Pierwotna motywacja do teorii grup była poszukiwaniem rozwiązań równania wielomianowego o stopniu wyższym niż 4. W XIX wieku francuski matematyk Évariste Galois (1888) rozpoczął pracę nad różnymi grupami, rozszerzając wcześniejsze prace Paolo Ruffini i Joseph-Louis Lagrange, dał kryterium rozwiązywalności określonego równania wielomianowego w kategoriach grupy symetrii jego korzeni (rozwiązań). Elementy takiej grupy Galoisa odpowiadają pewnym permutacjom korzeni. Początkowo pomysły Galoisa zostały odrzucone przez jego współczesnych i opublikowane dopiero pośmiertnie.
uproszczenie dowodu tej klasyfikacji