- Egerszegi debutovala v mezinárodním měřítku na mistrovství Evropy v akvatice v roce 1987
ve věku 13 let, čtvrtý na 200 m a pátý na 100 m. Na Letních olympijských hrách v roce 1988 získala stříbrnou medaili v běhu na 100 metrů a stala se olympijskou šampionkou v běhu na 200 metrů. Ve věku 14 let a 41 dnů se stala nejmladší olympijskou šampionkou v plavání. Tento rekord v mládí překonala v roce 1992 Kyoko Iwasakiová z Japonska, která ve věku 14 let a šesti dnů získala na olympijských hrách v Barceloně v roce 1992 zlatou medaili v běhu na prs 200 metrů. Na konci roku 1988 byla nejlépe hodnocená plavkyně ve světovém žebříčku na 200 m zadem a stala se plavkyní roku a nejlepší ženská sportovkyně roku v Maďarsku.