Xilli ciyaareedkii 2004/05 waxaa la arkay isbeddel ku yimid siyaasaddan, maadaama ururka uu bilaabay inuu u adeegsado miiska Celtic League inuu yahay shuruudaha kaliya ee lagu go'aaminayo kooxaha Irish-ka ah ee lagu soo dari doono Koobka Heineken ee xilli ciyaareedka soo socda. Connacht ayaa lix dhibcood ka dambaysay Ulster kaalinta ugu dambeysa sannadkaas, mar kale way ka maqnaatay. Tan iyo 2016 ma aysan dhicin.
Connacht ayaa mar kale ku dhameysatay horyaalka meel ka sareysa tartamada gobolada kale. Si kastaba ha noqotee Connacht waxay ku guuleysatay inay u soo baxdo Heineken Cup xilli ciyaareedkii 2011-12 ilaa 2013-14. Waxaa wax lala yaabo ah in Leinster ay ku guulaysteen seddex horyaal oo Yurub ah oo isku xigta. Guusha Leinster waxay ka dhigan tahay inay si otomaatig ah ugu qalmaan sanadka soo socda, iyagoo ka tagaya booska u qalmida Irish ee furan oo ay buuxisay Connacht.