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  历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀,而是17世纪初的法国数学家。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》("Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres")第二版中给出了问题的描述和证明。  然而,裴蜀推广了梅齐里亚克的结论,特别是探讨了多项式中的裴蜀等式,并给出了相应的定理和证明。

  对任意两个整数formula_1、formula_2,设formula_10是它们的最大公约数。那么关于未知数formula_4和formula_5的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):  有整数解formula_27 当且仅当"formula_3"是formula_10的整数倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。  formula_30时,方程有解当且仅当formula_1、formula_2互质。方程有解时,解的集合是  所有解中,恰有二解("x","y") 满足formula_36及formula_37,等号只会在formula_1及formula_2其中一个是另一个的倍数时成立。辗转相除法给出的解会是这两解中的一个。

  裴蜀方程formula_40 没有整数解,因为504和651的最大公约数是21。而方程formula_41是有解的。为了求出通解,可以先约掉公约数21,这样得到方程: 通过扩展欧几里得算法可以得到一组解formula_43:formula_44。  于是通解为:formula_45,即

  设formula_47为formula_48个整数,formula_10是它们的最大公约数,那么存在整数formula_50 使得 formula_51。特别来说,如果formula_47互质(不是两两互质),那么存在整数formula_50 使得 formula_54。

  formula_56为域时,对于多项式环formula_55里的多项式,裴蜀定理也成立。设有一族formula_58里的多项式formula_59。设formula_60为它们的最大公约式(首项系数为1且次数最高者),那么存在多项式formula_61使得formula_62。特别来说,如果formula_59互质(不是两两互质),那么存在多项式formula_61使得formula_65。  对于两个多项式的情况,与整数时一样可以得到通解。

  裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环formula_66是主理想环,formula_1和formula_2为环中元素,formula_10是它们的一个最大公约元,那么存在环中元素formula_4和formula_5使得: formula_72  这是因为在主理想环中,formula_1和formula_2的最大公约元被定义为理想formula_75的生成元。
在数论中,裴蜀等式(英语:Bézout's identity)或贝祖定理(英语:Bézout's lemma)是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数formula_1、formula_2和formula_3,关于未知数formula_4和formula_5的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):