Ljúka eftirfarandi setningu: Á sjötta áratugnum, á tímabilinu sem kallað er "thaw", ferðaðist Voznesensky oft til útlanda: til Frakklands, Þýskalands, Ítalíu, Bandaríkjanna og annarra landa. Vinsældir Voznesensky, Yevgeny Yevtushenko og Bella Akhmadulina voru merktar af frammistöðum þeirra fyrir framan dýrkandi mannfjölda sem voru þúsundir á völlum, í tónleikahöllum og háskólum. Með því að gera það starfaði hann sem "eitthvað af óopinberum menningarfulltrúa Kreml", samkvæmt "The New York Times". Ljóðagreining hans var mikil. Hann keppti við Laurence Olivier og Paul Scofield á sýningu í London. Hann gagnrýndi
1968 innrás í Tékkóslóvakíu. Á meðan hann var í Bandaríkjunum kynntist hann Allen Ginsberg, Arthur Miller og Marilyn Monroe.