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  古德斯坦序列是由一种"以"n"为基底的瓜瓞式表示法" 的概念来定义的。这个表示法与平常的 n 进制制表示法很像,但一般的进制表示法无法达到古德斯坦定理的目的。 在原本的 n 进制表示法,"n" 是一个大于 1 的自然数,而任一个自然数 "m" 则被改写为一些由 "n" 的幂次的乘积的相加之和: 其中,每个系数 "a" 满足,且。如在 2 进制中, 所以, 35 的二进制是 100011()。类似地,由 3 进制表示的 100 是 10201:  然而需注意的是,这些指数仍非是基于 n 的表述法。如上述表示式中的 2 和 3 。  将一个 "n" 进制表示转换为瓜瓞式"n"基底表示法,首先要将每个指数改为 "n" 基底表示法。然后改写指数中的指数,持续这个动作直到每个数都被改为以"n" 为基底表示法。  譬如, 2 进制的 35 为 100011,将它改写成以 "n" 为基底的瓜瓞式表示法为: () 。类似的,以"3"为基底的瓜瓞式表示法的 100 为

  古德斯坦序列 "G"("m") 是一个自然数的序列。第一项为 m 本身。第二项则是先将 "m" 以 2 为基底得出其的瓜瓞式表示法,再将所有的 2 改为 3,再减去 1。更一般地,第 项的 为:  前几个古德斯坦序列会很快地终止,如 "G"(3) 结束于第 6 步:  之后的古德斯坦序列则成长到很庞大的数字,如 "G"(4) 开始如下:  "G"(4) 会一直递增,直到基底为 formula_6 时,会达到最大值 formula_7,并在这里停留 formula_6 步后,然后开始递减。  这个序列到达 0 时,当时的基底为 formula_9。(有趣的是,这是个胡道尔数: formula_10。而且,对于所有起始值大于 4 的数,都是如此。)  不过,"G"(4) 仍无法很好地展示古德斯坦序列的项数是如何快速地成长。"G"(19) 成长更迅速,其开头几项如下:  尽管其成长如此迅速,古德斯坦定理说明了无论起始值为何,每个古德斯坦最终会终止于 0。

  古德斯坦定理的证明(需要使用皮亚诺算术以外的技巧)如下: 对于每个给定的古德斯坦序列 "G"("m"),我们可以建造一个由序数所组成的平行序列 "P"("m"),而且是严格递减和终止。所以"G"("m") 也必将停止,并且它只在达到 0 时才会终止。  对这个证明的常见的误解在于认 "G"("m") 达到 0 是"因为"它被 "P"("m") 所支配。事实是,"P"("m") 对支配 "G"("m") 毫无作用。其重点在于: "G"("m")("k") 存在当且仅当 "P"("m")("k") 存在。于是,如果 "P"("m") 终止,则 "G"("m") 也如此。而 "G"("m") 只有在到逹 0 时才会终止。  我们可以定义函数 "f"("x"),将 x 改为以为基底的表示法,并将每个 换成第一个无穷序数 ω。 而序列 "P"("m") 中的每一项 "P"("m")("n") 则定义为 "f"("G"("m")("n"),"n+1")。譬如, 和 。序数的加法、乘法和指数都是良好定义的。  我们可声明 formula_11 。在古德斯坦序列中,将 "G"("m")("n") 改换基底后,将其记为 formula_12 。明显的,formula_13,现在我们套用 "-1" 运算后,因为 formula_14,所以 formula_15。  譬如, formula_16 乃 formula_17,所以 formula_18 和 formula_19 是严格变小。需注意的是,若要计算 "f(G(m)(n),n+1)",我们要先将 "G"("m")("n") 改为以 为基底的表示法。所以如 formula_20 等的表示式,既不会是无意义的也非等同 formula_21 。  "P"("m") 是严格递减的。而标准排序算子 < 在序数上是良基关系,一个无穷的严格递减序列是不可能存在的。换句话说,每个严格递减的序数序列会停止(不可能无限)。但"P"("m")("n") 是由 "G"("m")("n") 计算出来的。 "G"("m")("n") 也必然停止,这意味着它会达到 0 。  虽然这个证明相当简单,但"柯比-柏丽斯定理" (证明了在皮亚诺算术中不会有古德斯坦定理)则是非常专门且相当困难。它使用了皮亚诺算术中的countable nonstandard models。

  假设古德斯坦定理的定义中的「将"b"改为」的这个动作,将它改为,那么这个序列会终止吗? 更一般地,让 "b", "b", "b",... 为任意整数列,然后让第 项的 变成: 将 "G"("m")("n") 改为 "b" 的表示法,将 "b" 改为 再减 1 。 我们仍可断言这个序列仍会终止。 扩展的证明则将 定义为如下: 将 "G"("m")("n") 改为 "b" 表示法,再将所有的 "b" 改为第一个无限序数 ω。 古德斯坦序列中,从"G"("m")("n")到的"改变基底"的这个运算并不会改变 "f" 的值。 譬如,如果 且, 则 formula_22。因此,序数 formula_23 是 严格大于 序数 formula_24。

  古德斯坦函数 formula_25 定义为由 "n" 为起始值的古德斯坦序列的长度。因为古德斯坦序列会终止,所以这是一个完全函数。要测定 formula_26 的快速成长,可由多种借由标准基于序数体系中的函数,如Hardy hierarchy 中的 formula_27 函数,和 Löb and Wainer 的 高成长体系 formula_28 函数。  一些例子如下: (对于阿克曼函数和葛立恒数的界限,请参考 高成长体系。)

  古德斯坦定理可用于构造一个完全的可计算函数,但皮亚诺算术却不能证明它是完全的。图灵机可以有效地列举古德斯坦序列;所以存在一个特殊的图灵机来计算古德斯坦函数。这个图灵机只需列举出 "n" 的 古德斯坦序列,并在遇到 0 时结束,并传回其长度。因为每个古德斯坦序列终将结束,所以这个函数是完全的。但因为皮亚诺算术不能证明古德斯坦序列会终止,皮亚诺算术不能证明这个图灵机计算了一个完全函数。
古德斯坦定理是数理逻辑中的一个关于自然数的叙述,是在 1944 年由 鲁本・古德斯坦所证明。其主要是在说明"古德斯坦序列"最终会结束于 0 。柯比和柏丽斯 证明它在皮亚诺算术中是不可证明的(但它可以在一个更强的系统如二阶算术中被证明)。这是继哥德尔不完备定理和 1943 年格哈德·根岑直接证明皮亚诺算术中 ε-induction 不可被证明之后,第三个被证明在皮亚诺算术中是不可证明的。之后的例子是 柏丽斯–哈灵顿定理。