Kompletoha ang mosunod nga pulong: Sa katuigang 1960, sa panahon sa gitawag nga Thaw, si Voznesensky subsob nga mibiyahe sa gawas sa nasod: sa Pransiya, Alemanya, Italya, Tinipong Bansa ug sa ubang mga nasod. Ang pagkapopular ni Voznesensky, Yevgeny Yevtushenko ug Bella Akhmadulina gimarkahan sa ilang mga pasundayag sa atubangan sa nagdayeg nga panon sa katawhan nga nag-ihap sa linibo sa mga estadyum, sa mga concert hall ug unibersidad. Sa pagbuhat niana, siya nag-alagad ingong "usa ka matang sa dili-opisyal nga mensahero sa Kremlin sa kultura", sumala sa "The New York Times". Ang iyang mga katakos sa pagbasa sa balak maoy lalom. Siya nakigkompetensiya kang Laurence Olivier ug Paul Scofield sa usa ka pasundayag sa London. Iyang gikritiko ang
1968 nga pagsulong sa Czechoslovakia. Samtang didto sa Tinipong Bansa, iyang nahimamat si Allen Ginsberg, Arthur Miller, ug Marilyn Monroe.