text: Untersuchung des Einflusses von Radkörperstrukturen auf das Einsatzverhalten von Zahnrädern | SpringerLink
  September 2019 , Volume 83, Issue 3, pp 435–444 | Cite as
  Untersuchung des Einflusses von Radkörperstrukturen auf das Einsatzverhalten von Zahnrädern
  Philipp Scholzen
  Daniel Billenstein
  Georg Hammerl
  Christoph Löpenhaus
  Christian Glenk
  Frank Rieg
  Die steigenden technischen und wirtschaftlichen Anforderungen an Leistungsgetriebe führen zu einem kontinuierlichen Optimierungsbedarf in der Getriebeauslegung. Durch gezielte geometrische Radkörpermodifikationen lässt sich die Leistungsdichte einer Verzahnung, infolge Leichtbaumaßnahmen, steigern. Die Bewertung des Einflusses solcher Radkörpermodifikationen infolge der Berücksichtigung lastbedingter Verformungen des elastischen Umfeldes im Zahnkontakt stellt eine grundlegende Anforderung an Zahnkontaktanalysemethoden zur realitätsnahen Bestimmung der Kontaktverhältnisse und Lastverteilung im Zahneingriff dar.
  Inhalt dieses Berichts ist die Integration von Radkörpersteifigkeiten komplexer Geometrien, wie sie in der industriellen Praxis eingesetzt werden, in die einflusszahlenbasierte Zahnkontaktanalyse und die Bewertung des Einflusses auf das Einsatzverhalten. Zunächst wird die Methode zur Simulation beliebig geformter Radkörpergeometrien vorgestellt. Im zweiten Schritt werden Zahnräder mit Radkörpermodifikationen ausgelegt und deren Einsatzverhalten simuliert. Die infolge von Radkörpermodifikationen über dem Umfang variierende Steifigkeit auf das Einsatzverhalten wird hinsichtlich Verzahnungsanregung und Tragfähigkeit diskutiert und bewertet.
  Investigation of the Influence of Elastic Gear Body Structures on the Operational Behavior of Gears
  The increasing technical and economic requirements on power transmissions lead to a continuous need for optimization in gear design. The power density of a gear can be increased by geometric gear body modifications as a result of lightweight construction methods. The evaluation of the influence of such gear body modifications represents a fundamental requirement for tooth contact analysis. Due to the consideration of load-induced deformations of the elastic environment in the tooth contact a simulation of contact conditions and load distribution in tooth contact is possible.
  The content of this report is the integration of the gear body stiffness of complex geometries into the FE-based tooth contact analysis and the evaluation of the influence on the operational behavior. First, the method for the simulation of free shaped gear body geometries is described. In the second step, gears are designed with gear body modifications and their operational behavior is simulated. The stiffness of the tooth contact, which varies over the circumference as a result of gear body modifications, is discussed and evaluated with regards to gear excitation and load carrying capacity. The results show a significant influence of gear body modifications with regard to the tooth root load capacity and the NVH behavior.
  1 Einleitung, Zielsetzung und Vorgehensweise
  Die Ausgestaltung des Radkörpers (RK) hat entscheidenden Einfluss auf die Eingriffssteifigkeit der Verzahnung und damit auf die Breitenlastverteilung, die Profillastverteilung und die Schwingungs- bzw. Geräuschanregung. So sorgt ein symmetrisch ausgeführtes Stegrad für eine stärkere Biegung des Radkörpers um die Achse, die senkrecht zur Drehrichtung steht. Dies führt zu einer effektiven Flankenlinienwinkelabweichung fHβ, die wiederum zu einer Tragbildverlagerung, sowie einer Pressungs- und Spannungskonzentration auf Flanke und Fuß der Verzahnung führt. Hierdurch kann die Tragfähigkeit der Verzahnung gemindert und ihr Schwingungsverhalten negativ beeinflusst werden.
  Konstruktionsempfehlungen bzw. Rechenwerke geben Mindestwerte für die Kranzdicke für deren Anwendbarkeit vor. Z. B. ist für die Zahnfußtragfähigkeitsberechnung von Außenverzahnungen nach DIN 3990-3 [1] eine Kranzdicke sR ≥ 3,5 · mn für die Anwendbarkeit des Rechenverfahrens zur Auswertung der kritischen Spannungen an der 30°-Tangente erforderlich, während ISO 6336-3 [2] eine Kranzdicke von sR ≥ 0,5 · ht verlangt. Ausführliche Untersuchungen und FEM-Analysen sind zum Kranzdickeneinfluss auf die Fußtragfähigkeit für Innenverzahnungen (z. B. [3, 4, 5]), Zahnradbandagen [6] sowie aufgeschrumpfte Zahnräder [7, 8] bekannt. Den Untersuchungen lagen vor allem rotationssymmetrische, vergleichsweise steife Nabengeometrien zugrunde. Bei schrägverzahnten Stirnrädern ergibt sich durch die auftretenden Axialkräfte außerdem eine Verwindung des Radkörpers und somit eine Profillinienabweichung fHα und eine Verschränkung CVβ im Zahnkontakt. Diese Phänomene können derzeit nur durch FE-basierte Zahnkontaktanalysen abgebildet werden. Komplexere Radkörpergeometrien, sowie Axialbohrungen und asymmetrische Steganbindungen sorgen für Effekte, die derzeit nicht Stand der Forschung sind und dementsprechend erstmals über die zu entwickelnde Methode abbildbar gemacht werden.
  Radkörpergeometrien können nach Leichtbaurichtprinzipien in Kombination mit den zu Verfügung stehenden Fertigungsverfahren ausgelegt werden [9, 10]. Zur Berücksichtigung freier sowie asymmetrischer Radkörpergeometrien in der Simulation von Zahnradgetrieben wird eine Berechnungsmethode entwickelt, deren Ziel die Berechnung des Einflusses freier Radkörpergeometrien auf das Einsatzverhalten von Stirnradverzahnungen ist. In Abb. 1 ist die Methode für die Berechnung von freien Radkörpergeometrien in der FE-basierten Zahnkontaktanalyse dargestellt. Hierzu wird zur Steigerung der Ergebnisgüte ein parametrisiertes FE-Hexaedernetz zur Abbildung der Zähne und Berechnung der Zahnflankenpressung, Zahnfußspannung sowie der Steifigkeit genutzt. Die freie Radkörpergeometrie wird mit einem FE-Tetraedernetz in der Berechnungsmethode abgebildet. Dies ermöglicht die Vernetzung einer freien, nicht an Parametern gebundene Geometrie. Die Allgemeingültigkeit bei einer freien Tetraeder-Vernetzung kann unter Umständen zu Netzen führen, welche für das Berechnungsziel ungeeignet sind. Demnach ist eine Beurteilung nach ausgewählten Kriterien nach der FE-Netzgenerierung notwendig. Aufgrund dessen werden Netzkriterien entwickelt, die die Verwendung von FE-Tetraedernetzen für das Berechnungsziel qualifizieren.
  Vorgehensweise der Berechnungsmethode
  Das qualifizierte FE-Tetraedernetz des Radkörpers wird zunächst an das parametrisierte FE-Hexaedernetz der Zähne angebunden. Die Lastdefinition wird aus der FE-basierten Zahnkontaktanalyse übernommen und der Radkörper in der Bohrung gefesselt. Danach wird das Gleichungssystem mit einem FE-Solver gelöst und kann mit einer FE-basierten Zahnkontaktanalyse ausgewertet werden. Die Berechnungsmethode ermöglicht komplex gestaltete Radkörper (Axialbohrungen, asymmetrische Steganbindung, Verrippungen, Aussparungen, usw.) im Auslegungsprozess bzw. in der Simulation zu berücksichtigen.
  2 Stand der Forschung
  2.1 Finite-Elemente-Kontaktalgorithmus
  Die Berechnung der Einflusszahlen für das Verzahnungsmodell inklusive des Radkörpers erfordert aufgrund der nichtkonformen Netze (siehe Abb. 2 links) eine Finite Elemente Analyse mit Kontaktbedingungen, die die Kräfte und Verlagerungen ohne Seiteneffekte von der einen in die andere Komponente (siehe Abb. 2 rechts oben) übertragen [11]. Diese Interaktion zwischen zwei Festkörpern – allgemein als Master- (Index: M) und Slave-Körper (Index: S) bezeichnet – tritt allerdings nur auf, sofern der Kontaktabstand g zu Null wird. Der Abstand zwischen den Komponenten kann dabei entweder als Knoten-Knoten‑, Knoten-Flächen- oder erweiterter Knoten-Flächen-Kontakt ausgeführt werden (siehe Abb. 2 rechts mitte). Die vor allem bei gekrümmten Oberflächen beste Variante ist der erweiterte Knoten-Flächen-Kontakt, bei dem die Oberfläche zusätzlich mit den Gaußstützstellen diskretisiert wird, sodass die Stelle des kleinsten Abstandes bei der Kontaktsuche möglichst exakt bestimmt werden kann [12]. Ist der Abstand kleiner als eine numerische Toleranz – der sogenannte Trennabstand – wird eine Kontaktnebenbedingung für das aktuelle Kontaktpaar (Index: i) definiert und mit dem gestörten Lagrange-Verfahren in das Gleichungssystem der FEA eingebaut (siehe Abb. 2 rechts unten) [13]. Dabei ist in diesem Anwendungsfall ein sogenannter verklebter Kontakt – also eine Übertragung sowohl der Normal- als auch Tangentialkräfte – gefordert, weshalb der Kontaktnormalenvektor ni(M) im gezeigten Gleichungssystem zu 1 wird.
  Übersicht des verwendeten Finite-Elemente-Kontaktalgorithmus
  Das Diagonalelement 1/βgL der erweiterten Steifigkeitsmatrix wird entsprechend der Berechnungsvorschrift nach Wriggers gewählt, sodass die positive Definitheit der Matrix erhalten bleibt [14]:
  $$\beta _{gL}\leq \frac{\min \left(K_{ij}\right)}{\sqrt{N_{FG}\cdot t^{z}}}$$
  Darin ist tz die Maschinengenauigkeit, NFG die Anzahl der Freiheitsgrade und min (Kij) der kleinste Steifigkeitswert aller an der Kontaktbedingung beteiligten Freiheitsgrade.
  Die Praxistauglichkeit dieses Kontaktalgorithmus und die Validität seiner Berechnungsergebnisse konnte bereits sowohl an Benchmark-Tests [13] als auch in diversen Forschungsprojekten [15, 16] nachgewiesen werden.
  2.2 Finite-Elemente-Netzkriterien
  Die Abbildungsgüte des Tetraeder-Hexaeder-Kontakts ist durch den eben vorgestellten Kontaktalgorithmus sichergestellt, jedoch kann die freie Tetraeder-Vernetzung unter Umständen zu Finite-Elemente-Netzen führen, welche für das Berechnungsziel "Steifigkeitseinfluss" ungeeignet sind. Demnach ist eine Beurteilung mithilfe ausgewählter Kriterien nach der FE-Netzgenerierung (siehe Abb. 1) notwendig.
  Als Elementgütekriterium wird allgemein ein Wert bezeichnet, der sich ausschließlich aus geometrischen Gegebenheiten eines einzelnen Elementes berechnet und dabei die zu erwartende Rechengenauigkeit, beispielsweise in einem Intervall von 0 bis 1, abbildet [17]. Die ideale Elementgestalt repräsentiert dabei ein Kennwert von 1, ein Wert von 0 hingegen beschreibt degenerierte und damit numerisch nicht berechenbare Elemente. Aufgrund dieser Skalierung kann der Gütewert abzüglich 1 auch als prozentuale Abweichung von der Idealgestalt interpretiert werden. Die Lage eines Elementes geht hierbei nicht in die Beurteilung ein. Die Netzgüte berechnet sich schließlich aus der Gesamheit der einzelnen Elementgütekennzahlen [18].
  Gängige Kriterien hierfür sind in einschlägigen kommerziellen Finite-Elemente-Softwarepaketen implementiert. Beispielsweise wird in Abaqus [19] der Kontur Faktor (Shape Factor), kleinste Innenwinkel (Small Face Corner Angle), größte Innenwinkel (Large Face Corner Angle) und das Kantenlängenverhältnis (Aspect Ratio) ausgewertet. In [19] werden hierbei für Tetraeder folgende Grenzwerte verwendet, wobei zu beachten ist, dass die Elementgütekritieren nicht auf einem festen, relativen Intervall berechnet werden, sondern immer einen absoluten Wert annehmen:
  Shape Factor: 0,0001
  Small Face Corner Angle: 5°
  Large Face Corner Angle: 170°
  In ANSYS [20] erfolgt bei statisch mechanischen Analysen neben einer Überprüfung der Jacobi-Determinante und des Elementvolumens (>0) die Auswertung nach der sogenannten Element Qualität (Element Quality). Bei Simulationen des Typs Standard Mechanical gilt hierbei folgender Grenzwert:
  Element Quality: 0,0001
  In der Literatur sind außerdem weitere Kriterien definiert, beispielsweise das kürzeste Kante zu Umkreisverhältnis (Shortest Edge to Circumradius Ratio) oder das Inkreis zu Umkreisverhältnis (Inradius to Circumradius Ratio) [21].
  3 Methode zur Quantifizierung des Finite-Elemente-Netzes
  Die für den Anwendungsfall des Radkörpers geeigneten Kriterien wurden untersucht und die Vielversprechendsten ausgewählt. Nachteilig bei der Verwendung der Kriterien kommerzieller Programme zeigt sich jedoch, dass alle Kriterien die Elementgüte nicht in einem definierten Intervall, beispielsweise von 0 (sehr schlechte Elementgestalt) bis 1 (optimale Elementgestalt) bewerten und somit eine Vergleichbarkeit nicht gewährleistet ist. Aus diesem Grund wurden die Kriterien entsprechend modifiziert, wodurch sich folgende Berechnungsvorschriften ergeben:
  Kantenlängenverhältnis: Das Kantenlängenverhältnis beschreibt das Verhältnis zwischen der kürzesten und der längsten Kante eines Elements.
  $$\text{Kantenl\"a ngenverh\"a ltnis}= \frac{\text{k\"u rzeste Elementkante}}{\text{l\"a ngste Elementkante}}$$
  Kleinster Innenwinkel: Dieses Elementkriterium identifiziert kleine Winkel zwischen zwei Kanten einer Fläche. Dieser Winkel kann bei Tetraedern zwischen 0° und 60° liegen, weshalb dieser Wert noch mit \(3/\pi\) skaliert wird, um den Ergebnisbereich auf den Wertebereich ]0; 1] zu beschränken.
  $$\text{Kleinster Innenwinkel}=\frac{3}{\pi }\cdot \min (\text{alpha}_{1},\,\text{alph}a_{2},\ldots )$$
  Größter Innenwinkel: Dieses Kriterium identifiziert große Winkel zwischen zwei Kanten einer Fläche, welcher zwischen 60° und 180° liegt. Auch hier ist eine Skalierung notwendig, um den Ergebnisbereich auf den Wertebereich ]0; 1] zu beschränken.
  $$\text{Gr\"o \ss ter Innenwinkel}=1,5-0.5\cdot \frac{3}{\pi }\cdot \max (\text{alpha}_{1},\,\text{alph}a_{2},\ldots )$$
  Element Qualität: Dieses Kriterium beurteilt die Güte eines Elements im Intervall zwischen 0 und 1 und ist zur Analyse von Elementen bei linearen, thermischen sowie Modalanalysen geeignet. Für dreidimensionale Elemente berechnet es sich wie folgt:
  $$\text{Element Qualit\"a t}= C\cdot \frac{\text{Elementvolumen}}{\sqrt{\sum \left(\text{Kantenl\"a }\mathrm{nge}^{2}\right)^{3}}}$$
  Der Faktor \(C\) ergibt sich aus der optimalen Elementgestalt, wobei für Tetraeder gezeigt werden kann, dass \(C= 124.70765802\) gilt [20].
  Kontur Faktor: Dieses Elementkriterium berechnet sich aus dem Quotienten des Elementvolumens zu dem optimalen Elementvolumen (Elementvolumen eines gleichseitigen Tetraeders mit demselben Umkreisradius). Da das optimale Volumen immer größer oder gleich dem realen Elementvolumen ist, ist eine Skalierung von 0 bis 1 von Haus aus gegeben.
  $$\text{Kontur Faktor}= \frac{\text{Elementvolumen}}{\text{optimales Elementvolumen}}$$
  Volumenverhältnis: Das Volumenverhältnis Kriterium (relative volume) beschreibt das Verhältnis aus dem durchschnittlichen zum tatsächlichen Elementvolumen. Für Elemente, welche ein kleineres Volumen als der Durchschnitt besitzen, wird dieser Wert auf 1 gesetzt.
  $$\begin{array}[]{l}\text{Volumen-}\\ \text{verh{\"a}ltnis}\end{array}=\begin{cases}\frac{\begin{array}[]{c}\text{durchschn.}\\ \text{Elementvolumen}\end{array}}{\text{Elementvolumen}}&\begin{array}[]{l}\text{wenn\leavevmode\nobreak\ Elementvol.}\\ > \text{durchschn.\leavevmode\nobreak\ Elementvol.}\end{array}\\ 1&\text{sonst}\end{cases}$$
  Diese implementierten Netzkriterien können zwar jedem Element einen Gütewert zuweisen, jedoch bedarf es für den Praxiseinsatz definierter Grenzwerte für die einzelnen Kriterien, um in der Berechnungskette (siehe Abb. 1) gegebenenfalls eine Neuvernetzung zu empfehlen, sodass valide Ergebnisse in kurzer Berechnungszeit generiert werden können.
  3.1 Elementgütekriterium
  Für die ausgewählten Elementkriterien wurden hierfür im ersten Schritt zunächst die individuellen Grenzwerte jedes einzelnen Kriteriums ermittelt. Sobald das errechnete Kriterium unter diesem Grenzwert liegt, wird davon ausgegangen, dass es die realen Ergebnisse nicht oder nur noch schlecht abbilden kann. Hierbei wurden zunächst die in der Literatur und in kommerziell erhältlicher Software angewandten Grenzwerte herangezogen.
  Zusammenfassend wurden folgende, relative Grenzwerte festgelegt:
  Kontur Faktor: 0,0001
  Element Qualität: 0,0001
  Kantenlängenverhältnis: 0,1
  Kleinster Innenwinkel: 0,0833
  Größter Innenwinkel: 0,0833
  Volumenverhältnis: 0,01
  3.2 Gesamtnetzgüte
  Abschließend muss aus den einzelnen Elementgütekriterien eine Gesamtnetzgüte berechnet werden. Hier wurde der Ansatz gewählt, dass die Anzahl der Elemente ausgewertet wurde, welche mindestens einen der zuvor definierten Grenzwerte nicht erfüllen. Mithilfe einer Netzstudie anhand von 50 verschiedenen FE-Beispielmodellen – vorwiegend aus dem Bereich der Antriebstechnik – wurden sowohl die Netzfeinheit als auch der Polynomgrad der Formfunktionen variiert und die jeweils resultierenden Ergebnisdateien bzgl. der Verschiebungen untereinander sowie mit einem qualifizierten Referenzergebnis (aus z. B. Messungen oder analytischen Berechnungen) verglichen. Hierbei wurde ein Grenzwert von 0,25 % ermittelt, bei welchem die Elemente, welche die Kriterien nicht erfüllen, noch keinen Einfluss auf das Gesamtergebnis besitzen.
  Diese Kriterien mit den zugehörigen Grenzwerten wurden in einem Berechnungsprogramm implementiert und im Folgenden an einem Beispielmodell visualisiert. Das untersuchte akademische Beispiel besteht aus 53.301 linearen Tetraedern mit insgesamt 14.893 Knoten beziehungsweise 44.679 Freiheitsgraden und ist in Abb. 3 dargestellt. Die Bewertungsskala ist dabei so normiert, dass der jeweils weiße Bereich des Histogramms die Anzahl an Elementen enthält, welche den Grenzwert des betrachteten Kriteriums unterschreiten.
  Qualifizierung der FE-Vernetzung am Beispiel eines Radkörpermodells und drei exemplarischen Netzkriterien mit jeweils der zweidimensionalen Netzkriterien-Definition, dem normierten Histogramm (weiße Kategorie: Unterschreitung des Grenzwertes) sowie dem entsprechend eingefärbten FE-Netz
  Wie sich an der Auswertung erkennen lässt, wäre dieses FE-Netz geeignet für das Berechnungsziel "Steifigkeitseinfluss", da keine Elemente in die letzte (weiße) Kategorie fallen. Darüber hinaus sind alle untersuchten Kriterien nahezu normalverteilt und zeigen Ähnlichkeiten in der jeweiligen Netzbeurteilung. Dies resultiert aus den geometriebasierten Berechnungsvorschriften für die FE-Netzkriterien. Dabei korreliert beispielsweise der Innenwinkel mit den Kantenlängen in einem Dreieck, weshalb schließlich auch die Elementgütekennzahlen korrelieren.
  Daneben wird bei Betrachtung der eingefärbten FE-Modelle die Notwendigkeit einer computergestützten Netzbeurteilung im Vergleich zu einer visuellen Bewertung durch den Produktentwickler ersichtlich. Den einzelnen Elementen ist hier die Farbe ihrer entsprechenden Kategorie innerhalb des nebenstehenden Histogramms zugewiesen worden, sodass beispielsweise ein Element mit der Gütekennzahl 1 dunkelrot bzw. schwarz und etwa ein Element mit der Gütekennzahl 0 weiß eingefärbt ist.
  Die sichtbaren Oberflächenelemente sind vor allem bei dem Kriterium des kleinsten Innenwinkels sowie des Kantenlängenverhältnisses überwiegend gelb/orange bzw. hellgrau eingefärbt. Dies ergibt sich daraus, dass die Oberflächenelemente bei der Vernetzung möglichst exakt der vorgegebenen CAD-Geometrie folgen müssen und daher teils sehr verzerrt werden, um dies zu erreichen. Die Elemente im Bauteilinneren unterliegen hingegen weniger Restriktionen und sind in der Folge näher an der optimalen Elementgestalt (rot bzw. dunkelgrau). In der Abbildung verdecken jedoch die verzerrten Oberflächenelemente die darunterliegenden, besser bewerteten Elemente, deren Vorkommen lediglich mithilfe des Histogramms bestimmt werden kann. Die visuelle Netzbeurteilung durch einen Produktentwickler ist aufgrund dieser Beschränkung auf die Elemente an der Oberfläche tendenziell kritischer, wodurch die Berechnungszeit aufgrund einer für das Berechnungsziel zu feinen Vernetzung ansteigen würde.
  Die FE-Netzgenerierung für den Radkörper wird dagegen mithilfe der computergestützten Netzgüte-Bewertung in die Lage versetzt, die konkurrierenden Zielstellungen eines simulationsgerechten Detaillierungsgrades bei gleichzeitig möglichst geringer Berechnungsdauer zu vereinen.
  4 Verifizierung der freien Radkörpervernetzung
  Zur Verifizierung der freien Radkörpervernetzung werden die simulierten Kennwerte des Einsatzverhaltens eines rotationssymmetrischen Radkörpers mit Hexaeder-Vernetzung und eines frei vernetzten Radkörpers mit Tetraeder-Vernetzung gleicher Geometrie gegenübergestellt. Zur Anwendung der Berechnungsmethode wird die validierte FE-basierte Zahnkontaktanalyse FE-Stirnradkette, der FE-Solver Z88 und der Vernetzer der FVA-Workbench verwendet. Die Vernetzung des Zahnkranzes und der Zähne erfolgt in beiden Fällen mit dem in der FE-Stirnradkette integrierten Strukturgenerator als Hexaeder-Netz. Als Kennwerte werden das Anregungsverhalten der Verzahnung anhand des Drehfehlers der ersten beiden Zahneingriffsordnungen und die Tragfähigkeit anhand der Hertz'schen Pressung auf der Zahnflanke und der maximalen Zahnfußspannung an der 30° Tangente unter Last bei Man = 500 Nm herangezogen. Zudem werden die simulierten Drehfehlerverläufe über zwei Teilungen verglichen. Die Makrogeometrie des Zahnrads ist eine Prüfverzahnung mit einem Normalmodul von mn = 1,75 mm, einem Normaleingriffswinkel von αn = 20° und einem Schrägungswinkel von β = ±15°. Zur Abbildung der grundlegenden Einflüsse des Radkörpers ist die Mikrogeometrie nicht modifiziert. Zur Verifikation der Radkörpervernetzung wird ein nichtmodifizierter Radkörper ohne Steg simuliert.
  Abb. 4 zeigt die Gegenüberstellung der simulierten Kennwerte des Einsatzverhalten. Der Vergleich der Kennwerte zwischen dem Hexaeder-Netz (schwarz) und dem Tetraeder-Netz (grau) zeigt geringe, nicht signifikante Unterschiede.
  Verifikation der Radkörpervernetzung – Vergleich der Verzahnungskennwerte einer konventionellen Radkörpervernetzung mit Hexaeder-Netz und einer freien Radkörpervernetzung mit Tetraeder-Netz
  Die Differenz des Drehfehlers beträgt φ1.fz = 0,01 µm für die erste Zahneingriffsordnung und φ2.fz = 0,03 µm für die zweite Zahneingriffsordnung. Die geringe Abweichung der Ergebnisse spiegelt sich ebenso im Vergleich des berechneten Drehfehlerverlaufs wider. Hierzu wurden sieben Wälzstellungen über einer Teilung simuliert. Die maximale Differenz beträgt ∆φmax = 0,215 µm bei einer Schwankungsbreite des Drehfehlers von φmax − φmin = 2,736 µm bei freier Radkörpervernetzung. Hinsichtlich der maximalen Zahnfußspannung an der 30°-Tangente ergibt sich eine prozentuale Differenz von ∆σF,max,30° = −2,04 %, welche im Rahmen der Berechnung als zulässig eingestuft wurde. Die Berechnung der Flankenpressung wird infolge der verwendeten Radkörpervernetzung unwesentlicher beeinflusst. Bei der maximalen Hertz'schen Zahnflankenpressung ergibt sich eine prozentuale Differenz von ∆σH,max = 0,03 %. Die mittlere Hertz'sche Zahnflankenpressung weicht um ∆σH,mittl. = 0,07 % ab.
  Insgesamt zeigt der Vergleich des berechneten Einsatzverhaltens keine signifikanten Unterschiede der Verzahnungskennwerte infolge der genutzten Vernetzungsmethode. Damit konnten sowohl die freie Tetraeder-Vernetzung des Radkörpers als auch die Kontaktdefinition zwischen dem Hexaeder-Netz des Zahnkranzes und dem Tetraeder-Netz des Radkörpers verifiziert werden.
  5 Einfluss von Radkörpermodifikationen auf das Einsatzverhalten von Stirnradverzahnungen
  Abb. 5 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Auswertung der Verzahnungskennwerte über einer Umdrehung eines radkörpermodifizierten Rads. Hierzu wird die Radkörperposition unterhalb des Zahnkranzes jeweils um eine Teilung rotiert und die Verzahnungskennwerte unter Last für eine Teilung berechnet. Aufgrund der variierenden Eingriffssteifigkeit infolge der Position des Radkörpers unterhalb des Zahneingriffs, ergibt sich ein schwankendes Einsatzverhalten der Verzahnung im Vergleich zu einem rotationssymmetrischen Radkörper. Die Radkörpermodifikationen spiegeln sich im Einsatzverhalten wider. Die Anzahl der Bohrungen im Radkörper ist gleich der Anzahl der Maxima und Minima der maximalen Zahnfußspannung und des Drehfehlers. Hinsichtlich der maximalen Hertz'schen Zahnflankenpressung ist die periodische Schwankung im vorliegenden Fall weniger ausgeprägt.
  Einsatzverhalten unter Berücksichtigung von Radkörpermodifikationen
  Mit der Berechnung des Drehfehlerverlaufs einer Zahnradpaarung über einer Umdrehung oder gar über einer kompletten Überrollung kann das Anregungsverhalten ebenso in den ersten Drehordnungen berechnet werden. Die Trennung, respektive Zuordnung der anregungsbestimmenden Schwingungsanteile erfolgt durch eine Fast-Fourier-Transformation (FFT) des Drehfehlerverlaufs über den Teilungen des Zahneingriffs. Der Verlauf des Drehfehlers über einer Umdrehung des Rads wird in die Einzelamplituden der Drehordnungen und Zahneingriffsordnungen zerlegt und aufgetragen, vgl. Abb. 5 unteres Diagramm. Dadurch wird die Bewertung des Einflusses von Radkörpermodifikationen über einer Umdrehung aufgezeigt. Einerseits werden die ersten Drehordnungen angeregt, wobei die Radkörperordnung – Anzahl der Aussparungen, hier: sieben – besonders hervortritt. Zum anderen führt die Schwankung der Eingriffssteifigkeit über einer Umdrehung zur Bildung von Seitenbändern neben den Zahneingriffsordnungen.
  Abb. 6 zeigt das quantitative Ergebnis einer freien Radkörpergeometrie und deren Einfluss auf das Einsatzverhalten einer Stirnradverzahnung, im Vergleich mit einem Vollradkörper (in schwarz dargestellt). Bei der schrägverzahnten Stirnradverzahnung ist das Rad mit fünf Bohrungen mit einem Durchmesser von d = 33 mm im Radkörper ausgeführt. Bei der Berechnung einer Umdrehung des Rads ergeben sich über den 67 Teilungen variierende Eingriffsverhältnisse, welche sich in Schwankung der Zahnfußspannung an der 30°-Tangente und der Zahnflankenpressung widerspiegeln. Während sich hinsichtlich der maximalen Hertz'schen Pressung eine Schwankung von ∆σH,max = 2,7 % zwischen dem Minimum und dem Maximum des Werts über einer Umdrehung abzeichnet, beträgt die Schwankung der Zahnfußspannung an der 30°-Tangente ∆σF,30°T = 23 %. Bei der Betrachtung des Kurvenverlaufs der Zahnfußspannung ist die periodische Radkörpergeometrie über den berechneten Teilungen zu erkennen. Somit zeigt sich die Anzahl der fünf Bohrungen in je fünf Maxima und Minima der Zahnfußspannung. Im Vergleich zu einem Vollradkörper ist eine Steigerung der maximalen Zahnfußspannung an der 30°-Tangente von ∆σF,30°T = 20,2 % zu verzeichnen. Die Steigerung der mittleren maximalen Hertz'schen Pressung beträgt gegenüber des Vollradkörpers ∆ØσH,max = 6,3 %.
  Einfluss der Radkörpervariante "Lochkreis 5 Steg" auf das Einsatzverhalten über einer Umdrehung des Rads
  Neben der Schwankung der Zahnfußspannung zeichnet sich ebenso eine deutliche Veränderung des Anregungsverhaltens in den Simulationsergebnissen ab. Die Steifigkeitsschwankung unterhalb des Zahneingriffs führt zu einer Schwankung des minimalen und maximalen Drehfehlers der Verzahnung. Dadurch entsteht eine langwellige Abweichung des Drehfehlerverlaufs neben den Zahneingriffsordnungen, worin sich die Anzahl der Bohrungen widerspiegelt. Nach der Fast-Fourier-Transformation (FFT) des Zeitsignals führt die simulierte Radkörpergeometrie zu einer signifikant erhöhten Amplitude der fünften Drehordnung und zu Seitenbändern der Zahneingriffsordnungen im Abstand von fünf Ordnungen. Die fünfte Drehordnung zeigt mit φ5.Drehordnung = 6,63 µm die größte Amplitude im Ordnungsspektrum. Die Seitenbänder der ersten Zahneingriffsordnung erreichen Amplituden bis zu φSeitenband,1.fz = 1,06 µm. Im Vergleich zu einem Vollradkörper bleiben die Amplituden der ersten drei Zahneingriffsordnungen vergleichbar und werden nicht signifikant von der Radkörpergeometrie beeinflusst.
  Da die Radkörpergeometrie "Lochkreis 5 Steg" eine geometrisch überzeichnete Variante darstellt, um den grundlegenden Radkörpereinfluss zu beschreiben und darzustellen, wird im Folgenden eine praxisnähere Radkörpervariante vorgestellt. Durch Reduzierung der Lochdurchmesser beinhaltet die Variante "Lochkreis 7 Steg" sieben Löcher mit einem Durchmesser von d = 20 mm, vgl. Abb. 7. Infolge des höheren Materialanteils im Radkörper reduziert sich die Schwankung der Eingriffssteifigkeit im Zahneingriff. Im Vergleich zu einem Vollradkörper ist eine Steigerung der maximalen Zahnfußspannung an der 30°-Tangente von ∆σF,30°T = 13,6 % zu verzeichnen. Demnach reduziert sich die Schwankung der Zahnfußspannung infolge der geringeren Steifigkeitsschwankung infolge des Radkörpers gegenüber der Variante "Lochkreis 5 Steg". Hinsichtlich der maximalen Zahnflankenpressung stellt sich ebenso eine geringere Steigerung zum Vollradkörper ein. Hierbei beträgt die Erhöhung ∆ØσH,max = 4,2 %.
  Einfluss der Radkörpervariante "Lochkreis 7 Steg" auf das Einsatzverhalten über einer Umdrehung des Rads
  Die langwellige Drehfehlerabweichung aufgrund der Steifigkeitsmodulation über dem Umfang des Rads fällt bei der Variante "Lochkreis 7 Steg" geringer aus als bei "Lochkreis 5 Steg". Einerseits sinkt die Schwankungsbreite des Drehfehlers über der Teilung. Andererseits sind infolge der Anzahl der Bohrungen sieben Schwingungen über einer Umdrehung zu verzeichnen. Nach Anwendung der FFT auf das Drehfehlersignal zeigen sich zusätzliche Anregungen der ersten Drehordnungen und Seitenbänder um die Zahneingriffsordnungen. Für die siebte Drehordnung ergibt sich mit φ7.Drehordnung = 1,64 µm die größte Amplitude im Ordnungsspektrum. Die weiteren Drehordnungen liegen unterhalb der ersten Zahneingriffsordnung, welche mit φ1.fz = 1,12 µm vergleichbar mit der Zahneingriffsordnung der Radkörpervariante "Lochkreis 5 Steg" mit φ1.fz = 1,23 µm ist. Die Seitenbänder neben den Zahneingriffsordnungen zeigen eine erhöhte Amplitude bei einem Abstand von sieben Drehordnungen.
  Abb. 8 zeigt den Einfluss der variierenden Eingriffssteifigkeit des Zahneingriffs auf die Lastverteilung infolge der Radkörperposition unterhalb des Zahneingriffs. Durch die unterschiedliche Position des Radkörpers ergibt sich eine für jede Teilung unterschiedliche Einfederung der Zähne, wodurch sich die Pressung verlagert. Bei der Variante "Lochkreis 5 Steg" wird die Last größtenteils mit dem unteren linken Bereich der Zahnflanke übertragen, wenn der Zahneingriff direkt über einer Bohrung steht. Über einem Steg hingegen führt die höhere Steifigkeit im Zahneingriff zu einer Pressungsverteilung in Richtung Zahnflankenmitte. Die Variante "Lochkreis 7 Steg", auf der rechten Seite dargestellt, zeigt infolge des höheren Materialanteils des Radkörpers bei diesem Verzahnungsfall eine geringere Schwankung der Lastverteilung über dem Umfang.
  Einfluss des Radkörpers auf die Lastverteilung auf der Zahnflanke in Abhängigkeit der Teilung
  Allgemein ist das Widerstandsmoment hinsichtlich der Verdrehung der Zähne infolge der geringeren Steifigkeit des Radkörpers über einer Bohrung geringer als über einem Steg. Da die Bohrung im Stirnschnitt des Zahnrads vorliegt, führt der Schrägungswinkel bei einer Schrägverzahnung zudem zu einer über der Zahnradbreite variierenden Steifigkeit. Dies führt bei Belastung der Zähne zu einer wälzstellungsabhängigen Steifigkeit des Zahnkranzes gegenüber den angreifenden Kräften, wodurch sich die Nachgiebigkeit über der Zahnbreite ändert. Das Ergebnis ist eine ungleichmäßige Pressungsverteilung auf der Zahnflanke. Mit geringerem Durchmesser der Radkörperbohrungen verringert sich in diesem Fall die Schwankung der Lastverteilung über einer Umdrehung.
  Die Radkörperoptimierung repräsentiert, nach der Auslegung der Makro- und Mikrogeometrie des Zahneingriffs, die nächste bestimmende Einflussgröße zur Optimierung des Einsatzverhaltens einer Verzahnung. Infolge des in der Regel überdimensionierten Radkörpers kann Leichtbau beispielsweise durch die Auslegung von Aussparungen realisiert werden. Die dadurch über dem Umfang variierende Steifigkeit des Radkörpers führt jedoch zu einer diskontinuierlichen Steifigkeitscharakteristik, wodurch das Einsatzverhalten hinsichtlich Verzahnungsanregung und Tragfähigkeit maßgeblich beeinflusst wird. Zur Simulation und Bewertung des Radkörpereinflusses ist demnach eine Betrachtung der Eingriffsverhältnisse über einer Umdrehung der Verzahnung sowie eine Analyse der Lage der Radkörpermodifikation in Bezug zur Position der Zahnlücke notwendig.
  Infolge der Berechnungsmethode wird eine realitätsnahe Simulation des Einsatzverhaltens durch Berücksichtigung der gesamten Zahnradgeometrie ermöglicht. Die Ergebnisse zeigen eine zu erwartende Steifigkeitsmodulation der Eingriffssteifigkeit. Hierdurch variieren die maßgeblichen Kennwerte des Einsatzverhaltens über dem Umfang, wodurch eine Verzahnungsbewertung über einer Umdrehung notwendig wird. Die Konstruktion freier Radkörpergeometrien kann aus diesem Grund nicht ohne die Berücksichtigung der Auswirkungen auf das Einsatzverhalten durchgeführt werden. Die Grenzwerte des Einsatzverhaltens führen infolgedessen zu Restriktionen der geometrischen Radkörpergestaltung.
  Die Autoren danken der Forschungsvereinigung Antriebstechnik e. V. [FVA 484 V] für die Bereitstellung der finanziellen Mittel zur Durchführung des den vorgestellten Ergebnissen zugrunde liegenden Forschungsprojekts.
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