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  佐恩引理的一个典型应用是证明任何一个环formula_17必然有极大理想。用formula_7来表示formula_17的所有真理想(即formula_17的所有双边理想,且该理想是formula_17的真子集)。在formula_7中引入一个偏序,定义为集合的包含关系,那么formula_7中必然有一个极大元素,并且这个元素是formula_17的真子集,从而formula_17有一个极大理想。  为了应用佐恩引理,需要证明formula_7的任何一个全序子集formula_2都有一个上界,即存在一个理想formula_28满足formula_29并且formula_28比formula_2中任何一个元素都大。现取formula_28为formula_2中所有理想的并。可以证明,formula_28是一个理想:如果formula_35和formula_36是formula_28中的两个元素,那么必然存在formula_2中两个理想formula_39满足formula_40。注意formula_2是一个全序集,所以必然有formula_42或者formula_43,从而有formula_44或formula_45。无论是哪种情况,均有formula_46。而且,对于任何formula_47都可以证明formula_48。由此,formula_28是formula_17的一个理想。  现在考虑证明的核心部分:利用formula_51充要于formula_52,可以证明formula_28一定是formula_17的真子集。因为如果formula_52,那么必然有某个formula_56满足formula_57,这意味着formula_58。但formula_59,从而formula_60,矛盾。  这样,利用佐恩引理,formula_7必然包含一个极大元,而这个元素就是formula_17的一个极大理想。  注意这个结论只在formula_17是单位环的时候成立,在formula_17不是单位环的情形下,一般而言这个结论是不成立的。

  假设佐恩引理不成立,那么存在一个非空的偏序集formula_65,使得它的任何一个全序子集都有上界,但formula_7中任何元素都不是极大元素。然后,对于任何一个全序子集formula_2,可以定义一个相对应的元素formula_68,使其严格大于formula_2的任意元素,因为formula_2有一个上界,formula_7中又必然存在一个元素严格大于这个上界。为了确实地定义函数formula_36,我们需要用到选择公理。  利用函数formula_36,可以构造formula_7的一个全序子集formula_75,这里作为下标的指标集不仅可以是自然数,也可以是序数。事实上,所有序数组成一个真类,粗略地说,可以认为序数的数目大于任何集合的基数,formula_7也不例外。所以这个序列终会穷尽,这样就导出了矛盾。  上述的序列可以利用超限归纳法构造:formula_77可以选择为formula_7中任意元素,而对于任意一个序数formula_79,定义formula_80,注意formula_81是全序的,所以formula_82的定义是合理的。  事实上这个证明的结论略强于佐恩引理: 如果formula_7是一个偏序集,并且它的任何一个良序子集都有上界,那么对于formula_7的任意元素formula_85而言,formula_7中有一个大于等于formula_85的极大元。换言之,存在一个可以与formula_85比较的极大元。 我们也可以直接应用选择公理证明佐恩引理:  根据选择公理,对于一个偏序集formula_7的所有非空子集formula_90在存在一个选择函数formula_91使得formula_92。从formula_7本身开始:考虑formula_94,如果formula_95是极大元素则终止,否则构造formula_96,这里formula_97,如果formula_98是极大元素则终止,否则用相同的技术构造formula_99。  于是我们获得了formula_7一个全序子集:  formula_101 根据假设上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素则终止,否则继续上述步骤,最终总能够穷尽formula_7  不过需要说明的是上述证明并没有阐明为何最终能够穷尽formula_7,是一个不够严格的证明。见于 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一书。

  佐恩引理在1922年首先被库拉托夫斯基所发现,1935年佐恩亦独立地发现此结论。
佐恩引理(英语:Zorn's Lemma)也被称为库拉托夫斯基-佐恩(Kuratowski-Zorn)引理,是集合论中一个重要的定理,其陈述为: 在任何一非空的偏序集中,若任何链(即全序的子集)都有上界,则此偏序集内必然存在(至少一枚)极大元。 佐恩引理是以数学家马克斯·佐恩的名字命名的。