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  则称formula_12为一个用于估计参数formula_3的formula_14置信区间,其中的,formula_15称为置信水平。  接续随机样本版本的定义,现在,对于随机变量formula_1的一个已经观测到的样本formula_17,注意这里用小写x表记的formula_18都是已经观测到的数字,没有随机性了,定义基于数据的formula_14置信区间为:  注意,置信区间可以是单边或者双边的,单边的置信区间中设定formula_21或者formula_22,具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。  初学者常犯一个概念性错误,是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平,误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是:置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程(或称方法)的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间,其两个端点已经不再具有随机性,因此,类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中,其包含未知参数的真实值的概率是0或者1,但我们不能知道是前者还是后者。  formula_14水平的正态置信区间为:

  以下为方便起见,只列出双边置信区间的例子,且区间中用"formula_28"进行简记:  formula_14水平的双边正态置信区间为:  formula_14水平的双边正态置信区间为:

  一般来说,置信区间的构造需要先找到一个枢轴变量(,或称),其表达式依赖于样本以及待估计的未知参数(但不能依赖于总体的其它未知参数),其分布不依赖于任何未知参数。  下面以上述例2为例,说明如何利用枢轴变量构造置信区间。对于一个正态分布的随机样本formula_44,可以证明(此证明对初学者并不容易)如下统计量互相独立: 它们的分布是: 所以根据t分布的定义,有 于是反解如下等式左边括号中的不等式 就得到了例2中双边置信区间的表达式。

  有时,置信区间可以用来进行参数检验。例如在上面的例1中构造的双边formula_14水平置信区间,可以用来检验具有相应的显著水平为formula_15的双边对立假设,具体地说是如下检验: 正态分布总体,知道总体方差formula_23,在formula_15显著水平下检验: 检验方法是:当且仅当相应的formula_14水平置信区间不包含formula_58时拒绝零假设formula_59  例1中构造的双边formula_14水平置信区间也可以用来检验如下两个显著水平为formula_61的单边对立假设: 和 检验方法是完全类似的,比如对于上述第一个单边检验formula_63,当且仅当双边置信区间的左端点大于formula_58时拒绝零假设。
在统计学中,一个概率样本的置信区间(,),是对产生这个样本的总体的参数分布()中的某一个未知参数值,以区间形式给出的估计。相对于点估计()用一个样本统计量来估计参数值,置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合()概念是置信区间在多维分析的推广。