Nyora kupfuurira kweiyi ndima - Mwaka wa2004-05 wakaona shanduko kumutemo uyu, sezvo mubatanidzwa wakatanga kushandisa tafura yeCeltic League seyayo yega nzira yekusarudza kuti ndeapi zvikwata zveIreland zvaizopinda mumwaka unotevera weHeineken Cup. Connacht yakapedza matanhatu matanho shure kweUlster mumakwikwi ekupedzisira gore iroro, ichipotsa zvakare. Yakanga isiri kutozosvikira muna 2016
kuti Connacht yakapedza iri panzvimbo yakakwirira yeligi kupfuura chero upi zvake wevadzivisi vavo vomuruwa zvakare. Kunyangwe izvi Connacht akawana mukana weHeineken Cup kubva mwaka wa2011-12 kusvika mwaka wa2013-14. Nenzira inosetsa ikoku kwakanga kuri nemhaka yaLeinster, uyo akakunda makwikwi matatu anotevedzana eEurope. Kubudirira kweLeinster kwaireva kuti ivo vakakodzera otomatiki kwegore rinotevera, vachisiya nzvimbo yekuIreland yekukodzera yakavhurika iyo yakazadzwa naConnacht.