Voltooi de volgende zin: Egerszegi maakte haar internationale debuut op de
1987 Europese kampioenschappen op 13 jarige leeftijd, vierde plaats op de 200 m rug en vijfde op de 100 m rug. Op de Olympische Zomerspelen van 1988 won ze een zilveren medaille op de 100 m rug en werd ze Olympisch kampioen op de 200 m rug. Op 14 jaar en 41 dagen werd ze de jongste vrouwelijke olympische zwemkampioen ooit. Dit jeugdrekord werd in 1992 gebroken door Kyoko Iwasaki uit Japan, die op 14-jarige leeftijd en zes dagen een gouden medaille won in de 200-meter borstwedstrijd op de Olympische Spelen van Barcelona in 1992. Eind 1988 was ze de best gerangschikte zwemmer op 200 m ruggang in de wereldranglijst en werd ze de zwemmer van het jaar en de beste vrouwelijke atleet van het jaar in Hongarije.