Abashvili urodził się w Tbilisi w Gruzji, która wówczas należała do Imperium Rosyjskiego. Ukończył Leningradzki Wydział Marynarki Wojennej w 1931 roku i wstąpił do radzieckiej Floty Bałtyckiej, w której służył podczas kampanii fińskiej.
i II wojny światowej. W 1944 roku był zastępcą szefa sztabu Floty Bałtyckiej, a także dowodził dywizją niszczycieli, która odegrała kluczową rolę w złagodzeniu blokady Leningradu. W 1953 r. był starszym oficerem radzieckich okrętów odwiedzających Polskę, a w 1954 r. z tymi, które zostały wezwane do Finlandii. Podczas kryzysu kubańskiego w 1962 roku Abashvili był zastępcą dowódcy naczelnego Issa Pliyeva i dowódcą marynarki wojennej w proponowanej grupie sił radzieckich na Kubie (operacja Anadyr). Według jednego z relacji, był przeciwny natychmiastowemu użyciu siły w dniach kryzysu. Mówi się, że opóźnił rozkaz wystrzelenia radzieckich pocisków podczas szczytu napięć i stał się jedną z osób, które przyczyniły się do zapobieżenia wojnie jądrowej. W tym samym roku przeszedł na emeryturę, a w 1982 roku zmarł na udar mózgu w Leningradzie.