हेइन-बोरेल प्रमेयानुसार युक्लिडियन जागेचा उपसंच संक्षिप्त आहे हे दर्शविण्यासाठी खालील गुणधर्म पुरेसे आहेत: - सेट बंद आहे - सेट मर्यादित आहे
युक्लिडियन जागेचा उपसंच संक्षिप्त आहे हे दर्शविण्यासाठी पुरेसे असलेले दोन गुणधर्म काढा. या गुणधर्मांना बुलेट यादीमध्ये सादर करा.
Context:कॉम्पॅक्टनेसच्या विविध व्याख्या लागू होऊ शकतात, सर्वसाधारणतेच्या पातळीवर अवलंबून. युक्लिडियन स्पेसचा एक उपसंच बंद आणि मर्यादित असेल तर त्याला कॉम्पॅक्ट असे म्हणतात. याचा अर्थ बोल्झानो-वेअरस्ट्रॅस प्रमेयानुसार, संचातील कोणत्याही अनंत अनुक्रमामध्ये एक उप-अनुक्रम असतो जो संचातील एका बिंदूकडे अभिसरण करतो. कॉम्पॅक्टनेसची विविध समतुल्य संकल्पना, जसे की अनुक्रमिक कॉम्पॅक्टनेस आणि मर्यादा बिंदू कॉम्पॅक्टनेस, सामान्य मेट्रिक स्पेसमध्ये विकसित केली जाऊ शकते.  याउलट, कॉम्पॅक्टनेसच्या वेगवेगळ्या संकल्पना सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेसमध्ये समतुल्य नसतात आणि कॉम्पॅक्टनेसची सर्वात उपयुक्त संकल्पना <unk> मूळतः बायकॉम्पॅक्टनेस <unk> ओपन सेटपासून बनलेल्या कव्हरचा वापर करून परिभाषित केली जाते (खाली ओपन कव्हर परिभाषा पहा). युक्लिडच्या जागेच्या बंद आणि मर्यादित उपसंचसाठी संक्षिप्ततेचा हा प्रकार हा हेन <unk> बोरेल प्रमेय म्हणून ओळखला जातो. कॉम्पॅक्टनेस, जेव्हा या पद्धतीने परिभाषित केले जाते, तेव्हा बर्याचदा एखाद्याला स्थानिक पातळीवर ज्ञात माहिती घेण्याची परवानगी मिळते <unk> जागेच्या प्रत्येक बिंदूच्या शेजारच्या भागात <unk> आणि ती संपूर्ण जागेत जागतिक स्तरावर ठेवणारी माहिती वाढविण्यासाठी. या घटनेचे एक उदाहरण म्हणजे डिरिचलेटचा प्रमेय, ज्याला हेनेने मूळतः लागू केले होते, की कॉम्पॅक्ट अंतरावरील एक सतत कार्य एकसमानपणे सतत असते; येथे, सातत्य हे फंक्शनचे स्थानिक गुणधर्म आहे, आणि एकसमान सातत्य संबंधित जागतिक गुणधर्म आहे.