6.已知向量a=(1.0),b=(1.1 .c-(一1,0),求满足c一入atp中的入和度的值.
7.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1.1),B(A,1),C(4,5),求cosA.cos B.cosC的值。
8.已知向量a=(1,0),b=(1,D),当入为何值时,@十决b与a垂直?
9.已知向量a与b的夹角为30°la|=3.[b|=2.求 a+bl.la-b|的值。 10.如图,支座A受F,F,两个力的作用,已知F,与水平线 成0角,|F=40N,F,沿水平方向,|F.|=70N,F 与F:的合力F的大小为100N.求cos8以及F与F:的夹 角的余弦值 11.在△ABC中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1'。 (第10题)
边长精确到0.01 cm)
(1)a-12cm.b-5cm,A-120°;
(2)a=6cm.b=8cm,A=30°:
(3)a-7cm.b=23cm.C=130°
(4)a-2 cm.b-3em,c-4cm.


12.海中有一座小岛。周围3n mile内有暗礁、一艘海轮由西向东航行,望见该岛在北偏东75°; 海轮航行8n mile以后,望见该岛在北偏东55,如果这艘海轮不改变航向继续前进,有没有 触礁的危险?
综合运用
13.选择题
(1)已知a.b是不共线的向量,且AB=a+5b.FC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()。
(A)A.B.D三点共线 (B)A,B,C三点共线 (C)B.C.D三点共线 (D)A,C,D三点共线
(2)已知正方形ABCD的边长为1.AB=a.1C=b.Ac=e,则a+b+cl=()。
(B)3 (C)2 (D)2/2 (A)0
(3)已知(A一a,OB-b.(C-c,OD-d,且四边形ABCD为平行四边形,则()。
(A) a+b+e+d=0 (B)a-b+e-d=0 (C)a+b-e-d=0 (D)a-b-e+d-0
(4)若e,,e:是夹角为60"的两个单位向量,则a=2e,十e:与b=-3e,+2e,的夹角为()。
(A)30 (B)60° (C)120 (D)150
(5)已知等边三角形AHC的边长为1.EC=a.CA=b.AB=e.那么a·b+b·cc·a= ().


(A)3 (B)-3
(6)若平面向量a.b.c两两的夹角相等,且a=1.|b=1.|c=3.则a+b+e=( (A)2 (B)5 (C)2或5 (D)√2或/5
14.已知a.b.c,d为非零向景,证明下列结论,并 解释其几何意义.
(1)a_b=la+bl=la-bl:
(2)若a+b=c,a-b=d,则la|-|b|=eld.
15.已知△PP,P,向量OP.OP.OP,满足条件OP,+OP,+OP,-0.
OP,|-OP,=OP,.求证:△P.P,P,是等边三角形.
16.如图,已知OA一a.OB-b,任意点M关于点A的对称点为S.点S关
于点B的对称点为N,用a.b表示向量MN.(本题可以运用信息技术 发现规律)
17.一个人骑自行车由 A地出发向东骑行了9km钊达B地,然后由B地向
南偏东30°方向骑行了6km到达C地,再从C地向北偏东30°骑行了
16km到达D地,求这个人由A地到D地的位移(角度精确到1)。
(第16题)
拓广探索


[18,设计一种借助两个观察点C.D (其中C.D之间的跟 是a 测量航船的航向与速度的方法. 1.如图直线/与△ABC的边AB.AC分别相交干点D.E.设 AB-c,BC-a,CA-b、 ADE-0、请用向量方法探究0与 △ABC的边和角之间的等量关系.
第六章平面向量及其应用]A E D B (第19题)


[18,设计一种借助两个观察点C.D (其中C.D之间的跟 是a 测量航船的航向与速度的方法. 1.如图直线/与△ABC的边AB.AC分别相交干点D.E.设 AB-c,BC-a,CA-b、 ADE-0、请用向量方法探究0与 △ABC的边和角之间的等量关系.
第六章平面向量及其应用]R


用向量法研究三角形的性质
我们知道·向量集数与形于一身,每一种向量运算都有相应的几何意义.例如,向量 加法和三角形、平行四边形有密切联系,数乘向量和平行、图形的相似有密切联系,而向 量的数量积与距离、夹角有密切联系,向量运算与几何图形性质的这种内在联系,使我们 自然地想到:利用向量运算研究几何图形的性质,是否会更加方便、简捷呢?
在前面的学习中我们看到,"有了运算,向量的力量无限".实际上,通过向量运算 证明某些几何圈形的性质,比平面几何的"从图形的已知性质推出待证的性质"简便多 了.例如,平面几何中证明勾股定理时,需要添加辅助线、构造正方形等,不仅复杂,而 且不容易想到.但用向量法,我们有:
如图1.在Rt ABC中,ZC-90°.根据向量的加法法则,有
AB=AC+CB.
所以AB=AC+CB+2AC·CB.
因为CBLAC, 所以AC·CB=0.
因此AB=AC+CB
这个证明仅仅用到了"三角形回路(向量加法)"和数量积运算, 图1 而且证明过程是程序化的,充分体现了向量运算的作用,确实简单
多了.


[下面请同学们以向量为工具,展开一次数学探究之旅吧.
一、探究的内容:用向量法研究三角形的性质]A C B


三角形是简单而重要的平面图形,它是平面几何研究的主角,初中我们对三角形进行 了较深人的研究,获得了三角形的许多性质,在数学研究中,常常用新的工具、新的方法 对已研究过的对象进行再研究,这不仅可以站在新的高度重新审视研究对象,加深对数学 对象的认识、而且可以有所发现.因此、以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意 义的, 1.回 初中研究三角形的过程,从研究的思路、内容、方法等角度进行梳理,并列 出已经得到的结论。
2.用向量方法对已证的结论进行证明,总结用向量方法处理几何问题的基本程序, 并与平面几何中的推理论证过程进行比较,门述各息的特点。
3.用向量方法证明以往未加证明或你自己新发现的结论.
例如,在八年级,我们曾经学过三角形的中线,知道"三角形的三条中线相交于一 点,这个交点叫做三角形的重心",而物理学知识告诉我们,重心是物体各部分所受重力 的合力的作用点,形状规则且密度均匀的物体的重心就是它的几何中心."重心"是几何 学和物理要的共同什究对象.应该是很重要的.但我们对它知之甚心.那么,它到底有哪 些神秘的性质呢?


其实,从严谨性的角度看,三角形的两条中线相交于一点是肯定的,但第三条中线是 否经过这个交点是需要证明的.下面我们就用向量方法来探究它是否成立。
如图2,在△ABC中,D.E.F分别是BC、CA,AB的中
点,设BE,CF交于一点0,连接AO,OD.
取OB,0C为基底,并设EO=1,0B,F=1:0,则
EC=E0+0=0B+0 FB=FO+OB=100+0B.
图2 所以
[BC=AC-AB-2EC-2FB =2(, OB+0C)-2(,(0+0B) =2(t-1)OB-2(t-1)0.
又因为BC=C-,所以由平面向量基本定理,得]基底可以有不同的选 择,你可以选择其他基底 试一试.


[2(t,一1)=-1. 2(-1)=-1.
解得
1一
所以
F0=0.F0=
[因此 AO=FO-FA=FO+FB FO+FO+0B=+0. 0-BD-B0=+0
于是 AO=20D 这样,AO与OD共线,即AD是△ABC的BC边上的中线,且过BE,CF的交点0. 所以,"三角形的三条中线交于一点"成立。]A F E B D C


64数学探究用向量法研究三角形的性质
另外,你有没有发现。.这表明:三角形的
心分每条中线为1:2的两条线段,即三角形的重心是中线的三等分点,这样,我们在证 明三角形的三条中线交于一点的过程中."顺 "得到了三角形的一个重要性质,是不是 很有趣?
如果把眼光聚焦在三角形的边、外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等, 你还可以发现更多的性质。
二、对探究活动的要求
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动.
建议按如下步骤完成:
1.小组集体讨论探究方案,确定研究思路;
2.小组成员各自开展独义探究,并以专题作业的形式撰写研究报告:
3.小组内进行交流讨论,完善研究成果,并形成一份小组研究报告:
4.全班进行成果交流、评价
研究报告的参考形式
[用向量法研究三角形的性质
用向量方法探索几何图形性质的一般步骤]班 年级 完成时间: 1.本课题组的成员姓名 2.发现的数学结论及发现过程概述 R 3.证明思路及其形成过程描述 4.结论的证明或否定


[6.收获与体会
66数学探究用向量法研究三角形的性质]R


第七章 复数
[我们知道,对于实系数一元二次方程ar*+bx+c=0,当 △=b-4ac<0时没有实数根,因此,在研究代数方程的过程中, 如果限于实数集,有些问题就无法解决,事实上,数学家在研究 解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题,但他们一直在回 避.到16世纪,数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式 时,再也无法回避这个问题了,于是开始尝试解决,在解决这个 问题的过程中,数学家们遇到了许多困扰,例如负实数到底能不 能开平方?如何开平方?负实数开平方的意义是什么?等等. 本章我们将体会数学家排除这些困扰的思想,通过解方程等 具体问题,感受引入复数的必要性,了解从实数系到复数系的扩 充过程和方法,研究复数的表示、运算及其几何意义,体会 "数"与"形"的融合,感受人类理性思维在数系扩充中的作用
7.1复数的概念]


在解决求判别式小于0的实系数一元二次方程根的问题 时,一个自然的想法是,能否像引进无理数而把有理数集扩 充到实数集那样,通过引进新的数而使实数集得到扩充,从 面使方程变得可解呢?复数概念的引人与这种想法直接相关。
7.1.1数系的扩充和复数的概念
从方程的角度看,负实数能不能开平方,就是方程 x2+a=0(a>0)有没有解,进而可以归结为方程x+
[1=0有没有解.
探究]想一想,这是为什么?


我们知道,方程x+l=0在实效集中无解,联系从自然数集到实数叶的护充过 程,你能给出一种方法,适当扩充实数集,使这个方程有解吗?
回顾已有的数集扩充过程,可以看到,每一次扩充都与 实际需求密切相关.例如,为了解决正方形对角线的度量 以及 2=0这样的方程在有理数集中无解的问题,人们 把有理数集扩充到了实数集,数集扩充后,在实数集中规定 的加法运算、乘法运算,与原来在有理数集中规定的加法运 算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结 合律,乘法对加法满足分配律.
依照这种思想,为了解决x+1=0这样的方程在实数 系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是方 程x+1=0的解,即使得i=-1.
i是数学家欧拉(1e onhard Euler.1707-1783) 最早引入的,它取自imag inary(想象的,假想的)一 词的词头,i=i·i
思考
把新引进的数i添加到实数集中,我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进 行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足 分配律,那么,实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢? 68 第七章复数


依照以上设想,把实数b与i相乘,结果记作bi:把实数a与b相加,结果记作a十 bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,bER)的形式,从而这些数都在扩充后的 新数集中.
我们把形如a+bi(a.bER)的数叫做复数(complex number),其中i叫做虚数单 位(imaginary unit),全体复数所构成的集合C={a+bi|a.bR叫做复数集(set of (complex numbers),这样,方程x'+1=0在复数集C中就有解 一i了.
复数通常用字母=表示,即:=a+bi(a,bER),以后不作特殊说明时,复数z=a十 bi都有a,b r,其中的a与6分别叫做复数z的实部(rea part)与虚部(imaginary part).
在复数集C二1u+b |ab R中狂取两个数a十bi,c+d a,b.c.d R),我们 规定:
a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.
对于复数u+bi(a,6ER),当且仅当6=0时,它是实数:当且仅当a=b=0时, 它是实数0:当6≠0时,它叫做虚数(imaginary number);当a=0且6≠0时,它叫做 纯虚数.


例如,3+2i。
一0.2i都是虚数,它们的实部分别是3. 一3,0.虚部分别是2.一3,一 ,一0.2,并且其中只有一0.2i是纯虚数。
思考
复数集C与实数集R之间有什么关系?
显然,实数集R是复数集C的真子集,即REC. 这样,复数z=a+bi(a,beR)可以分类如下: [实数(b=0)。
复数 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
[复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系, 可用图7.1-1表示。
例1当实数m取什么值时,复数=m+1+(m-1)i是下列数?]虚数集 复数集 实数集 纯虚数集 图7.1-1


(1)实数:(2)虚数:(3)纯虚数。
分析:因为mER,所以m+1,m-1都是实数,由复数:=a+bi(a,bER)是实 数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值。
解:(1)当m-1=0,即m=1时,复数=是实数.
(2)当m-1≠0.即m≠1时,复数是虚数.
第七章复数69
(3)当m+1=0、且m-1≠0、即m=-1时,复数是纯虚数。
练习
1.说出下列复数的实部和虚部:
2++号.
2.指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数。为什么?
2+7,0.618号,0,i,5+8,3-9、2i,i(1-3),2
3.求满足下列条件的实数x, 的值:
(1)(z+v)+(v-1)i-(2+3v)+(2v+1)i:(2)(x+v-3)+(x-2)i-0.
7.1.2复数的几何意义
我们知道,实数与数轴上的点--对应,因此实数可以用数轴上的点来表示,复数有 什么几何意义呢?
思考
根据复数相等的定义,任何一个复数:=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b) 唯一确定;反之也对,由此你能想到复数的几何表示方法吗?
因为迁何一个复数:=a+bi都可以出一个有序实数对人a.


(6) 一确定,并巳任给一个复数也可以 一确定一个有序实数 对,所以复数z=a+bi与有序实数对(a.b)是一一对应的,面 有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所 以复数集与平面真角坐标系中的点集之间可以建立一--应关系
如图7.1-2,点乙的横坐标是a,纵坐标是6,复数:=a+bi 可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都 表示实数:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
例如,复平面内的原点(0.0)表示实数0.实轴上的点
(2.0)表示实数2.虚轴上的点(0.一1)表示纯虚数一i.点
[(一2,3)表示复数一2+3i等.
图7.1-2]Z:a+bi b a x


按畅这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平 面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,由此可知,复数集C中的数与复平面内的 点按如下方式建立了--对应关系
复数z=a+bi_应复平面内的点Z(a,6)
这是复数的一种几何意义.
思考
在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序 实数对与复数是一一对应的,你能用平面向量来表示复数吗?
[如图7.1-3.设复平面内的点2表
示复数x=a+bi,连接02,显然向量]b Z:a+bi


在本书的第六章,我 0Z由点2唯一确定:反过来,点2也
们提到复数的这种几何表 可以由向量0Z唯一确定.因此,复数集
示是由韦塞尔在1797年
提出的,后来,阿尔出 C中的数与复平面内以原点为起点的向
书对此进行讨论,并得到 量建立了如下--对应关系(实数0与 高斯的认同,因此这种儿
图7.1-3
零向量对应),即
何表示也称阿尔冈图 (Argand diagram),正是 复数z=a+bi--对应.平面向量02
这种直观的几何表示,揭 开了复数的神秘的,不可 这是复数的另一种儿何意义.
思议的"面纱",确立了 为方便起见,我们常把复数=a+bi说成点Z或说成 复数在数学中的地位, 向量02,并且规定,相等的向量表示同一个复数.
图7.1-3中向量0Z的模叫做复数z=a+bi的模(modu lus of a complex number)或绝对值,记作|:|或|a+bi,即 l:|=la+bil=a+b.
其中a,bER.
如果6=0.那么:=a+bi是一个实数a.它的模就等于lal(a的绝对值).
例2设复数:1=4+3i,:=4-3i.
(1)在复平面内画出复数=,2对应的点和向量;


(2)[z|=|4+3i|=√4+3=5. |z:|=4-3i|=4+(一3)=5. 所以|z|=|=l.
一般 ,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫,互为共复数 (con ugate complex um ber).虚部不等于0的两个共轭复数也叫做其轭虚数复数=的共 复数用:表示,即如果:=a十bi,那么=a-bi.
思考
若z1+z;是共 复敷,那么在复平面内它们所对应的点有态样的关系?
例3设:EC.在复平面内:对应的点为2.那么满足下列条件的点2的集合是什 么图形?
(1)|z|=1: (2)1<z|<2
解:(1)由|=1得,向量02的模等于1,所以满足条 件:=1的点乙的集合是以原点O为圆心,以1为半径的圆. #<2.
(2)不等式1<:|<2可化为不等式
:1>1.


[不等式:|<2的解集是圆|:|=2的内部所有的点组成的 集,不等式的解集是.=!外部所有的点组成的 集合:这两个集合的交集,就是上述不等式组的解集,也就是 满足条件1<:|<2的点Z的集合.容易看出,所求的集合是
以原点(为圆心、以1及2为半径的两个圆所夹的圆不,但不 包括圆环的边界(图7.1-5).]图7.1-5


练习
1.说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为 D).
2.在复平面内,描出表示下列复数的点:
(1)2+51: (2)-3+2i: (3)2-4 (4)-3一i:
(6)-3i
3.已知复数2+i,-2+4i,-21,4 4i.
(1)在复平面内画出这些复数对应的向量:
[(2)求这些复数的模.
习题7.1]A F E B D H (第1题)


复习巩固
1.符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子:若不存在,请说明理由。
(1)实部为一2的虚数:
(2)虚部为一2的虚数:
(3)虚部为一2的纯虚数。
2.当实数w取什么值时,友数㎡一5+6)十C㎡m23mn月是下列数?
(1)实数:
(2)虚数:
(3)纯虚数.
3.求适合下列方程的实数x与y的值:
(1)(3x+2v)+(5x-v)=17-2i: (2)(x+y-3)+(z-4)i=0.
4.如果P是复平面内表示复数a+bi(a,bER)的点,分别指出在下列条件下点P的位置
(1)a>0.6>0;
(2)u<0.6>0;
(3)u=0.6≤0;
(4)6<0.
2i的模,并比较它们的模的大小.
5.求复数z:=3+4及=一
综合运用
6. 当实数m取什么值时,复平面内表示复数:=(m-8m+15)+(m-5m-14)的点分别满足 下列条件?
(1)位于第四象限:
位于第一象限或第三象限:
(3)位于直线y=x上.
第七章复数73
7.在复平面内,0是原点,向量QA对应的复数是2+i
(1)如果点A关于实轴的对你点为点B,求向量OB对应的复数:


(2)如果(1)中点B关于虐 的对 点为点C,求点C对应的复数, 8.设:EC.在复平面内:对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
(1)|==3:
(2)2|=1<5
9.如果复数:的实部为正数,虚部为3.那么在复平面内,复数=对应的点应位于怎样的图 形上?
拓广探索
10.已知复数≤的虐部为.在复平面内复数=对应的向量的 为2,求这个复数:.
[11.在复平面内指出与复数=1=1+2i,=2+3i,=3-2i.==-2+i对应的点乙 Z.Z.乙.判断这4个点是否在同一个脚上,并证明你的结论.
74第七章复数]R


7.2复数的四则运算
在上一节,我们把实数集扩充到了复数集,引入新数集 后,就要研究其中的数之间的运算,下面就来讨论复数集中 的运算问题.
7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
我们规定,复数的加法法则如下:
设z=a+bi,z=+di(a,b,c,dER)是任意两个复数,那么它们的和
(a+bi)+(c+di)=(atc)+(b+d)i.
很明显,两个复数的和仍然是一个晚定的复数,特别地,当 , :都是实数时,把它 们看作复数时的和就是这两个实数的和.
可以看出,两个复数相加,类似于两个多项式相加.
思考
复数的加法满足交换律、结合律吗?
[容易得到,对任意z+z2zEC,有
探究]


我们知道,复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应,而我们讨论过向量加 法的几何意义,你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗?
设Oz,.0:分别与复数a+bi,c十di对应,则OZ,=(a,b),O:=(e,d,由平 面向量的坐标运算法则,得
0Z:+0z,=(a+c,b+d).
[这说明两个向量(0Z,与02:的和就是与复数(a+c)+(6+d)i对应的向量。因此,复数的 加法可以按照向量的加法来进行( 7.2-1).这就是复数加法的几何意义.
图7.2-1]Z Z2(c,d) Z1(a,b)


思考
我们知道,实数的减法是加法的道运算,类比实数减法的意义,你认为该如何定 义复数的减法?
我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c+di)+(x+yi)=a+bi
的复数x+vi(r,vER)叫做复数a+bi(a.6eR)减去复数c+di(c,dER)的差, 记作(a+bi)-(c+di)
根据复数相等的含义, c+x=a、d+y=b.
因此 x=a-c,y=b-d, 所以
x+yi=(a-c)+(b-d)i.
即
(a+b)-(c+di)=(a一c)+(b-d)i.
这就是复数的减法法则,由此可见,两个复数的差是一个确定的复数,可以看出,两 个复数相减,类似于两个多项式相减.
探究
类比复数加法的几何意义,你能得出复数减法的几何意义吗?
例1计算(5-6i)+(-2-)一(3+4i). 解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=(5-2-3)+(一6-1-4)i =-11i
76第七章复数
根据复数及其运算的几何意义,求复平面内的两点Z,(x,yi),Z(rys) 之间的距离.


分析:由于复平面内的点乙(x1yi),Z2(xy:)对应的复数分别为=xi+ y ..zn+y..由复数减法的几何意又知,复数:一叫对应的向量为 ,2,从而点 乙.乙之间的距离为|乙乙==:一
解:因为复平面内的点乙:(x)ry:).zc(rrry.)对应的复数分别为21=x+ya #:=x:+yzi,所以点2,Z:之间的距离为
[zz;=zZ=|z:-|=(a+yi)-(x+yi)l =|(x-xi)+(y:一yi)i -(x-)+(y一y).
练习
1.计算:
(1)(2+1D+(3-4D):
(2)5-(3+2):
(3)(一3-4)+(2+i)-(1-5i): (4)(2-1)-(2+3i)+4
2.如图、向量0Z对应的复数是,分别作出下列运算的结果对应的向量:
(1)z+1: (2)=-1: (3)=+(一2+1)。
3.证明复数的加法满足交换律,结合律.
4.求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离;
(1)==2+i,;=3一i (2)=8+51,==4+2i.
Zia.b)3
(第2题)
7.2.2复数的乘、除运算
我们规定,复数的乘法法则如下:


设c=a十bi,x:=c十di(a.b.c.deR)是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+bxi+adi+txi =(ac-bd)+(ad+b)i
很明显,两个复数的积是一个确定的复 .特别地,当 ,=:都是实数时,把它们看 作复数时的积就是这两个实数的积。
可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把 换成 一1,并且把实部与虚部分别合并即可.
思考
复数的乘法是否满足交换律、结合伴?乘法对加法满足分配律吗?
第七章复数77
[容易得到,对于任意2,2,2EC.有
例3计算(1-2i)(3+4i)(一2+i). 解:(1-21)(3+41)(-2+i)]


=(11-2)(一2+) -20+15i
计算:
(1)(2+3i)(2-3i); (2)(1+i)2.
分析:本例可以用复数的乘法法则计算。也可以用乘法 公式 计算。
(1)(2+3i)(2-3) =2-(3i)
=4-(一9) =13:
(2)(1+1)°-1+2i+i =1+2i-1 =2i.
指的是与实教系中 的乘法公式相对应的公式。
若二,是共复 数,则:是一个怎样 的数?
探究
类比实数的除法是乘法的进运算,我们规定复数的除法是来法的进运算,请探求 复数除法的法则.
复数除法的法则是:
ac+bdbx-ad (a+bi)÷(c+di)= i(a,b,c、dER.且c+di≠0). c+d+d2
由此可见,两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数 在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成"+6 的形式,再把分子
与分母都乘分母的共轭复数c一di,化简后就可得到上面的结果,这里分子分母都乘分母 的"实数化因式"(共轭复数),从而使分母"实数化"
例5计算(1+2i)÷(3-4i).


1+2i 解:(1+2i)÷(3-4i)= 3-4i (1+2i)(3+4)3-8+6i+4i (3-4i)(3+4i) 3+4" -5+10i 25
例6在复数范围内解下列方程:
(1)r+2=0:
(2)ar +bz+c=0.其中ab.c R.且a≠0.△=b=4ac<.
分析:利用复数的乘法容易得到(1)中方程的根,对于(),当△=b:-4ac时, 一元二次方程ar2+br+c=0无实数根,利用求解一元二次方程的"根本大法"--配方 法,类似于(1),就能在复数范围内求得(2)中方程的根。
解:(1)因为(2)=(一2i)=-2.所以方程x2+2=0的根为x=土2i
(2)将方程axr"+bxz+c=0的二次项系数化为1,得
配方,得
即
由△<0,知 (b-4ac) (2a)
所以原方程的根为x= 2u
在复数范围内,实系数一元二次方程ax'+bx+0(a0)的求根公式为, -b土Vb*-4ac
(1)当△≥0时,x= 2a
b士√-(b--4ac)i
(2)当4<0时,r=


综合运用
5.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A.B.C三点对应的复数分别是1+3i,一i,2+i, 求点D对应的复数.
6.在复数范围内解下列方程:
(1)x+4r+5-0:
(2)2r-3r+4-0.
7.已知2i-3是关于x的方程2x+px+q=0的一个根,求实数,q的值。
拓广探索
8.利用公式 +b1=(让十 )a一bi,把下列各式分解成一次因式的积:
(1)z"+4:
(2)a一b'.
9.若==r+yi(r,yER),则复平面内 足1:一(2+i=3的点2的集合是什么图形?
10.使用信息技术手段进行试验:尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解,规察并记录所 发现的规律.
阅读与思考
代数基本定理
在代数发展史上的很长一段时期内.解一元多项式方程一直是人们所完的一 个中心问题,早在古巴比伦时期,人们就会解一元二次方程,16世纪上半叶,教 学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法(包括求根公式),此后,数学 家们转向求解一元五次及五次以上的方程,他们想弄清楚以下问题:一般的一元 多项式方程有没有根?如果有粮,根的个数是多少?是否存在求根瓜式?


我们可以发现这样一个现象:随机生成的一元多项 、在复数集中最终都可 以分解成一次同式的乘积,且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多 项式的次数,事实上,数学中有如下定理:
代数基本定理(fundamental theorem of algebra)
任何一元"(nEN')次
复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.
代数基本定理是数学中最重要的定理之一,它在代数学中起着基础作用。代 数基本定理的证明方法有很多种,但每种证法都涉及高等数学知识,此处不作介 绍,有兴趣的同学可以查阅相关资料。
由代基本定理可以得到:任何一元n人n(N')次复系数多项式f(上)在复 数集中可以分解为n个一次因式的乘机,进而,一元n次多项式方程有n个复数 根(重根按重数计),你能给出证明吗?
第七章复数81
琴管一元次多项 方程有 个复根(重根按重教计)。但是一元五次 五次以上的方程不存在一般的求根公式
下面我们从代数基本定理出发,看看一无多项式方程的根与系数之间的关系, 设实系数一元二次方程
4zx+az+a=0(u:≠0)
在复数集C内的根为ri,工,容易得到
设实系数一元三次方程


agx+aor2+ax+a=0(a≠0)
在复数集C内的根为工),x工),可以得到,方程①可变形为
as(x-x)(x-x)(x-x)=0
展开得
xa(a+x:x)r+a(x+rx)a=0
比较①②可以得到
x+x+x=+xx x=
如果实系数一元四次方程
air'+asr"+agr+ax+a=0 (a≠0)
在复 集C内的根为x.xx.x.那么它们与方程的系数之间有什么关 系呢?
对千上述方程,如果系是复数,那么根与系数的远些关系仍然成立吗?
第七章复数
7.3*复数的三角表示
前面我们研究了复数a十bi及其四则运算,本节研究复 数的另一种重要表示--复数的三角表示.它可以帮助我们 进一步认识复数,同时能给复数的运算带来便利.
7.3.1复数的三角表示式
我们知道,复数可以用a+bi(a,beR)的形式来表示,复数a+bi与复平面内的点 2(a,6)是一-对疵的,与平面向量O2=(a,b)也是一-对应的. 助复数的几何意义, 复数能不能用其他形式来表示呢?
探究


如图7.3-1,复数=a+bi与向量(z=(,6)-对应。"1 复数:由向量(Z的坐标(a.b)唯一确定。我们知道向量也可 以由它的大小和方向唯一确定,那么能否借助向量的大小和方 向这两个要素来表示复数呢?如何表示?
Za+hi
图7.3-1
向量的大小可以用 台刻画,那么向量的方向如何刻画呢?由图7.3-1容易想到,可 以借助以 轴的非负半轴为始边,以向量(所在射线(射线(2)为终边的角0来刻画 0Z的方向。
思考
你能用向量02的模和角 来表示复数:吗?
记向量的模|0Z =la+bil=r,由图7.3-1可以得到, ja=rcos 0, b=rsin0.
标有·的内容为选学内容,不作考试要求。
第七章复数83
所以 a+bi=rcos +irsin =r(cos +isin ), 其中
[r=va+b=, cos0" b sin 0=
这样,我们就用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的 角0表示了复数.]当点Z在实轴或虚轴 上时,这个结论成立吗?


一般地,任何一个复数:=a+bi都可以表示成
r(cos +isin 0)
的形式,其中,r是复:的模:①是以x轴的非负半轴为始边,向最O7质在射线(射线 0Z)为终边的角,叫做复数:=a十bi的辐角(argument of a complex number), [(cs 0+(sin0)叫做复数 =a+bi的三角表示式,简称三角形式、为了与三角形式区分开 来,a十b叫做复数的代数表示式,简称代数形式。
显然,任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2n的整数倍.例 如,复数i的辐角是+2k,其中可以取任何整数,对于复数0,因为它对应着零向量,
而零向量的方向是任意的,所以复数0的 角也是任意的.我们规定在0<0<2 范围内的 辐角6的值为辐角的主值(principal value of an argument)。通常记作arg,即0≤
3 arg.<2n,例如,ag1=ag=,ag(-1)=,ag)=
复数的代数形式可以转化为三角形式,三角形式也可以转化为代数形式,我们可以根 据运算的需要,将复数的三角形式和代数形式进行互化。
例1画出下列复数对应的向量,并把这些复数表示成三角形式:


(2)1-i
分析:只要确定复数的模和一个辐角,就能将复数的代数形 式转化为三角形式。
解:(1)复数÷+对应的向量如图7.3-2所示,则 +
[因为与。+对应的点在第一象限,所以angl+ 3
84第七章复数]图7.3-2


于是+
(2)复数1-i对应的向量如图7.3-3所示,则
2 r=√1+(-1)=2,cos8=
[因为与1-i对应的点在第四象限,所以arg(1-i)= 于是1-i=/2(c"+n).
当然,把一个复数表示成三角形式时,辐角0不一定取主值,例如 co(一-)+ian(一-)也是1一i的三角形式。]1-i 图7.3-3


例2分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示 成代数形式:
11元
(1)cos+isin: (2)6(o+isin
解:(1)复数cos +isin的模r=1,一个辐角0= 、对应的向量如图7.3-4所示。所以
[cos 十isin t=-1+0i=-1.
(2)复数6(os1+in模=6,一个辐角 811x]图7.3-4 11  6 6 图7.3-5


。对应的向量如图7.3-5所示,所以 11 6(cos
=3、3-3i
思考
两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等?
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且由它的模与辐角的主值唯一骑 定,因此,两个非零复嫩相等当且仅当它们的模与编角的主值分别相等.
第七章复数85
练习
1.把下列复数表示成三角形式,并且画出与它们对应的向量;
(1)4: (2)一i: (3)23+21;
2.下列复数是不是三角形式?如果不是,把它们表示成三角形式. ()(001an元) (2)--(+im):
(3)(+ (4)c+in
(5)2(aos+isin
3.把下列复数表示成代数形式:
(1)6(+ixn) (2) (+in
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
前面,我们研究了复数代数形式的乘、除运算,下面我们利用复数的三角表示研究复 数的乘、除运算及其几何意义.
思考
如果把复数二二分别写成三角形式=r)(cos +isin0)。2;=r,(cos0+ isin0),你能计算=二:并将结果表示成三角形式吗?
即


根据 敷的乘法法则以友两角和的正弦、余弦公式可以得到 #1:=r(cos 0,+isin 0,)·r:(cos 0+isin (,) =rir:(cos 0,+isin 0,)(cos 0+isin 0 rir:[(cos Ocos 02-sin 0,sin 0)+i(sin 0cos 02+cos 0sin 0)] rr:[cos(0,+0,)+isin(0,+0)]。
r(cos 0,+isin 0)·r(cos 0+isin 0, =rirLoos(0+0)+isin(0+0)]
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角
86 第七章复数
由复数乘法运算的三角表示,你能得到复数乘法的几何意义吗?
两个复数z1::相乘时,可以像图7.3-6那样,先分别画出与:对应的向量 20.00,然后把向量O;绕点O按逆时针方向旋转角0:(如果0,:,就要把C、绕 点(0按顺时针方向旋转角10:1),在把它的模变为原来的 :信,得到向量02.02表示 的复数就是积 ,这是复数乘法的儿何意义.
[你能解释=-1和
(-1)"=1的几何意义吗?]Z Z2 01+02 02 x


图7.3-6
例3已知()=()
求zjz,请把结果化为代数形式,并作出几何解释
解:(+x2(+ =3i
首先作与,=:对应的向量02,02,然后把向 量0Z:点0按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为 原来的2倍,这样得到一个长度为3,辐角为, 的向量 02(图7.3-7).02即为积:=3i所对应的向量.
[当不要求把计算结果 化为代数形式时,也可以 用三角形式表示。
第七章复数87]Z Z2 x 图7.3-7


例4如图7.3-8,向量02对应的复数为1+
i.把02绕点0按逆时针方向旋转120',得到QZ. 求向量OZ对应的复数(用代数形式表示)。
分析:根据复数乘法的几何意义,向量02对 应的复数是复数1+i与 的积,其中复数z。的模 是1,辐角的主值是120°
解:向量02对应的复数为
(1+i)(cos 120°+isin 120°)
[=(1+)(-一-+号 -1-3,3-1, 22
探究]Z Z' 图7.3-8


复数的除法运算是乘法运算的逆运算,根据复数乘法运算的三角表示。你能得出 复数的除法运算的三角表示吗?
设x!=x,(cos 「+isin0,,x =s 0s0,十 in  ),是你去 ,因为
(cos +isin).cs(0,8)+isin(0,),(os,+isin)
所以根据复数除法的定义,有
r(cos 0+isin 0) [cos(0,-0)+isin(e,-0)] r:(cos 0:+isin 0)
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所的的商,商的辐角 等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
探究
类比复数乘法的几何意义,由复数除法运算的三角表示,你能得出复数除法的几 何意义吗?
计算4(+s2(+) ,并把结果化为代数形式.
88第七章复数
解:=2 -2(an+in)-2(0+)-2i
练习
1.计算:
(1)s(0+in)x2(0+)
(2)2(0+)x(+)
(3)(o240+sin210)( 60+tin60)
(4)3(cos 18"+isin 18°)×2(cos 54"+isin 54")×5(cos 108"+isin 108").
2.计算:


(2)(cos38-isin 38)(cos 20-isin 2)=cos58-isin5。
7.化简:
(cos 70+isin 70)(cos 20+isin 20) (1) (cos50+isin 50)(cos 30+isin30) cos -isin e (2) cos +isin g
8.设:/3-i对的向量为0Z,将02绕点0按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45'和60", 求所得向量对应的复数(用代数形式表示)。
拓广探索
9.如下页图,复平面内的△ABC是等边三角形,它的两个顶点A,B的坐标分别为(1.0)。
(2.1),求点C的坐标.
10,如下页圈,已知平而内井列的三个全等的正方形,利用复数证明 /1+ 2+ 3=
[90第七章复数
探究与发现]B 3 2 1 C 2 3 x (第9题) (第10题)


1的n次方根
初中我们学过,1的平方根为士1,它们互为相反数,如何求1的3次方 根,4次方根……次方根?它们有什么性质呢?
我们知道开方是乘方的逆這算,为了探求l的n火方根,需要先研究复 敏的乘方.
再自复数气法远算的三角表示知,若 1=r:(cos{+(in0).≈:=r:. (cos 0s+isin0:),则2;=:=rir:[cos(0,+0)+isin(0,+0:)],这个结论可以 推广到n(n≥>2.nEN)个复数相案的情况,即若==r:(cos0+isin8). #:=rz(cos 0:+isin0),…:=r,(cos0,+isin 0.),则 2·***=rrg**rLco0+0.+0.)+isin(0,+0++0.) 特别地,如果z:…r(cos+isin),那么
[r(cos 0+isin0)7"=r"(cos n0+isin n0).
这就是说,复数的n(nEN')次幂的模等于
这个复数的模的n次幂,它的幅角等于这个复数 类比复教法的几何意
义,你能给出复教乘方的几 的辐角的n1倍,这个结论叫做棣莫佛定理. 何意艾吗?
下面我们利用棣莫佛定理,探求1的3次方


根,给出它们的几何解释,并探求它们的性质.
设:=p(cs +isin)(p>0)是1的3次方根,则:=1=(s0+isin 0。 从而 [p(cos +isin)]=p2(eos 3e+isin 3)=cos0+isin 0.
因为相筝的复数的模相等,称角可以相差2n的整 ,所以
p2=1. 3=0+2k=(kE2).
第七章复数91
2k式
2k元 固此1的3次方根是cOs (kEZ).
-+isin
2k元 2k元 根据三角函数的周期性可得,1的3次方根为 ;=cos""+isin3 13
2元 (k=0,1,2),即=o0+sin0=1,,=+isn
4#13 4 (w=cos+isin22
1的3次方根的几何意义是什么呢?
如图1,在复平面内,设0。。(),①:对应的点分 别为Z.,Z1,2、对应的向量分别为02..02, 02、因为||-|-|w-1,所以, 所对应的点乙,乙.乙,都在以原点(为圆心的单位
圆上,因为,a),w:的辐角依次相差 所以Z..
Z.乙:是单位圆的三等分点(也可以看成单位圆的内 接正三角形的顶点),且分点2。恰为单位圆与实轴的
图1


正半轴的交点. 从w,0,0:对应的向量02.02.02:来看,容易发现:将0Z、绕 原点(按进时针方向旋转一得到Z,再接通时针方向旋转"得到02,维 2m 续按逆时针方向旋转一得到0Z.
我们还可以得到1的3次方根的一些性质:
(1)(w,)=1,1a,=1,其中=0,1,2;
(2)w,和(:互为共轭复数;
(3)1+ ,+a=0(k=1,2).
你能证明这些性质吗?
[类比上述研究方法,请你自己探求1的4次方根,5次方根……次方 根,你能解释它们的几何意义,并探求它们的性质吗?
92第七章复数]Zo 1


小结
[本章知识结构
二、回顾与思考]复数代数形式的 复数的代数形式 四则运算 数系扩充 复数的概念 复数引入 复数乘、除运算 复数的三角形式 的三角表示


本章我 们通过解方程引入了复 ,进雨研究了复数的表示和运算,以及它 们的几何意义,将实数系扩充成复数系。
在数学更上,从古希腊丢番 时代人们求一元二次方程的 时发现复 问 题开始,到意大利数学家卡尔丹在他1545年出版的《重要的艺术》中,在求解 一元三次方程过程中无法回避虚效问题,再到 18世纪束塞尔给出复数的几何 表示,人们才开始接受复数,这是一个漫长而曲折的过程,其中充满着数学家 的想象力、创造力,表现了 学家不屈不挽、精益求精的精神.我们看到,人们 是在解决纯粹的数学问题的过程中发现复数的,但它现在在流体力学、信号分 析等学科中得到了广泛的应用.1843年,英国数学家路 顿在复数基础上造 了四元数,从而导致了物理学中著名的麦克斯书方程的建立,显示了人类理性 思维的强大作用。


复簌本质上是一对有序实数,因此复数与复平面内的点是一一对应的,与 复平面内以原点为起点的向量也是一-对应的,由复数的向量表示可以进一步 得到复 的三角形式,因此,复数的代数形式,三角形式都具有明显的几何意 义.从复数的运算看、复数代数形式的加减运算的几何意义,就是相应早面向量 的加减远算:复数的乘、除 运算的几何意义,就是平面向量的旋转、伸缩本章 强调数与形的结合,学习时应注意把握数形结合的思想方法。
学寸本章时、应注意复数与实数、有理数的联系、复数及其代数形式的加 法、 法,乘法运算与多项式及加法、臧法乘法运算的联系、应注意复数 及其代数形式的加、减运算与平面向量及其加、减运算的联系,还应关注奥数 的三角表示以及复数的来、除运算与平面向量、三角函数的联系。这些联系可以 用以下框图表示:


[第七章复数93
复习参考题7]类比 类比 平面向量 复数及其运算 多项式及其运算 及其运算 特殊化 类比 数轴上的向 实数及其运算 量及其运算 特殊化 有理数及其运算 联系 联系 复数的三角形式以及 三角函数 平面向量 复数的乘、除运算 请你带着下面的问题,复习一下全章内容吧! 1.收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料,并对"整数有理数一实 数-复数"的数系扩充过程进行整理. 2.学习复数应联系实数,注意到复数事实上是一对有序实数,请比较实数、 虚数、纯虚数、复数之间的区别和联系,比较实数和复数的几何意义的区别. 3.你对复数四则运算法则规定的合理性,以及复数代数形式的加、减运算 与向量的加、减运算的一致性有什么体会? 4.什么是复数的三角形式?它与复数的几何意义之间有什么联系?复数的 代数形式与三角形式之间有什么关系? 5.复数乘、除运算的几何意义是什么? 6.比较复数乘、除运算的代数表示与三角表示,体会复数的三角表示给乘、 除运算带来的便利.


复习巩固
1.选择题
(1)复数a十b与e+di的积是实数的充要条件是(
(A) ad+bx=0 (B) ar+h=0
(2)复数; 的共轭复数是(). a=bd (D) ad=bx:
(A)i+2 (B)i-2 -2一i (D)2-i
(3)当1时,复数m(3+)-(2+)在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 "(4)复数sin 40'-icos 40"的辐角主值是( (A)40" (B)140 (C)220 (D)310"
2.填空题
(1)若复数:的模为5.虚部为一4,则复数==
(2)已知复数z=1-2i,那么
(3)复数6+5i与-3+4i分别表示向量OA与0,则表示向量BA的复数为
(4)如果向量0Z对应复数4i,02绕点0按逆时针方向旋转45后再把模变为原来的/2倍得到
向量(Z,,那么与0Z,对应的复数是 (用代数形式表示)。
3.求证:===1, 4.已知复数:与(+2)'一8i都是纯虚数,求z
5.在复数集C中解下列方程:
(1)4z"+9=0:
(2)(x-3)(x-5)+2=0.
综合运用
+求
6.已知:=5+10i,z;=3-l


7.已知(1+2i):-4+3i,求=及二
(1)求,i,,,。。、的值;
(2)由(1)推测i(#EN")的值有什么变化规律,并把这个规律用式子表示出来.
拓广探索
9.已知复数=+(4-w)i(mER),=-2cos+(2+3sin0)i(,0ER),并且z)二= 求入的取值范围.
10.在复平而的上半平而内有一个 形QABC. AX=120.点A所对应的复数是2+1.求另 外两个顶点B,C所对应的复数.
第七章复数95
第八章 立体几何初步
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的 数学分支,在解决实际问题中有着广泛的应用,在小学和初中, 我们已经认识了一些从现实物体中抽象出来的立体图形,你能在 下图中找到它们吗?
立体图形各式各样、千姿百态,如何认识和把握它们呢?本 章我们将从对空间儿何体的整体观察入手,研究它们的结构特 征,学习它们的表示方法,了解它们的表面积和体积的计算方 法;借助长方体,从构成立体图形的基本元素--点、直线、平 面入手,研究它们的性质以及相互之间的位置关系,特别是对直 线、平面的平行与垂直的关系展开研究,从而进一步认识空间儿 何体的性质.


立体图形是由现实物体抽象而成的,直观感知、操作确认、 推理论证、度量计算,是认识立体图形的基本方法,由整体到局 部,由局部再到整体,是认识立体图形的有效途径,学习本章内 容要注意观察,并善于想象.
8.1基本立体图形
[在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间 的一部分,如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其 他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几 何体(space geometry),本节我们主要从几何体的组成元素 及其相互关系的角度,认识几种最基本的空间几何体
观察一个物体,将它抽象成空间几何体,并描述它的结构特征。应先从整体人手,想 像 成物体的每个面的形状、面与面之间的关系,并注意利用平面圈形的知识]观察 如图8.1-1,这些图片中的物体具有怎样的形状?在日常生活中,我们把这些物 体的形状叫做什么?如何描述它们的形状? 纸箱 腰鼓 纸杯 金字塔 茶叶盒 水晶萤石 奶粉罐 储物箱 铅锤 篮球和足球 图8.1-1


在图8.1-1中,可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体有相同的 特点:围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形:纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮 球和足球、铅锤等物体也有相同的特点:围成它们的面不全
[是平面图形,有些面是曲面。
一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 (pxolyhedron)(图8.1-2)、围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面,如面ABE.面BAF:两个面的公共边叫做多面]在空间几何体中说某 个面是多边形,一般也包 括这个多边形内部的平面 部分.


[体的 ,如 AE, EC: 与棱的公共点叫做多面体的顶点,如顶点E,顶点C.图 8.1-1中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状.
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转 面,封闭的旋转面围成的儿何体叫做旋转体(rotating solid),这条定直线叫做旋转体的 轴。图8.1-3中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴00旋转形成的.图8.1-1中的纸 杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.]E 面 轴 B' A' 棱 A C B B 顶点 图8.1-2 图8.1-3


下面,我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手,进一步认识一些特殊 的多面体和旋转体。
1.棱柱
观察
[观察图8.1-4中的长方体,它的每个面是什么样的多边形?不同的面之间有什么 位置关系?
可以发现,长方体的每个面都是平行四边形(矩形),并且相对的两个面,如面 ABCD和面A'B'C'D',给我们以平行的形象,如同教室的地面和天花板一样.]D' C' B' A' D A 图8.1-4


[如图8.1-5.一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边 形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱(prism).图8.1-1中的茶叶 盒所表示的多面体就是 棱柱,在 棱柱中,两个互相平行的面叫做 柱的底面,它们是全竿 的多边形:其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻侧面的公共边叫做棱柱 的侧棱:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
图8.1-5]E' D' F B' 侧面 底面 D 侧棱 E F 顶点 A B


棱柱用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-5中的棱柱记作棱柱ABCDEF A'B'D'Ep.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边.……··我们把这样的棱柱分 别叫做三棱柱、四校柱、五棱柱……
[在图8.1-4中的长方体中,侧棱和底面给我们以垂直的形象,如同教室里相邻墙面的 六长线和地面的关系一样.一般地,我们把 棱重直于底面的棱柱叫做直 柱(图 8.1-6(1)(3)),侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(图8.1-6(2)(4)),底面是正多边 形的直楼柱叫 正楼柱(图8. 愿6(3).底面是平行四边形的四楼柱也叫微平行六面体 (图8.1-6(4)).
[图8.1-6](1) (2) (3) (4)


2.棱锥
像图8.1-1中金字塔这样的多面体,均由平面图形围成,其中一个面是多边形,其余 各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点.
[言图8.17.一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的多面体叫做棱锥(pyramid),这个多边形面叫做棱维的底面:有公共顶 点的各个三角形面叫做棱锥的侧面:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶 点叫做棱锥的顶点.
图8.1-7]S 顶点 侧面 侧棱 C 底面 A B


第八章立体儿何初步99
楼 用表示顶点和 面各顶点的字母来表示,如图8.1-7中的校锥记作 锥 SABCD, 锥的底面可以是三角形、四边形五边形-*我们把这样的棱谁分别叫做
三棱锥、四棱锥、五棱……·其中三楼锥又叫四面体。底面是正多边形,并且顶点与底 而中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。
3.棱台
[如图8.1-8、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台(frustum o a pyramid)。图8.1-1中的储物箱就给我们以棱台的形象. 在棱台中,原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上 底面,类似于校柱、棱锥,棱台也有侧面、侧棱、顶点、 请你信照检锥中侧 面、侧棱、顶点的定义, 给出台侧面,侧棱、项 点的定义,并在图8.1-8 中标出它们。
图8.1-8]D 上底面 A' B' D C 下底面 A B


校台用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-8中的棱台记作校台ABCD A'谈'D'.由三 谁、四棱锥、五棱饿.….→得的棱台分别叫做三 台、四棱台、五枝
台……
例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来:
多面体,长方体,棱柱,校锥,棱台,直棱柱,四面体,平行六面体
[如图8.1-9所示。
图8.1-9]多面体 棱柱 平行 棱锥 棱台 四面体 直棱柱 长方体 六面体


100第八章立体儿何初步
[1.观察图中的物体,说出它们的主要结构特征。
2.判断下列命题是否正确,正确的在括号内西" "· 误的画](2) (3) (第1题)


(1)长方体是四棱柱,直四校柱是长方体.
(2)四棱柱、四棱台、五锥都是六面体。
3.填空题
(1)一个几何体由7个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其他各面都是全等的矩形, 则这个儿何体是
(2)一个多面体最少有 个面,此时这个多面体是
4.设计一个平而图形,使它能折成一个直三校柱。
4.圆柱
[如图8.1-10.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成 的旋转体叫做圆柱(circular cylinder),旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的 圆面叫做圆柱的底面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位 置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
图8.1-10]轴 A B' 母线 底面 侧面 B


在生活中,许多物体和容器都是圆柱形的,如图8.1-1中的奶粉 .圆柱用表示它的 轴的字母表示,如图8.1-10中的圆柱记作圆柱0'O.
第八章立体儿何初步101
5.圆锥
与圆柱一样,圆锥也可以看作是由平面图形旋转而成的.如图8.1-,以直角三角 形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 (cireular cone).图8.1-1中的铅锤就是圆锥形物体,圆锥也有轴、底面、侧面和母线.
[图8.1-11
圆锥也用表示它的轴的字母表示,如图8.1-11中的圆锥记作圆锥SO.]请你仿照圆柱中轴、 底面、侧面、母线的定义, 给出圆锥的轴、底面、侧 面、母线的定义,并在图 8.1-11中标出它们. A B


6.圆台
[如图81-12,与棱台类似,用平行于圆锥底面的平面去 圆锥,底面与截面之间的 部分叫做圆台( rustum of a cone),图8.1-1中的纸杯就是具有台结构特征的物体.
图8.1-12]


与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、底面、侧面、母线(请你在图8.1-12中标出它 们),圆台也用表示它的轴的字母表示,如图8.1-12中的圆台记作圆台00.
探究
圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台是否也可以由 平面图形旋转得到?如果可以,由什么平面图形旋转得到?如何挨转?
7.球
如图8.1-13,半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面, 球面所围成的旋转体叫做球体(solid sphere),简称球,半圆的圆心叫做球的球心:连接 球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径,连接球面上-点并且经过球心的线段叫做球
[的直径,球常用表示球心的字母来表示.如图8.1-13中的球记作球O.
图8.1-13]半径 直径 球心


楼柱、  、台、 柱、圆 、圆台和球是常见的简单几何体、其中 柱与 柱统 称为柱体,棱锥与圆锥统称为锥体,棱台与圆台统称为台体.
探究
棱柱、棱锥与台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点?当底面发 生变化时,它们能否互相转化?圆柱、圈锥与圆台呢?
8.简单组合体
现实世界中的物体表示的几何体,除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外,还有大 量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体称作简单组合体
[图8.1-14
简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何 体拼接而成,如图8.1-14(1)(2)中物体表示的几何体: 请你说一说图8.1-14 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,如图8.1-14 中各几何体是由哪些简单]R (1) (2) (3) (4)


(3)(4)中的几何体,现实世界中的物体大多是由具有柱体、 凡何体组合而成的.
锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成。
例2如图8.1-15(1),以直角梯形ABCD的下底AB 所在直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何 体,说出这个几何体的结构特征.
第八章立体儿何初步103
[几何体如图8.1-15(2)所示,其中DELAB,垂足为E.
图8.1-15]E D B B (1) (2)


这个几何体是由圆柱BE和圆锥AE组合而成的.其中圆柱BE的底面分别是OB和 OE,侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的:圆锥AE的底面是OE,侧面是由 梯形的边AD绕轴AB旋转而成的.
练习
1.观察图中的物体,说出它们的主要结构特征。
[(第1题)
2.说出图中物体的主要结构特征。](2) (3)


[2.说出图中物体的主要结构特征。
3.如图,以三角形ABC的一边AB所在直线为轴,其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体、说出 这个儿何体的结构特征。]A B (1) (第3题) (第2题)


4.观察我们周围的物体,说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征.
104第八章立体儿何初步
[习题8.1
3.如图,汽车内 可以由下面某个图形绕轴旋转而成,这个 形是(]复习巩固 C1 B 1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,指出经过顶点D的和面 2.如图,下列几何体中为棱柱的是 C (填写序号). B (第1题) (3) (5) (6) (第2题)


[).
4.如图,判断下列几何体是不是台体,并说明为什么。](A) (B) (D)


[4.如图,判断下列几何体是不是台体,并说明为什么。
5.如图,说出图中两个几何体的结构特征。](2) (3)


(1)
(第5题)
第八章立体儿何初步105
综合运用
6.判断下列命题是否正确,正确的在括号内面"√",错误的画"x"。
(1)一个棱柱至少有5个面。
(2)平行六面体中相对的两个而是全等的平行四边形。
(3)有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.
(4)正校的侧面是全等的等腰三角形.
[7.如图,右边长方体中由左边的平面图形围成的是(
(第7题)](B) (D)


[8.如图,长方体ABCD-A'B'C'D被一个平面截成两个几何体,其中EH/BC'/FG.请说出这 两个几何体的名称.
9.如图,以 ABCD的一边AB所在直线为轴,其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体, 出这个几何体的图形,并说出其中的简单儿何体及有关的结构特征。]H D' C' E B' G D C F B B (第8题) (第9题)


拓广探索
10.下列命题是否正确?若正确,请说明理由:若错误,请举出反例.
(1)有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是梭柱: (  有两个面平行且相似,其他各个面都是 形的多面体是 台
106第八章立体儿何初步
8.2立体图形的直观图
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体 的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上,用平面图形 表示出来,使我们能够根据平面图形想象空间儿何体的形状 和结构,这就需要学习直观图的有关知识。
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的 图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面 内的点的集合,用同一平面内的点表示,因此,直观图往往 与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中,立体图 形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
[要画立体图形的直观图,首先要学会画水平放置的平面 图形.
观察]观察 如图8.2-1,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成 块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 图8.2-1


在初中,我们已经学习过投影,一个物体的投影,不仅与 这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的 位置关系有关,如果一个矩形垂直于投影面,投影线不垂直于 投影面,则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2). 利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法,利用
图8.2-2
这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是:
[(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于 点0.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y轴,两轴相交
第八章立体儿何初步107]


于点O,且使 x'0'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴 的线段
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线 段,在直观图中长度为原来的一半.
对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观 ,如图8.2-3.哭A'B'C'D√就 是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图,其中横向线段A'B'=AB.
C'D'=CD;纵向线段A'D
BC: D'A'B'-45",这与我们的直观观 察是一致的.
[图8.2-3
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.]D D' B A' B


[画法:(1)如图8.2-4(1),在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,AD 的乖直平分线MN为  ,在轴相交于点O.在 8.2-4(2)中,画相应的不'轴与y 轴,两轴相交于点0',使/x'Oy'=45
(2)在图8.2-4(2)中,以0为中点,在x轴上取 A'D'=AD,在y轴上取M'N' MN,以点N'为中点。]F M E F' E' E' M' D A A' D' D' A O' x B' N' C' B' B N (1) (2) (3) 图8.2-4


画BC'平行于x'轴,并且等于BC:再以M'为中点,画 FE'平行于x'轴,并且等于FE.
[(3)连接A'B'.C'D'.D'E'.F'A',并擦去辅助线 x'轴和y'轴,便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A'B'C'D'E'F'(图8.2-4(3))。
画直观图时,除多边形外,还经常会遇到画圆的直观图的问题,生活的经验告诉我 们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图,实际画图时 常用如图8.2-5所示的椭圆模板.]在利用斜二测画法画 直观图的过程中,x轴和 y轴起到了什么作用?


[在立体几何中,常用 正等测画法画水平放置 的圆。
练习]000° 图8.2-5


L.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画"√"、错 误的画"×".
(1)相等的线段在直观图中仍然相等。
(2)平行的线段在直观图中仍然平行.
(3)一个角的直观图仍是一个角。
(4)相等的角在直观图中仍然相等。
2.用二测西法面出下列水平放置的平面图形得直观 (尺寸自定), (1)矩形:
(2)平行四边形;
(3)正三角形; (4)正五边形。
画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都 垂直的: ,并且使平行于、 的线段的平行性和长度都不变.下面介绍几种简单儿何体 的直观图的画法.
例2已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜-测画法画出它的 直观图.
分析:画棱柱的直观图,通常将其底面水平放置,利用斜二测画法画出底面,再画出 侧被.她可以得到按往的直观围,长方体起一种殊的楼柱,为强图  .可职经过长方 体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、=轴。
画法:(1)画轴,如图8.2-6,画x轴、y轴、=轴,三轴相交于点O(A),使 Za0y=45°, x0x=90.


(2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB,使AB=3cm:在v轴正半轴上取线段 AD,使AD=1 cm.过点B作v轴的平行线,过点D作x轴的平行线,设它们的交点为
C.则口ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
[第八章立体儿何初步109
(3)画侧校.在:轴正半轴上取线段AA',使AA'=1.5cm,过B,C,D各点分别 作:轴的平行线,在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB',CC'.DD']D' D' 画几何体的直观图 B' 时,如果不作严格要求, A' B' A' 图形尺寸可以适当选取. D D 用斜二测画法画图的角度 A B 也可以自定,但要求图形 B O(A) 具有一定的立体感. 图8.2-6


(4)成图.顺次连接A'.B',C.D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分 改为虚线),就得到长方体的直观图了。
[例3已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3.cm,画出它的直观图. 解:(1)画皱,如图8.2-7.画工轴、、轴,使 0=90
图8.2-7]B' A B


(2)画下底面,以O为中点,在x轴上取线段AB、使OA=OB=1cm.利用椭圆模 板画椭圆,使其经过A.B两点,这个椭圆就是圆柱的下底面。
(3)画上底面,在0:上截取点O',使('=3cm,过点O作平行于轴Q的 轴O .类似下底面的作法作出圆柱的上底而
(4)成图.连接AA',BB',整理得到圆柱的直观图.
[对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点,最后 画出两侧的两条母线(图8.2-8).
110第八章立体儿何初步]


[对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点,最后 画出两侧的两条母线(图8.2-8).
110第八章立体儿何初步]S 图8.2-8 图8.2-9


画球的直观图,一般需要画出球的轮嘲线,它一个圆.同时还经常画出经过球心的 截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性(图8.2-9).
例4某简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的 底面与圆柱的上底面重合,画出这个组合体的直观图.
分析:组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及 它们的组合方式,然后再画直观图,本题中没有尺寸要求,画图时只需选择合适的大小, 表达出该几何体的结构特征就可以了。
[画法:如图8.2-10,先画出圆柱的上下底面,再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆 谁的价点,最后画出 柱和  的母线,并标注相关字每,就得到组合体的直观图.
图8.2-10]B B'


练习
1.用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图, 2.用斜二测画法画一个正六柱的直观图, 3.一个简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个半球,并且半球的球心就是圆柱 的上底面圆心,画出这个组合体的直观图。
习题8.2
复习巩固
1.用斜二测画法画水平放置的平图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画
/",错误的画"×"
(1)三角形的直观图是三角形
(2)平行四边形的直观图是平行四边形.
(3)正方形的直观图是正方形。
(4)菱形的直观图是菱形。
2.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图:
第八章立体儿何初步111
(1)直角边横向:
(2)斜边横向, 3.用斜二测画法画出底面边长为2cm,侧楼长为3cm的正三 柱的直观图.
4.画底面半径为1cm,母线长为3cm的圆柱的直观图。
综合运用
5.一个菱形的边长为4cm,一内角为60°,将菱形水平放置并且 使较长的对角线成横向,试用斜二测画法画出这个菱形的直 观图.
6.已知一个  由等腰直角三角形旋转形应。画出这个圆 的直 观图
7.一个几何体的三视图如图所示,画出这个几何体的直观图. 正视图 侧视图
拓广探索


8.画出你所在学校的一些建筑物的直观图(尺寸自定)。 俯视图
(第7题)
阅读与思考
画法几何与蒙日
画法几何就是在平面上绘制空间图形,并在平面图上表达出空间原物体各部 分的大小、位置以及相互关系的一门学科,它在绘画、建筑等方面有着广泛的 应用。
厨法几何起源于欧洲文艺复哄时期的给画为迷筑技术,意大利艺术家菜臭纳 多·达·芬奇(Lconardo da Vinci,1452-1519)在他的绘画作品中已经广泛地 运用了边视运论。主要是中心投影.法国数学家德萨格(Geraresarkues. 1593-1662)在他的"透视法"中给出了空间几何体
透视像的画法,以及如何从平面图中正确地计算出
几何体的尺寸大小的方法,主要是运用正投影,后
来法国数学家蒙日经过深入研究,在1799年出版了
《画法几何学》一书,在该书中,蒙日第一次详细
阐述了怎样把空间(三维)物体投影到两个互相垂
[直的平面上,并根据投影原理(这种原理后来发展 成射影几何学)推断出该空间物体的几何性质。蒙
蒙日(Gasgxrd Monge,1746-1818)]


日的《画法几何学》不论是在概念上,还是在方法上都有深远的影响,这种方法 对于建筑学、军事学、机械制图等方而都有极大的实用价值,从此画法凡何就成 为一门独立的几何分支学科,蒙日成为画法几何的创始人
蒙日生长在法国大革命则代, 他出生于法国东  的一个小商人家庭,16 岁时,因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图,他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员。 1768年,蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学,那时他只有22岁. 1780年,他被选为巴黎科学院通讯院士,1783年,他迁居巴黎后,积极投身巴黎 的公共事务.曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长,并参与创办了巴黎. 合工科学校和法兰西国家研究院。为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置,蒙 日用几何方法避开了麻烦的计算,他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的 聪明方法,在实际中有着广泛的应用,并导致函法几何的产生,法国大革命前后, 由于军事建筑上的迫切需要,蒙日的画法几何方法被列为军事秘密,所以很久未 能公之于世,直到当时的军事约束解除后,蒙日才公布了他的研究成果,这已是 他建立画法几何之后30年的事了.
人表胶
第八章立体儿何初步113


8.3简单几何体的表面积与体积
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表 示,本节进一步认识简单几何体的表面积和体积,表面积是 几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是儿何 体所占空间的大小.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和。梭柱、校锥、校台的表面积就是 围成它们的各个面的面积的和。
例1如图8.3-1.四面体P-ABC的各校长均为a,求它的表 面积
分析:因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以 四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍。
解:因为△PBC是正三角形,其边长为u,所以S mc=
因此,四面体P-ABC的表面积
[3a:=3a. SpA=4X
图8.3-1]B


2.棱柱、棱锥、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊的棱柱--正方体、长方体的 体积公式,它们分别是
V体=a(a是正方体的棱长), Vk为体=abc(a,b、(分别是长方体的长、宽、高)。 一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱 柱的体积
V#=Sh.
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那 么,棱柱的体积是校锥的体积的3倍,因此,一般地,如果 校锥的底面面积为S,高为h,那么该校锥的体积
梭柱的高是指两底面 之间的距离,即从一底面
上任意一点向另一个底面 作垂线,这点与垂足(垂 线与底面的交点)之间的 距离.
校锥的高是指从顶点 向底面作垂线,顶点与垂 足之间的距离.
由于校台是由校锥截成的,因此可以利用两个校锥的体 积差,得到棱台的体积公式
V投台 h(S'+VS'S+S),
其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高。
被台的高是指两底面 之间的距离。即从上底面 上任意一点向下底面作垂 线,这点与垂足之间的 距离.
思考
观察梭柱、按锥、棱台的体积公式
Ve=Sh,V=Sh,V=(S+SS+S)
它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?


[例2如图8.3-2.一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四校锥,两 部分的高都是0.5m.公共面ABCD是边长为1m的正方形,那么这个漏斗的容积是多 少立方米(精确到0.01 m)?
图8.3-2]C' D' B A' D A B P


分析:漏斗由两个多面体组成,其容积就是两个多面体的体积和, 解:由题意知
V长方体UICD AC=1X1X0.5 =0.5(m).
VPABCD -X1×1X0.5 (m).
所以这个漏斗的容积
≈0.67(m)。
第八章立体儿何初步115
练习
1.正六楼台的上.下帐面边长分别是2cm和6cm.侧 长是5cm,求它的表面积
2.如图是一个表面被涂上红色的校长是4cm的立方体,将其适当分割成校长为1cm的小立方体、 (1)共得到多少个棱长是1cm的小立方体
(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(3)两面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
(4)一面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?
[(5)六个而均没有颜色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?它们占有多少立方厘米的 空间?
3.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体去八个一样的四面体得到的,如果被截 正方体的校长是50cm,那么石凳的体积是多少?](第2题) (第3题)


4.求证:直三 杆的任意两个 面的而积和大于第三个 而的面积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和. 利用圆柱、圆 、圆台的展开图(图8.3-3),可以得到它们的表面积公式:
[Sge=2xr(r+D)(r是底面半径,/是母线长), Sne=r(r+/)(r是底面半径,/是母线长), S=(+r+r(+rl)(r'、r分别是上、下底面半径,/是母线长).
圆柱、 推、 台的表面积公式之间有什么关系?你能用回柱、  、 台的结 构特征来解释这种关系吗?]1 S


我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式,即
V住=rh(r是底面半径,是高),
Vwn=rh(r是底面半径,是高)。
由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用圆 的体积公式推导出 台的体积公式
Vi游在一动(2+r+)(r,分别是上、下底面半径,h是高)。
思考
圆柱、 锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合楼柱, 错、 台的体积公 式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?桂体、维体、合体的体积公 式之间又有怎样的关系?
归纳
Vn=Sh (S为底面积,h为柱体高);
Va=-Sh(S为底面积,h为体高);
V#x=(S'+S'S+S)(S'、S分别为上、下底面面积,为台体高)。
当S'-S时,合体交为柱体,台体的体积公式也就是柱体的体积公式:当S'-0 时,台体变为锥体,台体的体积公式也就是锥体的体积公式。
2.球的表面积和体积
设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数. 事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积是
S第=4 R2
第八章立体儿何初步117


例3如图8.3-4,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合面成。 半球的直经是O.3m.圆柱高0.6m,如果在浮标表面徐一层防水 漆,每平方米 要0.5kg涂料.那么给1000个这样的浮标涂防水 漆需要多少涂料?(=取3.14)
解:一个浮标的表面积为
2xX0.15×0.6+4=x0.15=0.8478(m).
[所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.847 8×0.5×1000=423.9(kg).
图8.3-4]


思考
在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法, 你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?
类比利用回周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积,如图8.3-5. 把球(的表面分成"个小网格,连接球心(和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成 n个"小锥体".
当n越大,每个小网格越小时,每个"小锥体"的底面就越平,"小锥体"就越近似 于校锥,其高越近似于球半径R.设O-ABCD是其中一个"小锥体".它的体积是
[图8.3-5
Vo ASR]A C B


由于球的体积就是这n个"小锥体"的体积之和,而这n个"小锥体"的底面积之 和就是球的表面积,因此,球的体积
R=XIRRR
由此,我们得到球的体积公式
118第八章立体儿何初步
例4如图8.3-6,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆 柱的体积之比.
解:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
:V--R',Ve一R·2R=2R .V:V R:2nR
[本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法。 在生产、生活中遇到的物体,往往形状比较复杂,但很多物体都可以看 作是由出这些简单几 体组合而成的,它们的去面积与体积可以利用这些 简单几何体的表面积与体积来计算.
练习]R 图8.3-6


1.已知圆锥的表面积为a㎡且它的侧面房开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.
2.当一个球的半径满是什么条件时,其体积和表面积的数值相等?
3.将一个楼长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体等件,求可能割作的最大学件的休积
4.一个长、宽、高分别是80cm,60 cm,55 cm的水槽中装有200000cm的水,现放入一个直径为
50 cm的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中溢出?
习题8.3
复习巩固
[1.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内,如果 四边形AHCD是边长为30cm的正方形,那么这个八面体的表面积是多少?
2.如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个校锥,求校锥的体积与剩下的几何体体积 的比.]E D A B (第1题) (第2题)


第八章立体儿何初步119
[,3.如图.一个三棱柱形容器中盛有水,树校AA.-8.若侧面AABB水平放置时.水面恰好过 AC,BC.A.C.B.C的中点,那么当底面ABC水平放置时,水面高为多少?
4.如图,圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO的中点0作平行于底面的截面,以该载面为底 面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积. 5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,求球的体积。]C1 B B1 A (第3题) (第4题)


综合运用
6.如图是一个烟筒的直观图(图中数据的单位为厘米),它的下部是一个正四校台形物体,上部 是一个正四棱柱形物体(底面与四棱台形物体的上底面重合),为防止雨水的侵蚀,同时使烟 简更美观,现要在烟简外部粘贴瓷砖,请你计算需要多少平方厘米的瓷砖?(结果精确到
[1cm2,可用计算工具)
7.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.9×10'kg/m)六角螺母共重5.8kg.如图,每一个螺 母的底面是正六边形,边长为12mm.内孔直径为10mm,高为10mm,这堆螺母大约有多 少个?(可用计算工具,取3.14) 8.分别以一个直角三角形的斜边,两条直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成 3个几何体,这3个几何体的体积之间有什么关系?]80 50 (第6题) (第7题)


拓广探索
9.如下页图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积。(可用计算工具, 尺寸如图,单位:cm,#取3.14,结果取整数.)
[120第八章立体儿何初步
探究与发现]20 8 10 正视图 侧视图 俯视图 (第9题)


祖暅原理与柱体、锥体的体积
祖暅原理
祝 (gng)(5世纪-6世纪),字景烁,祖冲之之子,范阳 道县(今河 北省涞水县)人,南北朝时期的伟大科学家,祖暅在数学上做出了突出贡献,他 在实践的基础上,于5世纪末提出了下面的体积计算原理:"幂势既同,则积不 容异",这就是"祖胆原理"."势"即是高,"幂"是面积,祖原理用现代语言 可以描述为:
夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所 截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
[如图一.来在平行平面间的两个几何体(它们的形状可以不同),被平行于这 两个平面的任何一个平面所截,如果 血(阴影部分)的面积都相等,那么远两 个几何体的体积一定相等。
图1]


图2
[这个原理是非常浅显易懂的,例如,取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体 (图2),使它倾斜一个角度,这时几何体的形状发生了改变,得到了另一个几何 体,但两个几何体的高度没有改变,每页纸的面积也没有改变,因而两个几何体 的体积相等,利用这个原理和长方体体积公式,我们能够求出柱体、锥体、台体 和球体的体积.
被应给出上面的原理,要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪, 意大利数学家卡瓦列里(Uonaventura Cavalieri,1598-1647)才给出上 结论]


二、柱体、锥体的体积
下面我们用祖暅原理推导体和锥体的体积公式。 设有底面积都等于S,高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长
方体,使它们的下底面在同一平面内
(图3),根据祖暅原理,可知它们的体
积相等,由于长方体的体积等于它的底
面积乘高,于是我们得到柱体的体积
公式
V=Sh.
其中S是柱体的底面积,h是柱体的高。
[设有底面积都等于S,高都等于h的两个锥体(例如一个棱锥和一个国锥)。 使它们的底面在同一平面内(图4).根据祖眶原理,可推导出它们的体积相等. 这就是说,等底面积等高的两个锥体的体积相等,
图3]A' A' C' C' A' B' B B 3 2 1 C S B B B 图4 图5


[设有底面积都等于S,高都等于h的两个锥体(例如一个棱锥和一个国锥)。 使它们的底面在同一平面内(图4).根据祖眶原理,可推导出它们的体积相等. 这就是说,等底面积等高的两个锥体的体积相等,
图3]


如图5,设三棱柱ABC-A'BC"的底面积(即△ABC的面积)为S,高(即 点A'到平面ABC的距离)为h,y它的体积为Sh,沿乎面A'BC和平面A'BC. 将这个三棱柱分割为3个三校镶其中三特镶l.2的底面相等(S A S(Arn),高也细等(点C到平而ABB'A'的距离),三棱馆2.3也有相等的房 面积(Sanw=Sae)和相等的高(点A'到平面BCC'B'的距离),因此,这3
个三棱维的体积相等,每个三棱锥的体积是 Sh.
如果三館A-AHC( 三 锥1)以 AFC为底,那么它的底面积是S. 高是h,而它的 积是sh.这说明三顿维的体积等于他的 面积来高的积的三 分之一,
122第八章立体儿何初步
事实上,对于一个任意的维体,设它的底而积为S,高为h,那么它的体积 应等于一个底面积为S、高为h的三棱锥的体积,即这个锥体的体积为
这就是锥体的体积公式。
[往体和仓体是两种基人几何体,它们的体积公式有着广 的应那.
第八章立体儿何初步123]R


8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
前面我们初步认识了简单儿何体的组成元素,知道了顶 点、校(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体 的基本元素。我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之 间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征,为了进 一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间 的位置关系进行研究。本节我们先研究平面及其基本性质。 在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系。
8.4.1平面


[在初中,我们已经对点和直线有了一定的认识,知道它们都是由现实事物抽象得到 的、生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉,如课桌面、黑板面、平静的水面等. 几何里所说的"平面(plane)"就是从这样的一些物体中抽象出来的,类似于直线向两 端无限延伸,平面是向四周无限延展的 与画出直线的一部分来表示直线一样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面,我 们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面,如图8.4-1,当平面水平放置时,常把平 行四边形的一边画成横向:出平面竖首放置时,常把平行四边形的一边画成鬓向.
我们常用希腊字号a. .y等表示平面.如平面a、平面 、平面y等,并将他写在 代表平面的平行四边形的一个角内:也可以用代表平面的平行四边形的四个头点,或者相 对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如图8.4-1中的平面a,也可以表示 为平面ABCD、平面AC或者平面BD.]D B 图8.4-1


下面,我们来研究平面的基本性质。
思考
我们知道,两点可以确定一条直线,那么几点可以确定一个平面?
124第八章立体儿何初步
图8.4-2
在日常生活中,我们常常可以看到这样的现象:自行车用一个脚架和两个车轮着地就 可以"站稳",三脚架的三脚着地就可以支撑照相机(图8.4-2),由这些事实和类似经 验,可以得到下面的基本事实:
[基本事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平
面(图8.4-3).]B a


基本事实1给出了确定一个平面的依据.它也可以简单说成
图8.4-3
"不共线的三点确定一个平面".不在一条直线上的三个点 A、b.
C所确定的平面,可以记成平面ABC.
直线上有无数个点,平面内有无数个点,直线、平面都可以看成是点的集合,点A 在直线/上,记作AEl:点B在直线/外,记作B :点A在平面a内,记作AEa: 点P在平面a外,记作Pea.
思考
如果直线,与乎面 有一个公共点口.直线/是否在乎面a内?如果直线/与平 面a有两个公共点呢?
在实际生活中,我们有这样的经验:如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上,那么 直尺的整个边缘就落在 了  上,上还经验和类似的事实可以后纳为以下基长事实, 基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么
这条直线在这个平面内(图8.4-4).
利用基本事实2,可以判断直线是否在平面内.
[平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合,如果直
线/上所有点都在平面a内,就说直线/在平面a内,记作 ICa:否则,就说直线/不在平面a内,记作1Ca.]A B 图8.4-4


基本事实2也可以用符号表示为
AEI,BEI,且AEa,BEa→lCa.
基本事实2表明,可以用直线的"直"刻画平面的"平",用
第八章立体儿何初步125
[直线的"无限延伸"刻画平面的"无限延展".如图8.4-5,由基本事实1,给定不共线三 点A,B.C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB,BC,CA,由基本事实2,这三 条直线都在平面ABC内,进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内, 所有这些直线可以编织成一个"直线网",这个"直线网"可以铺满平面ABC.组成这个 "直线网"的直线的"直"和向各个方向无限延伸,说明了平面的"平"和"无限延展".
如图8.4-6.把三角尺的一个角立在课桌面上。 三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点 B?为什么?]利用信息技术工具, 可以方便地作出这个图 B 形,观察"直线网"的形 成和编织成平面的过程, 想象直线和平面的关系. 图8.4-5


[如图8.4-6.把三角尺的一个角立在课桌面上。 三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点 B?为什么?
想象三角尺所在的无限延展的平面,用它去"穿透"课桌面.可以想象.两个平面相 交于一条背线.教室里相邻的 面在 面的墙角处有一个公共点,这两个 面相交于过这 个点的一条直线,由此我们又得到一个基本事实, 基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线(图8.4-7)。]B 图8.4-6


[想象三角尺所在的无限延展的平面,用它去"穿透"课桌面.可以想象.两个平面相 交于一条背线.教室里相邻的 面在 面的墙角处有一个公共点,这两个 面相交于过这 个点的一条直线,由此我们又得到一个基本事实, 基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线(图8.4-7)。
图8.4-7]B 如无特殊说明,本章 P 中的两个平面均指两个不 a 重合的平面.


基本事实3告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交于过这 个公共点的一条直线,两个平面相交成一条直线的事实,使我们进一步认识了平面的 "平"和"无限延展"
126第八章立体儿何初步
平面a与3相交于直线/,记作a3=1.基本事实3可以用符号表示为
PEa,且PEBan3=1,且PE1.
[在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住 的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(图8.4-8).
图8.4-8]B B B A


上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的 基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础
利用基本事实一和基本事实2.再结合"两点确定一条直线"·可以得到下面三个推 论(图8.4-9):
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
[推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。
图8.4-9]b b P B a a (2) (1) (3)


事实上,如图8.4-9(1),设点A是直线a外一点,在 直线a上任取两点B和C.则由基本事实1,经过A.B. C三点确定一个平面a,再由基本事实2.直线a也在平面a 内,因此平面Q经过直线 和点A,即一条直线和这条直线 外一点确定一个平面.
[推论1~3给我们提供了确定一个平面的另外几种方法. 如图8.4-10,用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果 这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内, 否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2.
图8.4-10]


[图8.4-10
不共线的三点,一条 直线和这条直线外一点, 两条相交直线,两条平行 直线,都能唯一确定一个 平面,这些结论在后续研 究直线和平面之间平行、 垂直关系时,也会经常]用类似的方法,你能 说明推论2和推论3成 立吗?


用到。
第八章立体儿何初步127
练习
1.判断下列命远瑟否正确、正确的在括号内画" "·错误的画"*"
(1)书桌面是平面。
(2)平面a与平面 相交,它们只有有限个公共点.
(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合,
2.下列命题正确的是()
(A)三点确定一个平面
(B)一条直线和一个点确定一个平面
(C)圆心和圆上两点可确定一个平面
(D)梯形可确定一个平面
3.不其面的四点可以确定几个平而?请画出图形说明你的结论.
4.用符号表示下列语句,并画出相应的图形, (1)点A在平面a内,点B在平面a外:
(2)直线u经过平面a外的一点M;
(3)直线a既在平面a内,又在平面多内.
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系,如点在平面内,直线在 平面内,两个平面相交,等等,空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗?
长方体是我们熟悉的空间几何图形,下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直 线、平面之间的位置关系。
观察


我们知道,长方体有8个顶点,12条梭,6个面,12条 校对应12条棱所在的直线,6个面对应6个面所在的平面。 观察如图8.4-11所示的长方体ABCD-A'B'C'D',你能发现 这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗?
观察你所在的教室,你能找到上述位置关系的一些实例 吗?你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗? 图8.4-11
空间中点与直线的位置关系有两种:点在直线上和点在直线外,如图8.4-11中,点 A在直线AB上,在直线A'B'外,空间中点与平面的位置关系也有两种:点在平面内和 点在平面外,如圈8.4-11中,点A在平面ABCD内,在平面A'B'C'D'外.
下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系.
1.空间中直线与直线的位置关系
在图8.4-11中,直线AB与DC在同一个平面ABCD内,它们没有公共点,它们是 平行直线:直线AB与BC也在同一个平面ABCD内,它们只有一个公共点B.它们是相 交直线:直线AB与CC'不同在任何一个平面内.
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lincs),于是,空间两 条直线的位置关系有三种:


[(相交直线:在同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:在同一平面内,没有公共点; 异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。 这样,空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的,即首 先这两条宣线在同一平面内,其次是它们不相交,她果直线a,b为异而直线,为了表示 它们不共而的特点作图时,通常用一个或两个平面制托,如图8.4-12所示.
图8.4-12]b B b a a


2.空间中直线与平面的位置关系
在 8.4-1I中,直线AB与平面ABCD有无数个公共点:直线AA与平面ABCD 只有一个公共点A:直线A'B'与平面ABCD没有公共点,再结合生活实例,我们可以看 出,直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内--有无数个公共点;
(2)直线与平面相交--有且只有一个公共点:
(3)直线与平面平行-没有公共点.
一般地,直线a在平
当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为 面a内,应把直线a画在
表示平面a的平行四边形 直线在平面外.
内;直线u在平面a外。 图8.4-13表示了直线与平面的三种位置关系。 应把直线a或它的一部分
[画在表示平面a的平行四 边形外。
直线a与平面a相交于点A,记作ana=A;直线a与平面a平行,记作a//a.]a a 图8.4-13


3.空间中平面与平面的位置关系
在图8.4-11中,平面ABCD与平面A'BC'D'没有公共点:平 面ABCD与平面BCC'B'有一条公共直线BC.再结合生活实例,我 们可以看出,两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1)两个平面平行--没有公共点;
(2)两个平面相交 有一条公共直线.
画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边 形的对应边平行(图8.4-14).
[平面a与平面平行,记作a//B.
图8.4-14]


探究
如图8.4-15,在长方体ABCD-ABC'D'中,连接A'B, DC.请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关 系的例子,并用符号表示这些位置关系。
[与其他同学交流一下你的结果。
例1如图8.4-16,用符号表示下列 形中直线、平面之间的位置关系.]B' A Du C A B 图8.4-15


[例1如图8.4-16,用符号表示下列 形中直线、平面之间的位置关系.
分析:根据图形,先判断直线、平面之间的位置关系,然后用将号表示出来. 解:在(1)中,an8=1,ana=A,an3=B. 在(2)中.a门3=1.aCa.bcp.anl=p.bnl=P.anb=p.]B a a a B B P b (1) (2) 图8.4-16


例2如图8.4-17,AB a=B,Aa,aCa,Bea.直线AB与a具有怎样的位置 关系?为什么?
图8.4-17
[130第八章立体儿何初步
解:直线AB与a是异面直线,理由如下,]A B


若直线AB与直线a不是异面直线,则它们相交或平 行,设它们确定的平面为3、则BE、aC.由于经过点B 与直线a有且仅有一个平面a,因此平面a与9重合,从而 ABCa,进而AEa,这与Aea矛盾,所以直线AB与a是 异面直线.
例2告诉我们一种判 断异面直线的方法:与一 个平面相交的直线和这个 平面内不经过交点的直线 是异面直线,
练习
1.选择题
(1)如果两条直线a与6没有公共点,那么a与6()。 (A)共面 (B)平行 (C)是异面直线 (D)可能平行,也可能是异面直线
(2)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线, 则a与6( ). (A)平行 (B)相交 (C)是异面直线 (D)可能相交,也可能是异面直线
[2.如图,在长方体ABCD-A'BC'D'中,判定直线AB与AC.直线
AC与AC',直线AB与AC,直线AB与CD的位置关系.]D' A B D C B A (第2题)


3.判 下列命题是否正确,正确的在括号内画"",错误的画"x"
(1)若直线/上有无数个点不在平面a内,则1//a.
(2)若直线/与平面0平行,则/与平面a内的任意-条直线都平行.
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
(4)若直线/与平面a平行,则/与平面a内的任意一条直线都没有公共点。
4.已知直线a.b.平面a.B.且aCa.bCB.a//.判断直线a.b的位置关系,并说明理由。
习题8.4
复习巩固
1.画出满足下列条件的图形:
(1)aCa.bCa.an6=A.a=A:
(2)anB=L、ABCa.CDC3.AB/.CD/1.
2.选择题
(1)经过同一直线上的3个点的平面( ) (A)有且仅有1个
(B)有且仅有3个 (C)有无数个
(D)不存在
(2)若直线a不平行于平面a,且aa.
则下列结论成立的是( )。 (A)a内的所有直线与a是异面直线 (B)a内不存在与a平行的直线
第八章立体儿何初步131
(C)a内存在唯一一条直线与u平行 (D)a内的所有直线与a都相交
3.别断下到命题是否明确.正确的在括号内画"",错误的面


(1)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面。
(2)四边形可以确定一个平面。
(3) 若a.b是两条直线.Q. 是两个平面,且aCa.bcg.则a.b是异面直线.
4.填空题
(1)如果a,6是异面直线,直线与a,6都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共
有个:
(2)若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面的位置关系是
(3)已知两条相交直线a.b.且a/平面a.则 与a的位置关采是
5.正方体各面所在平面将空间分成几部分?
综合运用
[6.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线共面吗?请说说你的理由, 2.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条直线确定一个平面,一共可以确定几个平面?如果 三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?
8.如图,△ABC在平面a外,AB a=P.BCna=Q.ACna=R,求证:P.Q.R三点 共线。]A B C P R (第7题) (第8题)


拓广探索
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么在AB. CD.EF.GH这四条线段中,哪些线段所在直线是异面直线?
[10.在木节,我 们学习了平面,了解了它的基木特征以及一此利用点、 直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法,类似 地,直线有什么基本特征?如何刻画直线的这些基本特征?
132第八章立体儿何初步]C A G B D H E (第9题)


8.5空间直线、平面的平行
在平面几何的学习中,我们研究过两条直线的位置关 系,重点研究了两条直线平行,得到了这种特殊位置关系的 性质,以及判定两条直线平行的定理,类似地,空间中直 线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用,也 是我们要重点研究的内容,本节我们研究空间中直线、平面 的平行关系,重点研究这些平行关系的判定和性质.
8.5.1直线与直线平行
我们知道,在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线,并且当两条直线都与第三 条直线平行时,这两条直线互相平行.在空间中,是否也有类似的结论?
观察
如图8.5-1,在长方体ABCD-A'BC'D'中,DC//AB. A'B'//AB.DC与A'B'平行吗?
[观察你所在的教室,你能找到类似的实例吗?
可以发现,DC//A'B'.再观察我们所在的教室 (图8.5-2),黑板边所在直线AA'和门框所在直线CC' 都平行于墙与墙的交线BB',那么CC"//AA,这说 明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的 性质,我们把它作为基本事实。]D' A' B D A B 图8.5-1


基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.
[基本事实4表明,空间中平行于同一条直线的所 有直线都互相平行,它给出了判断空间两条直线平行 的依据,基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传 递性.
图8.5-2]B A B


第八章立体儿何初步133
例1如图8.5-3,空间四边形ABCD中,E,F.G.H 分别是边AB.BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是 平行四边形.
[分析:要证明四边形EFGH是平行四边形,只需证明它的 一组对边平行见相等,而EH.FG分别是ABD和 CBD的 中位线,从而它们都与BD平行且等于BD的一半,应用基本事
实4,即可证明EHIFG.]A H E D G B F 图8.5-3


证明:连接BD.
EH是△ABD的中位线, =BD.
[:EH//BD.且EH=
同理FG// BD.且FG BD.]在本例中,如果再加 上条件AC=BD,那么四 边形EFGH是什么图形?


EHIL FG.
四边形EFGH为平行四边形.
思考
在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相 等或互补,在空间中,这一结论是否仍然成立呢?
[与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边分别对应平行时,这两个角有如图 8.5-4所示的两种位置.
图8.5-4]A' B' B' R C A B B (1) (2)


对于图8.5-4(1),我们可以构造两个全等三角形,使/BAC和/B'AC'是它们的对 应角,从而证明/BAC= B'AC.
如图8.5-5,分别在 BAC和 B'AC'的两边上截取AD,AE和A'D',AE',使 得AD=A'D',AE=A'E.连接AA',DD',EE',DE、D'E.
ADIA'D'.
134第八章立体儿何初步
:四边形ADD'A是平行四边形。 :AA'IDD'
同理可证AA'IEE.
:DD'IEE'.
:四边形DD'E'E是平行四边形. .DE=DE'.
[:△ADE≌AA'D'E.
:ZBAC=/B'AC.]E A' B' D' C E B D 图8.5-5


对于图8.5-4(2)的情形,请同学们自己给出证明。
这样,我们就得到了下面的定理:
定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
练习
[1.如图,把一张矩形纸片对折儿次,然后打开,得到的折痕互相平行吗?为什么?
2.如图。在长方体ABCD-A'BC'D'中,与校AA'平行的校共有几条?分别是什么? 3.她图. AA'.BB'.CC'不其而,且AA'1BB',BB' ,求证: ABC人A'BC]D' A D B (第1题) (第2题)


[2.如图。在长方体ABCD-A'BC'D'中,与校AA'平行的校共有几条?分别是什么? 3.她图. AA'.BB'.CC'不其而,且AA'1BB',BB' ,求证: ABC人A'BC
4.如图,在四面体A-BCD中,E.F.G分别为AB,AC.AD上的点。若EF//BC.FG//CD,则 △EFG和△BCD有什么关系?为什么?]A E G F A' B D A B B C (第3题) (第4题)


8.5.2直线与平面平行
在直线与平面的位置关系中,平行是一种非常重要的关系,它不仅应用广泛,而且是
第八章立体儿何初步135
学习平面与平面平行的基础.
怎样判定直线与平面平行呢?根据定义,判定直线与平面是否平行,只需 定直线与 平面有没有公共点,但是,直线是无限延伸的,平面是无限延展的,如何保证直线与平面 没有公共点呢?
观察
[如图8.5-6(1),门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时,另一边与 西 有公共点吗?此时门扇转动的一边与墙面平行吗?
图8:5-6]A A D B B (1) (2)


如图8.5-6(2),将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上,把这块纸板绕边DC 转动,在转动的过程中(AB离开桌面),DC的对边AB与桌面有公共点吗?边AB 与桌面平行吗?
可以发现,无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所 以它与墙面是平行的:硬纸板的边AB与DC平行,只要边DC紧點着桌面,边AB转动 时就不可能与桌面有公共点,所以它与桌面平行.
一般地,我们有直线与平面平行的判定定理:
定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行,那么该直线与此平面平行.
定理告诉我们,可以 通过直线间的平行,得到 它可以用符号表示:
直线与平面平行,这是处
理空间位置关系的一种常 aCa,6Ca,且a//b=a//a.
用方法,即将直线与平面 这一定理在现实生活中有许多应用,例如,安装矩形镜 的平行关系(空间问题) 子时,为了使镜子的上边框与天花板平行,只需镜子的上边 转化为直线间的平行关系 框与天花板和墙面的交线平行,就是应用了这个判定定理. (平面问题)。
你还能举出其他一些应用实例吗?
例2求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过 另外两边的平面。


已知:如图8.5-7,空间四边形ABCD中,E.F分别是 AB、AD的中点.
[求证:EF//平面BCD
证明:连接BD.]过 A F E 是 D B C 图8.5-7 今后要证明一条直线 与一个平面平行,只要在 这个平面内找出一条与此 直线平行的直线就可以了.


:AE=EB, AF=FD.
:EF//BD.
又EFC平面BCD,BDC平面BCD.
:EF//平面BCD.
前面,我们利用平面内的直线与平面外的直线平行,得到了判定平面外的直线与此平 面平行的方法,即得到了一条直线与平面平行的充分条件,反过来,如果一条直线与一个 平面平行,能推出哪些结论呢?这就是要研究直线与平面平行的性质,也就是研究直线与 平面平行的必要条件.
下面我们研究在直线a平行于平面a的条件下,直线a与平面a内的直线的位置关系. 如图8.5-8,由定义、如果直线a//平面a、那么a与a
无公共点,即a与a内的任何直线都无公共点,这样,平面
a内的直线与平面a外的直线a只能是异面或者平行的关系
[那么,在什么条件下,平面a内的直线与直线a平行呢?下
面我们来分析一下:]图8.5-8


假设a与a内的直线6平行,那么由基本事实的推论3. 过直线a.b有唯一的平面3.这样,我们可以把直线6看成 是过直线a的平面B与平面a的交线,于是可得如下结论: 过直线a的平面 与平面a相交于 ,则a//b.
下面,我们来证明这一结论.
如图8.5-9,已知a//a.aC3.an3=b. 求证:a//b.
证明::a3=b, .bCa.
图8.5-9 又a//a.
:a与6无公共点。
又aC3、bC3.
.a//b.
这样,我们就得到了直线与平面平行的性质定理:
定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与 交线平行.
第八章立体儿何初步137
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行,这也给 出了一种作平行线的方法.
例3如图8.5-10(1)所示的一块木料中,校BC平行于而AC.
(17要经过而AC内的一点P和 BC将木 开,在木料表面应该 样画线?
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?


[分析:要经过面AC内的一点P和校BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一 点P作截面,也就需要找出所作的截面与相关平面的交线,我们可以依据直线与平面平行 的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段。
图8.5-10]D' D' F P P C A' B' B' E B B (1)


解:(1)如图8.5-10(2),在平面AC'内,过点P作直线EF,使EF//BC',并分 别交楼A'B'.D'C'于点E.F.连接BE, CF,则EF.BE.CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于平面AC,平面BC与平面A'C'相交于bC,所以BC/1 Bc,由(1知,EF/p'℃',所以EF/BC.而BC在平面AC内.EF在平面AC外, 所以EF/平面AC
[显然,BE.CF都与平面AC相交.
练习]1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中, R (1)与AB平行的平面是 (2)与AA'平行的平面是 (3)与AD平行的平面是_ D1 B1 D' A B A' D A A B B (第1题) (第2题)


2.如图,在正方体ABCD-A,BCD,中,E为DD,的中点。判断BD,与平面AEC的位置关系、并 说明理由,
138第八章立体儿何初步
3.判断下 命题是否正确,正疏的在括号内断"",错误的画"x"
(1)如果直线a//6,那么平行于经过的任何平面。
(2)如果直线a和平面a满足a//a,那么a与a内的任何直线平行
(3)如果直线a.b和平面0 足Ql0.b/q.那么。b.
(4)如果直线a.b和平面a满足a//b.a//a、bCa.那么b//a. 4.如图,an3=a.bCa.cCB.6//e、求证a//b//c.
[(第4题)
8.5.3平面与平面平行]


我们首先讨论平面与平面平行的判定问题.
类似于研究直线与平面平行的判定,我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为 直线与平面平行的问题,根据平面与平面平行的定义,可以发现,因为两个平行平面没有 公共点,所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点,也就是说,如果两 个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行,因为这个定义给出了 两个平面平行的充要条件,所以可以想到,如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平 面平行,那么这两个平面一定平行.
如何判起一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢:有没有更简 的方法?
探究
根据基本事实的推论2,3,过两条平行直线或两条相交直线,有且只有一个平 面,由此可以想到,如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行, 是否就能使这两个平面平行?


[我们可以借助以下两个需例进行观察,如图85-11(1),a和6分别是矩形硬纸 片的两条对边所在直线,它们都和乐面平行,那么纸片和桌面平行吗?如图 8.5-11(2),c和d分别是三角尺相邻两边所在直线,它们都和桌面平行,那么三角 尺和桌面平行吗?
图8.5-11]a b (1) (2)


如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行.这两个平面不定平行.我们借 助长方体模型来说明,如图8.5-12,在平面A'ADD'内画一条与A'A平行的直线EF,显
[然A?A与EF都平行于平面DDCc,但这两条平行直线所在的平面A'ADD'√与平面 D'DCC'相交.
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,这]C' D' D' E A A' B' B' D D B B A 图8.5-12 图8.5-13


[然A?A与EF都平行于平面DDCc,但这两条平行直线所在的平面A'ADD'√与平面 D'DCC'相交.
如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,这]两条相交直线和两条 平行直线都可以确定一个 平面.为什么可以利用两 条相交直线判定两个平面 平行,而不能利用两条平 行直线呢?你能从向量的 角度解释吗?


两个平面是平行的,如图8.5-13的长方体模型中,平面
ABCD内两条相交直线AC,BD分别与平面A'BC'D'内两
条相交直线AC',B'D'平行,由直线与平面平行的判定定
理可知,这两条相交直线AC.BD都与平面A'a'c'p'平
行、此时,平面ABCD平行于平面A'B'C'D'.
般地,我们有如下平面与平面平行的判定定理(图8.5-14);
定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行 它可以用符号表示为
[aC3.6C9,anb=P、a//a、6//a=B//a.
这个定理告诉我们,可以由直线与平面平行判定平面与平面平行,如图8.5-15,工 人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面 是水平的,就是应用了这个判定定理。]b a P B 图8.5-14 图8.5-15


例4已知正方体ABCD-A,B,CD,(图8.5-16),求证: 平面AB D/平面BC,D.
证明::ABCD-A,B.CD,为正方体, D,CLA.B,ABLA,B.
:D.CLAB.
[:四边形D,CBA为平行四边形.
:DA/CB.]C1 B B 图8.5-16


140第八章立体儿何初步
又D.AC平面BCD.CBC平面BCD. :DJA//平面BC,D
同理D,B,/平面BC,D.
又DJAND,B=D,.
:平面AB,D、/平面BC,D.
下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件,探究可以推 出哪些结论.
根据已有的研究经验,我们先探究两个平行平面内的直线具
有什么位置关系。
如图8.5-17,借助长方体模型,我们看到,B'D'所在的平
面AC'与平面AC平行,所以B'D'与平面AC没有公共点,也就
是说,B'D'与平面AC内的所有直线没有公共点,因此,直线
图8.5-17
B'D'与平面AC内的所有直线要么是异面直线,要么是平行 直线.
分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢?我们 仍然依据基本实的推论进行分析:如果al/3、aca.b3. 且a//b,那么过a,6有且只有一个平面Y.这样,我们可以把 直线a,b看成是平面与平面a,3的交线,于是可以猜想:两 个平行平面同时与第三个平面相交,所得的两条交线平行.
下面,我们来证明这个结论.
如图8.5-18,平面a//3,平面¥分别与平面a, 相交于直 线a.b.
:any=a,nr=b.


:aCa,bc8.
又a//3.
.a,6没有公共点。
图8.5-18
又a,6同在平面y内, :a//b.
我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理
定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
这个定理告诉我们,可以由平面与平面平行得出直线与直线平行.
[如果直线不在两个平行平面内,或者第三个平面不与这两个平面相交,以两个平面平 行为条件,你还能得出哪些结论?
例5求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等。]D' A B D C A B


如圈8.5-19. 搏/ 、ABI/CD,且AEa.CCa.BEB.D B,求证AH=CD.
第八章立体儿何初步141
证明:过平行线AB,CD作平面),与平面a和3分别相交于 AC和BD.
a//3.
:BD//AC.
[又AB//CD.
:四边形ABDC是平行四边形. :AB=(D]A a y B D 图8.5-19


[从本节的讨论可以看到,由直线与直线平行可以判定直线与平面平行:由直线与平面 平行的性质可以得到查线与直线平行:山直线与平面平行可以判定平面与平面平行;由平 面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行,这种直线、平面 之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法。
练习]判定 判定 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 性质 性质


1.判断下列命题是否正确,若正确,则说明理由;若错误,则举出反例.
(1)已知平流a,s和直线m,n,若mCa,nCa.mij. /1.则asf
(2)若一个平面a内两条不平行的直线都平行于另一平面B,则a79.
(3)平行于同一条直线的两个平面平行。
(4)平行于同一个平面的两个平面平行.
(5)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交.
2.平面a与平面平行的充分条件可以是( ).
(A)a内有无穷多条直线都与平行
(B)直线a//a,a//3、且直线a不在a内,也不在声内
(C)直线 Ca.直线6C3.且a//3.b//a
(D)a内的任何一条直线都与平行
[3.如图,在正方体ABCD-A,B,C.D,中,M、N.E.F分别是棱A,B.A.D.B,C.C,D,的中 点.求证:平面AMN//平面DBEF.
142第八章立体儿何初步]D1 F C1 N M E A1 a B (第3题) (第4题)


4.如上页图,平面=//3.Aa-a,n3-b.CB.e//6.判断与u,与a的位置关系,并 说明理由,
习题8.5
复习巩固
1.选择题
(1)若直线a不平行于平面a,则下列结论成立的是(). (A)a内的所有直线都与a异面 (B)a内不存在与a平行的直线
(C) 内的直线都与a相交 (D)直线u与平面a有公共点
(2)如果直线a//平面a,PEa,那么过点P且平行于直线a的直线(), (A)只有一条,不在平面。内 (B)有无数条,不一定在a内
(C)只有一条,且在平面a内 (D)有无数条,一定在内
2.已知平面a,3和直线a,,,且a//b//e、aCa,bC3.cC3,则a与3的位置关系 是
[3.如图,在长方体木块ABCD-A.B.C.D,中,面A.C,上有一点P,怎样过点P一条直线与 校CD平行?
4.如图,在长方休ABCD-AB'C{D'中,E.F分别是AB,BC的中点.求证EF/A℃C. 5.如图,在四面体D-ABC中,E.F.G分别是AB、BC.CD的中点,求证:]D' D1 C1 B' A' B1 D C D C B E B A (第3题) (第4题)


(1)BD/平面EFG:
[(2)AC/平面EFG
6.如 .a.b是异面直线,画出平面a.使aCa.且 /a,并说明理由。 7.如下页图,an3=CD.门xEF.nx=AB,AB//a、求证CD/EF.]D G F E B (第5题) (第6题)


[第八章立体儿何初步143
8.如图,直线AA',BB',(C'相交于点0,AO=A'O,BO=B'O.(0=CO.求证:平面 ABC/平面A'BC.]B' A' B A F D A B B a E C (第7题) (第8题)


综合运用
[9.如图,E、E分别为长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点,求证 BEC /B'EC.
10.如图,AB//a,AC/BD,Cea.DEa,求证AC=BD.]C' D' E' A B A' B D E D B (第9题) (第10题)


11.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。
[12.一木块如图所示,点P在平面VAC内,过点P将木块锯开,使裁面平行于直线VB和AC, 在木块表面应该怎样画线?
AB DE 13.如图.0//B/r直线a与6分别交a. .r于点A.B.C和点D.E.F.求证 EF1]b a A D a E B B B F (第12题) (第13题)


144第八章立体儿何初步
拓广探索
14.如图,a、6是异面直线,uCa.a//9.bC.b//a,求证a//p
15.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A,BCD内灌进一些 水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜、随着倾斜度 的不同,有下面五个命题:
[(1)有水的部分始终呈校柱形;
(2)没有水的部分始终呈校柱形;]b B (第14题)


(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值:
(4)校A,D,始终与水面所在平面平行:
[(5)当容器倾斜如图(3)所示时,BE·BF是定值。 其中所有正确命题的序号是 为什么?
人名顾]A D1 B1 C1 D1 B1 C1 G F E H F A H D F G E A D H D A E B C B B C (1) (2) (3) (第15题)


第八章立体儿何初步145
8.6空间直线、平面的垂直
与平行关系类似,垂直也是空间直线、平面之间的一种 特殊位置关系,它在研究空间图形问题中具有重要的作用 类比平行关系的研究过程,本节将研究空间直线、平面之间 的垂直关系,重点研究这些垂直关系的判定和性质.
8.6.1 直线与直线垂直
空间两条直线的位置关系有三种:平行直线、相交直线和异而直线,在初中我们已经 研究了平行直线和相交直线,本节我们主要研究异面直线,首先研究如何刻画两条异面直 线的位置关系.
观察
如图8.6-1.在正方体ABCD-A'B'C'D)'中,直线AC' 与直线AB,直线AD'与直线AB都是异面直线,直线AC'A 与AD相对于直线AB的位置相同吗?如果不同,如何表示 这种差异呢?
[图8.6-1
我们知道,平面内两条直线相交形成4个角,其中不大 于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一 条直线相对于另一条直线倾斜的程度,类似地,我们也可以 用"异面直线所成的角"来刻画两条异面直线的位置关系。]D' A' B' D B


如图8.6-2,已知两条异面直线u,6,经过空间任一点
[图8.6-2
研究异面直线所成的 角,就是通过平移把异面 直线转化为相交直线,这 是研究空间图形的一种基]


本思路,即把空间图形网 超转化为平面图形问题.
146第八章立体儿何初步
0分别作直线a//a,b'//b,我们把直线a与 "所成的角 叫做异面直线a与6所成的角(或夹角)。
[如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两 条异面直线互相垂直,直线a与直线6垂直,记作a上6. 当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角 为0".所以空间两条直线所成角a的取值范围是0≤a<90°.
例1如图8.6-3.已知正方体ABCD-A'BC'D'.]直线a,b所成角的 大小与点O的位置有 关吗?


(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小.
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小.
解:(1)棱AB,BC.CD,DA,A'B'、B'C',C'D',D'A' 所在直线分别与直线AA'垂直.
(2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体、所以BB'//CC',因此 ZA'BB'为直线BA'与CC'所成的角,又因为 A'BB'=45°,所以 直线BA'与CC'所成的角等于45, (3)如图8.6-4,连接AC',因为ABCD-A'B'C'D'是正方 体,所以AA'ICC'.从而四边形AACC是平行四边形,所以 AC//AC.于是 BAC为异面直线BA'与AC所成的角。
[连接BC',易知△A'BC'是等边三角形,所以/BA'C'-60° 从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°.
图8.6-4]D' A' B' D B


[图8.6-4
例2如图8.6-5(1),在正方体ABCD-A,B.C,D,中,O:为底面A,B,CD,的中 心.求证AO,IBD.]D' B D C B A


[分析:要证明AO,IBD,应先构造直线AO,与BD所成的角,若能证明这个角是 直角,即得AO,LBD.
图8.6-5]C1 D C1 01 01 A B1 B1 D C D B B A A (1) (2)


证明:如图8.6-5(2),连接BD. :ABCD-ABCD,是正方体, :BBILDD
第八章立体儿何初步147
四边形BB,DD是平行四边形.
:B.D、//BD
:直线AO,与B.D,所成的角即为直线AO,与BD所成的角。 连接AB,,AD,,易证AB,=AD.
又0,为底面AB.CD的中心。
:.0为B,D,的中点, :AO,1B,D
二AO,LBD.
[从例1与例2的解答可以看到,为了简便,求异面直线a,b 所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一条上,例如取在直 线 上,然后经过点口作直线 'lu.那么正'与 所成的角就是
异面直线a与6所成的角(图8.6-6)。]图8.6-6


练习
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内"√",错误的画"x"
(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直,那么另一条也与已知直线垂直。
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.
2.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中。
(1)与直线AB垂直的直线有 条;
(2)与直线AB异面且垂直的直线有 条:
(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有
[(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线
148第八章立体儿何初步]C' D' B' A C D B (第2题)


[(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线
148第八章立体儿何初步]D D B' A B D B (第3题) (第2题) 图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=23,AA'=2,求: 1)直线BC和A'C'所成的角的大小; 2)直线AA'和BC'所成的角的大小. B D 图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,D为棱AC的中点,AB=BB'=2,求 A E BD AC'. (第4题)


8.6.2直线与平面垂直
[在日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多 感性认识.比如,旗杆与地面的位置关系(图 8.6-7),教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系 等,都给我们以直线与平面垂直的形象
图8.6-7]


观察
如图8.6-8,在阳光下观察真立于地面的旗杆AB及 它在地面的影子BC.随着时间的变化,影子BC的位置 在不断地变化,旗杆所在直线AB与其影子BC所在直 线是否保持垂直?
图8.6-8
事实上·随着时间的变化.尽管影子BC的位置在不断地变 化,但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直,也就 是说,旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂真. 对于地面上不过点B的任意一条直线B'C'.总能在地面上找到 过点B的一条直线与之平行,根据异面直线垂直的定义,可知 旗杆AB所在直线与直线BC'也垂直,因此,旗杆AB所在直线 与地面上任意一条直线都垂直。
[一般地,如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,我 们就说直线/与平面(互相乘直,记作!|a.直线/叫做平面D 的垂线,平面a叫做直线/的垂面,直线与平面垂直时,它们唯 一的公共点P叫做垂足 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四 边形的一边垂直,如图8.6-9所示.
图8.6-9]P a


思考
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,将这一结论推广 空 间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?
第八章立体儿何初步149
可以发现,过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条, 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线 段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个 点到该平面的距离,
下面我们来研究直线与平面垂直的判定,即探究直线与 平面垂直的充分条件。
根据定义可以进行判断,但无法验证一条直线与一个平 面内的所有直线都垂直.那么,有没有可行的方法?
在检的体积公式 中,棱锥的高就是棱锥的 顶点到底面的距离。
探究
如图8.6-10,准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放 置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
[(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么?
容易发现,AD所在直线与桌面所在平面垂(图8.6-11)的充要条件是折痕AD 是BC边上的高,这时,由于翻折之后垂直关系不变、所以直线AD与平面a内的两条相 交直线BD,DC都垂直.]B D 图8.6-10


[容易发现,AD所在直线与桌面所在平面垂(图8.6-11)的充要条件是折痕AD 是BC边上的高,这时,由于翻折之后垂直关系不变、所以直线AD与平面a内的两条相 交直线BD,DC都垂直.
图8.6-11]B D B D C a R


事实上,由基本事实的推论2,平面a可以看成是由两 条相交直线BD,DC所唯一确定的,所以当直线AD垂 于这两条相交直线时,就能保证直线AD与a内所有直线 都垂直.
一般地,我们有如下判定直线与平面垂直的定理.
[定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂 直,那么该直线与此平面垂直
150第八章立体儿何初步]定理体现了"直线与 平面垂直"和"直线与直 线垂直"的互相转化。


两条相交直 可以确定一个平面,两条 行直线也可以确定一个早面,那么定理 中的"两条相交直线"可以改为"两条平行直线"吗?你能从向量的角度解释原因 吗?如果改为"无数条直线"呢?
例3求证:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂 直于这个平面.
[已知:如图8.6-12,a//lb、ala,求证bLa, 分析:要证明直线bla,根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明直线6垂 直于平面a内的两条相交直线即可。
证明:如图8.6-13,在平面a内取两条相交直线m,n.]b a 图8.6-12 图8.6-13


[直线ala, :alm、aln. "b//a.
6m.6|n。]你能用直线与平面垂 直的定义证明这个结 论吗?


又mCa,nCa,胡,n是两条相交直线, :6a.
如图8.6-14,一条直线/与一个平面a相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这 个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足,过斜线上斜足以外的一点P向平面a引 乘线PO.过乘足!和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平
[面上的射影、平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的
角,叫做这条直线和这个平面所成的角]如果AB是平面a内 的任意一条不与直线AO 重合的直线,那么直线 PA与直线AB所成的角 和直线PA与这个平面所 成的角的大小关系是 什么?


[角,叫做这条直线和这个平面所成的角
第八章立体儿何初步151]P A 图8.6-14


一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面 内,我们说它们í成的角是0.直线与平面所成的角⑦的取值范围是0' 0 90°
例+如图8.6-15.在正方体ABCD-A,B,CD;中.求直线 A,B和平面A,DCB,所成的角。
分析:关键是找出直线A,B在平面A,DCB,上的射影。
解:连接BC.B.C.BC,与B.C相交于点O.连接A.0. 设正方体的棱长为a.
["A.B、LB,C.A,B,IB,B.B,CnB,B=B.
:A,B,上平面BCC,B、 :A.B,LBC.]C1 B1 D A B 图8.6-15


又BC,LB,C.
:BC,上平面A,DCB.
:A.O为斜线A,B在平面A,DCB,上的射影, BAO为A.B和平面A,DCB, 所成的角。
在Rt△A,BO中,A,B=a,BO= :BO A.B.
/BA,0=30
:.直线A,B和平面A,DCB,所成的角为30°
练习
1.如果两条直线和一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?
[2.如图,因楼锥S-ABCD的底面是正方形,SD1平面ABCD,求证:ACI平面SDB.
3.如图,在直四棱柱A'BC'D'-ABCD中,当底面四边形ABCD满足什么条件时,A'CIB'D'?]D' A' B' A B B (第2题) (第3题)


4.过△ABC所在平面a外一点P,作POLa,垂足为(,连接PA,PB.PC. (1)若PA-PB-PC.则点O是△ABC的 (2)若PA-PB=PC, C=90°,则点0是AB边的 点.
( )若PA|PB,PB PC.PC PA,乘足 为P,则点(是△AIC的
152第八章立体儿何初步
下面我们研究直线与平面垂直的性质,即探究在直线a与平面a垂直的条件下能推出 哪些结论.
根据已有经验,我们可以探兖直线a与平面a内的直线的关系,但由定义,a与a内 的所有直线都垂直,所以,可以探究a,a与其他直线或平而的关系.
我们知道,在平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.在空间中是否有类似的性 质呢?
观察
[(1)如图8.6-16,在长方体ABCD-A'BC'D'中,校AA',BB',CC',DD'所 在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系?
(2)如图8.6-17,已知直线a,6和平面a,如果ala,bla,那么直线a、b 一定平行吗?]b a D' B A' D A B 图8.6-16 图8.6-17


可以发现,这些直线相互平行,不失一般性,我们以(2)为例加以证明,她图 8.6-18.假设b与a不平行,且6na=0.显然点0不在直线a上,所以点0与直线a 可确定一个平面,在该平面内过点Q作直线6'/a,则直线6与6'是相交于点O的两条不 同直线,所以直线b与在'可确定平而e,设an =c,则( c.因为al.b上a,所以 alc,be,又因为b'/a,所以b'1c.这样在平面内,经过直线<上同一点(就有两 条直线6,6'与c垂直,显然不可能,因此b//a.
由于无法把两条直线
4.万扫入到一个手面内。 所以在定理的证明中,无 法应用平行直线的判定知 识,也无法应用基本事实
[4.在这种情况下我们采用 了"反证法"。
这样,我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理:]b b a 图8.6-18


定理垂直于同一个平面的两条直线平行.
第八章立体儿何初步153
直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直 线互相平行,直线与平面垂直的性质定理揭示了"平行"与"垂直"之间的内在联系。
在ala的条件下,如果平面a外的直线6与直线a垂直,你能得到什么结论?如果 平面3与平而a平行,你又能得到什么结论?
你还能自己提出更多的问题,发现更多的结论吗?
例5如图8.6-19,直线/平行于平面a,求证:直线/ 上各点到平面a的距离相等.
证明:过直线/上任意两点A,B分别作平面。的垂线 AA,BB,垂足分别为A,,B.
[.AAla.BB,la.
:AA//BB.]B B A B1 图8.6-19


设直线AA,BB,确定的平面为3.3na=A.B.
"1//a.
二I#A.B.
:四边形AA,B,B是矩形.
:.AA=BB.
由A,B是直线/上任取的两点,可知直线/上各点到平面a的距离相等.
一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这 个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离。由例5我 们还可以进一步得出,如果两个平面平行,那么其中一个平 面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做 这两个平行平面间的距离。 在枝柱、棱台的体积 公式中,它们的高就是它 们的上、下底面间的距离.
例6推导棱台的体积公式
h(S'+VS'S+S). V校台
其中S',S分别是棱台的上、下底面面积,A是高.
解:如图8.6-20,延长校台各侧校交于点P,得到截得棱台的棱 锥,过点P作校台的下底面的垂线,分别与棱台的上、下底面交于点 0.0、则PO垂直于棱台的上底面(想一想,为什么?),从 而0'0一h、 设截得按台的棱谁的体积为V.去掉的楼 的体积为V、高为 h'.则PO'=h',于是
[v=!sn.v=su+)。
图8.6-20]


154第八章立体儿何初步
所以棱台的体积
Ve=-s+4)=+(-]
由棱台的上、下底面平行,可以证明棱台的上、下底面相似 ,并且
[S" s(h+h)
所以 代入①,得]1请你自己证明这个 结论.


A+(S5)S (5+/SS+5)
练习
1.已知有线a.6和平面a,且a主6,ala,则6与a的位置关系是
2.已知A.B两点在平面a的同 ,且它 们与a的距离相等,求证; 直线AB//.
3.如图,EA和DXC都垂直于平面ABC.且EA=2DC.F是EB的 中点,求证:DF/平面ABC.
[1.求证:季直于同一条直线的两个平 互相平行,(提示:过这条直 线作平面与这两个平面相交,则它们的交线平行.)
8.6.3平面与平面垂直](第3题) D E


像研究直线与平面垂直一样,我们首先应给出平面与平面垂直的定义,那么,该如何 定义呢?不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程
在定义直线与平面乘直时·我们利用了直线与直线的乘直,所以,直线与直线重直是 研究直线、平面垂直问题的基础.
在平面几何中,我们先定义了角的概念,利用角刻画两条相交直线的位置关系,进而 研究直线与直线互相垂直这种特殊情况,类似地,我们需要先引进二面角的概念,用以刻 画两个相交平面的位置关系,进而研究两个平面互相垂直。


[如图8.6-21,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral an gle),这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,棱为AB,面分别为a, 阳的二面角记做二面角 AB 、有时为了方便,也可在a,p内(核以外的半平面部分) 分别取点P.Q.将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果校记作/、那么这个二面角记
如图8.6-22,在日常生活中,我们常说"把门开大一些", 是指哪个角大一些?受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的 大小呢?]作二面角a-l-B或二面角P-l-Q. ·Q B B 平面内的一条直线把 P 平面分成两部分,这两部 A a 分通常称为半平面. 图8.6-21


[如图8.6-22,在日常生活中,我们常说"把门开大一些", 是指哪个角大一些?受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的 大小呢?
如图8.6-23,在二面角a-1-B的棱/上任取一点0,以点(为垂足,在半平面a和3 内分别作 重直于  的船线QA和去别.剩躬线OA和OB构成的 AOH叫做二面角的平 面角.]图8.6-22


[如图8.6-23,在二面角a-1-B的棱/上任取一点0,以点(为垂足,在半平面a和3 内分别作 重直于  的船线QA和去别.剩躬线OA和OB构成的 AOH叫做二面角的平 面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角 是多少度,平面角是直角的二面角叫做直二面角,二面角的平面角a的取值范围是0°≤ a<180"]B B  AOB的大小与点O 在!上的位置有关吗?为 A 什么? 图8.6-23


观察
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的 面、校、平面角及其度数。
156第八章立体儿何初步
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角是直二面角,我们常 说墙面直立于地面上.
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是真二面角,就说这两个平面互相垂
直.平面a与3垂直,记作a13
如图8.6-24,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组 边画成垂直.
图8.6-24
[在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上,我们研究两个平面垂直的判定和性质. 先研究平面与平面垂直的判定。
观察]


如图8.6-25,建筑工人在动墙时,常用铅锤来检测所砌的墙 面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就 认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不要真干地面,这种方 法说明了什么道理?
图8.6-25
这种方法告诉我们,如果墙面经过地面的重线,那么墙面 与地面垂直,类似的结论也可以在长方体中发现。如图8.6-26. 在长方体ABCD-A'BCD'中.平面ABB'A'经过平面ABCD 的一条垂线AA',此时,平面ABB'A'垂直于平面ABCD.
一般地,我们有下面判定两个平面互相垂直的定理:
定理如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平 面垂直
[这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直。
图8.6-26]D' B' A' R D C A B


例7如图8.6-27所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BDL 平面ACC'A'.
分析:粤证早面A'BD 平面ACC'A根据两个早面垂直的判定定理,只需迁明平面 A D经过平面ACC'A'的一条垂线即可,这需要利用AC.BD是正方形AHCD的对角线.
第八章立体儿何初步157
证明::ABCD-A'BC'D'是正方体。 :AA'工平面ABCD.
:AA'IBD.
又BDLAC.
二BD|平面ACC'A'.
:.平面A'BD平面ACC'A'
例8如图8.6-28,AB是OO的直径,PA垂直于O0 所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平 而PAC1平面PBC.
分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定 埋,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面。
而由直线和平面垂直的判定定理,还寄证明这条直线和另一个 平面内的两条相交直线垂直,在本题中,由题意可知BCLAC, BC1PA,ACnPA=A,从而BC1平面PAC、进而平面 PAC1平面PEC.
证明:PA上平面ABC.
BCC平面ABC.
:PA|BC.


点C是圆周上不同于A.B的任意一点,AB是O0 的直径, : BCA=90",即BC|AC.
又PANAC=A,PAC平面PAC.ACC平面PAC.
:BC1平面PAC.
[又BCC平面PBC, :平面PAC1平面PBC.
图8.6-27]P B 图8.6-28


练习
1.如图,检查工件的相邻两个(平)面是否垂直时,只要用曲尺的一边 紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上动,观察尺边 和这个面是否密合就可以了,这是为什么?
[2.已知直线a.b与平而a.B.y.  (| 的充分条件是(
(A)aLy.PLr (B)an-u、blu.bC (C)a//B.a//a (D)a//a,a_3](第1题)


3.如下页图,AB 平而BCD.BC CD,你能发现哪些平面互相垂宜,为什么?
[158第八章立体儿何初步
4.如图,在正三棱柱ABCA'BC'中,D为棱AC的中点,求证:平面BDC'1平面ACC'A'.]B D B B D A (第3题) (第4题)


下面我们研究平面与平面垂直的性质,也就是在两个平面互相垂真的条件下,能推出 哪些结论。
如果两个平面互相垂直,根据已有的研究经验,我们可以先研究其中一个平面内的直 线与另一个平而具有什么位置关系。
探究
[如图8.6-29,设al3,anB=a、则3内任意一条 直线b与a有什么位置关系?相应地、b与a有什么位置 关系?为什么?
显然,b与a平行或相交,当b//a时,b//a:当6与a 相交时,6与a也相交.]a 图8.6-29


特别地,当6La时,如图8.6-30,设6与a的交点为
[A.过点A在a内作直线cla,则直线b、c所成的角就是二 面角aa-3的平面角。由a18知,61c.又因为6La,a和c
是a内的两条相交直线,所以bla.]B b A a 图8.6-30


由此我们得到平面与平面垂直的性质定理:
定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条 直线与另一个平面垂直
这个定理说明,由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题. 如,装修房子时,要在墙壁上画出 与地面垂直的直线,只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可
设平要a上平面,点 在平亚a内.迳点P作平 (的垂技(.直线《与平逼 a具有什么位置关系?
我们知道,过一点只能作一条直线与已知平面垂直.因此,如果过一点有两条直线与 平面垂直,那么这两条直线重合.
如图8.6-31.设an3=c.过点P在平面a内作直线b1c,根据平面与平面垂直的 性质定理,613.因为过一点有且只有一条直线与平面垂直,所以直线a与直线b重 合,因此aCa.
图8.6-31
对于两个平面互相垂直的性质,我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位 置关系。如果直线不在两个平面内,或者把直线换成平面,你又能得到哪些结论?
[下面的例子就是其中的一些结果。
例9如图8.6-32,已知平面在|平面3.直线 13.a4a. 判断a与a的位置关系.]a a a b P B


解:在a内作垂直于a与交线的直线6.
*alB.
:619.
又a_3.
.a//6.
又aa, :a//a.
[即直线a与平面a平行.
例10如图8.6-33.已知PAL平面ABC,平面PAB 平面PBC,求证: CF 平面PAB.]图8.6-32


分析:要证明BC上平面PAB,需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线,由 已知条件易得BCIPA.再利用平面PAB|平面PBC,过点A作PB的垂线AE,由两 个平面垂直的性质可得BCLAE.
[160第八章立体儿何初步
证明:如图8.6-34,过点A作AELPB,重足为E.]C A B B 图8.6-33 图8.6-34


:平面PAB|平面PBC,平面PAB门平面PBC=PB. :AEL平面PBC.
:BCC平面PBC.
AEI BC.
:PA上平面ABC,BCC平面ABC :PAIBC.
又PANAE=A.
:BC上平面PAB.
[从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直:由直线与平面 垂的定义可以得到线与直线垂:由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直:而由 平而与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直。这进一步揭示了直线、平面之间的位置 关系可以相互转化.
练习]判定 判定 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 性质


1. 断下列命题是否正 确,正确的在括号内画 ".错误的画"x"
(1)如果平面a|平而3.那么平面a内所有直线都垂直于平面队
(2)如果平面a上平面3、那么平面a内一定存在直线平行于平面
(3)如果平面a不垂直于平面3.那么平面q内一定不存在直线季直于平面3.
2.若平面ql平面 .且n =1,则下列命题中正确的个数是().
(1)平面a内的直线必垂直于平面内的任意一条直线.
(2)平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线.
(3)平面a内的任一条直线必重直于平面
(4)过平面a内任意一点作交线/的垂线,则此垂线必垂直于平面 (A)3 (B)2 (C)I (D)0
第八章立体儿何初步161
3.已知a、是两个不同的平面,为平面a内的一条直线,则"aL"是"m"的(). (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
4.已知平面a,.直线u,且。13.an3-AB,afa,a_AB,判断直线a与平面3的位置关系, 并说明理由。
习题8.6
复习巩固
1.选择题
(1)若空间中四条不同的直线4,4.满足41.114.14则下面结论正确的 是( )。 (A)/:L!


(B)1、/L
(C)..4、既不垂直也不平行
(D)1、.1.的位置关系不确定
(2)设/,斑,均为直线,其中m,n在平面a内,则"/a"是"/1m且/Lw"的
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件 (C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)直线/.1,互相平行的一个充分条件是( ).
(B)L.1:与同一个平面所成的角相等 (A)/.1:都平行于同一个平面 (C)4、1都垂直于同一个平面
(D)1、平行于/所在的平面
2.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画"√",错误的画
(1)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面垂真, (2)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行。
(3)过直线外一点,有且只有一个平面与这条直线垂直
(4)过直线外一点,有且只有一个平而与这条直线平行。
(5)过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
3.判断下列命题是否正确,正确的说明理由,错误的举例说明.
(1)一条前线平行于一个平面,另一条查线与这个平面前直,则这两
条直线互相垂直:
(2)如果平而a//平而ai,平面3/平而店,那么平而a与平而足斯成 的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补:


(3)如果平面a1平面3、平面31平面,那么平面a上平面x.
4.如图、在直三校柱ABC-A,B,C中,CA=CB.P为A,B的中点,Q
为棱C,C的中点,求证:
(第4跑)
(1) PQLAB: (2)PQ1C.C (3)PQLA,B.
162第八章立体儿何初步
[5.如图,在三校锥P-ABC中,(D|AB,垂足为D、PO底面ABC.垂足为0.且O在(D 上,求证ABIPC.
6.如,在正方体ABCD-A''C'p'中,平面ABC'D'与正方体的各 个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少?]D' B' A' A D B B (第5题) (第6题)


7.她图,在三棱锥VABC中,已知 VAB= VAC= ABC=90. 判断平面VAB与平面VBC的位置关系,并说明理由。
8.求证:如果共点的三条直线两两垂直,那么它们中每两条直线确定 的平面也两两垂直.
[9.已知平面a,3,Y,且alY、B/la,求证1Y
10.已知平面。,3、y、且a|y.317,an3-1,求证/Ly.](第7题) B


综合运用
[1.如图,在正方体ABCD-A ,B.C,D.中,点P.Q分别为棱AD.(C的中点,求证A:P_BQ
12.如图,m,n是两条相交直线,,1;是与m,n都垂直的两条直线,且直线/与、,都相 交,求证 1= 2.]/1 C1 B1 2 m B n (第11题) (第12题)


13.求证:两条平行直线与同一个平面所成的角相等.
14.如下页图,在棱锥VABC中,VO1平面ABC.OECD,VA-VB.AD-BD,你能判定 CDLAB、以及AC-BC吗?
[第八章立体儿何初步163
15.如图,在正方形SG,G.G,中,E.F分别是G,G.G,G,的中点,D是EF的中点,若沿 SE.SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G.G、.G三点重合,重合后的点记为]G3 A F D D G1 G2 B E (第14题) (第15题)


G.则在四面体S-EFG中,哪些棱与面互相垂直
16.求证:垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个
平面.
17.求证:三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。
18.如图,在三校键VABC中,VA=VB=AB=AC=1=2.vC=1.
[作出二面角V-AB-C的平面角,并求出它的余弦值.
(第18题)]A B


拓广探索
[19.如 ,在 三棱柱ABCA,B,C,中, ABC=90,AA,=AB,求证A,CLAB.
20.如图,AB是OQ的真径,点C是回Q上的动点,过动点C的 直线VC垂直于O0所在平面,D.E分别是VA.VC的中点, 判断直线DE与平面VBC的位置关系、并说明理由。]C1 B1 E C B A B C (第20题) (第19题)


21.如图,在四校谁P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PAL
[底面ABCD,PA=AB.F为线段PB的中点,F为线段BC 上的动点,平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果垂直。 请证明:如果不垂直,请说明理由,
164第八章立体儿何初步]R E D A B (第21题)


欧几里得《原本》与公理化方法
古希腊最为重要的数学著作《原本》是由古希腊数学
家欧几里得编著,大约在公元前300年左右完成的,欧几
里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成
果收集、整理起来,并且加以系统化,他从少数已被经验
反复验证的公理出发,这用逻辑推理以及数学运算方法演
绎出一系列定理与推论,写成了十三卷数学巨著《原本》, 使几何学成为一门独立的、演绎的科学
欧几里得《原本》在人类数学史中第一次给出了公理
化的数学体系,过去所积累下来的数学知识是零碎的、片
断的,欧几里得借助逻辑方法,把这些知识组织起来,加
以分类、比较,揭示彼此间的内在联系,把它们组织在一个严密的系统之中,《原 本》体现的理性精神对数学的发展产生了深远影响,它跨越地城、民族、语言、 时间的障碍传播到了整个世界,其中公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接 受,按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织数学理论已成为人们的共 识.《原本》为数学发展树起一面旗帜,并成为理性思维的象征,
什么是公理化方法呢?


公理化方法就是从尽可能少的原始概念(基本概念)和尽可能少的一组不加 证明的原始命题(公理、公设)出发,通过严格的逻辑推理,推导出其余的命 题,使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.
基本概念是不加定义的、它们必须是真正基本的,无法用更原始、更基本的 概念定义,如中学数学中的点、直线、平而、集合等概念都是基本概念.
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种关述和规定,如"两 点确定一条直线""过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面"等都是 作为公理的命题。
公理化方法主要有以下三个作用:
1.概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何 知识归为一体,树立了以公理化方法研究数学的典范。
[2.促进新运论的创立.由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分楚 钻构严谨有序,这就有利于比较数学各分支实质上的弃同,从而推动和促进敢学 新理论的产生,促进数学基础的研究与探索,例如,非欧几何就是在研究和应用 公理化的过程中产生的。
欧儿里得(Euclid.约 公元前330-约前275)]


第八章立体儿何初步165
3.对其他学科有示范作用。由干数学公理化方法表述数学 论的简 性、条 理性,以及结构的和谐性,为其他科学理论的表述起了示范作用,其他科学纷纷 效法,建立了自己的公理化系统,例如,牛顿仿效欧氏几何,把哥白尼到开普勒 时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个理辑休系,使得人们能够从万有引 力定律(公理)和牛顿三定律(公理)出发,依逻辑方法把力学定律逐条推出。 杰弟逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》也都借签了 公理化的思想方法。
《原本》是一部影响人类文明进程的不朽之作,两千多年来,它一直是几何学 的标准教材,哥白尼、伽利略、笛卡几、牛顿等伟大的科学家都对它做过深入钻 研,深刻体会了其中的公理化方法,并借签到自己的科学工作中,从而对人类文 明作出了伟大贡献。
文献阅读与数学写作"
几何学的发展
目的:了解欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献。
要求:题目自拟,主题突出,论迷清楚
过程:阅读书籍、请教老师、专家或者上网收集欧氏几何发展的历史资料。 如发 过程、重要姑果、主要人物、关键事件以及对学和人类文明的质献等。


交流:将论文客至班级QQ群或者微信群或者制作板报等·供大家学习 交流,进一步了解欧氏几何对数学以及人类文明的贡献。


[166第八章立体儿何初步
三个基本事实.在给出直线、平面平行(垂直)的定义(即给出了这种 位置关 系的一个充要条件)后,通过探究直线、平面平行(垂直)的充分条件,我们 得到了相应位置关系的判定定理:通过探究直线、平面平行(垂直)的必要条 件,我们得到了相应位上关系的性质定理,并进行了证明.在这一过程中,我 们可以充分感受到,通过直观想象,类比、归纳等发现数学命题, 通过逻辑 推理证明命题,进而获得数学定理,这是研究数学对象的"基本之道".其中。 我们应特别注意学习,在明确研究对象或问题的基础上,如何通过归纳、类比 等发现数学规律、提出数学缝想的方法,这对提升我们的创后思维水平是非常 重要的, 空间图形问题 常转化为平面图形问题,这是 决空间 形问题的重要思 想方法.简单地说,就是要把相关的点、直线(段)转化到同一个平面上,而 转化的基本依据就是四个基本事实,例如,探究直线与平面平行的性质,就是 在直线a早行干早面 的条件下,探免直线心、平面a与空间中其他直线、平面 的位查关系,利用基本事实可以发现,过u的平面了与a的交线与u平行,而 且这些交线相互平行。]小结 一、本章知识结构 现实世界中的物体 柱、锥、台、球的结构特征 立体图形的直观图 空间几何体 柱、锥、台、球的表面积和体积 平面的基本性质 空间中直线与直线的位置关系 空间中直线、平面的平行 空间点、直线、 平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线、平面的垂直 空间中平面与平面的位置关系 空间平行、垂直关系之间的转化 判定 判定 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 性质 性质 性质 判定 判定 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 性质 二、回顾与思考 立


[166第八章立体儿何初步
三个基本事实.在给出直线、平面平行(垂直)的定义(即给出了这种 位置关 系的一个充要条件)后,通过探究直线、平面平行(垂直)的充分条件,我们 得到了相应位置关系的判定定理:通过探究直线、平面平行(垂直)的必要条 件,我们得到了相应位上关系的性质定理,并进行了证明.在这一过程中,我 们可以充分感受到,通过直观想象,类比、归纳等发现数学命题, 通过逻辑 推理证明命题,进而获得数学定理,这是研究数学对象的"基本之道".其中。 我们应特别注意学习,在明确研究对象或问题的基础上,如何通过归纳、类比 等发现数学规律、提出数学缝想的方法,这对提升我们的创后思维水平是非常 重要的, 空间图形问题 常转化为平面图形问题,这是 决空间 形问题的重要思 想方法.简单地说,就是要把相关的点、直线(段)转化到同一个平面上,而 转化的基本依据就是四个基本事实,例如,探究直线与平面平行的性质,就是 在直线a早行干早面 的条件下,探免直线心、平面a与空间中其他直线、平面 的位查关系,利用基本事实可以发现,过u的平面了与a的交线与u平行,而 且这些交线相互平行。]体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支.在 本章,我们从对空间几何体的整体观察入手,通过认识柱、锥、、台、球等基本 立体图形的组成元素及其相互关系,认识了这些图形的几何结构特征,学习了 它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算.然后以组成立体 图形的基本元素一点、直线、平面为对象,在研究平面基本性质的基础上, 认识了空间点、直线、平面的位置关系,重点研究了直线、平面的平行和垂直 这两种特殊的位置关系. 直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们认识和探索空间图形、 研究它们性质的重要手段,通过对实物模型的直观感知和操作。我们认识了空 间几何体的结构特征,进一步掌握了在平面上表示空间图的方法,了解了它 们的表面积和体积的计算.通过对图形的直观想象,我们认识了刻画平面性质的


在研究直线、平面的位置关系时。由简单到复杂、由易到难是究的一段 思路,我们利用真线与真绕的位置关系.研究直线与平面的位置关系,利用真 线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系,反过来,由平面与平面的位 再关系可进一步零握直线与平面的位置关系,由直绕与平面、早面身乎面的位 真关系又可进一步号建直线与直线的位置关系。这种方法;是我们研究导解出 空间直线、平面位置关系的重要方法。
请你带着下面的问题,复习一下全章的内容吧!
1.我们是从哪些角度入手研究基本几体的结构特征的?你能用基本几, 体的结构特征解释身边物体的结构吗?请举例说明.
2.对于空间几何体,可以有不同的分类,你能选择不同的分类标准对柱、 锥、台、球等空间几何体进行分类吗?请举例说明。
3.利用斜二 画法可以为出空间几何体的直观 ,你能结合实做说出用斜 二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗?
4.如何计算柱、维、台、球的表面积和体积?你能说出柱、 、台的体积 公式之间的联系吗?


5.刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形、 进行逻辑推理的基础,实际上,三个基本事实 画了平面的"平"、平面的"无 限延展",你能归纳一下刻画的方法吗?
6.在直线、平面的位置关系中,"平行"和"垂直"是最重要的。
168第八章立体儿何初步
(1)在研究这些位置关系的判定时,我们采用了哪些恩想方法?以直线与 平面垂直为例,总结一下研究判定的内容、过程和方法.
(2)研究这些位置关系的性质,实际上就是要研究什么问题?以两个平面 相互垂直为例,总结一下研究性质的内容、过程和方法。
复习参考题8
复习巩固
1.从多而体角度去考察棱柱、  ,棱台,填写下列表格;
多面体 顶点数V 校数E 面数F V+F-E #棱柱 n棱锥 #枝台
2.在直四棱柱ABCD-A,B,G,D,中,AB//CD,/DAB=90',AB=2.CD=1,AD=3, AA,=4.
(1)画出四棱柱ABCD-A,B,C,D,的直观图:
(2)将四棱柱ABCD-A1B,C,D,补成一个长方体,并说出补上的儿何体的名称
3.填空题
(1)正方体的 长 大到原来的w倍,则其表面积 大到原来的 倍,体积扩大到原
来的 倍:


(2)球的半径扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的 倍。体积扩大到原来的 倍
4.如图,一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴
影部分载下来,然后用余下的因个什等的等她三角形加工成一个正因
按 形容器,把容器的容积V(单位:cm)表示为z(单位:(m)的 函数, 5.三个平面可将空间分成儿部分?请分情况说明。
[6.已知a.3.y是三个平面.且a13=a.any=b.807=c.
(1)若a门b=0,求证:a,b,e三线共点。](第4题)


(2)若a//b.则a与c,b与c有什么关系?为什么?
7.如下页图,四边形A'B'C'D'是口ABCD在平面a上的投影(AA'/BB'/CC'"/DD'),求证: 四边形A'BCD'是平行四边形。
[第八章立体儿何初步169
170第八章立体儿何初步]D1 C1 D E A1 A C B1 B C A B' B a (第7题) (第8题) 8.如图,一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画 一条直线与CE垂直,则应该怎样画? E 9.如图,在三棱锥P-ABC中,PC 底面ABC,AB BC.D,E分别是 A AB,PB的中点.求证: D B (1)DE//平面PAC; (第9题) (2)AB PB.


[第八章立体儿何初步169
170第八章立体儿何初步]A D A' E E D B F (第10题)


[第八章立体儿何初步169
170第八章立体儿何初步]综合运用 10.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是BC的中点,将 AED, BEF, △DCF分别沿DE,EF,DF折起,使A,B,C三点重合于点A', (1)求证A'D EF; (2)求三棱锥A'-EFD的体积. A D A' E E B F C F (第10题) 11.如图,在四面体A-BCD中,AD 平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在 线段AC上,且AQ=3QC.求证:PQ//平面BCD. A C1 B M P H B Q D C B (第11题) (第12题)


[170第八章立体儿何初步
拓广探索]12.如上页图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证: (1)B1D 平面A1BC1; (2)B1D与平面A1BC1的交点H是△A1C1B的重心. 13.如图,在三棱锥P-ABC中, ACB=90°,PA 底面,ABC. (1)求证:平面PAC 平面PBC; (2)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值. P P B A B C (第14题) (第13题) 14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面面PAD是正三角形,侧面PAD 底面ABCD,M是PD的中点. (1)求证:AM 平面PCD; (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.


15.从直线.6和平面 这三个空间元素中任取两个,若已知它们与第三个元素有平行或垂直 关系,则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系?你能得到哪些结论?写出一些你认为重 要的,如果三个元素分别是直线m、平面a和,你能得到哪些结论?
16.已知m,n为异面直线,m平面a,n_平面 .若直线/满足/上m,/上n,【Ca、1. 则( ).
(A)a//3.1//a (B)a与3相交,且交线平行于/ (C)aLB.119 (D)a与相交,且交线垂直于!
第八章立体儿何初步171
第九章 统计
在现实生活中,我们经常会接触到各种统计数据,例如,人 口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商 品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电 视台节目的收视率、学生的平均身高等,要正确阅读并理解这些 数据,需要具备一些统计学的知识。


统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科 学,面对一个统计问题,首先要根据实际需求,通过适当的方法 获取数据,并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述,在此 基础上用各种统计方法对数据进行分析,从样本数据中提取需要 的信息,推断总体的情况,进而解决相应的实际问题。
那么,对于具体的统计问题,应如何收集数据?如何从所收 集的数据中提取信息来认识未知现象?这种认识一定正确吗?应 如何正确解释统计的结果?本章我们将在初中学过的统计与概率 知识的基础上,通过进一步学习,加深对这些问题的认识,并通 过解决问题的实践,进一步学习数据分析的方法.
[9.1随机抽样
统计的研究对象是数据,核心是通过数据分析研究和解 决问题,因此,首先要设法获取与问题有关的数据,从而为 解决问题奠定基础。]


例如,准确掌握全国的人口数据,可以为科学制定国民 经济和社会发展规划及其他方针政策提供依据。2010年我 国进行了第六次人口普查,对全国人口普遍地、逐户逐人地 进行一次性调查登记,调查内容包括每位居民的姓名、性 别、年龄、民族、受教育程度等,这里,居民为调查对象, 而居民的性别、年龄、民族、受教育程度等是要调查的指 标.由于不同调查对象的指标值往往不同,它是一个变化的 量,所以常把指标称为变量,像人口普查这样,对每一个调 查对象都进行调查的方法,称为全面调查(overall survey), 又称普查,在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体 (population),组成总体的每一个调查对象称为个体(indi vidual).


为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标 的全体作为总体,每一个调查对象的相应指标作为个体 由于人口普查需要花费巨大的财力、物力,因而不宜经 常进行,为了及时掌握全国人口变动状况,我国每年还会进 行一次人口变动情况的调查,这种调查是抽取一部分居民进 行调查,根据抽取的居民情况来推断总体的人口变动情况 像这样,根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调 查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方 法,称为抽样调查(sampling survey),我们把从总体中抽 取的那部分个体称为样本(sample),样本中包含的个体数 称为样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据, 简称样本数据.
相对全面调查而言,抽样调查由于只抽取一部分个体进 行调查,因此具有花费少、效率高的特点,在总体规模比较 大的调查中,如果经费、时间上受限,那么抽样调查是比较 合适的调查方法,在有些调查中,抽样调查则具有不可替代 的作用.例如,检测一批灯泡的寿命,或一批种子的发芽 率。或一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标,这些检测具有


毁损性,此时只能用抽样调查, 随着社会的发展,抽样调查的应用范围越来越广泛,下 面我们研究两种基本的抽样方法-简单随机抽样和分层随 机抽样.
9.1.1简单随机抽样
抽样调查的目的是为了了解总体的情况,例如,抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数 是否超标,其目的是要了解整批牛奶的细菌含量超标情况,而不只是局限在抽查到的那儿 袋牛奶的情况,因此,通过抽样调查了解总体的情况,自然希望 取的样本数据能很好地 反映总体的情况,即样本含有和总体基本相同的信息.
探究
假设口袋中有红色和白色共1000个小球,除颜色外,小球的大小、质地完全相 同,你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗?
这里袋中所有小球是调查的总体,每一个小球是个体,小球的颜色是所关心的变量. 我们可以从袋中随机地摸出一个球,记录颜色后放回,摇匀后再摸出一个球,如此重复" 次.根据初中的概率知 可知.随着摸球次数的增加,摸到红球的疑率会逐渐稳定于摸到 红球的概率,即口袋中红球所占的比例,因此,我们可以通过放回摸球,用频率估计出红 球的比例


在有放回地摸球中,同一个小球有可能被摸中多次,极端情况是每次摸到同一个小 球,面被重复摸中的小球只能提供同一个小球的颜色信息,如果我们采用不放回摸球,即 从袋中 出一个球后不再放间袋中,每次摸球都在余下的球中随机 取,这样就可以避免 同一个小球被重复摸中,特别地、当样本量n=1000时,不放回摸球已经把袋中的所有 球取出,这就完全了解了袋中红球的比例,而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例作 出准确的判断.
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取 (1<N)个 个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的 各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做
放回简单随机抽样:如果抽取是不放回的,且每次抽取时总 从总体中,逐个不放
四地随机抽取1个个体作 体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这 为样本,一次性批量随机 样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样,放回简单随机抽样 抽取n个个体作为样本, 和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样(simple 两种方法是等价的。 random sampling).通过简单随机抽样获得的样本称为简单 随机样本.


174第九章统计
与放回简单随机抽样比较,不放回简单随机抽样的效率更高,因此实践中人们更多采 用不放回简单随机抽样,除非特殊 明,本章所称的简单随机抽样指不放回简单头机
抽样.
问题1一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅,他们事先想了解全体高一年 级学生的平均身高,以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名 学生,如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取 样本?
在这个问题中,树人中学全部高一年级的学生构成调查的总体,每一位学生是个体, 学生的身高是调查的变量.与"探究"栏目中估计红球的比例类似,我们可以对高一年级 进行简单随机抽样,用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高,实现简单随 机抽样的方法有很多,抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。
1.抽签法
先给712名学生编号,例如按1~712进行编号,然后 把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡 片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明 的盒里,充分搅拌,最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使 与号签上的编号对应的学生进入样本,直到抽足样本所需要 的人数.


抽签法简单易行、但当总体较大时,操作起来比较麻 烦、因此,抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形.
2.随机数法
先给712名学生编号,例如按1~712进行编号,用随 机数工具产生1~712范围内的整数随机数,把产生的随机 数作为抽中的编号,使与编号对应的学生进入样本,重复上 述过程,直到抽足样本所需要的人数。
如果生成的随机数有重复,即同一编号被多次抽到,可 以剔除重复的编号并重新产生随机数,直到产生的不同编号 个数等于样本所需要的人数.
(1)用随机试验生成随机数
[准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数 字0.1,2,9.把它们放人一个不透明的袋中.从袋中 有放回摸取3次.每次摸取前充分搅拌·并把第一二、三 次摸到的数字分别作为百、十、个位数,这样就生成了一个 三位随机数,如果这个三位数在1~712范围内,就代表对
一般说来,在计算器 或计算机软件没有特殊设 定的情况下,它们生成的 随机数,都是可重复的。 为了确认你使用的计算器]为什么要给学生编 号?编号用学号可以吗?


[准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数 字0.1,2,9.把它们放人一个不透明的袋中.从袋中 有放回摸取3次.每次摸取前充分搅拌·并把第一二、三 次摸到的数字分别作为百、十、个位数,这样就生成了一个 三位随机数,如果这个三位数在1~712范围内,就代表对
一般说来,在计算器 或计算机软件没有特殊设 定的情况下,它们生成的 随机数,都是可重复的。 为了确认你使用的计算器]比较随机数法与抽签 法,它们各有什么优点和 缺点?


或计算机软件的情况,可 以查阅它的说明书,也可
以通过测试它能否生成3 个整数随机教1或2来进 行判断。
应编号的学生被抽中,否则舍弃编号,这样产生的随机数可能会有重复。 (2)用信息技术生成随机数
①用计算器生成随机数
进入计算器的计算模式(不同的计算器型号可能会有不同),调出生成随机数的函数 并设置参数,例如 Randlnt(1, 712),按"="钟即可生成1~712范围内的整数随机 数.重复按"一"键,可以生成多个随机数,这样产生的随机数可能会有重复.
②用电子表格软件生成随机数
[在电子表格软件的任一单元格中,输入"=RANDBETWEEN (1.712)",即可生 成一个1~712范围内的整数随机数,再利用电子表格软件的自动填充功能,可以快速生 成大量的随机数(图9.1-1),这样产生的随机数可能会有重复。
图9.1-1]


③用R统计软件生成随机数
[在R软件的控制台中,输入"sample (l:712,50,rcpiace=下)",按回车键,就 可以得到50个1~712范围内的不重复的整数随机数(图9.1-2),
图9.1-2]R软件是免费的统计 软件,该软件具有比较强 大的数据处理、绘图和分 析等统计功能,在统计学 研究和学习中被广泛使用.


随着信息技术的发展,人们越来越多地利用计算器、数学软件、统计软件等工具来生 成随机数.尤其是一些统计软件,可以非常方便地按要求生成各种随机数,用信息技术工 具产生随机数最大的优点是方便、快捷.
176第九章统计
用简单随机抽样方法抽取样本,样本量是否越大越好?
我们知道,在重复试验中,试验次数越多,频率接近概 率的可能性越大,与此类似,用简单随机抽样的方法抽取学 生,样本量越大,样本中不同身高的比例接近总体中相应身 高的比例的可能性也越大,样本的平均身高接近总体的平均 身高的可能性也越大,即对于样本的代表性,一般说来,样 本量大的会好于样本量小的,尤其是样本量不大时,增加样 本量可以较好地提高估计的效果.但是、在实际抽样中,样 本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加 因此,抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要,并 不一定是越大越好.
在简单随机袖样调查 中,当样本量和总张一样 大时,就是全面调查了,
练习
1.在以下调 中,他体,个体各是什么?哪些适合用全面调查?哪些适合用抽样调查?
(1)查一个班级学生每周的体育锻炼时间:
(2)调查一个地区结核病的发病率;


(3)叫查一批炮弹的杀伤半径:
(4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例。
请你再举一些不宜用全面调查的例子,并说明理由。
2.如图、由均匀材质制成的一个正20面体(每个面都是正三角形),将20
个面平分成10组,第一组标上 .第二组标上I.-第10组 上
(1)投掷正20面体,若把 上一面的数字作为投掷结果, 出现(.1.
2.…9是等可能的吗?
[(2)三个正20面体分别涂上红,黄,蓝三种颜色,分别代表百位,十位、 个位,同时投掷可以产生一个三位数(百位为0的也看作三位数),
它是000~999范围内的随机数吗?]6 5 4 (第2题)


3.实验室的笼子里共有100只小白鼠,现要从中抽取10只作试验用,下列两种情况是否属于简单随机 抽样?请说明理由.
(1)每次不经任何挑选地抓一只,抓满10只为止:
(2)将笼中的100只小白鼠按1~100编号。任意选出编号范围内的10个不重复数字,把相应编号 的小白鼠作为试验用的小白鼠.
4.如果计算器只能生成[0.I)内的随机数,你有办法把它转化为1~100范围内的整数随机数吗?转 化为1~712范围内的整数随机数呢?
5.在抽样调查中,请你说说通过"随机"选择样本的优、缺点.
第九章统计177
下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容为50的简单随机样本, 他们的身高变量值(单位:cm)如下:


为总体均值(pxpulation mean),又称总体平均数,如果总 体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记 为Y.Y、…,Y,其中Y,出现的频数f,(i=1.2,… k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式
如果从总体中抽取一个容量为,的样本,它们的变量值分别 为yy2,.*,.y..则称
yi+y:+…+y. y= 月
为样本均值(sample mean),又称样本平均数。在简单随机 抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数Y.
很多科学型计算器都 具有求平均数的功能,只 要输入数据,按相应的 键,就可以快速参出平 均数.
探究
小明想考察一下简单随机抽样的估计效果,他从树人中学医务宣得到了高一年级 学生身高的所有数据,计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm.然后,小明用 简单随机抽样的方法,从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个,分别 计算出样本平均数,如表9.1-1所示,从小明多次抽样所得的结果中,你有什么 发现?
178第九章统计
9.1-1
拍样序号


从试验结果看,不管样本量为50,还是为100,不同样本的平均数往往是不同的.由 于样本的选取是随机的,因此样本平均数也具有随机性,这与总体平均数是一个确定的数 不同.显然在所有20个样本平均数中,与总体平均数完全一致的很少,但除了样本量为 50的第2个样本外,样本平均数偏离总体平均数都不超过1cm,即大部分样本平均数离 总体平均数不远,在总体平均数附近波动,比较样本量为50和样本量为100的样本平均 数,还可以发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的,这与我们对增加样本 量可以提高估计效果的认识是一致的.
总体平均数是总体的一项重要特征,另外,某类个体在总体中所占的比例也是人们关 心的一项总体特征,匈如全部产品中合格品所占的比例、赞成某项政策的人在整个人群中 所占的比例等.
问题2眼睛是心灵的窗口,保护好视力非常重要,树人中学在"全国爱眼日"前, 想通过简单随机抽样的方法,了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的 比例,你觉得该怎么做?


在这个问题中,全校学生构成调查的总体,每一位学生是个体,学生的视力是考察的 变量.为了便于问题的描述,我们记"视力不低于5.0"为1,"视力低于5.0"为0,则 第i个(i=1,2、···2174)学生的视力变量值为
(1.视力不低于5.0。 Y= 0.视力低于5.0.
于是,在和校要生中,"  不低于5. "的人,就是V,+X:-:.可以发现,在 总体中,"视力不低于5.0"的人数所占的比例P就是学生视力变量的总体平均数
Y,+Y,.…·+Y20=9. 2174
类似地,若抽取容量为"的样本,把它们的视力变量值分别记为yi.y.…y. 则在样本中,"视力不低于5.0"的人数所占的比例,就是学生视力变量的样本平均数
y:+y2+…+y. p=
我们可以用样本平均数 估计总体平均数Y,用样本中的比例 估计总体中的比例P. 现在,我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机  ,其视力变量 取值如下:
1101001011 10001101000111011011 1101101010 0010011100
由样本观测数据,我们可以计算出样本平均数为 v=0.54.


据此,我们估计在树人中学全体学生中,"视力不低于5.0"的比例约为0.54.
简单随机抽样方法简单、直观、用样本平均数估计总体平均数也比较方便,简单随机抽 样是一种基本抽样方法,是其他抽样方法的基础,但在实际应用中,简单随机抽样有一定的 局限性.例如,当总体很大时.简单随机抽样给所有个体编号等准备工作非常费事,甚至难 以做到:抽中的个体往往很分散,要找到样本中的个体并实施调查会遇到很多困难:简单 随机抽样没有利用其他辅助信息,估计效率不是很高;等等.因此,在规模较大的调查中, 直接采用简单随机抽样的并不多,一般是把简单随机抽样和其他抽样方法组合使用.
练习
1.为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取 了300户进行调查,得到其日用电量的平均数为5.5kW·h.则可以推测全市居民用户日用电量的平 均数( (A)一定为5.5kW·h (B)高于5.5kW·h (C)低于5.5kW·h (D)约为5.5kW·h


2.在学生身高的调查中,小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查,小明调查的样本平均数为 166.4.样本量为100;小华调查的样本平均数为164.7,样本量为200,你更愿意把哪个值作为总体
180第九章统计
平均数的估计?是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数:说说你的理山
3.找一组数据作为总体,自行设建样本量,进行多次简单随机抽样,现察样本量对估计总体平均数的 影响,并试着解释其中的原因,
9.1.2分层随机抽样
抽样调查最核心的问题是样木的代表性,简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相 等的机会被抽中,但因为抽样的随机性,有可能会出现比较"极端"的样本,例如,在对 树人中学高一年级学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮 个子的情形,这种"极端"样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数,从而使得估计出现 较大的误差.
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢?
问题3在树人中学高一年级的712名学生中,男生有326名、女生有 86名,能否 利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法,减少"极端"样本的出现,从而提高对整个年 级平均身高的估计效果呢?


我们知道.影响身高的因素有很多,性别是其中的一个主要因素.高中男生的身高普 遍高于女生的身高,而相同性别的身高差异相对较小.我们可以利用性别和身高的这种关 系,把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体,对两个群体分别进行简 单随机抽样,然后汇总作为总体的一个样本,由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应 的个体,这样就能有效地避免"极端"样本.
思考
对男生、女生分别进行 掉随机抽样,样长量在男生、女生中应如何分配?
自然地.为了使样本的结构与总体的分布相近,人数多的群体应多抽一些,人数少的 群体应少抽一些.因此,按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理 的方式,即
男生人数
男生样本量 X总样本量, 全体学生数
女生人数 女生样本量 X总样本量.
全体学生数
这样无论是男生还是女生,每个学生抽到的概率都相等.当总样本量为50时,可以计算 出从男生、女生中分别应抽取的人数为
326 <50≈23, 1男 712
第九章统计181
386 712×50≈27.
我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本,其观测数据(单位:cmn)如下:


上面我们按性别变量,把高一学生 划分为男生、女生两个身高差异较小的子总体分别 进行抽样,进而得到总体的估计:一 般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总 体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把 所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样 (stratified random sampling),每一个子总体称为层,在分层随机抽样中,如果每层样本 量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和 N.抽取的样本量分别m和n,我们用X..X2. ..X 表示第一层各个个体的变量值。
用x.xg. x.表示第1层样本的各个个体的变量值:用Y,.Y...Y.表示第2 层各个个体的变量值,用yiy,**y.表示第2层样本的各个个体的变量值,则第1 层的总体平均数和样本平均数分别为
x+X:+x+ X M M.= m7 m.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
Y+Y:+…+》 .+
总体平均数和样本平均数分别为
2+2 m+n


由于用第1层的样本平均数工可以估计第1层的总体平均数X.用第2层的样本平均 182第九章统计
数y可以估计第2层的总体平均数Y,因此我们可以用
Mxz+NXy M M+N M+NM+N
估计总体平均数W.
在比例分配的分层随机抽样中,
m nm+n MNM+N
可得
因此,在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数估计总体平均数W.
探究
与考察简单随机抽样估计效果类似,小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽 样的估计效果,他用比例分配的分层随机抽样方法,从高一年级的学生中抽取了10个 样本量为50的样本,计算出样本平垃数如表9.1-2所示,与上一小节"探究"中相同 样木量的简单随机抽样的结果比较,小明有了一个重要的发现,你是否也有所发现? 表9.1-2
1 3
抽样序号 5 6 7 8 9 10


男生样本的平均数 170.0 170.7 169.8 171.7 172.7 171.9 171.6 170.6 172.6 170.9 女生样本的平均数 162.2 160.3 159.7 158.1 161.1 158.4 159.7 160.0 160.6 160.2 总样本的平均数 165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1165.1
我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用图 形进行表示(图9.1-4),其中红线表示整个年级学生身高的平均数。
从试验结果看,分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动,与简单随机抽样的 结果比较,分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样,但相对面言,分层随机抽样的样 木平均数波动幅度更均匀,简单随机抽样中出现了一个(第2个)偏离总体平均数的幅度 比较大的样本平均数,即出现了比较"极端"的样本,而分层随机抽样没有出现


[实际上,在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异 明显、层内差异不大,分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样,也好于很多其他抽 样方法,分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便,面且除了能得到总体的估计 外,还能得到每层的估计.
图9.1-4]样本平均数 167 166.5 166 165.5 165 简单随机抽样 164.5 分层随机抽样 164 163.5 163 162.5 1 2 3 6 7 910 5 8 抽样序号


在实际抽样调查中,由于实际问题的复杂性,除了要考虑获得的样本的代表性,还要 考虑调查实施中人力、物力、时间等因素,因此通常会把多种抽样方法组合起来使用.例 如,在分层抽样中,不同的层内除了用简单随机抽样外,还可以用其他的抽样方法,有时 层内还需要再进行分层,等等。
探究
如果要了解某电视节目在你所在地区(城市、乡镇或村庄)的收视率,你能帮忙 设计一个抽样方案吗?结合你所在地区的实际情况,和同学展开讨论
练习
1.数据x..….x的平均数为,数据y·y.  v.的平均数为v.证明:
进十月
2.有人说:"如果抽样方法设计得好,用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力善查的结果差 不多,面且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说,节省了人力、物力和财力,抽样调查更可 取."你认为这种说法有道理吗?为什么?
3.高二年级有男生490人,女生510人,张华按男生、女生进行分层,通过分层随机抽样的方法、得 到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
(1)如果张华在各层中按比例分配样本,总样本量为100,那么在男生、女生中分别抽取了多少名?


在这种情况下,请估计高二年级全体学生的平均身高.
(2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70,那么在这种情况下,如何估计高二年 级全体学生的平均身高更合理?
4.要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例,小明根据性别对总体进行分层、用分层随机抽 样的方法进行调查,请你查阅有关资料,说说这样的分层是否合理,你觉得在选择分层变量时应注 意什么?
184第九章统计
如何得到敏感性问题的诚实反应
通过调查获取数据的基本方式是询问,调查问卷是询问的依据,也是信息的 载体,无论是面对面的调查,如入户调查,还是非面对面的调查,如电话调查, ,络 查等,调查问春都是必需的,问卷设计十分重要,好的问卷是收集高质量 数据的基础。
在统计调查中,问卷的设计是一门很大的学问.例如,调查问题的  会对 被调查者产生影响,举例来说,在"你在多大程度上喜欢吸烟"和"你在多大程 度上不喜欢吸烟"这两种问法中,前者会比后者给出更为肯定的答案,再如,问 题在问卷中的位置也会时调查者产生影响,一般地,比较容易的、不涉及个人的 问题应当排在比较靠前的位置,较难的、涉及个人的问题应接得比较靠后,等等。


对一些敏感性问题,例如学生在考试中有无作弊、某人是否偷税漏税等,更 要精哭设计问卷及调查方法,设法消除被调查者的顾虑、使他们能够如实回答问 题.否则,被调查者往往会拒绝回答,或不 供真去情况,下面我们用一个 子 来说明对敏感性问题的调查方法, 某地区的公共卫生 门为了调查本 地区中学生的吸烟情况,对随机 出的 200名学生进行了调查,调查中使用了两个问题。
问题1:你父亲的公历生日日期是不是奇数?
问题2:你是否经常吸烟?
调查者设计了一个随机化装置,这是一个装有大小、形状和质量完全一样的 50个白球和50个红球的袋子,每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球 再放回袋中),摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答 第二个问题,回答"是"的人往一个盒子中放一个小石子,回答"否"的人什么 都不要做,由于问题的答案只有"是"和"否",而且回答的是哪个问题也是别人 不知道的,因此被调查者可以觉无顾虑地给出符合实际情况的答案
如果在200人中,共有58人回答"是",你能估计出这个地区吸烟的中学生 所占的百分比吗?


由题意可知,每个学生从口袋中摸出1个白球或红球的概率都是0.5,即我 们期望大约有100人回答了第一个问题,另100人回答了第二个问题,在摸出白 186
球的情况下,回答父亲公历生日日期是奇数的概率是5~0.51.因而在回答第 一个问题的100人中,大约有51人回答了"是",所以我们能推出,在回答第二 个问题的100人中,大约有7人回答了"是",即估计这个地区大约有7%的中学 生吸烟.
这种方法是不是很巧妙?
第九章统计185
9.1.3获取数据的途径
统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的,因此如何收集数据,是统计学 研究的重要内容.
在实践中,获取数据的途径多种多样,像统计报表和年鉴、社会调查、普查和样、 互联网试验设计等等都是常见的.下面介绍获取数据的一些基木途径
1.通过调查获取数据
对于有限总体问题,如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境 改善状 、青少年 教育状 、高中生近视的比例、产品合格率、高中生日平均上网时间 等问题,我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.


针对不同问题的特点,为了有效收集所需数据,专家发明了各种不同的抽样方法.除 了我们已经学过的简单随机抽样和分层随机抽样,还有系统抽样、整群抽样、不等概率抽 样、自适应抽样、两阶段抽样等很多其他的方法,在实际应用中,关键在于是否能充分有 效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法,并有效避免抽样过程中的人为错误。在前 面的学习中,我们对此有了一定的认识
2.通过试验获取数据
试险是获取样本观测数据的另一种重要途经.例如,要判断伤制的新药是否有效、方 育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况,没有现存的数据可以查询,就需要通过对比 试验的方法去获取样本观测数据,又如特种钢、轮胎的配方和产品质量等,也需要通过试 验获取样本观测数据。
通过试验获取数据时,我们需要严格控制试验环境,通过精心的设计安排试验、以提 高数据质量,为获得好的分析结果剪定基础,在统计学中,这种安排试验的学问叫做"试 验设计",感兴趣的同学可以查阅试验设计教科书。
3.通过观察获取数据


在现实生活中,我们感兴趣的很多自然现象都不能被人类所控制,如地震、降水、大 气污染、宇宙射线等.自然现象会随着时间的变化面变化,不能用我们已经撑过的有眼总 体来刻画,也就不能用抽样的方法获取观测数据:另一方面,由于自然现象不能被人为控 制,也不能通过试验获取观测数据,研究这类现象,只能通过长久的持续观察获取数据. 对于各个不同的行业,往往需要专业测量设备获取观测数据,随着科技水平的提高。
专业测量设备的自动化程度越来越高,通过观测获取和存储数据的成本越来越低,这成为 大数据产生的根源,一般地,通过观察自然现象所获取的数据性质比较复杂,其中蕴含着 所观察现象的本质信息,这些信息十分宝贵,统计学理论和方法是挖掘这些信息的强有力 的工具之一
4.通过查询获得数据


我们感兴趣的问题,可能有众多专家研究过,他们在研究中所收集的样本观测数据可 能存储于学术论文、专著、新闻稿、公报或互联网上.这些数据是宝贵的财富,我们可以 收集前人的劳动成果并加以利用,从而减少收集数据的成本,我们往往把这样获得的数据 叫做二手数据.国家统计局是我国最主要的统计数据收集和发布的部门,调查统计的数据 涉及经济、社会、民生的方方面面,国家统计局的统计数据通过多种形式进行公布,例如 定期发布新闻稿、举办新闻发布会、发布统计公报、出版各类统计资料等,统计公报有年 度统计公报、经济普查公报、人口普查公报、农业普查公报等;统计资料出版物有《中国 统计摘要)、以《中国统计年鉴》为代表的统计年鉴系列等。
例如,我们想了解2014年全国的交通事故情况'通过查找《中 统计年鉴》可以微 到如表9.1-3所示的数据。如果我们关心机动车交通事故逐年变化的情况,那么需要通过 查找每年的数据表,并把它们合并整理
表9.1-32014年全国交通事故情况
类型 发生数/起 死亡人数/人 受伤人数/人 直接财产损失/万元
机动车
非机动车 行人乘车人
180321 14175 2242


54 944 2311 1247
194887 15.737 1167
103386.0 2719.4 1403.5
其他
总计
74 196812
21 58523
91 211882
34.1 107543
随着信息技术的发展,通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式.例 如,可以从国家统计局的官方网站查询得到国家统计局公布的各种统计数据,在网络上, 也有专门提供数据服务的公司,它们提供政府部门允许公开的各类数据
当然,互联网的最大优势是,人们可以利用强大的搜索功能,在整个网络上查找所需 要的数据,但从网络上查找的数据,因为数据来历和渠道多样,所以质量会参差不齐,必 须根据问题背景知识"清洗"数据,去伪存真,为进一步的数据分析奠定基础、
练习
1.请从国家统计局网站上查找我国水资源及其使用情况的一些数据,根据数据谈谈当前保护水资源的 重要性.
2.近视是青少年存在的普遍问题,你能查找相关数据,并利用数据说说近几年我国在防治青少年近视 上取得的成效吗?
第九章统计187
习题9.1
复习巩固
1.下列情况中哪些适合用全面调查,哪些适合用抽样调查?说明理由。
(1),了解某城市居民的食品消费结构;


(2)调杏一个县各村的粮食播种面积
(3)了解某地区小学生中患沙眼的人数:
(4)了解一批玉米种子的发芽率:
(5)调查一条河流的水质;
(6)某企业想了解其产品在市场的占有率。
2.某刊物对其读者进行满意度调查,查表随刊物送到读者手中,对寄回的调查表进行分析,这 是不是一项抽样调查?样本抽取是不是属于简单随机抽样?为什么?
3.中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得该节目的收视率。下面是三名同学为电视台 设计的调查方案.
同学A:我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上,只要上网登录该网址的人就 可以看到这张表,他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中,这样,我就可以很快统计出 收视率了, 同学B:我给我们居民小区的每一个住户发一份是否在除夕晚上看过中央电视台春节联欢晚会 的调查表,只要一两天就可以统计出收视率。
同学C:我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码,然后逐个给他们打电话,问一下 他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会,我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会 的收视亭
请问:上述三名同学设计的调查方案获得比较准确的收视率的可能性大吗?为什么?


4.下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本?
(1)总体编号为1-75.在0-99中产生随机整数r.若r=0或+>75.则舍弃,重新抽取
(2)总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r,r除以75的余数作为抽中的编号.若余
数为0.则抽中75.
(3)总体编号为6001-6876,在1~876范围内产生一个随机整数r,把r+6.000作为抽中 的编号。
5.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从全 体运动员中抽出一个容量为28的样本、如果样本按比例分配,那么男、女运动员应各抽取多
少名?
综合运用
6.数据x,x**r的平均数为,数据yiy..y.的平均数为y、a.6为常数,如果 满楚yi=ax:+b,y==ur:十b.…·y.=ar。+6.证明y=ax+b.
7.已知后体划分为3层,通过分层随机抽样得到各层的样本平均数分别为a.y. .
(1)根据以上信息可以估计总体平均数吗?如果不能,还需要什么条件?写出估计式.
188第九章统计
(2)如果样本量是按比例分配,第1,2.3层的个体数分别为L,M.N.样本量分别为/. 裙,#,证明:


J十N 1+m+nm+n L.+M+
8.校学生会希望调查学生对本学期学生活动计划的意见,你自愿担任调查员,并打算在学校里抽 取10%的同学作为样本.
(1)怎样安排抽样,可以提高样本的代表性?
(2)在调查抽样中你可能遇到哪些问题?
(3)这些问题可能会影响什么?
(4)你打算怎样解决这些问题?
9.一般来说,影响农作物收成的因素有气候、土质、田间管理水平等,如果你是一个农村调查队 成员,要在麦收季节对你所在地区的小麦进行估产调查,你将如何设计调查方案?
拓广探索
10.如果调查目的是要确定被调查者的收人水平,请设计一种提问方法.
11.你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况,例如,全校同学比较喜欢哪门课程,每月 的零花钱平均是多少,喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少,每天大约什么时间起床, 每天睡眠的平均时间是多少,等,选一些自己关心的问题,设计一份调查问卷,利用简单随 机抽样方法调查你们学校同学的情况,并解释你所得到的结论.
12.查询中央电视台最近五年春节联欢晚会的收视率,从中你能发现一些什么信息?查阅一些收 视率调查所用的方法,在分析这些方法的合理性和不足的基础上,请你自行设计一个调查收


视率的方案。
信息技术应用
统计软件的应用
在统计中使用计算机技术,不仅可以把人们从机械、烦琐的数据整理、计算 中解放出来,极大提高工作效率,而且能使大量人工难以完成的数据处理变成可 能,从而促进统计学的发展,现在,用统计续件处理数据已成为统计学的组成 部分, 为了满足不同需求,人们开发了功能各并的统计款件,有些是专门的统计款 件,统计功能比较全面,如R,SAS,SPSS,SPlus.Stata等:有些是有一定统 计功能的软件,如Microsoft Excel,MATLAB,GeoGebra,《网络画板》等,通 常,统计软件的功能包括对数据进行管理和组织,将数据转化为可视化的图表。
对数据进行统计计算和分析等。
第九章统计189
下面以也于表给软什和只软件为例,个绍统计较件在统计分断中的应用 一、电子表格软件的简单统计功能
(一)产生随机数
1.用RAND()画数产生区间「0.1]内的随机数


打开电子表格软件:在单元格Al中 入"=RAND()",按回车 .即可 产生区间[0.1]内的一个随机数,将鼠标放在A1单元格的右下角,待鼠标变 为"+"时,拖动A1单元格到A100,就可产生区间[0.1]内的100个随 机数。
2.用RANDBETWEEN(a,b)函教产生区间「a.67内的整数随机款 例如,要产生区间[1,712]内的一个整数随机数,只要在单元格中输入 RANDBETWEEN (1,712)",按回车键即可。
(二)随机抽样
,用软件的 据分析工具.可以实现有放回简单随根抽样,例如.从一组数无 中有放回抽取容量为20的样本,输入数据后,在菜单栏中依次选择"数据"一 "数据分析"一"抽样",点击"确认"按钮,在弹出的对话框中把被抽样的总体 数据置于"输入区域"中,在"抽样方法"中选择"随机",并输入要抽取的样 本量"20",设置"输出选项"后,单击"确定"即可。
若" 据"菜单中没有"救据分析"远项,则在"文件"菜单中依火点击 "选项"-"加载项"-"转到",在"可用加载宏"中逸中"分析工具库"和 "分析工具库·VBA",单击"确定"即可把"数据分析"加载到菜单栏中


(三)统计量的计算
在电子表格软件的函效库中,有一类统计函数提供了计算常用统计量的各种 函数,如AVERAGEO(平均数),MEDIAN()(中位数),MODE((众数), VAR.P()(方差),STDEV.P()(标准差),PERCENTILE.INC()(百分位 数),等,可以直接输入函数名称进行调用,也可以通过"插入函教"的方式选择 调用
例如,求单元格A2到A101所有数据的平均数,可以选一空白单元格,输 "=AVERAGE(A2:A1O1>",或者在菜单根中依次选择"公式"一"配数 库"-"插入画 ",调出品数"AVERAGE",再设置求平均 的单元格范 。
其他函数调用的操作过程类似,只是不同函数的参数设置有所不同,可以根 据函数的说明进行恰当设置.
二、R软件的简单统计功能
R件是一 免费软件,可在其官方网站下载.它通过命令形式进行操作.
(一)产生随机数


[1.用runif()西数产生区间[0,1]内的随机数
第九章统计191]例如,要产生100个区间[0,1] 内的随机数,在命令窗口中输入"runif (100)"即可(图1). 2.用sample()函数产生区间 [a,b]内的整数随机数 例如,在命令窗口中输入"sample (1:712,100,T)",就产生了100个 区间[1,712]内的可重复的整数随机 图1 数,如果希望随机数不可重复,只要把 sample函数中的参数T改为F即可. (二)用sample()函数实现随机抽样 例如,从一组数据1,2,3,3,4,4,5,6中,抽取一个容量为5的样本. 如果是


[1.用runif()西数产生区间[0,1]内的随机数
第九章统计191]有放回的抽取,在命令窗口中输入 x-c(1,2,3,3,4,4,5,6) sample(x,5,T) 如果是不放回的抽取,只要把sample函数中的参数T改为I即可。 (三)统计量的计算 在R软件的命令窗口中,先将数据以向量形式输入到R软件中,再根据统计 量调用相应的函数求值,如mean()(平均数),median((中位数),var() (方差),sd()(标准差),quantile()(分位数)等. 例如,求数据6,4,2,4,5的平均数。在命令窗口输入 x←c(6,4,2,4,5) mean(x) 不同函数的参数设置可以查看软件提供的帮助文档,关于方差、标准差、分 位数等统计量的含义,本章后续即有介绍.


[1.用runif()西数产生区间[0,1]内的随机数
第九章统计191]x←c(6,4,2,4,5) mean(x)


9.2用样本估计总体
收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息,因为实际问题 中数据多而且杂乱,往往无法直接从原始数据中发现规律, 所以需要根据问题的背景特点,选择合适的统计图表对数据 进行整理和百观描述,在此基础上,通过数据分析,找出数 据中蕴含的信息,就可以用这些信息来解决实际问题了. 下而我们讨论对随机抽样获取的数据的处理方法.
9.2.1总体取值规律的估计
面对一个统计问题,在随机抽样获得观测数据的基础上,需要根据数据分析的需要, 选择适当的统计图表描述和表示数据,获得样本的规律,并利用样本的规律估计总体的规 律,解决相应的实际问题,请看下面的问题
问题1我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了 减少水资源的浪费,计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度,即确定一户居民月均 用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费、如果希望 确定一个比较合理的标准,以使大部分居民用户的水费支出不受影响,你认为需要做哪些 工作?


每户居民月均用水量标准如果定得太低,会影响很多居民的日常生活;如果标准太 高,则不利于节水,为了确定一个较为合理的用水标准,必须先了解在全市所有居民用户 中,月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况, 她果经费时间等条件允许,我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户 的月均用水量数据,进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例,由于全市 居民用户很多,通常采用抽样调查的方式.通过分析样*观测数据,来估计全市居民用户 月均用水量的分布情况
在这个问题中,总体是该市的全体居民用户,个体是每户居民用户,调查的变量是居 民用户的月均用水量.
假设通过简单随机抽样·获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位:t):
9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.28.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5
5.7 5.1 16.8 11.1 1.3 11.2 7.7
2.1
6.0
4.9
2.3 10.0 16.7 12.012.4 7.8 5.2 13.62.6 22.4
192第九章统计


在这个实际问题中,因为我们更关心月均用水量在不同 为数据的解释提供新方式。
用图表示数据不仅有利于 范围内的居民用户占全市居民用户的比例,所以选择频率分 从数据中提取信息,还可 布表(frequency distribution table)和频率分布直方图 以利用图形传通信息。 (frequcncy distribution histogram)来整理和表示数据。与 画频数分布直方图类似,我们可以按以下步骤制作频率分布 表、画频率分布直方图
1.求极差
极差为一组数据中最大值与最小值的差,样本观测数据的最小值是1.3t,最大值是 28.01,极差为 28.0-1.3=26.7.
这说明样本观测数据的变化范围是26.7t,
2.决定组距与组数
合适的组距与组数对发现数据分布规律有重要意义.组 数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况。组距与 组数的确定没有固定的标准,常常需要一个尝试和选择的过 程,数据分组的组数与数据的个数有关,一般数据的个数越 多,所分组数也越多,当样本容量不超过100时,常分成 5~12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求 "取整"


分组时可以先确定组距,也可以先确定组数,如果我们 取所有组距为3.则
数据分组可以是等距 的,也可以是不等距的, 要根据数据的特点而定。
有时为了方便,往往较等 距分组,或者除了第一和 最后的两段,其他各段按 等距分组。
第九章统计193
极差26.7 -8.9. 组距
即可以将数据分为9组,这也说明这个组距是比较合适的。
3.将数据分组
由于组距为3.9个组距的长度超过极差,我们可以使第一组的左端点略小于数据中 的最小值,最后一组的右端点略大于数据中的最大值,例如,可以取区间为[1.2. 28.2],按如下方式把样本观测数据以组距3分为9组:
[1.2.4.2),[4.2.7.2),….[25.2.28.2].
4.列频率分布表
计算各小组的频率,例如第一小组的频率是 第一组频数 23 =0.23.
样本容量 100 作出频率分布表(表9.2-1).
表9.2-1
分组 轻数累计 嗨数
[1.2.4.2) 正正正正下 23
[4.2.7.2) 正正正正正正T 32
[7.2.10.2) 正正下 13
[10.2,13.2) 正正 9
[13.2,16.2) 正正 9
[16.2,19.2) 正 5


频率 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05
[19.2,22.2)
[22.2.25.2)
[25,2.28.2]
合计
下 正 T
3 4 2 100
0.03 0.04 0.02 1.00
5.画频率分布直方图
根据表9.2-1可以得到如图9.2-1所示的频率分布直 方图.
频率
在图9.2-1中,横轴表示月均用水量,纵轴表示 组距 频率
[这里。 组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高
194第九章统计]频率分布直方图与频 数分布直方图有什么 区别?


度,它反映了各组样本观测数据的疏密程度,因为 频率
利用统计软件,可以
小长方形的面积=组距 =频率, 组距
快速、准确地画出频率分
所以各小长方形的面积表示相应各组的额率,这样,频率分
有直方圈,频率分布直方
图把祥本数据落在各小组
布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的
的比例大小直观化,更有
大小、容易知道,在频率分布直方图中,各小长方形的面积
利于我们从整体上把握数
的总和等于1,即样本数据落在整个区间的频率为1.
[据分布的特点.
观察]频率/组距 0.12 0.107 0.1 0.077 0.08 0.06 0.043 0.04 0.0300.030 0.017 0.02 0.013 0.010 0.007 0 1.2 4.2 7.2 10.2 13.2 16.2 19.2 22.2 25.2 28.2 月均用水量/t 图9.2-1


观察表9.2-1和图9.2-1,你觉得这组数据中痘含了哪些有用的信息?你能从图 表中发现居民用户月均用水量的哪些分布规你?你能给出透当的语言描述吗?
从频率分布表9.2-1可以清楚地看出,样本观测数据落在各个小组的比例大小.例 如,月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多,在区间[1.2.4.2)内的次之, 而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小,等等.
从频率分布直方图9.2-1容易看出,居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不 对称的,图形的左边高、右边低,右边有一个较长的"尾巴",这表明大部分居民用户的 月均用水量集中在一个较低值区域,尤其在区间[1.2.7.2)最为集中,少数居民用户的 月均用水量偏多,而且随着月均用水量的增加,居民用户数呈现降低趋势.


有了样本观测数据的频率分布,我们可以用它估计总体的取值规律,根据100户居民 用户的月均用水量的颗率分布,可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分 布,即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域.这使我们确定用水量标准时,可以 定一个合适的值,以达到既不影响大多数居民用户的水费支出,又能节水的目的,需要注 意的是,由于样本的随机性,这种估计可能会存在一定误差、但这一误差一般不会影响我 们对总体分布情况的大致了解.
[分别以3和27为组数,对数据进行等距分组,画出100户居民用户月均用水量 的频率分布直方图(图9.2-2),观察图形,你发现不同的组数对于直方图呈现数据分 市规律有什么影响?
"组数为3"]频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 1.2 10.2 19.2 28.2 月均用水量/t


从图9.2-2中可以看出,同一组数据,组数不同,得到的直方图形状也不尽相同.图 9.2-2(1)中直方图的组数少、组距大,从图中容易看出,数据分布的整体规律是随着月 均用水量的 加,居民用户数的频率在降低,而且月均用水量在区间[1.2,10.2)内的 居民用户数的频率,远大于在另两个区间[10. 2,19.2)和[19.2,28.2]内的频率,这 说明大部分居民用户的月均用水量都少于10.21.图9.2-2(2)中直方图的组数多、组距 小,从图中可以看出,数据主要集中在低值区,尤其在区间[5.2,6.2)内最为集中,从 总体上看,随着月均用水量的增加,居民用户数的频率呈现下降趋势,但存在个别区间频 率变大或者缺失的现象
从上述分析可见,当频率分布直方图的组数少、组距大时,容易从中看出数据整体的 分布特点,但由于无法看出每组内的数据分布情况,损失了较多的原始数据信息:当频率 分布百方图的组数多、组距小时,保留了较多的原始数据信息,但由于小长方形较多,有 时图形会变得非常不规则,不容易从中看出总体数据的分布特点。


这里我们再次指出,对于同一组数据,因为组距、组数不同而得到不同形状的直方 图,会给人以不同的频率分布印象,这种印象有时会影响人们对总体的判断,因此,我们 要注意积累数据分组、合理使用图表的经验.
练习
[1.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50~350kW·h之间。进 行适当分组后(每组为左闭右开的区间). 出顿率分布直方图如 所示
(1)直方图中x的值为]频率/组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 0 0 50 100 150 200 250 300 350月用电量/(kW·h) (第1题)


(2)在被调查的用户中,用电量落在区间[100、250)内的户数为
[2.如图,胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单,发现他爸爸该月共通话60次。胡晓按每次通话 时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间),画出了频率分布直方图。
(1)通话时长在区间[15.20),[20.30)内的次数分别为多少?]频率/组距 0.07 0.060 0.06 0.05 0.046 0.04 0.030 R 0.03 0.024 0.020 0.02 0.01 0 0 5 10 15 20 25 30 通话时间/min (第2题)


(2)区间[20.30)上的小长方形高度低于[15.20)上的小长方形的高度,说明什么?
3.请班上每位同学估计一下自己平均每天的课外学习时间(单位:min),然后统计数据,作出全班同 学课外学习时间的频率分布直方图,能否由这个率分布直方图估计出你们学校全体学生课外学习 时间的分布情况?可以用它来估计你所在地区(城市、乡镇或村庄)全体学生课外学习时间的分布 情况吗?为什么?
第九章统计197
除频率分布直方图外,我们在初中还学习过条形图、扇形图、折线图、频数分布直方 图等.不同的统计图在表示数据上有不同的特点、例如,扇形图主要用于直观描述各类数
据占总数的比例,条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率, 折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势,不同的统计图适用的数据类型也不同、例 如,条形图适用于描述离散型的数据,直方图适用描述连续型数据等,因此,在解决问题 的过程中,要根据实际问题的特点,选择给当的统计图对数据进行可 化描述,以使我们 能通过图形直观地发现样本数据的分布情况,进而估计总体的分布规律。
例1已知某市2015年全年空气质量等级如表9.2-2所示.
表9.2-2


(1)根据该市2016年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准,可以画出 该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表(表9.2-3).
表9.2-3 空气质量等级
合计 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 15 9 2 O 0 30 比例 13.33% 50% 30% 6.67% 0 0 100%
从表中可以看出,"优""良"的天数达19天,占了整月的63.33%,没有出现"重 度污染"和"严重污染"


[我们可以用条形图和扇形图对数据作出直观的描述,如图9.2-3和图9.2-4.从条形 图中可以看出,在前三个等级的占绝大多数,空气质量等级为"良"的天数最多,后三个 等级的天数很少,从扇形图中可以看出,空气质量为"良"的天数占了总天数的一半,大 约有三分之二为"优""良",大多数是"良"和"轻度污染".因此,整体上6月的空气 质量不错。
我们还可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况,如图9.2-5.容易发现,6 月的空气质量指数在100附近波动.]天数 20 15 6.67% 10 13.33% 优良 5 30.00% 0 轻度污染 优 良 中度污染 轻度污染 重度污染 严重污染 空气质量等级 50.00% 中度污染 图9.2-3 图9.2-4


(2)根据该市2016年5月的空气质量指数和空气质量分级标准,可以画出该市这个 月的不同空气质量等级的频数和频率分布表(表9.2-4).
第九章统计199
表9.2-4
优 良 空气质量等级 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 合计 天数 3 21 5 1 0 31 颗率 10% 68% 16% 3% 3% 0 100%
[为了便于比较,我们选用复合条形图,将两组数据同时反映到一个条形图上,通过条 形图中柱的高低,可以更直观地进行两个月的空气质 的比较(图9.26).
图9.2-6]天数 25 20 15 5月 6月 10 5 0 优 良 轻度污染 中度污染 严重污染 重度污染 空气质量等级


由表9.2-4和图9.2-6可以发现,5月空气质量为"优"和"良"的总天数比6月多, 所以,从整体上看,5月的空气质量略好于6月,但5月有重度污染,而6月没有.
[(3)把2016年6月和2015年全年的空气质量进行比较,由于一个月和一年的天数差别 很大,所以直接通过频数比较没有意义,应该转化成频 分布进行比较.可以通过二者的空 气质量指数的频率分布直方图或空气质量等级的频率分布条形图进行比较(图9.2-7)。
于2015年,所以从整体上着,2016年6月的空气质量要好于2015年全年的空气质量.]频率 0.6 R 0.5 0.4 2016年6月 0.3 2015年全年 0.2 0.1 0 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量等级 由此,你能得出 图9.2-7 "2016年的空气质量比 可以看出,虽然2016年6月的空气质量 2015年明显改善了"的结 路低于2015年,但"良"的频率明显高于 论吗?为什么? 16年6月中度以上的污染天气频率明显小


练习
1.某市2016年6月30天的空气质量指数如下:
3554808672855812511153 1066 4636182523406089 885479141640596711162
你觉得这个月的空气质量如何?请设计适当的率分布直方图展示这组数据、并结合空气质量分级 标准分析数据。
2.统计你们班所有同学的鞋号,选择合适的统计图进行描述,并分析鞋号的分布有什么特点,能用你 们班同学鞋号的分布估计你所在学校全体高中学生号的分布吗?估计全国高中学生的鞋号分布呢?
9.2.2总体百分位数的估计
前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据,通 过对图表的观察与分析,得出了一些样本数据的频率分布规律,并由此推测了该市全体居 民用户月均用水量的分布情况,得出了"大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值 区域"等推断,接下来的问题是,如何利用这些信息,为政府决策服务呢?下面我们对此 进行讨论。
问题2如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响,根据.2.1 节中100户居民用户的月均用水量数据.你能给市政府提出确定居民用户月均用水量准 的建议吗?


首先要明确一下问题:根据市政府的要求确定居民用户
月均用水量标准,就是要寻找一个数a,使全市居民用户月
[均用水量中不超过a的占80%,大于a的占20%,下面我
们通过样本数据对a的值进行估计.]你所在的地区是采用 阶梯水价吗?标准是 多少? 你认为14t这个标准 一定能够保证80%的居民 用水不超标吗?如果不一 定,那么哪些环节可能会 导致结论的差别?


把100个样本数据按从小到大排序,得到第80个和第 81个数据分别为13.6和13.8.可以发现,区间(13.6. 13.8)内的任意一个数,都能把样本数据分成符合要求的两 13.6+13.8 部分,一般地,我们取这两个数的平均数 2
13.7、并称此数为这组数据的第80百分位数(percentile), 或80%分位数
根据样本数据的第80百分位数,我们可以估计总体数 据的第80百分位数为13.7左右,由于样本的取值规律与总 体的取值规律之间会存在偏差,而在决策问题中,只要临界
值近似为第80百分位数即可,因此为了实际中操作的方便,可以建议市政府把月均用水 量标准定为14,或者把年用水量标准定为168L
-般地,一组数据的第,百分位数是这样一个值,它
[使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至
少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.]分位数的定义众多, 我们取一种简单便于计 算的.


可以通过下面的步骤计算一组个数据的第p百分
位数:
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=nXp%。
第3步,若i不是整数、而大于;的比邻整数为j、则第百分位数为第j项数据; 苦!是整数,则第,百分位数为第;项与第(i+1) 数据的平均数.
我们在初中学过的中位数,相当于是第50百分位数,在实际应用中,除了中位数外, 常用的分位数还有第25百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后 的数据分成四等份,因此称为四分位数,其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四 分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等,另外,像第1百分位数, 第5百分位数第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常飞侠用
例2根据9.1.2节问题3中女生的样本数据,估计树人中学高一年级女生的第25, 50,75百分位数.


例3根据表9.2-1或图9.2-1,估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数, 分析:在某些情况下,我们只能获得整理好的统计表或统计图,与原始数据相比,它 们损失了一些信息.例如由表9.21,我们知道在[16.2.19.2)内有5个数据,但不知 道这5个数据具体是多少,此时,我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
解:由中表9.2-1可知.月均用水量在13.2以下的居民用户所占比 为 23%+32%+13%+9%-77%.
202第九章统计
在16.2t以下的居民用户所占的比例为 77%+9%=86%. 因此,80%分位数一定位于[13.2,16.2)内,由
0.80-0.77 13.2+3X =14.2. 0.86-0.77
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2. 类似地,由
0.95-0.94 22.2+3X 22.95. 0.98-0.94
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95. 练习
1.在居民用户月均用水量标准制定的问题中,根据教科书中的调查数据,如果要让60%的居民不超出 标准,居民用户月均用水量标准定为多少合适?


2.根报9.1.2节问题了中男生的样人数据,请你估计树人中学高一年级男生的第25,50.75百分位 数,如果要减少估计的误差,你觉得应该怎么做?
3.分别根据图9.2-2(1)(2)中的数据,估计这组数据的月均用水量的第80和95百分位数,与根据图 9.2-1估计的结果比较,它们一样吗?你认为根据哪个图得到的估计更好?为什么?
9.2.3总体集中趋势的估计
为了了解总体的情况,前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规 律.但有时候,我们可能不太关心总体的分布规律,而更关注总体取值在某一方面的特 征.例如,对于某县今年小麦的收成情况,我们可能会更关注该 今年小麦的总产量或平 均每公顷的产量,而不是产量的分布:对于一个国家国民的身高情况,我们可能会更关注 身高的平均数或中位数,而不是身高的分布;等等。
在初中的学习中我们已经了解到,平均数、中位数和众数等都是刻画"中心位置"的 量,它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势,下面我们通过具体实例进一步了解这些 量的意义,探兖它们之间的联系与区别,并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.


例4利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据,计算样本数据的平 均数和中位数,并据此计全市居民用户月均用水量的平均独和中位数。
解:根据 .2.1节中100户居民用户月均用水量的数据,由样本平均数的定义,可得
y+y:++100879 y= 100
即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.
第九章统计203
将样本数据按从小到大排序,得第50个数和第51个数分别 为6.4,6.8,由中位数的定义,可得
6.4+6.8 =6.6.
即100户居民的月均用水量的中位数是6.6L.
[因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本,所以我们 可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t,其中 位数约为6.6t.
思考]假设某个居民小区有 2000户,你能估计该小 区的月用水总量吗?


小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数,但在录入数据时, 不小心把一个数据7.7杀成了77.请计算采入数据的平均数和中位数,并与真实的样 本平均数和中位数作比较,哪个量的值变化雯大?你能解释其中的原因吗?
通过简单计算可以发现,平均数由原来的8.79t变为9.483t,中位数没有变化,还 是6.6L,这是因为样本平均数与每一个样本数据有关,样本中的任何一个数据的改变都 会引起平均数的改变;但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其 他敷据,所以不是任何一个样木数据的,变都会引起中位数的,变,因此,与中位数比 较,平均数反映出样本数据中的更多信息·对样本中的极端值更加敏感
探究


[平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有 关在图9.28的三种分布形态中平均数和中位数的大小存在什公关系?
一般来说,对一个单峰的频率分布直方图来说,如果直方图的形状是对称的(图 9.2-8(1)),那么平均数和中位数应该大体上差不多:如果直方图在右边"拖尾"(图 9.2-8(2)),那么平均数大于中位数:如果直方图在左边"拖尾"(图9.2-8(3)),那么平]平均数、中位数 中位数平均数 平均数中位数 (1) (2) (3) 图9.2-8


204第九章统计
均数小中,也就是说,和中位 怕比,平均是在"长尼巴,那
例5某学校要定制高一年级的校服,学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格。 据统计·高一年级女生需要不同规格校服的 数如衣9.2-5所示。
表9.2-5
校服规格 155 160 165 170 175 合计 频数 39 64 167 90 26 386
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格,那么在中位数、平均数和众 数中,哪个比较合适?试讨论用表9.2-5中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合 理性.
分析:虽然校服规格是用数字表示的,但它们事实上是几种不同的类别。对于这样的 分类数据,用众数作为这组数据的代表比较合适, 解:为了更直观地观察数据的特征,我们用条形图来表示表中的数据(图9.2-9). 可以发现,选择校服规格为"165"的女生的频数最高,所以用众数165作为该校高一年 级女生校服的规格比较合适。


[由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异,所以用一个学校的数据估计全 国高一年级女生的校服规格不合理。
[图9.2-9]频数 200 150 100 50 155 160 165 170 175 校服规格


众数只利用了出现次数最多的那个值的信息,众数只能告诉我们它比其他值出现的次 数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度,因此,众数只能传递数据中的信息的很少 -部分,对极端值也不敏感
一般地.对数值型数据(她用水量,身高、收人产量等)集中趋势的描述,可以用 平均数、中位数;而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描 述,可以用众数
第九章统计205
样本的平均数、中位数和众数可有分别作为总体的平均数,中位数和众数的做 计,但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据,例如,我们在报纸、网络上获得 的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众 数?你能以x.2-中颜率分布直方图提供的信息为例.给出估计方法吗?
在频率分布直方图中,我们无法知道每个组内的数据是如何分布的,此时,通常假设 它们在组内均匀分布,这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计,进而估 计总体的平均数、中位数和众数


以上我们讨论了平均数、中位数和众数等特征量在刻画一组数据的集中趋势时的各自 特点,并研究了用样本的特征量估计总体的特征量的方法,需要注意的是,这些特征量有 时也会被利用面产生误导.例如,假设你到人力市场去找工作,有一个企业老板告诉你. "我们企业员工的年平均收人是20万元",你该如何理 这句话?
这句话是真实的,但它可能描述的是差异巨大的实际情况.例如,可能这个企业的工 资水平普遍较高,也就是员工年收入的中位数、众数与平均数差不多;也可能是绝大多数 员工的年收入较低(如大多数是5万元左右),而少数员工的年收入很高,甚至达到100 万元,在这种情况下年收入的平均数就比中位数大得多,尽管在后一种情况下,用中位数 或众数比用平均数更合理些,但这个企业的老板为了招揽员工,却用了平均数,
所以,我 们要强调"用数据说话",但同时又要防止被数据误导·这就需要堂握更多r 的统计知识和方法.
练习
1.根据表9.2-2中的数据,估计该市2015年全年空气质量指数的平均数、中位数和第80百分位数。 (注:已知该市属于"严重污染"等级的空气质量指数不超过400)


2.假设你是某市一名交通部门的工作人员,你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资 金数额,已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币、对另外25个公路项目的投资 是20~100万,这26个投资金额的中位数是2万元,平均数是100万元,众数是20万元。请你 根据上面的信息给市长写一份简要的报告.
3.某校举行演讲比赛,10位评委对两位选手的评分如下
甲7 5 7.5 7.87.8 8.0808.2838.49.9
乙7.57.87.87.88.0 8.0 8.3 8.3 8.5 8.5
选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后,剩下8个评分的平均数,那么,这两个选手 的最后得分是多少?若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分,两位选手的排名有变化吗? 你认为哪种评分办法更好?为什么?
阅读与思考
统计学在军事中的应用--二战时德国坦克总量的估计问题


俗话说,知己知彼方能百战百肚,在第二次世界大战期间,德国制造坦克的 技术非常先进,坦克的大量使用使纳粹德国占据了战场主动权,因此,了解德军 坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义,为此。除了通过常规情报收集 信息外,盟军请来了统计学家参与情报的收集和分析工作,根据德国战后公布的 生产记录显示,运用统计方法估计的结果与真实值非常接近,而通过常规情报进 行的估计则与真实值相去甚远。
下表是二战期间的三个月中,德国记录的生产担克的教目和情报估计、统计 估计的坦克数目, 表1
时间 德国记录/辆 情报估计/辆 统计估计/辆 1940年6月 122 169 1000 1941年6月 271 1550 241 1942年8月 342 1550 327
208第九章统计
统计估计有如此高的精确度,统计学家是怎么做到的呢?原来,盟军在缴获 的德军坦克上发现了一个重要的线索--每辆坦克上都有一个独一无二的发动机 序列号,据分析,序列号前而6位表示生产的年月,最后4位是按生产顺序从1 开始的连续编号,统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本,用样本估 计总体的方法得出推断的。


假设德军某月生产的担克怎数为N,嫩获的该月生产的n辆坦克编子从小到 大为工,工·*·工。,即最大编号为工,,且缴获的坦克是从所生产的坦克中随 机获取的.
[因为生产的坦克是连续编号的,所以缴获短克的编号r1xz. r.相当 于从[1.N 中随机物取的#1个整数.这刀个 将回间[0.N 分成 (1+1) 个小区间(图1),由于N是未知的,除了最右边的区间外,其他1个区间都是 已知的.
由于这n个数是随机抽取的,所以可以用前n个区间的平均长度估计所有 (n+1)个区间的平均长度一,进而得到N的估计,例如,缴获坦克的编号为]0 N x1 图1


2.4,5。12,可以用=1 作为 的估计,即 西
12 解得N=15.
当年,统计学家就是利用上述方法估计德军每月生产的坦竞数的。
你还能想出其他估计德军每月生产的 克数的方法吗?例如,用 本 号的 平均 作为每月生产坦克编号的平均数等,比较一下 种方法更合理。
9.2.4总体离散程度的估计
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息,这是概括一组数据 的特征的有效方法,但仅知道集中趋势的信息,很多时候还不能使我们做出有效决策,下 面的问题就是一个例子。
问题3有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:
甲78795491074 乙9578768677
第九章统计209
如果你是教练,你如何对两位运动员的射击情况作出评价?如果这是一次选拔性考 核,你应当如何作出选择?


[通过简单的排序和计算,可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众 数都是7.从这个角度看,两名运动员之间没有差别,但从图9.2-13中看,甲的成绩比较 分散,乙的成绩相对集中,即甲的成绩恢动惯度比较大,而乙的成绩比较稳逆,可见,他 们的射击成绩是存在差异的.那么,如何度量成绩的这种差异呢?
图9.2-13]频率 频率 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 6 7 4 5 8 9 10 环数 4 5 6 7 9 10 环数 8 (甲) (乙)


一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差,根据甲、乙运动员的10次射击成 绩,可以得到
甲命中环数的极差=10-4=6.
乙命中环数的极差一9-5=4.
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大,极差在一定程度上刻画了数据的离散程度,但因为 极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极 差所含的信息量很少.
我们知道,如果射击的成绩很稳定,那么大多数的射击
成绩离平均成绩不会太远:相反,如果射击的成绩波动幅度
[很大,那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远,因此。
我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的"平均距 离"来度量成绩的波动幅度.]你还能想出其他刻画 数据离散程度的办法吗?


思考
如何定义"平均距离"
假设一组数据是xi,x,…..,用表示这组数据的 平均数,我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为"距 离",即
|x,一7|(i=1.2,….n)
作为x,到x的"距离",可以得到这组数据x·"
[到 的"平均距离"为
210第九章统计]想一想,为什么用 "平均距离"刻画离散程 度,用"总距离"行吗?


为了避免式中含有绝对值,通常改用平方来代替,即
(r一),
(1)
我们称(1)式为这组数据的方差(variance),有时为了计 算方差的方便,我们还把方差写成以下形式
1式 N
由于方差的单位是原始数据的单位的平方,与原始数据 不一致,为了使二者单位一致,我们对方差开平方,取它的 算术平方根,即
可以使用计算器求一 组数据的方差,需要注意 的是,计算器可能按
--名(x一定}计算方 差,此时需要乘"进行
调整。
一(r,一7)
我们称(2)式为这组数据的标准差(standard deviation), 如果总体中所有个体的变量值分别为Y,Y,… Yx.总体平均数为Y.则称
(Y-Y)
标准差的取值范围是 什么?标准差为0的一组 数据有什么特点?
为总体方差,S=S为总体标准差,与总体均值类似,总 体方差也可以写成加权的形式,如果总体的N个变量值中, 不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y.Y.….Y. 其中Y,出现的频数为f(i=1,2、….k),则总体方差为
Y.(Y,-Y).
如果一个样本中个体的变量值分别为yi,y,…·.y.,样 本平均数为 ,则称 )
为样本方差,s=√为样本标准差。


标准差刻画了数据的离散程度或波动 度,标准差越大,数据的离散程度 大:标准 差越小,数据的离散程度越小、显然,在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样 的,但在解决实际问题中,一般多采用标准差
在实际问题中,总体平均数和总体标准差都是未知的,就像用样本平均数估计总体平 均数,通常我们也用 长长准差去估计体标准差。在随机中,木标准差依赖 于样本的选取,具有随机性。
在问题3中,我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度,计算可得
第九章统计211
Sm=2.s≈1.095.
由s=>z可知,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的 射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛,要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手 中的位置,如果两人都推在前而,就选成绩稳定的乙选手,否则可以选甲.


例6在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽 样,如果不知道样本数据、只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和 12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62,你能由这些数据计算 出总样本的方差,并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗?
解:把男生样本记为x,.**.,其平均数记为x,方差记为;把女生样本 记为yi,y,….y, 其平均数记为y.方差记为x;把总样本数据的平均数记为三,方 差记为s.
根据方差的定义,总样本方差为
+一 +2一+
由艺(r,一)=2x,-237=0,可得 2
同理可得
20,一一)=0
因此,
+++ (23[+一)+27+(一])
由z=170.6,y=160.6,根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平 均数的关系,可得总样本平均数为
23 27 23+2723+27 23×170.6+27×160.6 50 165.2.
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入E,可得
123x[12.59+(170.6-165.2)]+27x[38.62+(160.6-165.2))
212第九章统计