שלום אלון. ברכות על המאמר המוצלח.
יש משפט אחד שקצת צרם לי: "כללי הגזירה במתמטיקה מתבססים על לוגיקה בוליאנית פשוטה של "אמת" ו"שקר"; אין באמצע, בערך, אולי או לפעמים".
ג. "בלתי-כריע" - כלומר במסגרת הפורמליזם המתמטי המסויים (הסובייקטים, האקסיומות וכללי ההיסק) אי אפשר להסיק שהמשפט הוא א או ב.
(למעשה, יש אפילו עוד מצב, האופייני יותר למדעי המחשבים: בעיות בלתי סבירות או בלתי סבירות ביותר וכו'. כלומר בעיות שהן א או ב אבל מסיבות שונות לא ניתן לחשב זאת באופן מעשי).
דוקא ההצגה המעט נוקדנית הזאת, מבליטה את המופרכות של הנסיונות לישם כלים ופורמליזמים מתמטיים להכרעה בענייני דיומא או בשאלות מטאפיזיות/תאולוגיות.
אולי אני מתבלבל, אבל לדעתי החלוקה שלך לא נכונה. משפטים בפני עצמם הם לא "נכונים" או "לא נכונים". אפשר להוכיח אותם בתורות מסויימות (ואם המערכות גרועות, אפשר להוכיח גם אותם וגם את שלילתם), אבל ההוכחה לא מייחסת להם ערך אמת כלשהו. רק כשמנסים לתת דוגמה למודל כלשהו לתורה, ניתן לשאול האם המשפט נכון או לא נכון ביחס לאותו מודל, ואז אין מצב ביניים: המשפט הוא או נכון, או שלא. לפעמים יש שני מודלים לאותה תורה שבאחד מהם משפט כלשהו הוא נכון ואילו באחר הוא לא (כמובן שבשביל זה התורה צריכה להיות לא שלמה או לא עקבית).
מה שכן, אני לא בטוח בקשר למשהו ואשמח אם אלון יחדד: האם משפט גדל אומר כי בכל מודל לתורה שעליה הוא פעל, המשפט הלא יכיח שקיומו מובטח מהמשפט הוא נכון?
>אני לא בטוח בקשר למשהו ואשמח אם אלון יחדד: האם משפט גדל אומר כי בכל מודל לתורה שעליה הוא פעל, המשפט הלא יכיח שקיומו מובטח מהמשפט הוא נכון?
אל"א, אבל אם ירשה לי לחדד בעצמי - חיכיתי שהנקודה הזו תעלה. אלון בחר בכתיבת המאמר להימנע לחלוטין מתורת המודלים. גישתו היא שלפחות עבור תורת המספרים ה"אמיתית" יש אמת מוחלטת. במודל כזה פסוק גדל הוא נכון אבל לא יכיח. אני לא מסכים עם הגישה הזו ולו רק מסיבות פרקטיות. לדעתי חסר טעם לדבר על האמת המוחלטת אם אתה יכול להוכיח שלא תדע מהי.
כמובן שבאופן כללי פסוק גדל הוא בלתי תלוי, ולכן, ע"פ משפט השלמות יש מודל של התורה שבו הוא נכון ומודל שבו הוא לא.
זה נכון, אם כי אני עומד מאחורי המשפט שצרם לך: כללי ההיסק הלוגיים אכן בנויים על "אמת" ו"שקר", ואינם קשורים כלל לשאלה מה כריע ומה לא. למשל, הגזירה "אם לא לא P אז P", או הגזירה "אם 4=2+2 וגם 5=2+2 אז משפט פרמה אינו נכון ו-‏1001 הוא מספר ראשוני", שתיהן דורשות שלא תהיה אלטרנטיבה ל-"P או לא P".