Kukamilisha maneno yafuatayo: Drafted 68th jumla katika
1988 NHL Entry Draft na New York Rangers, Amonte anajulikana zaidi kwa wakati wake kama nyota ya kufunga na Chicago Blackhawks na kwa kuwakilisha Marekani katika kucheza kimataifa. Amonte alifanya mechi yake ya kwanza katika mchezo wa mwisho wa 1991. Alivutia kama rookie, akifunga zaidi ya mabao 30 na kuweka wa tatu katika kupiga kura kwa Calder Memorial Trophy. Alicheza misimu mitatu na Rangers, akifunga mabao 84, kabla ya kubadilishana na Chicago Blackhawks na michezo saba kwenda katika msimu wa 1993-94, mwaka ambao Rangers waliendelea kushinda Kombe la Stanley. Alipata umaarufu huko Chicago ambapo mwanzoni aliungana tena na mwenzake wa zamani wa Thayer Academy Jeremy Roenick, akifunga angalau mabao 30 mara sita na angalau 40 mara tatu, pamoja na kuwa na safu ya misimu mitano ambayo hakukosa mchezo mmoja.