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  人们知道,区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。  我们想构造一个映射,它能将实数集的子集 映射到非负实数,并称这个数为集合 的测度。最理想的情况下, 应该具有以下性质:  遗憾的是,这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次,寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度,它只满足可数可加性。

  区间formula_2的长度定义为formula_3。对formula_4,勒贝格外测度定义为  对每一列能覆盖formula_5的开区间formula_6,作长度和formula_7。所有这些formula_8组成一个有下界的数集,下确界称为勒贝格外测度,记做formula_9。  勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上  formula_10  对勒贝格可测集,其勒贝格测度就等于勒贝格外测度。  不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的,这样的集合确实存在,故勒贝格σ代数严格包含于formula_11的幂集。

  设集合 与 是在 上的集合。勒贝格测度有如下的性质:  简要地说,formula_18的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数,且 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足formula_36 的测度。  勒贝格测度是σ-有限测度。

  formula_18的子集 "A" 是零测集,如果对于任意formula_23,"A" 都可以用可数多个盒(即 "n" 个区间的乘积)来覆盖,且其总体积最多为formula_39。所有可数集都是零测集。  如果formula_18的子集的豪斯多夫维数小于formula_41,那么它是关于"formula_41"维勒贝格测度的零测集。在这里,豪斯多夫维数是相对于formula_18上的欧几里得度量(或任何与其利普希茨等价的度量)而言。另一方面,一个集合可能拓扑维数小于formula_41,但具有正的formula_41维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集,它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。  为了证明某个集合"A"是勒贝格可测的,我们通常尝试寻找一个“较好”的集合"B",与"A" 的对称差是零测集,然后证明"B"可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

  勒贝格测度的现代构造基于外测度,并应用卡拉西奥多里扩张定理。  固定formula_46formula_47中的盒子是形如formula_48的集合,其中formula_49,连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为formula_50  对于formula_18的任何子集"A",可以定义它的外测度formula_52  然后定义集合"A"为勒贝格可测的,如果对于所有集合formula_55,都有:  这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合"A," 其勒贝格测度定义为formula_57  勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理,存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果"A"是formula_47的子集,且其测度为正,那么"A"便有勒贝格不可测的子集。  1970年,Robert M. Solovay证明了,在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中,勒贝格不可测集的存在性是不可证的(见Solovay模型)。

  若 "A" 博雷尔可测,则其博雷尔测度与勒贝格测度一致;然而,更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的,但不是完备的。  哈尔测度可以定义在任何局部紧群上,是勒贝格测度的一个推广(带有加法的formula_18是一个局部紧群)。  豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广,对于测量formula_18的维数比"n"低的子集是很有用的,例如R3上的曲线、曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。  可以证明,无法在无穷维空间上定义类似的勒贝格测度。
在测度论中,勒贝格测度(Lebesgue measure)是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1,2,3的情况,勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析,特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集;勒贝格可测集 的测度记作 。一般来说,我们允许一个集合的勒贝格测度为,但是即使如此,在假设选择公理成立时, 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题,它是选择公理的一个结果。