Escriba unha continuación para este parágrafo - Facendo o seu debut na ISU Challenger Series (CS), Kvitelashvili colocouse quinto no Lombardia Trophy en setembro de 2014. En novembro, competiu na Copa Rostelecom 2014, substituíndo ao lesionado Kolyada; terminou duodécimo no evento, a primeira asignación de Grand Prix (GP) senior da súa carreira. Despois de quedar oitavo nos Campionatos de Rusia de 2015
En 2015, foi enviado á súa segunda Universiada de Inverno e terminou sétimo na competición, celebrada en febreiro de 2015 en Granada, España.