Scrii o continuare pentru acest paragraf - La debutul său în ISU Challenger Series (CS), Kvitelashvili s-a clasat pe locul cinci la Trofeul Lombardia în septembrie 2014. În noiembrie, a concurat la Cupa Rostelecom 2014, înlocuind-o pe Kolyada, care a fost rănit; a terminat pe locul al doisprezecelea la acest eveniment, prima atribuire de Grand Prix (GP) în cariera sa. După ce a plasat al optulea la Campionatul Rusiei din 2015
, a fost trimis la a doua sa Universiadă de Iarnă și a terminat pe locul șapte la competiția, desfășurată în februarie 2015 la Granada, Spania.