Rašykite šio skyriaus tęsinį.
2012 m. Burnsas, draftavo į San Jose Sharks mainais į Devin Setoguchi, Charlie Coyle ir 2011 m. Pirmojo rato pasirinkimą. 2011 m. rugpjūčio 1 d. Burnsas pasirašė penkerių metų sutarties pratęsimą su "Sharks"; susitarimas jam sumokėjo 28,8 mln. JAV dolerių per penkerius metus, o vidutinė darbo užmokesčio riba buvo 5,76 mln. JAV dolerių. 2013 m., kai "Sharks" įsigijo naujoką Mattą Irwiną, kovo mėnesį Burnsas buvo perkeltas į priekį, kur jis surinko 20 taškų per 23 reguliarių sezonų žaidimus. 2013-2014 m. Burnsas sužaidė aštuonias pirmąsias sezono rungtynes, bet praleido 13 rungtynių po spalio 21 d. dėl skausmingų dantenų. Lapkričio 21 d. Burnsas grįžo į "Sharks" komandą ir įveikė Tampa Bay Lightning. Lapkričio 29 d. prieš "St. Louis Blues", Burnsas užfiksavo savo pirmąjį karjeros hat-triuką per pergalę 6:3.