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  计算formula_1  把被除式、除式按某个字母作降幂排列,缺项补零,写成以下形式:  然后商和余数可以这样计算:  横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。  算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有formula_4被替换为10的情形。

  使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式(经常很有用)。 考虑多项式formula_5, formula_6 (("D")的次数 < ("P")的次数)。 然后,对某个商多项式formula_7和余数多项式 "R"("x") (("R")的系数 < ("D")的系数), 这种变换叫做除法变换,是从算数等式 formula_9 得到的。

  

  有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用有理数根定理得到的。如果一个formula_10次多项式 formula_5的一个根formula_12已知,那么formula_5 可以使用多项式长除法因式分解为formula_14的形式,其中formula_7是一个formula_16次的多项式。简单来说,formula_7就是长除法的商,而又知formula_12是formula_5的一个根、余式必定为零。  相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知formula_12和formula_21这两个,那么可以先从formula_5中除掉线性因子formula_23得到formula_7,再从formula_7中除掉 formula_26,以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子formula_27。  使用这种方法,有时超过四次的多项式的所有根都可以求得,虽然这并不总是可能的。例如,如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根,它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

  多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。 如果formula_28是formula_29的余式——也即,除以formula_30——那么在 formula_31处formula_5的切线方程是formula_33,不论formula_12是否是formula_5的根。
多项式除法是代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算,因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。