اشير للقطعة أدناه، ثم اجيب على السؤال بعد ذلك بنفس اللغة:  الممر: في هذه الشكلية، تعكس الهويات 1 = 0.999... و 1 = 1.000...، على التوالي، حقيقة أن 1 موجود في كل من [0، 1] و [1، 2]، لذلك يمكن للمرء اختيار أي من الفاصل الفرعي عند العثور على أرقامه. للتأكد من أن هذا التدوين لا يسيء استخدام علامة "="، يحتاج المرء إلى طريقة لإعادة بناء رقم حقيقي فريد لكل خانة عشرية. يمكن القيام بذلك مع الحدود، لكن البناءات الأخرى تستمر مع موضوع الترتيب. اختيار واحد مباشر هو نظرية الفراغات المتداخلة، والتي تضمن أنه نظرا لتسلسل من الفراغات المغلقة المتداخلة التي تصبح أطوالها صغيرة بشكل تعسفي، فإن الفراغات تحتوي على رقم حقيقي واحد بالضبط في تقاطعها. اذاً b0.b1b2b3... يعرف بأنه الرقم الفريد الموجود في كل الفاصلات [b0، b0 + 1]، [b0.b1، b0.b1 + 0.1]، وهلم جرا. 0.999... هو العدد الحقيقي الفريد الذي يكمن في كل الفترات [0, 1]، [0.9, 1]، [0.99, 1]، و [0.99...9, 1] لكل سلسلة محدودة من 9s. بما أن 1 هو عنصر لكل من هذه الفترات، 0.999... = 1. عادةً ما تستند نظرية الفترات المتداخلة إلى سمة أساسية أكثر للأرقام الحقيقية: وجود الحدود العليا الأقل أو العليا. للاستغلال المباشر لهذه الأشياء، يمكن للمرء أن يحدد b0.b1b2b3... على أنه الحد الأدنى العلوي لمجموعة التقريبات {b0، b0.b1، b0.b1b2،...}. يمكن للمرء بعد ذلك أن يظهر أن هذا التعريف (أو تعريف الفراغات المتداخلة) متسق مع إجراء التقسيم الفرعي، مما يعني 0.999... = 1 مرة أخرى. توم ابستول يخلص،  سؤال: ماهي خصوصية الرقم المذكور؟
الرقم الفريد