Een etnische Georgiër, Abashvili werd geboren in Tbilisi, Georgië, toen een deel van het Russische Rijk. Hij studeerde af aan het Leningrad Naval College in 1931 en trad toe tot de Sovjet Baltische Vloot waarmee hij diende tijdens de Finse campagne.
en de Tweede Wereldoorlog. In 1944 was hij adjunct-stafchef van de Baltische Vloot en gaf hij ook het bevel over een divisie torpedobootjagers die een vitale rol speelden bij het opheffen van de blokkade van Leningrad. In 1953 was hij senior officier bij de Sovjet schepen die Polen bezochten en in 1954 bij die in Finland. Tijdens de Cubaanse raketcrisis in 1962 was Abashvili adjunct-commandant-in-chief van Issa Pliyev en marinecommandant in de voorgestelde Groep Sovjet-troepen in Cuba (Operatie Anadyr). Volgens een verslag was hij tegen het onmiddellijke gebruik van geweld tijdens de crisisdagen. Er wordt gezegd dat hij het bevel tot lancering van Sovjetraketten heeft uitgesteld tijdens het hoogtepunt van de spanningen en een van de mensen is geworden die hebben bijgedragen aan het voorkomen van een kernoorlog. Hij ging datzelfde jaar met pensioen en stierf in 1982 aan een beroerte in Leningrad.