Eberspächer gimė 1915 m. lapkričio 18 d. Tubingene, tuo metu priklausančioje Vurtembergo karalystei, Vokietijos imperijos federacinei valstybei. 1934 m. jis savanoriškai įstojo į Reichswehr karinę tarnybą ir tarnavo šarvuotame žvalgybos batalione. Kartu su karine tarnyba jis studijavo mechanikos inžineriją Štutgarto universitete. Baigęs studijas 1939 m. jis buvo perkeltas į Luftwaffe. 1940 m. liepos mėn. - 1943 m. sausio mėn. tarnavo "Lehrgeschwader" 2 (II demonstracinio skyriaus 7-oji ilgojo nuotolio žvalgybos eskadrilė) 7-oje "Fernaufklärungs"-) "Staffel"
ir Rytų Frontai. Vėliau jis buvo perkeltas į sausumos atakos vaidmenį, o nuo 1943 m. kovo mėn. tarnavo "Schnellkampfgeschwader" 10 (SKG 10<unk>10 greitojo bombonešio sparnas), skraidydamas naikintuvų ir bombonešių misijas virš pietinės Anglijos ir prieš laivybos operacijas Lamanšo ežere. 1944 m. gegužės 1 d. jis buvo paaukštintas į "Hauptmann" (kapitono) laipsnį ir paskirtas "Staffelkapitän" (skvadrono vadovu) Kurt Dahlmann I./SKG 10 (1 grupė).