Tô pô phần bù hữu hạn

Tô pô phần bù hữu hạn là tô pô có thể định nghĩa trên mỗi tập X {\displaystyle X} . Nó bao gồm tập rỗng và các tập mở là các tập con của X {\displaystyle X} có phần bù là hữu hạn. Do đó, trong tô pô phần bù hữu hạn, chỉ những tập đóng hoặc X {\displaystyle X} là hữu hạn. Rõ ràng hơn, ta có thể viết tô pô phần bù hữu hạn như sau: T = { A ⊆ X ∣ A = ∅  hoặc  X ∖ A  hữu hạn } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\text{ hoặc }}X\setminus A{\text{ hữu hạn}}\}} Mọi tập con A {\displaystyle A} của không gian tô pô X {\displaystyle X} với tô pô phần bù hữu hạn là compact. Giả sử { U i : i ∈ I } {\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}} là một phủ mở của A {\displaystyle A} . Khi đó A = ⋃ i ∈ I U i {\displaystyle A=\bigcup _{i\in I}U_{i}} nên X ∖ A = ⋂ i ∈ I X ∖ U i {\displaystyle X\setminus A=\bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}} Vì mỗi X ∖ U i {\displaystyle X\setminus U_{i}} là hữu hạn nên ⋂ i ∈ I X ∖ U i {\displaystyle \bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}} cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập X ∖ U i {\displaystyle X\setminus U_{i}} ( i ∈ J {\displaystyle i\in J} với J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} và | J | < ∞ {\displaystyle |J|<\infty } ) sao cho X ∖ A = ⋂ i ∈ J X ∖ U i {\displaystyle X\setminus A=\bigcap _{i\in J}X\setminus U_{i}} Do đó A = ⋃ i ∈ J U i {\displaystyle A=\bigcup _{i\in J}U_{i}} Vậy A {\displaystyle A} compact. Một không gian tô-pô phần bù hữu hạn là một không gian compact. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 050744