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  在叙述三等分问题前,首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题,将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定,研究的是能不能在若干个具体限制之下,在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中,直尺和圆规的定义是: 定义了直尺和圆规的特性后,所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤,称为作图公法: 尺规作图研究的,就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复,达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是:“给定某某条件,能否用尺规作出某某对象?”比如:“给定一个圆,能否用尺规作出这个圆的圆心?”等等。

  三等分角问题的完整叙述是:  关于这个叙述中的用词和术语,需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义:一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合,也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义,用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角指的是由三点以及线段和构成的集合,也可以直接用一个希腊字母如表示。两个角和相等,指的是以下条件:如果将线段沿点延长为射线,在上面作一点使得 formula_1,同时将线段沿点延长为射线,在上面作一点使得 formula_1,则 formula_1 。  一个角等于另一个角的三分之一,指的是角等于角的三倍。而一个角等于角的倍(为自然数),指的是可以找到点等,使得个角都等于,并且点就是点。

  与三等分角问题相比,用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤,也能够将任意角四等分、八等分......但直到十九世纪,随着群论和伽罗瓦理论的出现,数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中,更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道,尺规作图的方法不但不能三等分任意角,也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。

  1837年,法国数学家汪策尔证明了,三等分角问题是没有办法完成的。  三等分角问题提出后,有许多基于平面几何的论证和尝试,但在十九世纪以前,一直没有完整的解答。没有人能够给出将任意角度三等分的确实做法,但开始怀疑其可能性的人之中,也没有人能够证明这样的做法一定不存在。直到十九世纪后,伽罗瓦和阿贝尔(全名:尼尔斯·阿贝尔)开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法,人们才认识到三等分角问题的本质。

  在研究各种尺规作图问题的时候,数学家们留意到,能否用尺规作出特定的图形或目标,本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后,又可以将长度解释为坐标。比如说,作出一个圆,实际上是作出圆心的位置(坐标)和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线,实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此,数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点和,以为单位长度,射线为-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系,平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示,整个平面可以等价于formula_4。  设是formula_4的一个非空子集。如果某直线formula_6经过中不同的两点,就说formula_6是-尺规可作的,简称-可作。同样地,如果某个圆formula_8的圆心和圆上的某个点是中的元素,就说formula_8是-可作的。进一步地说,如果formula_4里的某个点是某两个-可作的直线或圆的交点(直线-直线、直线-圆以及圆-圆),就说点是-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的,包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有-尺规可作的点的集合记作,那么当中包含超过两个点的时候,肯定是的真子集。从某个点集开始,经过一步能作出的点构成集合 formula_1,经过两步能作出的点就是 formula_1,......以此类推,经过步能作出的点集就是 formula_1 。而所有从能尺规作出的点集就是:  另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设是从集合 formula_1 {(0,0), (0,1)}开始,尺规可作点的集合: formula_1,那么规矩数定义为中的点的横坐标和纵坐标表示的数。  可以证明,有理数集formula_17是所有规矩数构成的集合的子集,而又是实数集formula_18的子集。另外,为了在复数集formula_19内讨论问题,也会将平面formula_4看作复平面formula_19,同时定义一个复数是(复)规矩数当且仅当点是中的一个点。所有复规矩数构成的集合也包含formula_17作为子集,并且是复数集formula_19的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数,三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。

  以集合的观念来说,与formula_17、formula_19之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说,可以证明是有理数域formula_17的扩域,是实数域formula_19的子域。记作formula_28。域是抽象代数中的概念,是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发,很容易得到任何有理数长度的线段,所以直线(也就是实数轴)上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点(对应复数),那么也能做出任意的点,甚至于任何形如: 的点(其中和是两个多项式)。有理数域formula_17和所有因为而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域,称为formula_17关于的扩张,记作formula_32。然而,formula_32中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说,如果有一个多项式使得=0,那么formula_32中的元素都可以写成的形式,其中是的阶数。这样的情况称为域formula_17的有限扩张,因为formula_32可以看成关于formula_17的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数,需要为它找一个基底,也就是一个线性无关的最小生成集。为此,寻找使得 formula_1 0的多项式中阶数最小的,并称是最小多项式。在最小多项式确定后,便可确定是formula_32的一个基底,formula_32是一个维的formula_17-线性空间(是的阶数)。这时候也称是域扩张formula_42的阶数,记作:

  对任何一个尺规可作点,都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的,而其中生成新点(也就是新坐标)的只有后三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻,已知的所有尺规可作点构成的域是,那么生成新点时的直线和圆的系数都在里面。 无论是两个(1)类方程,两个(2)类方程,还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解,得到的和值都会是形同 的数值。所以复规矩数 formula_1 满足一个二次方程: 其中的、以及都是中的元素。这意味着,域扩张的阶数最多是2(最小多项式的阶数至多是2)。这又说明,从开始,经过一系列(次)基本步骤得到的尺规可作点,代表了次域扩张: 而每次域扩张的阶数:都不超过2。因此,如果从基本的有理数域出发的话,就能得到如下的定理:  其中的是某个小于的自然数(是已知所有有理数坐标点时,作出对应的点要经过的基本步骤数目)。

  上文已经说明,任何可以用尺规作图作出的点,其座标对应一个复规矩数,它的最小多项式次数为formula_50。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反设可以用尺规作图将任意角三等分,代表对任意角度是formula_51的角,均可以由尺规作图得到 角度为formula_52的角。这等价于说在已知单位长度和formula_53的时候能做出formula_54的长度。设是包含了formula_53和单位长度1的域。用尺规作图可以得到formula_56,说明域扩张的阶数是2的幂次: 然而根据三倍角公式: 运用多项式的知识可以证明,formula_59在中的最小多项式的阶数必定不大于3,也就是说是1,2或者3。比如说当角度formula_60时,就是formula_17(formula_62)三倍角公式变成: 这个多项式不可约,所以这个方程的解不属于有理数集formula_17,所以可以证明formula_66。然而3不是2的幂次,这和之前的结论矛盾。如此便说明,无法用尺规作图将任意角三等分。formula_67

  以上的证明通过一个反例:formula_60说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角(比如说直角)仍然是可行的。事实上,从证明中可以看出,尺规三等分某个角formula_51等价于说formula_70。要注意的是,这个条件与formula_53本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上,有的角度formula_51即便本身无法用尺规作图法作出,但如果已知角formula_51作为条件,是能够用尺规作图将它三等分的。角度formula_74就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出,但如果给定一个formula_74的角,它的五倍角就是formula_76,等于将圆周绕过一圈后的formula_77,这正是formula_74的三分之一。可以证明,角度formula_79可以用尺规三等分,当且仅当自然数本身无法被三整除。  从证明中还可看出,只要自然数只含有2以外的质因子,根据倍角公式得到的阶多项式就说明formula_80的最小多项式阶数整除,所以不是2的幂次,从而无法用尺规作图等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的(formula_79可以五等分,当且仅当不是5的倍数;而不管是多少,formula_79都不能七等分,因为正七边形本身就不能尺规作图了)。

  用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制,或允许使用另外的工具,那么三等分任意角仍旧是可能的。

  尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话,可以利用 这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为formula_51的角。已知尺规二等分角是可行的,所以重复两次就能够四等分一个角formula_51,得到formula_86。同样地,可以作出formula_87、formula_88等所有形同formula_89的角。将它们逐次相加,就能够在无限次(可数次)操作后用尺规作图得到

  如果允许使用有刻度的直尺(二刻尺),则三等分任意角是可行的。右图为把角三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出。  首先,在直尺上有两个刻度,相距。把角上的直线延长,并作一个半径为的圆。  把直尺的一点固定在,并将直尺绕着点移动,直到其中一个刻度位于点,另一个刻度位于点,也就是说, formula_1 。这时,角就是角的三分之一。  要证明formula_92,我们需要利用直线上的邻角(adjacent angles on straight line),三角形的内角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。  证明: 所以,formula_101,或formula_92。证毕。  或者,可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作证明。  formula_103  formula_104  formula_105  formula_106  同样也可证明。

  尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派,他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上,如果允许在作图中使用其他的曲线或形状,那么三等分任意角是可行的。例如:已知角,做其角平分线。以直线为准线,点为焦点,作一双曲线;同时以为圆心,为半径做圆。设该圆与双曲线在角内侧的交点为,那么角等于角的三分之一。此外,麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线(等角螺线)也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中,阿基米德螺线的方程是: 其中的formula_108是极径(离原点的距离),formula_51是幅角。由于极径和幅角成正比,所以要寻找等于给定角度三分之一的角度,只需要确定原角度对应的极径长度formula_110,然后对比找出formula_111对应的角度即可。
三等分角是古希腊平面几何里尺规作图领域中的著名问题,与化圆为方及倍立方问题并列为尺规作图三大难题。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一,是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化,研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是:“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分?”