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  我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论:  罗素悖论:设有一性质formula_1(例如:"年满三十岁"就是一个性质),并立以一性质函数:formula_2,且其中的自变量formula_3有此特性:formula_4,  现假设由性质formula_5能够确定一个满足性质formula_1的集合formula_7——也就是说 formula_8。那么现在的问题是formula_9是否成立?  首先,若formula_9,则formula_7是formula_7的元素,那么formula_7具有性质formula_1,由性质函数formula_1可以得知formula_16;  其次,若formula_16,根据定义,formula_7是由所有满足性质formula_1的类组成,也就是说,formula_7具有性质formula_5,所以formula_9。  罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。但理发师悖论被一些人认为只是罗素悖论的一种描述方式,仅以理发师悖论并无法完全叙述罗素悖论。  罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

  理发师悖论和罗素悖论是等价的:  因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。  另一种等价的悖论为书目悖论,第一类的书的目录有它自己的条目,经典的例子就是维基百科,第二类的书目录则没有它自己的条目,一般的书目都是如此,问:若把所有第二类的书做个总目录,它应不应该含有它自己的条目?
罗素悖论(英语:Russell's paradox),也称为理发师悖论,是英国哲学家罗素于1901年提出的悖论,一个关于类的内涵问题。