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  群"G"的子群"N"是正规子群,如果它在共轭变换下不变;就是说对于每个"N"中元素"n"和每个"G"中的元素"g",元素"gng"仍在"N"中。我们写为  下列条件等价于子群"N"在"G"中是正规子群。其中任何一个都可以用作定义:  注意条件(1)逻辑上弱于条件(2),条件(3)逻辑上弱于条件(4)。为此,条件(1)和条件(3)经常用来证明"N"在"G"中是正规子群,而条件(2)和(4)用来证明"N"在"G"中是正规子群的推论。

  给定一个群G,以及G的一个子群H,G的一个元素a,集合:  类似地,可以定义H关于a的右陪集:  可以证明:对于G中的两个元素a、b,formula_6。因此aH和bH只有两种关系:相等,或交集为空,即formula_7或者formula_8。  于是群G可以被分解成:  这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解:  进一步地,可以证明由formula_11所定义的关系是一个等价关系,集合中的每个等价关系都可确定一个等价类,因此每个formula_12是一个等价类。每个formula_12中含有的元素个数是相等的。  此外,群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构:  因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的,叫做H对G的指数。  对于一般的H,集合formula_15关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b,子集的积formula_16,但对于formula_17,不一定有formula_18。群G的正规子群或不变子群H使得formula_15关于子集的积是这个群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的,统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群,记作formula_20。商群的目数等于H对G的指数。
在抽象代数中,正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群,可以引导出商群的概念。