Arnold Sommerfeld (1910) például a Minkowski mátrixjelölését egy elegáns vektorjelöléssel helyettesítette, és a "négy vektor" és a "hat vektor" kifejezéseket alkotta. Bevezett egy trigonometrikus megfogalmazást a relativisztikus sebesség-összeadási szabálynak, amely Sommerfeld szerint eltávolítja a fogalom sok különlegességét. Laue (1911, 1913) tett más fontos hozzájárulásokat, aki a tér-idő formalizmust használta a deformálható testek relativisztikus elméletének és az elemi részecsketeória elméletének létrehozására. Minkowski kifejezéseit az elektromágneses folyamatokra kiterjesztette minden lehetséges erőre, és ezzel tisztázta a tömeg-energia egyenérték fogalmát.
a relativisztikus sebesség összeadásának trigonometrikus megfogalmazása