Kondrasin gimė Maskvoje orkestro muzikantų šeimoje. Praleidęs daug valandų repeticijose, jis 14 metų amžiaus tvirtai nusprendė tapti dirigentu. 1931-1936 m. mokėsi Maskvos konservatorijoje dirigento Boriso Chaikino mokymuose. Kondrasinas 1931 m. pradėjo dirigentuoti Jaunimo teatre Maskvoje, o po trejų metų - Stanislavskio ir Nemirovičiaus-Dančenko Maskvos akademiniame muzikiniame teatre. 1938-1942 m. dirbo Malio operos teatre Leningrade, o 1943 m. - Didžiojo teatro Maskvoje.
1943 m.