Tuliskan kelanjutan untuk paragraf ini - Budaj disusun oleh Colorado Avalanche pada draf 2001
sebagai pilihan pertama untuk Avalanche dan ke-63 secara keseluruhan. Dia memakai nomor 31 untuk Avalanche setelah bermain untuk Hershey Bears dari American Hockey League (AHL) dan Toronto St. Michael's Majors dari Ontario Hockey League (OHL).