V roce 2012 byl v soutěži Eurocup Formula Renault 2.0 druhým vítězem a v roce 2012 šampionem Formule Renault 2.0 Alps Series a v roce 2013 v GP3 Series. Debutoval ve formuli 1 jako závodník Toro Rosso, když skončil na 15. místě v mistrovství světa. Poté se přestěhoval do Red Bull Racing, kde byl partnerem Daniela Ricciarda pro sezónu 2015. Své první pódium ve Formuli 1 získal na Velké ceně Maďarska v roce 2015, když skončil na druhém místě za Sebastianem Vettelem. Ve své první sezóně s Red Bull Racing, Kvyat skončil na 7. místě v šampionátu jezdců, před svým spoluhráčem. Sezónu 2016 zahájil s týmem Red Bull Racing, kde získal své druhé pódium a skončil třetí na Velké ceně Číny 2016. Nicméně po kontroverzní srážce během prvního kola domácího závodu v Soči byl Kvyat před Velkou cenou Španělska 2016 degradován do týmu Toro Rosso, kde dokončil sezónu a byl udržován týmem na další sezónu. Ačkoli v roce 2017 důsledně předváděl solidní kvalifikační výkony, jeho sezónu sužovaly různé problémy, včetně několika odstoupení v závodech, kde mohl získat body. Po Velké ceně Spojených států v roce 2017 se Kvyat a Red Bull rozloučili, čímž ukončili jeho smlouvu. Kvyat strávil rok 2018 jako vývojový jezdec pro Scuderia Ferrari, než byl znovu podepsán Toro Rosso na sezónu. Na Velké ceně Německa v roce 2019 Kvyat získal třetí pódium ve své kariéře, když skončil třetí; to bylo také druhé pódium Scuderia Toro Rosso poté, co vyhráli Velkou cenu Itálie v roce 2008
se Sebastianem Vettelem.