Бронштейн 1948 онд (Александр Котовтой хамтарч) болон 1949 онд (Смысловтой хамтарч) ОХУ-ын шатрын аварга шалгаруулах тэмцээнээс хамгийн их шагнал хүртсэн. Мөн 1957 болон 1964-1965 оны Зөвлөлт Холбоот Улсын аварга шалгаруулах тэмцээнд хоёрдугаар байрт тэнцсэн. Тэрээр 1952 онд Ливерпульд болсон Дэлхийн оюутны аварга шалгаруулах тэмцээнд Марк Таймановтай тэнцэж байсан юм. Бронштейн мөн Москвагийн аварга шалгаруулах тэмцээний зургаан удаагийн ялагч байсан бөгөөд 1952, 1954 оны олимпиадад ЗХУ-ыг төлөөлөн оролцсон.
1956 ба 1958 онд тус бүрдээ шагнал хүртэж, эдгээр 49 тоглолтоос ганцхан тоглолтонд нь ялагдсан. Тэрээр олимпийн дөрвөн удаагийн алтан медаль хүртсэн. 1954 онд АНУ-ын эсрэг (Нью-Йорк хотноо болсон) багийн тоглолтод Бронштейн энэ түвшинд бараг сонсогдож байгаагүй амжилт гаргаж, хоёрдугаар ширээний дөрвөн тоглолтонд нь түрүүлсэн.