Welch var valinn af Pittsburgh Penguins í innritunardröftunni árið 2001.
Hann var valinn 54. í annarri umferð. Noah var fyrirliði í háskólahokkíliðinu í Harvard og útskrifaðist árið 2005. Áður en hann hókaði í háskóla spilaði hann í St. Sebastian's School í Needham í Massachusetts.