Kompletigu la sekvan frazon: La sezono 2004/05 vidis ŝanĝon al tiu politiko, ĉar la sindikato komencis uzi la Celtic League-tabelon kiel sian solan kriterion por determini kiuj irlandaj teamoj estus enmetitaj en la Heineken Cup de la sekva sezono. Connacht finis ses poentojn malantaŭ Ulstero en la fina poentaro tiun jaron, maltrafante denove. Ĝi ne estis ĝis
2016 ke Connacht finis en pli alta ligo pozicio ol iu ajn el iliaj provincaj rivaloj denove. Malgraŭ tio Connacht atingis Heineken Cup-kvalifikon de la sezono 2011-12 ĝis la sezono 2013-14. Ironie tio estis danke al Leinster, kiu gajnis tri sinsekvajn eŭropajn turnirojn. La sukcesoj de Leinster signifis ke ili estis aŭtomate kvalifikitaj por la sekva jaro, lasante malferman irlandan kvalifikadbunkon kiu estis plenigita fare de Connacht.