Can you summarize the following document?
        
  K převážné většině matematických konstrukcí (včetně pokročilých, jako je úplný obal metrického prostoru) stačí intuitivní (naivní) teorie množin, v níž intuitivně pracujeme s množinami jako se souhrny objektů. Tento přístup však vede k rozporům, pokud pracujeme s „příliš velkými“ množinami (nejznámější z těchto sporů je Russelův paradox). Vzato do důsledků, naivní teorie množin je sporná a proto v ní lze dokázat cokoli (např. že 1+1=42).  V reakci na tyto rozpory vznikla axiomatická teorie množin, která staví dokazatelnost matematických pravd na pevný základ. Její hlavní přednosti oproti naivní teorii jsou tyto:  1. Neumožňuje Russelův paradox (a další paradoxy naivní teorie množin) tím, že velké souhrny objektů (například „souhrn všech množin“) v ní nejsou pokládány za množiny, nýbrž jsou nazývány vlastními třídami a pracuje se s nimi jinak.  2. Nepředpokládá nic kromě přesně vyjmenovaných axiomů (odtud název „axiomatická“). Ani tak samozřejmé skutečnosti, jako že existuje prázdná množina (nebo že k množinám "a, b" existuje i množina "{a,b}") není dovoleno předpokládat, dokud to není dokázáno z axiomů anebo samo není axiomem.  Predikátová logika dává návod, jak prohledáváním nekonečného stromu ověřit dokazatelnost tvrzení z dané množiny axiomů. Existence soustavy axiomů, z nichž plyne každé matematické tvrzení, tedy umožňuje algoritmicky rozhodnout o pravdivosti jakékoli matematické hypotézy (tento algoritmus se nezastaví, pokud je tato hypotéza nerozhodnutelná z axiómů ZFC). To je sice v praxi nepoužitelné, protože počet větví stromu je astronomicky velký, ale přesto je ZFC užitečným vodítkem při diskuzi, zda nějaký argument lze nazvat platným matematickým důkazem.

  Při konstrukci teorie, která má obsáhnout celou matematiku, není možné do ní přidat všechny druhy objektů – například přidat predikát „tento objekt univerza je přirozené číslo“ (podobně, jako GB má predikát „tento objekt je množina“) a vložit axiomy, které chování přirozených čísel popisují (např. Peanovy axiomy).  Při takovém přístupu by se množina predikátů a axiomů neustále rozrůstala, například po objevení komplexních čísel, hyperkomplexních čísel apod. S každým rozšířením by se musely znovu dokazovat výsledky o teorii dokázané (například to, že nějaké tvrzení je v této teorii nezávislé).  Proto je zvolen opačný přístup: axiomy popisují vlastnosti skupiny co nejjednodušších objektů, které stačí ke zkonstruování celé matematiky. Ukázalo se, že k tomuto účelu nejlépe slouží množiny; z těch lze zkonstruovat přirozená čísla, reálná čísla, funkce, přímky, topologické prostory atd.

  Jelikož cílem ZF je popsat jedinou soustavou axiomů celou matematiku, není možné postupovat tak, že zavedeme pojem např. „přirozené číslo“ a vložíme axiomy o tom, jaké vlastnosti přirozená čísla mají. V takovém případě bychom museli rozšířit množinu axiomů pokaždé, když je v matematice objeven další důležitý pojem (reálné číslo, funkcionál, kategorie...)  Proto ZF vychází z předpokladu, že všechny matematické objekty jsou množiny, a její axiomy poskytují možnost z množin konstruovat množiny složitější. Prvek množin tedy mohou být opět jen množiny.  Matematické objekty, se kterými chceme pracovat, pak ztotožníme s vhodnými množinami – víme, jaké vlastnosti očekáváme od přirozených čísel (například že ke každému číslu existuje číslo o jedničku větší), a proto zvolíme množiny, které odpovídající vlastnost mají.

  Symbol "(a, b)" pokládáme za zkratku pro "<nowiki></nowiki>".Tato definice splňuje základní vlastnost, kterou od uspořádaných dvojic čekáme:

  Formálně: Množinu přirozených čísel definujeme jako průnik všech množin, které obsahují prázdnou množinu a s každým svým prvkem formula_6 obsahují i množinu formula_7.  Množinu přirozených čísel (včetně nuly) značíme formula_8.

  Máme-li definovaná přirozená čísla, pak by se mohlo zdát přirozené reprezentovat záporné číslo formula_9 jako formula_10. To však nelze, protože pro některá přirozená čísla formula_11 by mohlo platit formula_12.  Je však možné reprezentovat přirozená čísla (pro formula_13) jako formula_14 a záporná čísla formula_15 (pro formula_16) jako formula_17. Tato definice se nepoužívá, protože by definice sčítání, násobení apod. byla složitější, než u definice následující:  Idea je reprezentovat celé číslo formula_18 nekonečnou množinou takových dvojic formula_19, že formula_20 jsou přirozená čísla splňující formula_21. Například formula_22  Formálně: Množina celých čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech tříd ekvivalence) kartézského součinu formula_8 x formula_8 podle ekvivalence:  Máme-li definované sčítání a násobení pro přirozená čísla, definujeme je pro celá čísla takto: vyberme libovolný prvek (tzv. reprezentant) formula_19 a formula_26 čísel, které chceme sečíst. Výsledkem bude třída ekvivalence, která obsahuje dvojici formula_30 (tato třída nezávisí na volbě reprezentantů): Vzoreček pro násobení lze snadno odvodit roznásobením vztahu Podobně se postupuje i u dalších matematických operací.  Za pozornost stojí i skutečnost, že totéž číslo (například 2) je reprezentováno jinak jako přirozené číslo než jako celé číslo. Množina přirozených čísel tedy formálně není podmnožinou množiny celých čísel. S podobným jevem se v teorii množin setkáváme velmi často; tento přístup je volen proto, abychom nemuseli změnit reprezentaci množiny, pokud konstruujeme její rozšíření – například kdyby komplexní čísla a kvaterniony (což jsou oboje rozšíření reálných čísel) byly objeveny až poté, co byla ustálena konvence, jak reálná čísla v teorii množin reprezentovat.

  Každé racionální číslo lze zapsat nekonečně mnoha způsoby jako zlomek, např:  Racionální číslo budeme tedy reprezentovat množinou všech takovýchto dvojic formula_19.  Formálně: Množina racionálních čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech tříd ekvivalence) množiny  podle ekvivalence  V této definici formula_39 značí množinu celých čísel definovanou výše a zápis formula_40 se týká nuly jako celého čísla, což je formálně jiný objekt, než nula jako přirozené číslo.  Definice sčítání, násobení apod. odvodíme podobným způsobem jako u celých čísel.

  Reálná čísla je možno definovat několika způsoby, například ztotožnit jejich množinu s množinou všech Dedekindových řezů.

  Gödelovy věty o neúplnosti říkají, že je-li nějaká predikátová teorie bezesporná, rekurzivně axiomatizovatelná a dokazuje základní aritmetické pravdy, pak není úplná a neumí dokázat svoji bezespornost.  V každé teorii, kterou chceme pokládat za popis všech matematických pravd, musí být dokazatelné základní aritmetické pravdy a měl by existovat algoritmus, kterým ověříme, zda dané tvrzení je axiomem; bez takového algoritmu je teorie nepoužitelná k praktickým účelům.  Z toho plyne, že je-li tato teorie bezesporná, pak pro ni platí obě Gödelovy věty o neúplnosti a její bezespornost není nikdy možné dokázat. V její bezespornost matematická komunita pevně věří, protože spor nebyl objeven přes téměř celé století, kdy je tato teorie používána. Pro ZFC, která je běžně přijímána jako popis všech matematických pravd, jsou tedy dvě možnosti:

  Výše uvedené úvahy nevyužívaly specifické vlastnosti ZFC. Platí o každé rekurzívně spočetné teorii, kterou přijímáme jako popis všech matematických pravd a která umí dokázat základní pravdy aritmetiky (poslední podmínka v zásadě plyne z předposlední).  Z toho plyne, že výše uvedené „vady“ ZFC (její neúplnost a nemožnost ověřit její bezespornost) nelze napravit vhodnější volbou jejích axiomů; není tedy možný Hilbertův program. Matematické pravdy tedy nikdy nebudou plně popsány soustavou axiómů.  Bezespornost ZFC je možno snadno dokázat v nějaké silnější teorii (např. Kelleyova-Morseova teorie s axiómem výběru), ovšem to nemá žádnou váhu pro ověření, že je skutečně bezesporná. Kdybychom si byli jisti bezesporností KM+AC, nemuseli bychom ověřovat bezespornost ZFC, která z ní plyne. A pokud si nejsme jisti ani bezesporností KM+AC, tím méně můžeme spoléhat, že každé tvrzení v ní dokazatelné je pravdivé (což je podstatně silnější tvrzení: například PA s přidaným axiomem „PA je sporná“ je bezespornou teorií).  Nerozhodnutelná tvrzení v teorii množin mají nejen akademický význam, ale týkají se i „praktičtějších“ oblastí matematiky, jako je Matematická analýza (příkladem je Hypotéza kontinua). Bez axiomu výběru je nerozhodnutelná i řada zcela fundamentální faktů pro práci v matematice, například zda je každá funkce Lebesgueovsky integrovatelná a zda je kartézský součin neprázdných množin vždy neprázdný.

  Axiomatická teorie množin se vyvinula během dvacátého století z naivní teorie množin, kterou zavedli Georg Cantor a další.

  Naivní teorie množin vznikla z nutnosti popsat objekty, se kterými pracovala matematická analýza i v jiných matematických disciplínách.  Prvním vážným pokusem o přesný popis těchto objektů byla práce Bernarda Bolzana, jenž zavedl pojem množina a zkoumal vlastnosti nekonečných množin. Na toto téma napsal knihu Paradoxy nekonečna (Paradoxien des Unendlichen), která byla vydána až po jeho smrti.  Opravdovým zakladatelem teorie množin je Georg Cantor, který zavedl pojmy jako potenční množina, ordinál či kardinál. Též dokázal existenci nespočetných množin. K tomu použil zcela nový důkazní prostředek, dnes nazývaný Cantorova diagonální metoda. Později dokázal takzvanou Cantorovu větu tvrdící, že ke každé množině existuje množina o větší mohutnosti – její potenční množina. Používal tuto definici množiny: "„Množinou A rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v naší mysli. Těmto objektům říkáme prvky množiny A.“". Tato teorie dosáhla vynikajících výsledků, avšak na přelomu devatenáctého a dvacátého století se v ní objevili antinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin; viz níže).

  Na přelomu 19. a 20. století byly v naivní teorii množin objeveny antinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin). První se týkaly pouze velmi velkých souborů, jako je množina všech ordinálních čísel (Burali-Fortiho paradox) anebo množina všech množin (Cantorův paradox). Těmto antinomiím se nepřikládal velký význam, neboť se předpokládalo, že zpřesněním práce s tak velkými soubory se odstraní.  Opravdovým problémem se ukázal Russellův paradox, týkající se množiny, která je definována jednoduchou formulí. Russellův paradox se dá popsat takto: "„Mějme množinu formula_41 všech množin, které nejsou prvky samy sebe. Je tato množina svým prvkem? Obě možné odpovědi vedou ihned ke sporu.  V následujících letech se objevilo ještě několik obdobných problémů; například Richardův paradox týkající se diagonální metody a sémantiky obecného jazyka.

  V roce 1908 Ernst Zermelo v článku "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (česky: Zkoumání základů teorie množin) popsal teorii množin s "axiomem extenzionality", "axiom dvojice", "axiom potenční množiny", "axiom sumy", "axiom nekonečna", "axiom výběru" a "schéma axiomů vydělení". V roce 1917 Dmitrij Mirimanov "schéma axiomů vydělení" nahradil obecnějším "schématem axiomů nahrazení".

  Existuje několik různých systémů axiomatizace teorie množin s různou silou a výsledky. Zde je uvedena jen část z nich.

  Zermelova-Fraenkelova teorie množin je dnes neužívanější ze systémů axiomatické teorie množin, která je sama o sobě nebo v některých mírných modifikacích (zejména s přidaným axiomem výběru) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky včetně algebry a matematické analýzy. Tento systém nedefinuje třídy, ty jsou jen součástí metajazyka.  Mezi tvrzení nerozhodnutelná v této teorii patří například axiom výběru, hypotéza kontinua, Axiom konstruovatelnosti a Suslinova hypotéza. Všechny výsledky tohoto druhu (že něco nejde z axiomů ZFC dokázat) jsou ovšem formulovány s podmínkou „Pokud je ZFC bezesporná“, neboť její bezespornost nelze ověřit.  Je založena na těchto axiomech:

  Zkratkou ZFC je označována axiomatická soustava teorie množin, kterou tvoří axiomy Zermelo-Fraeneklovy teorie množin a axiom výběru (zkratka AC – z anglického "axiom of choice").

  Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin (NBG, též (Von Neumannova)-Gödelova-Bernaysova teorie množin, NGB, GB) se z hlediska své síly příliš neliší od ZF či ZFC – libovolný výrok o množinách je v NBG dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v ZF – mluvíme tedy o teorii NBG jako o konzervativním rozšíření teorie ZF (říkáme také, že NBG a ZF jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů. NBG jich má konečný počet díky použití vlastních tříd.  Na rozdíl od ZFC, jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco třídy tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v NBG jsou množiny i třídy objektem teorie množin – na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení – jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu: Někdy se k axiomům NBG přidává ještě takzvaný axiom výběru či silný axiom výběru. Výsledná teorie se pak značí NBG+AS.  Na rozdíl od ZF neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) NBG nekonečný počet axiomů – nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.  Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné):

  Kelleyova-Morseova teorie množin (označovaná též KM) je teorie silnější než jsou klasické axiomatizace Zermelova-Fraenkelova (ZF) a Von Neumannova-Gödelova-Bernaysova (NGB). V KM je dokazatelná (formální) konzistence ZF.  Axiomatizace KM je velmi podobná axiomatizaci GB, liší se pouze ve schématu existence tříd, kde (na rozdíl od GB) připouští existenci třídy odpovídající libovolné formuli. Tato zdánlivě drobná odlišnost je však příčinou toho, že KM je nesrovnatelně silnější teorií než GB i ZF.  Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné):

  New Foundations (NF) je axiomatizace, kterou vyvinul Willard van Orman Quine. Jedná se o zjednodušení teorie typů z knihy Principia Mathematica. Na rozdíl od teorie typů nepoužívá hierarchii typů. Axiomy NF vylučují axiom výběru. Je založena na těchto axiomech:  Schéma axiomů vydělení, může být nahrazeno konečně mnoha svými případy. Použití konečné axiomatizace odstraňuje nutnost v definicích zmiňovat typy.  Často se používá ve schématu vydělení koncept vrstvené formule (). (Řekneme, formule formula_62 je vrstvená, jestliže existuje funkce) f taková, že všem objektům univerza vrátí přirozené číslo a pro formula_63 platí formula_64 a pro formula_65 platí formula_66. Schéma axiomů vydělení pak zní:

  Teorie polomnožin byla vyvinuta v 70. a 80. letech 20. století Petrem Vopěnkou a Petrem Hájkem. Její axiomatizace je podobná Von Neumannově-Gödelově-Bernaysově teorii množin, ale liší se tím, že umožňuje existenci vlastních tříd, které jsou částí nějaké množiny (formula_69). Tato vlastnost umožňuje polomnožinám sloužit jako základ Vopěnkovy alternativní teorie množin

  K některým axiomatizacím teorie množin lze nadefinovat i odpovídající axiomatizace konečných množin.  Například ZF získáme ze ZF tak, že axiom nekonečna nahradíme jeho negací. Obdobně se získají NBG (respektive KM).  Dá se dokázat, že:
Axiomatická teorie množin je označení pro teorii, která formalizuje vlastnosti množin takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná tvrzení této teorie budu přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky (algebra, diferenciální rovnice, geometrie, teorie pravděpodobnosti i všechny ostatní).