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  莫里斯·弗雷歇在1906年于著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74 中引入了度量空间。

  度量空间是个有序对 ("M","d"),这里的 "M" 是集合而 "d" 是在 "M" 上的度量(metric),即为函数  使得对于任何在 M 内的 x、y、z,下列条件均成立:  条件 1 可由其他三个条件中导出。条件 1 做为度量空间的性质更恰当一些,但是很多课本都将其包含于定义之中。  函数 "d" 亦称为“距离函数”或简称“距离”。若依上下文可知道使用的度量为何,通常会省略 d,只写出 M 为度量空间。  若不考量数学上的细节,对于任何道路系统与地形,两个位置间之距离可被定义为连接这些位置的最短路径之长度。度量内不应该存在单行道。三角不等式表示每个弯路都不会是最短路径。下面的许多例子均可被视为此类一般概念的具体版本。

  每个度量空间都自然地会是个拓扑空间,且因此与一般拓扑空间有关的所有定义及定理也一样适用于所有的度量空间。  对于度量空间 formula_20 内的任一点 formula_6,可定义中心为 formula_6,半径为 formula_75(其中,formula_76 为一实数)的开球 这些开球会形成 formula_20 上拓扑的基,使之成为一个拓扑空间。  具体来说,formula_20 的子集 formula_80 称之为开放的,若对于每个 formula_80 内的 formula_6,存在一个 formula_75,使得 formula_84 包含于 formula_80。开集的补集为闭集。点 formula_6 的邻域是指 formula_20 内包含中心为 formula_6 的某一开球之任何子集。  拓扑空间若可由某个度量空间形成,则称之为可度量化空间;更进一步的细节请见乌雷松度量化定理。  度量空间 formula_20 内之序列 (formula_90) 称之为可收敛至极限 formula_91,当且仅当对于每个 formula_92,均存在一个自然数 formula_93,使得 formula_94,对于所有 formula_95。在拓扑空间内也有相对应的收敛之一般定义。  度量空间 formula_20 内的子集 formula_65 是封闭的,当且仅当每个在 formula_65 内的序列若可收敛至 formula_20 内的一极限,则该极限在 formula_65 内。

  

  度量空间 M 称之为完备的,若每个柯西序列均收敛于 M 内,亦即:若 formula_101,其中 n 与 m 各自趋近于无限大,则存在某个 formula_102,使得 formula_103。  每个欧氏空间都是完备的,而且该空间的每个闭子集也都是完备空间。使用绝对值度量 formula_104 的有理数集合则不是完备的。  每个度量空间都有个在同构意义下唯一的完备化空间。该完备化空间是个完备空间,给定之度量空间为其稠密子集。例如,实数是有理数的完备化空间。  若 X 是空间空间 M 内的完备子集,则 X 在 M 内是封闭的。而实际上,一个空间是完备的,当且仅当该空间在任何包含该空间的度量空间内都是封闭的。  每个完备度量空间都是个贝尔空间。

  度量空间 "M" 被称为有界的,如果存在某个数 "r",使得对于所有 "M" 中的 "x" 和 "y" 有 "d"("x","y") ≤ "r"。r 最小可能的值称之为 M 的直径。空间 "M" 称之为预紧致的或完全有界的,如果对于所有 "r" > 0 存在有限多个半径为 "r" 的开球,其并集覆盖 "M"。因为这些球为有限个,所以该空间的直径亦为有限值,从而得出(使用三角不等式)所有完全有界空间都是有界的。但逆命题不成立,因为任何无限集合均可给定其离散度量(上面第一个例子),使得该空间是有界的,但不是完全有界的。  须注意,在讨论实数空间的区间及欧氏空间的区域时,有时会将有界集合指为「有限区间」或「有限区域」。不过,有界性与「有限」之间一般并无关连;有限通常意含着有界,但反之不一定成立。

  度量空间 M 是紧致的,若每个 M 内的序列均有个子序列,会收敛于 M 内的一点。这称为序列紧致性,且在度量空间(但不是一般拓扑空间)里,这等价于可数紧致与以开覆盖定义之紧致性等拓扑性质。  紧致度量空间的例子包括具绝对值度量的闭区间 [0,1]、所有具有限多个点的度量空间,以及康托尔集。每个紧致集合的闭子集亦是紧致的。  一度量空间为紧致的,当且仅当该空间是完备的,且为完全有界的。这即是所谓的海涅-博雷尔定理。须注意,紧致性仅决取于拓扑,而有界性则决取于度量。  勒贝格数引理表示,对于紧致度量空间 M 内的每个开覆盖,均存在一个「勒贝格数」δ,使得每个 M 内直径 < δ 的子集均会被包含于某些覆盖内。  每个紧致度量空间均为第二可数,且是康托尔集的连续像。(后者由帕维尔·亚历山德罗夫与帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松所证得。)

  度量空间"M"称为局部紧致的,如果每一点都有一个紧致邻域。欧氏空间为局部紧纱的,但无限维巴拿赫空间则不是。  度量空间"M"称为常态(proper)的,如果每个闭球都是紧致的。常态空间是完备且局部紧致的,但局部紧致空间未必是常态的。

  度量空间 M 是连通的,若唯一同时开放或封闭的子集只有空集与 M 本身。  度量空间 M 是路径连通的,若对于 M 内的任两点 x、y,均存在一个连续映射 formula_105,其中 f(0)=x 且 f(1)=y。每个路径连通空间都是连通的,但反之通常不成立。  上述性质均有相对的局部定义:局部连通空间与局部路径连通空间。  单连通空间在某一层面上来说,可说是个没有「洞」的空间。

  一度量空间称之为可分空间,若该空间有可数稠密子集。典型的例子为实数或任何一个欧氏空间。对于度量空间(但不包括一般拓扑空间)可分性等价于第二可数,亦等价于林德勒夫性质。

  假设 ("M","d") 与 ("M","d") 为两个度量空间。

  映射 "f":"M"→"M" 是连续的,若具有下列一个(因此所有)等价性质: 这是在拓扑学里连续性的一般定义。 这是由爱德华·海涅所提出的序列连续性。 这用到了极限的(ε, δ)定义,由奥古斯丁·路易·柯西所提出。  此外,f 是连续的,当且仅当该函数在 "M" 的每个紧致子集内都是连续的。  每个紧致集合在连续函数下的像亦是紧致的,且每个连通集合在连续函数下的像亦是连通的。

  映射 "ƒ" : "M" → "M" 为一致连续的,若对于每个 ε > 0,均存在 δ > 0,使得  每个一致连续映射 "ƒ" : "M" → "M" 均是连续的。若 "M" 是紧致的,则反向的陈述亦会成立。(海涅-康托尔定理)  一致连续映射会将 "M" 内的柯西序列转换成 "M" 内的柯西序列。对于连续映射,该陈述则不一定会成立;例如,一个将开区间 (0,1) 满射至实数线的连续映射即会将柯西序列转换成无界的序列。

  给定一数 K > 0,映射 "ƒ" : "M" → "M" 为利普希茨连续,若  每个利普希茨连续映射均是一致连续的,但反之不一定成立。  若 K < 1,则 f 称之为压缩映射。令 "M" = "M",且 "M" 是完备的。若 f 是个压缩映射,则 f 会有个唯一的不动点(巴拿赫不动点定理)。若 "M" 是紧致的,则条件可稍微放宽一点:f 会有个唯一的不动点,若

  映射 "f":"M"→"M" 称之为等距同构,若 等距同构总会是单射的;紧致或完备集合在等距同构下的像仍分别会是紧致或完备的。不过,若等距同构不是满射的,则闭(或开)集的像不一定是封闭(或开放)的。

  映射 "f" : "M" → "M" 称之为拟等距同构,若存在常数 A ≥ 1 与 B ≥ 0,使得  且有一个常数 C ≥ 0,使得 "M" 内的每个点与像 "f"("M") 内的某个点间之距离至多为 C。  须注意,拟等距同构不需要是连续的。拟等距同构比较度量空间的「大尺度结构」;多用于几何群论内与字度量有关的理论。

  度量空间之间有着不同的等价性。依据两个空间之间能够存在的函数,可给出不同等价的程度与类型。  给定两个度量空间 ("M", "d") 和 ("M", "d"):

  度量空间是个仿紧致豪斯多夫空间,因此是个正规空间(且实际上是个完美正规空间)。度量空间也是个第一可数空间,因为可使用具有理数半径的球作为该空间的基。  依据提策扩展定理,每个度量空间都能具有单位分解,且每个定义于度量空间的闭子集上之连续实数值函数均能扩展成整个空间的连续映射。每个定义于度量空间的子集上之实数值利普希茨连续映射亦能扩展成整个空间的利普希茨连续映射。  度量空间 M 上的度量拓扑是使得 formula_112 映射至非负实数的度量 d 为连续之最粗糙拓扑。

  构造分离一个点与一个闭集的函数(作为完全正则空间的要求)的简单方式是考虑点和集合之间的距离。 如果 ("M","d") 是度量空间,"S" 是 "M" 的子集而 "x" 是 "M" 的点,则可定义从 "x" 到 "S" 的距离为  d(x, S) = 0 当且仅当 x 包含于 S 的闭包内。此外,可将三角不等式推广如下: 其中,可证明映射 formula_116 是连续的。  给定两个 M 内的子集 S 与 T,可定义豪斯多夫距离为  一般而言,豪斯多夫距离 "d"("S","T") 可以是无限大的。两个集合的在豪斯多夫距离上会互相靠近,若其中一个集合的每个元素会靠近另一集合的某个元素。  豪斯多夫距离 "d" 会将由所有 M 内非空紧致子集所组成之集合 K(M) 转换成一个度量空间。可证明若 M 是完备的,则 K(M) 亦是完备的。(紧致子集的收敛性亦可由库拉托夫斯基收敛给出。)  然后,可定义任两个度量空间之间的格罗莫夫-豪斯多夫距离为这两个空间的等距同构嵌入版本间之最短豪斯多夫距离。使用此一距离,由所有(等距同构类型的)紧致度量空间所组成的类本身即会形成一个度量空间。

  如果 formula_119 是度量空间,而 "N" 是在 "R" 上的欧几里得范数,则 formula_120 亦为度量空间,且积度量定义为  积度量导出之拓扑等价于积拓扑。依据有限维的范数之等价性,曼哈顿范数、p-范数、最大范数,及其他当座标内的分量增加时不会减少(符合三角不等式)之范数,所给出的度量均为拓扑同构。  同样的,度量空间的可数积度量可以定义为如下度量:  度量空间的不可数积度量不一定是可度量化的。例如, formula_123 不是第一可数空间,因此不能度量化。

  值得注意的是,在一个空间 formula_124 中,距离映射 formula_125 在上述任何一个积度量 formula_126 下均是一致连续的,且特别是,在 formula_112 下的积拓扑会是连续的。

  若 M 为度量空间,其度量为 d,且 ~ 为 M 上之等价关系,则可在商集合 M/~ 上赋加下面的(伪)度量。给定两个等价类 [x] 与 [y],可定义  其中,formula_129、formula_130、formula_131(即取从 [x] 至 [y] 经过所有等价类之路径的最短长度)。一般来说,这仅能定义出一个伪度量,即 d'([x],[y])=0 不一定蕴涵 [x] = [y]。不过,对于良好的等价关系(如将多面体沿着面胶合),则会是个度量。此外,若 M 是个紧致空间,则该度量在 M/~ 上导出之拓扑为商拓扑。  商度量 d 具有下列泛性质:若 formula_132 是个度量空间之间的度量映射(即对于所有 x、y,formula_133),满足当 formula_134 时,f(x)=f(y) 的条件,则函数 formula_135 定义为 formula_136,亦会是个度量映射 formula_137。  一个拓扑空间是序列的,当且仅当该空间是个度量空间的商空间。

  

  有序集 formula_139 可透过令 formula_140 时恰有一态射 formula_141,否则没有态射,将之视为一个范畴。使用 + 作为张量积,0 作为单位元,该集合可变成一个么半范畴 formula_142。每个度量空间 (M, d) 均可被视为 formula_142 上的丰富范畴 formula_144。其步骤如下:
在数学中,度量空间是一个集合及其度量,该度量是一个函数,定义了集合中任两个成员(通常我们称为"点")间的距离这一概念。简略地来说,这个度量满足了几个简单的特性: