Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2 (dãy số A002162 trong bảng OEIS) xấp xỉ bằng ln ⁡ 2 ≈ 0.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458. {\displaystyle \ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.} Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức log b ⁡ 2 = ln ⁡ 2 ln ⁡ b . {\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.} Logarit cơ số 10 của 2 là ( A007524) log 10 ⁡ 2 ≈ 0.301 029 995 663 981 195. {\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.} Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10: log 2 ⁡ 10 = 1 log 10 ⁡ 2 ≈ 3.321 928 095 {\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095} ( A020862). Theo định lý Lindemann–Weierstrass, logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt. ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .} Đây là "chuỗi điều hòa đổi dấu" quen thuộc. ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.} ln ⁡ 2 = 5 8 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.} ln ⁡ 2 = 2 3 + 3 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.} ln ⁡ 2 = 131 192 + 3 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.} ln ⁡ 2 = 661 960 + 15 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 1 − ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) . {\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.} ln ⁡ 2 = 1 2 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.} ln ⁡ 2 = 5 6 − 6 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.} ln ⁡ 2 = 7 12 + 24 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.} ln ⁡ 2 = 47 60 − 120 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.} ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.} ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 4 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 4 n 2 − 1 ) = ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 9 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 3 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.} ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 2 n = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.} ∑ n = 1 ∞ 2 ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) + 1 8 n 2 − 4 n = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 1 = ln ⁡ 2 3 + π 3 3 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 2 = − ln ⁡ 2 3 + π 3 3 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) = 2 ln ⁡ 2 3 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.} ∑ n = 1 ∞ 1 ∑ k = 1 n k 2 = 18 − 24 ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2} sử dụng lim N → ∞ ∑ n = N 2 N 1 n = ln ⁡ 2 {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2} ∑ n = 1 ∞ 1 4 k 2 − 3 k = ln ⁡ 2 + π 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4k^{2}-3k}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}} ∑ n = 2 ∞ 1 2 n [ ζ ( n ) − 1 ] = ln ⁡ 2 − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.} ∑ n = 2 ∞ 1 2 n + 1 [ ζ ( n ) − 1 ] = 1 − γ − ln ⁡ 2 2 . {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.} ∑ n = 1 ∞ 1 2 2 n − 1 ( 2 n + 1 ) ζ ( 2 n ) = 1 − ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.} (γ là hằng số Euler–Mascheroni và ζ là hàm zeta Riemann.) ln ⁡ 2 = 2 3 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 k + 1 4 k + 1 + 1 8 k + 4 + 1 16 k + 12 ) 1 16 k . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.} Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được: ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 2 3 ∑ k = 0 ∞ 1 9 k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.} Áp dụng cho 2 = 3 2 ⋅ 4 3 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}} ta được: ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n n + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 3 n n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n n + ∑ n = 1 ∞ 1 4 n n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 2 5 ∑ k = 0 ∞ 1 25 k ( 2 k + 1 ) + 2 7 ∑ k = 0 ∞ 1 49 k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.} Áp dụng cho 2 = ( 2 ) 2 {\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}} ta được: ln ⁡ 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 + 1 ) n n . {\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 + 2 ) n n . {\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 4 3 + 2 2 ∑ k = 0 ∞ 1 ( 17 + 12 2 ) k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.} Áp dụng cho 2 = ( 16 15 ) 7 ⋅ ( 81 80 ) 3 ⋅ ( 25 24 ) 5 {\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}} ta được: ln ⁡ 2 = 7 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 15 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 80 n n + 5 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 24 n n . {\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 7 ∑ n = 1 ∞ 1 16 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ 1 81 n n + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 25 n n . {\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.} ln ⁡ 2 = 14 31 ∑ k = 0 ∞ 1 961 k ( 2 k + 1 ) + 6 161 ∑ k = 0 ∞ 1 25921 k ( 2 k + 1 ) + 10 49 ∑ k = 0 ∞ 1 2401 k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.} Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm: ∫ 0 1 d x 1 + x = ∫ 1 2 d x x = ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2} ∫ 0 ∞ e − x 1 − e − x x d x = ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2} ∫ 0 π 3 tan ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π 4 tan ⁡ x d x = ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2} − 1 π i ∫ 0 ∞ ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x ( x + 1 ) 2 d x = ln ⁡ 2 {\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2} Khai triển Pierce là  A091846 ln ⁡ 2 = 1 − 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 12 − ⋯ . {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .} Khai triển Engel là  A059180 ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯ . {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .} Khai triển cotang là  A081785 ln ⁡ 2 = cot ⁡ ( arccot ⁡ ( 0 ) − arccot ⁡ ( 1 ) + arccot ⁡ ( 5 ) − arccot ⁡ ( 55 ) + arccot ⁡ ( 14187 ) − ⋯ ) . {\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).} Phân số liên tục đơn giản là  A016730 ln ⁡ 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 10 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 , . . . ] {\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]} , cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 và 61/88. Phân số liên tục tổng quát: ln ⁡ 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 5 , 2 3 , 7 , 1 2 , 9 , 2 5 , . . . , 2 k − 1 , 2 k , . . . ] {\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]} , cũng có thể viết dưới dạng ln ⁡ 2 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + 3 7 + 4 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ {\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}} Sử dụng giá trị của ln 2, ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số c dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó c = 2 i 3 j 5 k 7 l ⋯ ⇒ ln ⁡ ( c ) = i ln ⁡ ( 2 ) + j ln ⁡ ( 3 ) + k ln ⁡ ( 5 ) + l ln ⁡ ( 7 ) + ⋯ {\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \Rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots } Bảng logarit của các số nguyên tố Logarit của các số hữu tỉ r = a/b có thể tính bằng công thức ln(r) = ln(a) − ln(b), và logarit của căn bằng ln n√c = 1/n ln(c). Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa 2i gần với lũy thừa bj của số b nào khác là tương đối dễ dàng, và biểu diễn chuỗi của ln(b) có thể tính bằng Chuyển đổi logarit. Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của ln 2. Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác, ngoại trừ 1. Quy tắc 72 Chu kỳ bán rã Phương trình Erdős–Moser Brent, Richard P. (1976). “Fast multiple-precision evaluation of elementary functions”. J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314. Uhler, Horace S. (1940). “Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26 (3): 205–212. doi:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033. PMID 16588339. Sweeney, Dura W. (1963). “On the computation of Euler's constant”. Mathematics of Computation. 17 (82): 170–178. doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. MR 0160308. Chamberland, Marc (2003). “Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes” (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. MR 2046407. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 6 năm 2011. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2010. Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). “Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas” (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237–246. MR 2346048. Wu, Qiang (2003). “On the linear independence measure of logarithms of rational numbers”. Mathematics of Computation. 72 (242): 901–911. doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4. ^ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. (2004). “On the Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case” (PDF). Exper. Math. 13 (3): 278–280. doi:10.1080/10586458.2004.10504540. ^ “y-cruncher”. numberworld.org. Truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2018. ^ “Natural log of 2”. numberworld.org. Truy cập ngày 10 tháng 12 năm 2018. ^ “Records set by y-cruncher”. Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 9 năm 2020. Truy cập ngày 15 tháng 9 năm 2020. ^ “Natural logarithm of 2 (Log(2)) world record by Seungmin Kim”. Truy cập ngày 15 tháng 9 năm 2020. Weisstein, Eric W., "Natural logarithm of 2" từ MathWorld. “table of natural logarithms”. PlanetMath. Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. “The logarithm constant:log 2”.