Egerszegi debiutavo tarptautinėje rungtynėse
1987 m. Europos vandens sporto čempionate, būdamas 13 metų, užėmė ketvirtą vietą 200 m. nugaros lenktynėse ir penktą vietą 100 m. nugaros lenktynėse. 1988 m. vasaros olimpinėse žaidynėse ji laimėjo sidabro medalį 100 m nugaros lenktynėse ir tapo olimpinė čempione 200 m nugaros lenktynėse. Būdama 14 metų ir 41 dienos ji tapo jauniausia plaukimo olimpinė čempione. Šis jaunimo rekordas buvo sugriautas 1992-aisiais, kai 14 metų ir šešių dienų Kyoko Iwasaki iš Japonijos laimėjo aukso medalį 200 metrų sprintą krūtimi 1992-ųjų Barselonos olimpinėse žaidynėse. 1988 m. pabaigoje ji buvo aukščiausio lygio 200 m nugaros plaukiojančia pasaulyje, taip pat ji tapo metų plaukiojančia ir geriausiu metų sportininku Vengrijoje.