Can you summarize the following document?
        
  Nechť "V" je vektorový prostor nad nějakým podtělesem "F" tělesa komplexních čísel a "p" je reálná funkce definovaná na "V". Funkce "p" je seminorma na "V", jestliže je  Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že "p"(0) = 0 a následně ze subaditivity "p"(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ "V".  Norma je seminorma "p", která je navíc pozitivně definitní:  Pro normu se namísto "p"(v) zpravidla používá označení ||v||.

  

  Na prostoru formula_1 lze definovat tzv. "eukleidovskou normu" vektoru x = ("x", "x",..., "x") jako Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

  Nechť "p" ≥ 1 je reálné číslo.  Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro "p" = 2).

  Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

  Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).  Normy ||•|| and ||•|| na vektorovém prostoru "V" se nazývají "ekvivalentní", jestliže existují kladná reálná čísla "C" a "D" taková, že pro všechna "x" ∈ "V". Na vektorovém prostoru "konečné dimenze" jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||, ||•|| a ||•|| jsou ekvivalentní na prostoru formula_1:  Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

  Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť "p" je seminorma na vektorovém prostoru "V", pak pro libovolný skalár α jsou množiny {"x" : "p"("x") < α} a {"x" : "p"("x") ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.  Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině "C" prostoru "V" existuje seminorma "μ" známá jako Minkowského funkcionál množiny "C", definovaná Pro tuto seminormu platí
Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. "délku" nebo "velikost"), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.