Isulat ang usa ka pagpadayon alang niini nga parapo - Kvyat nahimong ikaduha nga drayber sa Scuderia Toro Rosso (STR) Formula One team alang sa panahon, uban sa Pranses nga si Jean-Éric Vergne. Siya gipulihan Daniel Ricciardo, nga mibalhin ngadto sa ginikanan team Red Bull Racing. Ingon sa usa ka test driver alang sa STR, siya miapil sa Biyernes praktis alang sa katapusan nga duha ka Grands Prix sa 2013 panahon, sa Estados Unidos ug Brazil. Kvyat gihimo sa iyang F1 debut sa edad nga 19 lamang sa 2014 Australian Grand Prix, diin siya mihimo niini ngadto sa top ten sa qualifying ug natapos 9th sa lumba, sa pagbungkag sa Sebastian Vettel sa rekord ingon nga ang labing batan-on nga mga puntos-scorer sa Formula One. Siya mipadayon sa pag-iskor puntos sa Malaysian, Chinese, British ug Belgian Grands Prix, paghuman sa ika-15 sa World Championship. Sa Septiyembre ang mga tig-organisar sa unang Russian Grand Prix
gipahibalo ang ilang katuyoan sa pagngalan sa usa ka stand sa Sochi Autodrom sunod kaniya.