Drogba Abidjanban, Elefántcsontparton született, és öt évesen a szülei elküldték Franciaországba, hogy a nagybátyjával, Michel Gobával, egy profi labdarúgóval éljen. Drogba azonban hamarosan hazaszomorba esett, és három év után visszatért Abidjanba. Anyja "Tito"-nak nevezte el, Jugoszlávia elnöke, Josip Broz Tito után, akit nagyra becsült. Minden nap a város egyik parkolójában labdarúgott, de a visszatérése az Elefántcsontpartra rövid volt. Mindkét szülője elvesztette a munkáját, és ismét a nagybátyjával tért vissza. 1991-ben a szülei is Franciaországba utaztak; először Vannes-be, majd 1993-ban Antony-ba, Párizs külvárosába, ahol a 15 éves Drogba visszatért, hogy velük és testvéreivel éljen.
hogy a nagybátyjával éljen.