Egerszegi zadebiutowała na arenie międzynarodowej na Mistrzostwach Europy w dziedzinie sportów wodnych w 1987 r.
w wieku 13 lat, zajmując czwarte miejsce na 200 m plecami i piąte na 100 m plecami. Na Letnich Igrzyskach Olimpijskich 1988 zdobyła srebrny medal w biegu na 100 m plecami i została mistrzynią olimpijską w biegu na 200 m plecami. W wieku 14 lat i 41 dni stała się najmłodszą w historii kobiecą mistrzynią olimpijską w pływaniu. Rekord ten pobiła w 1992 roku japońska Kyoko Iwasaki, która w wieku 14 lat i sześciu dni zdobyła złoty medal w biegu na piersi na 200 metrów na igrzyskach olimpijskich w Barcelonie. Pod koniec 1988 roku była czołową pływaczką na 200 m plecami w rankingu światowym, a także została Pływakiem Roku i Najlepszą Sportowczynią Roku na Węgrzech.