Quinn a fost selectat pe locul 13 în draft de Calgary Flames în
1983 NHL Entry Draft, în timp ce juca pentru Belleville Bulls din Ontario Hockey League (OHL). Quinn a debutat cu Calgary la jumătatea sezonului următor, obținând 52 de puncte în 54 de meciuri. Când a fost chemat, conducea OHL în scor cu 59 de puncte.