Completa la següent frase: Kukura va estudiar actuació a l'Acadèmia de les Arts Escèniques de Bratislava (VŠMU). Des de 1985, quan va emigrar a Alemanya, les seves pel·lícules van ser prohibides pel règim fins al final del règim comunista a Alemanya.
El 1989. Gràcies a la seva personalitat carismàtica sol retratar personatges forts i protagonistes. El 2004, va rebre el Premi DOSKY per interpretar "Martin" a "The Goat, or Who is Sylvia?" d'Edward Albee. El 2003 es va convertir en director general de Arena Theatre.