Selesai kalimat berikut: Kozlov didraf oleh San Jose Sharks di babak pertama sebagai pilihan keenam secara keseluruhan di
1993 NHL Entry Draft. Kozlov mencetak gol pertamanya untuk Sharks melawan Ed Belfour dan Chicago Blackhawks pada 21 Maret 1995 dalam kekalahan 7-3 Sharks. Dia akan bermain beberapa musim di San Jose sebelum diperdagangkan ke Florida Panthers pada 13 November 1997. Di Florida, bermain dengan Pavel Bure, Kozlov akan memiliki tahun terbaiknya. Musim terbaiknya adalah selama musim 1999-2000 ketika ia membuat rekor karier dalam assist dan poin. Dia bermain dengan Panthers sampai 1 Maret 2004, ketika ia ditukarkan ke New Jersey Devils untuk Christian Berglund dan Victor Uchevatov.