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  无限猴子定理是来自埃米尔·博雷尔一本1913年出版谈概率的书籍,当中介绍了「打字的猴子」的概念。这个定理是概率论中的柯尔莫哥洛夫的零一律的其中一个命题的例子。不过,当波莱尔在书中提出零一律的这个特例时,柯尔莫哥洛夫的一般叙述并未给出(柯尔莫哥洛夫那本概率论的著作直到1933年才出版)。

  

  关于此定理的叙述为:有无限只猴子用无限的时间会产生特定的文章。其实不必要出现了两件无限的事物,一只猴子打字无限次已经足够打出任何文章,而无限只猴子则能即时产生所有可能的文章。

  其他取代的叙述,可能是用大英博物馆或美国国会图书馆取代法国国家图书馆;另一个常见的版本是英语使用者常用的,就是猴子会打出莎士比亚的著作。

  这一典故的出处,乔纳森·斯威夫特1782年出版的的《格列佛游记》,第三部分第五章,教授要其学生通过经常转动机械把手产生一些随机的字句,以建立所有科学知识的列表。

  

  两个独立事件同时发生的概率等于其中每个事件单独发生的概率的乘积。比如,在某一天台北下雨的可能性为0.3,旧金山地震的可能性是0.008(这两个事件可以视为相互独立的),那么它们同时发生的概率是0.3×0.008 = 0.0024。  假设一个打字机有50个键,想要打出的字是“banana”。随机的打字时,打出第一个字母“b”的概率是1/50,打出第二个字母“a”的概率也是1/50,因为事件是独立的,所以一开始就打出单词“banana”的概率是: 这个概率小于150亿分之1。同理,接下来继续打出“banana”的概率也是1/50。  所以,在给定的六个字母没有打出“banana”的概率是1−(1/50)。因为每一段(6个字母)文字都是独立的,连续n段都没有打出“banana”的概率"X"是:  随着"n"变大,"X"在变小。当"n"等于100万时,"X"大约是0.9999(没有打出“banana”的概率是99.99%);但是当"n"等于100亿时"X"大约是0.53(没有打出“banana”的概率是53%);当"n"等于1000亿时"X"大约是0.0017(没有打出“banana”概率是0.17%);当"n"趋于无穷时"X"趋于零。这就是说,只要使"n"足够大,"X"可以变得足够小。  同样的论证也可以说明在无限多的猴子中有至少一个会打出一段特定的文章。这里"X" =(1−(1/50)),其中"X"表示在前n个猴子中没有一个一次打出"banana"的概率。当我们有1000亿只猴子时,这个概率降低到0.17%,并且随着猴子数量n趋于无穷大,没有打出“banana”的概率"X"趋于0。  但是,在只有有限的时间和有限只猴子时,结论就大不一样了。如果我们的猴子数量和可观测宇宙中的基本粒子数量一样多,大约10只,每秒钟打1000个字,持续打100倍于宇宙的生命长度的时间(大约10秒)有猴子能够打出一本小书的概率也趋近于0。

  以上两种情况可以扩展到所有的字符串:  对于第二个定理,设"E"某给定字符串出现在第k个字符串开头的事件。有固定的且不为零的概率"p"是这个事件发生,而且"E"是独立的,所以: 事件"E"发生无穷多次的概率是1(波莱尔-坎泰利引理)。第一个定理可以类似地处理,先将无限长的字符串分割,使得每一段的长度和给定字符串相同,然后设"E"是第"k"段等于给定字符串的事件。

  不算标点符号、空格、大小写,一个猴子随机打字打出的第一个字母和《哈姆雷特》中相同的概率是formula_3,前两个字母相同的概率是formula_4(即formula_5)。因为概率发生了指数爆炸,前20个字母相同的概率是formula_6。而打出的字和《哈姆雷特》的全部文本相同的概率降低到难以想象。整部《哈姆雷特》大约有130,000个字母。虽然有3.4分之一的概率一遍就正确地打出所有文本,在打出正确的文字之前平均需要输入的字母数量也要3.4,或者包括标点符号,4.4  即使可观测宇宙中充满了猴子一直不停地打字,能够打出一部《哈姆雷特》的概率仍然少于10分之一。

  不过在现实中,猴子打出一篇像样的文章的概率是更加低。2003年,普利茅斯大学艺术媒体实验室课程的教师和学生使用2,000英镑津贴做了这个实验,结果打出了5张几乎全是‘S’的纸。最终打出的文字没能成为一个完整的句子。  程序员Jesse使用Hadoop、亚马逊EC2和Ubuntu,并以 ASCII 形式存在的随机数成功重现《莎士比亚全集》。
无限猴子定理的表述如下:让一只猴子在打字机上随机地按键,当按键时间达到无穷时,几乎必然能够打出任何给定的文字,比如莎士比亚的全套著作。