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  该方法以数学家卡尔·高斯命名,但最早出现于中国古籍《九章算术》,成书于约公元前150年。

  高斯消去法可用来找出下列方程组的解或其解的限制: formula_1  这个算法的原理是:  首先,要将formula_2以下的等式中的formula_3消除,然后再将formula_4以下的等式中的formula_5消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中,就可求出其余的答案了。  在刚才的例子中,我们将formula_6和formula_4相加,就可以将formula_4中的formula_3消除了。然后再将formula_2和formula_11相加,就可以将formula_11中的formula_3消除。  我们可以这样写:  结果就是:  现在将formula_19和formula_11相加,就可将formula_11中的formula_5消除:  其结果是:  这样就完成了整个算法的初步,一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。  第二步,就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是:  然后就可以将formula_28代入formula_4中,立即就可得出第二个答案:  之后,将formula_28和formula_5代入formula_2之中,最后一个答案就出来了: 就是这样,这个方程组就被高斯消去法解决了。  这种算法可以用来解决所有线性方程组。即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式,高斯消去法仍可找出它的解。例如,如果在第一步化简后,formula_4及formula_11中没有出现任何formula_5,没有三角形的格式,照着高斯消去法而产生的格式仍是一个行梯阵式。这情况之下,这个方程组会有超过一个解,当中会有至少一个变量作为答案。每当变量被锁定,就会出现一个解。  通常人或电脑在应用高斯消去法的时候,不会直接写出方程组的等式来消去未知数,反而会使用矩阵来计算。以下就是使用矩阵来计算的例子:  跟着以上的方法来运算,这个矩阵可以转变为以下的样子: 这矩阵叫做「行梯阵式」。  最后,可以利用同样的算法产生以下的矩阵,便可把所得出的解或其限制简明地表示出来: 最后这矩阵叫做「简化行梯阵式」,亦是高斯-若尔当消元法指定的步骤。

  

  高斯消去法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。设formula_41为一个formula_42的矩阵,其逆矩阵可被两个分块矩阵表示出来。将一个formula_42 单位矩阵放在formula_41的右手边,形成一个formula_45的分块矩阵formula_46。经过高斯消去法的计算程序后,矩阵formula_47的左手边会变成一个单位矩阵formula_48,而逆矩阵formula_49会出现在formula_47的右手边。  假如高斯消去法不能将formula_41化为三角形的格式,那就代表formula_41是一个不可逆的矩阵。  应用上,高斯消去法极少被用来求出逆矩阵。高斯消去法通常只为线性方程组求解。

  高斯消去法可应用在任何formula_53的矩阵formula_41。在不可减去某数的情况下,我们都只有跳到下一行。以一个formula_55的矩阵作例,它可能可以变化为一个行梯阵式: 而矩阵中的*是一些数字。这个梯阵式的矩阵formula_57会有一些关于formula_41的资讯:

  高斯消去法的算法复杂度是O("n");这就是说,如果系数矩阵的是"n" × "n",那么高斯消去法所需要的计算量大约与"n"成比例。  高斯消去法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过,如果有过百万条等式时,这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。  高斯消去法可用在任何域中。  高斯消去法对于一些矩阵来说是稳定的。对于普遍的矩阵来说,高斯消去法在应用上通常也是稳定的,不过亦有例外。

  高斯消去法的其中一种伪代码:  这个算法和之前谈到的有点不同,它由绝对值最大的部分开始做起,这样可以改善算法的稳定性。本算法由左至右地计算,每作出以下三个步骤,才跳到下一行和下一列: 所有步骤完成后,这个矩阵会变成一个列梯矩阵,再用代入法就可以求解该方程组。 随着多核处理器的日益普及,现在的程序员可以利用线程级并行高斯消元算法来提高计算的速度。内存共享模式(而不是消息交换模式)的伪代码如下所示: void parallel(int num_threads,int matrix_dimension) void *gauss(int thread_id) void barrier(int num_thread, barrier_t * mybarrier)
数学上,高斯消去法(英语:Gaussian Elimination),是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时,高斯消去法会产生出一个行梯阵式。