Albert Popov urodził się w Sofii i zadebiutował w Mistrzostwach Świata w narciarstwie alpejskim w 2014 roku, mając zaledwie 17 lat. Kilka miesięcy później wziął udział w Mistrzostwach Świata w narciarstwie alpejskim FIS 2015
, gdzie nie udało mu się ukończyć zarówno w slalomie i slalomie olbrzymim.