Francouzský matematik Évariste Galois, rozšiřující předchozí práci Paola Ruffiniho a Josepha-Louise Lagrange (1870-1888) dal kritérium pro řešitelnost konkrétní polynomové rovnice z hlediska symetrické skupiny jejích kořenů (řešení). Prvky takové Galoisovy skupiny odpovídají určitým permutacím kořenů. Zpočátku byly Galoisovy myšlenky odmítnuty jeho současníky a zveřejněny až posmrtně. Obecnější implikace skupin byly zkoumány zejména teorií skupin Louise Cayleyho (1870-1882) na základě řešení polynomových rovnic o stupni vyšším než 4. Později byly tyto geometrické teorie skupin použity jako první prostředek k vysvětlení geometrické teorie finitních čísel, která byla použita v roce 1872 jako součást prvních geometrických teorií skupin. Později byly tyto geometrické myšlenky použity jako první prostředek k vysvětlení geometrické teorie finitních skupin a dalšími metodami, jako např.
zjednodušit prokázání této klasifikace