Savo debiutą ISU Challenger Series (CS) Kvitelashvili 2014 m. rugsėjo mėn. užėmė penktąją vietą Lombardijos trofyje. Lapkritį jis dalyvavo 2014 m. "Rostelecom" taurėje, pakeisdamas sužeistą Koljadą; jis baigė dvyliktą vietą, tai buvo pirmasis jo karjeros aukšto rango Grand Prix (GP) paskyrimas. 2015 m. Rusijos čempionate užėmė aštuntąją vietą.
2015 m. vasario mėn. Ispanijoje, Granadoje, jis buvo išsiųstas į savo antrą žiemos Universiadą ir užėmė septintą vietą.