Mednis skončil druhý na mistrovství světa juniorů 1955 za Borisem Spasským (oba hráli remízu). Byl prvním hráčem, který porazil Bobbyho Fischera v americkém šampionátu. V roce 1962 hrál v americkém týmu na 15. šachové olympiádě.
a skončil třetí v šampionátu USA v letech 1961-1962. Výsledky turnaje zahrnovaly třetí v Houstonu 1974, čtvrté v New Yorku 1980 a první v Puerto Rico 1984. Portorická šachová federace, spíše než Šachová federace Spojených států, mu formálně navrhla titul velmistra. V roce 1979 hrál na Mezizónním turnaji v Ryi, ve svém rodném městě.