Avenaim zsidó szülei Egyiptomból Párizsba költöztek, Franciaországba, a Szuezi-csatorna válsága idején
az 1950-es években, és később az Egyesült Államokba emigrált, ahol született. Tinédzser korában kapta meg Avenaim első fényképezőgépét - egy teljesen kézi 35 mm-es Exaktát, amit az apja hozott Párizsból. Chicago-ban nőtt fel, Illinois-ban.