Albert Popov se narodil v Sofii a debutoval na mistrovství světa v alpském lyžování FIS v roce 2014 ve věku pouhých 17 let. O několik měsíců později se zúčastnil mistrovství světa v alpském lyžování FIS 2015.
, kde se mu nepodařilo dokončit v obou slalomu a obří slalomu událostí.