Bencic werd geboren in Flawil in het noordoosten van Zwitserland als zoon van Dana en Ivan Benčič. Haar ouders waren beiden geboren in Tsjecho-Slowakije, maar haar vaders familie emigreerde naar Zwitserland in 1968 om te vluchten voor de invasie van het Warschaupact.
door de Sovjet-Unie. Haar vader was een professionele hockeyspeler in de Zwitserse Nationale Liga A en de Nationale Liga B voordat hij verzekeringsmakelaar werd. Haar moeder was een top handbalspeler. Bencic sloeg haar eerste tennisballen op de leeftijd van twee en begon met haar vader, die ook een recreatieve tennisspeler was, een uur per dag op de leeftijd van vier te trainen. Op die leeftijd nam ze deel aan haar eerste nationale toernooi, waarbij ze in rechte sets verloor van een tegenstander die zes jaar ouder was zonder een wedstrijd te winnen. Bencic zou als kind regelmatig veel oudere tegenstanders tegenkomen en werd door haar vader aangemoedigd om te proberen twee wedstrijden per set te winnen.