Drogba er fæddur í Abidjan í Eldflóa-ströndinni og var fimm ára gamall þegar foreldrar hans sendu hann til Frakklands til að búa hjá frænda sínum, Michel Goba, sem var atvinnumaður í knattspyrnu. Drogba varð þó fljótlega heimilisveikur og sneri aftur til Abidjan eftir þrjú ár. Móðir hans kallaði hann "Tito" eftir Josip Broz Tito forseta Júgóslavíu, sem hún dáðist mikið að. Hann lék fótbolta á hverjum degi á bílastæði í borginni en heimkoma hans til Elffflóa-strandar var skammlíf. Báðir foreldrar hans misstu störf sín og hann sneri aftur til að búa hjá frænda sínum. Árið 1991 fóru foreldrar hans einnig til Frakklands; fyrst til Vannes og síðan árið 1993, í Antony í úthverfi Parísar, þar sem 15 ára gamall Drogba sneri aftur til að búa með þeim og systkinum.
til ađ búa hjá frænda sínum