Va debutar a la competició el 13 de maig de 2012 a l'última ronda, jugant en una victòria a casa de 3 a 0 contra l'Athletic Bilbao que va confirmar la primera qualificació del club per a la UEFA Europa League, i es va unir al club valencià amb un contracte de tres anys al juliol d'aquell any. Tot i ser inicialment el suport de Gustavo Munúa, Navas va ser el porter de primera opció per al Levante en la temporada 2013-14, i va ser nominat com el millor porter de la lliga al costat de Thibaut Courtois de l'Atlético de Madrid i Willy Caballero del Málaga CF, i va guanyar el premi.
Jugador del mes de la Lliga