Số Lebesgue

Trong tô pô, bổ đề số Lebesgue là công cụ hữu dụng trong không gian mêtric compact. Bổ đề nói rằng: Cho A {\displaystyle A} là phủ mở của không gian mêtric ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} . Nếu X {\displaystyle X} là compact, thì có ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} sao cho với mỗi quả cầu bán kính ε {\displaystyle \varepsilon } thì chứa trong một thành phần của A {\displaystyle A} . Với mỗi x ∈ X {\displaystyle x\in X} có một tập mở U x ∈ A {\displaystyle U_{x}\in A} chứa x {\displaystyle x} . Có một số ε x > 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}>0} sao cho quả cầu B ( x , 2 ε x ) {\displaystyle B(x,2\varepsilon _{x})} chứa trong U x {\displaystyle U_{x}} . Họ { B ( x , ε x ) | x ∈ X } {\displaystyle \left\{B(x,\varepsilon _{x})|x\in X\right\}} là phủ mở của X {\displaystyle X} , nên có phủ con hữu hạn { B ( x i , ε i ) | 1 ≤ i ≤ n } {\displaystyle \left\{B(x_{i},\varepsilon _{i})|1\leq i\leq n\right\}} . Đặt ε = min { ε i | 1 ≤ i ≤ n } {\displaystyle \varepsilon =\min \left\{\varepsilon _{i}|1\leq i\leq n\right\}} . Giả sử rằng y ∈ B ( x , ε ) {\displaystyle y\in B(x,\varepsilon )} . Khi đó có i 0 , 1 ≤ i 0 ≤ n {\displaystyle i_{0},1\leq i_{0}\leq n} , sao cho x ∈ B ( x i 0 , ε i 0 ) {\displaystyle x\in B(x_{i_{0}},\varepsilon _{i_{0}})} . Ta có d ( y , x i 0 ) ≤ d ( y , x ) + d ( x , x i 0 ) < ε + ε i 0 ≤ 2 ε i 0 . {\displaystyle d(y,x_{i_{0}})\leq d(y,x)+d(x,x_{i_{0}})<\varepsilon +\varepsilon _{i_{0}}\leq 2\varepsilon _{i0}.} Điều này dẫn đến y {\displaystyle y} nằm trong thành phần U x i 0 {\displaystyle U_{x_{i_{0}}}} của A {\displaystyle A} , và B ( x , ε ) {\displaystyle B(x,\varepsilon )} chứa trong U x i 0 {\displaystyle U_{x_{i_{0}}}} . James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.