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  对任意实数formula_7,定义formula_8,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界和下确界:这是一个完备格。全序关系在formula_6上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合formula_10是formula_2的邻域,当且仅当它包含集合formula_12,这里formula_7是某个实数。formula_3的邻域类似。formula_6是个紧致的豪斯多夫空间,与单位区间formula_16同胚。  formula_1上的算术运算可以部分地扩展到formula_6,如下:  通常不定义formula_20。同时formula_21也不定义为formula_2(因为这样忽视了formula_3),这些规则是根据无穷极限的性质确定的。  注意在这些定义下,formula_6不是域,也不是环。

  经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质: 通常只要表达式都有定义,所有算术性质在formula_6上都成立。  使用极限,一些函数可以自然地扩展到formula_6。例如可以定义formula_46等。
扩展实数线又称广义实数,(英语:extended real number),由实数线 formula_1加上formula_2 和 formula_3 得到(注意 formula_2 和 formula_3 并不是实数),写作 formula_6、 或 。在不会混淆时,符号 常简写成 。扩展的实数线在研究数学分析,特别是积分时非常有用。