Membuat debutnya di ISU Challenger Series (CS), Kvitelashvili menempati posisi kelima di Lombardia Trophy pada bulan September 2014. Pada bulan November, ia berkompetisi di Piala Rostelecom 2014, menggantikan Kolyada yang terluka; ia menempati posisi kedua belas di acara tersebut, tugas Grand Prix senior (GP) pertama dalam karirnya. Setelah menempati posisi kedelapan di Kejuaraan Rusia 2015
Pada tahun 2015, ia dikirim ke Universiade Musim Dingin yang kedua dan menempati posisi ketujuh pada kompetisi yang diadakan pada Februari 2015 di Granada, Spanyol.