Escriba una continuación para este párrafo. Los 35 años de Brinkman como árbitro de juegos de la Liga Americana superaron el récord establecido por Larry Barnett (1968-1999). Brinkman es el quinto de todos los tiempos en número de juegos jugados en las Grandes Ligas. Tres de los cuatro delante de él están en el Salón de la Fama. Brinkman fue árbitro en tres Series Mundiales: 1978, 1986, 1995). Fue árbitro en cinco Series de Campeonato de la Liga Americana (1976
, 1980, 1987, 1992, 1997), y en tres juegos de estrellas (1977, 1991, 1996), llamando pelotas y huelgas en 1991. Brinkman trabajó en la Serie de División en 1981, 1995, 1998, 1999, 2004 y 2005. También fue árbitro en el no-hitter de A. J. Burnett contra los San Diego Padres el 12 de mayo de 2001. Brinkman se desempeñó como jefe de tripulación para el ALCS en 1987 y 1997, y también para el NLDS 2005. Su retiro fue anunciado el 22 de agosto de 2006. El ex árbitro Bob Davidson regresó para reemplazar a Brinkman en el roster de las Grandes Ligas. Trabajó en el plato de casa para el juego final en Comiskey Park en 1990.