Escriu una continuació per a aquest paràgraf - Budaj va ser reclutat pels Colorado Avalanche en el draft de 2001
com a primera elecció de l'Avalanche i la 63a en general. Va portar el número 31 per a l'Avalanche després de jugar per als Hershey Bears de l'American Hockey League (AHL) i els Toronto St. Michael's Majors de l'Ontario Hockey League (OHL).