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  古希腊数学家欧几里得是通过formula_1 的表达式发现前四个完全数的。  一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式:formula_6,其中formula_7是素数,此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。  比如,上面的formula_8和formula_9对应着formula_10和formula_11的情况。我们只要找到了一个形如formula_7的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。  尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是formula_13或formula_14的形式,其中formula_15是素数。  首十个完全数是():

  古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当 formula_16 的时候,可是 formula_17 并不是素数。因此 formula_16 不是完全数。另外两个错误假设是:  事实上,第五个完全数 formula_19 是 formula_20 位数。  对于第二个假设,第五个完全数确实是以 formula_8 结尾,但是第六个完全数 formula_22 仍是以 formula_8 结尾,应该说完全数只有以 formula_8 和 formula_20 结尾才对。  对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。  每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每个偶完全数给出一个梅森素数,这结果称为欧几里得-欧拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全数为 formula_26 共有 formula_27 位数。

  以下是目前已发现的完全数共有的性质。 formula_28 → formula_29 → formula_30 formula_37 formula_41 formula_46 formula_50 formula_53

  用计算机已经证实:在10以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一个不少于7位数的质因子)但不包含3,亦不会是立方数。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。  Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

  这个定理说明若存在奇完全数,其形式必如formula_67或formula_68。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明,1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。  证明会使用这四个结果:(下面的n,k,j,m,q均为正整数)  引理的证明(甲):  使用反证法,设formula_71为完全数,且formula_81。  formula_82。因为3的二次剩余只有0,1,故formula_71非平方数,因此其正因子个数为偶数。  formula_71有正因子formula_85,则可得:  因此,formula_90。故formula_91。  但formula_92,矛盾。  故formula_71的形式只可能为formula_94或formula_95。  引理的证明(乙):  使用反证法,设formula_71为完全数,且formula_97。  formula_97。因为4的二次剩余只有0,1,故formula_71非平方数,因此其正因子个数为偶数。  formula_71有正因子formula_85,则可得:  因此,formula_106。故formula_107。  但formula_108,矛盾。  故formula_71的形式只可能为formula_110。 若formula_111,根据欧拉的结果,formula_112,综合两者,得formula_113。  若formula_114,formula_112,得formula_116。若formula_117非3的倍数,3和formula_118互质。  因为formula_70为积性函数,可得formula_120。  但formula_121,出现了矛盾。故知formula_117是3的倍数。代入formula_123,可得formula_124。

  盈完全数的定义为:自己的因子(不含自己)的和减去自己得到的数可以整除自己,前几个盈完全数为:  亏完全数的定义为:自己减去自己的因子(不含自己)的和得到的数可以整除自己,前几个亏完全数为:  盈完全数是盈数的子集,亏完全数是亏数的子集。
完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身,完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。