Quinn var valinn í ūrettándu sæti af Calgary Flames.
1983 NHL Entry Draft, meðan hann spilaði fyrir Belleville Bulls í Ontario Hockey League (OHL). Quinn gerði sitt fyrsta leik með Calgary um miðbik næsta tímabils og skoraði 52 stig í 54 leikjum. Þegar hann var kallaður upp hafði hann verið að leiða OHL í skora með 59 stig.