A Galois-csoportok absztrakt tulajdonságai a polinómákkal összefüggésben (különösen a megoldhatóságuk) olyan polinómákra adnak kritériumot, amelyek minden megoldása radikállal kifejezhető, azaz a fenti képlethez hasonló megoldásokkal kifejezhetőek. A probléma a mezőelméletre való áttéréssel és a polinómák szétválasztó mezőjének figyelembevételével kezelhető. A modern Galois-elmélet általánosítja a fenti típusú mezőcsoportokat, hogy meghatározza a Galois-bővítések és a Galois-elmélet alapvető kapcsolatát. A Galois-csoportok és a Galois-csoportok közötti alapszintű kapcsolatot a matematikai tudományban ismét nem találjuk.
5 és magasabb