Kóczán participou nos Xogos Olímpicos de Verán de 1912 baixo o pseudónimo Mór Kovács para evitar conflitos coa igrexa, que se opuxo ás súas actividades deportivas. Na ronda de calificación do seu evento principal, o lanzamento de lanza
, Kóczán liderou o seu grupo e logrou o terceiro mellor resultado xeral con 54,99 metros. Na rolda final mellorou a súa marca a 55,50, pero non puido igualar o actual campión Eric Lemming (60,64) e Julius Saaristo (58,66), e finalmente gañou a medalla de bronce, converténdose así no primeiro non escandinavo en gañar unha medalla no lanzamento de xapa nos Xogos Olímpicos, así como no primeiro húngaro en gañar unha medalla olímpica en atletismo. Na competición de lanzamento de lanza de dúas mans, Kóczán terminou 12o e no lanzamento de disco ocupou o 33o lugar.