Completa la següent frase: El seu debut oficial va ser amb l'equip uruguaià Wanderers de Durazno. Alzamendi va jugar per a l'Uruguai a les Copas del Món de la FIFA de 1986 i 1990, marcant contra Alemanya Occidental el 1986. Va jugar diversos anys per al River Plate d'Argentina, guanyant tant la Copa Libertadores d'Amèrica com la Copa del Reialme Unit.
Copa Intercontinental el 1986. En la final de la Copa Intercontinental, Alzamendi va ser nomenat home del partit i va aconseguir l'únic gol del partit al minut 28 quan es va dirigir a la xarxa després que el seu tir inicial havia colpejat el pilar i després va tornar del porter. Aquell any també va ser nomenat Futbolista Sud-americà de l'Any.