text: Eine Gruppe ist eine häufig vorkommende mathematische Struktur. Sie besteht aus einer Menge, deren Elemente sich verknüpfen lassen. Außerdem gelten drei sogenannte Gruppenaxiome: Die Verknüpfung ist assoziativ, es ist ein neutrales Element vorhanden und jedes Element hat ein inverses Element.
  Definition: Sei M eine Menge. Eine Verknüpfung auf M ist eine Abbildung
  • : M × M M,
  die je zwei Elementen a, b M ein Element c M zuordnet. Die Schreibweise ist
  Wenn die Menge M endlich ist, lassen sich die Ergebniswerte der Verknüpfung in Form einer Verknüpfungstafel angeben.
  Definition: Eine Verknüpfungstafel ist eine Tabelle, die für alle Elemente a, b M das Ergebnis der Verknüpfung a • b in Zeile a und Spalte b enthält.
  Beispiel: Sei M die Menge = {0, 1}. Auf sei eine Verknüpfung in folgender Weise definiert:
  Das Ergebnis von 1 0 beispielsweise ergibt sich als Eintrag in Zeile 1 und Spalte 0, nämlich als 1 0 = 1.
  Beispiel: Die Menge M sei die Menge der natürlichen Zahlen. Dann sind + (Addition), · (Multiplikation) und "hoch" (Potenzierung) Verknüpfungen.
  Welche Zahl das Ergebnis der Verknüpfung etwa von 5 + 3 oder von 7·4 oder von 23 ist, müssen wir im Allgemeinen ausrechnen (um 3 weiterzählen von 5 aus, die 7 viermal addieren, bzw. die 2 dreimal mit sich selbst multiplizieren). Schneller geht es, wenn wir die Verknüpfungstafeln der einstelligen Zahlen auswendig lernen (z.B. kleines Einmaleins). Für die Verknüpfung von größeren Zahlen gibt es die Rechenverfahren der Arithmetik (Kopfrechnen, schriftliches Addieren und Multiplizieren).
  Es kommt bei einer Verknüpfung im Allgemeinen auf die Reihenfolge der Elemente an. Verknüpfungen, bei denen es nicht auf die Reihenfolge ankommt, heißen kommutativ.
  Definition: Sei M eine Menge mit einer Verknüpfung • . Die Verknüpfung • heißt kommutativ, wenn für alle Elemente a, b M gilt
  a • b = b • a.
  Beispiel: Die oben angegebenen Verknüpfungen , + und · sind kommutativ. Die Verknüpfung "hoch" ist jedoch nicht kommutativ, denn es ist z.B. 23 = 8, aber 32 = 9.
  Wenn wir nicht nur zwei, sondern drei Elemente a, b, c miteinander verknüpfen wollen, gehen wir wie folgt vor: wir verknüpfen die ersten beiden Elemente, und das Ergebnis verknüpfen wir mit dem dritten Element (Auswertung von links nach rechts):
  (a • b) • c.
  Wir hätten jedoch auch erst das zweite und dritte Element verknüpfen und dann das erste Element mit diesem Ergebnis verknüpfen können (Auswertung von rechts nach links):
  a • (b • c).
  Welche Art der Auswertung ist die richtige? Nun, es stellt sich heraus, dass es bei vielen Verknüpfungen egal ist: in beiden Fällen kommt dasselbe Ergebnis heraus. Derartige Verknüpfungen heißen assoziativ.
  In den anderen Fällen muss man sich auf eine Auswertungsart einigen, z.B. Auswertung von links nach rechts, oder durch Klammern die Reihenfolge der Auswertung vorschreiben.
  Definition: Sei M eine Menge mit einer Verknüpfung • . Die Verknüpfung • heißt assoziativ, wenn für alle Elemente a, b, c M gilt
  (a • b) • c = a • (b • c).
  Beispiel: Die oben angegebenen Verknüpfungen , + und · sind assoziativ. Die Verknüpfung "hoch" ist jedoch nicht assoziativ, denn es ist z.B. (22)3 = 43 = 64, aber 2(23) = 28 = 256.
  Aufgabe 1: Sei M die Menge der ganzen Zahlen. Welche Eigenschaften hat die Verknüpfung "–" (Subtraktion)?
  assoziativ ja nein
  kommutativ ja nein
  Im Folgenden bezeichnen wir eine Menge M, auf der eine Verknüpfung • definiert ist, mit (M, • ). Wir betrachten nun Eigenschaften solcher Mengen. Je nach dem, welche von insgesamt vier Eigenschaften erfüllt sind, bilden diese Mengen unterschiedliche mathematische Strukturen. Die einfachste dieser Strukturen ist die Halbgruppe. Bei einer Halbgruppe wird lediglich verlangt, dass die Verknüpfung assoziativ ist.
  Definition: Eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ist eine Halbgruppe.
  Beispiel: Sei A ein Alphabet und A+ die Menge der nichtleeren Wörter über dem Alphabet. Auf A+ sei die Verkettung von Wörtern als Verknüpfung • definiert. Zwei Wörter werden verkettet, indem sie einfach hintereinander geschrieben werden, z.B.
  ab • aacc = abaacc.
  Die Verknüpfung ist offensichtlich assoziativ. Die Menge A+ mit der Verkettung als Verknüpfung bildet daher eine Halbgruppe.
  Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition ( , +) ist eine Halbgruppe. Ebenso ist ( , ·) eine Halbgruppe.
  Definition: Eine Halbgruppe (M, • ) ist ein Monoid, wenn sie ein neutrales Element enthält. Ein Element e M heißt neutrales Element, wenn für alle a M gilt
  Das neutrale Element wird auch als Nullelement oder als Einselement bezeichnet, je nach dem, ob die Verknüpfung als Addition oder als Multiplikation verstanden wird.
  Beispiel: Die Menge A* der Wörter über einem Alphabet A (einschließlich des leeren Wortes ε) mit der Verkettung als Verknüpfung ist ein Monoid. Das leere Wort ε ist das neutrale Element, denn es gilt
  ε • w = w • ε = w für alle Wörter w A*.
  Sei X eine Menge und (X) die Potenzmenge von X, d.h. die Menge aller Teilmengen von X. Dann ist (X) mit der Vereinigung von Mengen als Verknüpfung und der leeren Menge als neutralem Element ein Monoid.
  Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation ( , ·) ist ein Monoid mit der 1 als neutralem Element. Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null mit der Addition ( 0, +) ist ein Monoid. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition. Ferner ist ( , ) ein Monoid mit der 0 als neutralem Element.
  Satz: Sei (M, • ) ein Monoid. Dann ist das neutrale Element eindeutig bestimmt, d.h. es gibt nicht mehrere neutrale Elemente in (M, • ).
  Beweis: Seien e und f neutrale Elemente. Dann gilt
  f = e • f = e,
  denn f = e • f, weil e neutral ist, und e • f = e, weil f neutral ist.
  Im Folgenden schreiben wir ein Monoid M mit Verknüpfung • und neutralem Element e als Tripel (M, • , e). So sind beispielsweise ( (X), , ), ( , ·, 1), ( 0, +, 0) sowie ( , , 0) Monoide.
  Definition: Ein Monoid (M, • , e) ist eine Gruppe, wenn es zu jedem Element a M ein inverses Element in M gibt. Ein Element a' M heißt invers zu a M, wenn
  a • a' = e
  ist, d.h. wenn die Verknüpfung von a und a' das neutrale Element e ergibt.
  Beispiel: Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition ( , +, 0) ist eine Gruppe. Zu jeder Zahl a ist -a das inverse Element.
  Die Menge ( , , 0) ist eine Gruppe. Die 0 und die 1 sind jeweils zu sich selbst invers.
  Satz: Sei (M, • , e) eine Gruppe. Für jedes a M gilt: wenn a' zu a invers ist, dann auch a zu a'.
  Beweis: Sei zunächst a'' das zu a' inverse Element, d.h. a' • a'' = e. Dann ist
  a = a • e = a • a' • a'' = e • a'' = a''
  d.h. a = a'' ist zu a' invers.
  Definition: Eine Gruppe (M, • , e) heißt abelsche Gruppe (nach N.H. Abel ), wenn die Verknüpfung • kommutativ ist, d.h. wenn für alle Elemente a, b M gilt
  Beispiel: ( , +, 0) ist abelsche Gruppe.
  Die additive Gruppe modulo n ( n, +n, 0) ist eine abelsche Gruppe. Die Menge n besteht aus den ganzen Zahlen 0, ..., n-1. Die Verknüpfung +n bezeichnet die Addition modulo n.
  Die multiplikative Gruppe modulo n ( n*, ·n, 1) ist eine abelsche Gruppe. Die Menge n* besteht aus allen Elementen von n, die teilerfremd zu n sind. Die Verknüpfung ·n bezeichnet die Multiplikation modulo n.
  Die Menge aller Permutationen von n Elementen mit der Komposition (Hintereinanderausführung von Abbildungen) als Verknüpfung ist eine Gruppe, jedoch keine abelsche Gruppe.
  Eine Gruppe ist zunächst eine Menge M, auf der eine Verknüpfung • definiert ist. Eine Verknüpfung ist eine Abbildung von M × M in M. Es müssen darüber hinaus drei Eigenschaften erfüllt sein, diese heißen die Gruppenaxiome:
  die Verknüpfung ist assoziativ,
  es gibt ein neutrales Element,
  jedes Element hat ein inverses Element.
  Bei einer abelschen Gruppe gilt zusätzlich:
  die Verknüpfung ist kommutativ.
  Weiter mit: [Gruppentheorie] [Literatur] oder
  H.W. Lang Hochschule Flensburg lang@hs-flensburg.de Impressum Datenschutz © Created: 28.08.2000 Updated: 04.06.2018