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  多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数,例如多项式formula_10可以写成标准形式的幂级数: 也可以写成(formula_12): 实际上,多项式可以写成在任意"c"附近展开的幂级数。就这个意义上说,幂级数是多项式的推广。  等比级数的公式给出了对formula_14,有 以及正弦函数(对所有实数x成立):  这些幂级数都属于泰勒级数。  幂级数里不包括负的幂次。例如formula_18就不是幂级数(它是一个洛朗级数)。同样的,幂次为分数的级数也不是幂级数。系数formula_19必须是和"x"无关,比如formula_20就不是一个幂级数。

  作为级数的一种,幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数,当变量"x"在复数中变化时,幂级数可能收敛,也可能发散。作为判断的依据,有:  按照引理,使得幂级数formula_6收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆(不包括边界),称为收敛圆盘,其边界称为收敛圆。具体来说,就是:  这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数formula_28被称为幂级数的收敛半径,当属于第一种情况时,规定收敛半径为零。  按照定义,对一个幂级数formula_6,当formula_35(在收敛圆盘内)时(如果有的话),幂级数必然收敛;而当formula_31时(如果有的话),幂级数必然发散。但是如果formula_37(在收敛圆上)的话,这时幂级数的敛散性是无从判断的,只能具体分析。  根据达朗贝尔审敛法,收敛半径formula_28满足:如果幂级数formula_39满足formula_40,则:  根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式:

  形式上,幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。  两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积:  各种运算后,得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。

  对一个收敛半径为"R"的幂级数formula_47,可以证明,幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此,考虑幂级数函数  它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。

  可以证明,幂级数函数"f"在收敛区间上无穷次可导,并且可积。此外,由于幂级数函数"f"在收敛圆盘内一致收敛,可以进行逐项求导和积分,而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于formula_47的收敛半径"R"。具体形式为:

  鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究,如能将要研究的函数以幂级数形式来表示,将有助于对其性质的研究。然而,不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点"c"附近可展(可以展开为幂级数),当且仅当存在正实数"R">0,使得在复平面中以"c"为圆心以"R"为半径的圆"D"("c","R")内(不包括边界)有: 其中formula_19为确定的常数。  如果一个函数在某处可展,那么它在这点无穷可导(formula_55),并且在这点附近的展开式是唯一的。 即是在这点的泰勒展开的第"n"项的值。这时展开得到的幂级数称为函数"f"在"c"点的泰勒级数。

  对于一般的无穷可导函数formula_57,也可以写出幂级数formula_58,但即使这个幂级数收敛,其值也不一定等于formula_57。例如函数formula_57: 可以证明formula_57无穷可导,并且在0处的每阶导数都是零,因此相应的幂级数formula_65恒等于0,不等于formula_57。  函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零: formula_67,  一个更常用到的充分条件是: 如果存在正实数"r",使得formula_57在区间formula_69上无穷可导,并且存在正数"M"使得对任意的"n",任意的formula_70都有

  以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。

  局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与复解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数,并且在所有点上都可展。根据"零点孤立原理",解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中,所有的全纯函数(即复可微函数)都是无穷可微函数,并是复解析函数,这在实分析中则不然。

  在抽象代数中,幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要,敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处,例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。

  幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数:  其中"j" = ("j",..., "j")是一个系数为非负整数的向量。系数"a"通常是实数或复数。"c" = ("c",..., "c")和变量"x" = ("x",..., "x")是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中,则有
在数学中,幂级数(power series)是一类形式简单而应用广泛的函数级数,变量可以是一个或多个(见“多元幂级数”一节)。单变量的幂级数形式为: 其中的"c"和formula_3是常数。formula_3称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数,幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式,在很多方面有类似的性质,可以被看成是“无穷次的多项式”。