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  很多时候,函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射,是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论,特别是不确定性原理的发现,使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法,而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息,是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念,通过观察某个函数formula_1与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说,我们观察formula_1和一群“测量函数”formula_3之乘积的积分:formula_4。之所以使用积分作为“观察”的方式,一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间,(局部)可积分的函数比(局部)可导的函数要“多得多”;另一方面,则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候,我们往往不要求(也无法做到)知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值,而只能通过多次测量,知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度,这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。  分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”,称为分布,并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说,分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求:  对每一个实数值的“测试函数”formula_3,将它映射到积分formula_4,就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为formula_1对应的分布。积分formula_4的存在性取决于函数formula_1与formula_3的乘积,所以对formula_3要求越高,就能对越多的formula_1定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是紧支撑的函数空间D(R),也就是满足以下两个条件的R射到R函数的集合: 一般来说,一个分布就定义为 D(R) 射到R的连续线性泛函。一个分布formula_13(作用在“测试函数”formula_3上)的值一般使用类似内积的符号记为formula_15。当“测试函数”空间选为D(R)的时候,只要 formula_1局部可积,就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为formula_17,以和formula_1 区分,而它的值就是:  对于概率分布函数formula_20,也可以将它定义为分布formula_21。对给定的一个测试函数formula_22,可以定义分布formula_21作用在formula_22上的值是:formula_25 这样定义下的formula_21是线性的泛函,所以满足分布的定义。  除了对普通的函数可以定义分布,对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为: 也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。

  接下来,我们定义R中开集U上的实值分布。在细微的调整之后,我们可以定义相应的复值分布,也可以将 R 替换为任何(仿紧)光滑流形。  首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) (即所谓的“测试函数”),定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。

  函数formula_3: U → R具有紧支撑集,当且仅当存在U的紧子集K,使得对任意 U\K 中的元素formula_29,都有formula_30。  定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数(也就是所谓的隆起函数)的集合,则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下:  在如此定义下的拓扑中,D(U)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间,且满足海涅-博雷尔定理,但不是可度量的空间(不同胚于任何的度量空间)。而D(U)上的泛函formula_39连续,当且仅当对任意收敛到零的formula_31,都有formula_41

  U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说,如果一个实线性泛函formula_42(或复线性泛函formula_43)满足连续性,即对D(U)中任意的收敛函数列formula_31,都有 那么就称此泛函为U上的一个分布。  另一个更具可操作性的定义是,如果D(U)上的一个实线性泛函formula_42(或复线性泛函formula_43)满足以下的条件: 就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数formula_54使得对任意的formula_48,都有formula_56,那么最小的这样的formula_54称为这个分布的阶数(order),称formula_58为一个formula_54阶分布。  U上的分布集合记为D'(U),是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素formula_60和D(U)中的元素formula_3之间的对偶关系可以用尖括号表示:  在弱*拓扑下,D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中,弱*收敛的定义为:D'(U)中序列formula_63弱*收敛到formula_60当且仅当对于任意的检验函数formula_3,有

  一个局部可积函数formula_67是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的L可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中,每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函,也就是D'(U)中的一个元素,记作formula_17。线性泛函formula_17作用在D(U)中任一个检验函数formula_3上的取值是: 一般约定,在不至于引起混淆的时候,可以将formula_17和formula_1等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作: 可以证明,两个局部可积函数formula_1和formula_76对应的分布相同,当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似,U上的每个Radon测度formula_77都有一个对应的分布formula_78,定义为: 与函数的对应分布一样,测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来,比如将上式写成formula_80。  可以注意到,检验函数也是局部可积的,所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的(对于以上定义的拓扑来说)。也就是说,任意一个分布formula_81都是某个检验函数(分布)序列formula_31收敛的极限。对任意的检验函数formula_83,都有:
数学分析中的分布是广义函数的一种,由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入。分布推广了普通意义上的函数概念。对于普通意义上不可导甚至不连续的函数,可以具备分布意义上的导数。事实上,任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中,常常使用分布来表示方程的广义解函数,因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用,因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程,例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。