Dora Trepat de Navarro zaczęła grać w szachy w klubie szachowym w Buenos Aires "Club de Ajedrez Jaque Mate de la Capital Federal". W latach 1935-1939 i 1954 pracowała jako instruktor szachowy w klubie "San Lorenzo de Almagro". Od końca lat trzydziestych do początku lat sześćdziesiątych Dora Trepat de Navarro była jedną z czołowych argentyńskich kobiet w szachach. W 1938 roku wygrała pierwszy argentyński mistrzostwa kobiet w szachach. W 1939 roku Dora Trepat de Navarro uczestniczyła w
Mistrzostwa Świata w Szachach dla Kobiet w Buenos Aires i zajęła 12. miejsce (turniej wygrała Vera Menchik). Dwukrotnie zajęła trzecie miejsce na mistrzostwach świata w szachach dla kobiet w turniejach strefowych w Ameryce Południowej (1954, 1966). W 1964 roku Dora Trepat de Navarro po raz ostatni wygrała argentyńskie mistrzostwa kobiet w szachach.