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  Berechnung der linearen Hülle
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  Tweetyone (Tweetyone)
  Benutzername: Tweetyone
  Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 20:15:
  ich habe ein Verständnisproblem mit der Berechnung der linearen Hülle. Wenn ich mir das Ganze richtig vorstelle, ist die lineare Hülle jenes "Gebilde", welches durch die Vektoren aufgespannt wird, also Ebenen oder Räume, oder etwa nicht?
  Was soll ich denn da berechnen?
  Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 22:14:
  Im IR³ z. B. ist die lineare Hülle zweier Vektoren gleich der Ebene durch den Ursprung, die diese Vektoren enthält.
  Was es da zu berechnen gibt? Sag mal die konkrete Aufgabenstellung!
  Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 22:19:
  deine Vorstellung ist korrekt.
  Gib eine Basis an! Im einfachsten Fall sind die Vektoren, von denen du die lineare Hülle angeben sollst, schon unabhängig voneinander, dann ist eigentlich nichts zu tun. Sind sie aber linear abhängig, dann kannst du Vektoren daraus aussuchen, die eine Basis bilden, d.h. die Hülle aufspannen und unabhängig sind (du wirfst also die überzähligen Vektoren raus).
  Du kannst natürlich auch eine ganz andere Basis des aufgespannten Raumes angeben, z.B. wenn du noch andere Bedingungen (Orthogonalität oder dergleichen) erfüllen willst.
  Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 22:18:
  ich freu mich ja, dass ich wenigstens das Grundprinzip verstanden habe.
  Die Aufgabe ist eigentlich total einfach:
  Betrachte folgende Vektoren aus dem Vektorraum IR³:
  a=(1,1,0) b=(1,0,0) c=(1,0,1) d=(0,1,0)
  1. Berechne jeweils die lineare Hülle der Vektoren
  (i) von a
  (ii) a und b
  (iii) a,b,c
  (iv) a,b,c,d
  2. Interpretiere die Vektoren des IR³ als Pfeile im Anschauungsraum, ausgehend vom Ursprung. Zeichne für die Fälle (i) bis (iv) die lineare Hülle der Vektoren als Menge der Pfeilspitzen.
  Jetzt mal meine ersten Gedanken dazu.
  1.(i) Das sollte doch einfach nur eine Gerade sein,oder? Es wird doch durch einen einzigen Vektor kein Raum o.ä. aufgespannt. Stimmt das? Und wenn ja, wie schreibe ich das dann auf?!
  1. (ii)-(iv) Soll ich da theoretisch erst prüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind? Sie sind es ja offensichtlich.
  Meiner Meinung nach wird bei (ii) die x1x2-Ebene Aufgespannt, bei (iii) und (iv) der IR³. Ist das richtig?
  Zur 2.Teilaufgabe habe ich auch keine richtige Idee. Ich würde einfach die Vektoren in ein Koordinatiensystem einzeichnen, wie ich dann die "Menge der Pfeilspitzen" darstellen soll, weiss ich auch nicht.
  Ich habe irgendwie keine genaue Vorstellung, wie ich anfangen soll. Sorry, für euch ist das sicherlich Kinderkram, aber bei mir hängt's einfach irgendwo.
  Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 17:41:
  du hast völlig recht, a spannt nur eine Gerade auf. Allerdings werden auch die mit der Bezeichnung Raum belegt, genauer ist es ein Unterraum der Dimension 1, wie jede Gerade durch den Ursprung.
  Angegeben wird so ein Raum z.B. in der Form {(x,x,0),xaus R} oder durch Angabe der Basis {(1,1,0)}.
  Auch bezüglich der weiteren Azufgaben hast du recht, am einfachsten sieht man das bei ii wenn du von der Basis {a,b} zur Basis {b-a,b} übergehst, das ist nämlich gerade die Standardbasis von {(x,y,0),x,y aus R}. Ab iii hast du den kompletten Raum, d.h. d ist von a,b,c linear abhängig und somit überflüssig.
  Eine Gerade im Raum einzuzeichnen geht ja noch, auch die Ebene z=0 kann man noch graphisch andeuten, aber was du dann machen sollst bin ich leider auch überfragt, scheint mir nicht sonderlich sinnvoll zu sein den kompletten R^3 zweidimensional darstellen zu wollen.
  Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 19:20:
  ein riesiges Dankeschön an Sotux. Ich denke, ich habe es kapiert, auch wenn die Aufgabenstellung bzgl. der graphischen Darstellung nicht ganz so logisch ist.