Complete the following phrase:  Paus Paulus VI creëerde hem kardinaal in het consistorie van 28 april 1969. Hij kreeg de "Sant'Agata dei Goti" als titeldiakonie. De paus stelde hem aan als delegaat voor de Patriarchale Sint-Franciscusbasiliek en als prelaat voor het heiligdom Loreto. Kardinaal Oddi nam deel aan zowel het eerste conclaaf als het
tweede conclaaf van 1978, bij welke respectievelijk paus Johannes Paulus I en Johannes Paulus II werden gekozen. Paus Johannes Paulus II benoemde Oddi in 1979 tot prefect van de Congregatie voor de Clerus. In die hoedanigheid nam hij deel aan de Bijzondere Synode van de Bisschoppen van Nederland in 1980.