Completa la següent frase: En el seu debut a la ISU Challenger Series (CS), Kvitelashvili va quedar cinquè al Trofeu de Lombardia al setembre de 2014. Al novembre, va competir a la Copa Rostelecom 2014, substituint el lesionat Kolyada; va acabar dotzè a l'esdeveniment, la primera assignació de Gran Premi (GP) de la seva carrera. Després d'estar vuitena a la
2015 Campionat de Rússia, va ser enviat a la seva segona Universiada d'Hivern i va acabar setè a la competició, celebrada al febrer de 2015 a Granada, Espanya.