Can you summarize the following document?
        
  Na rozdíl od klasické fyziky se v kvantové fyzice stav systému popisuje nikoli přímo měřitelnými veličinami formula_1 (poloha formula_2, hybnost formula_3, energie formula_4,...), ale speciální funkcí - stavovým vektorem (vlnová funkce formula_5, nejobecněji matice hustoty určující soubor vlnových funkcí formula_5 s různými pravděpodobnostmi). Zatímco klasická fyzika předpokládá, že měření lze provést tak, aby jeho vliv na měřený objekt byl zanedbatelný, kvantová fyzika má jiný postup. Měřitelným fyzikálním veličinám formula_1 přiřazuje operátory formula_8 působící na stavový vektor formula_5. Každé konkrétní měření je zásahem měnícím systém (tzv. redukce vlnového klubka formula_5 - jeho změna na některou z vlastních funkcíformula_11 operátoru formula_1) a dávající jen některou z možných hodnot, totiž příslušnou vlastní hodnotu formula_13 operátoru (tj. formula_14), a to s pravděpodobností, kterou lze z formula_5 a formula_11 spočítat. Vlastní hodnoty formula_13 nemusí tvořit spojitou řadu, proto název kvantování. Zejména energie formula_4 soustavy se může měnit nejen spojitě (např. elektron s kladnou energií v atomu vodíku), ale i nespojitě (elektron se zápornou energií v atomu vodíku). Rozdíly formula_19 se pak nazývají kvanta energie a realizují se elektromagnetickou energií - fotonem s energií formula_20 a frekvencí formula_21, kde formula_22 je redukovaná Planckova konstanta.

  Počátky kvantové teorie sahají k přelomu 19. a 20. století, kdy Max Planck odvodil vztah pro frekvenční rozdělení energie záření černého tělesa z předpokladu, že světlo je vyzařováno po malých kvantech, jejichž energie je úměrná frekvenci (konstanta úměrnosti formula_22 se nazývá Planckovou konstantou). Tehdejší teorie elektromagnetického záření předpokládaly čistě vlnový charakter světla.

  Bohrův model atomu (1913) vysvětloval rozložení spektrálních čar vodíku. Předpokládal, že moment hybnosti elektronu je celým násobkem Planckovy konstanty. Einstein pak vysvětlil podobným způsobem fotoelektrický jev, za což mu byla udělena Nobelova cena za rok 1921.  Na počátku dvacátých let kvantová mechanika pomáhala vysvětlit pouze mikroskopické jevy. De Broglie tedy navrhl uvažovat u veškeré látky dvojí podstatu, vlnovou a částicovou. Tím byly vysvětleny interferenční jevy při rozptylu částic (viz Youngův experiment pro různé typy částic).  Roku 1926 E. Schrödinger zveřejnil vlnovou rovnici.  W. Heisenberg zobecnil Hamiltonovy rovnice, čímž ukázal, že klasická mechanika je limitním případem mechaniky kvantové. Schrödingerova vlnová teorie i Heisenbergův maticový počet jsou ekvivalentní, jsou jen různými reprezentacemi stejné myšlenky.

  Kvantová mechanika narážela na dva zásadní problémy. Je totiž:  Kvantová teorie pole oba tyto problémy řeší. Od začátku je budována pro systémy s nekonečným počtem stupňů volnosti, kde není nutné, aby v daném stavu byl počet částic pevně daný. Na druhý problém v teorii pole také nenarážíme, poněvadž v ní prostorová souřadnice vystupuje spolu s časem jako parametr, nikoliv jako dynamická proměnná, jak je tomu v kvantové mechanice. Tím umožňuje přirozeně zahrnout speciální teorii relativity a vyhnout se přitom problému s interpretací lokalizovaných stavů.  Korektním zahrnutím teorie relativity je dosaženo přesnějšího popisu procesů, kdy kinetická energie některých z částic je srovnatelná s jejich klidovou energií či vyšší. Ve třicátých letech 20. století se jednalo především o β-rozpad neutronu (kvůli uvolněnému lehkému neutrinu) a pochopitelně všech procesů s fotony. Relativistická kvantová teorie pole se proto rozvinula velmi záhy v podobě Fermiho teorie β-rozpadu (1934) a později kvantové elektrodynamiky (konec 40. let), k jejímž hlavním autorům patří P. Dirac, F. Dyson, J. Schwinger, R. Feynman a Š. Tomonaga.  Zásadním problémem v poruchové formulaci teorie pole byl výskyt nekonečných koeficientů ve vyšších korekcích k základní aproximaci. Řešením se ukázala být procedura zvaná renormalizace, která odstraňuje nekonečné hodnoty pomocí předefinování fyzikálních konstant vystupujících v rovnicích, jako jsou náboje či hmotnosti částic. Ačkoliv matematická konzistence této procedury není zcela uspokojivá, vede k velmi dobré shodě s experimentem a stala se nedílnou součástí současné kvantové teorie. Mnoho fyziků, mj. Dirac a Feynman, vyjadřovalo ovšem nespokojenost s takovým stavem a dodnes renormalizace zůstává jedním z „nejdivnějších“ míst současné fyziky.  Renormalizace je (v užším smyslu) aplikovatelná jen na určitou třídu teorií, zvaných renormalizovatelné. Renormalizovatelnost je užitečným kritériem pro rozhodování, zda určitá teorie pole je přípustná pro popis v přírodě se vyskytujících procesů. Nerenormalizovatelnost staré Fermiho teorie vedla k předpovědi objevu existence intermediálních bosonů W a Z a posléze ke sjednocení elektrodynamiky a teorie slabých interakcí do jednotné teorie elektroslabých interakcí.  Vývoj teorie silných interakcí (jež jsou zodpovědné za síly držící dohromady hadrony a atomová jádra) byl složitější, především kvůli nepřebernému množství nově objevených hadronů v padesátých a šedesátých letech. Určitou dobu dokonce převažoval mezi fyziky názor, že kvantová teorie pole není v zásadě nutná pro popis částicových experimentů a předpovědi byly získávány vyšetřováním analytických vlastností S-matice. Teorie pole zažila návrat koncem šedesátých let po objevu kvarkového modelu a asymptotické volnosti, což vedlo k ustavení kvantové chromodynamiky jako hlavní teorie silných interakcí. Za objev asymptotické volnosti byla udělena F. Wilczekovi, D. Grossovi a H. D. Politzerovi nobelova cena za rok 2004.

  

  Klasická fyzika popisuje stav systému v daném čase pomocí sady hodnot vybraných měřitelných veličin (ty jsou v kvantové fyzice obvykle nazývány pozorovatelné). Například stav bodové částice (hmotného bodu) je úplně určen, zadáme-li jeho polohový vektor a vektor hybnosti; pak říkáme, že poloha a hybnost jsou úplným systémem pozorovatelných (ÚSP). (Alternativně lze udat místo hybnosti například směr pohybu a energii; výběr ÚSP použitých k popisu je víceméně libovolný a obvykle se volí sada pozorovatelných co nejlépe se hodící k výpočtům. Ostatní pozorovatelné jsou pak funkcí těch z ÚSP - energie je u volného hmotného bodu kvadrátem hybnosti a podobně.) Řešením pohybové rovnice pak principiálně můžeme spočíst, jaký bude stav systému v jiných časech.  Pojem stavu systému v kvantové teorii je složitější. Klíčovým rozdílem oproti klasické fyzice je možnost, že vybraná pozorovatelná v daném stavu nemá nějakou konkrétní hodnotu, ale při měření této veličiny můžeme dostat různé výsledky s různou pravděpodobností. Pravděpodobnost naměření hodnoty formula_2 veličiny formula_25 můžeme označit formula_26, místo jedné hodnoty polohy formula_27 určující pozici částice tak musíme k popisu systému udat pravděpodobnosti nalezení částice v každém bodě prostoru. (Protože prostor je spojitý, místo pravděpodobnosti je třeba udávat hustotu pravděpodobnosti, toto rozlišení budeme dále vynechávat, protože není pro pochopení podstaty kvantové teorie zásadní). Mohou ovšem existovat i speciální stavy, kde měřením vybrané pozorovatelné (v našem případě polohy) můžeme získat jen jedinou hodnotu formula_27, tj. formula_29 pro formula_30. Takovým stavům se říká stavy vlastní, nebo stavy "s ostrou hodnotou" pozorovatelné. V kvantové teorii jsou ale tyto stavy jen malou podmnožinou všech možných stavů systému.

  Ukazuje se, že pro popis interference nestačí udávat pravděpodobnostní funkci formula_26, ale komplexní amplitudu pravděpodobnosti formula_32, přičemž formula_33. Amplituda formula_34 se pak nazývá vlnovou funkcí. Analogicky by bylo samozřejmě možné udávat pravděpodobnost a fázový faktor, parametrizace pomocí komplexních čísel je ale výrazně elegantnější a jednodušší.  Máme-li v ÚSP pozorovatelných více (označme formula_35), musíme znát pravděpodobnost naměření pro každou kombinaci hodnot formula_36, a tudíž také popisujeme systém pomocí vlnové funkce více proměnných formula_37.  V rámci kvantové teorie je změna původního stavu procesem měření realizována konceptem kolapsu vlnové funkce. Měříme-li pozorovatelnou formula_25 a obdržíme výsledek formula_27, systém „zkolabuje“ do stavu s ostrou hodnotou formula_40, tj. jeho vlnová funkce se náhle změní - nikoliv vývojem daným Schrödingerovou rovnicí, ale procesem měření jako takovým. Následující bezprostředně následující měření téže veličiny pak dá týž výsledek.

  Provedeme-li měření téže veličiny na daném systému dvakrát bezprostředně po sobě, získáme stejnou hodnotu dané veličiny. To ovšem neplatí pro měření na jiných pozorovatelných - pokud měříme veličinu formula_25 s výsledkem formula_27, poté veličinu formula_43 s výsledkem formula_44, můžeme následujícím měřením formula_25 získat formula_46 různé od formula_27. Tuto skutečnost přirozeně interpretujeme jako nemožnost současného měření pozorovatelných formula_25 a formula_43. Pozorovatelné formula_25 a formula_43 se pak nazývají nekompatibilní. ÚSP pak zřejmě musí být tvořen jen kompatibilními pozorovatelnými.  Praktickým příkladem nekompatibilních pozorovatelných je hybnost a souřadnice. Jejich nekompatibilita je v jistém smyslu dokonce maximální, neexistuje totiž žádný stav, který by měl ostrou hodnotu obou těchto pozorovatelných a dokonce v každém stavu s ostrou hodnotou souřadnice (resp. hybnosti) může být hybnost (resp. souřadnice) libovolná, a to s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti. To ovšem znamená, že na rozdíl od klasické mechaniky bodové částice nemůže hybnost a souřadnice tvořit ÚSP. Ukazuje se ale, že v mechanice kvantové stačí, když je ÚSP tvořen jen hybností nebo jen souřadnicí.

  V kvantové teorii hraje důležitou roli otázka "přípravy stavu". Zatímco klasická fyzika tento problém neřeší (připravit systém do nějakého výchozího stavu se považuje za problém ryze technický), ve fyzice kvantové narážíme na koncepční problém: abychom vůbec věděli, v jakém je systém stavu, musíme provádět měření, při nichž se ovšem systém nechová deterministicky. Proto příprava stavu úzce souvisí s procedurou měření. Po provedení měření (jehož výsledek je náhodný) víme, že systém zkolaboval do stavu s ostrou hodnotou, kterou jsme naměřili a můžeme říct, že jsme připravili systém v onom konkrétním stavu. Pokud tedy měříme například polohu částice (např. tak, že na ni svítíme a pozorujeme odražené fotony) a naměříme nějakou hodnotu formula_2, pak můžeme tvrdit, že jsme připravili částici v tomto bodě. (Povšimněme si, že prakticky nevíme, v jakém stavu byl systém před prvním měřením.) Nevýhodou tohoto postupu je pochopitelně neschopnost určit onen bod předem. Proto má smysl trochu modifikovaná procedura - měřit, zda se částice nachází v určitém bodě. Tím získáme ano/ne experiment, přičemž v případě kladného výsledku měření máme systém ve stavu, o který jsme usilovali. To můžeme provést třeba tak, že svítíme jen do tohoto jednoho bodu. (Technické aspekty měření můžeme ignorovat, říkejme, že jsme do daného bodu umístili detektor částic. Ignorujme také konečné rozměry a tudíž nenulovou systematickou chybu měření detektoru.)  Co se stane, když umístíme dva detektory do dvou různých bodů formula_2 a formula_54? Pokud budeme detekovat signál zvlášť z každého z detektorů, nebude se situace podstatně lišit od předchozího případu - v případě kladného výsledku měření získáme částici umístěnou buď v formula_2 nebo v formula_54. Co když ale budeme detekovat jen jeden signál, ignorujíce z jakého detektoru vyšel? Naivně by se dalo čekat, že stav bude buď částice v bodě formula_2, nebo částice v formula_54, pouze nebudeme vědět, která možnost platí. Ve skutečnosti bude ale vlnová funkce výsledného stavu lineární kombinací vlnových funkcí stavů soustředěných v formula_2 a formula_54, přičemž koeficienty v této lineární kombinaci budou záviset na stavu systému před měřením. Toto je podivuhodná vlastnost kvantové teorie (všimněte si, že stav systému závisí na tom, jaké informace experimentátor extrahuje z měřicí aparatury) a sčítání vlnových funkcí se nazývá principem superpozice.

  Na místě klasické pohybové rovnice (což je obvykle diferenciální rovnice druhého řádu v čase) stojí Schrödingerova rovnice řídící časový vývoj vlnové funkce. Tato rovnice popisuje vývoj systému za předpokladu, že "není prováděno žádné měření", tedy je-li systém dostatečně izolovaný od svého okolí. Vlnová funkce se řízením Schrödingerovy rovnice v čase vyvíjí spojitě. Tzn. existují dva druhy časového vývoje v kvantové teorii: Hladký vývoj daný Schrödingerovou rovnicí jsoucí obdobou vývoje klasického systému, a na druhé straně ryze kvantový kolaps při měření.

  "(Poznámka k symbolice: V tomto článku jsou vektory označovány malými latinskými písmeny, operátory jsou pak označovány velkými písmeny se stříškou. Taková notace je jistým kompromisem mezi notací užívanou matematickými fyziky a matematiky - kde chybí i stříška u operátorů - a fyzikální Diracovou (braketovou) notací. Diracova notace je přehlednější, ovšem je typograficky náročnější a pro konzistentní zavedení je třeba zavádět duální prostory, což je nad rámec tohoto článku.)"  Pro detailnější porozumění kvantové teorii je vhodné uvažovat obecnější a abstraktnější aparát založený na lineární algebře. Systému je v něm přiřazen Hilbertův prostor, tj. úplný vektorový prostor se skalárním součinem. Každý nenulový vektor představuje možný stav systému a odpovídající vlnovou funkci. Obvykle se přitom vlnová funkce sama používá k reprezentaci abstraktního vektoru. Výhodou abstraktního popisu je výrazné zjednodušení vzorců, kde místo nepřehledných integrálních formulí vystupuje skalární součin stavových vektorů.  Zatím jsme pouze řekli, jaká je amplituda pravděpodobnosti naměření určité hodnoty pozorovatelné formula_25, která hraje roli argumentu vlnové funkce. Ovšem výběr pozorovatelné, kterou použijeme k tomuto účelu, je víceméně libovolný. Jaká je ale pravděpodobnost naměření hodnoty formula_54 pozorovatelné formula_43 ve stavu s vlnovou funkcí formula_34? Kvantová teorie tuto amplitudu pravděpodobnosti definuje jako skalární součin formula_34 s vektorem odpovídajícím stavu s ostrou hodnotou formula_54, formula_67.  Disponujeme-li systémem ve více kopiích a jsme-li teoreticky schopni všechny kopie uvést do stejného stavu formula_34, můžeme se ptát, jaká bude střední hodnota formula_69 pozorovatelné formula_25 ve stavu formula_34, tj. aritmetický průměr výsledků měření na jednotlivých kopiích systému. Přirozeně, formula_69 je dána váženým aritmetickým průměrem přes všechny možné naměřené hodnoty. Jednotlivé váhy jsou pak určeny pravděpodobností naměření příslušné hodnoty. Tudíž

  Každé pozorovatelné veličině formula_43 je přiřazen hermitovský operátor formula_75. Vlastní vektory formula_76 tohoto operátoru reprezentují stavy s ostrou hodnotou pozorovatelné formula_25, tato hodnota formula_78 je pak rovna příslušnému vlastnímu číslu. Taková reprezentace pozorovatelných má nezanedbatelné výhody. Například díky ortogonalitě vlastních vektorů samosdruženého operátoru můžeme operátor rozložit podle následujícího přepisu: Odtud je snadno vidět, že vzorec pro střední hodnotu se zjednoduší na formula_80.  Operátory odpovídající kompatibilním veličinám navzájem komutují, naopak nekomutující operátory reprezentují nekompatibilní (komplementární) pozorovatelné veličiny. Operátory také hrají zásadní roli při procesu "kvantování" (viz níže).

  Zavedení operátorů je klíčové pro proceduru zvanou "kvantování". Kvantováním se nazývá postup vedoucí k „odvození“ kvantových pohybových rovnic ze znalosti příslušného klasického systému. Standardně se postupuje v několika krocích.  Je vhodné si uvědomit, že kvantování není exaktní procedura, ale spíš umění najít ke klasickému systému jeho protějšek. Existuje také dost systémů nemajících klasickou analogii, nejjednodušším příkladem je spin elektronu. Problém kvantování je zásadní v teorii pole, kde není možno ve většině případů interagujících polí matematicky rigorózně systém definovat a řešit (tj. určit Hilbertův prostor a definiční obory operátorů a exaktně stanovit platnost použitých metod řešení).

  Kromě standardního postupu užívajícího Hilbertova prostoru a operátorů je, zvláště v teorii pole, populární postup využívající dráhového integrálu, zavedený R. P. Feynmanem. Opírá se o výpočty integrálů přes množinu všech myslitelných trajektorií ve fázovém nebo konfiguračním prostoru. Tento postup umožňuje (teoreticky) předpovídat výsledky měření na kvantovém systému užívaje klasického hamiltoniánu. Vede k relativně jednoduchému zavedení veličin, s nimiž operuje kvantová teorie pole, a k přehlednému odvození poruchových metod. Sám Feynman tvrdil, že k zavedení této formulace ho vedla snaha pochopit vztah klasického a kvantového systému, jenž se zdá ve formalismu dráhového integrálu zřetelnější (k hodnotě integrálu přispívají nejvíce trajektorie pohybující se okolo minima akce - tj. klasické trajektorie).  Důvodem, proč není tato formulace užívána dominantně, je jednak prakticky snazší počítání s operátory, a potom především matematická obtížnost pojmu dráhového integrálu. Dráhový integrál nelze definovat přímo dle teorie míry a integrálu (viz též Wienerova míra). Používá se tedy přiblížení pomocí limitní diskretizace, přičemž ožívají nejednoznačnost řazení operátorů v součinech a další problémy (limita přísně vzato neexistuje). Přesto paradoxně tato formulace vede k plodným výsledkům v částicové fyzice.

  Nemožnost pozorovat mikrosvět atomů přímo vedla k tomu, že se jedná pouze o subjektivní interpretace kvantové mechaniky. Existence kolapsu vlnové funkce vedla již v počátcích kvantové teorie k jejímu odmítání či minimálně kritickému postoji ze strany význačných vědců (jmenujme za všechny E. Schrödingera a A. Einsteina - paradoxně dva z těch, kteří se o vznik kvantové teorie zasloužili zásadní měrou), a to z několika různých příčin:

  Kolaps nastává podle kvantové teorie v okamžiku měření. Učebnice kvantové teorie obvykle nejdou příliš dál ve výkladu o bližším určení tohoto okamžiku. Standardně se uvažuje "mikroskopický" systém, na němž provádíme měření pomocí "makroskopické aparatury". V praktickém případě nedělá takové rozlišení žádné potíže - systém je obvykle tvořen jednotlivými atomy, zatímco aparatura může dosahovat rozměrů továrny (nejextrémnějším příkladem jsou obří urychlovače sloužící často pro výzkum vnitřní struktury protonů). Teoreticky ale můžeme libovolně velkou aparaturu zahrnout do zkoumaného systému a v tomto pohledu se kolaps odsouvá až do okamžiku, kdy výzkumník začne pozorovat aparaturu. Můžeme ale do systému zahrnout i mozek výzkumníka atd. Tudíž už samo určení okamžiku kolapsu je nejasné. Viz též příklad Schrödingerovy kočky. V podstatě existují tyto zásadní cesty, jak věc řešit:

  V roce 1935 Einstein, B. Podolsky a N. Rosen publikovali myšlenkový experiment, kterým hodlali zpochybnit úplnost kvantové teorie (EPR paradox). V principu poukazovali na existenci stavů, u kterých měření na jednom místě vede k okamžitému ovlivnění možných výsledků měření v místě vzdáleném a tak k popření principů speciální relativity. Vzhledem k tomu, že experimentátor nemůže „zařídit“, jaký má být výsledek jeho měření (tj. kam má systém zkolabovat), nelze tohoto jevu využívat k šíření informace nadsvětelnou rychlostí. Proto je tento myšlenkový pokus spíše argumentem filozofickým, opírajícím se o přesvědčení, že vlnová funkce je reálný objekt. Autory byl zamýšlen jako podpora teorií se skrytými parametry. Ty tvrdí, že kvantový systém je, podobně jako klasický, určen jednoznačně hodnotami sady parametrů, z nichž ovšem jen některé jsou pozorovatelné. Zbylé skryté parametry, které nejsme schopni zjistit, jsou příčinou neklasického chování kvantových systémů. Podle těchto teorií je výsledek měření systému určen předem a výběr stavu, kam systém zkolabuje, je určen právě skrytými parametry.  V době publikování EPR článku se nevědělo, jak zjistit, zda skryté parametry existují. Překvapivě jednoduchý test navrhl John Bell v šedesátých letech. Pomocí Bellových nerovností byla existence skrytých parametrů experimentálně vyvracena. Nadále však není jasné, co lze považovat za kvantové.  Nakonec je třeba poznamenat, že často zmiňovaná neslučitelnost obecné relativity a kvantové teorie není důsledkem zmíněného paradoxu s kolapsem. Potíže při slučování obecné relativity a kvantové teorie jsou více technického rázu a týkají se nerenormalizovatelnosti Einsteinovy teorie gravitačního pole. V současné době se jisté naděje na řešení tohoto problému vkládají do přechodu k teorii strun (který se základního postulátu kvantové teorie o kolapsu vlnové funkce netýká).

  Kvantová teorie hraje nezastupitelnou roli ve fyzice elementárních částic a fyzice pevných látek, atomové a molekulové fyzice a jejich prostřednictvím i v astrofyzice, fyzikální chemii a dalších oborech včetně medicíny. Bez kvantové teorie by pravděpodobně nebyly zkonstruovány polovodiče, neexistovala by jaderná energetika, některé moderní materiály jako uhlíková vlákna, lasery, apod. Pravděpodobně by také byly na mnohem nižší úrovni mnohé diagnostické a léčebné metody využívající radiofarmak a zářičů.  Kvantová teorie zásadním způsobem ovlivnila smýšlení lidí o světě. Pravděpodobnostní charakter jejích předpovědí zasadil silnou ránu mechanistickému determinismu, silnému ve filozofii osmnáctého a devatenáctého století.
Kvantová fyzika je soustavou fyzikálních teorií, která souběžně s teorií relativity ve 20. století předefinovala do té doby platné základy klasické fyziky. Zatímco teorie relativity vysvětluje především kosmologické otázky týkajících se velkých celků, kvantová fyzika se primárně týká nejmenších, tzv. elementárních částic. Obě teorie, které se experimentálně potvrdily, se však nedaří sloučit do jednoho funkčního celku, tzv. teorie všeho.