Brady oli esimerkillinen nuorisouralla WHL:ssä Medicine Hat Tigersin kanssa. Saatuaan 81 pistettä 72 ottelussa ja yli 100 rangaistusminuutin 1985/86 Brady valittiin kolmanneksi New Jersey Devilsin joukkueeseen vuoden 1986 NHL:n peliluonnoksessa.
- Mitä? Hän palasi junioreihin, sitten hän muuttui ammattilaiseksi AHL: n Utica Devilsin kanssa vuonna 1988/89. Hän teki NHL-debyyttinsä 5. lokakuuta 1989.