כתוב המשך לקטע זה - אגרזגי עשתה את הופעת הבכורה הבינלאומית שלה באליפות אירופה לאתרי מים בשנת 1987
בגיל 13, הגיע למקום הרביעי במרחק 200 מטר בגב ובמקום החמישי במרחק 100 מטר בגב. באולימפיאדת הקיץ 1988 היא זכתה במדליית כסף במירוץ 100 מטר בגב והפכה לאלימפית אולימפית במירוץ 200 מטר בגב. בגיל 14 שנים ו-41 ימים היא הפכה לאשת האולימפיאנית הצעירה ביותר בהיסטוריה בשחייה. שיא צעיר זה נשבר ב-1992 על ידי קיוקו איווסאקי מיפן, שזכתה במדליית זהב במרחק 200 מטר במניעת החזה במשחקים האולימפיים של ברצלונה ב-1992 בגיל 14 שנים ושישה ימים. בסוף 1988, היא הייתה השחיינית המובילה ב-200 מטר גב ברשימת העולם, כמו גם היא הפכה לשחיינית השנה ואתלטת השנה הטובה ביותר בהונגריה.