Voltooi de volgende zin: In de jaren zestig, tijdens de zogenaamde ontdooiing, reisde Voznesensky vaak naar het buitenland: naar Frankrijk, Duitsland, Italië, de Verenigde Staten en andere landen. De populariteit van Voznesensky, Yevgeny Yevtushenko en Bella Akhmadulina werd gekenmerkt door hun optredens voor duizenden bewonderaars in stadions, concertzalen en universiteiten. Daarbij diende hij volgens "The New York Times" als "een soort onofficiële culturele gezant van het Kremlin". Zijn poëzie leesvaardigheden waren diepgaand. Hij concurreerde met Laurence Olivier en Paul Scofield op een show in Londen. Hij bekritiseerde de
1968 invasie van Tsjechoslowakije. In de Verenigde Staten ontmoette hij Allen Ginsberg, Arthur Miller en Marilyn Monroe.