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  证明的方法基于线性空间的基和同构。  设formula_7是一个有限维线性空间,其维度formula_18。对一个从formula_7射到formula_1的线性变换formula_11,它的核formula_22是formula_7的一个子空间。设 formula_24是formula_22的一组基(formula_26)。根据基扩充定理,formula_27可以被扩充为formula_7的一组基:formula_29。除了formula_27的formula_31个向量以外,另外的formula_32个向量formula_33是一组线性无关的向量。设formula_34是它们张成的子空间,那么formula_7是子空间formula_22与formula_34的直和: 所以,按照直和的性质,有formula_39,并且这两个子空间的交集为formula_40。同时,formula_41 都可以写成formula_42的形式,其中formula_43。考虑formula_11限制在formula_34上到formula_46的线性变换formula_47:  下证formula_47是一个同构。首先由于formula_11是线性映射,所以formula_47是线性映射。只需证明它也是双射:  既然formula_47是一个formula_34到formula_46的同构,那么

  正合列  秩-零化度定理是抽象代数中的同态基本定理在线性空间上的表现形式。如果用更现代的语言,定理可以表示为:如果  在有限维的情况下,上式可以作进一步推广。如果  在有限维线性空间中,秩-零化度定理还可以用线性变换的指标(index)描述。线性变换的指标指的是,对于线性变换"T" : "V" → "W":  这时秩-零化度定理表述为:  可以看到,在这种表述下,我们可以很容易地得到 "T" 的指标,而不必对 "T" 作深入研究。更深入的结果可以参见阿蒂亚-辛格指标定理。阿蒂亚-辛格指标定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。
秩-零化度定理是线性代数中的一个定理,给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在域formula_1中的formula_2矩阵formula_3,秩-零化度定理说明,它的秩(rank A)和零化度(nullity A)之和等于formula_4: