Định lý tang

Trong lượng giác, định lý tan biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tan của hai góc đối diện với hai cạnh đó. Với các ký hiệu trong hình bên, định lý tan được biểu diễn: a − b a + b = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.} a sin ⁡ α = b sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.} Đặt d = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β , {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},} ta có a = d sin ⁡ α  và  b = d sin ⁡ β . {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ và }}b=d\sin \beta .\,} Do đó a − b a + b = d sin ⁡ α − d sin ⁡ β d sin ⁡ α + d sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.} Dùng công thức lượng giác sin ⁡ ( α ) ± sin ⁡ ( β ) = 2 sin ⁡ ( α ± β 2 ) cos ⁡ ( α ∓ β 2 ) , {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;} ta có a − b a + b = 2 sin ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 ( α + β ) 2 sin ⁡ 1 2 ( α + β ) cos ⁡ 1 2 ( α − β ) = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare } Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau tan ⁡ ( α ± β 2 ) = sin ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}} (xem công thức tang góc chia đôi). Từ công thức tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] = a − b a + b tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] = a − b a + b cot ⁡ [ γ 2 ] {\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]} ta tính được α − β {\displaystyle \alpha -\beta } nếu biết hai cạnh a, b của một tam giác và góc xen giữa γ {\displaystyle \gamma } hai cạnh đó. Biết α + β = 180 ∘ − γ {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma } ta tính được α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } . Cạnh thứ ba c {\displaystyle c} có thể tính bằng Định lý sin. Định lý sin Định lý cos Công thức Mollweide Công thức nửa cạnh ^ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.