Quan hệ hai ngôi

Trong toán học, một quan hệ hai ngôi (hay còn gọi là quan hệ nhị phân) trên hai tập A và B là một tập các cặp được sắp (a, b), chứa các phần tử a thuộc A và các phần tử b thuộc B. Đó là một tập con của tích Descartes A × B. Nó mã hóa thông tin quan hệ: một phần tử a có liên quan với một phần tử b khi và chỉ khi cặp (a, b) thuộc về một tập hợp. Quan hệ hai ngôi là một dạng quan hệ được nghiên cứu nhiều nhất trong số các quan hệ toán học. Một ví dụ trong quan hệ hai ngôi thường thấy là phép chia hết trên tập số nguyên tố P {\displaystyle \mathbb {P} } và tập số nguyên Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ,trong đó mỗi số nguyên p quan hệ với mỗi số nguyên z là bội của p, và không quan hệ với số không chia hết p. Ví dụ như số 2 có quan hệ với -4, 0, 6 nhưng không có quan hệ với các số -1, 9. Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong các lĩnh vực toán học để làm mẫu rất nhiều khái niệm. Ta có các ví dụ như: Quan hệ "lớn hơn", "bằng", "chia hết" trong Số học. Quan hệ "tương đẳng" trong Hình học. Quan hệ "kề nhau" trong Lý thuyết đồ thị. Quan hệ "trực giao" trong Đại số tuyến tính. Một hàm số cũng có thể được coi là một dạng đặc biệt trong quan hệ hai ngôi . Quan hệ hai ngôi được sử dụng phổ biến trong Khoa học máy tính. Một quan hệ hai 2 ngôi trên 2 tập X và Y là một phần tử trong tập lũy thừa X × Y. Bởi tập lũy thừa được xếp thứ tự theo phép chứa. Mỗi mối quan hệ có vị trí trong lưới của các tập con của X × Y. Bởi các quan hệ là các tập hợp. Ta có thể biến đổi chúng bằng các phép toán trong tập hợp như phép hội, phép giao và phép bù, thỏa mãn các định luật trong đại số tập hợp. Hơn nữa, ta còn có phép nghịch đảo của quan hệ và phép hợp hàm của quan hệ, thỏa mãn các định luật trong giải tích của quan hệ. Ngoài ra còn có quan hệ ngược và phép hợp thành quan hệ, hình thành nên giải tích quan hệ, được nghiên cứu trong các cuốn sách của Ernst Schroder, Clarence Lewis và Gunther Schmidt. Trong một số hệ thống trong lý thuyết tiên đề tập hợp, các quan hệ hai ngôi được mở rộng thành các lớp (lớp là dạng tổng quát của tập hợp). Việc mở rộng này cần thiết cho việc mô tả khái niệm "là một phần tử của" hay "là tập con của" trong lý thuyết tập hợp mà không bị vướng với các mâu thuẫn logic như Nghịch lý Russell. Cho hai tập X và Y, Tích đề các X × Y {\displaystyle X\times Y} được định nghĩa { ( x , y ) : x ∈ X  và  y ∈ Y } , {\displaystyle \{(x,y):x\in X{\text{ và }}y\in Y\},} và các phần tử của nó là các cặp được sắp. Quan hệ hai ngôi R trên tập X và tập Y là tập con của X × Y . {\displaystyle X\times Y.} Tập X được gọi là miền hoặc tập đi củaR, tập Y thì được gọi là đối miền hoặc tập đích của R. Tập G biểu diễn quan hệ là tập con của X × Y {\displaystyle X\times Y} được gọi là đồ thị của quan hệ hai ngôi. Câu ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} được đọc là "x có quan hệ R với y" và ký hiệu là xRy. Miền xác định của R là tập các giá trị x sao cho xRy với ít nhất 1 giá trị y. Đối miền xác định hay còn được gọi là ảnh hoặc miền giá trị của R là tập các giá trị y sao cho xRy với ít nhất 1 giá trị x. Trường của R là hội của miền xác định và đối miền xác định. Khi X = Y , {\displaystyle X=Y,} thì quan hệ hai ngôi được gọi là quan hệ thuần nhất. Ngược lại thì quan hệ được gọi là quan hệ không thuần nhất. Cần để ý đến thứ tự của phần tử trong quan hệ hai ngôi bởi nếu x ≠ y {\displaystyle x\neq y} thì giá trị đúng sai của yRx không phụ thuộc vào xRy. Để lấy ví dụ: 9 chia hết cho 3 nhưng 3 không có chia hết cho 9. 1) Ví dụ sau cho thấy tầm quan trọng trong việc chọn đối miền. Giả sử ta có tập 4 vật thể A = { cốc, bát, đũa, thìa } {\displaystyle A=\{{\text{cốc, bát, đũa, thìa}}\}} và tập 4 bạn B = { W, X, Y, Z } . {\displaystyle B=\{{\text{W, X, Y, Z}}\}.} Giả sử quan hệ giữa A và B là "được sở hữu bởi" cho như sau: R = { ( cốc, W ) , ( bát, X ) , ( thìa, Z ) } . {\displaystyle R=\{({\text{cốc, W}}),({\text{bát, X}}),({\text{thìa, Z}})\}.} Nghĩa là W sở hữu cái cốc, X thì có cái bát còn Z thì sở hữu cái thìa. Không ai sở hữu cái đũa và Y thì không sở hữu cái gì cả, xem ví dụ 1. Bởi trong tập R không có Y nên tập R có thể được xem là tập con của A × { W, X, Z } , {\displaystyle A\times \{{\text{W, X, Z}}\},} hay nói cách khác mối quan hệ giữa A và { W, X, Z } , {\displaystyle \{{\text{W, X, Z}}\},} xem ví dụ 2. Ví dụ 2 có tính toàn ánh (xem dưới) trong khi ví dụ 1 thì không. 2) Đặt A = {Ấn Độ dương, Nam đại dương, Bắc băng dương, Thái bình dương} là tập đại dương và B = { NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA }, tập các châu lục. Giả sử aRb là quan hệ a kề với b. Khi đó ma trận logic của quan hệ này là: R = ( 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 ) . {\displaystyle R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.} Tính kết nối của trái đất có thể xem qua R RT và RT R, cái đầu là quan hệ phổ dụng 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} trên A ( A × A {\displaystyle A\times A} hoặc ma trận logic bao gồm toàn giá trị 1). Quan hệ phổ dụng này phản ánh mỗi đại dương đều cách các đại dương khác ít nhất 1 châu lục. Mặt khác, RT R là quan hệ trên B × B {\displaystyle B\times B} nhưng không phổ dụng bởi phải đi qua ít nhất hai đại dương để đi từ châu Âu đến châu Úc. 3) Ta có thể biểu diễn các quan hệ hai ngôi bằng đồ thị: Đối với các quan hệ trên cùng 1 tập (quan hệ thuần nhất), đồ thị có hướng thường được dùng để mô tả quan hệ , trong trường hợp quan hệ đó là quan hệ đối xứng thì có thể dùng đồ thị không hướng. Đối với quan hệ không thuần nhất, siêu đồ thị có cạnh có thể nối nhiều hơn hai nút có thể biểu diễn bằng đồ thị hai phía. Clique là phần không thể thiếu khi xét các quan hệ thuần nhất, còn clique hai chiều thì được dùng khi xét các quan hệ không thuần nhất; thật vậy, "dựa vào" đó ta có thể sinh ra lưới của quan hệ. 4) Trực giao hyperbol: Thời gian và không gian là hai phạm trù khác nhau với các tính chất thời gian phân biệt với không gian. Ý tưởng của việc sự việc đồng thời khá đơn giản trong không gian và thời gian tuyệt đối bởi mỗi thời điểm t ta xác định đồng thời một siêu phẳng trong vũ trụ đó. Herman Minkowski thay đổi ý tưởng trên bằng việc đưa ra khái niệm đồng thời tương đối, cái mà chỉ tồn tại khi các sự kiện không gian "chuẩn tắc" với thời gian được đặc trưng bởi vận tốc. Ông sử dụng một tích nội không giới hạn và chỉ ra rằng vecto thời gian chuẩn tắc với vecto không gian khi tích đó bằng không. Tích nội không giới hạn trong đại số hợp được tính như sau: < x , z >   =   x z ¯ + x ¯ z {\displaystyle <x,z>\ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;} trong đó thanh ngang trên đầu hiển thị liên hợp. Nếu ta xét quan hệ hai ngôi giữa sự kiện thời gian và sự kiện không gian, trực giao hyperbol (cũng được tìm thấy trong số tách phức) là quan hệ không thuần nhất Nếu R và S là các quan hệ hai ngôi trên tập X và Y thì R ∪ S = { ( x , y ) : x R y  hay  x S y } {\displaystyle R\cup S=\{(x,y):xRy{\text{ hay }}xSy\}} là quan hệ hợp của R và S trên X và Y. Phần tử đơn vị là quan hệ rỗng. Lấy ví dụ, ≤ {\displaystyle \,\leq \,} là hội của < và =, hoặc ≥ {\displaystyle \,\geq \,} là hợp của > và =. Nếu R và S là các quan hệ hai ngôi trên tập X và Y thì R ∩ S = { ( x , y ) : x R y  và  x S y } {\displaystyle R\cap S=\{(x,y):xRy{\text{ và }}xSy\}} là quan hệ giao của R và S trên X và Y. Phần tử đơn vị là quan hệ phổ quát. Lấy ví dụ, trên tập số nguyên dương, quan hệ "tổng a + b là số nguyên tố chia 3 dư 1" là giao của hai quan hệ "tổng a + b là số nguyên tố" và "tổng a + b là số chia 3 dư 1". Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập X và Y, và S là quan hệ hai ngôi trên tập Y và Z thì S ∘ R = { ( x , z ) :  tồn tại  y ∈ Y  sao cho  x R y  và  y S z } {\displaystyle S\circ R=\{(x,z):{\text{ tồn tại }}y\in Y{\text{ sao cho }}xRy{\text{ và }}ySz\}} (được ký hiệu là R; S) là quan hệ hợp thành của R và S trên X và Z. Phần tử đơn vị là quan hệ đơn vị. Thứ tự của R và S trong ký hiệu S ∘ R , {\displaystyle S\circ R,} tương tự với phép hợp hàm của hàm số. Ví dụ chẳng hạn, hợp thành của (là phụ huynh của) ∘ {\displaystyle \,\circ \,} (là mẹ của) là (là ông/bà ngoại của), trong khi đó, hợp thành của (là mẹ của) ∘ {\displaystyle \,\circ \,} (là phụ huynh của) là (là bà của). Đối với trường hợp trước, nếu x là phụ huynh của y và y là mẹ của z, thì x là ông/bà ngoại của z. Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X và Y thì R T = { ( y , x ) : x R y } {\displaystyle R^{\textsf {T}}=\{(y,x):xRy\}} là quan hệ ngược của R trên Y và X. Lấy ví dụ, = {\displaystyle \,=\,} là ngược của chính nó, quan hệ ≠ , {\displaystyle \,\neq ,\,} cũng tương tự như vậy. Quan hệ < {\displaystyle \,<\,} và > {\displaystyle \,>\,} là ngược của nhau, tương tự như vậy với ≤ {\displaystyle \,\leq \,} và ≥ . {\displaystyle \,\geq .\,} Quan hệ hai ngôi là quan hệ ngược của chính nó khi và chỉ khi nó đối xứng. Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X và Y thì R ¯ = { ( x , y ) :  không  x R y } {\displaystyle {\overline {R}}=\{(x,y):{\text{ không }}xRy\}} (đôi khi được ký hiệu bên Anh là R hoặc ¬ R) là quan hệ bù (hoặc gọi ngắn đi là bù) của R trên X và Y. Lấy ví dụ, = {\displaystyle \,=\,} và ≠ {\displaystyle \,\neq \,} là bù của nhau, tương tự như vậy với ⊆ {\displaystyle \,\subseteq \,} và ⊈ , {\displaystyle \,\not \subseteq ,\,} ⊇ {\displaystyle \,\supseteq \,} và ⊉ , {\displaystyle \,\not \supseteq ,\,} và ∈ {\displaystyle \,\in \,} và ∉ , {\displaystyle \,\not \in ,\,} . Đối với các thứ tự toàn phần, quan hệ < {\displaystyle \,<\,} và ≥ , {\displaystyle \,\geq ,\,} là bù của nhau, quan hệ > {\displaystyle \,>\,} và ≤ {\displaystyle \,\leq \,} cũng là bù của nhau. Bù của quan hệ ngược R T {\displaystyle R^{\textsf {T}}} là ngược của quan hệ bù: R T ¯ = R ¯ T . {\displaystyle {\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.} Nếu X = Y , {\displaystyle X=Y,} thì quan hệ bù có các tính chất sau: Nếu quan hệ đối xứng, thì bù của nó cũng đối xứng. Bù của quan hệ phản xạ sẽ hoàn toàn không phản xạ và ngược lại. Bù của thứ tự yếu nghiêm ngặt là tiền thứ tự toàn phần và ngược lại. Nếu R là quan hệ hai ngôi thuần nhất trên tập hợp X và S là tập hợp con của X thì R | S = { ( x , y ) ∣ x R y  và  x ∈ S  và  y ∈ S } {\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ và }}x\in S{\text{ và }}y\in S\}} là quan hệ thu hẹp của R về S trên X. Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X và Y và nếu S là tập con của X thì R | S = { ( x , y ) ∣ x R y  và  x ∈ S } {\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ và }}x\in S\}} là quan hệ thu hẹp trái của R về S trên X và Y.[cần giải thích] Nếu R là quan hệ hai ngôi trên tập hợp X và Y và nếu S là tập con của Y thì R | S = { ( x , y ) ∣ x R y  và  y ∈ S } {\displaystyle R^{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ và }}y\in S\}} là quan hệ thu hẹp phải của R về S trên X và Y. Nếu quan hệ có tính phản xạ, hoàn toàn không phản xạ, đối xứng, bất đối xứng, bắc cầu, toàn phần, phân tam hoặc là thứ tự riêng phần, thứ tự toàn phần, thứ tự yếu nghiêm ngặt, tiền thứ tự toàn phần hoặc quan hệ tương đương, thì quan hệ thu hẹp của nó cũng tương tự như vậy. Tuy nhiên, bao đóng bắc cầu của quan hệ thu hẹp là tập con của thu hẹp của bao đóng bắc cầu của , tức là nó thường không bằng nhau. Ví dụ chẳng hạn, khi thu hẹp quan hệ "x là cha mẹ của y" về giới nữ thành quan hệ "x là mẹ của phụ nữ y"; bao đóng bắc cầu của nó sẽ không quan hệ người phụ nữ với bà nội của cô ấy. Mặt khác, bao đóng bắc cầu của "là cha mẹ của" là "là tổ tiên của"; và khi chỉ xét giới nữ, quan hệ này có quan hệ giữa một người vụ nữ với bà nội của cô ấy. Bên cạnh đó, nhiều khái niệm của đầy đủ cũng không còn đúng khi bị thu hẹp lại. Ví dụ chẳng hạn, trên tập các số thực, có một tính chất của quan hệ hai ngôi ≤ {\displaystyle \,\leq \,} rằng mọi tập hợp con khác rỗng S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } có cận trên thuộc R {\displaystyle \mathbb {R} } thì sẽ có cận trên nhỏ nhất (hay còn gọi là supremum) thuộc R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Tuy nhiên khi bị thu hẹp về các số hữu tỉ thì nó không còn đúng nữa vì giá trị supremum không nhất thiết phải là số hữu tỉ. Do đó, tính chất này không còn được giữ nguyên khi thu hẹp quan hệ ≤ {\displaystyle \,\leq \,} về các số hữu tỉ. Quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X và Y được gọi là chứa trong (hay nằm trong) quan hệ S trên X và Y, được ký hiệu là R ⊆ S , {\displaystyle R\subseteq S,} nếu R là tập con của S, nghĩa là, với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X} và y ∈ Y , {\displaystyle y\in Y,} nếu xRy, thì xSy. Nếu R chứa trong S và S chứa trong R, thì R và S là bằng nhau và được viết là R = S. Nếu R chứa trong S nhưng S không chứa trong R, thì R được gọi là quan hệ nhỏ hơn S, và được viết là R ⊊ S . {\displaystyle R\subsetneq S.} . Lấy ví dụ từ các số hữu tỉ, quan hệ > {\displaystyle \,>\,} nhỏ hơn ≥ , {\displaystyle \,\geq ,\,} và bằng với quan hệ hợp thành > ∘ > . {\displaystyle \,>\,\circ \,>.\,} Một số tính chất quan trọng của quan hệ R trên tập X và Y là: Tính duy nhất: Nội xạ (cũng được gọi là duy nhất trái): với mọi x , z ∈ X {\displaystyle x,z\in X} và y ∈ Y , {\displaystyle y\in Y,} nếu xRy và zRy thì x = z. Đối với quan hệ như vậy, {Y} được gọi là khóa chính của R. Ví dụ như, quan hệ xanh lá và xanh dương trong biểu đồ có tính nội xạ, nhưng màu đỏ thì không (bởi −1 và 1 quan hệ với 1), và màu đen cũng không bởi (−1 và 1 quan hệ với 0). Phiếm hàm (cũng được gọi là duy nhất phải,): với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X} và tất cả y , z ∈ Y , {\displaystyle y,z\in Y,} nếu xRy và xRz thì y = z. Quan hệ hai ngôi như vậy được gọi là hàm riêng phần. Trong quan hệ đó, { X } {\displaystyle \{X\}} được gọi là khóa chính của R. Ví dụ như, quan hệ màu xanh lá và màu đỏ có tính phiếm hàm nhưng không phải màu xanh dương bởi (1 quan hệ với cả −1 và 1) và màu đen cũng không bởi (0 quan hệ với −1 và 1). 1-1: nội xạ và phiếm hàm. 1-Nhiều: nội xạ nhưng không phiếm hàm. Nhiều-1: phiếm hàm nhưng không nội xạ. Nhiều-nhiều: không phiếm hàm cũng không nội xạ. Tính toàn phần (chỉ định nghĩa được khi biết miền xác định X và miền giá trị Y: Toàn phần (hay còn gọi là toàn phần trái): với mọi x thuộc X, tồn tại y thuộc Y sao cho xRy.Nói cách khác, miền xác định của R bằng X. Quan hệ này thường được dùng cho hàm đa giá trị. Lấy ví dụ, quan hệ màu đỏ và màu xanh lá ở trên có tính toàn phần, nhưng quan hệ màu xanh dương thì không (bởi số -1 không có quan hệ với bất cứ số thực nào theo quan hệ đó), tương tự như vậy với quan hệ màu đen (ví dụ như số 2 chẳng hạn). Ví dụ khác, quan hệ lớn hơn thông thường > là quan hệ toàn phần trên tập số nguyên, nhưng không toàn phần khi định nghĩa trên tập số nguyên dương , bởi không có giá trị y nguyên dương nào sao cho 1 > y. Ngược lại, < là quan hệ toàn phần trên tập số nguyên dương, số hữu tỉ và số thực. Quan hệ phản xạ thì nghiễm nhiên toàn phần bởi: cho x, chỉ cần chọn y = x. Toàn ánh (hay còn gọi là toàn phần phải): với mọi y thuộc Y, tồn tại x thuộc X sao cho xRy. Nói cách khác, miền giá trị của R bằng Y. Lấy ví dụ, quan hệ xanh lá và xanh dương trong hình có tính toàn ánh, nhưng cái màu đỏ và màu đen thì không (trong quan hệ màu đỏ, không có số thực nào quan hệ với -1, còn trong màu đen không có số thực nào quan hệ với 2). Tính duy nhất và toàn phần (chỉ định nghĩa được khi biết miền xác định X và miền giá trị Y): Hàm số: quan hệ phiếm hàm và toàn phần. Lấy ví dụ, quan hệ màu xanh lá và màu đỏ là hàm số, còn quan hệ màu xanh dương và đỏ thì không. Đơn ánh: Quan hệ hàm số có tính đơn ánh. Lấy ví dụ, quan hệ màu xanh lá là hàm đơn ánh, còn lại thì không. Toàn ánh: Quan hệ hàm số có tính toàn ánh. Lấy ví dụ, quan hệ màu xanh lá là hàm toàn ánh, còn lại thì không. Song ánh: Quan hệ hàm số vừa toàn ánh vừa đơn ánh. Lấy ví dụ, bởi quan hệ màu xanh lá vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nên nó là quan hệ song ánh. Các quan hệ còn lại thì không Quan hệ thuần nhất trên tập X là quan hệ hai ngôi giữa X với chính nó hay tập quan hệ là tập con của tích decac X × X . {\displaystyle X\times X.} Người ta thường gọi ngắn đi là quan hệ trên X. Quan hệ thuần nhất R trên tập X có thể được xét bằng đồ thị có hướng cho phép vòng, với X là tập đỉnh và R là tập các cạnh (có cạnh giữa đỉnh x với đỉnh y nếu xRy). Tập tất cả các quan hệ hai ngôi B ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X)} trên tập X là tập lũy thừa 2 X × X {\displaystyle 2^{X\times X}} , hay còn là đại số Boolean đi kèm với hàm tự nghịch đảo ánh xạ một quan hệ sang quan hệ ngược của nó. Xét việc hợp thành quan hệ làm phép toán hai ngôi trên B ( X ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(X)} , nó tạo thành nửa nhóm với hàm tự nghịch đảo. Một số tính chất quan trọng của quan hệ thuần nhất R trên tập X là: Phản xạ: với x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} xRx. Ví dụ, ≥ {\displaystyle \,\geq \,} là quan hệ phản xạ nhưng > thì không. Hoàn toàn không phản xạ: với mọi x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} không xRx. Ví dụ, > {\displaystyle \,>\,} là quan hệ hoàn toàn không phản xạ nhưng ≥ {\displaystyle \,\geq \,} thì phản xạ. Đối xứng: với mọi x , y ∈ X , {\displaystyle x,y\in X,} nếu xRy thì yRx. Ví dụ, "là họ hàng của" là quan hệ đối xứng. Phản đối xứng: với mọi x , y ∈ X , {\displaystyle x,y\in X,} nếu xRy và yRx thì x = y . {\displaystyle x=y.} Ví dụ, ≥ {\displaystyle \,\geq \,} là quan hệ phản đối xứng. Bất đối xứng: với mọi x , y ∈ X , {\displaystyle x,y\in X,} nếu xRy thì không yRx. Quan hệ bất đối xứng khi và chỉ khi nó hoàn toàn không phản xạ và phản đối xứng. Ví dụ, > là quan hệ bất đối xứng nhưng ≥ {\displaystyle \,\geq \,} thì không. Bắc cầu: với mọi x , y , z ∈ X , {\displaystyle x,y,z\in X,} nếu xRy và yRz thì xRz. Quan hệ bắc cầu có tính hoàn toàn không phản xạ khi và chỉ khi nó bất đối xứng. Ví dụ, "là tổ tiên của" là quan hệ bắc cầu nhưng "là cha mẹ của" thì không. Liên thông: với mọi x , y ∈ X , {\displaystyle x,y\in X,} nếu x ≠ y {\displaystyle x\neq y} thì xRy hoặc yRx. Liên thông mạnh: với x , y ∈ X , {\displaystyle x,y\in X,} xRy hoặc yRx. ^ Trong một số ngữ cảnh khi tác giả phải xét quan hệ hai ngôi là trường hợp đặc biệt của quan hệ n-ngôi với n tùy ý thường viết Rxy là trường hợp đặc biệt của Rx1...xn (Kí pháp Ba Lan). ^ “The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Relation”. Math Vault (bằng tiếng Anh). ngày 1 tháng 8 năm 2019. Truy cập ngày 11 tháng 12 năm 2019. ^ a b c d e f g Codd, Edgar Frank (tháng 6 năm 1970). “A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks” (PDF). Communications of the ACM. 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685. S2CID 207549016. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2020. ^ “Relation definition - Math insight”. mathinsight.org. Truy cập ngày 11 tháng 12 năm 2019. ^ Không nhầm lẫn với lưới trong lý thuyết nhóm. ^ a b Ernst Schröder (1895) Algebra und Logic der Relative, qua Internet Archive ^ a b C. I. Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic , pages 269 to 279, via internet Archive ^ Enderton 1977, Ch 3. pg. 40 ^ a b Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7, Chapt. 5 ^ Hans Hermes (1973). Introduction to Mathematical Logic. Hochschultext (Springer-Verlag). London: Springer. ISBN 3540058192. ISSN 1431-4657. Sect.II.§1.1.4 ^ Suppes, Patrick (1972) [originally published by D. van Nostrand Company in 1960]. Axiomatic Set Theory. Dover. ISBN 0-486-61630-4. ^ Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York]. Set Theory and the Continuum Problem. Dover. ISBN 978-0-486-47484-7. ^ Levy, Azriel (2002) [republication of the work published by Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York in 1979]. Basic Set Theory. Dover. ISBN 0-486-42079-5. ^ Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (2012). Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Science & Business Media. Definition 4.1.1. ISBN 978-3-642-77968-8. ^ Christodoulos A. Floudas; Panos M. Pardalos (2008). Encyclopedia of Optimization (ấn bản 2). Springer Science & Business Media. tr. 299–300. ISBN 978-0-387-74758-3. ^ a b Michael Winter (2007). Goguen Categories: A Categorical Approach to L-fuzzy Relations. Springer. tr. x–xi. ISBN 978-1-4020-6164-6. ^ Relative simultaneity tại Wikibooks ^ a b c d Kilp, Knauer and Mikhalev: p. 3. cả 4 định nghĩa đều có trong: Peter J. Pahl; Rudolf Damrath (2001). Mathematical Foundations of Computational Engineering: A Handbook. Springer Science & Business Media. tr. 506. ISBN 978-3-540-67995-0. Eike Best (1996). Semantics of Sequential and Parallel Programs. Prentice Hall. tr. 19–21. ISBN 978-0-13-460643-9. Robert-Christoph Riemann (1999). Modelling of Concurrent Systems: Structural and Semantical Methods in the High Level Petri Net Calculus. Herbert Utz Verlag. tr. 21–22. ISBN 978-3-89675-629-9. ^ Mäs, Stephan (2007), “Reasoning on Spatial Semantic Integrity Constraints”, Spatial Information Theory: 8th International Conference, COSIT 2007, Melbourne, Australia, September 19–23, 2007, Proceedings, Lecture Notes in Computer Science, 4736, Springer, tr. 285–302, doi:10.1007/978-3-540-74788-8_18 ^ Yao, Y.Y.; Wong, S.K.M. (1995). “Generalization of rough sets using relationships between attribute values” (PDF). Proceedings of the 2nd Annual Joint Conference on Information Sciences: 30–33.. ^ M. E. Müller (2012). Relational Knowledge Discovery. Cambridge University Press. tr. 22. ISBN 978-0-521-19021-3. ^ Peter J. Pahl; Rudolf Damrath (2001). Mathematical Foundations of Computational Engineering: A Handbook. Springer Science & Business Media. tr. 496. ISBN 978-3-540-67995-0. ^ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (ấn bản 6), Brooks/Cole, tr. 160, ISBN 0-534-39900-2 ^ Nievergelt, Yves (2002), Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag, tr. 158. ^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics – Physics Charles University. tr. 1. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2013. Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric". Enderton, Herbert (1977), Elements of set theory, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238440-0. M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev (2000) Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7. Charles Sanders Peirce (1870) Description of a Notation for the Logic of Relatives from Google Books Gunther Schmidt (2010) Relational Mathematics Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7. Bản mẫu:Thể loại Commonsinline Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Binary relation”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4