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  考虑常系数的线性齐次微分方程  假设,而指数函数的导数是本身的倍数,,,。因此上式中的每一项都会是的倍数。若为特定值,可以让的倍数变为0,这样即可求解齐次微分方程。为了求解,可以将及其导数替换到微分方程中,可以得到 因为不会为零,因此其系数必须为零,可以得到以下的特征方程序 求解特征方程序中的,可以求得微分方程的通解。例如,若为3,其通解为,其中为积分常数。

  找到特征方程序的根,就可以找到微分方程的通解。特征方程序的根可能是实数或复数,可能都是不同的值,也可能会有相同的值(重根)。若特征方程序的根有相异的实根,另外有个重根,或是个复数的根,其解分别为, 及,因此通解为

  以下是常系数的线性齐次微分方程 其特征方程为 将特征方程因式分解,可得到 可以看到的解有一个单根,以及重根的复数根,因此其通解为 其中有常数。

  根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理,若是特定微分方程的个线性无关的解,则也是其解,其中为任意常数。因此,若特征方程有相异实根,则通解为

  若特征方程序中有重复次的根,可以确定会是微分方程的解,不过这个解没有针对其他的根提供线性独立的解。因为为次重根,可以将微分方程改写为 因为为其中的一个解,因此可以令通解为以下的形式,其中 是待确认的函数。将代入后可得 其中。上述的式子应用次,可以得到 除以后可得 上述式子当且仅当是次的多项式,因此.。因为,因此通解中对应的解会是

  若二阶微分方程有共轭复数根及,其对应的通解为。利用欧拉公式(),可以将通解改写如下: 其中和是系数,不过可能不是实数,而且随初始条件而不同(因为是实数,需要是虚数或是零,为实数,为了要让等号右边为实数)  例如,若,可以得到特解,另外,若及,可以得到另一个独立的解。利用重叠原则,有复根的常系数线性齐次微分方程,其通解如下:  上述的分析也可以应用在高阶微分方程,其特征方程序中也可能有非实数的共轭根。
特征方程序(characteristic equation)或辅助方程序(auxiliary equation)为数学名词,是对应阶微分方程或线性差分方程的多项式的次数代数方程序。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程序。考虑一微分方程,其因变量为,为常数 其特征方程序如下 根据其解可以产生微分方程的通解。而一个线性差分方程