Os 35 anos de Brinkman como árbitro superaron o récord de Larry Barnett (1968-1999). Brinkman é o quinto de todos os tempos no número de partidos xogados nas Grandes Ligas. Tres dos catro diante del están no Salón da Fama. Brinkman foi árbitro en tres Series Mundiais: 1978, 1986, 1995). Foi árbitro en cinco Campionatos da Liga Americana (1976
, 1980, 1987, 1992, 1997), e en tres xogos All-Star (1977, 1991, 1996), chamando bolas e golpes en 1991. Brinkman traballou na Serie de División en 1981, 1995, 1998, 1999, 2004 e 2005. Tamén foi o árbitro no no-hitter de A. J. Burnett contra os San Diego Padres o 12 de maio de 2001. Brinkman serviu como xefe de tripulación para o ALCS en 1987 e 1997, e tamén para o NLDS 2005. O seu retiro foi anunciado o 22 de agosto de 2006. O antigo árbitro Bob Davidson volveu para substituír a Brinkman na lista de xogadores da liga principal. Funcionou como home plate para o partido final no Comiskey Park en 1990.