Rigardu la malsupran trairejon kaj poste respondu la demandon poste en la sama lingvo kiel la trairejo:  Trairejo: La moderna koncepto de abstrakta grupo evoluis el pluraj kampoj de matematiko. La originala instigo por grupteorio estis la serĉo de solvoj de polinomiaj ekvacioj de grado pli alta ol 4. La franca matematikisto Évariste Galois de la 19-a jarcento, etendante la antaŭan laboron de Paolo Ruffini kaj Joseph-Louis Lagrange, donis kriterion por la solvebleco de aparta polinomekvacio laŭ la simetria grupo de ĝiaj radikoj (solvoj). La elementoj de tia Galois-grupo egalrilatas al certaj permutacioj de la radikoj. Komence, la ideoj de Galois estis malaprobitaj de liaj samtempuloj, kaj publikigitaj nur postmorte. Pli ĝeneralaj permutaj grupoj estis esploritaj aparte de Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) donas la unuan abstraktan difinon de finhava grupo. Geometrio estis dua kampo en kiu grupoj estis uzataj sisteme, precipe simetriaj grupoj kiel parto de la 1872 Erlangen-programo de Felix Klein. Post kiam novaj geometrio kiel ekzemple hiperbola kaj projekcia geometrio aperis, Klein uzis grupteorion por organizi ilin en pli kohera maniero. Plue antaŭenigante tiujn ideojn, Sophus Lie fondis la studon de grupoj de Lie en 1884. La tria kampo kontribuanta al la teorio de grupoj estis la teorio de nombroj. Certaj abelaj grupstrukturoj estis uzitaj implicite en la nombro-teoria laboro de Carl Friedrich Gauss Disquisitiones Arithmeticae (1798), kaj pli eksplicite de Leopold Kronecker. En 1847, Ernst Kummer faris fruajn provojn pruvi la Lasta Teoremo de Fermat evoluigante grupojn priskribantajn faktorigon en primojn. La konverĝo de ĉi tiuj diversaj fontoj en unuforman teorion de grupoj komenciĝis kun la Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Walther von Dyck (1882) enkondukis la ideon de precizigado de grupo per generatoroj kaj rilatoj, kaj ankaŭ estis la unua se temas pri doni aksioman difinon de "abstrakta grupo", en la terminologio de la tempo. Ekde la 20-a jarcento, grupoj...  Demando: Kio estas la celo de la esplorado?
simpligas la pruvon de tiu klasifiko