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  假设某函数从, 从 映射到 向量, 其雅可比矩阵是一 的矩阵,换句话讲也就是从 到 的线性映射,其重要意义在于它表现了一个多变量向量函数的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于单变量函数的导数。  此函数 的雅可比矩阵 为 的矩阵,一般由以下方式定义:  矩阵的分量可表示成:  雅可比矩阵的其他常用符号还有:  此矩阵的第 formula_7行是由函数 formula_8 的梯度函数所表示的,formula_9。  如果 formula_10是formula_11 中的一点,formula_12在 formula_10点可微分,根据数学分析, formula_14是在这点的导数。在此情况下,formula_14这个线性映射即 formula_12 在点 formula_10附近的最优线性逼近,也就是说当 formula_18足够靠近点 formula_10时,我们有 讲更详细点也就是:  其中, 代表小o符号, 为 与 之间的距离。

  

  由球坐标系到直角坐标系的转化由 函数给出,其分量为:  此坐标变换的雅可比矩阵是  其雅可比行列式为,由于,如果做变量变换的话其体积元(Volume element),,会变成:。

  ,其各分量为  其雅可比矩阵为: 此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

  考虑形为 formula_29的动力系统,formula_30。如果 formula_31,那么 formula_32是一个临界点。系统接近临界点时的行为跟 formula_33的特征值相关。

  如果,那么 是从 映射到 的函数,且它的雅可比矩阵是一个方阵。于是我们可以取它的行列式,称为雅可比行列式。  在某个给定点的雅可比行列式提供了 在接近该点时的表现的重要资讯。例如,如果连续可微函数 在 点的Jacobi行列式不等于零,那么它在该点附近有 的反函数。这称为反函数定理。更进一步,如果 点的Jacobi行列式是正数,则 在 点保持定向(preserves orientation);如果是负数,则 逆转定向(reverses orientation)。而从Jacobi行列式的绝对值,就可以知道函数 在 点附近是放大或缩小体积;这就是它出现在换元积分法中的原因。

  设有函数,其分量为:  则它的Jacobi行列式为:  从中我们可以看到,当 和 同号时, 逆转定向;该函数处处具有反函数,除了在 或 的点。

  根据反函数定理,一个"可逆函数"(存在反函数的函数)的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的"反函数"的雅可比矩阵。即,若函数 formula_30在点 formula_39的雅可比矩阵是连续且可逆的,则 formula_40在点 formula_10的某一邻域内也是可逆的,且有 成立。相反,倘若雅可比行列式在某一个点不为零,那么该函数在这个点的某一邻域内"可逆"(存在反函数)。  一个多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言,如果函数的雅可比行列式为一个非零实数(相当于其不存在复零点),则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。
在向量分析中,雅可比矩阵(也称作Jacobi矩阵,英语:Jacobian matrix)是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。