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  两个向量 formula_2 和 formula_3 的叉积仅在三维空间中有定义,写作 formula_4。在物理学中,叉积有时也被写成formula_12,但在数学中 formula_12 是外代数中的外积。  叉积 formula_4 是与 formula_2 和 formula_3 都垂直的向量 formula_17。其方向由右手定则决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。  叉积可以定义为:  其中 formula_19 表示 formula_2 和 formula_3 在它们所定义的平面上的夹角(formula_22)。formula_23 和 formula_24 是向量 formula_2 和 formula_3 的模长,而 formula_27 则是一个与 formula_2、formula_3 所构成的平面垂直的单位向量,方向由右手定则决定。根据上述公式,当 formula_2 与 formula_3 平行(即 formula_19 为 0° 或 180°)时,它们的叉积为零向量 formula_33。  按照惯例,向量 formula_27 的方向由右手定则决定:将右手食指指向 formula_2 的方向、中指指向 formula_3 的方向,则此时拇指的方向即为 formula_27 的方向。使用这一定则意味着叉积满足反交换律,formula_38:将右手食指指向 formula_3、中指指向 formula_2,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了叉积的符号。  由此可以看出,使用叉积需要考虑坐标系的利手性(英语:Handedness),如果使用的是左手坐标系,向量 formula_27 的方向需要使用左手定则决定,与右手坐标系中的方向相反。  这样就会带来一个问题:参照系的变换不应该影响 formula_27 的方向(例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换)。因此,两个向量的叉积并不是(真)向量,而是伪向量。

  

  右手坐标系中,基向量 formula_43、formula_44、formula_45 满足以下等式:  根据反交换律可以得出:  根据叉积的定义可以得出:  根据以上等式,结合叉积的分配律和线性关系,就可以确定任意向量的叉积。  向量 formula_49 和 formula_50 可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和:  两者的叉积 formula_52 可以根据分配律展开:  即把 formula_52 分解为九个仅涉及 formula_43、formula_44、formula_45 的简单叉积之和。九个叉积各自所涉及的向量,要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中,然后合并同类项,可以得到:  即结果向量 formula_59 的三个标量元素为:  也可以记作列向量的形式:

  叉积可以表达为这样的行列式:  这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为:  使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为: 都可以直接得到结果向量。

  

  对于任意三个向量 formula_2、formula_3、formula_17,  一般来说,向量叉积不遵守约简律,即 formula_77 不表示 formula_78。此外,formula_79 不表示 formula_80 或 formula_81。  但对于两个非零向量 formula_2 和 formula_3,

  如果以向量 formula_2 和 formula_3 为边构成一个平行四边形,那么这两个向量叉积的模长与这个平行四边形的正面积相等(如图1):  同时,如果以向量 formula_2、formula_3、formula_17 为棱构成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积 formula_93 也可以通过叉积和点积的组合得到,这种积称作标量三重积(如图2):  因为标量三重积可能为负,平行六面体的体积需要取其绝对值:  因为叉积的模长与其参数夹角的正弦有关,可以认为叉积是「垂直度」的度量,正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量,叉积为1意味着它们互相垂直,叉积为0意味着它们互相平行。点积则相反:点积为0意味着它们互相垂直。  单位向量还能带来两个特性:两个单位向量的点积是它们夹角的余弦(可正可负);它们叉积的模长则为夹角的正弦(始终为正)。

  对于实数 formula_96 和两个向量值函数 formula_97、formula_98,乘积法则成立:

  给定直角坐标系的单位向量formula_43,formula_44,formula_45满足下列等式:  通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设  则  叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 formula_43、formula_44、formula_45 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量["a", "a", "a"]表示成四元数"a""i" + "a""j" + "a""k",两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

  七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。  七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

  另外,在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。
在数学和向量代数领域,叉积(英语:Cross product)又称向量积(英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 formula_1。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 formula_2 和 formula_3,它们的叉积写作 formula_4,是 formula_2 和 formula_3 所在平面的法线向量,与 formula_2 和 formula_3 都垂直。叉积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。