Completa la siguiente frase: En 1987, Palmer habló con el jefe de McLaren, Ron Dennis, sobre convertirse en el segundo piloto del equipo para doblar al campeón del mundo Alain Prost. Dennis finalmente firmó con Stefan Johansson, y Palmer se unió a Tyrrell una semana antes de la carrera inaugural de la temporada en
Es Brasil. Aunque superado por sus competidores turboalimentados, el automóvil de Tyrrell con motor Cosworth de aspiración natural demostró ser confiable, y era ágil en circuitos más ajustados. Palmer ganó puntos de campeonato en tres carreras, y fue en el Gran Premio de Australia que logró su mejor cuarto lugar en su carrera. También ganó la Copa Jim Clark, un campeonato para conductores de autos normalmente aspirados. Se quedó con Tyrrell durante las siguientes dos temporadas, durante las cuales sus mejores resultados fueron dos quintos lugares y tres sextos. A finales de 1989 firmó como piloto de pruebas de McLaren.