Dora Trepat de Navarro začala hrát šachy v šachovém klubu Buenos Aires "Club de Ajedrez Jaque Mate de la Capital Federal". Od roku 1935 do roku 1939 a od roku 1954 pracovala jako šachová instruktorka v klubu "San Lorenzo de Almagro". Od konce třicátých let do začátku šedesátých let byla Dora Trepat de Navarro jednou z předních argentinských šachistek. V roce 1938 vyhrála první šachové mistrovství Argentiny. V roce 1939 se Dora Trepat de Navarro zúčastnila šachového mistrovství světa pro ženy.
v Buenos Aires a získal 12. místo (turnaj vyhrála Vera Menchik). Dvakrát se umístila na třetím místě v ženské světové šachové soutěži v Jižní Americe (1954, 1966). V roce 1964 Dora Trepat de Navarro naposledy vyhrála šampionát Argentiny v šachu.