Egerszegi debiutavo tarptautiniu lygmeniu 1987 m. Europos vandens sporto čempionate.
13 metų amžiaus, užėmė ketvirtąją vietą 200 metrų bėgime į nugarą ir penktąją vietą 100 metrų bėgime į nugarą. 1988 m. vasaros olimpinėse žaidynėse ji laimėjo sidabro medalį 100 m nugaros lenktynėse ir tapo olimpinė čempione 200 m nugaros lenktynėse. Būdama 14 metų ir 41 dienos ji tapo jauniausia plaukimo olimpinė čempione. Šis jaunimo rekordas buvo sugriautas 1992-aisiais, kai 14 metų ir šešių dienų Kyoko Iwasaki iš Japonijos laimėjo aukso medalį 200 metrų sprintą krūtimi 1992-ųjų Barselonos olimpinėse žaidynėse. 1988 m. pabaigoje ji buvo aukščiausio lygio 200 m nugaros plaukiojančia pasaulyje, taip pat ji tapo metų plaukiojančia ir geriausiu metų sportininku Vengrijoje.