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  整数量子霍尔效应:量子化电导formula_1被观测到,为弹道输运(ballistic transport)这一重要概念提供实验支持。  分数量子霍尔效应:劳夫林与J·K·珍揭示涡旋(vortex)和准粒子(quasi-particle)在凝聚态物理学中的重要性。

  霍尔效应中出现的整数是一些拓扑量子数。在数学中,它们被称作陈数(Chern numbers),并且它们与贝利相位(Berry's phase)息息相关。

  在二维系统中,一个古典意义上的自由电子受到外部磁场作用时,劳伦兹力会使它呈现圆周运动。以量子力学来描述,这些轨道是量子化的,能阶是不连续的值: 其中,"ω = eB/m" 是电子圆周运动的角频率。 这些能阶被称为朗道能阶。每个能阶都是简并的,在单位面积下可以容纳"N"个电子, "B" 是磁场大小,"g" 代表自旋简并,对电子来说是2。当磁场很强,每个能阶可容纳的电子数量会变得非常大,所有自由电子几乎都位在最低的几个能阶,此时可以观察到量子化的电阻值变化。

  整数量子霍尔效应的机制已经基本清楚,而仍有一些科学家,如冯·克利青和纽约州立大学石溪分校的V·J·Goldman,还在做一些分数量子效应的研究。一些理论学家指出分数量子霍尔效应中的某些平台可以构成非阿贝尔态(Non-Abelian States),这可以成为搭建拓扑量子计算机的基础。  石墨烯中的量子霍尔效应与一般的量子霍尔行为大不相同,为量子反常霍尔效应(Quantum Anomalous Hall Effect)。  此外,Hirsh、张首晟等提出自旋量子霍尔效应的概念,与之相关的实验正在吸引越来越多的关注。  2010年,中科院物理所的方忠、戴希理论团队与拓扑绝缘体理论的开创者之一、斯坦福大学的张首晟等合作,提出实现量子反常霍尔效应的最佳体系。  2013年,中国科学院薛其坤院士领衔的合作团队又发现,在一定的外加栅极电压范围内,此材料在零磁场中的反常霍尔电阻达到量子霍尔效应的特征值h/e2~ 25800欧姆。2013年3月15日,这个成果在线发表在《科学》杂志上。  这一发现可被用于发展新一代低能耗晶体管和电子学器件,进而推动信息技术的进步。
量子霍尔效应(Quantum Hall effect),是霍尔效应的量子力学版本。一般看作是整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应的统称。