Grupa liniowa ogólna GL ((n, R) składa się ze wszystkich odwracalnych matryc n-by-n z rzeczywistymi wpisami. Jej podgrupy nazywane są grupami macierzystymi lub grupami liniowymi. Przykład grupy diedrów wspomniany powyżej może być postrzegany jako (bardzo mała) grupa macierzysty. Inną ważną grupą macierzystych jest specjalna grupa ortogonalna SOn ((). Opisuje ona wszystkie możliwe obroty w n wymiarach. Za pomocą kątów Eulera, macierze obrotowe są używane w grafice komputerowej. Teoria reprezentacji jest zarówno koncepcją zastosowania grupy, jak i ważna dla głębszego zrozumienia grup. Bada grupę poprzez jej działania na innych przestrzeniach. Szeroka grupa reprezentacji jest po prostu reprezentacją liniową, tj. grupa działa na przestrzeni trójwymiarowej, takiej jak przestrzenią Euklidesową.
przestrzeń wektorowa