Brinkman's 35 jaar als scheidsrechter van de AL overtrof het record van Larry Barnett (1968-1999). Brinkman staat op de vijfde plaats in het aantal gespeelde wedstrijden in de Major League. Drie van de vier voor hem zitten in de Hall of Fame. Brinkman scheidde in drie World Series: 1978, 1986, 1995). Hij officiëerde in vijf American League Championship Series (1976, 1980, 1987, 1992).
, 1997), en in drie All-Star games (1977, 1991, 1996), het bellen van ballen en stakingen in 1991. Brinkman werkte in de Division Series in 1981, 1995, 1998, 1999, 2004 en 2005. Hij officiëerde ook in A. J. Burnett's no-hitter tegen de San Diego Padres op 12 mei 2001. Brinkman diende als crewchef voor de ALCS in 1987 en 1997, en ook voor de NLDS in 2005. Zijn pensionering werd op 22 augustus 2006 aangekondigd. Voormalig scheidsrechter Bob Davidson is teruggekeerd om Brinkman te vervangen in de Major League. Hij was de thuisplaat voor de finale in Comiskey Park in 1990.