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  皮埃尔·德·费马于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数(质数)的要求。  1736年,欧拉出版了一本名为“一些与素数(质数)有关的定理的证明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”的论文集,其中第一次给出了证明。但从莱布尼茨未发表的手稿中发现他在1683年以前已经得到几乎是相同的证明。 有些数学家独立提出相关的假说(有时也被错误地称为中国的假说),当formula_6成立时,p是质数。这是费马小定理的一个特殊情况。然而,这一假说的前设是错的:例如,formula_7,而341=11×31是一个伪素数(质数)。所有的伪素数(质数)都是此假说的反例。

  如上所述,中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数(质数)的数被称为伪素数(质数)。  更极端的反例是卡迈克尔数: 假设formula_1与561互质,则formula_9被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数,561是最小的卡迈克尔数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义,但直到1910年才由卡迈克尔(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡迈克尔数:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。

  

  若n不能整除formula_10,formula_11,formula_12,则n也不能整除formula_13。取整数集formula_14为所有小于formula_2的集(formula_14构成formula_2的完全剩余系,即formula_14中不存在两个数同余formula_2),formula_20是formula_14中所有的元素乘以a组成的集合。因为formula_14中的任何两个元素之差都不能被p整除,所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。  换句话说,formula_23,考虑formula_24共formula_25个数,将它们分别除以p,余数分别为formula_26,则集合{r,r,r...,r}为集合{1,2,3...,(p-1)}的重新排列,即1,2,3...,(p-1)在余数中恰好各出现一次;这是因为对于任两个相异k*a而言(k=1,2,3...(p-1)),其差不是p的倍数(所以不会有相同余数),且任一个k*a亦不为p的倍数(所以余数不为0)。因此 即 在这里"W"=1·2·3·...·("p"-1),且(W, p) = 1,因此将整个公式除以"W"即得到:

  考虑二项式系数formula_30,n不为p或0,由于分子有质数p,但分母不含p,故分子的p能保留,不被约分而除去,即formula_31恒为p的倍数。  再考虑(b+1)的二项式展开,模p,则  因此 令b=a-1,即得formula_4。

  在抽象代数教科书中,费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子。显然只需考虑 formula_43 情形。此时模 formula_2 所有非零的余数,在同余意义下对乘法构成一个群,这个群的阶是 formula_45。考虑群中的任何一个元素 formula_46,根据拉格朗日定理,formula_46 的阶必整除群的阶。证毕。  故余数为3。

  

  费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果 formula_56,那么 这里 formula_58 是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于 formula_59 的正整数中与 formula_59 互质的数的个数。假如 formula_59 是一个素数(质数),则 formula_62,即费马小定理。  证明 上面证明费马小定理的群论方法,可以同理地证明欧拉定理。考虑所有与 formula_59 互素的数,这些数模 formula_59 的余数所构成的集合,记为 formula_65,并将群乘法定义为相乘后模 formula_59 的同余。显然 formula_65 是一个群,因为它对群乘法封闭(若 formula_56 和 formula_69 则 formula_70),含幺元(即“1”),且任何一个元素 formula_1 的逆元素也在集合中(因为若 formula_72 则由群乘法封闭性任何formula_1 的幂次都在 formula_65 中,所以 formula_75 是 formula_65 这个有限集的子集)。根据定义, formula_65 的阶是 formula_58,于是根据拉格朗日定理, formula_65 中任何一个元素的阶必整除 formula_58。证毕。

  卡迈克尔函数比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。

  formula_82  除式:formula_83  余式:formula_84  n=0时为除式,用数学归纳法证明余式。  formula_86  formula_87

  »> n =221 »>a = 38 »>pow(a,n -1,n) 1  """221 may be a prime number."""  import random def isprime(n,k=128):
费马小定理是数论中的一个定理:假如formula_1是一个整数,formula_2是一个质数,那么formula_3是p的倍数,可以表示为