Welch var valinn af Pittsburgh Penguins í
2001 NHL Entry Draft, valinn 54. í 2. hring. Noah var fyrirliði í háskólahokkíliðinu í Harvard og útskrifaðist árið 2005. Áður en hann hókaði í háskóla spilaði hann í St. Sebastian's School í Needham í Massachusetts.