Rejea kifungu cha chini na kisha jibu swali baadaye katika lugha sawa na kifungu:  Passage: Katika formalism hii, utambulisho 1 = 0.999... na 1 = 1.000... kutafakari, kwa mtiririko huo, ukweli kwamba 1 liko katika wote [0, 1] na [1, 2], hivyo mtu anaweza kuchagua ama subinterval wakati wa kutafuta tarakimu zake. Ili kuhakikisha kwamba alama hii haitumii vibaya ishara ya "=", mtu anahitaji njia ya kurekebisha nambari halisi ya kipekee kwa kila decimal. Hii inaweza kufanyika na mipaka, lakini ujenzi mwingine kuendelea na kuagiza mandhari. Moja ya uchaguzi moja kwa moja ni nested vipindi theorem, ambayo dhamana kwamba kutokana na mfululizo wa nested, vipindi imefungwa ambao urefu kuwa arbitrarily ndogo, vipindi vyenye hasa moja halisi idadi katika makutano yao. Hivyo b0.b1b2b3... ni maalum kuwa idadi ya kipekee zilizomo ndani ya vipindi vyote [b0, b0 + 1], [b0.b1, b0.b1 + 0.1], na kadhalika. 0.999... basi ni ya kipekee halisi idadi ambayo iko katika wote wa vipindi [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], na [0.99...9, 1] kwa kila mwisho string ya 9s. Kwa kuwa 1 ni kipengele cha kila moja ya vipindi hivi, 0.999... = 1. The Nested Intervals Theorem ni kawaida msingi juu ya tabia ya msingi zaidi ya idadi halisi: kuwepo kwa angalau mipaka ya juu au suprema. Kwa moja kwa moja kutumia vitu hivi, mtu anaweza kufafanua b0.b1b2b3... kuwa mdogo mdogo wa juu wa seti ya approximants {b0, b0.b1, b0.b1b2,...}. Kisha mtu anaweza kuonyesha kwamba ufafanuzi huu (au ufafanuzi wa vipindi vilivyowekwa) unalingana na utaratibu wa mgawanyiko, ikimaanisha 0.999... = 1 tena. Tom Apostol anahitimisha,  Swali: Ni nini sifa ya idadi iliyotajwa?
idadi ya kipekee