Puhtaritmeetilise teooria, mille järgi kompleksarvud on reaalarvude paarid, esitas esimesena William Hamilton 1837. Ta võttis kasutusele ka kompleksarvude üldistuse kvaternioonid, mille korrutamine ei ole kommutatiivne. 19. sajandi lõpus näidati, et arvu mõiste laiendamine väljapoole kompleksarvude valda on võimalik ainult juhul, kui loobutakse tehete mõnest tavalisest omadusest (tavaliselt kommutatiivsusest).