Palmer urodził się w Buffalo w stanie Nowy Jork. Innis uczestniczył w chórze w lokalnym kościele, dopóki nie wstąpił do armii. W 1842 roku wstąpił do Akademii Wojskowej Stanów Zjednoczonych. Ukończył szkołę w roku 1846 i został mianowany brytyjskim porucznikiem w 2. Wstąpił do wojny meksykańsko-amerykańskiej jako pierwszy porucznik i został uhonorowany za odwagę i godną uwagi służbę w bitwach o Contreras i
Churubusco. Jego odwaga w bitwie pod Chapultepec przyniosła mu awans do rangi kapitana. W marcu 1855 roku Palmer został awansowany do pełnego stopnia kapitana w 2. kawalerii amerykańskiej.