Niels Henrik Abel, norjalainen, ja Évariste Galois, ranskalainen, osoittivat, että ei ole olemassa yleistä algebrallista menetelmää neljän astetta suurempien polynomiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi (Abel<unk>Ruffinin teoreema). Muut 1800-luvun matemaatikot käyttivät tätä todistuksissaan, että suoraviiva ja kompassi eivät yksin riitä kolmiulotteamaan mielivaltaista kulmaa, rakentamaan kuution sivu kahta kertaa tietyn kuution tilavuuden verran, eivätkä rakentamaan neliötä, jonka pinta-ala on sama kuin tietyn ympyrän. Matemaatikot olivat turhaan yrittäneet ratkaista kaikkia näitä ongelmia muinaisten kreikkalaisten ajoista lähtien. Toisaalta geometrian kolmen ulottuvuuden rajoitus ylitettiin 1800-luvulla tilan ja hyperkompleksin parametrien avulla. Kysymys: Mitä matemaatikot yrittivät turhaan?
Ratkaisemalla kaikki nämä ongelmat