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  外尔出生于德国汉堡附近的小镇埃尔姆斯霍恩。从1904年到1908年期间他在哥廷根和慕尼黑学习数学和物理。在他十分尊敬的导师希尔伯特的指导下,外尔在哥廷根大学获得博士学位。在几年的教学工作后,他离开哥廷根到苏黎世,在那里他担任苏黎世联邦理工学院数学系的系主任。在那里他和当时正在研究广义相对论阿尔伯特·爱因斯坦是同事。爱因斯坦对着迷于数学物理的外尔有很大的影响。1921年外尔见到了被聘用为苏黎世大学教授的埃尔温·薛定谔,自那时起他们成为了一生的亲密朋友。  外尔在1930年离开了苏黎世,到哥廷根接替希尔伯特的职位,直到1933年纳粹执政时,因为他的妻子是犹太人而被迫离开。这一事件使得他决定前往当时刚刚创建的普林斯顿高等研究院。直到1951年他退休以前,他都在那里工作。他和他的妻子生活在普林斯顿和苏黎世两地,并于1955年逝世。

  

  1913年,外尔出版了"Die Idee der Riemannschen Fläche" ("The Concept of a Riemann Surface",《黎曼面的概念》,有英译本)一书。在书中他给出了处理黎曼面的一般方法。为了让黎曼面的理论更加严格,外尔使用了点集拓扑。而这一方法后来被推广到一般的流形上。他为此参考了鲁伊兹·布劳威尔之前在拓扑学上的工作。  作为哥廷根的最重要的科学家之一,外尔很早就对爱因斯坦的工作有了充分的了解。在他的"《时间、空间、物质》"(1918年第一版,1922年第四版)一书中,他回溯了相对论物理的发展。1918年,他引入了规范(gauge)的概念,并给出了规范理论最早的例子。在当时的条件下,外尔的规范理论试图用时空的几何性质来描述电磁场和引力场,但是这并不是一个太成功的尝试(某种程度上,我们可以把他的工作看成爱因斯坦所追求的统一场论的数学化)。黎曼几何中的外尔张量对研究共形几何的内在性质有重要的作用。1929年外尔把四脚场(vierbein)引入广义相对论。.  他的对物理学的探索基于埃德蒙德·胡塞尔的现象哲学,特别是胡塞尔在1913年的 "Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie "("《纯粹现象学通论 纯粹现象学和现象学哲学的观念(I)》" 胡塞尔著 李幼蒸译)。 显然地,这是外尔处理爱因斯坦的有争议的对于恩斯特·马赫的现象物理学的依赖性的方式。胡塞尔对戈特洛布·弗雷格 关于他的算术哲学的最早的著作的批评反应强烈。彼时他正在探索对于数学和其他结构的感觉,而这正是弗雷格从经验参考中区分出来的。所以有充足的理由认为,规范理论是从外尔的作为物理量度的形式的观点,而不是一种物理理论发展起来的。
赫尔曼·克劳斯·胡戈·外尔(Hermann Klaus Hugo Weyl,1885年-11月9日-1955年-12月8日),又译魏尔、韦尔,德国数学家,物理学家和哲学家。 尽管他的大部分工作时间是在瑞士苏黎世和美国的普林斯顿高等研究院(IAS)度过的,他仍被认为传承了以大卫·希尔伯特和赫尔曼·闵可夫斯基为代表的哥廷根大学学派的数学传统。 他的研究工作在理论物理上和在纯数学领域(如数论)等都有着一样杰出的贡献。他是20世纪最有影响力的数学家之一,也是普林斯顿高等研究院早期的重要成员。