Escriu una continuació per a aquest paràgraf - En fer el seu debut a la ISU Challenger Series (CS), Kvitelashvili va quedar cinquè al Lombardia Trophy al setembre de 2014. Al novembre, va competir a la Copa Rostelecom 2014, substituint el lesionat Kolyada; va acabar dotzè a l'esdeveniment, la primera assignació de Gran Premi (GP) de la seva carrera. Després de quedar vuitena en el Campionat de Rússia de 2015
, va ser enviat a la seva segona Universiada d'Hivern i va acabar setè a la competició, celebrada el febrer de 2015 a Granada, Espanya.