XIX a. prancūzų matematikas Évariste Galois (1870-1888) išplečięs ankstesnius Paolo Ruffini ir Joseph-Louis Lagrange darbus, pateikė kriterijų tam tikros polinomijos lygtis išsprendžiamumas pagal jos šaknų (sprendimų) simetrijos grupę. Tokios Galois grupės elementai atitinka tam tikrus šaknų permutacijas. Iš pradžių Galois idėjas atmetė jo šiuolaikininkai ir buvo paskelbti tik po jo mirties. Bendrą grupių implikaciją ištyrė ypač Louis C. Cayley (1870-1882) grupės teorija, priklausomai nuo polinomijų lygtis, kurių laipsnis yra didesnis nei 4.
supaprastinti šios klasifikacijos įrodymą