1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

Chuỗi vô hạn có số hạng là các số tự nhiên 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ là một chuỗi phân kỳ. Tổng riêng phần thứ n của chuỗi là số tam giác ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},} tổng này tăng không giới hạn khi n đi đến vô cực. Bởi vì dãy tổng riêng phần không hội tụ tại một giá trị hữu hạn nào nên chuỗi này không có tổng. Mặc dù loạt phép tính này thoạt nhìn không có bất kỳ giá trị ý nghĩa nào, tuy nhiên nó có thể được biến đổi để mang lại một số kết quả toán học thú vị. Ví dụ, nhiều phương pháp tính tổng được sử dụng trong toán học để gán các giá trị số ngay cả cho một chuỗi phân kỳ. Đặc biệt là, các phương pháp trong chính quy hóa hàm Zeta và tính tổng Ramanujan gán giá trị − 1/12 cho giá trị tổng của chuỗi trên, được thể hiện bởi một công thức nổi tiếng sau, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 , {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},} trong đó vế bên trái phải được hiểu là giá trị thu được bằng cách sử dụng một trong các phương pháp tổng hợp đã nói ở trên và không phải là tổng của một chuỗi vô hạn theo nghĩa thông thường của nó. Các phương pháp này có các ứng dụng trong các lĩnh vực khác như giải tích phức, lý thuyết trường lượng tử và lý thuyết dây. Trong một chuyên khảo về lý thuyết ánh trăng[cần định nghĩa], Terry Gannon gọi phương trình này là "một trong những công thức đáng chú ý nhất trong khoa học". ^ Tao, Terence (10 tháng 4 năm 2010), The Euler–Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, truy cập ngày 30 tháng 1 năm 2014. ^ Lepowsky, James (1999). “Vertex operator algebras and the zeta function”. Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics. Contemporary Mathematics. 248: 327–340. arXiv:math/9909178. Bibcode:1999math......9178L. doi:10.48550/ARXIV.MATH/9909178. ^ Tong, David (ngày 23 tháng 2 năm 2012). "String Theory". p. 28–48. arΧiv:0908.0333 [hep-th].  ^ Gannon, Terry (25 tháng 3 năm 2010). Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics (ấn bản 1). Cambridge University Press. ISBN 978-0521141888. Berndt, Bruce C.; Srinivasa Ramanujan Aiyangar; Rankin, Robert A. (1995). Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0287-9. Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. Zee, A. (2003). Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. ISBN 0-691-01019-6. Zwiebach, Barton (2004). A First Course in String Theory. Cambridge UP. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293. Elizalde, Emilio (2004). “Cosmology: Techniques and Applications”. Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions. arXiv:gr-qc/0409076. Bibcode:2004gr.qc.....9076E. Watson, G. N. (tháng 4 năm 1929), “Theorems stated by Ramanujan (VIII): Theorems on Divergent Series”, Journal of the London Mathematical Society, 1, 4 (2): 82–86, doi:10.1112/jlms/s1-4.14.82 Lamb E. (2014), " Liệu 1 + 2 + 3 có thực sự bằng nhau1/12 không? ", Blog khoa học Mỹ. Tìm kiếm trong tuần này trong Vật lý toán học (Tuần 124), (Tuần 126), (Tuần 147), (Tuần 213) Bằng chứng của Euler rằng 1 + 2 + 3 + = /121/12 - bởi John Baez García Moreta, José Javier http://prespacetime.com và GR Vấn đề & Giải pháp tập 4 Tạp chí thời gian trước 3 tháng 3 http://prespacetime.com/index.php/pst/su/view/41/showToc John Baez (ngày 19 tháng 9 năm 2008). “My Favorite Numbers: 24” (PDF). Công thức Euler-Maclaurin, số Bernoulli, hàm zeta và tiếp tục phân tích biến thực của Terence Tao Một đánh giá đệ quy về zeta của các số nguyên âm của Luboš Motl Liên kết tới video Numberphile 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... = cám1/12 Tổng số tự nhiên (bằng chứng thứ hai và cảnh quay thêm) bao gồm trình diễn phương pháp của Euler. Chúng ta nhận được gì nếu chúng ta tổng hợp tất cả các số tự nhiên? trả lời các bình luận về video của Tony Padilla Bài viết liên quan từ Thời báo New York Tại sao lại1/12 là một video Numberphile tiếp theo của nugget vàng với Edward Frenkel Chuỗi phân kỳ: tại sao 1 + 2 + 3 + = /121/12 của Brydon Cais từ Đại học Arizona