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  詹姆斯·格里高利首先发表了该定理基本形式的几何证明,艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式 。巴罗的学生艾萨克·牛顿使微积分的相关理论得以完善。莱布尼茨使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今微积分符号,

  微积分基本定理有两个部分,第一部分是关于原函数的导数,第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。

  设 formula_6,formula_7为连续函数,对所有的 formula_8,定义函数 "F" 如下: 则 "F" 在闭区间 ["a","b"] 连续,并在开区间 可微, 且对所有在开区间 中的 "x",有

  假设有两函数,formula_11,若满足以下条件: 则有:  常简记为

  

  假设有  设"x"和"x" + Δ"x"为区间["a", "b"]中的两个数。我们有 和  两式相减,得  可以证明 整理,得  把上式代入(1),得  根据:积分第一中值定理,在区间("x", "x" + Δ"x")存在一个"c",使得  把上式代入(2),得  两边除以Δ"x",得  两边取Δ"x" → 0的极限,  左边的表达式是"F"在"x"处的导数的定义。  我们用夹挤定理来求另一个极限。"c"在区间["x", "x" + Δ"x"]内,因此"x" ≤ "c" ≤ "x" + Δ"x"。  另外formula_27 and formula_28  所以,根据夹挤定理,  代入(3),可得  函数"f"在"c"处连续,所以极限可以在函数里面进行。因此,我们有 证明完毕。

  设"f"在区间["a", "b"]上连续,并设"F"为"f"的原函数。我们从以下表达式开始  设有数  使得  可得  我们加上"F"("x")及其相反数,这样等式仍成立:  以上表达式可用以下的和表示:  我们将使用均值定理。就是:  设"F"在闭区间["a", "b"]连续,在开区间("a", "b")可导,则开区间("a", "b")内一定存在"c"使得  可得  函数"F"在区间["a", "b"]可导,所以在每一个区间"x"也是可导和连续的。因此,根据均值定理,  把上式代入(1),得  根据第一部分的结论,我们有formula_41。另外,formula_42可表示为第formula_43个小区间的formula_4。  注意到我们正在描述矩形的面积(长度乘以宽度),并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到,formula_46并不需要对于任何formula_43都是相同的,换句话说,矩形的长度可以变化。我们要做的,是要用formula_48个矩形来近似代替曲线。现在,当n增加而每一个矩形越来越小时,它的面积就越来越接近曲线的真实面积。  当矩形的宽度趋近于零时取极限,便得出黎曼积分。也就是说,我们取最宽的矩形趋于零,而矩形的数目趋于无穷大时的极限。  所以,我们把(2)式的两边取极限,得  "F"("b")和"F"("a")都不依赖于||Δ||,所以左面的极限仍然是"F"("b") - "F"("a")。  右边的表达式定义了"f"从"a"到"b"的积分。这样,我们有 证明完毕。

  计算以下积分: 在这里,formula_54,formula_55是一个原函数。因此:

  我们不需要假设 "f" 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明:如果 "f" 是区间["a", "b"]内的任何一个勒贝格可积的函数,"x"是["a", "b"]内的一个数,使得 "f" 在 "x"连续,则  在"x" = "x"是可导的,且"F<nowiki>'</nowiki>"("x") = "f"("x")。我们可以把"f"的条件进一步降低,假设它仅仅是可积的。这种情况下,我们便得出结论:"F"几乎处处可导,且"F<nowiki>'</nowiki>"("x")几乎处处等于"f"("x")。这有时称为勒贝格微分定理。  定理的第一部分对于任何具有原函数"F"的勒贝格可积函数"f"都是正确的(不是所有可积的函数都有原函数)。  泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式,可以视为微积分基本定理的一个推广。  对于复数函数,也有一个类似的形式:假设"U"是C的一个开集,"f": "U" → C是一个在"U"处具有全纯原函数"F"的函数。那么对于所有曲线γ: ["a", "b"] → "U",曲线积分可以用下式来计算:  微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分,也可以推广到流形。  这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理:设 "M" 为一个可定向分段光滑"n"维流形,并设formula_59为"n"−1阶"M"上的C类紧支撑微分形式。如果∂"M"表示"M"的边界,并以"M"的方向诱导的方向为边界的方向,则  这里formula_61是外导数,它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。
微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。