Voltooi de volgende zin: Zijn toernooioverwinningen omvatten de eerste plaats (+6−0=9) met Boris Spassky op het Chigorin Memorial in Sochi 1965, eerst in Maribor 1967 voor Samuel Reshevsky, eerst in Krems, en eerst in Amsterdam 1980 gelijk met Hans Ree. In 1950 deelde Unzicker de prijs voor de beste top-board score (+9−1=4) met Miguel Najdorf voor zijn prestatie op het eerste bord voor het West-Duitse team op de
Dubrovnik Schakenolympiade. Tijdens de Schakenolympiade van 1964 in Tel Aviv scoorde Unzicker 13,5 punten op het eerste bord voor het West-Duitse team dat de bronzen medaille won op basis van een 3:1 overwinning op de Sovjet-Unie. Unzicker deelde ook de vierde plaats (+2−1=14) met Lajos Portisch in de Piatigorsky Cup van 1966 in Santa Monica, Californië. Alleen Boris Spassky, Bobby Fischer en Bent Larsen eindigden voor Unzicker. Unzicker stond voor de wereldkampioen Tigran Petrosian, Samuel Reshevsky, Miguel Najdorf, Borislav Ivkov en Hein Donner. Bij Hastings 1969-70 eindigde Unzicker tweede (+4−0=5) na Lajos Portisch en voor Svetozar Gligorić en voormalig wereldkampioen Vasily Smyslov. Unzicker eindigde tweede (+3−2=7) achter Viktor Korchnoi in Zuid-Afrika 1979. Als gepensioneerde rechter speelde hij nog steeds schaken als eerste bord in het clubteam "Tarrasch München".