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  自然,人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它多项式,有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的。经过很多努力之后,人们终于找到了一个可以解出任何四次方程的运算法则;不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,这样的一种方法在五次方程这里止步了;也就是说,四次方程是次数最高的一种方程,它的解可以通过一个运算法则,由方程未知数前的系数给出。对于五次方程以上的方程,人们就需要一种更为有效的方法寻找方程的代数解,如同对于五次方程以下的方程所做的那样。  由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不经常被使用。如果只要求求解有理实根,可以通过(对于任意次数的多项式都为真)试错法,或是使用鲁菲尼法则(只要所给的多项式的系数都是有理的)求出。到了计算机时代,通过牛顿法,人们可以使用数值逼近的方法快速得到所求的解。但是如果要求四次方程被精确地解出,你可以参见下文关于方法的概述。

  

  如果formula_3,那么其中一个根为formula_4,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,

  四次方程序中若formula_6 和 formula_7 均为 formula_8者有下列形态:  因此它是一个双二次方程序。解双二次方程序非常容易,只要设 formula_10,我们的方程序便成为:  这是一个简单的二次方程序,其根可用二次方程序的求根公式来解:  当我们求得 "z" 的值以后,便可以从中得到formula_13 的值:  若任何一个 formula_18 的值为负数或复数,那么一些 formula_13 的值便是复数。

  开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程序。

  要让以下四次方程序变成标准的四次方程序,先在等式两边分别除以formula_20  第一步:消除 formula_23列。为了做到这一步,先把变量formula_24变成formula_25,其中  将变量替换:formula_27  展开后变成:formula_28  整理后变成以u为变量的表达式  现在改变表达式的系数,为 结果就是我们期望的低级四次方程序,为  如果 formula_34 那么等式就变成了双二次方程序,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量 formula_24的值.

  这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恒等式 从方程 (1)和上式,得出: 结果把 formula_38配成了完全平方式:formula_39。左式中,formula_40 并不出现,但其符号已改变并被移到右边。  下一步是在方程formula_41 左边的完全平方中插入变量 formula_42,相应地在右边插入一项formula_43。根据恒等式 及 与等式(2)相加,得 也就是  现在我们需要寻找一个formula_47值,使得方程formula_51的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式: 右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:  因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程: 把二项式与多项式相乘, 这是关于formula_47的三次方程。两边除以formula_60,

  方程formula_62是嵌套的三次方程。为了解方程formula_62,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程: 方程formula_62变为 展开,得 合并同类项,得 这是嵌套的三次方程。  记 则此三次方程变为

  方程formula_72的解(三个解中任何一个都可以)为  从而它可分解因式为: 因此方程formula_51化为 等式formula_82两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。  如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式: 对 formula_25合并同类项,得 方程formula_89是关于formula_25的二次方程。其解为 化简,得 这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为

  给定一个四次方程 其解可用如下方法求出:  此即所求。  还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是 它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。

  此四次方程是下列两个二次方程之积: 以及 由于 因此  设 则方程formula_134 变为 同时有(未知的)变量formula_136和formula_137使方程formula_138 变为 方程formula_140与formula_141 相乘,得 把方程formula_143 与原来的二次方程比较,可知 及 因此 方程formula_141的解为 这两个解中的一个应是所求的实解。

  写出式子 formula_153,令 formula_154, 把上式改写为 formula_155, 再利用系数 formula_156 造出另一式子: formula_157, 求出 formula_158 的三根,并用 formula_159 代表它们。 那么 formula_160 的四个根就是 formula_161 formula_162 formula_163 formula_164 合并来看 二次方程根的样式为 formula_165,其中 formula_166 三次方程根的样式为 formula_167,其中 formula_168 四次方程根的样式为 formula_169,其中 formula_170 延伸这样式,暗示了五次方程寻根的方向。

  

  一个例子可见双二次方程。
四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为: