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  给定点P、P,线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:  且其等同于线性插值。

  二次方贝兹曲线的路径由给定点P、P、P的函数B("t")追踪:  TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。

  P、P、P、P四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P走向P,并从P的方向来到P。一般不会经过P或P;这两个点只是在那里提供方向资讯。P和P之间的间距,决定了曲线在转而趋进P之前,走向P方向的「长度有多长」。  曲线的参数形式为:  现代的成象系统,如PostScript、Asymptote和Metafont,运用了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线,用来描绘曲线轮廓。

  formula_4阶贝兹曲线可如下推断。给定点P、P、...、P,其贝兹曲线即  例如formula_6:  如上公式可如下递归表达: 用formula_8表示由点P、P、...、P所决定的贝兹曲线。则  用平常话来说,formula_4阶的贝兹曲线,即双formula_11阶贝兹曲线之间的插值。

  一些关于参数曲线的术语,有 即多项式 又称作"n"阶的伯恩斯坦基底多项式,定义0 = 1。  点P称作贝兹曲线的控制点。多边形以带有线的贝兹点连接而成,起始于P并以P终止,称作贝兹多边形(或控制多边形)。贝兹多边形的凸包(convex hull)包含有贝兹曲线。

  

  线性贝兹曲线函数中的"t"会经过由P至P的B("t")所描述的曲线。例如当"t=0.25"时,B("t")即一条由点P至P路径的四分之一处。就像由0至1的连续"t",B("t")描述一条由P至P的直线。

  为建构二次贝兹曲线,可以中介点Q和Q作为由0至1的"t":

  为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,可由线性贝兹曲线描述的中介点Q、Q、Q,和由二次曲线描述的点R、R所建构:  对于四次曲线,可由线性贝兹曲线描述的中介点Q、Q、Q、Q,由二次贝兹曲线描述的点R、R、R,和由三次贝兹曲线描述的点S、S所建构:  还可参阅五阶贝兹曲线的构成:  这些运动轨迹使用de Casteljau算法计算出贝塞尔曲线。

  "n"次贝兹曲线可以转换为一个形状完全相同的"n+1"次贝兹曲线。 这在软件只支援特定阶次的贝兹曲线时很有用。 例如,Cairo只支援三次贝兹曲线,你就可以用升阶的方法在Cairo画出二次贝兹曲线。  我们利用formula_15这个特性来做升阶。我们把曲线方程序中每一项formula_16都乘上 (1 − "t") 或 "t",让每一项都往上升一阶。以下是将二阶升为三阶的范例  对任何的"n"值,我们都可以使用以下等式  式中formula_21 和 formula_22可以任意挑选。  因此,新的控制点为

  

  由于需要点阵化更精细的分辨率时,重新插值(补点)的计算量较小,贝兹曲线被广泛地在计算机图形中用来为平滑曲线建立模型。贝兹曲线是矢量图形文件和相应软件(如PostScript、PDF等)能够处理的唯一曲线,用于光滑地近似其他曲线。  二次和三次贝兹曲线最为常用。

  下列程序码为一简单的实际运用范例,展示如何使用C语言标出三次方贝兹曲线。注意,此处仅简单的计算多项式系数,并读尽一系列由0至1的t值;实践中一般不会这么做,递归求解通常会更快速——以更多的内存为代价,花费较少的处理器时间。不过直接的方法较易于理解并产生相同结果。以下程序码已使运算更为清晰。实践中的最佳化会先计算系数一次,并在实际计算曲线点的循环中反复使用。此处每次都会重新计算,损失了效率,但程序码更清楚易读。  曲线的计算可在曲线阵列上将相连点画上直线——点越多,曲线越平滑。  在部分架构中,下以程序码也可由动态规划进行最佳化。举例来说,"dt"是一个常数,"cx" * "t"则等同于每次反复就修改一次常数。经反复应用这种最佳化后,循环可被重写为没有任何乘法(虽然这个过程不是稳定数值的)。  另一种贝兹曲线的应用是在动画中,描述物件的运动路径等等。此处,曲线的x、y位置不用来标示曲线,但用来表示图形位置。当用在这种形式时,连续点之间的距离会变的更为重要,且大多不是平均比例。点将会串的更紧密,控制点更接近每一个点,而更为稀疏的控制点会散的更开。如果需要线性运动速度,进一步处理时就需要循所需路径将点平均分散。

  有时我们可能想要把贝兹曲线表示为多项式,而非比较不直接的伯恩斯坦多项式。使用二项式定理和贝兹曲线的定义,重新整理后可以得到:  此处  计算曲线上的点时需要多次计算formula_26,因此事先计算好formula_27会比较实际;然而要小心高阶曲线可能会缺乏数值稳定性(需使用De Casteljau算法来处理)。注意其空积为1。

  有理贝兹增加可调节的权重,以提供更近似于随意的形状。分子是加权的伯恩斯坦形式贝兹曲线,而分母是加权的伯恩斯坦多项式的总和。  给定"n" + 1控制点P,有理贝兹曲线可如下描述: 或简单的
在数学的数值分析领域中,贝兹曲线(英语:Bézier curve)是计算机图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝兹曲线就称作贝兹曲面,其中贝兹三角是一种特殊的实例。