Vesalainen awalnya bermain sebagai pemuda di tanah airnya Finlandia, muncul sampai tingkat Junior A dengan HIFK sebelum memilih untuk melanjutkan perkembangannya di Swedia dengan Frölunda HC pada tanggal 27 Agustus 2015. Vesalainen membuat debut profesionalnya di tingkat senior dengan Frölunda di Liga Hoki Swedia selama musim 2015/16. Setelah periode pinjaman awal untuk kembali ke Finlandia selama musim 2016/17 dengan HPK dari Liiga, Vesalainen membuat perpindahan permanen dengan menyetujui kesepakatan satu tahun dengan HPK pada 28 April 2017. Pada tahun pertamanya, Vesalainen terpilih di babak pertama, 24th secara keseluruhan, oleh Winnipeg Jets pada Draft NHL 2017
pada tanggal 23 Juni 2017.