התייחסו לקטע הבא ואז ענו על השאלה שאחריו באותה שפה כמו הקטע:  מעבר: המושג המודרני של קבוצה מופשטת התפתח מתוך כמה תחומי מתמטיקה. המוטיבציה המקורית לתיאוריית הקבוצות הייתה החיפוש אחר פתרונות למשוואות פולינומיות בעלות דרגה גבוהה יותר מ-4. המתמטיקאי הצרפתי ממאה ה-19, אוואריסט גאלוס, שהרחיב את עבודתו הקודמת של פאולו רופיני וג'וזף-לואיס לגראנג', נתן קריטריון לפתרון של משוואת פולינומית מסוימת במונחים של קבוצת הסימטריה של השורשים שלה (הפתרונות). האלמנטים של קבוצת גלוזה כזו מתאימים לריבוי מסוים של השורשים. בהתחלה, הרעיונות של גלוואה נדחו על ידי בני זמנו, ופורסמו רק לאחר מותו. קבוצות פערמוטציה כלליות יותר נחקרו במיוחד על ידי אוגוסטין לואי קושי. מאמרו של ארתור קיילי על תיאוריית הקבוצות, בהתאם למשוואה הסימבולית θn = 1 (1854) נותן את ההגדרה המופשטת הראשונה של קבוצה סופית. הגיאומטריה הייתה תחום שני שבו השתמשו בקבוצות באופן שיטתי, במיוחד קבוצות סימטריה כחלק מתוכנית ארלנגן של פליקס קליין משנת 1872. לאחר שגיאומטריות חדשות כמו היפרבולית וגיאומטריה מוקרנת הופיעו, קליין השתמש בתיאוריה של קבוצות כדי לארגן אותם בצורה קוהרנטית יותר. התקדמות נוספת ברעיונות אלה, סופוס לי ייסד את המחקר של קבוצות לי בשנת 1884. התחום השלישי שתרם לתאוריה הקבוצתית היה תאוריה המספרים. מבנים מסוימים של קבוצות אבליאניות שימשו באופן מובנה בעבודתו של קרל פרידריך גאוס על תיאוריית המספרים "Disquisitiones Arithmeticae" (1798), ובאופן מפורש יותר על ידי ליאופולד קרונקר. בשנת 1847 ניסה ארנסט קומר להוכיח את השערה האחרונה של פרמה על ידי פיתוח קבוצות המתארות פקטוריזציה למספרים ראשוניים. ההתכנסות של מקורות שונים אלה לתאוריה אחידה של קבוצות החלה עם Traité des substitutions et des équations algébriques של קמיל ג'ורדן (1870). וולטר פון דיק (1882) הציג את הרעיון של קביעת קבוצה באמצעות גנרטורים ומערכות יחסים, והיה גם הראשון שנתן הגדרה אקסיומטית של "קבוצה מופשטת", בתרמינולוגיה של אותה תקופה. החל מהמאה ה-20, קבוצות...  שאלה: מה מטרת המחקר?
לפשט את ההוכחה של סיווג זה.