כתוב המשך לקטע זה - משתתף פעיל במועצה הוותיקנית השנייה (1962-1965), לינאר היה קול ליברלי מוביל במועצה וישב במועצת הנשיאות שלה. כאשר הקוריאה הרומית, המורכבת בעיקר מפרלטים שמרנים, הוציאה רשימה של מועמדים לחברי ועדות המועצה, לינארט התנגד כי שום דבר מהכישורים של המועמדים לא נכלל. לינארט, בסיוע הקרדינלים ברנרדוס יוהנס אלפרינק וג'ובאני קולומבו, העביר את אחת ההודעות הסופיות של המועצה ב-8 בדצמבר 1965. הוא היה גם אחד מהקרדינלים הבוחרים בקונקלבה האפיפיורית של 1963
, אשר בחרו באפיפיור פאולוס השישי.