A debutat în competiție la 13 mai 2012 în ultima rundă, jucând într-o victorie cu 3-0 împotriva lui Athletic Bilbao, care a confirmat prima calificare a clubului pentru UEFA Europa League, și s-a alăturat clubului valencian cu un contract de trei ani în iulie acelui an. În ciuda faptului că inițial a fost rezervă pentru Gustavo Munúa, Navas a fost portarul de primă alegere pentru Levante în sezonul 2013-14, și a fost nominalizat ca cel mai bun portar al campionatului alături de Thibaut Courtois de la Atlético Madrid și Willy Zamora de la C.F. Málaga, care a câștigat premiul. În martie 2014, a fost jucătorul lunii din La Liga, primul portar care a câștigat premiul.
Jucătorul lunii din La Liga