Can you summarize the following document?
        
  等距同构是一种事物在事件间的时空轨迹上的移动方式,而这样做是不会影响原时的。例如,所有事件被延后了两小时,而这两小时中包括了两项事件,以及你从事件一到事件二的路径,那么你的计时器所量度出的,两事件间的时间间距会是一样的。又例如,所有事物被移到西边五公里外的地方,那么你所量度出的时间间距也不会改变。而这种移动的结果是不会影响棍子长度的。  如果我们无视重力效应的话,那么一共有十种移动方式:在时间上的平移,在三维空间中任一维上的平移,在三条空间轴上任一条的(定角)旋转,或三维任一方向上的直线性洛伦兹变换,因此是1 + 3 + 3 + 3 = 10。  如果将这种等距同构结合起来(即执行一个之后再执行另一个),那么所得的结果也会是等距同构(然而,这一般来说只限于上述十种基本移动之间的线性组合)。这些等距同构因此形成了一个群。也就是说,它们当中存在单位元(即不移动,停留在原先的地方)及逆元(将事物移动回原先的位置),同时亦遵守结合律。这种特定群的名字叫做“庞加莱群”。  在古典物理学中,对应庞加莱群的群叫伽利略群,也是有十个生成元的,伽利略群作用于绝对时空。而在伽利略群中取代直线性洛伦兹变换的是,联系两个共动惯性参考系的错切变换。

  庞加莱群是闵可夫斯基时空的等距同构群。它是一种十维的非紧李群。平移的阿贝尔群是一个正规子群,而洛伦兹群也是一个子群,原点的稳定子群。庞加莱群本身是仿射群的最小子群,而仿射群就包括了所有的变换与洛伦兹变换。准确一点来说,庞加莱群是平移群与洛伦兹群的半直积  另一种解释方式是,把庞加莱群视为洛伦兹群的群扩张,而扩张的部分则是它的向量群表示;因此庞加莱群有一个不正式的称呼,叫“非均匀洛伦兹群”(inhomogeneous Lorentz group)。另外,当德西特半径趋向无限大时,德西特群(de Sitter group)formula_2的群收缩就是庞加莱群。  它的正能量么正不可约表示是由质量(非负数)与自旋(整数或半整数)所标记的,并与量子力学的粒子有关。  与爱尔兰根纲领一致,闵可夫斯基空间的几何由庞加莱群所规定的:闵可夫斯基空间可被视为庞加莱群的齐性空间。  庞加莱代数是庞加莱群的李代数。更具体的来说,正式的(formula_3),也就是洛伦兹子群(它的单位连通区)formula_4的正确时间(formula_5)部分,是与单位元有关系的,因此可用矩阵指数formula_6与formula_7表示。在分量形式中,庞加莱群可用以下的交换关系表示:  其中P为平移生成元,M为洛伦兹变换生成元,η为闵可夫斯基度规。  以下的是与(均匀)洛伦兹群的交换关系,洛伦兹群由旋转(formula_8)及直线性洛伦兹变换(formula_9)所组成。在这样的标记下,可以用非协变形式(但较实用)来表示整个庞加莱代数  其中最下面的是两个直线性洛伦兹变换的交换关系,很多时候会被称作“维格纳旋转”。注意根据上述关系,formula_17,这是一项重要的简化,能使洛伦兹子代数约化至su(2)⊕su(2),并且使应付洛伦兹群的表示论的方法有效得多。  这种代数的卡西米尔不变量为formula_18与formula_19,其中formula_20为包立-鲁班斯基假向量;它们的作用是标记群表示。  庞加莱群是任何相对论性量子场的完全对称群。因此,所有基本粒子都能成为这个群表示的一部分。这些表示一般是由两种物件所指明的:每一粒子的四维动量平方(即质量平方),和内禀量子数formula_21,其中为自旋量子数,为宇称,为电荷共轭量子数。实际上许多量子场会破坏宇称与电荷共轭。在那些情况下就会弃用被破坏的和。由于每一套量子场论均需拥有CPT不变性,因此要从和构建时间反转量子数是件很容易的事。  作为拓扑空间,这个群共有四个连通区:单位区、时间反转区、空间颠倒区、以及同时出现时间反转与空间颠倒的区。

  庞加莱对称是狭义相对论的完全对称,当中包括:  上述最后两种对称,J及K,组合起来就成了洛伦兹群(见洛伦兹不变性)。  它们都是一种叫庞加莱群的李群的生成元,而庞加莱群是平移群与洛伦兹群的半直积。在这个群下不变的物件,可被称为拥有庞加莱不变性或相对论性不变性。
在物理学与数学上,庞加莱群(英语:Poincaré group)是狭义相对论中闵可夫斯基时空的等距同构群,由赫尔曼·闵可夫斯基引进,庞加莱群是以法国数学家亨利·庞加莱命名。它是一种有10个生成元的非阿贝尔群,在物理学上有着基础级别的重要性。