Quine pelasi 252 ottelua OHL:ssä Kingston Frontenacsin, Peterborough Petesin ja Belleville Bullsin kanssa, jolloin hän teki yhteensä 90 maalia ja 128 tuuria 218 pisteeseen ja 218 rangaistusminuuttiin. 2010-11 OHL-kauden jälkeen Quine valittiin Detroit Red Wingsille 3. kierroksella 2011 NHL Entry Draftissa, mutta hän ei allekirjoittanut Red Wingsille ja jatkoi pelaamista OHL:ssä. Vuoden 2012-13 OHL-kauden jälkeen Quine kuuli nimensä uudelleen NHL-vuodenluokituksessa
New York Islanders valitsi hänet kuudennessa erässä.