首或段末的最后一句与整个文章的中心思 想的关系，以便使学生尽快掌握故事内容和情节。
（5）把课文学习与新的词汇和语法知识紧密结合起来。预习生词时，马 上预习课文；学习课文时，重视生词运用；预习语法时，结合预习课文；学 习课文时，注意语法知识点的运用。记住英语的单词结构特点和规律，掌握 一词多义和一词多类的特点，死记、活用相结合，弄通一同一语的正确含义。


（6）把课文学习与所学词汇和语法（句型）紧密结合起来。这种结合应 该是一种较大范围的横向联系。就是用归纳与分类法，把所学课文中的词语、 句子结构和表达方式等进行必要的整理工作。整理与归纳的重点是本课印象 最深的知识以及似是而非的概念。这种整理工作做得越多，你的知识就会愈 丰富，概念就会愈明确。
“主—谓—宾—补”句型是学生在英语学习中最感困难的句型。如果你 在学习每篇课文时，将课文中属该类句型的句子摘下并加以归纳，你便能认 识这一句型的基本规律。
（7）利用学过的各种句型、关联词语、惯用法、完成短文阅读中难度较 大的习题（用适当的词语填空）。
（8）对短文中的人名、地名可以不推敲其究竟，只须弄懂其在文中的关 系。


（9）认真做好课文的整体消化工作。上述两项工作从一定角度看，仅属 于“解剖麻雀”。课文是一个完美的整体。它或是一个故事，或是一篇记叙 文，或是一篇科技文章等等。它们都有完整的结构。应从宏观入手，下决心 消化课文整体，学习实践告诉我们，说一个词容易些，说一个句子就难一点， 说一段话就更难，而说一篇短文就难上加难了。说一句正确的话，往往要求 熟悉多个词语，还要求有运用诸多词语的能力。一篇短文往往由十几个句子 组成。说出一篇短文显然是一种高难度的训练。然而，高难度的训练往往促 使你消化词语，运用词语，还能从多角度加深对所学知识的印象与记忆。
做好课文的整体消化工作，就是要求能够口头（书面）说出（写出）整 篇课文或课文的梗概。一定要做到对整篇课文逐句说、逐段说、逐篇说。在 说的过程中，可借助于读或写。但归根结底，要落实于说（对难写词语还要 求书写正确）。实践证明，在学习课文时，如能读一篇，说一篇，那么语言 运用能力就会迅速提高。
课前预习指导方法
预习是课堂学习的准备。预习抓得好，就学得主动，课堂效率就高；相 反，如果预习抓得不好，就会学得被动，课堂的效率就低。


由于学习内容与要求的不同，课型的不一，教学路子与方法的各异，预 习的方式方法必然是多种多样的。这里只对广为应用而行之有效的几种方式 作一概括介绍。
1.朗读识记式
朗读与识记是预习的最低的要求，也是最简单的预习方式，因此它是使 用得最多的方法，可以说是适用于各个年级、各类课型和各种教学路子的预 习。它只需要学生在课前用十几分钟时间，通过反复拼读而记住所学生词， 通过多次试读而达到能流畅朗读所学句型和课文并能初步理解和熟悉课文内 容。由于它要求较低，不增加学生课业负担，学生容易习惯并欢迎这种预习 方式。但正是由于它简单，效果往往一般。
2.听力训练式


它主要在于加强听说训练，在初中阶段应尽量地采用。对于初学者而言， 这种预习可以侧重于模仿练习，如字母、音标的读音，单词的拼读、连读、 失去爆破、升降调、意群及停顿等练习。可以听原版录音，也可以听老师的 录音。在课文学习中，学生可以通过听课文录音大致了解课文的内容，增强 语感。也可通过听课文的改写、缩写和内容简介等录音。当然，由于条件的 限制，不是所有的学生都可在课前自己进行这方面的训练，如果教师采用课 前某段时间，比如早读，统一在全班放录音的办法，就可以对学生进行统一 的要求。
3.发现问题式
老师可以把新课中要求学生自己掌握的内容和与学新课有关的旧知识通 过预习题的形式呈现给学生。学生通过做预习题发现问题，并为上新课做好 准备，教师通过对预习的检查也可使课堂教学更具有针对性。尤其是复习课 的预习更宜用这种方法，因为它本身就是一种较好的诊断性检测手段。
4.排除障碍式


教师将新课中具有一定难度的内容通过适当的提示和引导让学生初步了 解和掌握，从而可以减少课堂讲练和学生掌握运用的难度。比如，重点词提 示和找所给英文释义的对应词。虽然针对的是新课文中较难掌握的词，但由 于学生从词汇表中已经知道了这些词的词性和汉语释义，再加上题目要求的 只是将含有这些词的英语句子译成汉语，要比让学生用这些词造句容易，学 生做起来就不会有多大的困难，找英文释义的对应词也比用英语给单词释义 容易。句型结构提示只要求学生将含有这个句型但基本不含生词的句子译成 汉语。重新组织句子也只是要求学生用较为简单的形式重新表达较难句子的 意思。通过这种预习，课堂学习就会轻松、容易得多。
5.材料准备式
预习所准备的材料可以是句型操练需要的语言材料，也可以是会话练习 所需要的话题材料，还可以是讨论所需要的对某个问题的意见、主张和看法 等，甚至还可以是一些简单教具的制作（比如表演所需要的简单道具）。教 师布置这种预习时要提出明确的要求。比如，阅读有关参考书的某些章节， 给定话题的范围，明确讨论的问题等，这一预习方式对培养学生的自学能力
很有帮助。
6.系统归纳式


它主要用于复习课，特别是阶段复习和期末总复习课。教师可以根据复 习课的内容让学生在课下事先对已学知识进行初步的归纳，然后在课上指导 学生进行全面的总结。既可以让学生归纳同一个内容，也可以分不同的组归 纳不同的项目。例如，让学生归纳：字母组合发音的异同、同义和反义词、 动词的搭配、词组用法的异同、某些语法项目的用法、一些句型的不同表达 法以及同一体裁课文的写作特点等等。由于学生预先自己动手进行了归纳， 再经过课堂上七嘴八舌的补充，对这方面的知识就掌握得更全面、更牢固了。
7.阅读理解式
这种预习适合于学生进入了较长课文的学习阶段。在没有进入课文教学 或课文只限于一些极简单的内容的初期阶段不必采用这种方式。现在很多中 高年级教师在进行课文整体教学中多采用这一预习方法。阅读理解可分为表 层理解和深层理解，前者侧重于课文本身包含的具体材料，如人物、时间、 地点、事实及数据等具体信息的提取；后者要求读者对具体材料进行归纳、 总结、分析，甚至推理、想象来完成。如何设计课文预习理解题和指导学生 预习课文，将在本文第三部分专门谈及。
8.小组讨论式


这种方式涉及预习的组织形式。小组讨论的好处在于能够促进形成同学 间的交流气氛，而且在讨论中可以互相帮助，特别是学习好的可以帮助学习 差的，胆小、自信心不足的学生也可以得到发言的机会。这种预习需由小组 安排统一的时间进行，比如早读、自习，或课堂教学开始时由老师统一安排 几分钟。例如，当教师没能提前安排学生预习时，可在课堂上将学生分成几 个组，把课文分成几段，每一组负责读一段并设计阅读理解题，完成后各组 再将其它组负责的段落读一遍。然后全班讨论，各组主持自己负责的段落的 讨论。老师可以在各小组间巡视指导，并注意发现问题
另外，其它方式的预习也可以找机会进行必要的小组讨论。特别是阅读 理解式练习，如果老师事先给了学生预习题，则可以集体对答案，并就某些 问题展开讨论，发表不同意见。


必须指出的是，每次预习并非只用一种方法，而可能是几种方法的综合 运用。另外，不同的课型需要有不同内容、不同方法的预习，每个课时的预 习都有不同，不同教法的要求也有差异，比如课文整体教学和分段教学就有 不同的预习要求。教师只有在紧密结合教材的内容和学生实际情况的前提 下，把预习作为教学设计、教案设计的一个重要组成部分，才能有效地指导 学生预习，使预习的作用得到更好的发挥。
附：课文快速阅读及训练
阅读能力主要包括两个方面，一是理解程度，二是阅读速度，二者缺一 不可。阅读速度太慢，阅读时的注意力容易分散，容易产生厌烦感，不利于 获取信息；但是，只讲速度而不理解读物的内容，那是白费精神，毫无意义 的。阅读速度的提高，有赖于理解程度的提高，而理解程度的提高，又有赖 于大量的阅读实践，有赖于阅读速度，所以，二者又是互为因果，互相促进 的。
我们所说的阅读速度是指每分钟阅读的词数（WPM），所谓理解程度就是 指在单位时间内，以规定的速度读懂内容的 75%。什么样的速度才算达到了 标准呢？


全日制中学英语教学大纲规定：高中一年级和二年级学生阅读难度略低 于课文，有少量生词（不超过 3％）的材料，阅读速度高中一年级为 20— 40WPM，高中二年级为 30—50WPM，理解基本正确。在高中毕业的时候，要进 一步提高阅读速度，要求能借助词典独立阅读难度略低于课文的材料，并将 其中部分段落译成汉语，理解基本正确。
快速阅读分略读、校读和一般快读。要侧重学生的基础快读速度即学习 速度（study rate）的培训工作。略读是要求学生读过一篇东西后能在脑子 里形成基本的印象、概念。校读则要求学生通过浏览找出某一方面的资料和 数据。而培养提高学生的基础速度的阅读则要求他们全面了解所读材料，不 仅能抓住大意，还能理解重要的细节。虽然这种速度要比略读和校读来得慢， 但它是各类快速阅读的基础，学习速度出来了，其它速度也就迎刃而解了。
提高阅读速度，要从以下几方面着手。
1.抓好预读
预读是一项基本阅读技巧。它一般包括：思考标题含义，速读作者姓名 与书籍出版日期，看看封面或书中的照片或插图，速读目录内容、浏览索引 或附录，速读作者简介及前言等。


阅读是一个不断地预测或证实这些预测的复杂过程。也就是说，大脑一 接受文字信息就会做出一系列的推理、判断；随即，它会在进一步的阅读中 搜寻有关信息来证实这些判断是否正确。预读可以帮助读者探索性地推论出 一篇文章可能涉及的范围，并促使读者积极思维，激发阅读兴趣，从而提高 阅读速度和效果。
文章标题是文章内容最简炼的概括。预读标题后，人们会积极思考文章 正文中可能出现的内容。由于有了这种预测，读者得到了一条理解文章的重 要指示，他在阅读中便可以有目的、有重点地去选择有用的信息，从而提高 学
习速度。相反，忽略标题预读的人在阅读活动的一开始就会处在一种被 动与盲目的境地。他不但读速缓慢，而且容易对文章产生厌烦情绪。
2.学会泛读


泛读，首先要注意速度。可根据阅读材料与自己的实际水平，选用适当 的速度。开始时，可稍慢一点，以后不断提高速度。古人云：一目十行。不 要把眼睛盯在一个一个的单词上，要逐步学会扩大视幅。咱们中国人读中国 报刊或小说，能做到所有的字词都认得吗？你能把所有的成语、典故都弄明 白吗？抠得过细，也只是停留在表层上，没有发掘文章的内涵。应该通过文 章所给的信息，根据上下文推理判断。一篇文章内当时留下的一个疙瘩，说 不定读到后面或读另一篇文章时就解开了，那就会感受到阅读的乐趣。相反， 对阅读材料抠得过细，速度太慢，半天读不了几页书，读着读着就没劲了。 记住：速度甚低的阅读会影响你的阅读兴趣的！
阅读的实质在于吸收信息。不要逐句翻译，不要死抠字词，更不要反复 回视。要下决心大胆地往前读，一口气读到底。最后，你可以快速浏览文章 的首段和尾段，这时文章的大体意思也就出来了。
当然，根据阅读要求不同，在了解文章大意的基础上，然后将着眼点转
移到每一段落，领悟潜在于字里行间的深层意思，进行必要的分析，比较与 权衡工作也是必要的。
阅读材料的选定应与教材同步，过易或过难都不利于搞好阅读，更不利 于阅读能力的提高。


3.扩大视幅，防止回视
所谓视幅就是一个读者以书页的某一行中的一个英文字母为中心，上下 左右能最清晰地看清文字的幅度。如果阅读时不能做到一目半行就要影响学 习速度。而我们现在的学生上高一时只能是一目一词，因此，要有意识地进 行扩大视幅的训练。在开始训练阅读时，学生多数以一个词一个词为单位， 视幅不宽，眼停的次数也多，所以阅读速度很慢。要在不断的阅读实践中， 把阅读理解的单位扩大到词组、扩大到意群。理解的程度提高了，眼停的次 数就会相应减少，视幅也会相应扩大。
防止回视同样要进行训练。学生在课上阅读时，由于词汇量少，理解力 差，往往要进行回视。防止这种毛病的最好方法是引导他们学会用尺子遮住 所读过的那一半句子，长期不懈地进行这种训练有助于防止回视的再犯。
4.尽量默读


阅读心理学的研究证明：出声的阅读比默读速度慢得多。出声的阅读不 仅影响阅读速度，而且还影响阅读理解。但是中学生从开始学习英语之日起， 就是在教师的带领下进行朗读、答问、会话、背诵，他们已养成了朗读的习 惯。在开始训练阅读时，学生一下子很难纠正这个习惯，即使他们做到不出 声，也仍旧能看到他们的嘴唇在蠕动，他们的发声器官仍在紧张地活动。这 种没有出声的朗读，仍旧影响阅读速度的提高。所以，在开始训练时，就要 告诉学生，阅读所需要的是眼（eye）和脑（brain），而不需要嘴。在阅读 时，要把不出声的口语活动摆脱得越彻底越好。另外，有些学生阅读时还有 一个毛病，就是喜欢用手指着一个词一个词读，这种指读（finger Pointing） 也是严重地影响阅读速度的，也必须从一开始就予以纠正。
5.不要一遇上生词就查词典。


一遇上生词就查词典，既影响阅读速度，又影响阅读兴趣。我们经常看 到一些青年人阅读过的英文书籍，在开头几页上都密密麻麻地写上了单词的 汉语释义，但几页之后，书页就光洁如新。这说明过多地查词典，把他们的 阅读兴趣给打消了。要指导学生尽可能利用上下文找线索（context clues） 来猜测生词。养成了猜译的习惯，可以大大减少查阅词典的次数。这对提高 阅读速度，培养阅读兴趣是极为有利的。另外，还可以通过构词法来理解单 词的意义与词类。如：“The man who has made up his mind to win，”said Napoleon，“Willnever say‘lmpossible’.”通过熟悉的单词 possible， 就会知道 impossible 是指“不可能”；同样，通过 measure，measurable， 就能理解im—measurable 的意思是“无法计量的”。总之，除了不查阅词典 就无法弄懂整句甚至整段意思的那些关键词以外，能通过各种方法进行猜译 的，就要引导学生学会这些猜译的方法。
6.在阅读时不要慢咽细嚼


不要把注意力纠缠在无关紧要的语法细节，不要逐句翻译，而要把注意 力放在捕捉材料中的主要意思、关键词语、重点段落、重点句上。因此，在 阅读时，可以略去一些辅助信号，如不定式的符号、一般的冠词，等等。但 是对一些表示不同关系的连词，如 therefore，thus，because，as result，
but，on the contrary，等等，都要给予适当的注意。这样阅读，要求学生 的思想高度集中，是视觉训练与思维训练的结合。训练到一定程度时，就会 做到如 Frank Smith 所说的那样：“It is the brain that sees.The eyes merely looks under the directionof the brain.”到了这时，就可以通过 阅读比较自由地获取自己所希望获取的信息了。
7.提高阅读理解力


提高阅读速度和提高理解力是分不开的。阅读理解能力是指：（1）通过 阅读印刷文字，对作者的思想、观点、意图进行了解、认识。（2）理解能力 乃是英语的直接使用，是由知识的积累和阅读的训练发展而来的英语使用能 力。（3）是英语的各项基础知识的综合使用。（4）是各项阅读技巧的熟练 运用等等。阅读理解的几个基本因素：词汇量要丰富，词语意义的猜测和词 法的掌握，语法的理解和熟练，句子结构所表示的词与同组、词与句的关系， 读者的生活经验，对文化背景的了解，读者的思维方式和学习品德，读者的 分析、判断、推理、联想能力，读者本身的知识面，对英语阅读各个环节的 掌握等等。
8.快速阅读练习
计时速读练习步骤与要求：
（1）准备一只手表记下开始阅读的时间。
（2）阅读时克服回视，注意视读。
（3）阅读完毕时记下结束的时间。
（4）开始做附加练习题，不要看原文。
（5）自己核对答案，算出得分。
（6）算出阅读时间（即用结束时间减去开始时间），然后对照读速表， 查出每分钟的阅读字数（WPM）并记录下自己的进度。
附：外语快速阅读法
传统阅读方法有三个主要缺点：


（1）阅读时伴有发音动作。这种阅读速度无法超过言语的速度，每分钟 通常为 150 个单词。由于发音动作、领悟和理解文字信息的工作，要通过听 觉器官来进行，听觉接受信息的能力低于视觉。
（2）按照传统的阅读方法，人们逐字地阅读，视野很小。阅读材料时， 人们不得时时转动自己的目光。视野越大，目光停顿一次看到的材料越多， 停顿的次数越小，阅读效率越高。
（3）阅读时的返回，这是指重读材料时，目光返回到未弄清的单词和句 子的动作。
为完成某种行动或操作而准确地指出自始至终的顺序之规则称为程序。 利用阅读程序可组织好阅读过程并提高它的效率，为记住所读的材料创造出 最佳条件。每个读者都有自己的阅读程序。然而，不少读者缺乏组织和草率 进行阅读的例子是很多的。例如，一个人正在读书，时而打开书的前段，时 而末尾，时而又打开中段，以这种方式大约“阅读了”半小时；然后，把书 搁到一旁。当你问到这个读者时，他甚至连书名、作者也想不起来了。这是 脑力活动缺乏规则程序的一例。
使用这个程序，必须记住它的全部步骤，了解它们的内容。为了更好地


掌握这个程度，可将它写在纸上，然后把其固定在写字台上方。按积分程度 进行阅读，好像在百货公司里挑选商品一样，从文章中选择信息并使之与每 个程度相对照，全部或部分地了解它。
前苏联任金教授的研究表明，阅读是接受和付出同时发生的言语过程。 阅读时书面语言虽然被视觉分析器所接受，但是，理解材料时一定伴有言语 过程。这些过程的组织程度决定着阅读速度。
阅读时，言语过程的三种基本组织方法：
（l）做出发声动作或读出声来。这种阅读速度不高。
（2）阅读时，没有明显的发声动作，言语过程表现为内部言语形式，能 较有效地掌握阅读过的材料。
（3）在最大限度压缩言语过程的条件下进行阅读。这时内部言语表现得 十分微弱，表现为神经脉冲的短促迸发形式。在这种神经脉冲的爆发中，传 递着内容丰富的信息。
所以，发音动作延续了阅读过程，必须抑制发音动作。
①中心语言干扰法。阅读文章时，暗自合拍地敲出特别的节奏。相反， 默读时就控制住正确的节奏。这种节奏的结构与正文节奏不符，使发音动作 得到抑制。敲出的节奏在大脑皮层控制发音动作的有关区域出现了感应抑制 的效果，就不可能选出声来。


②机械延迟发音动作法。例如，阅读时用牙夹住一支铅笔，或连续地说 出“啦、啦、啦”音节或一连串数字 14、15、16 等。这时，只在言语动作分 析器官的未梢部分才出现抑制，控制发音动作的中枢部分仍是自由的。借助 这种不时轻敲的练习，可以获得稳定的无声阅读技巧。
快读与慢读之间的区别不在于眼睛活动的速度，而是在于眼睛固定瞬间 所承受那份材料的性质。因此，决定阅读速度是对被接受的信息作最佳的加 工。
信息整理的四种主要方法：
（1）按字母阅读；
（2）按音节阅读；
（3）按单词阅读；
（4）按概念阅读；
阅读过程申，眼睛活动的参数决定阅读速度：
（1）在含有 100 个单词的文章中，眼睛停顿的次数；
（2）眼睛停顿一次单词的接受数量；
（3）在含有 100 个单词的文章中，眼睛往返的次数。
为了提高阅读速度必须：
（1）减少眼睛的停顿次数；
（2）增加每次固定期内单词的接受量；
（3）减少眼睛的往返次数。


利用这种技巧，读者的眼睛以不大的振幅，沿书页中央想象的路线，自 上向下垂直移动。事实上，传统阅读时，眼睛均匀地沿着书行自左向右移， 结束一行，眼睛又返到下一行开始。在快读情况下，眼睛沿着垂直路线通过 文章全页，这种运动是较为经济的。眼睛运动时，视力最灵敏的部分在视网 膜中心区，即清晰的视觉区，而该区域以外的一切，均像在雾中所见到的一
样。视觉固定时，从清晰的视觉区进行信息的拍摄。舒尔特表是扩大视域和 眼睛垂直运动的有效训练方法。


[样。视觉固定时，从清晰的视觉区进行信息的拍摄。舒尔特表是扩大视域和 眼睛垂直运动的有效训练方法。
把目光集中到表的中央，然后浏览全表，在 25 秒内，按顺序从 1～25， 说出全部数字。这种练习的任务在于帮助大脑改变理解正文的计划，在单位 时间内，传递较多的有价值的信息。阅读过程中，眼睛固定时最主要的对象 是音节、单词和句子的总轮廓。随着视网膜向深层次的移动，文章的各种要 素就结合成形象结合。它们向大脑的视觉部分接近而逐渐扩大，变得复杂化 起来。这时，这些组合就构成了完整的视觉形象。]
6	1	18	22	14
12	10	15	3	25
2	20	5	23	13
16	21	8	11	7
9	4	17	19	24


把目光集中到表的中央，然后浏览全表，在 25 秒内，按顺序从 1～25， 说出全部数字。这种练习的任务在于帮助大脑改变理解正文的计划，在单位 时间内，传递较多的有价值的信息。阅读过程中，眼睛固定时最主要的对象 是音节、单词和句子的总轮廓。随着视网膜向深层次的移动，文章的各种要 素就结合成形象结合。它们向大脑的视觉部分接近而逐渐扩大，变得复杂化 起来。这时，这些组合就构成了完整的视觉形象。
阅读时，眼睛沿书页中央作垂直运用。阅读突然停止，视觉就离开了垂 直线，目光沿字行迅速移动，摄取最重要的信息。这个动作一结束，又回到 垂直阅读上，眼睛垂直运动是解决快读法最有效的方法。
理解是阅读的必要条件
课文理解由以下几个阶段组成：
（1）对词汇、词组意义的理解；
（2）从逻辑判断的角度理解句子；
（3）对大段课文判断的理解。
具体方法
（1）猜测手段。快读者通常根据几个字母猜出一个单词，而根据几个单 词推测出一个句子，根据几个句子猜测出文章整段的意思。正是由于猜测能 力作垂直阅读时，眼睛停留在信息最丰富的地方。事实证明，快读者都能比 较完全地理解课文，快读法把理解系数提高 30～40％。


（2）微分程序。借助这个程度可以把每段课文分成若干个逻辑单元。微 分程序决定课文加工整理的程序。段落是由表达一个独立思想的一组句子所 组成。段落具有一定的结构上的规律性。揭示段落结构上的规律性是阅读的 任务。微分程序可以帮助解决这个任务。
[（2）微分程序。借助这个程度可以把每段课文分成若干个逻辑单元。微 分程序决定课文加工整理的程序。段落是由表达一个独立思想的一组句子所 组成。段落具有一定的结构上的规律性。揭示段落结构上的规律性是阅读的 任务。微分程序可以帮助解决这个任务。
阅读课文时，人脑在记忆的仓库中瞬间进行逐句回忆，进行把信息变为 自己思想语言的转译工作。]
分出关键词	1
意群的构造	2
揭示意义链及其整理	3
阅读课文时，人脑在记忆的仓库中瞬间进行逐句回忆，进行把信息变为 自己思想语言的转译工作。
学习快读法，组织注意力是一个重要的因素。
注意力仿佛是阅读过程的催化剂。对注意力的控制在很大程度上决定着 阅读效果。
记忆是现代心理学上复杂的概念之一。阅读文章的目的就是要记住所需 的信息和资料。
很多心理学家认为，一个人一生中只利用了自己记忆潜力中的 30～40
％，由此：


①相应地提高接受和加工信息的能力，将阅读速度提高 1～2倍，不会造 成大脑信息的负荷过载，这里具有可观的潜力。
②为了提高接受和识记的效果，阅读时要接受的信息联合成意义组，相 反，信息分散会降低接受和识记的质量。所以，快读法能提高接受信息的效 率。
识记是记忆——一种积极的创造性过程。它分为机械识记和理解识记。 后者比前者的效果高 19 倍。理解识记的基础是减缩识记的信息数量，确定需 要记住的信息，多余的信息重新进行编码。可见，理解识记比较经济，容量 大，效果可观。重新编码在阅读过程中起着重要作用。再现文章时，一些单 词和复杂的语法结构，被一些比较容易的，惯用的结构所代替，保留了内容 丰富的思想。阅读时，把识记的材料译成自己思想的言语。把识记的东酉译 成自己的言语时，几乎把它的容量缩小 4倍，从而减轻了它的识别。识记的 效果尚与个人感受的范围有关。感觉器官激发得越活跃，感受的范围触及得 越深刻，识记越完全。
附：中学英语语篇学习指导法
语篇教学常采取以下步骤教授课文：
（1）课前要求学生自读生词，掌握词义，以便能够在课文中理解其意义。


（2）教师介绍背景知识和课文概要，将所学材料作为一个整体呈现给学 生。
（3）教师通过引导学生速读（主要是限时阅读），要求他们在尽可能短 的时间内紧紧抓住课文中关键内容。这一阶段的课堂组织形式主要有：
问题式 教师可在阅读前给学生提出一些涉及课文中心内容的问题，而对 这些问题的回答，总起来就是课文概要；
分段讨论式 教师可以引导学生首先总结各段落中心，而这些中心的总和 也应是课文概要；
简单复述式 教师可指导学生阅读，然后让学生总结复述课文中心大意。
（4）运用分段叠进法，将课文分为若干语篇（语段），由浅入深地理解 课文。在这一阶段，可将一些好的修辞方法、写作知识以及基础语法点结合 具体的语境介绍给学生，也可引导学生自己总结。通过分段，我们将整个课 文分成若干部分，达到攻破语法点的目的，而又没有破坏文章的整体性。
（5）复习全篇，评读课文，包括深层理解课文的思想意义。
（6）紧密结合课文内容，以各种练习形式帮助学生学习并巩固语言知 识。
（7）最后是小结和检查全课的阶段，具体形式可以是复述或表演课文内 容，也可以听写课文概要，还可让学生写出课文缩写或与课文体裁相同的短 文。
阅读方法训练
1.感光法


感光法包括预测、句子分析以及关联词的寻找。在此过程中，必须以整 体教学为指导，辅之于篇法教学，二者兼在，相得益彰。
预测：开始教课文时，最好不要先教单词，尤其是生词。应提倡和鼓励
学生大胆地猜测生词的词义，不查同典，不看单词表。教师应精心设计，列 出有关词条，进行猜测练习。
句子分析：如果一篇课文生词多，句子又复杂难懂，势必影响阅读效果。 因此，在语篇教学的过程中，也应抽出一定的时间，进行语法强化训练。我 们可以通过划线、画框等方法来分析句子。最主要的是要突出主题句，逐渐 提高阅读能力。
关联词的寻找：关联词就是指连词，对连词的寻找将意味着了解作者的 思路，把握作者的意图。在教学过程中，应注意常用连词的一般用法和特殊 用法，培养学生根据情节的发展，灵活地跟踪分析，以达到正确理解的目的。
2.掠读和扫视法
如果学生一味埋头阅读，不分主次，吸收无关紧要的信息，无疑将影响 阅读的准确性。鉴于此，在教学中，可适当采用掠读和扫视法。两者的有机 配合可以大大提高阅读能力。为了突出课文的要点，讲求整体性，教师可按 以下两个步骤来组织教学：


首先，先看每一段课文中的第一句，然后联句成篇，其中心思想自然分 明。比如《污染》一课仅仅 11 句，就可以帮助学生理顺思路，使主题更加突 出。
其次，运用扫视来消化课文中的有关细节。比如，若要问噪音给人带来 的危害，我们可以鼓励学生扫视有关描写噪音的细节，使他们不仅认识到噪 音也是一种污染，而且了解到噪音可使人生病，损害听力，甚至使人发狂。
附：导练式课文阅读指导程序
这一程序的总的层次安排和课型序列设计如下：
[这一程序的总的层次安排和课型序列设计如下：
l.整体式阅读]

"教学层次 整体式阅读":"1.启发自学课"
"课型序列":"2.指导阅读课"

交际式串讲 3.课文串讲课 4.语言小结果

综合性操练 5.集中操练课 6.同步泛读课
l.整体式阅读


课文阅读教学应首先把文章的思想内容和篇章结构放在首位，注意语言 信息的整体输入，从训练学生的阅读技能、技巧入手，着重培养其快速摄取 有用语言信息，整体把握文章的层次结构及其内在联系，准确领会其深层涵 义等诸项能力。教师在这一层次的教学中，其主导作用应充分体现在如何最 大限度地促使学生发挥主体作用，要特别讲究一个“导”字，以激其情，启 其智，充分挖掘出学生自学求知的内在动力。在预习课上.要给学生设计灵活 多样的自学提纲：或填图列表——理清表层的信息线索；或讨论问答——领 会深层的思想内涵；或新旧代换，疏通文意——抓住语言知识的内在联系。 学生在教师的启发下，借助词典等工具书，依据自学提纲，积极主动地进行 自查、自理、自学，逐步养成了正确的预习方法和良好的自学习惯。在指导 阅读课上，教师的任务主要是根据课文的信息内容，创造性地设计并指导学 生完成不同层次的整体阅读任务及系列练习，各层次的阅读任务及练习序列 如下：
初读——听、读全文，表层理解，抓住大意；理解练习，（True/False）
简单问答练习（Yes/No）和信息转换练习（填图、列表等等）。


再读——默读全文，中层理解，抓住较为具体的信息资料，并注意材料 的有序性；特殊问答练习（Whquestions），选择练习（ MutiPle Chocie） 和完型练习（Cloze Passage）。
复读——逐段朗读，深层理解，把握文章的篇章结构及其内在联系；划 分段落层次，找主题句（或中心句），讨论并概括中心思想，对课文的内容 进行简单评价。
2.交际式串讲
采用交际式串讲的方法，一方面引导学生学会分析较为复杂的语言现 象，以帮助其在更高的水平上进一步理解课文的思想内容；另一方面教会学 生要善于抓住思想内容来领会相应的语言形式或结构，并通过语言规律的概 括与操练，进一步发展学生对英语的感知力、记忆力与思维力。
所谓交际式串讲，当然不同于传统的，由教师一言堂的、母语化的课文 讲解，它要求在教师的指导下，师生共同“串讲”。在串讲课上，尽量做到 以“练”为主线，或讲练结合，精讲多练；或以练代讲，寓讲于练。
一般将这种串讲分为三个层次进行：


第一个层次：课文内容的串讲及词汇教学。练习序列是：①根据图、表 所示回答问题，或看图、表说话，师生共同“串讲”文意；②引导学生通过 对关键语、句的理解和练习，师生共同疏通课文；③结合课文语境或构词法 知识猜测词义。
第二个层次：情节、结构的串讲及句法分析。练习序列是：①对主题句 或中心句提问，逐段剖析；②对某些细节提问，挖掘内蕴；③对长、难句中 的生词和句子成分依次提问，分析复杂句子结构；④引导学生学会用已学知 识进行句义解释或转述句义，适当进行语言知识的纵横联系。
第三个层次：语言点的串讲及语法讲练。练习序列是：①翻译、造句； ②语法填空；③句型转换；④改错练习；⑤语言点小结。
3.综合性操练
综合性操练，既是对前两个层次的总结和复习，又是课文教学的进一步 深化。它不仅有利于促使学生语言知识的系统化，更有利于促进语言技能的 综合化。在集中操练时，要将强化练习和复用练习结合起来进行。


强化练习的主要目的在于帮助学生强化记忆，复习、巩固已学语言知识， 使之进一步系统化，并有意地进行朗读、背诵、默写和听写等基本功方面的 训练，这是吸取了我国语文传统教学的长处。比如整段的听写或默写，既训 练了学生“听”和“写”的速度，又培养了他们在整体材料中感知和记忆语 言知识的习惯。复用练习则主要是引导学生通过对课文进行讨论、复述、缩 写、改写及模仿作文等练习形式，使语言技能综合化。
在最后一个层次的教学中，要加强同步泛读教学和课外阅读指导，以突 出阅读能力的培养。
“导练式课文阅读指导”程序，强调以课文为中心，以学生为主体，以 自学为先导，突出阅读理解训练和综合训练，它将课文的理解层次化，知识 的学习系统化，技能的训练综合化，并融三者为一体。指导过程中，教师的 主导作用由对教材内容的加工转化为指导学生活动，处理教材灵活，指导形 式多样，教学手段不断变化，课堂效率明显提高。
附：高中英语阅读导读程式
在高中英语阅读教学中应进行诱导、疏导和指导，切实做好导读设计， 从而更有效地提高学生的阅读能力。
1、阅读模式


传统的阅读法通常由发下讲义——学生自读——练习检测——评讲；或 由教师逐字研读讲解——学生记录——大量练习——校对答案构成。这样的 阅读过程缺乏从低到高的符合学生心理特点的梯度，使阅读单一乏味。而导 读阅读法（见图）则从学习外语的心理特点出发设计为 1.疏导练习 2.导读练 习 3.检测练习，使阅读由浅入深。练中含导，导中释疑。
（1）疏导练习。以初读扫除障碍。内容涉及对阅读材料背景知识和常识 的提示、对材料中出现的陌生词语意义的暗示等。采取选择填空形式。疏导 练习具有三大益处：A.逐步将学生阅读时的思路引上正道；B.激发阅读兴趣；
C.提高阅读能力与语言知识水平。
（2）导读练习。为细读导向领航。以标准化考试为形式从全局角度引导 学生总结、归纳语篇的中心思想、段落大意、主要情节和某些词汇的文中意 义。此练习也具有三大好处：A.使学生掌握整体理解、见树成林的阅读方法；
B.培养善于使用各种线索包括标题、插图、背景和上下文猜测词义的能力；
C.为写作打下坚实的语言基础。


（3）检测练习。为精读和评读铺路搭桥。以标准化测试形式，题目主要 针对学生对语篇深层理解的检测。它包括对作者观点、故事发生的时间和地 点及个别句子的言外之意的推测，评估作者的表现手法等。检测练习是综合 检验学生阅读理解效度的一种良好的手段。事实上，前两种练习就是为了第 三种练习能顺利通过而专设的。引入导读模式后，学生学会初读抓中心，细 读扣关键语，精读揭内涵，评读观特色。阅读训练由平素表层意义的揭示上 升到深层结构的理解。阅读能力提高较快。
2、课内讲导


课内讲导要引入动态分析。所谓动态分析即在进行课内阅读训练时，着 重在理解课文内容、中心思想的基础上引导学生深究作者的口吻，表现手法 等以形成深层次、高效能的阅读过程。主要采取下列几个导读步骤：（1）结 构点要。课文中的句子揭示了全文的中心，有的句子概括了段的主要内容； 有的起承前启后的过渡作用等。高中课本第二册第九课 Sports andGames 就 是个很好的范例。文中几乎每段都可找到现成的主题句。教师有意识地去引 导学生着力寻找并理解这些句子，有助于加深学生对课文的领会。此外，在 教学中对不同的文章结构，适时地进行必要的点拨“引路”、有的放矢地引 导学生进行逻辑思维，帮助学生初步摸到文章组织材料的一般规律。例如， 在教 The Lost Necklace（SBI—L.15）和 The Professor And His Invention （SBII—L.8）时，花三、四分钟请学生总结，归纳戏剧文休的特点：文字上， 口语多且语言简洁；结构上，通常由序幕、展开、高潮和尾声四部分组成。


其中舞台说明（stage directions）更具特色：多用分词或分词短语、多用 一般现在时和现在进行时，省略现象多。
（2）化略为详。有些材料中的情节，作者由于某种原因没有具体展开， 可让学生根据全文的内容进行想象，把略写改为详写。而后对照原文，组织 课堂集体讨论，从中体会作者对某些部分进行略写的道理所在，例如，在教
Napoloen’s Three Questions（SBI－L.15）中，花五六分钟专门讨论了为 何作者在描述那位瑞典人反复操练三个问题的回答时仅用一句话：For manydays，this practice continued.如果具体地写，该怎样改写？让学生 各抒已见，在不断的争论中各种学过的句型、语调、语气等知识都能用上， 从而达到阅读高层次理解的预期目的。


（3）推断领会。有的文章的思想内容渗透在文中的字里行间。学生难以 从文字表面领会。如：Continents And Oceans（SBI—L.16）中有一句： Peopletend to think that the ocean bottom is made up of smooth plains. 如果问作者的观点如何？学生往往难以断定。这时就需要教师作必要的提 示：Some peo-ple believe（think） that⋯， People seem to think⋯， It’s usually believedthat⋯/It seems that⋯，Something is supposed to be⋯，已成套语，通常表示作者不赞成的观点。作者这样写只不过以起到 欲扬先抑之效。这样的提示，可使学生学会推断作者的言外之意，在阅读中 少兜“弯路”直入“正道”。
3、课外强化
在课外阅读训练上，注重学生抛开词典、无老师指导的条件下独立运用 语言能力的培养。教师要着重以下两个导读措施：


（1）介绍技巧。在让学生作课外阅读训练前先简要介绍一些常见的阅读 技巧。如：浏览明确大意、鉴定中心思想、分析句子结构、猜测生词词义、 揭示引申意义、体会言外之意、确定意群停顿、利用标点线索、结合背景知 识以及分辨指代关系等。学生通过系列练习掌握了这些阅读巧门，阅读速度 和效率提高很快。
（2）巧编材料。教师尽可能选编有针对性和代表性的生动有趣，题材体 裁广泛、多样的阅读材料。生词率控制在 3％以内。
理解课文的三种技巧
1.表层阅读理解
表层理解技巧的中心目标就是全面、高效、准确地获得阅读材料提供的 各项直接信息，迅速正确的理解文义。重点技巧是：（1）阅读文章时要默读， 即语音器官不进行任何活动的“视读”。要使文字信息直接由视觉器官输入 大脑，提高阅读速度；（2）浏览全文后弄清各小题的要求，再重读全文寻找 答案，往往可收到事半功倍之效；（3）掌握运用构词法知识和上下文呈现的 语言环境所提供的各方面线索去推测生疏词汇意义的技巧；（4）运用语法知 识分析并简化那些复杂而费解的长句于的技巧；（5）抓住文章关键词快速阅 读的技巧。
2.深层阅读理解


深层阅读理解技巧的核心在于正确有效地从原文的字里行间获取各项直 接信息及其蕴涵的间接信息，并通过周密的逻辑推理制定正确的文义。重点 技巧是：（1）明确英语一词多义的特点，正确把握英语特殊句型的确切含义， 谨防误解词句；（2）整体理解文章，客观追踪作者思路，正确判定作者意图 和态度，切忌让应试者本人的主观看法先入为主而导致错误判断；（3）设身 处地从实际情景出发推测语篇中有关人物的意图和态度；（4）掌握逻辑推理 的基本规律，从语篇提供的直接信息出发，科学地推理以得出正确答案。
3.技巧训练难点
以上技巧训练目标贯彻于阅读理解训练的始终。现就其中部分难点作一 简要例析：


（l）排除生词障碍。除了充分利用构词法知识，应试者应尽最大可能根 据上下文意义及自己各方面知识去推测词义。例 1：Church official denounced Galileo’s research work on astronomy.句子划线的词是生词。 根据科学史知识，Church officials（教会官员）对伽利略的研究工作决不 是“支持”、“敬佩”，而只能是“反对”、“指摘”方面的含义。astronomy 之前是介词 on，可推定为一个名词，且是伽利略研究的，于是可推知其意义 应为“天文学”。例 2：Mary，a beautiful andhenlful girl，one day went dlpling In a vespure.When she entered the spadure，she met with a zoy whom she hadn’t seen for along time.文中含有五个虚构单词，当然无人 相识，但我们可以进行合理推测：heniful 同 beautiful 用连词 and 连接， 可推知是一个褒意性的形容词；


went dipling（联想 go fishing）应是表示 “去干某事”；vespure 出现在in a 之后，估计为一个地点；entered 后接 的 spadure 也可推测为一个场所；zoy 受 whom 引导的定语从句修饰，应当代 表某一人物。至此，上文描绘的情景已可清楚地想见。
（2）把握词句确切含义。①注意词汇的多义性，如 works 著作/工厂； dear 亲爱的/昂贵的；still 还/一动不动的；care 当心/关心/喜欢；room 房间/空间；remain 依然是/留 下⋯⋯ 又如：The clock was right on top of theshelf.句意：（误）钟在右面架子顶上。/（正）钟就在架子上 面。 My back buckhurt last night.（误）昨晚我的背受了伤。/（正）昨 晚我的背疼痛。特别要警惕题目设计时利用多义性而设置的。陷井”。②熟 记一些容易导致误解的常用句型。如：Everything theere is not good. （误）那里的一切都不好。/（正）那里并非一切都好。Both of them cannot


go.（误）他们俩都不能去。/（正）他们俩只能去一个。要特别注意虚拟语 气的语句，须谨防“以假作真”。
（3）分析简化长句子。可以把那些使句子复杂化的同位语、定语从句和 补充说明性的状语用括号标出暂时不看，等明确全句中心内容后再细读全 句。 如：You can see the New World Trade Centre（1350feet high，the tallest building in the world）In New York，and a 1000—foot—high TV tower（which was built ten years ago）in Tokyo.
怎样搞好朗读
朗读是提高听说能力的关键之一，也是增强英语语感的一种重要途径。 首先要搞好跟读，即跟着老师读、跟着磁带读。在跟读时，要集中精力， 不要懒洋洋地、不动脑筋地读。朗读时，口、眼、耳、脑应同时并用，这样 才能提高记忆能力，从而达到朗读的目的。
朗读时，还应注意语气、神态，要通过朗读做到心领神会。对一些一时 难懂而百思不解的句子，可以在嘴里多念上几遍。这样，你往往会茅塞顿开， 恍然大悟。


朗读和默读应交替进行，这样效果会更好。一开始，朗读速度不要太快， 但求语音、语调准确，然后逐步提高速度。
一篇文章从慢到快要反复读多次。有时，也可以连续读几遍。
隔几天可以重新读一两遍。这会收到很好的效果。
文章要读到脱口而出。在此基础上也可自行背诵或予以转述，这样便很 好地发挥了朗读的作用。
复述课文的程式和方法
口头复述课文是学生在理解课文内容及其结构联系的基础上对课文进行 加工和整理后，能动地使用某种记忆策略和方法，通过口头表达课文内容的 言语过程。它是各发音器官和其它部位的动作与大脑的思维活动相结合的运 动记忆。这种运动记忆虽然不像游泳或骑自行车通过大肌肉的动作，但是一 经学会，再加以不断练习，也是不易忘掉的。因此，它是学生大量吸收语言 材料并向长期记忆输送的有效途径。
1.理解课文
理解课文是复述的重要条件。理解不仅包括对课文中每个句子、每个词 的正确理解和正确运用，而且包括对课文和段落整体结构的正确分析。


（1）初步理解与复述。为了一开始就从宏观入手纵观课文整体，可采用 “整体——分段——整体”的方法。根据课文的题材和体裁的特点，通过阅 读或听说等途径帮助学生掌握课文完整信息和内容，把握各段各层次间的联 系和课文中心。
①阅读整篇课文与复述。在接触课文前或后，就课文内容提出一些问题。然后，把答案串成复 述内容。问题不仅要紧扣课文内容，要体现其主要线索和事件，而且问题不宜过多过细。对于采取倒 叙和描叙手法的课文，可根据其主要事件列出若干句子排列其先后顺序。先理清故事发生、发展的线 索，然后按所展示的句子进行复述。根据课文特点，还可通过判断正误题、填写课文插图和划分段落 等手段初步理解和复述课文。
②通过听说理解整篇课文与复述。对于一些故事性较强的课文，可通过放录音、示范复述、介 绍课文梗概以及事先指导某几个语音语调较好的学生就课文内容排练成节目在课堂上表演等途径，为 学生提供整体课文的信息和内容。在此基础上除了采用前节所提到的方式理解和复述课文外，还可采 用表格形式。如根据 6个盲人摸象的动作，象的部位和各自的看法列表如下：


此外，还可按故事发展的自然顺序画简笔画复述；或者用有关课文主要 内容的关键词（语言支撑点）连贯整篇课文来复述。
在初步理解和复述课文时，阅读和听说是互相补充的。前者既可作为后 者的基础，又可作为其继续，也可二者取一，具体要视课文与学生的理解情 况。两个过程中所提及的具体手段均可交叉使用，不过，在不同阶段各有所 侧重，不管通过哪种途径、采取哪种手段，目的都是为帮助学生理解和复述 课文。
（2）分段讲解与复述。在学生初步理解和复述整体课文的基础上，再进 行分段讲解和复述。可采用“抓重点、化难点”和“精讲多练”的方法，通 过替换（同义代替或反义否定）、完成句子、造句和改变句型（如主动语态 与被动语态、直接引语与间接引语、复合句与简单句之间的相互转换）等多 种形式，不断以旧引新使知识前后贯通。
通过这样联系，分析和比较、毋需多费口舌，学生自然会理解掌握这些 表达法并领会各比较点之间的关系，复述起来自然得心应手了。此外还要注 意段落结构。不同体裁的文章均有一定的特点和展开模式。指导学生学会分 析的方法，掌握这些特点可为学生快速而又准确地理解和复述课文大开方便 之门。
2.编制提纲


编制复述提纲是进一步理解课文、进行分析、整理和概括课文以及寻找 各段的 topic sentence 和 signal words 的过程。提纲的编制视课文的特点
而定，其形式是多种多样的，只要能有效地唤起学生追忆课文内容就行。它 可以是表格、课文的结构，各段意的概括，还可以是关键词。开始时师生共 同设计提纲，随着学生能力的提高，可逐渐过渡到由学生自己编制提纲。
3.复述方法
（l）机械复述。借助文字、图、物等进行有控制的复述课文活动。常用 下列形式：
①借助启发性词语复述。用课文每句的句首词，或谓语动词，或每段的 重点词语和特殊句式作提示，边看边想边复述，用词串句，用句串段，由段 及篇，层层扩展。
②看图复述。根据课文内容，教学挂图或简笔画，让按图的顺序复述课 文。
③听录音复述。放课文录音，先让学生听一句，复述一句；然后再听一 段，复述一段；最后听每段中的重点词语，进行课文复述。这样既训练听力， 又培养复述能力，一举两得。
④根据问答题复述。教师以问的方法来引导学生复述。教师先提一些具 体的问题，在问答操练后让学生叙述概括性问题。


⑤回译性复述。先把课文译成汉语，听一句汉语用英语复述一句，可以 帮助学生加深对课文的理解。
③根据课文概要复述。先概括每个段落的中心思想，再根据中心思想来 复述，这样可以使理解系统化，复述条理化。
⑦按表复述。把一些课的脉络制成图表，根据表中的提示复述。
（2）活用复述。指学生自己自由地、独立地进行复述，并且复述中对原 课文加以改造、更新。常用下列两种形式：
①变更性复述。复述时学生把课文中的人称、时态、语态和体裁等加以 变化。如对话改为故事、直接引语变为间接引语等，使复述更灵活多样，生 动有趣。
②缩述与扩述。复述时学生运用已学的新旧句型，自由地扩展课文的段 落或浓缩课文。
让学生由机械性复述过渡到活用性复述，符合学生认识能力由低级向高 级发展的过程。教师既要为学生复述能力的发展打下基础，又要不断促使学 生向前发展。因此教师不能一直控制学生的复述。教师应鼓励学生逐步脱离 各种提示进行独立复述，以便既把前后知识贯通，温故知新，又达到灵活掌 握和运用的目的。
复述时应注意以下三点：
①复述时要把多种形式交替或混合使用，不让学生感到单调乏味，因而 失去积极性。


②口笔头结合。教师可要求学生口头复述后，再进行笔头复述，以克服 部分学生只会说而不会写的毛病，保证复述的质量。
③复述与背诵相结合。背涌是对原文一字不漏、不变的陈述，而复述可 以去掉一些无关紧要的词句，可以更改部分内容和表达方式。复述既可以帮 助学生减低背诵的难度，又可克服死记硬背的恶习，多样灵活的复述还可使 英语学习变得盎然有趣。因此可要求学生对课文的重要段落（或新词语集中 的）背诵；对一般性段落复述，两者相互补充、促进，为提高和发展学生联 想和回忆能力起到积极作用。
如何背诵课文
首先要理解课文。一篇课文，你可先预习，借助词典弄清每个单词和词 组的意义，然后运用所学语法知识弄清各个句子的意思。在课堂上，认真听 老师的讲解，彻底把课文弄懂。在此基础上，你就可利用早晚自习时间来进 行背诵。
背诵前，先根据课文的自然段落，将每一段落中的重点词与词组，尤其 是新词与词组逐一列出，且把这些词与词组串成句子；然后合上笔记，串联 默诵几遍，对没有把握的句子，可用笔记下，再打开笔记，纠正记忆错误。 接着反复朗读，直至顺口之后，即可合上书本进行试背。背诵时，可逐段进 行，然后全文背诵。


对于名篇佳作，你可反复读，经常背。青少年记忆力强，应该趁这个时 候多背、多记。基础好了，终生受益。
学习生词的方法
现行绝大多数句型与课文后，都附有该课的生饲。如何以正确的方法学 习这些生词，是当前中学生在英语学习中必须认真解决的一个较大问题。不 少学生面对生词只知按字母机械唱读，不仅学习方式简单，而且大部满足于 词形的暂时记忆。除了对付某些临时性的词汇测试外，随着时光的流失，词 语便忘得一干二净。
学习生词的正确方法应该是：
（1）初读生词，要求读准。初读时，可结合汉语意思一并记忆。
（2）强化暂时记忆。要自行寻找多种记忆方法，以达到强化暂时记忆的 目的。可在本课生词之间进行比较，也可将本课生词与所学词汇进行比较。 比较可以从“音”（同音词、近音词、读音规则与特点）、“形”（同形词、 近形词、同根词）、“义”（同义词、近义词、反义词）、“性”（即词类： 单性词还是多性词）和“能”（词的语法功能及搭配功能及运用特点）等五 方面进行。


（3）及时预习课文与句型，深入掌握所学生词。单词表中的词汇形式多 是机械的、静止的，而语言环境中的词汇形式多是变化的、活生生的。语言 环境中词汇的形态变化与词汇间的有机搭配毫无疑义地会加深你对所学生词 的印象。在一定意义上说，课文与句型就是词汇赖以生存的环境。甩开课文， 单一地死记词汇显然是不可取的。
（4）在整篇课文的学习过程中，对含有生词的句子始终应成为课文学习 的重点之一。对这类句子要读得出，说得出，写得对。为了验证自己对生词 的掌握程度，在课文学习期间，应多次阅读生词，并做到根据生词逐一说出 课文中的每一个句子。
（5）学习英语构词法，不断扩大词汇量。初一和初二年级时，学习的都 是一些与日常生活有关的常用词，这些词都要逐一记住，直到同学积累了一 些基础词汇之后才有条件学习英语构词法。现以常用词 book 为例，说明基础 词怎样能变成新词：
①book a ticket 订票（book 已从名词转化为动词）。
②book shop书店，book knowledge书本知识，band—book手册，textbook
课本，notebook 笔记本（book 与其它名词合成为新词）。


③booking office 售票处，a bookish man 书呆子（book 加后缀—ing， —ish 构成形容词）
英语前缀im—，in—，ir—，表示否定，主要加在外来形容词前，构成 与其意义相反的新词。如： possible—impossible，polite—impolite；
visible—invisible，correct—incorrect；
regular—irregular，recoverable—irrecoverable.
从以上例子中可以看出，掌握英语的三种构词法（转化，合成，派生） 就可以使我们开阔视野，使我们的词汇量增多。一些不认识的词通过分析它 的结构，再通过上下文，就可以猜出它的含义。我们在阅读时可以减少困难， 阅读的速度和猜译能力也大大提高了。
（6）进一步扩大对所学生词的知识视野，以不断提高运用所学生词的能 力和本领。课后，应查阅词典，在词典中找出所学生词的条目，阅读词典中


所列举的例句。应尽可能阅读与课文难度相适应的课文阅读材料，以促进对 所学生词更深层次的认识，为运用词语不断地打下牢固的基础。根据各人不 同的学习基础，还应大胆用所学词汇造句或进行作文等多种形式的练习。
词汇系列化学习法
按照反复循环规律，培养学生系列化学习单词的方法。其核心是“系列 化”，所谓系列化，就是把单词按语音、属性、词缀、词类、同义和反义等 进行系列化，属于同一系列的，无论在教新词还是对学过的词进行复习，都 进行适当的扩展，使学生学一词，会一串，记一词，想一串。这样，就可收 到事半功倍的效果。
1.按语音进行系列化
如在教 sun 时，就可以把 son 扩展出来。又如：be—bee，by—buy，our —horr，father—farther，too—two 等，这些词每对读音都相同，而且词 形都只差一个字母，就可按同音系列扩展进行对比记忆。
2.按属性进行系列化
如在教 father 时，就可以把mother，brother，sister 扩展出来。又如： Pen—pencil—pencil—box 按属性系列扩展。
3.按词缀进行系列化


如数动词 teach，work，sing，read 等时，就可以在其后加 er 扩展到名 词 teacher，worker，singer，reader。又如：unfair（不公平的）—fair （公平的），impos－sible（不可能的）—possible（可能的）等等。
4.按词类进行系列化
如教 real（adj）可扩展到 really（adv）。又如：teach（v）—teacher （n），Ameri－ca（n）—American（adj），China（n）—Chinese（adj）， slow（adj）—slowly（ady）等等。
5.按同义和反义进行系列化
如教 come 时，可扩展出 go。又如 down—uP，clever—foolish，remember —forget 等，根据逆反记忆的心理规律，也可用较短的时间来识记这些单 词。
除上述几种扩展形式外，还有动词的形式变化，特别是不规则动词的变 化，在教其原形时亦可同时扩展。


单词的系列化扩展，既要在教新词中实施，又要在复习中执行，使学生 养成一种习惯。教师在检查学生学过的单词时，就应坚持凡是教学时扩展的 词汇都要检查，并在以后的学习和复习中不断加以归纳，反复循环，使学生 达到见词思异。
词汇联想学习法
联想，是指由一事物联想到另一事物的心理活动。心理学认为，联想实 际上反映了客观事物之间的联系，它在促进人的记忆、想象和思维等的心理 活动中，占重要的地位。
在具体的词汇学习中，可视学习内容、材料的不同而采取不同形式的联 想方法。
1.比较联想
比较联想，是指由视觉看到或听觉听到的词而引起对另一个词的回忆， 并从中进行比较，找出它们之间的相同、相似或相反之处，从而建立起某种 联系。这种联想常可用于一些同义词、近义词和反义词（或短词）的学习。 如：learn—study，high—tall，just now—a mo－ment ago，long short， open close，get on—get off，husband—wife，teacherstudent，king— queen，teach—learn 等等。


当然，应避免机械的、简单的联想，在比较联想中，有比较还应有鉴别， 特别是对近义词，尤其应这样。
2.近邻联想
心理学认为，人的心理机能活动具有一定规律性，这种规律性也体现在 人们对时间和空间上邻近的事物会自然地展开联想。近邻联想指的就是这种 在时间和空间上由一事物引起对另一事物的回忆这一心理现象。如，ice→ snow→winter→skate，或 ice→water→steam 等，由此再与 solid→liquid →gas 相联系。这种联想，只要有时间，尽可不受约束地进行下去，在复习 单词时，更可以这样做。
对单词按词义分类联想，也是近邻联想的一种形式。如果把名词分成人 物、家庭、地点、建筑物、气候、自然、时间、人体、动植物、学科和语言 等类，这样，在学习、复习一个词时，会较容易地联想到同类词中的某些词。
3.情景联想
这种联想是从某一单独的、具有普遍意义的词（或短语）引起对某一具 体的、特定的情景的联想。这种联想，不仅加深了对单词的印象，有利于记 忆，还能把词与句、词与文相结合，达到理解掌握，准确运用所学词汇的目 的。


情景联想，首先在于情景，情景应生动、有趣和与众不同；其次在于联 想，联想应恰当、合理。如在学习初中英语第三册第七课单词 cry 时，先将 其读音［krai］与小孩的哭声相联系，这是情景之一；在学过这一课的课文 后，把 cry 与课文中 the baby 有关的情景联系起来，这样，学生对 cry 的词 义、过去式、动名词形式及其与 hard 的搭配用法等，就有较为鲜明、深刻的 印象。有时，还可把某个词与多种情景相联系，加强记忆效果。复习该单词 时，多回忆这些特定的情景，多联系在不同情景里的用法是很有好处的。另 外，还可以通过语言、图片、动作和表情等为某些单词创造一些情景。
4.趣味联想
这是一种发挥想象力，由所学的语言材料通过某种不大合理但却有趣的 手段，引起对另一语言材料的回忆。这两者之间可能风马牛不相及，但正是 这种不合逻辑的、荒诞的和离奇的东西，给人留下深刻记忆。如学单词 see （看），该词中的“ee”如同两只眼睛，因而与“看”有关；学习 look（看，


注视），观其形，“oo”如同一幅眼镜，故该词与“看”也有关，而且带上 眼镜看，这种“看”无疑就是有意识的“看”了。这样即认清词义、拼写形 式，又能道出 see 与 look 的基本区别。
5.语音联想
这种联想指从某个词的发音引起对某种事物或状态的联想。
如：单词 cough，其中“ou”发［ ］音，整个词读起来短促，如同连续 发出咳嗽声，其意为“咳嗽”；单词 laugh，其中“au”发长音［a：］，开 口较大，整个词读起来直抒胸意，如若开怀大笑，故这个词意为“笑，发笑”； 单词 Spit（吐痰），读此单词状若吐痰；ball（球）中“al”发［ ］，是 个圆唇音，可以想象口形圆如一个“球”；读单词 monkey（猴），语音清脆， 如若猴之活泼、灵敏；单词 camal 读音较大，字母“m”发音浑厚，尾音绵 延，由此想象出骆驼的雄浑高大；而单词 cat 读音较短，尾音干脆，让人联 想起猫的小巧、灵活。
这种把单词的音、形、义互相联系，展开想象的记忆方法，避免了死记 硬背，使新单词记得快，记得牢。
怎样掌握多义词


一词多义是英语词汇的一个显著特点，也是英语学习中必须重视的一个 问题。怎样才能更好地掌握多义词呢？
1.根据所学词义归纳不同意项
如 strike 在初中第六册中作名词，意为“罢工”。在高中第一、第二 册中还先后用作动词，意为“拍打”、“敲击”、“吸引”和“咬”等。在 学习中，必须随时做好词义整理工作。整理时，应标明词类、词义，并记下 所出现的课次或页码等。通过亲手整理，在复习时印象深刻，记忆牢固。
2.围绕中心词义，推断文中意项


很多多义词的各个意项并非杂乱无章，而是围绕某一中心词义呈辐射状 排列。如 head 一词的中心词义是“头”、“首”，在 the head of let－ter 中指信的“上头”、“天头”；在 head of one’s class，中指“班长”（班 级的“头头”）；在 use one’s head 中当“脑筋”解释（可借助“大脑长 在头上”来记忆）；那么在一定上下文中，就不能推断出在lose 的新的意项。 又如：pay 的中心词义是“付钱”，但如果有较好的推断能力，你就能较为 顺利地理解 You’ll have topay Ior what you’ve done 一句中 Pay 的意 思是“偿还”。因为这一转义是由中心词义经扩展成为“付出代价”而演变 来的。
3.重视语句“载体”作用，防止死记硬背不同意项


学习多义词和学习其它词汇一样充分发挥语句的“载体”作用，结合短 语，搭配与句子等记住它的不同意义，决不能孤立地死记硬背不同意项。如 state 一词用法较多，但可结合以下短语或句子记忆：thethree states of matter（物质的三种状态）；He is in a poor state of health（他身体状 况欠佳）；the New York state（纽约州） ；We love our Party and stateleaders（我们热爱党和国家领导人）。这样，state 的一些主要意项 “状态”、“状况”、“州”和“国家”等，就容易记住了。
最后，值得一提的是必须切记：多义词的掌握应在“操练”与“运用” 中才能真正完成，并应结合查字（词）典，造句等加以巩固。
怎样学习同义词


英语中同义词很多。如：study、learn（学习）；high，tall（高的）； beautiful，pretty，handsome（美丽的）等等。但英语中真正的等立同义词 （即词义相同且完全可以互换的词）为数却较少。因此，对同义词的学习必 须予以高度重视，严格把握同中之异，即同义词的各种不同之处与细微差别。
1.把好词义关
如：finish 与 complete 都有“完成”的意思。如 We’ve finished （completed）the difficult work.我们完成了那项困难的工作。但是，finish 常指加上最后的功夫而完成某事，complete 常指加上缺乏的部分而完成某 事。如：
A·Have you finished that book？你读完那本书了吗？
B·Have you completed that book？你写完那本书了吗？
又如：lose 与 miss 的意思既相同，也不相同。lose 常指“遗失”、“丢 失”和不易找回，miss 常指需要的时候发觉不在了。
2.把好使用范围关


由于词义和习惯用法等原因，英语中的不少同义词的搭配范围不同。如： high 与 tall 都有“高的”意思，但是，high 多用于指物的高度，而 tall 则多用于指人的高度。又如：do 与 make 都有“做”的意思。在下句中，do 与 make 通用：He often does（makes）his test（experiment）in the lab. （他常在试验室做实验）。用于制作小型物件时，也可通用。如：do（make） a model plane（做飞机模型）。在强调工艺过程与制作过程中多用 make， 如：make a skirt（做裙子），make sb a cuP of coffee（煮杯咖啡）。 强调日常生活与工作时，多用 do，如：do one’s lessons（做功课），do one’ s homework（做家庭作业），do the cook-ing（做饭），do one’s teeth （刷牙），do one＇s hair（做发型，梳头），do the work（做工作），do rePairs（做修补工作）等。与抽象名词搭配时，更有其各自的用法。


如：do one’s duty（履行职责），do favour our（帮忙），do harm（造成危害）， doshopping（买东西），make a face（做怪脸），make a decision（做决 定），make aneffort（努力）， make a mistake（犯错误）。另外，象 make fire（生火）， makefriends（交朋友）都属固定搭配。
3.把握同义词群中的词语个别用法
如：job 与 work 都有“工作”的意思。job 属可数名词，work 属于不可 数名词。下述两句中都不可用 work 取代 job。例如：
A· He asked for a job in his factory.（他要求在厂里找一个工作）。
B.Dicken＇s first important job was as a newspaper reporter，狄
更斯获得第一项重要工作是当报纸记者。
在 He does his job（work）seriously.他工作很认真）一句中，两词 可相互代换。
4.把同义词学习的重点移到动词同义词语上来


英语动词义词尽管词义相同或相近，但由于英语动词的语法属性复杂， 往往存在着许多细微不同之处。
（1）注意同义动词的不同的及物性能。例如：rise 与 raise 都有“升 起”的意思。但是，rise 是不及物动词，而 raise 是及物动词。“清晨，太
阳从东方升起”一句就只能译为：The sun rises in east in the morning. 在翻译“近年来人民生活水平提高很快”一句时，虽然同时可以使用 rise， 与 raise，但 rise 只能用主动态，raise 却要使用被动态。请注意下列译文 时态：
The living standard of the people has risen（has been raised） rapidly in re－cent years.
（2）注意同义词的状态延续性能。例如：become ill，fall ill，get ill 都有“生病”的意思。但 be ill 属延续性动词；其余三个都属非延续性动 词。试观察下列各句的正误译法：他弟弟病了三天。
正：His brother has been ill for three days.


误：His brother has got（become fallen）ill for three days.
（3）注意同义动词不同的接应关系。 如 want，hope，expect，wish 都有“想”、“希望”的意思，但它们的接应关系不尽相同。
常用英语记忆六法
英语记忆在学生的英语学习过程中具有重要的意义。学生的学习，是在 记忆的基础上进行的，有了记忆，才能不断地巩固知识，增长知识，培养兴 趣，牢固地掌握英语技能和理论。英语学习有其本身的特点，它离不开词、 语法和文章。从记忆的角度出发，它们各自的记忆方法不同。下面介绍几种：
1.重复记忆法


英语单词难记易记，怎样使所学的单词记得容易，记得牢靠呢？重复记 忆的“痕迹”。掌握单词靠重复，但这种重复不是单一的、机械的重复。根 据德国心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线，遗忘进程不是均衡的，在识记的初期 遗忘很快，后来逐渐缓慢，根据这个规律，应在学习的当天和第二天及时复 习 2次，三天后复习第 3次，一周后复习第 4次，根据心理学家测试，一个 单词经过 7次重复识记，就能永久记住。重复记忆可在茶余饭后，闲步庭院 或睡眠前进行，这种方法的好处是督促学生经常利用时间反复记忆，达到“一 回生，两回熟”的效果。
2.有意记忆法
有意记忆法，就是有预定的目的，按一定的方法，作一定的意志努力来 加强记忆。它要求学生有积极性和自悟性，将所获得的知识进行有意记忆， 使之系统化。有意记忆法特别适合初、高中毕业班学生复习词汇，可引导他 们经常做一些词的归类整理工作。
①按常见的人体动作：sit，stand，walk，climb，jump，run，die，live， lie，laugh，cry。
②按动物的名称；（例略）
③按事物的颜色；（例略）
①按反义词：（例略）
⑤按构词法；（例略）


其它可按工具、学科、水果和季节等分类，这样可帮助学生从记忆一个 词扩展到一串词。
3.诵读记忆法
诵读记忆法，就是以出声的诵读来加强记忆。它主要是利用眼、耳、口 对大脑多通道传递信息，大脑皮层司管看、读、听的区域都处在兴奋形态一 直强调“听说领先，读写跟上”的教学原则，听说当然离不开诵读，学生在 英语课上所学的句子、谚语、小诗和文章，一般都是文理通顺的，且有节奏 感的，便于诵读的。至于短小的文章，更要注意眼看，口诵和耳听，总之， 尽可能多地调动各器官，协调动作，做到眼看，口到、心到，诵读一定要出 声地读出节奏感，记忆效果对每一个学语言的人来说是极佳的。
4.比较记忆法


比较记忆法，就是将具有某一共同特点的词或语法现象进行比较，找出 他们的异同之处和各自的特点，使输入的信息加深对大脑的刺激，从而使记 忆变得容易起来。例如，把 sing 和 finger 进行比较，把 breath 和 breathe， 进行比较，这是音形比较；把 often 和 seldom 进行比较，它是反义比较；把 glare at 和 stare at 进行比较，这是近义比较；把 get，tired，get off， get along with，get the habit of 进行比较，这是词汇搭配比较。
又如，动名词和现在分词是动词的两种非限定形式，它们的构成方式是
相同的，即动词＋ing，在句中都担任一定的成分，相同点是它们都可以作表 语和定语，不同点是动名词还可以作主语和宾语。而现在分词不行，但它可 以作状语和宾语补足语。那它们作表语或作定语时是否都相同呢？试比较下 列句子：
（1）My favourite sportis swimming.
（2）The situation is encouraging.


例（1）是动名词作表语说明主语是什么，而例（2）则是现在分词作表 语，说明主语的特征。 Ⅰ Ⅱ working people working method sleeping baby sleepingcar
I 部分是现在分词作定语，表示所修饰人或动物的动作；Ⅱ部分动名词 作定语，对所修饰的名词作解释，这是第一点不同。第二点不同是读音不同， 分词作定语，分词和名词都重读，动名词作定语，动名词重读，而名词不重 读，通过以上比较和句法功能比较，学生一目了然，印象清晰，记忆便得到 巩固。
5.关联记忆法
关联记忆法，就是将学到的新知识和自己原来的旧知识联系起来，运用 新旧知识的联系，经过同化和顺化的作用，形成对事物的新认识，以加强记 忆。我们知道，英语语法有其内部的联系，表达形式多样化，有些结构是可 以互相转换的，如简单句转换成复合句，复合句和并列句互相转换等。当学 生了解一个句子不同的表达形式，便可融会贯通，举一反三，提高记忆效益。 如， a.He began to work for the landlord at the age of twelve.


b.He began to work for the landlord when he was twelve·
这是介词短语作状语转换成状语从句，又是简单句转换成复合句。 又如 a.After he finished his homework，he took a rest.
b.After finishing his homework，he took a rest.
c.Having finlstied his homework，he took a rest.
a 复句可转换成 b简单句或 c分词作状语的简单句。
6.形象记忆法
形象记忆法，即利用课文中的插图来理解课文，帮助记忆，效果极佳。 高中第一册《威廉·泰尔》中有一张图，画的是威廉·泰尔的独生子头顶一 只苹果站在广场中央，他的旁边站着凶狠残忍的国王和一群士兵，国王命令 威廉·泰尔举起弓箭射他儿子头上的苹果。这幅画面上对人物形象的描绘， 不仅可以理解和记住最后一部分课文的内容，只要将这幅图在思想上稍加扩 展，还可以理解和记忆全课文。
英语单词快速记忆二十法


在记单词时，对大脑皮层的刺激有助于使细胞突触连结数目增加，所以， 我们的记忆力就是以大批脑细胞突触连结的产生而形成的。重要的是，保持 我们的大脑处于受刺激兴奋状态。只要有可能，就应尽一切努力为单词的记 忆保持和回忆创造必要的条件，从而提高单词的记忆效果。
为达到此目的，可采取以下途径和方法：
①制定一个记忆单词的学习计划，有计划、有目的地增加大脑对外语言 信息的记忆容量；②尽一切可能参加增强记忆力的各项活动，随时随地说外 语、用外语，利用一切机会人为的创造语言环境；③做到在单词的记忆保持 效果超于下降之前及时进行复习；④要更多地使用你的右脑，即通过实物、 图画、模型和颜色充分发挥能增强你记忆的那个大脑半球的作用。
此外，值得注意的另一个问题是，单记号记忆效率的提高不仅取决于科 学而有效记忆单词的方法，还取决于一天中记忆单词的最佳时间，大量实验 结果表明：上午 8—10 点钟和晚上 8—10 点钟是记忆单词的最佳时间，因为 在这个时间里，大脑中担负记忆任务的脑细胞已基本上得到较好的休息，所 以记忆效果最佳。


再者，人所处的环境因素也能对记忆单词的效果产生一定影响，如果在 一个室内狭窄而又十分嘈杂的环境中记忆单词，那些来自外界的干扰会影响 单词记忆的效果。相反，如果在景色宜人、空气清新的自然环境中记单词， 人的大脑当然是处于一种清醒冷静的状态中，注意力比较集中，记忆单词效 果自然好于前一种情况。
在记单词时，首先必须掌握外语单词的构词规律、构词模式和大量的词 素意义，再根据单词的不同类型适宜地选择科学而有效的方法来记忆单词， 方能收到理想的学习效果。由于不同语种有其各自不同的构词规律和构词模 式，学习者只能根据自己所学的语种来掌握其规律性，所以因受语种和篇幅 所限，这里不能对所有语种一一介绍构词规律，只能以学习者居多的英语为 例介绍记忆单词的几种妙法。
1.拼读法


掌握正确的拼法与读音之间的关系，可以根据单词的读音，正确地拼写 单词。例如，我们知道元音字母 o在重读音节时读[ ]。根据这条规则，go， hope，home，note 等词，不用费什么劲就记忆住了。另外还有一条发音规则 “在 o之后，如果是 m，n，v，th 时，o可以读[ ]”。根据这条规则，我们 不会把 mother，some，come，dove，done 等单词中的 o写成 u。再举一个元 音字母组合的例子，ay 读［ei］。中学教材中所有带有 ay 字母组合的词， 如 say，day，way，pay，ray，may，lay，play，spray 不仅发音容易，而且 拼写也没有任何困难。当然，英语发音规则很多，又有许多例外情况，要记 住它们并不容易。但是为帮助记单词，花些时间，记住一些常用发音规则还 是很有用的。
2.谐音法


尽管有些语言学家认为，用这种谐音记忆法记单词不科学，对学习者正 确掌握发音不利，但学习外语的实践证明，在最初学外语时，对尚未掌握外 语的构词特点和记词规律的初学者来说，采用谐音法记单词确实能有效地记 住一部分难记的单词。不过，在用谐音法记单词必须注意的一个很重要的问
题是，只可把此法作为记忆单词的谐音联想手段，以增强和加深记忆，绝不 可将其作为模仿发音的依据，而必须按照单词的标准发音去读记，以避免这 种记词法干扰正确发发音。
用谐音法记单词的基本原理是，根据外语单词读音到汉语中去寻找与其 读音相类似的谐音，而且这一谐音必须能同某些人、事、物、或单词所表达 的意思有趣地联系到一起，从而使学习者对单词谐音所联想的事物发生好奇 的兴趣，以此对大脑皮层产生突发性刺激，进而在学习者的大脑留下难以遗 忘的印象，甚至终身不忘。这也是这种谐音记忆法的绝妙之处。
door 门［联想：“咚！咚！”的敲门声就是门］
play［plei］玩［联想：只要一玩就“不累”］
May［mei］五月［联想：五月春光明“媚”］
Pay［pei］付（钱）［联想：付钱就是“赔”本］


great［greit］伟大的［联想：“贵的”就是伟大的］tomb［tu:m］坟 墓［联想：“土墓”就是坟墓］
wash 洗涤［联想：“我洗”就是洗涤］
teach 教［联想：“提示”就是教］
guess［ges］猜［联想：猜也猜不着“该死”］
listen 听［联想：听“雷声”］
labour 劳动［联想：劳动“累吧”］
face［feis］脸［联想：化妆脸“费事”］
3.前缀法
前缀记忆法就是借助重要的外语构词词素——前缀来记忆单词的方法。 采用前缀法记忆单词就是把具有相同前缀的单词编为一组，以同一前缀为主 线将它们串联起来记忆。
如常用英语前缀 a及其意义与前缀记忆法：
（1）不、无、非。
astatic 不稳定的；不安定的 asynchronous 不同时的；异步的 （2）加于名词、动词和形容词之前构成副词，具有 in、on、at、to、 by、of、With 之意。
asleep 熟睡中
afield 在田野里
ab——（离开、摆脱、消除）
abdicate 退位
ablate 切除，蒸发掉
ac——具有 at、to 之意
access 接近
acclimatize （使）服水土，（使）适应气候


accredit 信任；任命
ad——（具有 at、to 之意）
adapt 使适合；适应，改编
af——（具有 at、to 之意）
affect 影响；感到
affiliate 接纳⋯为会员
ag——（具有 at，to 或增强和引申之意）
against 逆 ；反对；撞击
agape 目瞪口呆
aggrandize 扩张，夸大，增加
4、词根法
词根是构成外语单词的核心，它是表示该词最基本意义的重要词素。所 以，任何词都有词根，如果按照构词法给同一词根分别加上不同的前缀和后 缀，就会构成以该词根为核心意义的词义各异的词，这些词就叫同根词，譬 如：
示例：
apologizer 道歉者
eulogy 颂词；赞扬
epilogize 作结束语
dialogue 对话
monologue 独白
Dhilologist 语言学者
prologue 前言，序言
pseudology 假话
pseudOlogist 说假话的人
neologism 新词语
neology 新词语的使用
cacology 用词不当
从上列这组同根词中不难发现，它们都包含着一个相同的词根 log，其 最基本的词素意义是“言语”。
5.后缀法


后缀是外语单词重要的组成部分，它不仅表示单词的词类和词性，而且 不同的后缀还含有不同的词汇意义，例如：
英语词 millionaire（百万富翁）的后缀—aire 不仅标明该词是名词， 而且表示它是表人的后缀。subrban（郊区的）一词的后缀—an，不仅标示该 词是形容词，而且具有“属于⋯⋯的”，“有⋯⋯性质”，“属于⋯⋯地方 的”之意。
由此可见，根据构成外语单词不同后缀的特点和规律及其词汇意义来记 忆单词，也是提高单词记忆效率的重要手段。
示例：
常用的英语后缀及其意义与后缀记忆法：
—a（名词后缀）（表示：动物类别、抽象名词、实物名词、动植物名词、 天文地理名词、疾病名称、人名、神名和地名）。
insecta 昆虫类
macrura 长尾类
diptera 双翼类
carnivora 食肉类
cholera 霍乱病
flora 花神
asia 亚洲
—ability（—ibility）（名词后缀）（表示：可⋯⋯性，易⋯⋯性， 可⋯⋯等性质或状态之意）
movability 可移动性
addability 可增加
—able（—ible）（形容词后缀）（表示：可能、易于；适合于；具有⋯⋯ 性质的）


movable 可移动的 receptible 可接受的 resistible 可抵抗的 —ably（—ibly）（副词后缀）（表示：⋯⋯地、可⋯⋯地）
movably 可移动地
suitably 适宜地
lovably 可爱地
perceptibly 可以理解地
6.构析法
应用构析法记忆单词的基本原理和方法是，根据外语的构词规律，在大 量掌握外语单词的前缀、词根、后缀和其它构词要素及其词素意义有基础上， 借助词形的结构分析和词义逻辑综合的方法来记忆单词。这种方法实质是， 先将要记的单词按词根——后缀；前缀——词根——后缀；复合词第一部分 ——词根——后缀；复合同第一部分——复合词第二部分；复合词第一部分 ——词根——复合词第二部分；词根——复合词合词第二部分等形式分解 开，然后根据单根同、双根词和复合词等均可采用这种构析法进行记忆。


用构析法记忆单词，需按以下三个步骤：首先，把要记的单词按上述的 各个组成部分分解开，这里需注意一点：对单词的分解必须准确无误。有些 外语单词无前缀，只由词根和后缀构成，如英语中的 dormant（休眠的）一 词只有词根 dorm—和后缀—ant；而有些外语单词却是由双重前缀或双重词 根加后缀构成；或无后缀。如英语中的aeronautics（航空学）一词是由aero （天空）—naut（船）—ics（学）双词根和后缀构成的。
下面，我们分别以构词较复杂的典型单词为例加以说明。譬如，我们要 想记住英语中的 anticarnivorous（反对肉食的，素食的）一词，第一步： 按照单词结构将其分解为：anti—carni—vor—ous，将该词分解后便可得 知，它是由前缀＋词根＋词根＋后缀构成的。
第二步：根据前面介绍过的常用的英语或俄语前缀、词根和后缀的意义， 使该词被分解开的各组成部分与其所包含的词素意义“对号入座”，将该词 各组成部分的词素意义析出：前缀 anti—意为“反对”；词根—carni—意 为“肉”；词根—vor 意为“食”；后缀—ous 意为“形容词后缀”。


最后一步：将该词的各部分词素意义通过逻辑综合的方法组合到一起， 使其形成合乎逻理的完整词义，其词义为“反对肉食的，素食的”。
尤为重要的是，这种单词构析记忆法不单单可用来记忆单词，在阅读或 翻译原文时，还可借助它推断许多生词或被遗忘单词的词义。从而能大大减 少查阅词典的次数，有效地提高阅读和翻译速度。例如，我们在阅读或翻译 原文时，遇到生词是形容词的词组 a bactericidalagent，其中 agent 一词 的意思已知，意为“药剂”，而词组中的bactericidal 一词的词义是未知的，
现在我们不查词典，用上面介绍的构析法便不难得出其词义。先将该词分解 为：bacteri—cid—al，再使其词素意义“对号入座”：bacteri 意为“细 菌”；cid 意为“灭（杀）”；al（形容词后缀）意为“⋯⋯的”。最后， 对该词各部分析出的词素意义进行逻辑综合，即得词义“杀菌的，灭菌的”， 再将得出的词义与 agent 一词的词义搭配起来，所得词组的汉语意思是“杀 （灭）菌剂”。综上所述，凡在阅读或翻译过程中，对遇到的绝大多数生词， 基本上可根据上下文的意思，借助此法推断出词义。


示例：
intercontinental［inter 在⋯之间；洲，大陆；al形容词后缀］洲际 的 nonconductor［non 非；conduct 导引；or 表物名词后缀］非导体
overproduction［over 过分，大甚；Product 生产；ion 表示行为、状 态］生产过剩
hemoslatic［hemo 血；sla 站立，停止；tic⋯的］止血的；止血剂 aerogram［aero 空中；gram 书写→信件］航空信件
agrotechnique［agro 田地→农业；technique 技术］农业技术
Procedure［pro 向前；ced 行；ure 表示行为动作的名词后缀］过程， 步骤，手续


educibl［e 出来；duc 导引；ible 可⋯的］可引出的，可得出的；可推 断的 reProduce［re 再，重复；Produce 生产，制造］再生产，再造；复制 synergic［syn 共同；erg 工作；ic⋯的］使用的，协作的 lsogonal［iso 相等；gon 角；al⋯的］等角的 bilingual［bi 两，双；lingu 语言；al⋯的］两种语言的，双语的 locomote［loco 地万，位置；mote 移动］位移，移动；行进，走动 cpllocutor［col 共同；locu 说，讲；tor 人，者］对话者，共同谈话 人
inframundance［infra 下；mund 世界，大地；ance⋯的］地下的 7.分类法
用分类记忆单词能充分发挥大脑系统、全面地记忆单词的潜力，其优点：
（1）被归为同一类的单词其语法功能相似、结构相近，便于从整体上记忆和 掌握，有助于对单词形成完整的类别概念；（2）便于展开比较，有利于掌握 各个单词的异同点；（3）便于集中词汇，从而可灵活地进行替换和运用；（4） 能使已掌握的杂乱无章的单词条理化、系统化和门类化。


用分类记忆单词犹如把种类繁多的铅字按汉字结构的偏旁部首井井有序 地排列和存储在打字机下面的字盘里，需要时随用随取。
通常，学习者可因人而宜，按以下类别对单词进行分类记忆：时间、会 议、学科、院校、专业、运动项目、亲属、动物、植物、文化用品、蔬菜、 水果⋯⋯
示例：
Time 时间
centyry 世纪
year 年
quarter 季（度）
month 月（份）
ten－day period 旬
week 周，星期
day 日
night 夜
hour 时
quarter 一刻（钟）
minute 分
second 秒
8.分组法
把你所要记忆的单词分组记在笔记本上，如果你要记住一个十位数的数 字 1127772235，只要我们把这个数字写成 112—777—2235，就很容易记住。 这种方法在记单词的过程中是很有效的。假设你要记住二十个单词，可把它 分成若干部分，如 unselfishness，可写成un—self—ish—ness，这样可以 用最少的时间，记住最多的单词。
9.对应法


外语中有一些分别表示男性和女性或雄性和雌性的不同属性的同类名 词。在记忆单词时，如果对一个表示人的男性或表示动物的雄性名同再联想 与其相对应的同一类女性或雌性名词，同样能挖掘我们大脑联想记忆的潜 力。譬如，当我们记忆 father（父亲）一词时，可同时联想与其相对应的同 一类女性名 mother（母亲）。这样对应记忆单词可同时记住两个词，从而使 记忆单词的效率提高一倍。
guest 客——master 主人
doctor 医生—— nurse 护士
teacher 教师——student 学生
manpower 干部—— the masses 群众
salesman 售货员— customer 顾客
sky 天空——earth 陆地
continent 大陆——ocean 海洋
city 城市——village 农村
10.反义法


任何事物都有相对性，诸如：快与慢、高与低、好与坏、大与小、明与 暗、热与冷、上与下、左与右⋯⋯等。不胜枚举。反义记忆法是利用外语学 习者对事物相对性的反义联想来挖掘大脑记忆潜力的一种学习手段，这种记 忆的词的方法能使学习者对单词的记忆上升到反义对称的逻辑性高度。凡具 有反义对称性的形容词、副词、动词和名词，都可以采用这种方法进行记忆。
例如：
（l）形容词
good 好的—— dad 坏的 quick 快的——slow 慢的 new 新的——旧的 young 年幼的—— elder 年长的 white 白色的——black 黑色的 drive into 驶入——leave 驶离
arise 产生——disppear 消逝
memorize 记住——forget 忘记
strengthen 增强——weaken 减弱
improve 使改善——deteriorate 使恶化
（2）名词
peace 和平——war 战争
friend 朋友——enemy 敌人
heat 热—— cold 冷
kindness 善——wickedness 恶
（3）副词
quickly 快——slowly 慢


up 向上——down 向下
more 更多——less 更少
loud 大声地——low 小声的 11.组合法
把新学和需要牢记的单词按照一定的逻辑规则和习惯搭配方式，分别组 合到一起，即构成一般词组或固定词组，再以这种词组形式进行记忆，是外 语学习中一种行之有效的记忆方法。
采取组合法记忆单词的形式很多，通常可按下列方法对单词进行组合记 忆：形容词与名词组合、名词与名词组合、动词与名词组合、副词与动词组 合、副词与形容词组合、（英语）介词或（俄语）前置词与名词组合，以及 不同词类习惯搭配后构成固定词组成惯用语。


采用组合法记忆单词有以下几个多效性优点：第一，通过单词间组合记 忆能在学习者的大脑中形成联想性条件反射，因此对单词不仅记得快，而且 记得牢。第二，由于经常以词组或短语的形式进行记忆，这种词语和习惯搭 配关系就会在学习者的大脑中形成固定的语言模式，因而不仅能提高学习者 遣词造句的能力，而且能提高口译中的快速反应能力，从而提高语速。第三， 被组合的词组有时是以固定词组、惯用语或专门术语的形式出现的，用此法 记忆单词久了，能不断提高学习者中外文的语言修辞能力，还能扩充专门术 语的词汇量，为正确翻译和表达有关专业的文献资料和语文奠定良好的修辞 基础。
例如：
（1）形容词与名词组合
science students 理科大学生（们）
every morning 每天上午
a hard-working secretary 勤奋的秘书
an electronic watch 电子表
（2）地名词与名词组合
the People’s Republic of China 中华人民共和国
a topic Of conversation 话题
a report on work 工作报告
a cup Of tea 一杯茶


two tons of coal 两吨煤
the way of life 生活方式
（3）动词与名词组合
take measures 采取措施
crack a criminal case 破案
get off a crack 说句俏皮话
（4）介词与名词组合
a bit at a time 逐渐地
a change for the worse 恶化
（5）惯用语
all of a sudden 突然
all out 全力以赴
at loose ends 不知所措
broadly speaking 一般说来
by might and main 竭尽全力
come down to earth 实事求是
come to the surface 为人所知
12.造纸法


在笔记本里记下要记忆的单词时，可将一张纸分成三个部分，把新单词 写在栏Ⅰ中，将其中含义写在栏Ⅲ，在中间部分写上一些桥梁或暗示作用的 单词。例如：当你要记declare 这个单词时，可以用 sayopenly 这一暗示词。 在你看到新单词 declare 时，首先想想它的中文含义，如果想不起来，再看 看暗示词 say openly，这样常常会给你记忆 declare 这一单词带来很大的帮 助，同时也可以让你准确地记住这个单词的英文确切意思。在进行这一记忆 法时，请记住一定要使用双解词典，以便给出正确的暗示词。
13.小卡片忘记法
笔记本随身带，既不好用，又不方便。你可使用小卡片。在卡片的一面， 记下要记忆的单词，在另一面写上该单词的中文意思。这样你就可以每次带 几张卡片在身边。
只要你一有时间，就可以很方便地拿出来记。看看中文想英文，看看英 文想中文，这样经常性的记忆，对一个要记住许多新单词的人来说，大有益 处。只要持之以恒地记下去，总有一天你会成为 a walking dictionary。
14.听视法


听视法是快速牢记外语单词的又一重要手段。采用听视法记忆单词的基 本原理是：充分利用视听设备和外语音像器材，发挥人的听觉和视觉器官易 于接受外界音响和图像的信号，刺激的特点，进而在学习者的大脑中留下难 以遗忘的深刻印象，以求达到串记单词的目的。不少通过视听法学外语的学 习者，想必都有这样的亲身体会。凡是通过视听法学习过的外语知识较之用 其它方法记忆得快而扎实，这正是听视法记忆单词的绝妙之处。
（1）听录音。其方法就是把要记的单词，先用录音机录下来。每个单词 之后停几秒钟，然后读出该单词的中文意思。最后，重播所录内容，利用停 顿的时间说出该单词的中文，经常反复，直到可以说出该单词的中文意思为 止。这一方法的好处在于不但可以记单词，而且可以提高听力。
通过听录音的方法记忆单词时，可采取教材和自录自听两种方法进行。 ①听教材。对外语初学者来说，可根据自己所掌握的词汇量和外语程度， 选择与基础外语教材配套的录音带，对照教材，由浅入深地定期定时放听。
由开始放听单词逐渐到放听词组、短语、句子乃至整段课文和全文。


②自录自听。学习者如没有与教材配套的现成录音带，可采取自录自听 的方法进行，把要记的单词、词组、短语或句子排列组合好。为了增强记忆 效果，还可采取边听边跟读的方法进行。
其方法就是把要记的单词，先用录音机录下来，每个单词之后停几秒钟， 然后再读出该单词的中文意思。最后，重播听录内容，利用停顿的时间说出 该单词的中文，经常反复，直到可以说出所有单词的中文意思为止。这一方 法的好处在于不但可以记单词，也可以提高听力。
（2）听广播。听广播的方法有两种：一种是直接听外台或中国电台的外 语广播节目；另一种是用录音机将电台播放的外语节目收录到磁带上，然后 多次放听。