Can you summarize the following document?
        
  Obyčejnou vytvořující funkci posloupnosti formula_2 zapíšeme jako  Jedná o tzv. otevřený tvar vytvořující funkce. Poznáme ho tak, že je v něm nekonečný součet (což se nám nemusí příliš líbit). Proto často chceme nalézt tzv. uzavřený tvar, ve kterém se nekonečný součet nevyskytuje.

  Mějme např. posloupnost Pak její vytvořující funkci lze zapsat (na intervalu, ve kterém tato řada konverguje) jako:  Uzavřený tvar této funkce lze snadno odvodit z obecného vztahu pro součet geometrické posloupnosti: Tyto dva tvary spolu souvisí tak, že když do nich doplníme za formula_7 libovolné reálné číslo z intervalu (-1,1) tzn. |x|<1, pro které uvedená mocninná řada konverguje, vyjde nám v obou tvarech vždy naprosto stejný výsledek.  Například doplníme formula_8, pak nám vyjde součet otevřeného tvaru vytvořující funkce:  A pro stejné formula_8 vyjde uzavřený tvar taktéž:  Vytvořující funkci této jednoduché posloupnosti lze dále považovat za klíčovou pro odvození uzavřených tvarů složitějších posloupností.  Například derivací řady formula_12 získáme řadu formula_13  Pokud tedy zderivujeme uzavřený tvar formula_14 dostaneme  Tato nová odvozená funkce představuje posloupnost formula_16  Podobnými úpravami lze postupně odvodit vytvořující funkce i pro vybrané posloupnosti (viz tabulka níže).

  Máme-li vytvořující funkci ve tvaru formula_17, vypočítáme požadovaný koeficient formula_18 následovně:  Nebo lze pro formula_20 použít tento vzoreček

  Hledáme koeficient formula_22 u vytv. fce formula_23:  Poznámka: Výpočet hodnoty koeficientu u tohoto typu vytvořující funkce vychází ze zobecněné binomické věty.
Vytvořující (též generující) funkce posloupnosti formula_1 je mocninná řada, která v sobě obsahuje informaci o dané posloupnosti. Vytvořující funkce tedy umožňuje popsat posloupnost a pracovat s ní prostřednictvím funkce, která v sobě obsahuje veškeré informace o dané posloupnosti.