Kondrashin er fæddur í Moskvu í fjölskyldu hljómsveitarmanna. Eftir að hafa varið mörgum tímum í æfingum ákvað hann 14 ára að verða stjórnandi. Hann stundaði nám við Moskvu-ljóðskólann á árunum 1931 til 1936 undir stjórn Boris Khaykin. Kondrashin byrjaði að stjórna í Unglingateatrinum í Moskvu árið 1931, og hélt áfram í Stanislavski og Nemirovich-Danchenko Moskvu-ljóðleikhúsinu þremur árum síðar. Hann stjórnaði í Maliy Óperuteatrinum í Leningrad frá 1938 til 1942 og Bolshoi-leikhúsinu í Moskvu frá 1943.
Árið 1943