* हार मोजणीची समस्या: वेगवेगळ्या लांबीच्या वळणानुसार भिन्न हार मोजणे जिथे प्रत्येक मोती दोन रंगांपैकी एक असू शकतो. लेखात 3 आणि 4 लांबीचे हार आहेत आणि उत्तर अनुक्रमे 4 आणि 6 आहे. * क्यूबचा रंग समस्या: एका क्यूबच्या बाजूंच्या रोटेशननुसार भिन्न रंग गणना करा. ३ रंगांचा वापर करून उत्तर ५७ असेल, अशा परिस्थितीचा लेखात विचार करण्यात आला आहे. * 8 राणींचे कोडे: समस्येची एक शास्त्रीय आवृत्ती म्हणजे 8x8 बोर्डवर 8 राणी ठेवण्याचे वेगवेगळे मार्ग मोजणे जेणेकरून कोणतीही राणी दुसर्या राणीवर हल्ला करणार नाही (उत्तर 92) बर्न्ससाइडच्या लेमाच्या अनुप्रयोगासह लेखात राणीच्या वेगवेगळ्या स्थानांची संख्या रोटेशन आणि प्रतिबिंबित होण्यापर्यंत मोजली जाते, उत्तर म्हणून 12 वर पोहोचते.
या परिच्छेदावर आधारित संयोजकशास्त्रातील बर्न्ससाइडच्या लेमचे काही व्यावहारिक अनुप्रयोग काय आहेत?
Context:बर्न्ससाईडचा प्रमेय, ज्याला कधीकधी बर्न्ससाईडचा गणना प्रमेय, कोची-फ्रॉबेनियसचा प्रमेय, कक्षा-गणना प्रमेय किंवा बर्न्ससाईडचा नाही असा प्रमेय असेही म्हटले जाते, हा गट सिद्धांतातील एक परिणाम आहे जो गणितीय वस्तू मोजताना सहसा सममितीचा विचार करण्यासाठी उपयुक्त असतो. त्याचे विविध उपनामे विल्यम बर्न्ससाइड, जॉर्ज पोल्या, ऑगस्टिन लुई कॉची आणि फर्डिनांड जॉर्ज फ्रोबेनियस यांच्यावर आधारित आहेत. परिणाम स्वतः बर्न्ससाइडचे नाही, जो केवळ त्याच्या पुस्तकात 'ऑन द थ्योरी ऑफ ग्रुप्स ऑफ फिनिट ऑर्डर' मध्ये त्याचा उल्लेख करतो, त्याऐवजी ते फ्रॉबेनियस (1887) ला श्रेय देते. बर्न्ससाईडचा लेमा "कक्षा" मोजतो, जे सममितीचा विचार करून वेगळ्या वस्तू मोजण्यासारखेच आहे. हे सांगण्याचे इतर मार्ग म्हणजे एक समकक्षता संबंध आर पर्यंत भिन्न वस्तू मोजणे, किंवा कॅनॉनिकल फॉर्ममध्ये असलेल्या वस्तू मोजणे.  खालील प्रमाणे, G हा एक परिमित गट असू द्या जो संच X वर कार्य करतो. G मधील प्रत्येक g साठी, Xg ला X मधील घटकांचे संच दर्शवा जे g द्वारे निश्चित केलेले आहेत (जी द्वारे अपरिवर्तनीय राहिले असेही म्हटले जाते), म्हणजेच, Xg = { x ∈ X । g.x = x }. बर्न्ससाईडचा नियम खालील प्रमाणे आहे.  खूप छान आहे.  /  खूप छान आहे. = १ १ खूप छान आहे.  खूप छान आहे. <unk>  ∈  खूप छान आहे.   खूप छान आहे. . {\displaystyle X/G Berry={\frac {1}{Berry Berry}}\sum _{g\in G} BerryX^{g} Berry.} हे एकूण संख्या आहे. अशाप्रकारे कक्ष्यांची संख्या (एक नैसर्गिक संख्या किंवा +∞) जी (जी देखील एक नैसर्गिक संख्या किंवा अनंत आहे) च्या घटकाने निश्चित केलेल्या बिंदूंची सरासरी संख्या समान आहे. जर G असीम असेल, तर त्याचे विभाजन G ने चांगले परिभाषित केलेले असू शकत नाही; या प्रकरणात कार्डिनल अंकगणितातील खालील विधान सत्य आहे:  खूप छान आहे.  खूप छान आहे. खूप छान आहे.  /  खूप छान आहे. = <unk>  ∈  खूप छान आहे.   खूप छान आहे. . {\displaystyle \GgadgadgadgadgadX/Ggadgadgad=\sum _{g\in G} क्रमांकासाठी अर्ज करण्याचे उदाहरण हार लांबी 3 चे 8 संभाव्य बिट वेक्टर आहेत, परंतु लांबी 3: 000, 001, 011 आणि 111 चे फक्त चार भिन्न 2-रंगीत हार आहेत, कारण 100 आणि 010 रोटेशनद्वारे 001 च्या समतुल्य आहेत; त्याचप्रमाणे 110 आणि 101 011 च्या समतुल्य आहेत. हे सूत्र रोटेशनच्या संख्येवर आधारित आहे, जे या प्रकरणात 3 आहे (शून्य रोटेशनसह), आणि प्रत्येक रोटेशनद्वारे बदल न झालेल्या बिट वेक्टरची संख्या. सर्व 8 बिट वेक्टर शून्य रोटेशनद्वारे बदललेले नाहीत, आणि दोन (000 आणि 111) इतर दोन रोटेशनद्वारे बदललेले नाहीत, देणेः ४ = १ १ ३ ( ८ + दोन + दोन ) {\displaystyle 4={\frac {1}{3}}(8+2+2)}.  लांबी 4 साठी 16 संभाव्य बिट वेक्टर आहेत; 4 रोटेशन; शून्य रोटेशन सर्व 16 बिट वेक्टर अपरिवर्तित ठेवते; 1-रोटेशन आणि 3-रोटेशन प्रत्येक दोन बिट वेक्टर अपरिवर्तित ठेवते (0000 आणि 1111); 2-रोटेशन 4 बिट वेक्टर अपरिवर्तित ठेवते (0000, 0101, 1010 आणि 1111); देणेः ६ = १ १ ४ ( १६ + दोन + ४ + दोन ) {\displaystyle 6={\frac {1}{4}}(१६+२+४+२}. हे आहेत: 0000, 0001, 0011, 0101, 0111, आणि 1111.  घनाचे रंग तीन रंगांचा वापर करून घनच्या बाजूंच्या फिरण्याने भिन्न रंगांची संख्या या सूत्रानुसार निर्धारित केली जाऊ शकते.  X हे 36 संभाव्य चेहर्यावरील रंग संयोजनांचे संच आहे जे एका विशिष्ट अभिमुखतेमध्ये क्यूबवर लागू केले जाऊ शकते आणि क्यूबच्या रोटेशन ग्रुप G ने नैसर्गिक पद्धतीने X वर कार्य केले आहे. मग X चे दोन घटक त्याच कक्षेत असतात जेव्हा एक फक्त दुसर्याचे रोटेशन असते. अशाप्रकारे, रोटेशनच्या दृष्टीने वेगळ्या रंगांची संख्या कक्षांच्या संख्येइतकीच असते आणि जीच्या 24 घटकांसाठी निश्चित संचातील आकार मोजून आढळू शकते.   रंगीत बाजूंनी घन एक ओळख घटक जो X चे सर्व 36 घटक अपरिवर्तित ठेवतो सहा 90-डिग्री चेहर्याचे फिरणे, ज्यापैकी प्रत्येक X चे 33 घटक अपरिवर्तित सोडते तीन 180-डिग्री चेहर्याचे फिरणे, जे प्रत्येक X चे 34 घटक अपरिवर्तित ठेवते आठ 120-डिग्री शिरोबिंदू फिरविणे, ज्यापैकी प्रत्येक X चे 32 घटक अपरिवर्तित सोडते सहा 180-डिग्री किनारपट्टी फिरविणे, ज्यापैकी प्रत्येक X चे 33 घटक अपरिवर्तित ठेवते या ऑटोमॉर्फिझमची सविस्तर तपासणी येथे आढळू शकते.  त्यामुळे सरासरी फिक्स आकार आहे  १ १ २४ ( ३ ६ + ६ ⋅ ३ ३ + ३ ⋅ ३ ४ + ८ ⋅ ३ दोन + ६ ⋅ ३ ३ ) = ५७ आहे. {\frac {1}{24}}\left{3^{6}+6\cdot 3^{3}+3\cdot 3^{4}+8\cdot 3^{2}+6\cdot 3^{3}\right) = 57 आहे. म्हणून एका क्यूबच्या तीन रंगांच्या बाजूंच्या 57 रोटेशननुसार भिन्न रंग आहेत. साधारणपणे, n रंगांमध्ये घनाच्या बाजूंच्या फिरण्याने भिन्न रंगातल्या रंगांची संख्या खालीलप्रमाणे दिली जाते  १ १ २४ (  ६ + ३  ४ + १२  ३ + ८  दोन ) . {\frac {1}{24}}\left(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}\right) असे आहे. ८ राणीची कोडे आठ राणीच्या कोडेमध्ये ९२ उपाय आहेत, त्यातील १२ मूलभूत उपाय बोर्डच्या फिरण्यापर्यंत आणि प्रतिबिंबित होण्यापर्यंत वेगळे आहेत. यामध्ये शून्य कृतीसह 8 रोटेशन आणि रिफ्लेक्शन्सचे संयोजन आहेत. शून्य कृती सर्व 92 उपाय अपरिवर्तित ठेवते. ९२ पैकी चार सोल्यूशन्स सममितीय आहेत, १८० डिग्री रोटेशनने बदललेले नाहीत. म्हणजे: १२ = १ १ ८ ( ९२ + ४ ) {\displaystyle 12={\frac {1}{8}}(92+4) } असे आहे.