Benčič se narodil ve Flawil v severovýchodním Švýcarsku jako syn Dana a Ivana Benčičů. Její rodiče se oba narodili v Československu, ale rodina jejího otce emigrovala do Švýcarska v roce 1968, aby unikla invazi Varšavské smlouvy.
Sovětským svazem. Její otec byl profesionální hokejista ve švýcarské národní lize A a národní lize B, než se stal pojišťovacím makléřem. Její matka byla špičková hráčka handbalu. Bencicová hrála první tenisové míče ve věku dvou let a ve věku čtyř let začala trénovat s otcem, který byl také rekreační tenisový hráč, po dobu jedné hodiny denně. Ve svém prvním národním turnaji v tomto věku prohrála proti soupeři o šest let staršímu v řadě setů, aniž by vyhrála hru. Bencicová jako dítě pravidelně čelila mnohem starším soupeřům a byla povzbuzována svým otcem, aby se snažila vyhrát dva zápasy za set.