Группалар теориясы үчүн баштапкы мотивация - бул 4-ден жогору даражадагы көп мүчөлүү теңдемелердин чечимдерин издөө. 19-кылымдагы француз математиги Эварист Галуа (1888) Паоло Руффини жана Жозеф-Луи Лагранждын мурунку эмгектерин кеңейтүү менен, белгилүү бир көп мүчөлүү теңдеменин анын тамырынын симметриялык тобу (чечимдери) боюнча чечилишине критерий берген. Мындай Галуа тобунун элементтери тамырынын белгилүү бир пермутацияларына дал келет. Башында Галуанын идеяларын анын замандаштары четке кагышкан жана ал өлгөндөн кийин гана жарыяланган.
бул классификациянын далилин жөнөкөйлөтүү