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  在 线性代数和其他数学相关领域, 一个线性子空间 (或 向量子空间) U是给定域formula_1向量空间 V的一个 子集,并且它还是V的加法子群,同时,在纯量乘下回到自身,那么,V上运算在U上的限制导出U的向量空间结构,我们把U称为V上的向量(或线性)子空间。

  设 "V" 是在域 "K" 上的向量空间,并设 "W" 是 "V" 的子集。则 "W" 是个子空间,当且仅当它满足下列三个条件:

  例子 I: 设域 "K" 是实数的集合 R,并设向量空间 "V" 是欧几里得空间 R。 取 "W" 为最后的分量是 0 的 "V" 中所有向量的集合。则 "W" 是 "V" 的子空间。  "证明:"  例子 II: 设域是 R,设向量空间是欧几里得几何 R。取 "W" 为 R 的使得 "x" = "y" 的所有点 ("x","y") 的集合。则 "W" 是 R 的子空间。  "证明:"  一般的说,欧几里得空间 R 的定义自齐次线性方程的任何子集都生成子空间。在几何上说,这些子空间是穿过点0 的一些点、直线、平面。

  给定向量空间 "V"的子空间 "U" 和 "W",则它们的交集 "U" ∩ "W" := {v∈"V": v ∈ "U" 且 v ∈ "W"} 也是 "V" 的子空间。  "证明:"  进一步的,和 是一个 "V" 的子空间。"U" ∩ "W" 和 "U" + "W" 的维度满足
线性子空间(或向量子空间)在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。