Budaj buvo išrinktas "Colorado Avalanche" 2001-ųjų drafte
Pirmasis "Avalanche" rinktinys ir 63-asis rinktinys. Jis dėvėjo 31 numerį "Avalanche", po to, kai žaidė "Hershey Bears" Amerikos hokejo lygoje (AHL) ir "Toronto St. Michael's Majors" Ontario hokejo lygoje (OHL).