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  formula_4为一向量空间formula_5(附于体formula_6)的子集合。  如果存在有限多个向量属于formula_4,和对应的纯量formula_8属于formula_6,使得formula_10,则称formula_11是formula_4的线性组合。  规定:formula_13向量是空集合的线性组合。

  "S" 为域 "F" 上向量空间 "V" 的子集合。  所有 "S" 的有限线性组合构成的集合,称为 "S" 所生成的空间,记作 span(S)。  任何 "S" 所生成的空间必有以下的性质:  1. 是一个 "V" 的子空间(所以包含0向量)  2. 几何上是直的,没有弯曲(即,任两个 span(S) 上的点连线延伸,所经过的点必也在 span(S) 上)

  对于一个向量集 S ={"v"...,"v"}, 若向量空间中的单个向量可以写作两个不同的线性组合, 另一种表述方式是,如果将它们相减 (formula_15),得到一个纯量不全等于零的线性组合,而它的值为零:  那么"v"...,"v" 称为“线性相关”;否则它们为线性无关。  若"S"是线性无关,而S的生成空间等于"V",那么"S"是"V"的基。

  仿射组合,锥组合和凸组合对线性组合的系数有一定的限制。  因为这些组合的限制更加严格,所以在这些运算之下的闭合子集也更多。因此,仿射子集,凸锥,和凸集都是向量子空间的一般化形式。所有向量子空间都是仿射子空间,凸锥,也是凸集,但凸集不一定是向量子空间,仿射子空间,或凸锥。  这些概念的产生是由于对于一些特定的数学对象,人们可以采用某些线性组合,但并非任何线性组合:例如,概率分布在凸组合下是闭合的,并且它们形成一个凸集;但在锥组合,仿射组合,或线性组合下不是闭合的。正测度在锥组合下是闭合的,但在仿射或线性组合下不是。因此,我们将有符号测度定义为它的线性闭包。  线性和仿射组合可以在任何域或环上定义,但锥组合和凸组合需要“正数”的概念,因此只能在有序域或有序环上定义,最常见的例子是实数。  如果仅允许乘以标量而不允许相加,则我们得到一个(不一定是凸的)圆锥;通常来说,定义中只允许乘以正标量。  所有这些概念通常都定义为环境向量空间的子集,而不是独立地由公理定义。仿射空间除外,因为仿射空间也可以看作“没有原点的向量空间”。
线性组合(英语:Linear combination)是线性代数中具有如下形式的表达式。其中formula_1为任意类型的项,formula_2为标量。这些纯量称为线性组合的系数或权。