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  1920年代后期,数学家大卫·希尔伯特的学生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼,当时正研究计算的基础。Sudan发明了一个递归却非原始递归的Sudan函数。1928年,阿克曼又独立想出了另一个递归却非原始递归的函数。  他最初的念头是一个三个变量的函数A("m","n","p"),使用康威链式箭号表示法是"m"→"n"→"p"。阿克曼证明了它是递归函数。希尔伯特在"On the Infinite"猜想这个函数不是原始递归函数。阿克曼在"On Hilbert's Construction of the Real Numbers"证明了这点。  后来Rózsa Péter和拉斐尔·米切尔·罗宾逊定义了一个类似的函数,但只用两个变量。

  以下是阿克曼函数的虚拟码:  Haskell 语言能生成更精确的定义:  递归是有界的,因为在每次应用递归时,要么 "m" 递减,要么 "m" 保持不变而 "n" 递减。每次 "n" 达到零,"m" 递减,所以 "m" 最终可以达到零。(较技术性的表达:在每种情况下,有序对("m", "n")按字典次序递减,它保持了非负整数的良序关系)。但是,在 "m" 递减的时候, "n" 的增加没有上界,而且增加的幅度比较大。  这个函数亦可用康威链式箭号表示法来作一个非递回性的定义: 即是  使用hyper运算符就是  使用高德纳箭号表示法则为

  ! "m"\"n"! 0! 1! 2! 3! 4! n! 0! 1! 2! 3! 4
阿克曼函数是非原始递归函数的例子;它需要两个自然数作为输入值,输出一个自然数。它的输出值增长速度非常高。