Can you summarize the following document?
        
  

  我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法,将问题表示成在一个希尔伯特空间formula_1上的弱形式,也就是,求解formula_2使得对于所有formula_3  成立。这里,formula_5是一个双线性型表达式,即formula_6,formula_7是一个formula_1上的线性形表达式。

  选取一个"n" 维子空间formula_9,然后求解问题在子空间中的投影:求formula_10使得对于所有formula_11  我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变,但是求解域改变了。

  这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为formula_9,我们可以取formula_14为原方程的一个试矢量。带入并相减,便得到误差的伽辽金正交性关系  这里formula_16是真实解formula_17和伽辽金方程的解formula_18之间的误差。

  因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组,我们来构造它的矩阵形式,以便利用计算机进行数值求解。  令formula_19为formula_20空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是"充分的",也即:求解formula_21使得  用上述基矢量表示出formula_23:formula_24,将其代入上面的方程得到  这样我们就得到了上面这组formula_26型的线性方程组,式中

  由于矩阵项的定义,伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式formula_5是对称的。

  这里,我们只讨论对称双线性型,也即 虽然伽辽金方法并不要求一定对称,但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且,非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫-伽辽金方法。  下面我们分两步分析上述方法。第一步,论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的,因此存在唯一解。第二步,讨论伽辽金解formula_23的误差大小。  分析过程主要依据双线性型的两个性质: 根据Lax-Milgram定理(参看弱形式),这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数(这些范数通常称为能量范数)。

  因为formula_9,双线性型的有界性和椭圆性对于formula_20也成立。因此,伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。

  真实解和伽辽金解之间的误差formula_16有如下估计  上式翻译成文字语言就是:伽辽金解formula_23的误差(和真实解formula_17的差)能控制在formula_41中最优解矢量的误差的formula_42倍以下(在量级上)。特别有用的是,从此对误差的估计可以只在空间formula_20中进行考虑,而完全不用回到求解的方程。

  因为证明非常简单,并且是各种伽辽金法的基本原理依据,因此简单介绍如下: 根据双线性型的椭圆性和有界性(下式中的两个不等号),以及伽辽金法的正交性(下式中间的等号),我们对于任意formula_11有:  全式除以formula_46并对所有可能的formula_47取下确界得到该引理。

  通常,伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。 因此,读者可以参考有限元方法的教科书。  譬如  在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到:
伽辽金方法(Galerkin method)是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题(通过方程所对应泛函的变分原理)简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维(多变量)的线性方程组又可以通过线性代数方法简化,从而达到求解微分方程的目的。