Un bobsleigher profesional desde 2002, Voyevoda ganó plata en el evento de bobsleigh de cuatro hombres con sus compañeros de equipo Philippe Egorov, Alexei Seliverstov y Alexandre Zoubkov en los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006 en Turín. También ganó un bronce en el evento de dos hombres en el Campeonato Mundial FIBT 2008
en Altenberg, Alemania. En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2010 en Vancouver, Voyevoda ganó un bronce en el evento de dos hombres. En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2014 en Sochi, Voyevoda inicialmente ganó una medalla de oro en el evento de dos hombres y una medalla de oro en el evento de cuatro hombres. Voyevoda recibió la Orden por Mérito a la Patria Premio de 4a clase con el presidente ruso Vladimir Putin entregando los premios estatales.