Descrito polos Kingston Frontenacs na primeira rolda (2o en xeral) da Selección Prioritaria da Ontario Hockey League (OHL) de 2009, Quine xogou 252 partidos na OHL cos Kingston Frontenacs, Peterborough Petes e Belleville Bulls, rexistrando un total de 90 goles e 128 asistencias para 218 puntos e 218 minutos de penalización. Despois da tempada 2010-11 da OHL, Quine foi seleccionado polos Detroit Red Wings na 3a rolda do Draft de entrada da NHL de 2011. Non obstante, non asinou cos Red Wings e continuou xogando hóckey xuvenil na OHL. Despois da tempada 2012/13 da OHL, Quine volveu escoitar o seu nome no Draft de entrada da NHL.
Esta vez polos New York Islanders que o escolleron na sexta rolda.