Stoddart gerđi draum sinn að eignast F1 liđ ūegar Minardi hluthafi Gabriele Rumi seldi honum skömmu fyrir upphaf tímabilsins. Undir stjórn Stoddart átti liðið erfitt á árunum 2001 til 2004, en varð áfram eftirsóknarmaður vegna skorts á arðgóðum styrkjum. Stoddart var næstum búinn að selja European Aviation í lok árs 2002 og Wilux varð aðalstyrktaraðili Minardi. Langtíma Minardi íþróttastjóri John Walton lést á aðvöllunni að breska Grand Prix 2004
; liðið keyrði stuðningslaust heiðursmerki fyrir þennan keppni, en Wilux hætti síðar styrktarstarfi sínu og sagði að þeir hefðu frekar verið upplýstir fyrirfram. Skortur á styrktaraðilum lét framtíð Minardi aftur í vafa. Í síðasta tímabili Minardi voru svörtu bílarnir prýddir OzJet, þriggja flugvéla Boeing 737-200 í viðskiptaflokki, eina flugfélagið í Ástralíu í eigu Stoddart, sem flaug í nokkra mánuði en er nú starfrækt sem leiguflugfélag. Þann 12. september 2005 tilkynnti Stoddart að hann hefði selt liðið sitt til eiganda Red Bull Racing, Dietrich Mateschitz, sem síðar breytti nafninu á liðið í Toro Rosso.