Galiausiai, savo 1890 m. knygoje Sur la multiplication des séries, Cesàro ėmėsi šiuolaikinio požiūrio, pradedant nuo apibrėžimų. Serijos taip pat nagrinėjamos nevienodomis n reikšmėmis; jos sudaro Dirichleto funkciją eta. Eulerio motyvacijos tyrinėti serijas, susijusias su 1 − 2 − 3 + 4... dalis buvo eta funkcijos funkcinė lygtis, kuri veda prie zeta funkcijos lygtis. E. Riemannas 1883 m. išreiškė tipišką laiko nuomonę, kad formulės buvo klaidingos, bet vis dar kažkaip formaliai naudingos. Galiausiai, savo 1890 m. knygoje Sur la multiplication des séries, Cesàro ėmėsi šiuolaikinio požiūrio, pradedant nuo apibrėžimų. Serijos taip pat nagrinėjamos nevienodomis n reikšmėmis; šios sudaro Dirichleto funkciją eta.
1883 m.