Skrifa áframhaldandi fyrir þessa málsgrein - Á meðan á 2011 NHL Entry Draft
, Burns, ásamt annarri umferðinni sem var valinn árið 2012, var skipt til San Jose Sharks í skiptum fyrir Devin Setoguchi, Charlie Coyle og fyrsta umferðina árið 2011. Burns skrifaði undir fimm ára framlengingu á samningi sínum við Wild þann 1. ágúst 2011 með Sharks. Samningurinn myndi greiða honum 28,8 milljónir dollara á fimm árum, með meðaltal launa á 5,76 milljónir dollara. Árið 2013, eftir að Haukar fengu nýliðinn Matt Irwin, í mars, var Burns fluttur til framherja, þar sem hann skoraði 20 stig í 23 leikjum reglulegs tímabils. Á tímabilinu 2013-14 lék Burns fyrstu átta leiki tímabilsins en missti af 13 leikjum eftir 21. október vegna sársauka í tannkirtli. Þann 21. nóvember komst Burns aftur inn í liðið og skoraði gegn Tampa Bay Lightning í 5-1 sigurleik. Þann 29. nóvember, gegn St. Louis Blues, skoraði Burns sitt fyrsta hat-trick í ferlinum í 6-3 sigri.