Chaidh an fhoirmleachd àite-ùine aig Minkowski a ghabhail a-steach gu luath agus chaidh a leasachadh tuilleadh. Mar eisimpleir, chuir Arnold Sommerfeld (1910) an àite comharrachadh matrix aig Minkowski le comharrachadh vectar eireachdail agus chruthaich e na teirmean "ceathrar vectar" agus "seisear vectar". Thug e cuideachd foirmleadh trigonometric den riaghailt cur-ris astar relativistic, a tha a rèir Sommerfeld, a 'toirt air falbh mòran de neònach na bun-bheachd sin. Chaidh cur-ris cudromach eile a dhèanamh le Laue (1911, 1913), a chleachd an fhoirmleachd spàsa-ùine gus teòiridh relativistic de bhuidhnean deformable agus teòiridh pìoslach bun-sgoile a chruthachadh. Leudaich e na h-eadar-theangachaidhean aig Minkowski airson pròiseasan electromagnetic gu gach feachdas comasach agus mar sin shoilleir e bun-bheachd co-ionannachd meud-fuinneamh.
foirmleadh trigonometric den riaghailt cur-ris astar coibhneil