Ang unang motivasyon alang sa grupo teoriya mao ang pagpangita alang sa mga solusyon sa polynomial equations sa degree labaw pa kay sa 4. Ang ika-19 nga siglo French matematiko Évariste Galois, sa pagpalapad sa una nga buhat sa Paolo Ruffini ug Joseph-Louis Lagrange, naghatag sa usa ka sukdanan alang sa solvability sa usa ka partikular nga polynomial equation sa mga termino sa symmetry grupo sa iyang mga gamot (solutions). Ang mga elemento sa ingon nga usa ka Galois grupo nga nahiuyon sa pipila ka mga permutations sa mga gamot. Sa unang, Galois'mga ideya gisalikway sa iyang mga kaubang mga tawo, ug gipatik lamang posthumously. Ang kinatibuk-ang mga konsepto sa grupo nga naugmad sa partikular nga pinaagi sa C. Felix Cayley sa teoriya sa grupo, nga nag-agad sa mga polynomial equation sa degree labaw pa kay sa 4. Ang ika-188 nga siglo French matematiko Évariste Galois, sa pagpalapad sa una nga buhat sa Paolo Ruffini ug Joseph-Louis Lagrange, mihatag sa usa ka
pasimpli ang pamatuod sa maong pagklasipikar