Lásd az alábbi szakaszt, majd válaszolj a kérdésre ugyanabban a nyelven, mint a szakasz:  Átjárat: Az absztrakt csoport modern fogalma a matematika számos területén fejlődött ki. A csoportelmélet eredeti motivációja a 4 feletti fokú polinomegyenletek megoldásának keresése volt. A XIX. századi francia matematikus Évariste Galois, Paolo Ruffini és Joseph-Louis Lagrange korábbi munkáját kibővítve adott egy kritériumot egy bizonyos polinomegyenlet megoldhatóságára gyökerei (megoldások) szimmetriacsoportja tekintetében. Az ilyen Galois-csoport elemei megfelelnek a gyökerek bizonyos permutációinak. Eleinte Galois ötleteit kortársai elutasították, és csak halála után jelentek meg. Az általánosabb permutációs csoportokat különösen Augustin Louis Cauchy vizsgálta. Arthur Cayley On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) című munkája adta a véges csoport első absztrakt definícióját. A geometria volt a második terület, ahol a csoportokat rendszeresen használták, különösen a szimmetriacsoportokat Felix Klein 1872-es Erlangeni programjának részeként. Miután olyan új geometriai, mint a hiperbolikus és a projekciós geometria megjelentek, Klein a csoportelméletet használta, hogy koherensebb módon rendezze őket. Sophus Lie 1884-ben alapította a Lie-csoportok tanulmányozását. A csoportelmélethez hozzájáruló harmadik terület a számelmélet. Bizonyos abéli csoportstruktúrákat implicit módon Carl Friedrich Gauss számelméleti munkájában, a Disquisitiones Arithmeticae-ban (1798) használtak, és kifejezetten Leopold Kronecker. 1847-ben Ernst Kummer korai kísérleteket tett Fermat utolsó tételének bizonyítására olyan csoportok kifejlesztésével, amelyek a prímszámokhoz való faktorizációt írják le. E különböző források konvergenciája a csoportok egységes elméletébe Camille Jordan Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) című munkájával kezdődött. Walther von Dyck (1882) bevezette a csoport generátorok és kapcsolatok segítségével történő meghatározásának ötletét, és ő volt az első, aki axiomatikus definíciót adott az "absztrakt csoportnak" az akkori terminológiában. A 20. században a csoportok...  Kérdés: Mi a kutatás célja?
az osztályozás igazolásának egyszerűsítése