Định lý Heine–Borel

Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard Heine và Émile Borel, phát biểu rằng: Đối với một tập con A trong không gian Euclide R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau: A là tập đóng và bị chặn. Mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn, điều đó có nghĩa A là compact. Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau: Một tập con A {\displaystyle A} của không gian metric là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn hoàn toàn. Giả sử A {\displaystyle A} compact. Vì R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} là không gian Hausdorff nên A {\displaystyle A} đóng. Lấy một họ { B ( 0 , m ) | m ∈ Z + } {\displaystyle \left\{B(0,m)|m\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}} các phủ mở của A {\displaystyle A} . Vì A {\displaystyle A} compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có M {\displaystyle M} sao cho A ⊂ B ( 0 , M ) {\displaystyle A\subset B(0,M)} . Nên, với hai điểm bất kỳ x {\displaystyle x} và y {\displaystyle y} của A {\displaystyle A} , ta có d ( x , y ) ≤ 2 M {\displaystyle d(x,y)\leq 2M} . Vậy A {\displaystyle A} bị chặn. Ngược lại, nếu A {\displaystyle A} đóng và bị chặn, giả sử d ( x , y ) ≤ N {\displaystyle d(x,y)\leq N} với mọi x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} . Cố định một điểm x 0 {\displaystyle x_{0}} của A {\displaystyle A} , đặt d ( x 0 , 0 ) = b {\displaystyle d(x_{0},0)=b} . Khi đó, với mọi x ∈ A {\displaystyle x\in A} thì d ( x , 0 ) ≤ d ( x , x 0 ) + d ( x 0 , 0 ) ≤ N + b {\displaystyle d(x,0)\leq d(x,x_{0})+d(x_{0},0)\leq N+b} . Đặt P = N + b {\displaystyle P=N+b} , thì A {\displaystyle A} là tập con của [ − P , P ] n {\displaystyle [-P,P]^{n}} , là tập compact. Vì A {\displaystyle A} đóng nên A {\displaystyle A} cũng compact. James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2. Bổ đề HAINƠ - BÔREN tại Từ điển bách khoa Việt Nam