text: 3 Die Sommerfeldsche Theorie der Signalausbreitung
  3.1 Signale, Geschwindigkeiten, Dispersion und Vorläufer
  In der Sommerfeldschen Arbeit von 1912 [1] wurde jedoch nicht wegen der vielfältigen Zusammensetzung das natürliche Licht in der Ausbreitung untersucht, sondern als vereinfachter Fall das Auftreffen einer zum Zeitpunkt einsetzenden Folge von Sinusschwingungen fester Periodendauer auf eine ebene Grenzfläche des optischen Mediums, die zeitlich begrenzt sein aber auch unbegrenzt fortdauern kann. Das so definierte Signal ist jedoch nicht monochromatisch wie die idealisierte, beiderseits unendliche Folge von Sinusschwingungen, deren Anfang praktisch gesehen weit in der Vergangenheit zurück liegt. Für diesen stationären Fall beschreibt die Phasengeschwindigkeit die Welleneigenschaft des Lichtes ausreichend — z. B. Brechung und Interferenz — und weshalb sie auch als die "Lichtgeschwindigkeit" im jeweiligen Medium bezeichnet wird. Nur im idealisierten, dispersionsfreien Medium bzw. im Vakuum ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines beliebigen Signals gleich der Phasengeschwindigkeit. Hingegen kann sich in dispersiven Medien eine konstante Phase erst nach längerer Zeit infolge des eingeschwungenen Zustand der Elektronen einstellen. Bildlich gesehen könnte man dem Signal einen Kopf, der sich mit der Kopfgeschwindigkeit bzw. Frontgeschwindigkeit ausbreitet, zuschreiben und beim abgebrochenen Signal von einem Schluß, definiert durch den Zeitpunkt, in dem die erzwungene Anregung wegfällt. Jedoch tritt dann nicht plötzlich Ruhe ein, sondern es folgen fortdauernd abklingende freie Schwingungen. Von der Kopfgeschwindigkeit zeigt Sommerfeld, daß diese sowohl in normalen als auch anomalen Medien identisch mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit ist, da sich die elektromagnetische Wellenfront im leeren Raum zunächst mit Vakuumlichtgeschwindigkeit ausbreitet. Somit breiten sich Signale aus plötzlich einsetzendem "roten" Licht nicht schneller aus als die aus "blauen" Licht.
  Das Kontinuumsbild der Maxwellschen Theorie, mit dem das elektromagnetische Verhalten im Medium durch die Permittivität ( : elektrische Feldkonstante bzw. Permittivität des Vakuums, : relative Permittivität bzw. relative Dielektrizitätskonstante) und die Permeabilität ( : magnetische Feldkonstante bzw. Vakuumpermeabilität, : relative Permabilität) sowie der Beziehung oder durch den Brechungsindex und der Beziehung beschrieben werden kann, ist zur vollständigen Beschreibung der Signalausbreitung unzureichend, da die Verwendung der Phasengeschwindigkeit zur zeitlichen Beschreibung der Signalausbreitung ein falsches Bild vermittelt. Nach der mikroskopischen Elektronentheorie werden die physikalischen Eigenschaften im Medium als Abweichung vom Vakuumverhalten infolge der Wechselwirkungen der Strahlung mit den Ladungen beschrieben, wobei diese dem Feld Energie entziehenden und zum Mitschwingen angeregt werden und erst dann tritt eine Antwort auf das ursprüngliche Signal durch Erzeugung sekundärer Strahlung ein, wodurch die ursprüngliche durch die Überlagerung verändert werden kann. In der Einschwingphase, die unmittelbar mit der Signalankunft einsetzt, unterscheiden sich die physikalischen Eigenschaften des Mediums grundlegend von denen im zukünftigen stationären Zustand. Die Strahlen werden anfänglich nicht gebrochen, auch findet keine Dispersion statt. Es treten zunächst kurzwelliges Schwingungen mit sehr geringer Intensität ein, die Sommerfeld als Vorläufer bezeichnet ([1], S. 343). Die bekannten optischen Effekte wie Brechung und Polarisation sind erst nach einer gewissen Zeit mit der Herausbildung des stationären Zustandes definiert. Zur experimentellen Überprüfung seiner theoretischen Vorhersagen hielt sich Sommerfeld "wegen der Kleinheit der dabei in Betracht kommenden Energiemengen und der Kürze der erforderlichen Beobachtungszeiten" zurückhaltend. Erst viel Jahrzehnte später wurden erste Versuche zur experimentellen Überprüfung unternommen.
  Auch die herkömmliche Definition der Gruppengeschwindigkeit ( : Kreisfrequenz, : Wellenzahl mit und der Wellenlänge ) ist zur Beschreibung der Signalausbreitung und des damit verbundenen Energietransportes ([2], S. 551ff.) wegen und folglich in anomal dispersiven Medien mit und insbesondere im Fall ungeeignet, da sie ebenfalls größer als Vakuumlichtgeschwindigkeit werden kann. Den neuen Begriff der Signalgeschwindigkeit zur Beschreibung des Fortschreitens eines Signals definiert Sommerfeld noch unscharf "als diejenige Geschwindigkeit, mit der ein merkbarer Energiebetrag des Signals in einer gewissen Tiefe ankommt" und von der Empfindlichkeit des Empfängers abhängt. Bei einem idealen Detektor wäre sie gleich der Vakuumlichtgeschwindigkeit, siehe Bemerkung aus dem Jahre 1907. Für einen realen Detektor ist sie in Übereinstimmung mit der Relativitätstheorie stets kleiner als diese.
  3.2 Komplexzahlige Integraldarstellung der Signalausbreitung ebener elektromagnetischer Wellen
  Zur Beschreibung der Signalausbreitung über ebene elektromagnetische Wellen verwendet Sommerfeld ein stark vereinfachtes geometrisches Modell. Der Raum wird durch eine Ebene im kartesischen Koordinatensystem in zwei Halbräume getrennt, wobei sich in Vakuum befindet und in das dispersive Medium. Die Welle trifft senkrecht auf die Trennebene. Die zeitliche Abhängigkeit wird am inneren Rand durch die Signalfunktion beschrieben, wobei für Zeiten gilt. Würde man das Signal von außen zuführen, müßte zusätzlich das Reflektionsverhalten berücksichtigt werden. Aus Symmetriegründen läßt sich das Problem der Wellenausbreitung eindimensional durch die Ortskoordinate und die Zeit beschreiben. Um der Kausalitätsforderung der Relativitätstheorie zu genügen, muß eine beliebige Signalfunktion für alle Beobachtungszeiten den Zustand der "Ruhe" beschreiben, wobei die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist, d. h. es ist für .
  Für die Darstellung des Signalausbreitungsproblems verwendet Sommerfeld Methoden aus der Funktionentheorie. Am Beispiel des einfachen Signals läßt sich zeigen, daß sich dieses ebenso durch Integration auf einem zunächst beliebigen in der oberen Halbebene von nach liegenden Weg darstellen läßt, den man entsprechend den Regeln der Funktionentheorie unter Beachtung der Singularitäten — um die der Weg herumgeführt werden muß — deformieren kann. Der weiterführende Ansatz von Sommerfeld ist, diese Darstellungsform auf die Fortpflanzung der Wellenfront im Medium auf die Form bzw. wie später in [5] verwendet, auf zu übertragen, wobei für die Wellenzahl die Dispersionsbeziehung besteht. Im Grenzfall erhält man wieder das aufgeprägte Signal. Für den komplexzahligen Brechungsindex gilt nach der Lorentzschen Dispersionstheorie bei Vorhandensein einer Resonatorart mit der Resonatoreigenfrequenz die Abhängigkeit Hierbei ist die "Plasmafrequenz" ( : Elektronendichte, : Elementarladung, : Elektronenmasse, : elektrische Feldkonstante) und die Dämpfung. Die Gültigkeit der Dispersionstheorie extrapoliert Sommerfeld zum Zwecke der einfacheren theoretischen Beschreibung auf beliebig große Frequenzen. Mit den Gleichungen (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) und (\ref{eq:Dispersionsbeziehung}↓) sowie (\ref{eq:Brechungsindex}↓) kann dann der zeitliche Verlauf des Signals berechnet werden. Bei der Ausführung des Wegeintegrals müssen die sich aus dem Anregungssignal ergebenen Polstellen bei und die sich aus (\ref{eq:Brechungsindex}↓) ergebenden, bezüglich der imaginären Achse symmetrisch liegenden — sich sämtlich in der unter komplexen Halbebene befindenden Verzweigungsschnitte und mit (Singularität, ) und (Nullstelle, ) — entsprechend den Regeln der Funktionentheorie beachtet werden, d. h. bei der Deformation des Weges dürfen diese Stellen nicht übersprungen werden.
  Zur weiteren Untersuchung ist es zweckmäßig die verzögerte (retardierte) Zeit einzuführen, so daß für der Ruhezustand herrscht und die Ankunft des Signals am Ort definiert. Für betragsmäßig sehr große , d. h. , ist der Exponent in (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) asymptotisch gleich , so daß in der oberen komplexen Halbebene der Realteil im Falle stets negativ wird. Folglich kann man den Integrationsweg in das Unendliche der oberen Halbebene verlagern, wodurch das Integral und damit das Signal wie gefordert verschwindet. Für sollte man nach der Vorstellung von Sommerfeld versuchen, den Integrationsweg in die untere komplexen Halbebene nach Unendlich zu verlagern. Jedoch muß man diesen wegen der Verzweigungsschnitte und der Singularitäten in mehrere Teile zerlegen, wobei sich vorteilhafterweise gegenläufige Wegeintegrale aufheben.
  Der von den Polstellen sich ergebene residuale Integralanteil, an denen die komplexzahligen Werte und annimmt, läßt sich leicht berechnen. Mit der Wellenlänge und dem Absorptionsindex ist an diesen Stellen bzw. . Bezeichnet den noch zu bestimmen Integralanteil aus den Verzweigungsschnitten, so erhält man für große (retardierte) Zeiten wobei der erste Term die stationäre und je nach Eindringtiefe gedämpfte, erzwungene Schwingung mit einer Phasengeschwindigkeit beschreibt. Der hintere Term beschreibt den freien Anteil der Schwingung, welche den ersteren überlagert. Man beachte aber, daß das Signal bereits bei einsetzt und nicht erst nach . Zu letzterer Annahme käme man, wenn man die Phasengeschwindigkeit fälschlich als Ausbreitungsgeschwindigkeit interpretiert.
  Das nichttriviale zeitliche Verhalten im rechten Halbraumes (Medium) müßte sich auch im linken Halbraum (Vakuum) über das zeitlichen Reflexionsverhalten bemerkbar machen, weil die Reflexion mikroskopischen betrachtet kein reiner Randeffekt ist. Denn in dispersiven Medium werden bei der Wechselwirkung auch Wellen entgegengesetzt der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung erzeugt, welche die Anteile aus der Randschicht überlagern, worauf schon Esmarch [3] im Jahre 1913 hingewiesen hat.
  3.3 Eindeutigkeit der Darstellung und Energieerhaltung
  Unter Verwendung des Energiesatzes mit Berücksichtigung des Dispersionsverhalten konnte Sommerfeld die Eindeutigkeit der Darstellung des Signal (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) zeigen. Wie bereits oben erwähnt, erfolgt nach der Vorstellung der Dispersionstheorie zunächst die Ausbreitung der elektromagnetischen Wellen im Vakuum mit Vakuumlichtgeschwindigkeit. Erst durch die Wechselwirkung mit den Teilchen bzw. den Ladungen wird Energie auf diese übertragen und somit z. B. zum Schwingen oder zur Rotation angeregt, wodurch die freie Ausbreitung der anregenden Wellen durch hierdurch erzeugte, überlagernde Wellen gestört wird. Aus den Maxwell-Gleichungen erhält man im freien Raum unter Berücksichtigung der Rotation der Vektorfelder (magnetische Flußdichte) und (elektrische Feldstärke) unter Einbeziehung der elektrischen Stromdichte (konvektiver Strom der Ladungsträger) sowie der Bewegungsgleichung für die lokale Verschiebung der ladungsbehafteten Masse aus der Ruhelage mit (Teilchenzahldichte ) die Beziehung Mit den Definitionen des Poynting-Vektors (Energieflußdichte) und für die magnetische Feldstärke läßt sich diese auch durch ausdrücken. Sie stellt eine Energiebilanz zwischen der elektromagnetischen Energiedichte , der mechanischen Energie — Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie — und dem dissipativen Energieverlust infolge der Ladungsverschiebungen auf der linken Seite und dem Energiefluß auf der rechten Seite her. Man kann diese auch als Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung des dissipativen Verlustterms ausdrücken.
  Eine analoge Beziehung zu (\ref{eq:Energiebilanz}↓) läßt sich wegen der Linearität der Maxwell-Gleichungen (\ref{eq:Maxwell1}↓--\ref{eq:Maxwell2}↓) und der Bewegungsgleichung (\ref{eq:Bewegungsgleichung}↓) auch für die Differenzen , , zweier als verschieden angenommener Lösungen und formulieren, d. h. Sie läßt sich dazu verwenden, um auf die Eindeutigkeit der Lösung bei Vorgabe identischer Anfangs- und der Randbedingungen zu schließen. Integriert man über das Volumen, daß durch die Ebenen und ( ) begrenzt wird, sowie über die Zeit von 0 bis und fordert für , daß beide Lösungen an den Rändern gleich sind, insbesondere sei dort und sowie und , so muß wegen der Gleichheit der Energieflußdichte auf dem Rand gelten und folglich Für besitzen die Bewegungszustände Ort und Geschwindigkeit der Ladungen im Inneren des Gebietes gleichfalls identische Anfangsbedingungen ( , ), so daß zu fordern ist. Da keiner der Terme auf der linken Seite negativ werden kann, muß , und sein. Somit sind beide Lösungen auch im Inneren des Gebietes identisch, womit die Eindeutigkeit der Lösung bewiesen wurde.
  Möge der Raum wie oben beschrieben in zwei Gebiete unterteilt und am linken Rand die Lösung zu allen Zeiten vorgegeben sein. Das Gebiet läßt sich durch die aufeinanderfolgenden Zeitpunkte ( ) und den daraus resultierenden Trennflächen in aneinander grenzende Segmente zerlegen. Für muß aufgrund der Kausalitätsforderung in der Ruhezustand gelten. Ist die Lösung im Gebiet für einschließlich der Grenzfläche eindeutig, dann ist sie dies in auch für , weil dann am rechten Rand für der Ruhezustand zu fordern ist. Analoges gilt schrittweise für alle angrenzenden Segmente, die zudem beliebig dünn gemacht werden können. Die durch (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) gegebene Funktion etwa für die elektrische Feldstärkekomponente erfüllt diese Bedingungen und ist somit eindeutig.
  3.4 Asymptotische Lösung für die Ankunft des Signals — Der Sommerfeldsche Vorläufer
  Es soll der zeitliche Verlauf des Signal kurz nach der Ankunft am Ort für kleine Werte beschrieben werden, wofür Sommerfeld im Jahre 1912 eine asymptotische Lösung fand und der heute als Sommerfeldscher Vorläufer bekannt ist. Die erstmalige Herleitung aus dem Jahre 1912 wurde 1914 in [4] vereinfacht und später im Lehrbuch [5] verwendet. Sie soll nachfolgend skizziert werden. Mit der Substitution , wobei wieder durch \ref{eq:Brechungsindex}↓ gegeben ist, wird das ursprüngliche Signal (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) durch
  ausgedrückt. Außerdem wird die Dämpfung vernachlässigt, d. h. es ist . Der Ausdruck läßt sich für betragsmäßig große , d. h. , als Potenzreihe in darstellen, so daß man mit asymptotisch erhält. Das Signal kann dann durch genähert werden. Für solche ist der Realteil des Exponenten in der unteren komplexen Halbebene negativ und eine Wegeintegration in diesem Gebiet von nach würde keinen Beitrag liefern, so daß man die Integration zu einen geschlossenen Umlauf im entgegengesetzten Uhrzeigersinn ergänzen kann. Somit wird und durch die Transformation gelangt man zur Darstellung wobei die Wahl des Weges in der Ebene derart erfolgen muß, daß wieder ein geschlossener Umlauf im entgegengesetzten Uhrzeigersinn in der Ebene resultiert. Nimmt man die Werte von aus dem Intervall entlang der reellen Achse, dann ergibt sich ein Vollkreis in der Ebene. Um der Forderung nach betragsmäßig großem zu genügen, muß wie ursprünglich gefordert bei festem sehr klein sein. Das Signal besitzt dann die Form Nach ([6], S. 360, Formel 9.1.21) ist die Integraldarstellung der Bessel-Funktion erster Art mit ganzzahligem Index . Durch Vergleich erhält man schließlich Dies ist der von Sommerfeld gefundene Vorläufer, siehe Abb. 1↓. Außer in der Amplitude hängt der Verlauf dieses anfänglichen Signalabschnittes nicht von der Periodendauer des eintreffenden Signals ab, sondern vielmehr vom Ort und falls man das Austreten des resultierenden Signals aus einer dünnen Schicht beobachtet von deren Dicke. Das abgeleitete zeitliche Anfangsverhalten muß man jedoch mit Vorbehalt betrachten, da dieses auch aus der Extrapolation des Brechungsindex in den höherfrequenten Bereich resultiert. Dennoch sollten anfänglich Schwingungen mit kürzeren "Periodendauern" als die der Anregung möglich sein, die aber eine sehr geringe Intensität aufweisen.
  Abbildung 1 Signalverlauf des Sommerfeldschen Vorläufers in Abhängigkeit von der Zeit (in Attosekunden) am Ort für ,
  Im Jahre 1914 aktualisierte Sommerfeld in [4] die Ausführungen aus dem Jahre 1912, indem er die Untersuchungen von L. Brillouin berücksichtigte, die im selbigen Band der Annalen der Physik im Anschluß veröffentlicht wurden. Auch konkretisiert er seine Betrachtung zur Eignung der Gruppengeschwindigkeit für die Beschreibung der Signalausbreitung und verweist auf die von Brillouin gefundene praktische Übereinstimmung von Signalgeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit in dem Fall, wenn die Wellenlänge des einfallenden Signals sehr verschieden von der Eigenfrequenz ist, also außerhalb des Absorptionsstreifens liegt. Die Darstellung des Anregungssignals (\ref{eq:Signal}↓) erfolgte um Unterschied zu früher durch (Realteil ) welche aber zu (\ref{eq:Signal_komplex_Integration}↓) äquivalent ist. Man kann sie sich als Erweiterung der Fourierschen Integraldarstellung eines beidseitig begrenzte Rechtecksignals vorstellen. Die allgemeine Signaldarstellung für wird als Erweiterung von (\ref{eq:Signal_komplex_Integration2}↓) durch angegeben. Die Integration erfolgt weiterhin in der oberen komplexen Ebene. Man beweist die zu (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) identische Darstellung, indem man zunächst zeigt, daß gilt und für den entsprechenden Integrationsterm die Substitution anwendet. Es ist jedoch das wegen des Terms für betragsmäßig große schlechtere Konvergenzverhalten des Integrals gegenüber der ursprünglichen Darstellung (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓), in welcher vorkommt, zu beachten. Formal ließe sich die Wegeintegration auf zwei verbundene Pfade aufteilen, wobei für große Argumente (\ref{eq:Signaldarstellung_allgemein}↓) verwendet wird.
  [1] Sommerfeld, A.: Über die Fortpflanzung des Lichtes in dispergierenden Medien. In: Festschrift Heinrich Weber zu seinem siebzigsten Geburtstag am 5. März gewidmet von Freunden und Schülern. B. G. Teubner 1912, S. 338-374.
  [2] Laue, M.: Die Fortpflanzung der Strahlung in dispergierenden und absorbierenden Medien. Annalen der Physik 1905 (13), Band 18, S. 523-566.
  [3] Esmarch, W.: Über die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in dispergierenden Medien. Annalen der Physik 1913 (16), Band 347, S. 1257-1272.
  [4] Sommerfeld, A.: Über die Fortpflanzung des Lichtes in dispergierenden Medien. Annalen der Physik 1914 (10), Band 349, S. 177-202.
  [5] Sommerfeld, A.: Vorlesungen über theoretische Physik, Band IV — Optik, Kapitel III: Dispersionstheorie. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig Leipzig, 2. Aufl.,1959.
  [6] Abramowitz, M.; Stegun, I. A.: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55, Tenth Printing, December 1972.