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  考虑以下的线性方程 其中formula_6为formula_9的矩阵,而formula_10, formula_6的列空间。 若矩阵formula_6为可逆矩阵,则formula_13即为方程序的解。而若矩阵formula_6为可逆矩阵 假设矩阵formula_6不可逆或是formula_17,需要一个适合的formula_18矩阵formula_19使得下式成立 因此formula_21为线性系统formula_22的解。 而同様的,formula_18阶的矩阵formula_19也会使下式成立 因此可以用以下的方式定义广义逆阵:假设一个formula_26的矩阵formula_6,formula_28的矩阵formula_19若可以使下式成立,矩阵formula_19即为formula_6的广义逆阵

  以下是一种产生广义逆阵的方式:

  彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵:针对formula_1及formula_55 若formula_3满足条件(1.),即为formula_6的广义逆阵,若满足条件(1.)和(2.),则为formula_6的广义反身逆阵(generalized reflexive inverse),若四个条件都满足,则为formula_6的摩尔-彭若斯广义逆。  以下是一些其他种类的广义逆阵

  任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解,若有解时列出其所有的解。若以下"n" × "m"的线性系统有解存在  其中向量formula_72为未知数,向量"b"为常数,以下是所有的解  其中参数"w"为任意矩阵,而formula_3为formula_6的任何一个广义逆阵。解存在的条件当且仅当formula_76为其中一个解,也就是当且仅当formula_77。
广义逆(Generalized inverse),是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵"A"的广义逆叫做"A"的广义逆阵,是指具有部分逆矩阵的特性,但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假设一矩阵formula_1及另一矩阵formula_2,若formula_3满足formula_4,则formula_3即为formula_6的广义逆阵。