Escriu una continuació d'aquest paràgraf - Durant el Draft de la NHL 2011
, Burns, juntament amb una selecció de segona ronda del draft de 2012, va ser traspassat als San Jose Sharks a canvi de Devin Setoguchi, Charlie Coyle i una selecció de primera ronda el 2011. Amb un any encara restant en el seu contracte amb el Wild, Burns va signar una extensió de contracte de cinc anys l'1 d'agost de 2011, amb els Sharks; l'acord li pagaria 28,8 milions de dòlars en cinc anys, amb una xifra de límit salarial mitjà de 5,76 milions de dòlars. El 2013, després de l'adquisició del defensor novell Matt Irwin pels Sharks, el març, Burns va ser traslladat a l'atacant, on va marcar 20 punts en 23 partits de temporada regular. En la temporada 2013-14, Burns va jugar els primers vuit partits de la temporada, però es va perdre 13 partits després del 21 d'octubre a causa de les genives dolorides. El 21 de novembre, Burns va tornar a la línia dels Sharks i va marcar un gol contra el Tampa Bay Lightning en un esforç guanyador de 5 a 1. El 29 de novembre, contra els St. Louis Blues, Burns va registrar el seu primer hat-trick en una victòria de 6 a 3.