Kóczán osallistui vuoden 1912 kesäolympialaisiin nimellä Mór Kovács välttääkseen ristiriitoja kirkon kanssa, joka vastusti hänen urheilutoimintojaan. Hänen pääkilpailunsa pääkierroksessa, - keihäänheitto
, Kóczán johti ryhmäänsä ja saavutti kolmannen parhaan kokonaisloppuloksen 54,99 metriä. Viimeisellä kierroksella hän paransi sen 55,50:een, mutta ei kyennyt ottamaan puolustavaa mestaria Eric Lemmingia (60,64) ja Julius Saaristoa (58,66) vastaan ja voitti lopulta pronssimitalin, jolloin hänestä tuli ensimmäinen ei-skandinaavinen, joka voitti mitalin keihäänheitossa olympialaisissa, sekä ensimmäinen unkarilainen, joka voitti olympialaisen mitalin. Kaksikätisessä keihäänheitossa Kóczán tuli 12. sijalle ja kiekonheitossa 33. sijalle.