Skribu daŭrigon por ĉi tiu paragrafo - Egerszegi faris sian internacian debuton ĉe la Eŭropa Akvometala Ĉampioneco en 1987
en la aĝo de 13 jaroj, li atingis la kvaran rangon en la 200-metra dorso kaj la kvinan en la 100-metra dorso. En la Someraj Olimpikoj de 1988 ŝi gajnis arĝentan medalon en la 100 m dorso kaj iĝis olimpika ĉampiono en la 200 m dorso. En la aĝo de 14 jaroj kaj 41 tagoj ŝi iĝis la plej juna ina olimpika ĉampiono en naĝado. Ĉi tiun junularan rekordon rompis en 1992 Kyoko Iwasaki el Japanio, kiu gajnis oran medalon en la 200-metra brusto en la Olimpiaj Ludoj de Barcelono en 1992 en la aĝo de 14 jaroj kaj ses tagoj. Fine de 1988, ŝi estis la plej rangita naĝanto en 200 m dorsa naĝado en la monda rangotabelo, kaj ŝi fariĝis la Naĝanto de la Jaro kaj la Plej bona Virina Atleto de la Jaro en Hungario.