Đạo hàm của các hàm lượng giác

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x). Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng cách dùng quy tắc thương. Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác. Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và một số hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới. ( sin ⁡ ( x ) ) ′ = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \left(\sin(x)\right)'=\cos(x)} ( cos ⁡ ( x ) ) ′ = − sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)} ( tan ⁡ ( x ) ) ′ = ( sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) ) ′ = cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)} ( cot ⁡ ( x ) ) ′ = ( cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( x ) ) ′ = − sin 2 ⁡ ( x ) − cos 2 ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) = − ( 1 + cot 2 ⁡ ( x ) ) = − csc 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)} ( sec ⁡ ( x ) ) ′ = ( 1 cos ⁡ ( x ) ) ′ = sin ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 cos ⁡ ( x ) . sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) = sec ⁡ ( x ) tan ⁡ ( x ) {\displaystyle \left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)} ( csc ⁡ ( x ) ) ′ = ( 1 sin ⁡ ( x ) ) ′ = − cos ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) = − 1 sin ⁡ ( x ) . cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( x ) = − csc ⁡ ( x ) cot ⁡ ( x ) {\displaystyle \left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)} ( arcsin ⁡ ( x ) ) ′ = 1 1 − x 2 {\displaystyle \left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} ( arccos ⁡ ( x ) ) ′ = − 1 1 − x 2 {\displaystyle \left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} ( arctan ⁡ ( x ) ) ′ = 1 x 2 + 1 {\displaystyle \left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}} ( sec − 1 x ) ′ = 1 | x | x 2 − 1 ( csc − 1 x ) ′ = − 1 | x | x 2 − 1 ( arccot − 1 x ) ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&({{\sec }^{-1}}x)'={\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {{{x}^{2}}-1}}}}\\&({{\csc }^{-1}}x)'={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {{{x}^{2}}-1}}}}\\&({{\operatorname {arccot} }^{-1}}x)'={\frac {-1}{1+{{x}^{2}}}}\\\end{aligned}}} Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OA và OK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1. Gọi: R1 là diện tích tam giác OAK, R2 là diện tích hình quạt OAK, R3 là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy: ( R 1 ) < ( R 2 ) < ( R 3 ) . {\displaystyle (R_{1})<(R_{2})<(R_{3})\,.} Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK là 1 2 × | | O A | | × | | O K | | × sin ⁡ θ = 1 2 r 2 sin ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times ||OA||\times ||OK||\times \sin \theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta \,.} Diện tích hình quạt OAK là 1 2 r 2 θ {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta } , còn diện tích tam giác OAL là 1 2 × | | O A | | × | | A L | | = 1 2 × r × r tan ⁡ θ = 1 2 r 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\times ||OA||\times ||AL||={\frac {1}{2}}\times r\times r\tan \theta ={\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta \,.} Từ đó ta có: ( R 1 ) < R 2 ) < ( R 3 ) ⟺ 1 2 r 2 sin ⁡ θ < 1 2 r 2 θ < 1 2 r 2 tan ⁡ θ . {\displaystyle (R_{1})<R_{2})<(R_{3})\iff {\frac {1}{2}}r^{2}\sin \theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\tan \theta \,.} Vì r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r2. Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó: 1 < θ sin ⁡ θ < 1 cos ⁡ θ ⟹ 1 > sin ⁡ θ θ > cos ⁡ θ . {\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.} Theo định lý kẹp ta có lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.} Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được: lim θ → 0 − sin ⁡ θ θ = lim θ → 0 + sin ⁡ ( − θ ) − θ = lim θ → 0 + − sin ⁡ θ − θ = lim θ → 0 + sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.} Và do đó: lim θ → 0 sin ⁡ θ θ = 1 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.} Ta có lim θ → 0 ( cos ⁡ θ − 1 θ ) = lim θ → 0 [ ( cos ⁡ θ − 1 θ ) ( cos ⁡ θ + 1 cos ⁡ θ + 1 ) ] = lim θ → 0 ( cos 2 ⁡ θ − 1 θ ( cos ⁡ θ + 1 ) ) . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\right]=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos ^{2}\theta -1}{\theta (\cos \theta +1)}}\right).} Vì sin2θ + cos2θ = 1 nên cos2θ – 1 = –sin2θ. Do đó lim θ → 0 ( cos ⁡ θ − 1 θ ) = lim θ → 0 ( − sin 2 ⁡ θ θ ( cos ⁡ θ + 1 ) ) = lim θ → 0 ( − sin ⁡ θ θ ) × lim θ → 0 ( sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 ) = ( − 1 ) × 0 2 = 0 . {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {-\sin \theta }{\theta }}\right)\times \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\times {\frac {0}{2}}=0\,.} Theo định nghĩa đạo hàm: d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 ( sin ⁡ ( θ + δ ) − sin ⁡ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}\right).} Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được d d θ sin ⁡ θ = lim δ → 0 ( sin ⁡ θ cos ⁡ δ + sin ⁡ δ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ δ ) = lim δ → 0 [ ( sin ⁡ δ δ cos ⁡ θ ) + ( cos ⁡ δ − 1 δ sin ⁡ θ ) ] = ( 1 × cos ⁡ θ ) + ( 0 × sin ⁡ θ ) = cos ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta \right)+\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(1\times \cos \theta )+(0\times \sin \theta )=\cos \theta \,.} Theo định nghĩa: d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 ( cos ⁡ ( θ + δ ) − cos ⁡ θ δ ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}\right).} Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được d d θ cos ⁡ θ = lim δ → 0 ( cos ⁡ θ cos ⁡ δ − sin ⁡ θ sin ⁡ δ − cos ⁡ θ δ ) = lim δ → 0 [ ( cos ⁡ δ − 1 δ cos ⁡ θ ) − ( sin ⁡ δ δ sin ⁡ θ ) ] = ( 0 × cos ⁡ θ ) − ( 1 × sin ⁡ θ ) = − sin ⁡ θ . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}\right)=\lim _{\delta \to 0}\left[\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \right)-\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right)\right]=(0\times \cos \theta )-(1\times \sin \theta )=-\sin \theta \,.} Cho y = arcsin ⁡ x {\displaystyle y=\arcsin x\,\!} Trong đó − π 2 ≤ y ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}} Thì ta có sin ⁡ y = x {\displaystyle \sin y=x\,\!} Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx: d d x sin ⁡ y = d d x x {\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x} d y d x cos ⁡ y = 1 {\displaystyle {dy \over dx}\cos y=1\,\!} Thế cos ⁡ y = 1 − sin 2 ⁡ y {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}} , d y d x 1 − sin 2 ⁡ y = 1 {\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}=1} Thế x = sin ⁡ y {\displaystyle x=\sin y} , d y d x 1 − x 2 = 1 {\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1} d y d x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} Cho y = arccos ⁡ x {\displaystyle y=\arccos x\,\!} Trong đó 0 ≤ y ≤ π {\displaystyle 0\leq y\leq \pi } Thì ta có cos ⁡ y = x {\displaystyle \cos y=x\,\!} Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx: d d x cos ⁡ y = d d x x {\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x} − d y d x sin ⁡ y = 1 {\displaystyle -{dy \over dx}\sin y=1} Thế sin ⁡ y = 1 − cos 2 ⁡ y {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!} , − d y d x 1 − cos 2 ⁡ y = 1 {\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}=1} Thế x = cos ⁡ y {\displaystyle x=\cos y\,\!} , − d y d x 1 − x 2 = 1 {\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1} d y d x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} Cho y = arctan ⁡ x {\displaystyle y=\arctan x\,\!} Trong đó − π 2 < y < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} Thì ta có tan ⁡ y = x {\displaystyle \tan y=x\,\!} Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx d d x tan ⁡ y = d d x x {\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x} d y d x sec 2 ⁡ y = 1 {\displaystyle {dy \over dx}\sec ^{2}y=1} Thế 1 + tan 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y {\displaystyle 1+\tan ^{2}y=\sec ^{2}y\,\!} , d y d x ( 1 + tan 2 ⁡ y ) = 1 {\displaystyle {dy \over dx}(1+\tan ^{2}y)=1} Thế x = tan ⁡ y {\displaystyle x=\tan y\,\!} , d y d x ( 1 + x 2 ) = 1 {\displaystyle {dy \over dx}(1+x^{2})=1} d y d x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}} Lượng giác Vi tích phân Đạo hàm và vi phân của hàm số