Түүний тэмцээний ялалтууд нь 1965 онд Сочигийн Чигорин хотод Борис Спасскийтэй (+6−0=9) нэгдүгээр байранд тэнцсэн, 1967 онд Марибор хотод Самуэль Решевскийг түрүүлж, Кремс хотод анх удаа, 1980 онд Амстердам хотод Ханс Риэйтэй тэнцсэн. 1950 онд Унзикер Дубровникийн шатрын олимпиадад Баруун Германы шигшээ багийн хувьд хамгийн шилдэг оноо (+9−1=4) оруулах шагналыг Мигель Найдорфтой хуваалцсан юм. Уулзалт
Тел-Авив 1964 оны Шатрын олимпиадад Унзикер багийнхаа бүрэлдэхүүнд тоглохдоо 13.5 оноо авч, 3:1 харьцаагаар Зөвлөлт Холбоот Улсыг ялж, хүрэл медаль хүртсэн. Унзикер мөн Санта Моника, Калифорни дахь 1966 оны Пиатигорскийн цомын тэмцээнд Лахос Портиштэй дөрөв дэх байр (+2−1=14) хуваалцсан юм. Зөвхөн Борис Спасски, Бобби Фишер, Бент Ларсен нар Унзикерийн өмнөөс төгссөн. Унзикер дэлхийн аварга Тигран Петросян, Самуэль Решевский, Мигель Найдорф, Борислав Ивков, Хайн Доннер нарыг даван туулав. 1969-70 оны Хастингс тэмцээнд Унзикер Лайош Портишийн дараа (+4−0=5) хоёрдугаар байрт шалгарч, Светозар Глигорич, дэлхийн аварга асан Василий Смысловыг тэргүүлж байв. Унзикер 1979 оны Өмнөд Африк улсын аварга шалгаруулах тэмцээнд Виктор Корчнойн дараа (+3−2=7) хоёрдугаар байрт шалгарсан байна. Тэр одоо ч "Тарраш Мюнхен" клубийн ахлах тоглогч байсан.