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  最早的根号“√”源于字母「L」的变形(出自拉丁语latus的首字母,表示“边长”),没有线括号(即被开方数上的横线),后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的,因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而,形成了我们现在所熟悉的开方运算符号formula_8。  由于在计算机中的输入问题,我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

  带有根号的运算由如下公式给出:  这里的"a"和"b"是正数。  对于所有的非零复数formula_2,有"n"个不同的复数formula_1使得formula_4,所以符号formula_9不能无歧义的使用(通常这样写是取formula_3个值当中主幅角最小的)。"n"次单位根是特别重要的。  当一个数从根号形式被变换到幂形式,幂的规则仍适用(即使对分数幂),也就是  例如:  若要做加法或减法,应当注意下列概念是重要的。  若已可以简化根式表达式,则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。  例如

  经常简单的留着数的"n"次方根不解(就是留着根号)。这些未解的表达式叫做“不尽根数”(surd),它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。  如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

  方根可以表示为无穷级数:

  任何数的所有的根,实数或复数的,可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式formula_44(参见欧拉公式)。接着所有的"n"次方根给出为: 对于formula_46,这里的formula_9表示formula_2的主formula_3次方根。

  所有formula_50或formula_2的formula_3次方根,这里的"formula_2"是正实数,的复数解由如下简单等式给出:  对于formula_46,这里的formula_9表示"formula_2"的主"formula_3"次方根。

  曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达;但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如,方程 的解不能用根号表达。  要解任何"n"次方程,参见根发现算法。

  对于正数formula_60,可以通过以下算法求得formula_61的值:

  求formula_61之值,亦即求方程formula_69的根。  设formula_70,其导函数即formula_71。  以牛顿法作迭代,便得

  设formula_76为迭代值,formula_77为误差值。  令formula_78(*),作牛顿二项式展开,取首两项:formula_79  调项得formula_80  将以上结果代回(*),得递归公式formula_81
在数学中,若一个数formula_1为数formula_2的formula_3次方根,则formula_4。当提及实数formula_2的formula_3次方根的时候,假定想要的是这个数的主formula_3次方根,那么它就可以用根号(formula_8)表示成formula_9。例如:1024的主10次方根为2,就可以记作formula_10。当formula_11时,则formula_3可以省略。定义实数formula_2的主formula_3次方根为formula_2的formula_3次方根,且具有与formula_2相同的正负号的唯一实数formula_1。如果formula_3是偶数,那么负数将没有主formula_3次方根。习惯上,将2次方根叫做平方根,将3次方根叫做立方根。