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  二项树递归定义如下:  度数为k的二项树共有formula_3个结点,高度为formula_1。在深度d处有formula_5(二项式系数)个结点。  度数为k的二项树可以很容易从两颗度数为k-1的二项树合并得到:把一颗度数为k-1的二项树作为另一颗原度数为k-1的二项树的最左子树。这一性质是二项堆用于堆合并的基础。

  二项堆是指满足以下性质的二项树的集合:  以上第一个性质保证了二项树的根结点包含了最小的关键字。第二个性质则说明结点数为formula_6的二项堆最多只有 formula_7 棵二项树。实际上,包含n个节点的二项堆的构成情况,由n的二进制表示唯一确定,其中每一位对应于一颗二项树。例如,13的二进制表示为1101, formula_8, 因此具有13个节点的二项堆由度数为3, 2, 0的三棵二项树组成:  <br>示例:一个含13个结点的二项堆

  由于并不需要对二项树的根结点进行随机存取,因而这些结点可以存成链表结构。

  最基本的为二个度数相同的二项树的合并。由于二项树根结点包含最小的关键字,因此在二棵树合并时,只需比较二个根结点关键字的大小,其中含小关键字的结点成为结果树的根结点,另一棵树则变成结果树的子树。  两个二项堆的合并则可按如下步骤进行:度数formula_9从小取到大,在两个二项堆中如果其中只有一棵树的度数为formula_9,即将此树移动到结果堆,而如果只两棵树的度数都为formula_9,则根据以上方法合并为一个度数为formula_12的二项树。此后这个度数为formula_12的树将可能会和其他度数为formula_12的二项树进行合并。因此,对于任何度数j,可能最多需要合并3棵二项树。  此操作的时间复杂度为formula_15。

  创建一个只包含要插入元素的二项堆,再将此堆与原先的二项堆进行合并,即可得到插入后的堆。由于需要合并,插入操作需要formula_15的时间。平摊分析的时间复杂度为formula_17。

  由于满足最小堆性质,只需查找二项树的的根结点即可,因为一共有formula_18棵子树,所以用所时间为formula_15。  可以保存一个指向最小元素的指针,使得查找最小关键字所在结点需要formula_17的时间。在执行其他操作时,需要修改该指针。

  先找到最小关键字所在结点,然后将它从其所在的二项树中删除,并获得其子树。将这些子树看作(合并为)一个独立的二项堆,再将此堆合并到原先的堆中即可。由于每棵树最多有formula_18棵子树,创建新堆的时间为formula_15。同时合并堆的时间也为formula_15,故整个操作所需时间为formula_15。

  在减小特定结点(关键字)的值后,可能会不满足最小堆积性质。此时,将其所在结点与父结点交换,如还不满足最小堆性质则再与祖父结点交换......直到最小堆性质得到满足。操作所需时间为formula_15。

  将需要删除的结点的关键字的值减小到负无穷大(比二项堆中的其他所有关键字的值都小即可),执行“减小关键字的值”算法,使其调整到当前二项树的根节点位置,再删除最小关键字的根结点即可。

  以下对于二项堆操作的运行时间都为formula_15(结点数为formula_6):
在计算机科学中,二项堆(英语:binomial heap)是一种类似于二叉堆的堆结构。与二叉堆相比,其优势是可以快速合并两个堆,因此它属于可合并堆(英语:mergeable heap)抽象数据类型的一种。