השלים את המשפט הבא: בנצ'יץ' נולד בפלויל שבצפון-מזרח שוויץ לדאנה ואיוואן בנצ'יץ'. שני הוריה נולדו בצ'כוסלובקיה, אבל משפחת אביה היגרה לשווייץ ב-1968 כדי לברוח
הפלישה של ברית ורשה על ידי ברית המועצות. אביה היה שחקן הוקי מקצועי בליגה הלאומית השוויצרית A ובליגה הלאומית B לפני שהפך לסוכן ביטוח. אמא שלה הייתה שחקנית כדור יד ברמה גבוהה. בנסיץ' פגעה בכדורי הטניס הראשונים שלה בגיל שנתיים והתחילה להתאמן עם אביה, שהיה גם שחקן טניס פנאי, במשך שעה ביום בגיל ארבע. היא השתתפה בטורניר הלאומי הראשון שלה בגיל הזה, והפסידה ליריבה מבוגרת ממנה בשש שנים במערכות ישרות מבלי לנצח משחק. בנצ'יץ' הייתה מתמודדת באופן קבוע עם יריבים מבוגרים בהרבה בילדותה, ואביה עודד אותה לנסות לנצח שני משחקים בכל סדרה.