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  李群是光滑可微流形,因而可以用微分学来研究,这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象,也即群本身,而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”,而后来以“李代数”为人熟知。  李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为,可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如,欧氏几何对应于欧式空间R中保距变换构成的欧几里得群E(3);共形几何对应于把群扩大到共形群;而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念,其中"G"是流形"局部"对称性形成的李群。  李群(以及与之关联的李代数)在现代物理学中起到了重要作用,并通常扮演了物理系统中的对称性。这里,李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)(或其双覆盖特殊酉群SU(2)),特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。

  实李群是一个满足下列条件的群:它也是一个有限维实光滑流形,其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性  意味着"formula_5"是一个从积流形"formula_6"到"formula_1"的光滑映射。这两个条件可以合并成一条,即映射  是一个从积流形"formula_6"到"formula_1"的光滑映射。

  现在我们给出一个群的例子,它拥有不可数的元素,并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群:  其中formula_23是一个"固定的"无理数。这是一个环面 formula_24 的子群,它在子空间拓扑下不是李群。 比如说,如果我们取formula_25中的一个点formula_26的任意小邻域formula_27,那么formula_25在 formula_27中的部分是不连通的。群formula_25在环面上反复缠绕,形成了一个formula_24的稠密子群。 另一方面,我们可以给群formula_25指定另一个拓扑,使得两点formula_33之间的距离被定义为"群H中"连结 formula_34和formula_35的最短路径长度。在这个拓扑下,formula_25通过其元素中对应的formula_37与实直线同胚。在这种拓扑下,formula_25仅仅是加法意义下的实数群,因此也是李群。  群formula_25是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

  用表示复数域上的可逆矩阵。的任何闭子群也是一个李群;这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现,一些教科书把注意力限制在这类李群上,包括Hall以及 Rossmann等,这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例: 以上列举的群均为经典群。

  与实李群相对应,复李群是在复流形上定义的(例如)。类似地,使用一种Q的度量完备化我们可以在 "p"-进数上定义"p"-进数李群,一种满足每个点都有一个"p"-进数邻域的拓扑群。

  李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群(大部分情况下)是由矩阵构成的群(例如正交群和辛群),而这些也是李群最常见的例子。

  一维情况下唯二的连通李群是实直线formula_44 (其群操作为加法)和由绝对值为1的复数组成的圆群 formula_45 (其群操作为乘法)。 formula_45也常被记作formula_47,即formula_48酉群。

  在二维情况下,如果我们只考虑简单连通群,那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类,那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是formula_49(其群操作为向量加法)以及一维仿射群(在前面的小节"初步的样例"中有介绍)。

  部分书籍在定义李群时假设了解析性,本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑(简记为formula_50)流形,并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强,实则两者等价:  定理.任意formula_50李群上具有唯一的实解析流形结构,使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

  formula_52均为李群,二者之间的一个同态:formula_53为群同态并且是解析映射(事实上,可以证明这里解析的条件只需满足连续即可)。显然,两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射,这个双射及其逆射均为同态,就称之为同构。

  李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状;借助指数映射或源自李代数的叶状结构,可以将李代数的性质提升到李群的层次。  设formula_1为李群,其李代数formula_55定义为formula_1在单位元的切空间。formula_55自然具备了矢量空间结构,formula_55上的李括积formula_59定义如下:  不难验证formula_69满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质,例如:连通李群formula_1是交换群当且仅当formula_55是交换李代数。  李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义,或者取定局部坐标,用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。

  若formula_1是李群,formula_73是其子群,并带有李群结构,使得包含映射formula_74为浸入(不一定是闭的),则可得到子李代数formula_75。反之,任意子李代数formula_76透过左平移定义了formula_1上的叶状结构,取含单位元的极大积分流形,便得到满足前述条件的子群formula_73。此子群未必是闭子群,它可能是formula_1的稠密子集(考虑环面的例子)。  李代数的映射formula_80未必能提升至李群的映射formula_81,但可提升至映射formula_82,其中formula_83是formula_84的万有覆叠空间。

  对于任意矢量formula_85,根据常微分方程序的基本理论,存在formula_1中的单参数子群formula_87使得formula_88。由此得到的映射 称为指数映射。它总是解析映射。  若formula_1为formula_92的子群,则formula_93,这是指数映射一词的缘由。  当formula_1连通且非交换时,指数映射formula_95并非同态;局部上,formula_96可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。

  在任意体、环乃至于概形上,都可以定义群概形;这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义,然而李群未必是代数簇。  另一方面,若域formula_97对某个绝对值是完备域,其特征为零,则可照搬解析李群的定义以定义体formula_97上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是formula_99;至于数论方面,特别涉及自守表示的研究上,则须用到formula_97为p进数体的情形。
李群(英语:Lie group,)是一个数学概念,指具有群结构的光滑微分流形,其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏,以其为连续变换群奠定基础。1893年,法文名词"groupes de Lie"首次出现在李的学生Arthur Tresse的论文第三页中。