Verwijst u naar de passage hieronder en beantwoordt u vervolgens de vraag in dezelfde taal als de passage:  Passage: het moderne concept van een abstracte groep ontwikkeld uit verschillende gebieden van de wiskunde. De oorspronkelijke motivatie voor de groepstheorie was de zoektocht naar oplossingen van polynomale vergelijkingen van graad hoger dan 4. De 19e-eeuwse Franse wiskundige Évariste Galois, die het eerdere werk van Paolo Ruffini en Joseph-Louis Lagrange uitbreidde, gaf een criterium voor de oplosbaarheid van een bepaalde polynomale vergelijking in termen van de symmetriegroep van de wortels (oplossingen). De elementen van zo'n Galoisgroep komen overeen met bepaalde permutaties van de wortels. Aanvankelijk werden de ideeën van Galois door zijn tijdgenoten verworpen en pas na zijn dood gepubliceerd. Meer algemene permutatiegroepen werden in het bijzonder onderzocht door Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) geeft de eerste abstracte definitie van een eindige groep. Geometrie was een tweede veld waarin groepen systematisch werden gebruikt, vooral symmetrie groepen als onderdeel van Felix Klein's 1872 Erlangen programma. Nadat er nieuwe geometrieën waren ontstaan, zoals de hyperbolische en de projectieve geometrie, gebruikte Klein de groepstheorie om ze op een meer samenhangende manier te organiseren. Door deze ideeën verder te ontwikkelen, richtte Sophus Lie in 1884 de studie van Lie-groepen op. Het derde veld dat bijdroeg aan de groeptheorie was de getaltheorie. Bepaalde abeliaanse groepsstructuren werden impliciet gebruikt in het getaltheoretische werk van Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1798), en meer expliciet door Leopold Kronecker. In 1847 deed Ernst Kummer een vroege poging om de laatste stelling van Fermat te bewijzen door groepen te ontwikkelen die factorisatie in priemgetallen beschrijven. De convergentie van deze verschillende bronnen in een uniforme theorie van groepen begon met de Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) van Camille Jordan. Walther von Dyck (1882) introduceerde het idee van het specificeren van een groep door middel van generators en relaties, en was ook de eerste die een axiomatische definitie gaf van een "abstracte groep", in de terminologie van die tijd. Vanaf de 20e eeuw, groepen...  Vraag: Wat is het doel van het onderzoek?
het bewijs van deze indeling vereenvoudigen