Kvitelashvili teki debyyttinsä ISU Challenger Seriesissä (CS) ja sijoittui viidenneksi Lombardia Trophy -kilpailussa syyskuussa 2014. Marraskuussa hän kilpaili vuoden 2014 Rostelecom Cupissa loukkaantuneen Koljadan tilalle. Hän pääsi kahdestoista tapahtumassa, joka oli hänen uransa ensimmäinen vanhempi Grand Prix (GP) -tehtävä. Hän oli kahdeksas vuoden 2015 Venäjän mestaruuskilpailussa.
Vuonna 2015 hän osallistui toiselle talviuniversialleen ja sijoittui seitsemänneksi helmikuussa 2015 Espanjan Granadassa järjestetyssä kilpailussa.