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  假设"V"是域"F"上的向量空间;"V"的半范数是一个函数formula_2,满足:  formula_3,  范数是一个半范数加上额外性质:  如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出,这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。

  

  是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。  绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

  在"n"维欧几里德空间formula_12上,向量formula_13的最符合直觉的长度由以下公式给出 根据勾股定理,它给出了从原点到点formula_15之间的(通常意义下的)距离。欧几里德范数是formula_12上最常用的范数,但正如下面举出的,formula_12上也可以定义其他的范数。然而,以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构,因此它们在某种意义上都是等价的。  在一个"n"维复数空间formula_18中,最常见的范数是:  以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示: 其中x是一个列向量(formula_21),而formula_22表示其共轭转置。  以上公式适用于任何内积空间,包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里,内积等价于点积,因此公式可以写成以下形式:  特别地,formula_24中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个"n"维球面。

  如果将复平面看作欧几里得平面formula_25,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为模)。这样,我们可把formula_26视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为formula_27(最初由欧拉提出)。
范数(英语:norm),是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面,半范数(英语:seminorm)可以为非零的向量赋予零长度。