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  公元1802年8月5日,阿贝尔生于挪威的内兹特兰,是家中的次子。出生时,阿贝尔家住在芬岛的一间神父寓所,有资料显示,公元1802年七八月,其父母作客于内兹特兰一位执达吏,而他出生于芬岛附近的教区。  阿贝尔家族原先居住在什列斯威,在十七世纪才搬迁至挪威。阿贝尔的父亲索伦·格奥尔格·阿贝尔、祖父汉斯·马蒂亚斯·阿贝尔都是牧师。汉斯·马蒂亚斯·阿贝尔服务于芬岛附近的里瑟尔,过世于1804年。索伦·格奥尔格·阿贝尔成长于耶尔斯塔,并于芬岛取得神学与哲学学位,之后服务于芬岛,直到1804年汉斯·马蒂亚斯·阿贝尔过世,他被指派为里瑟尔的牧师,才举家搬迁回耶尔斯塔。  其外祖父尼尔斯·亨利克·萨克席尔是富商并拥有专用商船,据传当时是里瑟尔首富,在生阿贝尔母亲安妮·玛丽·西蒙荪之后又取两任太太,故安妮·玛丽·西蒙荪成长于相当富有的家庭,并由两位继母照顾,青年时则由父亲、叔叔们担任老师以手写书教导学业。有趣的是,它的数学课本的加法表上写着: 1+0=0。

  挪威于1814年独立,同年举行选举,索伦·格奥尔格·阿贝尔被选为挪威议会的议员。而议会开会地点选在于奥斯陆主教堂学校的大厅,于是索伦·格奥尔格·阿贝尔打算将长子汉斯·马蒂亚斯送入该校就读,但因汉斯不愿离开父母,故改由尼尔斯·阿贝尔入学。  1815年,十三岁的尼尔斯·阿贝尔正式入学,隔年,汉斯也被送来了,并与阿贝尔同班、同寝室。起初,汉斯成绩较优,直到1818年,新的数学老师Bernt Michael Holmboe改变了阿贝尔的一生。在批阅学生的回家作业中,他发觉阿贝尔的数学天分无与伦比,不但鼓励阿贝尔继续研读高等数学,并于课后免费指导阿贝尔。  1818年,索伦‧阿贝尔与神学家Stener Johannes Stenersen展开一场关于Stenersen于1806年著作的教义问答的神学争论,并且被媒体广泛报导。于是,索伦赢得了一个称号-阿贝尔辩论(挪威文: Abel Spandabel)。尼尔斯‧阿贝尔对此表示:「这真是天大的庆典」。同时,索伦‧阿贝尔又因侮辱挪威制宪大会主持人卡斯滕·安克而遭到弹劾。于是,1818年九月索伦结束其政治生涯并搬回耶尔斯塔,两年后,他死于饮酒过量,享年48岁。  1821年,阿贝尔进入奥斯陆大学就读时,就已是在挪威小有名气的数学家。而由于经济能力不佳,Bernt Michael Holmboe提供他奖学金并向朋友募款筹钱资助他。但阿贝尔此时已熟读学校图书馆最新的数学文献,老师难以提供知识给他。此时,阿贝尔开始研究困扰数学家两百五十年的问题—一元五次方程序求根公式解。并且将证明寄到北欧当时数学相对成熟的克里斯钦自由城,审查的瑟伦·拉斯穆森教授与克里斯托弗‧汉斯坦教授无法找出错误,但半信半疑,于是转寄到哥本哈根给北欧数学第一把交椅—费迪南德‧戴根。他也找不出任何错误,但不相信一个远在克里斯钦自由城的学生有能力解决此击倒无数杰出数学家的难题,戴根在回信中要求阿贝尔给予几个范例解释其证明,并加注:阿贝尔如此聪明的头脑不应浪费在此「无缝」的难题,并建议阿贝尔钻研椭圆函数及超越数等新兴的领域,戴根并写道:「你会找到通往广阔的分析学海洋的麦哲伦海峡。」  阿贝尔在计算范例时,发现了其证明的严重错误。1822年,阿贝尔从奥斯陆大学毕业,其在校表现平平,但数学方面十分突出。

  大学毕业之后,奥斯陆大学教授仍然给予阿贝尔经济援助,克里斯托弗·荷斯坦教授甚至让阿贝尔住在他家的阁楼,阿贝尔因此视荷斯坦夫人他第二个母亲。此时期,阿贝尔帮助弟弟皮德通过挪威的国家艺术考试,也帮妹妹伊沙贝斯在城里找到工作。  1823年初,阿贝尔第一篇文章发表在挪威最早创始的期刊"自然科学期刊",正好荷斯坦教授也是该期刊的创始人之一。阿贝尔接着在自然科学期刊发表几篇文章,但期刊的编辑逐渐认为阿贝尔的文章过于艰涩,与该期刊传播科学于大众的导向相左。同年,阿贝尔以法文写成论文"积分所有微分公式的可能性的广义表征"(挪威文: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler)。他向哥廷根大学申请资金以发表该论文,但文章在审查的过程中不慎遗失,往后也没被找到。  1823年中,拉斯穆森(Rasmussen)教授提供阿贝尔 100 挪威泰勒的奖学金去哥本哈根拜访戴根及其他优秀数学家。在哥本哈根,阿贝尔对费马最后定理做了些研究,阿贝尔叔叔Peder Mandrup Tuxen当时住在位于哥本哈根的军港克里斯蒂安,阿贝尔在这段时间认识他的未婚妻坎普·克里斯汀。  1824年,克里斯汀搬到挪威的索恩镇,该年的圣诞节,两人完成订婚,而这段时间,克里斯汀的职业是当地一名有钱人的家庭女教师。  回到挪威之后,阿贝尔打算到法国和德国与一流的数学家学习,于是向政府申请奖学金。起初,政府只给他一年 200 挪威泰勒,共两年的奖学金让它留在克里斯蒂学习法文和德文。两年后,阿贝尔才获得每年 600 挪威泰勒的奖学金,并且政府答应将来允许他出国深造。在学习法文和德文的这段时间,阿贝尔以法文发表它的第一个著名的工作:一般一元五次方程序无公式解的代数方程证明(),现在该定理称为阿贝尔-鲁菲尼定理。然而,因为阿贝尔经济条件不佳,无法支付昂贵的大量影印费用,故该文只有精简的六页,读起来艰涩难懂。此外,阿贝尔曾将它寄给高斯,但也遭高斯弃置一旁。直到1826年,阿贝尔才在克雷勒杂志的第一期发表其完整的证明。  1825年,阿贝尔写信给挪威国王卡尔三世·约翰,希望能出国学习数学,国王允许他的请求。九月,克里斯汀独自留在挪威,阿贝尔和四位大学同学一同出国,四位同学分别是克里斯琴P.B 部克、巴尔萨泽 M. 克来哈、尼古拉 B. 穆勒和奥托坦克,一行人到哥本哈根后便分道扬镳,他们要去柏林或阿尔卑斯山研究地理。阿贝尔原先申请奖学金时预定要前往哥廷根拜会卡尔·弗里德里希·高斯,但他临时决定和同学一起去柏林,之后再去哥廷根和巴黎。  在前往柏林的途中,阿贝尔经过阿尔托纳,现今隶属于汉堡市,拜访天文学家海因里希·克里斯蒂安·舒马赫。接着,阿贝尔在柏林停留四个月,其间结识数学家奥古斯都·利奥波德·克雷勒,克雷勒此时正在创办期刊Journal für die reine und angewandte Mathematik,提供阿贝尔发表研究成果一个很好的舞台,阿贝尔遂大量投稿于该期刊,期刊的第一年阿贝尔即提供七篇文章,大大提升该期刊的品质,直到今天该期刊仍持续发行。  离开柏林后,阿贝尔与同伴往阿尔卑斯山方向前进,分别至来比锡与弗莱贝格拜访卡尔·弗里德里希·瑙曼与其弟奥古斯特·瑙曼,阿贝尔在弗莱贝格做一些关于椭圆函数与双曲函数的研究,以及阿贝尔函数。  接着,阿贝尔先后到达德累斯顿、布拉格、维也纳、第里雅斯特、威尼斯、维洛那、波札诺、因斯布鲁克、卢塞恩以及巴塞尔。1826年六月,阿贝尔与同伴分别,独自从巴塞尔前往巴黎。在巴黎,当时居住于此的挪威画家 Johan Görbitz 帮阿贝尔找到一间公寓,让他可以继续从事其代数微分可加性定理的研究。诚如前述,阿贝尔将其一生大部分的文章投在克雷勒创办的杂志 Journal für die reine und angewandte Mathematik,但他于1826年十月完成一生最重要的工作——代数微分的可加性定理后,将它交给法国科学院。但由于阿贝尔的工作几乎不为人知,而且阿贝尔的个性谦虚,不会四处宣扬他的发现,负责审查该论文的数学家奥古斯丁·路易·柯西将之视为天方夜谭,并搁置在一旁,直到阿贝尔死后才有人回去科学院找出它。  公元1827年1月,阿贝尔的在也负担不起昂贵的旅费,他回到柏林,短暂的担任任过克雷勒的杂志 Journal für die reine und angewandte Mathematik 的编辑,四个月后又辞职,回到挪威。  阿贝尔的旅途实质上并未为他带来帮助,他在哥廷根没有见到高斯,也没有在巴黎发表任何文章。政府因此停止提供阿贝尔奖学金,他只好向挪威银行贷款 200 挪威泰勒应急,但至死不曾偿还。同时他开始担任家教赚取生活费,并且将他大部分的文章投到克雷勒的杂志。1828年中,他将其一份重要的椭圆函数论论文投到天文学通报(当时该报社位于阿尔托纳区,后来先后迁到基尔、柏林),以和卡尔·雅可比竞争椭圆函数论领域的领导地位。

  在巴黎期间,阿贝尔曾染上肺结核,长期的旅行加剧了他的病情。1828年圣诞节,他滑著雪橇到弗罗兰拜访他的未婚妻克里斯汀,两人一起享受假期的欢愉使其病情稍有缓解。在此同时,克雷勒已为阿贝尔争取到柏林大学的教授职位。克雷勒写信告诉阿贝尔这个好消息,但信件送达时已太迟了,两天前,1829年4月6日,阿贝尔已经病逝。

  16 岁时,阿贝尔证明了二项式定理对所有的数字成立,扩展了欧拉的研究:只对有理数成立。19岁时,他发现没有一般的代数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点,他发明(和伽罗瓦各自独立发明 )极其重要的理论:群论 。除此之外,阿贝尔对椭圆积分理论基础很有贡献,并且研究部分的椭圆函数、超椭圆函数,以及另外一类后来以他名字命名的阿贝尔函数,并写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数的巨著。当阿贝尔在巴黎时,他发表了一篇论文,提出椭圆函数具有双周期的特性,阿德里安-马里·勒壤得将该文交给柯西,并引用罗马诗人贺拉斯的话,说该文乃是一个「比青铜还不朽的里程碑」。然而,柯西仍然不曾把它当一回事。  阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格,“他是像狐狸用尾巴抹去它的踪迹”,就如高斯自己说的:“建筑完成就要拆除脚手架。」
尼尔斯·亨利克·阿贝尔(,1802年-8月5日-1829年-4月6日),挪威数学家,开启许多领域的研究,以证明悬疑两百五十年五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数的研究中提出阿贝尔方程序而闻名。