Dora Trepat de Navarro byrjaði að spila skák í Buenos Aires skákklúbbnum "Club de Ajedrez Jaque Mate de la Capital Federal". Frá 1935 til 1939 og frá 1954 starfaði hún sem skákkennari í félaginu "San Lorenzo de Almagro". Frá síðari hluta áratugarins til snemma áratugarins var Dora Trepat de Navarro ein af leiðandi skákkonum í Argentínu. Árið 1938 vann hún fyrsta skákmeistaratitil kvenna í Argentínu. Árið 1939 tók Dora Trepat de Navarro þátt í heimsmeistaramóti kvenna í skák.
í Buenos Aires og tók 12. sæti (mótið var unnið af Vera Menchik). Hún varð tvisvar í 3. sæti á heimsmeistaramóti kvenna í skák í Suður-Ameríku (1954, 1966). Árið 1964 vann Dora Trepat de Navarro síðast kvenna meistaratitil Argentínu í skák.