במתמטיקה הצרפתית של המאה ה-19 אברסט גאלוס, שהרחיב את עבודותיו הקודמות של פאולו רופיני וג'וזף-לואיס לגראנג' (1870-1888) החל לחפש פתרונות למשוואות פולינומיות ברמה גבוהה יותר מ-4. עבודותיו הראשונות של פאולו רופיני וג'וזף-לואיס לגראנג' (1888) נתנו קריטריון לפתרון משוואה פולינומית מסוימת במונחים של קבוצת הסימטריה של השורשים שלה (פתרונות). האלמנטים של קבוצת גאלוס כזו תואמים לשינויים מסוימים של השורשים. בתחילה, רעיונותיו של גאלוס נדחו על ידי בני זמנו, ופורסמו רק לאחר מותו. המוטיבציה המקורית לתורת הקבוצות התפתחה במיוחד על ידי לואיס קיילי (1870-1888) בחיפוש אחר פתרונות משוואות פולינומיות של קבוצות, בהתבסס על השוואה האקסימטית של קבוצות פסימטיות.
לפשט את ההוכחה של סיווג זה.