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  函数 formula_5 是函数 formula_6 的一个反导函数,但实际上 formula_7 的反导函数有无穷多个。与formula_8 相差一个常数的函数都是 formula_7 的反导函数,这是因为常数函数的导数为零,例如:formula_10 都为函数 formula_11 的反导函数。函数族 formula_12 是 formula_13 的所有可能的反导函数的集合,其中 formula_14 叫做积分常数。从图像上来看,这是 formula_15 向上或向下平移后得到的一组函数,由定义可知它们在 formula_16 轴同一点的斜率都是一样的。

  反导函数存在定理:若函数f(x)在区间上连续,则f(x)在区间上存在反导函数。

  不定积分的一个重要应用是计算定积分,微积分基本定理建立了两者间的关系。  微积分基本定理:如果函数 formula_17是闭区间 formula_18 上的连续函数,formula_19 是 formula_1 在 formula_21 上的一个反导函数,那么有  证明:取区间formula_23的一个分割:formula_24,又设formula_25,根据均值定理有 formula_26, 使得  所以  formula_1 在闭区间 formula_23 上连续,故黎曼可积,让 formula_31 于是当 formula_32,也就是分割越来越细时有 <br>  于是有  formula_17 的每个反导函数都可以叫做 formula_1 的不定积分,简写作formula_38,因为在计算定积分时,积分常数在相减时消掉了。如果 formula_19 定义在几个不同的区间上,那么每个区间上的积分常数可以互不相同。例如  就是函数 formula_41 的不定积分的一般形式。其定义域为 formula_42。

  什么样的函数具有反导函数是微积分基本定理中的基本问题。首先,每个连续函数都有反导函数,并且由上面可知,任一函数的反导函数如果存在的话会有无限多个。其次,由微分基本性质可知,对于一个有反导函数的函数,其反导函数在某点取某特定值的只有一个。要证明存在性,假设函数 formula_1 的反导函数在 formula_44 点为零,则它可以表示为如下的由积分定义的函数: 且formula_46。  下面给出这函数是 formula_1 的反导函数的证明:  证明:  进一步可知:formula_1 的反导函数中在点 formula_57上取值为 formula_58 的只有一个,就是formula_59。  这也可以看作是微积分基本定理另一个表达形式。  不连续的函数也可以有反导函数,例如考虑函数formula_60:  这个函数在0上不连续,但可以验证函数:formula_64(formula_61时),formula_66 是 formula_67 的反导函数。  许多看似很“简单”的函数的反导函数是无法用初等函数(指数函数、对数函数、代数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限次加减乘除开根号组合)来表达的(但它们一样存在!),比如说如下几个不定积分: 它们的积分分别为:  其中erf函数为误差函数,Si函数为三角积分,Li函数为对数积分。  关于什么时候反导函数可以用初等函数表达,可参见刘维尔定理。

  求初等函数的不定积分比求它们的导数要困难得多。如上面所看到的,有些初等函数的反导函数无法用初等函数来表达。以下是求不定积分的一些技巧。

  微积分基本定理要求 formula_1 为连续函数,但是,对于不连续的函数,我们仍然可以考虑求不定积分。对于什么函数有反导函数,现在仍存在着未解决的问题。如今已知的结论有:
在微积分中,函数 formula_1 的不定积分(或称反导函数或原函数),是一个可微函数 formula_2 且其微分等于原来的函数 formula_1,即 formula_4。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理联系起来。 透过微积分基本定理,函数的定积分的计算就可以简单地通过求不定积分来进行。