Az ISU Challenger Series (CS) debütálása után Kvitelashvili ötödik lett a Lombardia Trophy-n 2014 szeptemberében. Novemberben részt vett a 2014-es Rostelecom Kupán, helyettesítve a sérült Kolyadát; tizenkettedik lett az eseményen, karrierje első idősebb Grand Prix (GP) megbízásában. A nyolcadik helyen a 2015-ös orosz bajnokságon.
2015 februárjában a második téli Universiádjára küldték, és hetedik lett a versenyen, amelyet 2015 februárjában Granada-ban, Spanyolországban tartottak.