Curzon byl pátým synem Nathaniela Curzona, 1. barona Scarsdale, a jeho ženy Caroline. Poprvé vstoupil do námořnictva 14. října 1776 jako schopný námořník. Když se "Aeolus" vrátil z Západní Indie v roce 1780, stal se midshipmanem na palubě. "Magnanime" byla vyslána na pomoc při útěce Gibraltaru v roce 1781, a pak do Východní Indie v roce 1782, aby posílila flotilu pod vedením sira Edwarda Hughese. Curzon přešel na palubu vlajkové lodi, a bojoval v bitvách u Providienu, Negapatamu a
Trincomalee. Dne 1. února 1783 obdržel poručíkové hodnosti na "Monarce" a byl s touto lodí v bitvě u Cuddalore v roce 1783, jeho poslední akci na východě.