Quinn valittiin Calgary Flamesin 13. sijalla.
Hänet valittiin vuoden 1983 NHL:n pelivuokraukseen, kun hän pelasi Belleville Bullsille Ontario Hockey League'ssa (OHL). Quinn teki debyyttinsä Calgaryn kanssa seuraavan kauden puolivälissä, jolloin hän teki 52 pistettä 54 pelissä. Kun hänet kutsuttiin, hän oli johtanut OHL:ää 59 pisteellä.