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  表示理论早期是藉矩阵的语言描述的,具体定义如下:  形式地说,一个群formula_1的表示乃一同态 formula_2,其中formula_3为给定的有限维向量空间,系数布于一个域formula_4,通常取formula_5,但在一般域(如局部域或有限域)上的表示也有重要应用。formula_6表从formula_3上的自同构,或对一给定的基底来说,是formula_8阶可逆方阵的集合。若formula_9是平凡的,则称此表现是忠实的。  若所考虑的群formula_1带有额外的结构(如拓扑群、李群或群概形),我们通常要求formula_11满足相应的条件(如连续性、可微性或者要求它是概形间的态射);在有限群及紧致群以外的情况,通常也须考虑无穷维表示。  一个群formula_1的所有有限维表示构成一个张量范畴,记为formula_13;其态射定义如下:  formula_14  它等价于有限维formula_15-模所构成的范畴。不难验证表示间的同构确由矩阵的相似变换给出。一个表示被称作不可约的,当且仅当它没有在formula_1的作用下不变的非平凡子空间。若一个表示能表成不可约表示的直和,则称之为完全可约的。若取formula_17,则紧致群的表示均为完全可约的,对于一般的李群及群概形则复杂得多,完全可约与否通常与半单性有关。

  给定formula_1的一个表示,可以得到一个特征标formula_19,它是个类函数。特征标理论在有限群分类中占关键地位;在紧致群上,特征标满足舒尔正交关系,又根据彼得-外尔定理,不可约表现的特征标相对于 formula_20 范数在类函数中稠密。请参见特征标理论。

  设formula_21为formula_1之子群,formula_23。以下将定义两个函子formula_24(限制)与formula_25(诱导)。  诱导表示亦可用矩阵直接计算,或定义为某个主齐性空间的截面;后者可推广至李群与群概形的表示,此时诱导表示的性状与formula_34的几何构造密切相关。  弗罗贝尼乌斯互反定理言明:若formula_35分别为formula_36的表示,则有自然的同构formula_37。换言之:formula_38为一对伴随函子。  若以特征标表之,上述同构化为一个较弱但较具体的等式:formula_39。

  迄今已知的物理定律通常在某个李群的作用下保持不变,如空间的旋转群formula_47或其覆盖formula_48,其不可约表示关系到角动量的量子化。进一步的例子是:任何与狭义相对论相容的量子力学系统都带有formula_49(半直积)的酉表示,其中formula_50是时空的平移而formula_21是 劳仑兹变换群,借着研究formula_1的不可约酉表示,可分类粒子的质量和自旋。
在群论中,群表示论(group representation theory)是一个非常重要的理论。它包含了(局部)紧致群、李群、李代数及群概形的表示等种种分支,近来无限维表示理论也渐露头角。表示理论在量子物理与数学的各领域中均有重要应用。