Tuliskan kelanjutan untuk paragraf ini - Quinn didraf ke-13 secara keseluruhan oleh Calgary Flames pada Draft NHL tahun 1983
, saat ia bermain untuk Belleville Bulls dari Ontario Hockey League (OHL). Quinn membuat debutnya dengan Calgary di pertengahan musim berikutnya, mencetak 52 poin dalam 54 pertandingan. Ketika dia dipanggil dia telah memimpin OHL dalam mencetak 59 poin.