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  在数学上,对于一个在实数或复数formula_1邻域上,以实数作为变量或以复数作为变量的函数,并且是无穷可微的函数formula_2,它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数:  这里,formula_4表示formula_5的阶乘,而formula_6表示函数formula_7在点formula_1处的formula_5阶导数。如果formula_10,也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

  如果泰勒级数对于区间formula_11中的所有formula_12都收敛并且级数的和等于formula_2,那么我们就称函数formula_2为解析形的函数(analytic)。一个函数当且仅当(简单地说,“只有在”)能够被表示为幂级数的形式时,才是解析形的函数。通常会用泰勒定理来估计级数的余项,这样就能够确定级数是否收敛于formula_2。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。  以下三个事实可以说明为什么泰勒级数是十分重要的:  对于一些无穷的可以被微分函数formula_2,虽然它们的展开式会收敛,但是并不等于formula_2。例如,分段函数formula_18,如果formula_19并且formula_20,则formula_21时所有的导数都为零,所以这个formula_2的泰勒级数为零,且其收敛半径为无穷大,不过函数formula_2仅在formula_21处为零。但是,在以复数作为变量的函数中这个问题并不存在,因为当formula_25沿虚轴趋于零,formula_26并不趋于零。  如果一个函数在某处引发一个奇点,它就无法被展开为泰勒级数,不过如果变量formula_12是负指数幂的话,我们仍然可以将其展开为一个级数。例如,虽然在formula_21的时候,formula_18会引发奇点,但仍然能够把这个函数展开为一个洛朗级数。  最近,专家们发现了一个用泰勒级数来求解微分方程的方法——。用皮卡反复运算便可以推导出这个方法。

  下面我们给出了几个重要的泰勒级数。当变量formula_12是复数时,这些等式依然成立。

  几何级数

  以formula_35为底数的指数函数的麦克劳林序列是  以formula_35为底数的自然对数的麦克劳林序列是

  常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列:

  双曲函数

  朗伯W函数

  泰勒级数可以推广到有多个变量的函数: formula_50

  希腊哲学家芝诺在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题,得出不可能的结论 - 芝诺悖论。后来,亚里士多德对芝诺悖论在哲学上进行了反驳,但德谟克利特以及后来的阿基米德进行研究,此部分数学内容才得到解决。 正是用了阿基米德的穷竭法才使得一个无穷级数被逐步的细分,得到了有限的结果。.几个世纪之后,中国数学家刘徽也独立提出了类似的方法。  进入14世纪,最早使用了泰勒级数以及相关的方法。尽管他的数学著作没有流传下来,但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数,这些级数包括正弦、余弦、正切、和反正切三角函数等等。之后,在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近,这些工作一直持续到16世纪。  到了17世纪,詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。但是直到1715年,布鲁克·泰勒 提出了一个通用的方法来构建适用于所有函数的此类列级数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是泰勒级数的特例,是爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授在18世纪发表的,并以其名字命名。

  牛顿插值公式也叫做牛顿级数,由“牛顿前向差分方程”的项组成,得名于伊萨克·牛顿爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续“泰勒展开”的离散对应。

  对于x值间隔为非一致步长,牛顿计算均差,对"x"值间隔为单位步长1或一致但非单位量的情况,计算差分,前向差分的定义为:

  牛顿前向差分插值公式为:  这成立于任何多项式函数和大多数但非全部解析函数。

  牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了formula_53的无穷级数,在1666年得出了formula_54和formula_55的无穷级数,在1669年的《分析学》中发表了formula_56、formula_57、formula_54和formula_59的无穷级数;莱布尼茨在1673年大概也得出了formula_56、formula_57和formula_55的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研讨了有限差分方法,其中论述了他在1712年得出的泰勒定理,这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出,而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。  他对牛顿的均差分的步长取趋于formula_63的极限,得出:
在数学中,泰勒级数(英语:Taylor series)用无限项连加式——级数来表示一个函数,这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒(英语:Sir Brook Taylor)来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。