येथे एक विरोधाभास आहे की 2 चे वर्गमूळ तर्कहीन आहे. प्रथम, लक्षात ठेवा की अपरिमेय संख्या ही अशी संख्या आहे जी p / q म्हणून p आणि q पूर्णांक म्हणून लिहिता येत नाही. विरोधाभास म्हणून असे गृहीत धरा की 2 चे वर्गमूळ तर्कसंगत आहे, याचा अर्थ असा होतो की sqrt(2) = p / q काही पूर्णांक p आणि q साठी. पुढे सर्वसाधारणता गमावल्याशिवाय असे गृहीत धरा की हा अपूर्णांक कमी स्वरूपात आहे, म्हणजे p आणि q मध्ये कोणतेही सामान्य घटक नाहीत. आपण असे गृहीत धरू शकतो कारण कोणतेही पूर्णांक अपूर्णांक अशा कमी केलेल्या स्वरूपात लिहीले जाऊ शकतात, म्हणून sqrt ((2) साठी कोणत्याही तर्कसंगत प्रतिनिधित्वाचे अस्तित्व कमी केलेल्या स्वरूपात अस्तित्वात असल्याचे सूचित करेल. आता आपण वरील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना चौरस करतो,  2 = पी ^ 2 / क्यू ^ 2  काही पूर्णांक p आणि q साठी कोणतेही सामान्य घटक सामायिक करत नाहीत. आता q^2 ने गुणाकार करून मिळते  2 * q^2 = p^2  डाव्या बाजूला 2 चा गुणक असल्याने उजव्या बाजूला p^2 सुद्धा सम आहे. याचा अर्थ p सुद्धा सम असावा, अन्यथा p^2 सम नसतो. तर p हे 2 * x म्हणून लिहीता येते काही पूर्णांक x साठी हे वरील समीकरणात समाविष्ट करून आपल्याला मिळते  2 * q ^ 2 = (2 * x) ^ 2 = 2 ^ 2 * x ^ 2  हे लक्षात घ्या की समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 चा गुणक आहे जो आपण रद्द करू शकतो. असे केल्याने आपल्याला  q^2 = 2 * x^2  वरील तर्कानुसार, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की q सम आहे. मात्र, हे आपल्या गृहीतकाशी विरोधाभासी आहे की p आणि q मध्ये कोणतेही सामान्य घटक नाहीत. म्हणून आमचा सुरुवातीचा गृहीतकाचा sqrt(2) तर्कसंगत आहे हे चुकीचे होते, जे आम्ही सिद्ध करण्यासाठी सेट केले आहे.
मला एक पुरावा द्या की 2 चे वर्गमूल तर्कहीन आहे