Drogba an haife shi ne a Abidjan, Ivory Coast, kuma yana da shekaru biyar iyayensa suka tura shi zuwa Faransa don ya zauna tare da kawunsa, Michel Goba, dan wasan ƙwallon ƙafa. Duk da haka, Drogba ba da daɗewa ba ya zama mai son gida kuma ya koma Abidjan bayan shekaru uku. Mahaifiyarsa ta kira shi "Tito", bayan shugaban Josip Broz Tito na Yugoslavia, wanda ta yi sha'awar ƙwarai. Ya buga kwallon kafa a kowace rana a filin ajiye motoci a cikin birni amma dawowarsa zuwa Ivory Coast ba ta daɗe ba. Iyayensa biyu sun rasa ayyukansu kuma ya sake komawa tare da kawunsa. A 1991, iyayensa sun yi tafiya zuwa Faransa; da farko zuwa Vannes sannan kuma, a 1993, ya sauka a Antony a cikin unguwar Paris, inda Drogba mai shekaru 15 ya koma tare da su da 'yan uwansa.
don zama tare da kawunsa