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  叙述:设H是有限群G的子群,则H的阶整除G的阶。  定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解,由于每个等价类的元素个数都相等,都等于H的元素个数(H是H关于e的左陪集),因此H的阶(元素个数)整除G的阶,商是H在G中的左陪集个数,叫做H对G的指数,记作[G:H]。

  定义二元关系formula_1:formula_2。下面证明它是一个等价关系。  可以证明,formula_10。因此左陪集是由等价关系formula_1确定的等价类。  拉格朗日定理说明,如果商群"G" / "H"存在,那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。  formula_12  上述写法在G为无限群时也成立。

  1. 由拉格朗日定理可立即得到:由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶(考虑由a生成的循环群)。  2. 如果formula_13是质数,那么所有阶数为formula_13的群都同构(因为素数只有1和它本身为约数)。  3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论。

  拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群"G"和一个整除"G"的阶的整数"d","G"并不一定有阶数为 "d"的子群。最简单的例子是4次交替群"A",它的阶是12,但对于12的因数6,"A"没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性,柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。
拉格朗日定理是群论的定理,利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的因子值。