text: Analysis: Themenübersicht Mathematik | StudySmarter
  Analysis beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es, vereinfacht gesagt, um die Lehre von Funktionen geht. Die anderen drei großen Teilgebiete der Mathematik, die in der Schule behandelt werden, sind die Geometrie, die Algebra und die Stochastik.
  In diesem Artikel erklären wir dir, welche Themen die Analysis beinhaltet, und einige ihrer Grundlagen.
  Was versteht man unter Analysis?
  Die Analysis befasst sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten, mit der Differentialrechnung und der Integralrechnung. Durch die Analysis können wir die Änderungen einer Funktion beschreiben. Das kennst du vielleicht schon aus der Schule als Wachstums- und Zerfallsprozesse.
  Um dir einen guten Überblick zu diesem sehr umfangreichen Thema zu geben, werden dir nachfolgend die Grundlagen erklärt.
  Unter einer Funktion versteht man eine direkte Zuordnung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet wird. Es werden mehrere Arten von Funktionen unterschieden, so gibt es zum Beispiel lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen und viele mehr.
  Wenn du mehr über Funktionen lernen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel im Kapitel Funktionen durch!
  Hinter den Begriffen Ableitung und Differenzieren verbirgt sich der Oberbegriff Differentialrechnung. Keine Panik! Die Differentialrechnung dient zur Beschreibung des Änderungsverhalten einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Die Ableitung einer Funktion, vor allem bei nichtlinearen Funktionen, gibt an, wie stark eine Funktion an jeder Stelle steigt oder fällt.
  Genaue Definitionen, Ableitungsregeln und die Ableitung wichtiger Funktionen findest du im Kapitel Ableitung und Differenzieren!
  Die Integralrechnung befasst sich mit der Flächen- und Volumenberechnung
  zwischen zwei Funktionen oder einer Funktion und einer Achse des Koordinatensystems. Außerdem ist die Integralrechnung der Gegensatz zur Differentialrechnung! Um das Integral auszurechnen, werden die entsprechenden Funktionen durch Integrationsregeln integriert, dann werden diese auch Stammfunktion genannt.
  Wenn du mehr zum Thema Integralrechnung lernen möchtest, dann findest du viele Artikel im Kapitel Integralrechnung!
  Die Kurvendiskussion ist eines der wichtigsten Themen in der Schulmathematik. Diese beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Funktion wie zum Beispiel Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Extremwerte und dem Verhalten im Unendlichen. Die Kurvendiskussion baut auf der Differential- und Integralrechnung auf, du solltest daher in diesen beiden Themen fit sein, bevor du dich mit der Kurvendiskussion beschäftigst.
  Eine Vielzahl an Zusammenfassungen hierzu findest du im Kapitel Kurvendiskussion!
  Viele natürliche Wachstums- oder Zerfallsprozesse bei Populationen von Lebewesen sind abhängig vom vorliegenden Bestand der Population. Diese Vorgänge werden dann durch entsprechende Funktionen dargestellt.
  Wenn du mehr zum Thema Wachstum und Zerfall lernen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel im Kapitel Wachstum und Zerfall durch!
  Das Wichtigste der Analysis auf einen Blick!
  Analysis ist der Teilbereich der Mathematik, der sich umfassend mit Funktionen, deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten, mit der Differentialrechnung und der Integralrechnung befasst.
  Es können unterschiedliche Teildisziplinen unterschieden werden wie die Differential- und Integralrechnung, die Kurvendiskussion und Wachstums- sowie Zerfallsprozesse.
  Die Analysis lässt dich Funktionen genauer unter die Lupe nehmen, so dass du geometrische Eigenschaften oder die Änderungen an einer beliebigen Stelle herausfinden kannst.
  Häufig gestellte Fragen zum Thema Analysis
  Was gehört alles zu Analysis?
  Die Analysis besteht aus mehreren Teildisziplinen, unter Anderem die Differentialrechnung, Integralrechnung, Kurvendiskussionen. Außerdem beschäftigt sich Analysis umfassend mit Funktionen und deren Eigenschaften und ihren Grenzwerten.
  Finales Analysis Quiz
  Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
  u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
  Es sei 0<a<0,5
  a=0,25=(1/4)
  u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
  U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
  mit 0<q<0,5
  q=0,25=(1/4)
  ∫(x*(1+x)^(3))dx
  Hinweis: Nicht jede Multiplikation aus Integrationsgliedern bedarf partieller Integration, auch wenn es naheliegend scheint und möglich ist, ist es nicht automatisch der sinnvollste Weg!
  (1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C
  Leite die folgenden Terme nach x ab.
  a) f(x) = sin(x³)
  b) f(x) = (4x² + 7)³
  c) f(x) = 2⋅cos(3x²)
  a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)
  b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²
  c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)
  a) f(x) = 2⋅cos(3x²)
  b) f(x) = (2x² + 3x)²
  c) f(x) = 3⋅cos(2x³)
  a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)
  b) f'(x) = 16x³+36x² +18x
  c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³)
  a) f(x) = sin(4x³)
  b) f(x) = (x + x²)³
  c) f(x) = -3⋅cos(x²)
  a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)
  b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²
  c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)
  a) f(x) = -2⋅sin(x²)
  b) f(x) = (x² + 2)²
  c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)
  a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)
  b) f'(x) = 4x³ + 8x
  c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)
  Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!
  Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.
  Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?
  Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: "äußere Ableitung mal innere Ableitung").