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  如果存在从formula_1到自然数集合formula_2存在单射函数,则"formula_1"称为可数集。  如果"formula_1"还是满射,则同样是双射,则称formula_1是无限可数集。  换句话说,一个集合要想是无限可数集,它要和自然数集formula_6有一一对应关系。  如上所述,这个术语不普遍:一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”,并没有包括有限集。

  由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的,因为我们可以将所有的formula_7都对应到formula_8,如此就完成了一一对应。类似地,不难证明所有整数构成的集合formula_9、所有有理数构成的集合formula_10、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。  并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合formula_11是不可列的,即formula_11与formula_13之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数,因为刚才已经说过代数数是可列的;于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。

  由定义,如果存在从"formula_1"到自然数集合formula_15存在单射函数formula_16,则"formula_1"称为可数集。  这似乎自然地把集合划分为不同类别:把所有包含一个元素的集合放在一起;包含两个元素的集合在一起...最后,把所有无限集合放在一起,并认为它们具有相同的大小。然而,在大小的自然定义下,这种观点是不确切的。  为了阐述这一点,我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深,但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念:  由于formula_19的每个元素都可以和formula_20中"准确的一个"配对,"并且"反过来也同样,这就定义了一个双射。  我们将这个情境一般化,定义当且仅当它们之间存在双射,两个集合的大小相同。对于有限集,这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢?  考虑集合formula_21(正整数集),和formula_22(正偶数集)。我们说,在我们的定义下,这些集合有相同的大小,并且因此"B"是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的,运用formula_23,那么  正如前面的例子,formula_25的每个元素都已和formula_26中"准确的一个"配对,"并且"反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子,这种情形在有限集中是不可能的。  同样,自然数的有序对的集合是无限可数集,可以沿着图中的一种路径:配对结果就像这样:  显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。  自然数集合的笛卡尔积 formula_28是可数的,这是因为可以定义一个从自然数集合的笛卡尔积 formula_28到自然数集合formula_6的单射函数formula_31之故;而利用数学归纳法,可知在n是个有限的自然数时,自然数集合的n-元笛卡尔积 formula_32是可数的。另外,可数无限多个可数集的联集是可数的,这是因为可以定义一个单射函数,将可数无限多个可数集的联集给映至自然数集合的笛卡尔积 formula_28之故。  不过可数无限多个自然数集合的笛卡尔积不是可数的,这可以透过康托的对角论证法证明。
在数学上,可数集,或称可列集,是与自然数集的某个子集具有相同基数(等势)的集合。在这个意义下,可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素,正如其名,是“可以计数”的:尽管计数有可能永远无法终止,集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。