Kozlov valittiin San Jose Sharksille ensimmäisessä kierroksessa.
1993 NHL:n ensi-ottelu. Kozlov teki uransa ensimmäisen maalin Sharksille Ed Belfouria ja Chicago Blackhawksia vastaan 21. maaliskuuta 1995 Sharksin tappiossa 7:3. Hän pelasi muutaman kauden San Josessa ennen kuin hänet vaihdettiin Florida Panthersille 13. marraskuuta 1997. Floridassa Kozlovin parhaat vuodet olivat Pavel Buren kanssa. Hänen paras kautensa oli kaudella 1999-2000, jolloin hän asetti uransa huipputasoja apujoukkueissa ja pisteissä. Hän pelasi Panthersissa 1. maaliskuuta 2004 asti, jolloin hänet vaihdettiin New Jersey Devilsiin Christian Berglundia ja Victor Uchevatovia vastaan.