Koivisto is geboren in Ylitornio, Finland, en verhuisde als tiener naar Rauma in 1998 om te spelen voor Lukko, omdat het noorden van Finland op dat moment geen SM-liiga-team had. Na een jaar met het Lukko junior A-team, debuteerde Koivisto in de SM-liiga in het seizoen 1999/2000, hoewel hij zijn tijd nog steeds verdeelde tussen de volwassen en de junior teams. In 2000 nam Koivisto deel aan het Wereldkampioenschap U18 en won hij de gouden medaille met Team Finland. Hij vertegenwoordigde ook Finland in de
Wereldkampioenschap junioren, met zilver en brons.