Deshpande és la segona filla del famós dramaturg i escriptor kannada Sriranga. Va néixer a Karnataka i va estudiar a Bombay (actualment Mumbai) i Bangalore. Deshpande té graus en Economia i Dret. A Mumbai, va estudiar periodisme a Vidya Bhavan i va treballar durant un parell de mesos com a periodista per a la revista 'Onlooker'. Va publicar la seva primera col·lecció d'històries breus el 1978, i la seva primera novel·la, 'The Dark Holds No Terror', el 1980. Va guanyar el Premi de l'Acadèmia de la Literatura per la novel·la That Long Silence el 1990 i el Premi Padma Shri el 2009. La seva novel·la Shadow Play va ser finalista del Premi Literari Hindu el 2014.
La foscor no té cap terror